скалярное произведение в координатах

B
C
6
3
АВСD - прямоугольник
AD = 62 – 32 = 27 = 3 3
O
A
D
3 3

AВ АC =

AB
AО АD = AО

AD DC = 0

CAD =
cos BAC
AD
AB
AC
 
3
AC cos AB, AC = 3 6 6 = 9
 AD cos AO, AD = 3  3 3 
т.к. AD ^ DC
3 3 27
=
2
6
Теорема
Скалярное произведение векторов
a {x1; y1}
выражается формулой
и
b {x2; y2}
a  b = x1x2 + y1y2
Рассмотрим случай, когда векторы
a и b не нулевые
a и b не коллинеарны, то по теореме
Если векторы
косинусов:
AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa
b
В
b
a
a
О
a
А
*
Равенство AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa
верно и для коллинеарных векторов.
Если
b
a = 00
b
сosa = 1
a
О
a
*
В
А
AB2 = (ОА – ОВ)2 =
= AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ 1 =
= AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ  cosa
Равенство AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa
верно и для коллинеарных векторов.
b
a
В
О
a
Если
a
*
b
a = 1800
А
сosa = –1
AB2 = (ОА + ОВ)2 =
1 = – сosa
= AО2 + ОВ2 + 2  ОА ОВ 1 =
= AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ  cosa
AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa
AB = AO
b –+aOB
– b–
Из  АВО
a {x1; y1}
b {x2; y2}
a
OA = a
2 = 1a(2 +
2
*
OB = b
b 2 – 2 ab

) :2
x12 + y1В2
b 2
2
b = x2 + y22
a
2
=
a
b – a {x2 – xО1; y2 – y1}А
a
2
b – a = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Следствие 1
Ненулевые векторы
a и b перпендикулярны тогда и
только тогда, когда
x1 x2 + y1 y2 = 0
a ^b
x 1 x 2 + y1 y 2 = 0
Пример
b {-2;
-2 11}
d { 2;
2 44}
 +  =0
b ^d
Следствие 2
Косинус угла между ненулевыми векторами
aи b
выражается формулой
cos a =
x 1 x 2 + y1 y 2
x12 + y12  x22 + y22
Следствие 2
 a  b = x1x2 + y1y2
Доказательство:
2+ y 2
a
=
x

1
1
a  b = a  b cosa
cosa
=
ab
ab
=
2+ y 2
x
b
=

2
2

Свойства скалярного произведения векторов
a b, c
Для любых векторов
,
справедливы равенства:
1
a 2 0
2
ab
3
(a + b)  c
4
=
и любого числа
k
причем
a 2> 0
ba
Переместительный закон
=
при
a >0
a c + b c
Распределительный закон
(ka)  b = k(a  b)
Сочетательный закон
a {3; -4}
b {-2; 1}
c {-2;-1,5}
Найдите
a  b = 3  (-2) + (-4)  1 = - 10
тупой
b  c = (-2)  (-2) + 1 (- 1,5) = 2,5
острый
c  a = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) = 0 
прямой
Перпендикулярны ли векторы
a и b, b и c, c и a
Каким (острым, тупым или прямым) является угол между
векторами
a и b, b и c, c и a
Найдите абсциссу вектора
b {-2;
-2 11}
d , если известно, что
d { ?;
x 44}
b ^d
 +  =0
x=2
*
b ^d
x 1 x 2 + y1 y 2 = 0
a {4; -2}
i {1; 0}
c {-2;-1,5}
j {0; 1}
Найдите
a i
= 4  1 + (-2)  0 = 4
острый
cj
= (-2)  0 + (- 1,5) 1 = - 1,5
тупой
ij
= 1  0 + 0 1 = 0

Перпендикулярны ли векторы
прямой
a и i , c и j, i
и
j
Каким (острым, тупым или прямым) является угол между
векторами
a и i, c и j, i
и
j
Найдите скалярное произведение векторов:
a+b
и
a – b , если a { 3; -4}
и
b {-2; 0}
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2 = a 2 – b 2 = 25 – 4
= 21
a =
32
+
(-4)2
= 25
b = (-2)2 + 02 = 4
a 2 = 25
b 2=4
Найдите скалярное произведение векторов:
a+b
1
и
3
a – b , если a { 3; -4}
и
b {-2; 0}
2
(a + b)(a – b)
1
другой
aНайдите
+ b { 1;
-4 }способ решения
2
a – b { 5; -4 }
3
(a + b)(a – b) = 1 5 + (-4)  (-4) = 21
Найдите скалярное произведение векторов:
i–j
и
2i + 3j, если i и j – координатные векторы.
0
0
(i – j)(2i + 3j) = 2i 2 +3i j – 2 i j – 3j 2 =
= 2 i 2– 3 j
i =
1
j =
1
2
= 2 1 – 3 1 = –1

Вычислить

CE AB + CB BA , если
А(-3; 3), В( 1; 1), С(-2; 4), Е(-1;2). Найдите 2 способа.
1

3
2

CE AB + CB BA
1
2
3
CE { 1; -2}

CВ { 3; -3}
CB BA = 3  (-4) + (-3) 2 = -18
AB { 4; -2}
CE AB = 1  4 +1(-2)
способ
 (-2) = 8
BA {- 4; 2}
8 + (-18) = -10




CE AB + CB BA = CE AB + CB (–AB) = AB (CE – CB)
2 способ
= AB (CE + BC) = AB (ВC + CЕ) = AB  ВЕ =
BЕ {- 2; 1}
= 4  (-2) + (-2)  1 = -10
№1050 Вычислить
если
a+b
a = 5,
0
a
b
=
60
b =8
,
Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
2
2
2
2
=
a
a
(a + b) = a + b
= a 2 + 2a b + b 2=
= a 2 + 2 a b cos a b + b 2 =
= 52 + 2 5 8 cos600 + 82 =
= 52 + 2 5 8  12 + 82 = 129
= 129
№1050 Вычислить
если
a–b
a = 5,
0
a
b
=
60
b =8
,
Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
2
2
2
2
=
a
a
(a – b) = a – b
= a 2 – 2a b + b 2 =
= a 2 – 2 a b cos a b + b 2 =
= 52 – 2 5 8 cos600 + 82 =
= 52 – 2 5 8  12 + 82 = 49
= 49