kursovaya

2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт физико-математического образования
Кафедра алгебры и методики обучения математике
Гиперболические функции
Курсовая работа
Выполнила студентка 3512з
группы
Латкина Наталья Сергеевна
____________________________
__
(подпись)
Научный руководитель:
Малинина
Г.М..__________________
(подпись)
Работа защищена
«____» __________________
2018г.
Оценка
________________________
Председатель ГАК
______________
(подпись)
Барнаул 2018
3
Оглавление
Введение………………………………………………………..………………….3
Глава 1 Гиперболические функции их свойства и применение……….……....5
1.1Понятие гиперболические функции. Гиперболический синус его
свойства и применение…………………………………………………………...5
1.2Определение гиперболического косинуса и его важнейшие свойства…..11
1.3Определение гиперболического тангенса его свойства и график………..14
1.4 Определение гиперболического котангенса и его свойства……………...18
1.5 Применение гиперболических функций при вычислении интегралов….20
Заключение……………………………………………………………………….23
Список литературы………………………………………………………………..25
4
Введение
Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в
трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707- 1722).
Независимое
открытие
и
дальнейшее
исследование
свойств
гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768),
который
установил
гиперболической
широкий
тригонометрии.
параллелизм
Н.
И.
формул
Лобачевский
обычной
и
впоследствии
использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость
неевклидовой геометрии, в которой обычная тригонометрия заменяется на
гиперболическую.
Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил
Винсент Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их
обозначения: sh, ch. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы
Винсент Риккати (итал. Vincenzo de Riccati; 11 января 1707, КастельФранко — 17 января 1775, Тревизо) — итальянский математик, иностранный
почётный член Петербургской Академии Наук с
17 января 1760 года.
Известен как создатель гиперболических функций. Отец Винсента Якопо
Франческо Риккати (в честь которого названо уравнение Риккати) был одним
из крупных итальянских математиков того времени. Винсент Риккати
унаследовал интересы отца в области дифференциальных уравнений,
которые естественно возникали при решении геометрических задач. Это
привело его к изучению конических сечений в декартовых координатах и к
заинтересованности в изучении гиперболы.
Современная математика рассматривает гиперболические функции, как
пары экспоненциальной функции, но Риккати исследовал их свойства,
используя только геометрические свойства гиперболы х² — y² =1 или 2xy =1.
5
Он использовал геометрические методы, хотя он был знаком с работами
Эйлера, предшествовавших выходу книги Риккати.
Над
гиперболическими
функциями
Риккати
работал
вместе
с
Джироламо Саладини. Риккати не только рассмотрел эти новые функции, но
и на основе связанных с ними интегральных формул и с помощью
геометрических
методов
получил
интегральную
формулу
для
тригонометрических функций. Его книга «Institutiones» признана как первый
обширный трактат по интегральному исчислению. Работы Эйлера и
Ламберта изданы позже. Саладини и Риккати также рассматривали другие
геометрические проблемы, в том числе трактрису, строфоиду. Риккати
применял для гиперболических функций обозначения и в дальнейшем в
обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
1.Изучить литературу и раскрыть понятие о гиперболических
функциях.
2.Рассмотреть все виды функций изучить их основные свойства и
графики.
3.
Рассмотреть
использование
гиперболических
функций
при
интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.
4.Научиться применять гиперболические функции при вычислении
интегралов.
6
Глава 1 Гиперболические функции их свойства и применение
1.1 Понятие гиперболические функции. Гиперболический синус
его свойства и применение»
Определение:
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций,
выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими
функциями.
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
гиперболический синус:
гиперболический косинус:
гиперболический тангенс:
гиперболический котангенс:
Ввиду соотношения
=1 гиперболические функции дают
параметрическое представление гиперболы x2 − y2 = 1 (x=cht,y=sht). При этом
аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника, взятая со
знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном
случае. Это определение аналогично определению тригонометрических
функций через единичную окружность, которое тоже можно построить
подобным образом
7
Основные свойства гиперболического синуса.
Определение
Гиперболическим синусом называется
;
-∞<x< ∞,-∞<y<∞.
(1)
Если в тождестве (1) произвести замену x на ix, то получим
1.Область определения: D(y) = (-∞;+x).
2. Множество значений: E(y) = (-x;+∞).
3. Четность и нечетность: нечётная.
4. Периодичность: не периодическая.
5. Нули функции: x=0.
6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для
xϵ(-x;+0),
положительна – для xϵ(0;+ ∞).
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений
функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех xϵ(∞;+∞)
9. Точки пересечения с осями координат: (0,0).
10. Асимптоты: асимптот не имеет.
11. График функции изображен на рисунке 1.
8
Рис. 1.
Важные свойства
Свойство чётности:
(2)
Доказательство. Если провести замену аргумента (х) на (-х), то
получим
Что доказывает нечетность функции sh (x)
Формула сложения:
Теорема
(3)
Данные формулы могут быть выведены следующим образом. Из
9
определения имеем:
Доказательство:
Перемножая отдельно левые и правые части этих тождеств, составим
следующие выражения:
Теперь легко найти, что
таким образом формула сложения проверена.
Формула двойного угла:
sh(2x)=2ch(x)sh(x)
(4)
Доказательство:
2chxshx=
Формула (4) доказана.
Формула понижения степени:
(5)
Для чётных n:
Для нечётных n:
Пример применения формулы понижения степени:
10
Пример 1
Вычислить, используя формулу понижения степени:
Ответ:
Пример 2
Понизить степень выражения
Решение: применим формулу понижения степени для синуса
, получим
Производные:
(6)
(7)
Интегралы:
(8)
(9)
11
(10)
Пример 4
Вычислить интеграл
Решение.
Так как
, то интеграл
Найти интеграл
Решение.
По определению,
. Подставляя это в интеграл, получаем
Разложение в степенные ряды.
(11)
Гиперболический синус аналитичен во всей комплексной плоскости, за
12
исключением существенно особой точки на бесконечности.
Примеры решения задач:
Найти приближенное значения sh2
Решение: По определению,
подставляем значение x= 2, получим
В последнее выражение подставим значение экспоненты
e 2,75:
(7,39840,1352)=3,6316
Ответ : 3,6316
1.2 Определение гиперболического косинуса и его важнейшие
свойства
Определение:
Гиперболическим косинусом называется функция
(12)
Если в тождестве (11) произвести замену (х) на (ix), то получим
1.Область определения: D(y)=(-∞;x).
2.Множество значений: E(y)=[1;+∞).
13
3.Четность и нечетность: чётная.
4.Периодичность: не периодическая.
5.Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: функция положительна для xϵ(-x;+x).
7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1,
функция принимает при x=0.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при xϵ(-x;0);
возрастает – при xϵ(0;+∞).
9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Oy в точке y=1,
ось Ox не пересекает.
10. Асимптоты: асимптот не имеет
11. График функции изображен на рисунке 2.
Рис. 2.
14
Важные свойства гиперболического косинуса
Свойство четности:
Ch(-x)=ch(x)
(13)
Формула сложения: ch(x+y)=ch(x)+sh(x)∙sh(y)
(14)
Данная формула сложения выводится следующим образом. Из определения
имеем:
Перемножая, отдельно левые и правые части этих тождеств, составим
выражение:
ch(x)∙ch(y)=
)
Далее получаем следующее:
Таким
образом
формула
сложения
гиперболического
косинуса
проверена.
Формула двойного угла:
(15)
Для того, чтобы доказать формулу(13) заменим в формуле (12) y на x.
Ch(x+y)=ch(x)∙ch(y)+sh(x)∙sh(y), получаем, что
15
Формула понижения степени:
(16)
Для чётных n :
.
Для нечётных n:
,
Где
Пример 1
1.3Определение гиперболического тангенса его свойства и график
Гиперболический
тангенс
определяются
через
отношение
гиперболического синус и косинуса.
Гиперболическим тангенсом называется функция
(17)
(18)
Основные свойства гиперболического тангенса.
1. Область определения: D(y) = (-∞;+x).
16
2. Множество значений: E(y) = (-1;1).
3. Четность и нечетность: нечётная.
4. Периодичность: не периодическая.
5. Нули функции: x=0.
6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для
xϵ(-∞;0);
положительна – для xϵ(0;+∞).
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений
функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для xϵ(-x;+x).
9. Точки пересечения с осями координат: (0;0).
10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты y=-1 и y=1.
11. График функции изображен на рисунке 3.
17
рис.3
Важные свойства и их доказательства
Свойство чётности th(-x)=-th(x)
(19)
Доказательство. Если провести замену аргумента (х) на (-х), то
получим
Доказали, что функция нечётная.
Формула сложения
Произведение тангенсов гиперболических
Формула суммы(разности) тангенсов гиперболических
Формула двойного угла
(20)
Производная тангенса гиперболического
Интеграл
18
Разложение в степенные ряды.
Примеры решения задач:
Задание 1: Вычислить интеграл
Решение: Представим тангенс гиперболический в виде
Задание 2: Найти приближенное значение th 2
Пользуясь определением гиперболического тангенса
Решение
, можно записать, что
1.4 Определение гиперболического котангенса и его свойства
Гиперболическим котангенсом называется функция
,т.е.
19
(21)
1.Область определения: D(y) = (-x ; 0) ᴗ (0;+∞).
2. Множество значений: E(y) = (-∞;-1) ᴗ (1; +x).
3. Четность и нечетность: нечётная.
4. Периодичность: не периодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для xϵ(-x;0);
положительна – для xϵ(0;+∞).
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений
функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает для xϵ D(y).
9. Точки пересечения с осями координат: нет.
10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты y=-1 и y=1.
11. График функции изображен на рисунке 4
20
Рис. 4
Некоторые важные свойства гиперболического котангенса
Свойство чётности: cth(-x)= ctx(x)
Доказательство:
Если провести замену аргумента (х) на (-х), то
получим
(22)
Тем самым мы доказали нечётность функции.
Разложение в степенной ряд
1.5 Применение гиперболических функций при вычислении
интегралов
Гиперболические
функции
часто
встречаются
при
вычислении
различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от
функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью
замен переменных с использованием гиперболических функций.
21
Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования
гиперболических функций имеют вид:
Приведем еще несколько полезных соотношений:
Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую
функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной
функции с помощью подстановки.
Пример 1
Вычислить интеграл.
Решение. Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда.
Следовательно, интеграл равен
3
Пример 2
Вычислить интеграл.
Решение.
Поскольку,
, и, следовательно,
, интеграл можно переписать в виде
Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем
Ответ:
Пример 3
Решение.
Используем интегрирование по частям:
dv=sh xdx.Тогда
. Пусть u=x,
. В результате находим интеграл
Ответ:
Пример 4:Вычислить интеграл
.
4
Решение. Так как
, то интеграл равен
Пример 5: Найти интеграл.
Решение. По определению,
.
Подставляя это в интеграл, получаем
Пример 6: Найти интеграл
Решение. По определению,
.
и
. Следовательно,
Сделаем замену \u = e x, du = e xdx и вычислим искомый интеграл.
5
Пример 7
Решение.
Пример 8
.
6
Решение. Интегрируем по частям. Полагаем
Интеграл принимает вид
Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем
7
Заключение
Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в
трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707- 1722).
Гиперболические функции
часто
встречаются
при вычислении
различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и
от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с
помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.
В
рамках
данного
исследования
мы
рассмотрели
основные
гиперболические функции и их применение.
Были достигнуты следующие цели:
1) Была изучена и систематизирована литература;
2) На основании изученной литературы были выделены определения
гиперболических функций;
3)
Рассмотрены
примеры
решения
задач
на
определение
производных гиперболических функций;
1)
Было рассмотрено применение гиперболических функций при
вычислении интегралов.
Таким образом, решая задачи, можно сделать вывод о значимости
гиперболических функций в математическом анализе. Они необходимы для
более простого дифференцирования функций.
8
Список литературы
1. Аксенов, А.П. Математический анализ в 4 ч. часть 1. учебник и
практикум для академического бакалавриата / А.П. Аксенов. — Люберцы:
Юрайт,
2016.
—
282
c.
2. Аксенов, А.П. Математический анализ в 4 ч. часть 4. учебник и
практикум для академического бакалавриата / А.П. Аксенов. — Люберцы:
Юрайт,
2016.
—
406
c.
3. Баврин, И.И. Математический анализ 2-е изд., испр. и доп. учебник и
практикум для спо / И.И. Баврин. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 327 c.
4. Баврин, И.И. Математический анализ для педагогических вузов 2-е изд.,
испр. и доп. учебник и практикум для прикладного бакалавриата / И.И.
Баврин.
—
Люберцы:
Юрайт,
2016.
—
327
c.
5. Балдин, К.В. Математический анализ: Учебник / К.В. Балдин, В.Н.
Башлыков, А.В. Рукосуев… — М.: Флинта, МПСУ, 2013. — 368 c.
6. Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 3. Часть 2:
Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы / А.К.
Боярчук, И.И. Ляшко, Я.Г. Гай. — М.: ЛИБРОКОМ, 2012. — 256 c.
7. Будаев, В.Д. Математический анализ. Функции одной переменной:
Учебник / В.Д. Будаев, М.Я. Якубсон… — СПб.: Лань, 2012. — 544 c.
8. Будаев, В.Д. Математический анализ. Функции одной переменной:
Учебник / В.Д. Будаев, М.Я. Якубсон. — СПб.: Лань, 2012. — 544 c.
9. Бутузов, В., Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. 6-е изд.,
испр / В.Ф. Бутузов, Г.Н. Крутицкая и др… — СПб.: Лань, 2008. — 480 c.
10. Гаврилов, В.И. Математический анализ: Учебное пособие для студентов
учреждений высшего профессионального образования / В.И. Гаврилов,
Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 336 c.
11. Горлач, Б.А. Математический анализ: Учебное пособие / Б.А. Горлач…
—
СПб.:
Лань,
2013.
—
308
c.
9
12. Горлач, Б.А. Математический анализ / Б.А. Горлач. — СПб.: Лань, 2013.
—
608
c.
13. Злобина, С.В. Математический анализ в задачах и упражнениях / С.В.
Злобина, Л.Н. Посицельская. — М.: Физматлит, 2009. — 360 c.
14. Зорич, В.А Математический анализ. Часть 1 (6-е изд.) / В.А Зорич. —
М.:
МЦНМО,
2012.
—
702
c.—
818
c.
15. Ивлев, В.В. Математический анализ. Функции многих переменных /
В.В.
Ивлев.
—
М.:
Изд.
ИКАР,
2013.
—
548
c.
16. Ильин, В.А. Математический анализ ч. 2 3-е изд. учебник для
бакалавров / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. — Люберцы:
Юрайт,
2016.
—
357
c.
17. Карташев, А.П. Математический анализ. 2-е изд., стер / А.П. Карташев,
Б.Л.
Рождественский.
—
СПб.:
Лань,
2007.
—
448
c.
18. Киркинский, А.С. Математический анализ: Учебное пособие для ВУЗов
/ А.С. Киркинский. — М.: Академический проект, 2006. — 526 c.
19. Кытманов, А.М. Математический анализ. учебное пособие для
бакалавров / А.М. Кытманов. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 607 c.
20. Лейнартас, Е.К. Математический анализ: Учебное пособие для
бакалавров / А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н. Лукин; Под ред. А.М.
Кытманов.
—
М.:
Юрайт,
2012.
—
607
c.
21. Ляшко, И.И. Антидемидович. Т.3. Ч.1. Справочное пособие по высшей
математике. Математический анализ: интегралы, зависящие от параметра /
И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. — М.: Ленанд, 2016. —
160
22.
c.
Солодовников,
А.С.
Математика
в
экономике:
учебник.
Ч.2.
Математический анализ. 3-е изд., доп. и перер / А.С. Солодовников и др…
—
М.:
Финансы
и
статистика,
2011.
—
560
c.
23. Шершнев, В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями:
Учебное пособие / В.Г. Шершнев. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 164 c.
10
24. Шипачев, В.С. Математический анализ. Теория и практика. / В.С.
Шипачев.
—
М.:
Высшая
школа,
2009.
—
350
c.
25. Шубин, М.А. Математический анализ для решения физических задач /
М.А. Шубин. — М.: МЦНМО, 2003. — 40 c.
26.http//lib.alnam.ru
27.http://www.math24.ru