Способы понижения порядка дифференциального уравнения.
5.
1.
Если в уравнение не входит искомая функция 𝑦, т.е. оно имеет вид 𝐹(𝑥, 𝑦 (𝑘) , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0, то порядок
уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящих в уравнение, т.е.
сделав замену 𝑦 (𝑘) = 𝑧.
Пример 1. Решить уравнение 𝑥 4 𝑦 ′′′ + 2𝑥 3 𝑦 ′′ = 1.
Сделаем замену 𝑦 ′′ = 𝑧. Тогда 𝑦 ′′′ = 𝑧 ′ и уравнение преобразуется к виду 𝑥 2 𝑧 ′ + 2𝑥𝑧 =
1 ′
1
1
𝑥
𝑥
𝑥3
(− ) , 𝑥 2 𝑧 = − , 𝑧 = −
+
𝐶
𝑥2
1
𝑥2
. Отсюда (𝑥 2 𝑧)′ =
.
Возвращаясь к 𝑦, имеем
𝑦 ′′ =
Ответ. 𝑦 = 𝐶1 ln 𝑥 −
1
2𝑥
𝐶
1
𝐶1
1
1
− , 𝑦 ′ = + 2 + 𝐶2 , 𝑦 = 𝐶1 ln 𝑥 −
+ 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 .
𝑥2 𝑥3
𝑥 2𝑥
2𝑥
+ 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 , где 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 − произвольные постоянные.
2.
Если в уравнение не входит независимое переменное 𝑥, т.е. уравнение имеет вид 𝐹(𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0,
то порядок уравнения можно понизить, взяв за новое переменное 𝑦, а за неизвестную функцию 𝑦 ′ = 𝑝(𝑦).
Пример 2. Решить уравнение 2𝑦𝑦 ′′ = 𝑦 ′2 + 1.
В уравнение не входит в 𝑥. Полагаем 𝑦 ′ = 𝑝(𝑦). Тогда
𝑦 ′′ =
𝑑(𝑦 ′ ) 𝑑𝑝(𝑦) 𝑑𝑝 𝑑𝑦
=
=
.
= 𝑝′ 𝑝.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
Подставляя 𝑦 ′ = 𝑝 и 𝑦 ′′ = 𝑝′ 𝑝 в уравнение, получим 2𝑦𝑝𝑝′ = 𝑝2 + 1. Порядок уравнения понижен. Решив
полученное уравнение, найдем 𝑝 = ±√𝐶𝑦 − 1. Следовательно, 𝑦 ′ = ±√𝐶𝑦 − 1. Из этого уравнения получим 4(𝐶𝑦 − 1) =
𝐶 2 (𝑥 + 𝐶2 ).
3.
Если уравнение однородно относительно 𝑦 и его производных, т.е. не меняется при одновременной замене
𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … на 𝑘𝑦, 𝑘𝑦 ′ , 𝑘𝑦 ′′ , …, то порядок уравнения понижается подстановкой 𝑦 ′ = 𝑦(𝑥)𝑧(𝑥), где 𝑧 − новая неизвестная
функция.
Пример 3. Решить уравнение 𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ − 5𝑥𝑦𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′2 = 6𝑦 2 , 𝑥 ≠ 0.
Проверка однородности.
𝑥 2 𝑘𝑦𝑘𝑦 ′′ − 5𝑥𝑘𝑦𝑘𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑘 2 𝑦 ′2 = 6𝑘 2 𝑦 2 , 𝑥 ≠ 0.
𝑘 2 (𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ − 5𝑥𝑦𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′2 ) = 6𝑘 2 𝑦 2
𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ − 5𝑥𝑦𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′2 = 6𝑦 2 .
Вводим замену 𝑦 ′ = 𝑦𝑧, 𝑦 ′′ = 𝑦(𝑧 ′ + 𝑧 2 )
𝑥 2 𝑦 2 (𝑧 ′ + 𝑧 2 ) − 5𝑥𝑦 2 𝑧 − 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 = 6𝑦 2 ,
𝑦 2 (𝑥 2 (𝑧 ′ + 𝑧 2 ) − 5𝑥𝑧 − 𝑥 2 𝑧 2 ) = 6𝑦 2 : 𝑦 2 ,
𝑥 2 (𝑧 ′ + 𝑧 2 ) − 5𝑥𝑧 − 𝑥 2 𝑧 2 − 6 = 0,
𝑥 2 𝑧 ′ − 5𝑥𝑧 − 6 = 0 ∶ 𝑥 2 ,
𝑧′ −
5𝑧 6
= ,
𝑥
𝑥
- линейное уравнение первого порядка.
𝑧 = 𝑢𝑣
𝑢′ 𝑣 + 𝑢 (𝑣 ′ −
5𝑣
6
)=
𝑥
𝑥
5𝑣
𝑣 = 𝑥5
𝑣 = 𝑥5
𝑥
6𝑥 −5
{
=> { ′ 5 6 => {
6
𝑢
𝑥
=
𝑢
=
−
+𝐶
𝑢′ 𝑣 =
𝑥
5
𝑥
𝑣′ =
𝑢′ =
6
6𝑥 −5
−6
=>
𝑑𝑢
=
6
∫
𝑥
𝑑𝑥
=>
𝑢
=
−
+𝐶
𝑥6
5
𝑧 = (−
Возвращаемся к замене 𝑧 =
6𝑥 −5
+ 𝐶) 𝑥 5
5
𝑦′
𝑦
𝑦′
6𝑥 −5
= (−
+ 𝐶) 𝑥 5
𝑦
5
𝑑𝑦
6
= − ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑥 5 𝑑𝑥
𝑦
5
6
𝐶𝑥 6
ln 𝑦 = − 𝑥 +
+ 𝐶1
5
6
4.
Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно 𝑥 и 𝑦 в обобщенном смысле,
т.е. не меняется от замены 𝑥 на 𝑘𝑥, 𝑦 на 𝑘 𝑚 𝑦 (при этом 𝑦′ заменяется на 𝑘 𝑚−1 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ − на 𝑘 𝑚−2 𝑦′′ и т.д.). Чтобы узнать,
будет ли уравнение однородным, и найти число 𝑚, надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых число 𝑘
будет входить в каждый член уравнения после указанной выше замены.
Пример 4. Например, в первый член уравнения 2𝑥 4 𝑦 ′′ − 3𝑦 2 = 𝑥 4 после этой замены число 𝑘 будет входить в
степени 4 + (𝑚 − 2), во второй – в степени 2𝑚, в третий – в степени 4. Следовательно, 𝑚 должно удовлетворять
уравнениям
4 + (𝑚 − 2) = 2𝑚 = 4.
Отсюда 𝑚 = 2. Если же полученные уравнения для 𝑚 будут несовместными, то дифференцируемое уравнение не
является однородным в указанном смысле.
После того как число 𝑚 найдено, надо сделать замену переменных 𝑥 = 𝑒 𝑡 , 𝑦 = 𝑧𝑒 𝑚𝑡 , где 𝑧 = 𝑧(𝑡) − новая
неизвестная функция, а 𝑡 − новое независимое переменное. Получим уравнение, в которое не входит независимое
переменное 𝑡. Порядок такого уравнения понижается одни из ранее рассмотренных способов.
5.
Порядок уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду, чтобы обе
его части являлись полными производными по 𝑥 от каких-нибудь функций.
Пример 5. Например, пусть дано уравнение 𝑦𝑦 ′′ = 𝑦 ′2 . Деля обе части на 𝑦𝑦 ′ , получим
(ln 𝑦)′ ; ln 𝑦 ′ = ln 𝑦 + ln 𝐶 ; 𝑦 ′ = 𝐶𝑦. Порядок уравнения понижен.
Задание: решить уравнения.
Вариант 1.
Номера: 21, 39, 71
Вариант 2.
Номера: 8, 65, 72
𝑦 ′′
𝑦′
=
𝑦′
𝑦
; (ln 𝑦 ′ )′ =
Вариант 3.
Номера: 30, 48, 73
Вариант 4.
Номера: 11, 67, 74
Вариант 5.
Номера: 38, 45, 75
Вариант 6.
Номера: 2, 66, 76
Вариант 7.
Номера: 32, 40, 77
Вариант 8.
Номера: 6, 63, 78
Вариант 9.
Номера: 27, 44, 79
Вариант 10.
Номера: 13, 60, 80
Вариант 11.
Номера: 29, 50, 81
Вариант 12.
Номера: 3, 64, 82
Вариант 13.
Номера: 37, 41, 83
Вариант 14.
Номера: 10, 61, 84
Вариант 15.
Номера: 36, 52, 85
Вариант 16.
Номера: 5, 57, 86
Вариант 17.
Номера: 25, 47, 87
Вариант 18.
Номера: 4, 58, 88
Вариант 19.
Номера: 35, 43, 89
Вариант 20.
Номера: 16, 59, 90
Вариант 21.
Номера: 31, 42, 91
Вариант 22.
Номера: 7, 62, 92
Вариант 23.
Номера: 26, 46, 93
Вариант 24.
Номера: 14, 54, 94
Вариант 25.
Номера: 34, 49, 95
Вариант 26.
Номера: 9, 55, 70
Вариант 27.
Номера: 1, 51, 78
Вариант 28.
Номера: 12, 53, 76