UChEBNO-METODIChESKOE POSOBIE-1 (2)

Методические указания
и контрольные задания по математике и моделированию
Для студентов заочной формы обучения
сельскохозяйственных высших учебных заведений
Авторы: Камышова Г.Н., Чумкова С.В., Терехова Н.Н., Уейская Н.Б.,
Бось В.Ю., Кузнецова О.С., Материкина М.В., Вельдяева И.С.,
Кочегарова О.С., Князева С.Е.
Предисловие
Настоящее пособие предназначено для студентов заочной формы
обучения инженерно-технических и экономических специальностей
сельскохозяйственных высших учебных заведений с различными
учебными планами.
Пособие содержит краткие указания к выполнению контрольных
работ, а так же решения некоторых задач, разбор которых поможет
студенту заочной формы обучения выполнить соответствующую
контрольную работу. Материал пособия разбит на 14 тем, из задач которых
составляются контрольные работы в зависимости от специализации
студентов. Это позволило отразить в них более широкий круг вопросов
программы.
Общие методические указания
К выполнению каждой контрольной работы следует приступать
только после изучения соответствующего материала курса по учебнику и
решения задач, указанных в каждой теме. При этом следует
руководствоваться следующими указаниями:
1. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на
внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы
студентов, полный шифр, номер контрольной работы и дата ее отправки в
университет. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть
достаточно подробными. При необходимости следует делать
соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем,
выводов, которые используются при решении данной задачи. Все
вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать
полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены (желательно на
миллиметровой бумаге) аккуратно и четко с указанием единиц масштаба,
координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам
должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.
2. Данное пособие содержит приложения с таблицами, которыми
студент может воспользоваться в случае необходимости при решении
соответствующих задач. Приложения расположены в конце данного
пособия.
3. Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице
оставлять поля шириной 3 - 4 см. После получения проверенной работы
(как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все
отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в
кратчайший срок выполнить все требования рецензента и предоставить
работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально
выполненную работу.
4. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Если
будет установлено, что та или иная контрольная работа выполнена
несамостоятельно, то она не будет зачтена, даже если в этой работе все
задачи решены верно.
5. В период экзаменационной сессии студент обязан представить все
прорецензированные и зачтенные контрольные работы. При
необходимости (по требованию преподавателя) студент должен давать на
экзамене устные пояснения ко всем или некоторым задачам,
содержащимся в этих работах.
6. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который
совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если
предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то
номера задач для соответствующего варианта даны в табл. 1; если же
предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6,
8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл. 2.
Таблицы с нужными для конкретной специализации заданиями студент
должен узнать у ведущего преподавателя.
Консультации
Если в процессе изучения материала или при решении той или иной
задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить
сам, то можно обратиться к преподавателю для получения письменной или
устной консультации. В случае письменной консультации в запросе
следует, возможно, более точно указать характер затруднения. При этом
обязательно следует указать полное название книги, год издания и
страницу, где трактуется непонятный для студента вопрос или помещена
соответствующая задача.
Литература
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош.– М. : Лань, 2006.-432с.
2. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный
курс / - 4-е изд./ Д.Т. Письменный - М.: Айрис-пресс, 2006.-608 с.
3. Данко П.Е. и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах»/ П.Е.
Данко и др.- М.: Высшая школа, т.I – 2004г.-428с.
4. Привалов, И.И. Аналитическая геометрия / И.И. Привалов.– М. : Лань,
2008.-304 с.
5. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной, алгебры/
Д.В. Беклемишев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 312 с.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович - М.: Изд-во Астрель:
Изд-во АСТ, 2005. - 558 с.
7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. ( В 3-х томах )/Г.М. Фихтенгольц - М.: Физматлит, 2003. т.1 680с.; т.2 - 864с.; т.3 - 728с.
8. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П., Краткий курс высшей математики/
В.А. Кудрявцев, Б.П.Демидович - М.: в/школа,- 204.- 816 с.
9. Шипачев В.С.Высшая математика./ В.С. Шипачев М: в/школа,2003,479 с.
10. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д., Элементы прикладной математики, 50/1/
Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис -, Москва. в/школа,-2002. - 812с.
11. Эльсгольц Л.Э Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебник
для вузов / Л.Э.Эльсгольц, – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 220 с.
12. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.
Гмурман - М.-«Высшая школа», 2003. - 479с.
13. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев – М:
Наука, 1986. – 544 с.
14.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах /
И.Л. Акулич – М: Высш.шк.,1986. – 319 с.
15. Камышова Г.Н. Лабораторные работы по высшей математике /
Г.Н.Камышова - Саратов:СГАУ, 2003.
15. Чумакова С.В., Хромова Е.В. Случайные величины. Учебнометодическое пособие / С.В. Чумакова, Е.В. Хромова - Саратов:СГАУ,
2004.
16. Терехова Н.Н. Контрольные задачи по теории вероятностей и
математической статистике / Н.Н. Терехова - ФГОУ ВПО СГАУ им. Н.И.
Вавилова, Саратов, 2006.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Матрицы. Действия над матрицами.
2. Вычисление определителей.
3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод
Крамера, метод Гаусса, матричный метод.
Решение типового примера
Пример 1.1. Решить систему уравнений:
Решение.
а)По формуле Крамера:
б)Метод Гаусса:
Ответ: x=0; y=-1; z=2;
в)Матричный способ:
А11=1(1 1–3 4)=-11
А12=-1(2 1–3 3)=7
А13=1(2 4–3 1)=5
А21=-1(-2 1–1 4)=6
А22=1(1 1–1 3)=-2
А23=-1(1 4+2 3)=-10
А31=1(-2 3–1 1 )=-7
А32=-1(1 3–1 2)=-1
А33=1(1 1+2 2)=5
А-1=
А-1=
Ответ: x=0; y=-1; z=2;
Задачи контрольной работы
В задачах 1.1- 1.20 решить заданную систему линейных уравнений:
 пользуясь формулами Крамера;
 методом Гаусса;
 матричным методом;
5 x 1

1. 1  x1
2 x
 1
 8x2

x3
 2x2
 3x 3

1
 3x 2
 2 x3

11
 7
 х1

1.2  3х1
2 х
 1
 2х2
 х3
 5х 2
 3х 3
 7х2
 х3
 4

1
 8
 3х1

1.3 2 х1
2 х
 1
 2х2
 х3

5
 3х 2
 х3

1
 х2
 3х 3
 11
4 х1

1.5 2 х1
5х
 1
 3х 2
 2х3

9
 5х 2
 3х 3

4
 6х2
 2х3
 18
 х1
1.7 2 х1
4 х
 1
 3х1

1. 9 2 х1
 х
 1
2 х 1
1.11  х1
 3х
 1
1.13
1.15
 х1

2 х 1
 х
 1
 3х1

 х1
2 х
 1
 х2
 2 х3

 х2
 2 х3
 4
 х2
 4 х3
 2
 х2
 х3
 5х 2
 3х 3
 х2
 х3
  17
 х2
 х3

 х2
 х3
 6
 х2
 х3
 4
 4 х3

 х2
 2 х3
 29
 х2
 х3
 10
2 х 1

1. 6  3х1
 3х
 1
 х2
 х3

 4х2
 2х3
 11
 2х2
 4х3
 11
 3 х1
1.8  2 х1
 2х
1

4

 2х2
1.4
1

 х1

5 х1
3 х
 1
0
 х1

1.10 2 х1
 3х
 1
2 х1
1.12  3х1
2 х
 1
1
 5х 2
 2 х3
 х2
 х3

0
 2 х2
 х3

2
 7
 4х2
 2 х3

8
 5х 2
 х3

0
 х2
 3х 3
 1
 х2
 х2
 х3
 х2
 4х3
 х2
 х3
 х2
 6х3
 2 х2
31
4

5

0
 15

2
 1

8
 х2
 3х 3

3
 4х2
 5х 3

8
 7 х3
 17
 х1
1.14 2 х1
 3х
 1
 2 х2
 3х 3

 3х 2
 4х3
 16
 2 х2
 5х 3
 12
2 х 1

 х1


 х2
 3х3
 7
 3х 2
 2 х3
 0
2х2
 х3
 2
1.16
6
1.17
1.19
 2 х1

 2 х1
 3х
 1
 х1

2 х 1
 3х
 1
 х2
 4 х3

20
 х2
 3х 3

3
 4 х2
 5х 3
 8
 5х 2
 х3

7
 х2
 х3

4
 2 х2
 4 х3
 11
 х1
1.18 2 х1
2 х
 1
11х1
1.20  2 х1
 х
 1
 х2

4

1
 3х 2
 х3
 х2
 3х 3
 11
 3х 2
 х3
 2
 5х 2
 5х 3
 0
 х2
 х3
 2
2 . ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ НА ПЛОСКОСТИ И
В ПРОСТРАНСТВЕ
2.1.Элементы векторной алгебры на плоскости
Программные вопросы
1.
Сумма и разность двух векторов.
2.
Коллинеарность и компланарность векторов.
3.
Проекция вектора на ось.
4.
Разложение вектора в системе орт на плоскости и в
пространстве. Координаты вектора.
5.
Свойства скалярного произведения векторов.
6.
Угол между векторами. Длина вектора по его координатам.
7.
Условие перпендикулярности двух векторов.
8.
Вектор, перпендикулярный двум данным векторам.
9.
Площадь треугольника, построенного на двух векторах.
10.
Объём пирамиды с вершинами в заданных точках.
Решение типового примера
Пример 2.1.
Даны координаты точек A, B, C . Пусть А8;2 , B7;-3, C8;-4 .
Требуется:
1) записать векторы АВ и АС в системе орт i , j и найти длины этих
векторов;
2) найти орт вектора АВ ;
3) изобразить векторы АВ и АС в координатной плоскости xOy ;
4) найти
вектора
d1  3 AB  2 AC
и
d 2  2 AB  3 AC
аналитически
и
геометрически.
Решение.
1) Известно, что произвольный вектор a представляется в системе орт i ,
j по формуле:
a  ax i  a y j ,
(1)
где a x , a y – координаты вектора a в системе координат xOy .
Если заданы точки M 1 x1; y1  , M 2 x2 ; y 2  , то для вектора a = M 1 M 2
a x  x2  x1 , a y  y 2  y1
(2)
Воспользовавшись (2) и координатами точек A, B, C , получим:
AB 7  8;3  2  или AB  1;  1 . Тогда AB  i  j .
AC 8  8;4  2  или AB 0;  2  . Тогда AC  2  j .
Если вектор a задан своими координатами, то его длина (модуль)
вычисляется по формуле:
a
ax 2  a y 2
(3)
Используя формулу (3), получаем длины векторов AВ и AC :
АВ 
АС 
 12   12
02   22
 2,
 4  2.
2) Известно, что орт вектора a можно найти по формуле:
0
а 
а
а
, т.е. a x0 
ax
а
, a 0y 
ay
(4)
а
0 1 1
Воспользовавшись формулами (4), получим: АВ  ;  .
 2
2
y
d1
0
-8 -7
-6 -5 -4
-3 -2
d2
Рис.1
-1
1
-1 1 2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
x
y
y
x
-1 0
1
2
3
4
5
6 7
x
8
-1 0
-2
A
-2
-3
B
-4
1
2
3
4
5
7
8
A
B
-3
-4
C
6
d2
C
d1
Рис.2
3) Найдем векторы d1  3 AB  2 AC и d 2  2 AB  3 AC аналитически.

 

d1  3 AB  2 AC  3  i  j  2  2 j  3 i  3 j  4 j   3 i  j .
Таким образом, d1  3;1 .

 

d 2  2 AB  3 AC  2  i  j  3  2 j  2 i  2 j  6 j   2 i  8 j .
Таким образом, d 2  2;8 (рис.1).
Найдем векторы
d1  3 AB  2 AC
и
d 2  2 AB  3 AC
геометрически
(рис.2).
Задачи контрольной работы
Даны координаты точек A, B, C . Требуется:
1) записать векторы АВ и АС в системе орт i , j и найти длины этих
векторов;
2) найти орт вектора АВ ;
3) изобразить векторы АВ и АС в координатной плоскости xOy ;
4) найти вектора
d1  3 AB  2 AC
и
d 2  2 AB  3 AC
аналитически и
геометрически.
2.1
А(-8; -3), В(4; -12), С(8; 10)
2.11 А(4; 0), В(7; 4), С(8; 2)
2.2
А(-5; 7), В(7; -2), С(11; 20)
2.12 А(-2; 7), В(10; -2), С(8; 12)
2.3 A(3; -1), В(7; 1), С(4; -2)
2.13 А(-6; 8), В(6; -1), С(4; 13)
2.4
А(-12; -1), В(0; -10), С(4; 12)
2.14 А (0; 2), В(3; 6), С(4; 4)
2.5
А(-10; 3), В(2; 0), С(6; 22)
2.15 А(-10; 5), В(2; -4), С(0; 10)
2.6
А(0; 0), В(3; 4), С(4; 2)
2.16 А(-4; 12), В(8; 3), С(6; 17)
2.7
А(-9; 6), В(3; -3), С(7; 19)
2.17 А(-3; 10), В(9; 1), С(7; 15)
2.8
А(3; -3), В(6; 1), С(7; -1)
2.18 А(4; -3), В(7; 1), С(8; -1)
2.9
А(1; 0), В(13; -9), С(17; 13)
2.19 А(2; -2), В(5; 2), С(6; 0)
А(0; 2), В(12; -7), С(16;15)
2.20 А(-1; 1), В(2; 5), С(3; 3)
2.10
2.2.Элементы векторной алгебры в пространстве
Решение типового примера
Пример 2.2.
Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Пусть А(0; 0; 1), В( 2; 3; 5),
С(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Требуется:
  
1) Записать векторы AB; AC; AD в системе орт i , j , k и найти модули
этих векторов;
2) Найти угол между векторами AB, AC ;
3) Найти проекцию вектора AD на вектор AB ;
4) Найти площадь грани АВС;
5) Найти объём пирамиды ABCD;
Решение.
1. Известно, что произвольный вектор a представляется в системе
  
орт i , j , k по формуле

a  ax i  a y j  az k,
где a x , a y , a z
(1)

координаты вектора a в системе координат, порождённой
ортами, причём
a x  пр ox a, a y  пр oy a, a z  пр oz a.
Если заданы точки M 1  x1 , y1 , z1 , M 2  x 2 , y 2 , z 2  , то для вектора a  M 1 M 2
a x  x 2  x1 , a y  y 2  y1 , a z  z 2  z1 ,
то есть
M 1 M 2  x 2  x1 i   y 2  y1  j   z 2  z1 k .
(2)
Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек A,
B, C, D, получим:
AB  2  0 i  3  0 j  5  1k  2i  3 j  4k ;
AC  6  0i  2  0 j  3  1k  6i  2 j  2k ;
AD  3  0 i  (7  0) j  (2  1)k  3i  7 j  k .
Если вектор a задан формулой (1),то его модуль вычисляется
следующим образом:
a  a x2  a 2y  a z2 .
(3)
Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:
AB  2 2  3 2  4 2  29 ;
AC  2 3 2  12  12  2 11;
AD  3 2  7 2  12  59 .
Известна формула
 
cos a,b 
ab
,
ab
 
где a  b скалярное произведение векторов a и b , которое можно
вычислить следующим образом:
 
a  b  a x b x  a y b y  a z bz .
У нас
cos   cos( AB, AC ) 
AB  AC

AB  AC
26  32  42
13

 0,7279,
2 29 11
319
то есть   43 .
3. Известно, что
прb a 
a b
,
b
то есть в нашем случае
пр AB AD 
AB  AD
AB

2  3  3  7  4 1
31

 5,76.
29
29
4. Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника,
построенного на векторах a и b
S

1
ab,
2

где a  b векторное произведение векторов, которое можно вычислить по
следующему правилу:

i

a  b  ax
bx

j
ay
by

k
az .
bz
1
AB  AC , причём
2
  
i j k



AB  AC  2 3 4  2(i  10 j  7 k ).
В нашем примере S ABC 
6 2
2
Таким образом,
S ABC 
1
 2 ( 1) 2  10 2  ( 7) 2  150  5 6 (кв. ед.).
2
Объём пирамиды, построенной на трёх некомпланарных векторах
  
a, b, c можно найти по формуле
V 
 
где a  b  c
1

ab c ,
6
 
смешанное произведение векторов, которое вычисляется
следующим образом:
ax
a  b c  b
x
cx
У нас V 

ay
az
by
cy
bz .
cz

1
AB  AC  AD , где
6
2 3 4
( AB  AC )  AD  6 2 2  2(2  14)  3(6  6)  4(42  6)  120 ,
371
1
6
то есть V   120  10 (куб.ед.).
Задачи контрольной работы
Даны координаты вершин пирамиды ABCD.
Требуется:
  
1) Записать векторы AB; AC; AD в системе орт i , j , k и найти модули
этих векторов;
2) Найти угол между векторами AB, AC ;
3) Найти проекцию вектора AD на вектор AB ;
4) Найти площадь грани АВС;
5) Найти объём пирамиды ABCD.
2.1 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.11 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
9), D(2; -1; 2).
2.2 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.12 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
9), D(2; -1; 2).
2.3 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.13 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
9), D(2; -1; 2).
2.4 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.14 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
9), D(2; -1; 2).
2.5 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.15 (2; -3; 1), В(6; 1; -1),
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.6 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.16 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.7 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.17 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.8 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.18 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; 9), D(2; -1; 2).
2.9 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.19 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.10 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
2.20 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1),
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
3 .ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ПЛОСКОСТИ
1. Метод координат. Виды уравнений прямой на плоскости.
2. Взаимное расположение 2 – х прямых на плоскости. Угол между 2 –
мя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2 – х прямых
на плоскости.
3. Кривые 2 – го порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола.
Решение типового примера
Пример 3.1.
Даны координаты вершин треугольника ABC: A(4; 3), B(16; - 6), C(20; 16).
Найти
1)
длину стороны АВ:
Расстояние d между двумя точками M1(x1; у1 ) и M2(x2; y2) на плоскости
определяется формулой
d  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 .
(1)
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
AB  (16  4) 2  ( 6  3) 2  15
2)
уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты:
Уравнение
x  x1
y  y1

.
x0  x1 y2  x1
(2)
является уравнением прямой, проходящей через две точки
М1 (x1; y 1) и M 2(x2 ; у2)
Подставляя в (2) координаты точек A и B, получим уравнение прямой АВ:
x4
y 3 x4 y 3

;

; 4y-12=-3x+12; или 3x+4y -24=0 (АВ).
16  4  6  3
12
9
Уравнение
y = kx + b
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k — угловой
коэффициент, b — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу,
считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то её угловой
A
B
коэффициент определяется по формуле k =  .
Решив последнее уравнение относительно y, находим уравнение стороны
АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
3
4
4y =-3x+24, или y = - x+6, откуда k АВ =  .
Аналогичным образом, подставляя координаты точек B и C в (2), находим
уравнение прямой BC: 11x- 2y -188=0 (ВС) откуда k ВС =
11
.
2
3) угол B:
Если известны угловые коэффициенты двух прямых k1 и k2, то один из
углов φ между этими прямыми определяется по формуле
tg 
k2  k1
1  k1k2
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и BC, угловые коэффициенты
которых известны из предыдущего пункта. Применяя (3), получим
3 11

4
2 = 2.
tgВ 
3 11
1  ( ) *
4 2

4) уравнение медианы АЕ:
Определим координаты точки Е, которая является серединой отрезка BC
по формулам координат середины данного отрезка:
x
x1  x2
,
2
Имеем для точки Е: x 
y
y1  y2
2
(4)
16  20
 6  16
 18 , y 
5
2
2
Таким образом, Е(18; 5).
Подставляя в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы АЕ:
x4
y 3 x4 y 3

;

; x-7y +17=0 (АЕ).
18  4 5  3
14
2
5) уравнение и длину высоты СД:
Уравнение
у — y0 = k(x—х0)
(5)
является уравнением прямой, которая проходит через точку М0 (х0 ; у0) и
имеет угловой коэффициент k.
Высота СД перпендикулярна стороне
перпендикулярности
2
–
х
АВ. Воспользуемся условием
прямых
на
плоскости.
Признаком
перпендикулярности двух прямых является соотношение
k1k2= —1 или k2= —
1
k1
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны
по абсолютной величине и противоположны по знаку. Отсюда
kCD= —
1
k AB
=
Подставив в (5) координаты точки С и kCD получим уравнение высоты СD:
у — 16 = (x—20); 4x-3y -32=0 (СD).
Для нахождения длины высоты СD определим координаты точки D как
точки пересечения прямых АВ и СD, решив совместно систему уравнений,
их задающих:
Откуда x = 8, y = 0, т.е. D (8; 0).
6)
уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр;
Уравнение окружности с центром в точке О(а; b) радиуса R имеет вид:
(x-a)2+(y-b)2=R2
(6)
Если СD есть диаметр, то центр окружности – точка О – есть середина СD .
Используя формулы (4) имеем для О:
x
20  8
16  0
 14 , y 
 8,
2
2
Таким образом, О(14; 8).
Если СD есть диаметр, то радиус окружности – есть отрезок СО .
Используя (1) найдем радиус:
R= CO  (14  20) 2  (8  16) 2  16  64  80
Тогда, (x-14)2+(y-8)2=80 – уравнение искомой окружности.
7) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне
АВ, и точку K ее пересечения с высотой СD:
Т.к. заданная прямая параллельна стороне АВ, то можем использовать
условие параллельности 2 – х прямых на плоскости: Признаком
параллельности
двух
прямых
является
коэффициентов
k1 =k2,
равенство
их
угловых
т.е. k = kAB = -3/4. Знаем, что прямая проходит через точку Е с заданным
угловым коэффициентом. Можем использовать уравнение (5):
у — 5 = -3/4(x—18); 4у — 20 = -3(x—18); 3x +4у - 2 = 0. (EL)
Точку K пересечения EL с высотой СD найдем, решив совместно систему
уравнений, задающих эти прямые:
Откуда, x = 8, y = -88/25, т.е. K (8; -88/25).
8)
систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Используя
неравенство
треугольника
(сумма
двух
любых
сторон
треугольника меньше третьей его стороны), получаем систему:
Из п. 2 известны 3x+4y -24=0 (АВ), 11x- 2y -188=0 (ВС). Запишем
уравнение АС, используя (2):
x4
y 3 x4 y 3

;

; 13(x-4)=16(y-3); 13x-16y-4=0 (АС).
20  4 16  3
16
13
Тогда, система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС
примет вид:
Или
Задачи контрольной работы
В задачах 3.1.1- 3.1.20 даны координаты вершин треугольника АВС.
Найти:
 длину стороны АВ;
 уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
 угол B в радианах;
 уравнение медианы АЕ;
 уравнение и длину высоты СД;
 уравнение окружности, для которой высота СД есть диаметр;
 уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне
АВ, и точку ее пересечения с высотой СД;
 систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.1.6
3.1.7
3.1.8
3.1.9
3.1.10
3.1.11
3.1.12
3.1.13
3.1.14
3.1.15
3.1.16
3.1.17
3.1.18
3.1.19
3.1.20
А(1;-1)
А(0;-1)
А(1;-2)
А(2;-2)
А(0;0)
А(0;1)
А(3;-2)
А(3;-3)
А(-1;1)
А(4;0)
А(2;2)
А(4;-2)
А(0;2)
А(4;1)
А(3;2)
А(-2;1)
А(4;-3)
А(-2;2)
А(5;0)
А(2;3)
В(4;3)
В(3;3)
В(4;2)
В(5;2)
В(3;4)
В(3;5)
В(6;2)
В(6;1)
В(2;5)
В(7;4)
В(5;6)
В(7;2)
В(3;6)
В(7;5)
В(6;6)
В(1;5)
В(7;1)
В(1;6)
В(8;4)
В(5;7)
С(5;1)
С(4;1)
С(5;0)
С(6;0)
С(4;2)
С(4;3)
С(7;0)
С(7;-1)
С(3;3)
С(8;2)
С(6;4)
С(8;0)
С(4;4)
С(8;3)
С(7;4)
С(2;3)
С(8;-1)
С(2;4)
С(9;2)
С(6;5)
Решение типового примера
Пример 3.2.
Определить вид кривой, построить, найти координаты
фокусов и эксцентриситет:
Пусть дана кривая 5 x 2  9 y 2  30 x  18 y  9  0 .
Решение:
Приведем данное уравнение к каноническому виду. Для этого
сгруппируем отдельно члены, содержащие переменные x и y :
5x
2
 

 30 x  9 y 2  18 y  9  0 .
В каждой из скобок вынесем коэффициент при квадрате переменной,
а затем выделим полный квадрат, используя формулы сокращенного
умножения a  b 2  a 2  2ab  b 2 :

 

5 x 2  30 x  5 x 2  6 x  5 x 2  2  3  x  32  32 .
Первые три слагаемые в скобках образуют полный квадрат разности
x  32 , следовательно


2
2
5 x 2  30 x  5  x  3  9  5 x  3  45 .
Аналогичные действия осуществим для переменной y :

 

9 y 2  18 y  9 y 2  2 y  9 y 2  2  1  y  12  12 .
Первые три слагаемые в скобках образуют полный квадрат суммы
 y  12 , следовательно

2

2
9 y 2  18 y  9  y  1  1  9 y  1  9 .
Тогда исходное уравнение примет вид:
2
2
5 x  3  45  9 y  1  9  9  0 ,
2
2
5 x  3  9 y  1  45  0 ,
2
2
5 x  3  9 y  1  45
x  32   y  12
9
5
: 45
 1.
X  x  3
. Произведенную замену будем
Y  y  1
Введем обозначения: 
рассматривать, как преобразование декартовых координат x; y  в
координаты  X ; Y  при параллельном сдвиге координатных осей. Причем
новое начало координат находится в точке O3;1 . В этой системе
координат наше уравнение примет вид:
X2 Y2

 1.
9
5
Это каноническое уравнение эллипса. Его полуоси a  3, b  5 .
Кроме того, c  a 2  b 2  9  5  4  2 , следовательно эксцентриситет

c 2
 . остается найти координаты вершин и фокусов эллипса. В новой
a 3
системе координаты вершин таковы: A1  3;0 , A 2 3;0 , B1 0; 5 , B2 0; 5  ;
координаты фокусов F1  2;0 , F2 2;0 . Так как старые координаты
x  X  3
, то, возвращаясь к
y  Y 1
выражаются через новые по формулам 
первоначальной системе координат получим:




A1 0;1, A 2 6;1, B1 3; 5  1 , B 2 3; 5  1 , F1 1;1, F2 5;1 .
Y
B2
X
A1
A2
B1
3.2.1 3 x 2  6 x  4 y 2  8 y  13  0
3.2.2 3 x 2  6 x  4 y 2  8 y  5  0
3.2.3 4 x 2  8 x  3 y 2  6 y  11  0
3.2.4 4 x 2  8 x  3 y 2  6 y  5  0
3.2.5 9 x 2  18 x  4 y 2  8 y  31  0
3.2.6 9 x 2  18 x  4 y 2  8 y  23  0
3.2.7 4 x 2  8 x  9 y 2  18 y  41  0
3.2.8 4 x 2  8 x  9 y 2  18 y  23  0
3.2.9 9 x 2  36 x  25 y 2  100 y  189  0
3.2.10 9 x 2  36 x  25 y 2  100 y  289  0
3.2.11
25 x 2  100 x  9 y 2  36 y  89  0
3.2.12 25 x 2  100 x  9 y 2  36 y  161  0
3.2.13
4 x 2  24 x  y 2  6 y  41  0
3.2.14 4 x 2  24 x  y 2  6 y  36  0
3.2.15
x 2  6 x  4 y 2  24 y  31  0
3.2.16 x 2  6 x  4 y 2  24 y  41  0
3.2.17
x 2  10 x  y 2  8 y  5  0
3.2.18 x 2  10 x  y 2  8 y  37  0
3.2.19
x 2  10 x  y 2  8 y  0
3.2.20 x 2  10 x  y 2  8 y  32  0
4.ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ.
Программные вопросы
1)
Что называется функцией, числовой последовательностью?
2)
Что
называется
пределом
числовой
последовательности,
функции?
3)
Сколько пределов может иметь числовая последовательность?
4)
Какие
величины
называются
бесконечно
большими,
бесконечно малыми?
5)
Какая связь существует между бесконечно большими и
бесконечно малыми величинами?
6)
Какие пределы называют первым и вторым специальными
пределами?
7)
Какими свойствами обладают пределы?
Решение типового примера
Пример 4.1. Найти указанные пределы.
1)
lim
x2
x 2  6x  5
;
2x 2  x  1
2) lim
x 3
2 x 2  3x  9
;
x2  x  6
3) lim
x 
2x2  x  4
.
3x 2  2 x  5
Решение.
x 2  6x  5
1) lim
x2 2 x 2  x  1
.
Воспользуемся
непосредственной
значения переменной: lim
x 2
2) lim
x 3
подстановкой
предельного
x 2  6x  5 2 2  6  2  5  3
1


 .
2
2
9
3
2x  x  1 2  2  2  1
2 x 2  3x  9
x2  x  6 .
При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
2 x 2  3x  9  2  3 2  3  3  9 0 

 .
2
x 3 x 2  x  6
0
 3 36
lim
Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности,
разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела на
множители, используя формулу: ax 2  bx  c  a x  x1 x  x 2  , где x1 , x 2 корни соответствующего квадратного уравнения ax 2  bx  c  0 .
2
2 x 2  3x  9  0 , D   3  4  2   9  9  72  81 ,
x1, 2
3
3  81 
3


, или x1  3 , x 2   .
6

4
2
 4
3
Тогда 2 x 2  3x  9  2x  3 x   или 2 x 2  3x  9  x  32 x  3 .
2

2
x 2  x  6  0 , D   1  4  1   6   1  24  25 ,
x1, 2 
1  25 3
  , или x1  3 , x 2  2 .
2
 2
Тогда x 2  x  6  x  3x  2 .
Подставим найденные разложения в исходный предел:
2 x 2  3x  9
x  32 x  3  lim 2 x  3  2  3  3  9 .
 lim
x 3 x 2  x  6
x 3 x  3 x  2 
x 3 x  2
3 2
5
lim
3) lim
x 
2x2  x  4
3x 2  2 x  5 .
При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
2x 2  x  4   
  .
x  3 x 2  2 x  5

lim
Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности,
вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби старшую степень
переменной:
1

x2 2  
2x  x  4
x
lim 2
 lim 
x  3 x  2 x  5
x
2

x2 3  
x

2
Так
как
x  ,
то
a
 0,
x
4 
1
2 
2 
x 
x
 lim
x


2
5 
3 
2 
x
x 
b
 0.
x2
Таким
непосредственной подстановки окончательно получаем:
4
x2 ,
5
x2
образом,
после
2x 2  x  4 2  0  0 2


x  3 x 2  2 x  5
300 3
lim
Задачи контрольной работы
В заданиях 4.1.1 – 4.1.20 найти указанные пределы.
4.1.1
lim
3x 2  5x  2
x  x0 2 x 2  x  6
;
a) x0  1 , b) x 0  2 , c) x0  .
4.1.2
3 x 2  2 x  10
x  x0 7 x  x 2  10
;
a) x0  1 , b) x 0  2 , c) x0  .
4.1.3
lim
lim
x  x0
2 x 2  15 x  25
5  4x  x2 ;
4.1.4
4x2  7x  3
lim
x  x0 2 x 2  x  1
;
4.1.5
lim
x  x0
2x2  9x  9
x 2  5x  6 ;
4.1.6
5x  x 2  4
x  x0 x 2  2 x  8
;
4.1.7
lim
lim
x  x0
x2  2x  8
2x 2  5x  2 ;
a) x0  1 , b) x 0  5 , c) x0  .
a) x0  1 , b) x 0  1 , c) x0  .
a) x 0  2 , b) x 0  3 , c) x0  .
a) x0  1 , b) x 0  4 , c) x0  .
a) x0  1 , b) x 0  2 , c) x0  .
4.1.8
lim
3x 2  2 x  1
x  x0 x 2  4 x  3
;
a) x 0  2 , b) x0  1 , c) x0  .
4.1.9
lim
6  x  x2
x  x0 3 x 2  8 x  3
;
a) x0  1 , b) x 0  3 , c) x0  .
4.1.10
lim
x3 1
x  x0 5 x 2  4 x  1
;
a) x 0  2 , b) x0  1 , c) x0  .
4.1.11
x 2  2x  8
lim
x  x0
8  x3 ;
a) x0  1 , b) x 0  2 , c) x0  .
4.1.12
lim
2x 2  x 1
x 2  3x  4 ;
a) x 0  2 , b) x 0  1 , c) x0  .
lim
x 2  3x  2
4  x  3x 2 ;
a) x 0  1 , b) x0  1 , c) x0  .
lim
x 2  5x  4
2 x 2  3x  5 ;
a) x 0  2 , b) x 0  1 , c) x0  .
4.1.13
4.1.14
x  x0
x  x0
x  x0
4.1.15
4 x 2  5x  1
lim
x  x0 3 x  x 2  2
;
a) x 0  1 , b) x0  1 , c) x0  .
4.1.16
3x 2  x  4
lim
x  x0 4 x  x 2  3
;
a) x 0  1 , b) x0  1 , c) x0  .
4.1.17
lim
x 2  5x  6
x  x0 3 x 2  x  14
;
a) x 0  2 , b) x 0  2 , c) x0  .
4.1.18
;
a) x0  1 , b) x 0  2 , c) x0  .
4.1.19
lim
x 2  6x  7
x  x0 3 x 2  x  2
;
a) x 0  2 , b) x 0  1 , c) x0  .
4.1.20
x 2  3x  2
lim
x  x0 14  x  3 x 2
;
a) x0  1 , b) x 0  2 , c) x0  .
Пример 4.2. Вычислить пределы:
а)
1 x  2
; б)
lim
x  3 4  1  5 x
3
lim
x5
x32
; в)
x32 2
lim 2 x 

4 x 2  3x .
x 
Решение.
а)
1 x  2
.
1  5x
lim 4 
x  3
При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
1 x  2  4  2 0

 .
1  5 x  4  16 0 
lim 4 
x  3
Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности,
домножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела на
величины, сопряженные числителю и знаменателю (т.е. на
1 x  2 и
4  1  5 x ):
 1  x  2 1  x  24  1  5 x   1  x  44  1  5x  
lim 16  1  5 x  1  x  2
1  5 x 4  1  5 x  1  x  2 
 x  34  1  5 x  1
x  34  1  5 x  1
4  1  5x
lim 15  5x  1  x  2   5  lim x  3 1  x  2   5  lim 1  x  2 
lim 4 
x  3
x  3
x  3
x  3
1 4  16
1 8
2
 
   .
5
5 4
5
42
x  3
3
б)
x32
.
x32 2
lim
x5
При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
 3 82
x3 2
0

 .
x  3  2 2  8  2 2 0
3
lim
x5
Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности,
введем новую переменную t r  x  3 , где r  ÍÎÊ 2;3 (т.е r есть наименьшее
общее кратное показателей радикалов, стоящих в числителе и в
знаменателе). В нашем случае r  6  t 6  x  3 . Кроме того,
x5
следовательно t  6 8 , или t  2 . Таким образом, мы получаем
3 6
x32
t 2
t2 
 lim
 lim
x  3  2 2 t 2 t6  8 t 2 t3 
3
lim
x 5
Однако,
непосредственная
подстановка
 2 .
 2
2
3
опять
приводит
к
0
неопределенности   , которую мы устраним, разложив числитель и
0
знаменатель дроби на множители, используя формулы сокращенного
умножения:
 2
t  2 t  2 
lim t   2   lim t  2 t  2  t  2  lim t
t2 
t 2
3
2
3
2
t 2

в)
lim 2 x 
2
t 2
t 2

 2 t  2
2 2
2 2
2


.
6
3
2 2 2 2

4 x 2  3x .
x 
При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
lim 2 x 

4 x 2  3 x     .
x 
Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности,
домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела на
величину, ему сопряженную (т.е. на 2 x  4 x 2  3x ):
lim 2 x 
x 

4 x 2  3 x  lim
x
2x 

4 x 2  3x 2 x  4 x 2  3x
2 x  4 x 2  3x

 lim
x
Однако,
4 x 2  4 x2  3x
2
2 x  4 x  3x
непосредственная
 lim
x
 3x
2 x  4 x 2  3x
подстановка
.
опять
приводит
к

неопределенности   , которую мы устраним, разделив числитель и

знаменатель дроби на x :
lim 2 x 
x 
 3x
4 x 2  3x
 lim
x 
4 x 2  3x
2
x
3
 lim
x
3
2 4
3
x

 lim
x 
3
4 x 2  3x
2
x2

3
3
 .
4
2 4
Задачи контрольной работы
В заданиях 4.2.1 – 4.2.20 найти указанные пределы.
4.2.1
lim
x 1
4.2.3
lim
x 1
4.2.5
x 1
x 1
.
x2 1
4.2.8
lim
1 x  3
.
23 x
4.2.10
lim
1  2 x  x 2  (1  x )
.
x
4.2.12
lim
x 2
4x  2
2  x  2x
lim
x 3
2 x  x6
.
x2  x  6
3
4.2.13
4.2.4
lim
x0
lim
x 16
4.2.6
x  8
4.2.11
2
4.2.2
x  12  4  x
.
x 2  2x  8
x  2
4.2.9
3
4
.
lim
x  4
4.2.7
x 1
x 2
x 4
x 2  x  12
x2  4 x
x 3
x  12  3
.
2
 x  21
lim
3  2x  x  4
.
3x 2  4 x  1
lim
x  13  2 x  1
.
x2  9
x 1
lim
1 x  1 x
7
x0
3
4.2.14
.
lim 2 x
x 3
.
.
lim
x 3
x
9x  3
3  x  2x
.
.
3
4.2.15
lim
4  x  2x
x 4
3
4.2.17
lim
x  2
4.2.19
lim
16 x  4
.
4.2.16
x 8
x6 2
.
x3  8
4.2.18
3
lim
x 4
1  2 x  3 x 2  (1  x )
x0
lim
x
9  2x  5
3
lim 2 x
x6
.
5x  5  5
.
x 2
3
4.2.20
.
x 2
2
36 x  6
.
 5 x  42
Пример 4.3. Вычислить, используя первый замечательный предел:
lim
x0
x sin 2 x
.
tg 2 4 x
Решение.
При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
lim
x0
x sin 2 x  0 

.
tg 2 4 x  0 
В данном случае для освобождения от неопределенности будем
использовать первый замечательный предел
sin x
x
 lim
 1 . Для
x 0
x 0 sin x
x
lim
этого сначала домножим числитель и знаменатель дроби под знаком
предела на 2 x и воспользуемся свойствами пределов (предел произведения
равен произведению пределов, если эти пределы существуют):
2
2
 x 

x sin 2 x
2 x  x sin 2 x
sin 2 x
2x2
x  0
lim 2
 lim

lim

lim
 1  2 lim 
  2   lim
   
2
2
x  0 tg 4 x
x 0 2 x  tg 4 x
x 0
x 0 tg 4 x
2 x x0 tg 4 x


 x0 tg 4 x   0 
.
Таким образом, нам не удалось избавиться от неопределенности.
Воспользуемся формулами тригонометрии tgx 
sin x
и еще раз применим
cos x
первый замечательный предел и свойства пределов:
2
2
2

x 
x  cos 4 x 
4 x  cos 4 x 


  2   lim
2   lim
  2   lim
 
x 0 tg 4 x 
x 0 sin 4 x
x 0 4 sin 4 x






2
2
2
4x
cos 4 x 
cos 4 x 


1 1
 2   lim
 lim
  2  1  lim
  2   .
 x0 sin 4 x x0 4 
 x0 4 
4 8
Задачи контрольной работы
В заданиях 4.3.1 – 4.3.20 найти указанные пределы, используя
первый замечательный предел.
4.3.1 lim
arctg 2 x
.
4x
4.3.2 lim
xtg 3x
.
sin 2 2 x
4.3.3 lim
arcsin 2 x
.
4x
4.3.4 lim
sin 5 xtg 3x
.
x2
x0
x0
x0
x 0
sin 6 x
.
x  0 tg 2 x
4.3.6 lim
2 xtg 4 x
.
x  0 sin 2 6 x
4.3.8 lim
sin 8 x
.
x  0 tg 5 x
4.3.10 lim
3x cos 5 x
.
x  0 sin 3 x
4.3.5 lim
sin 2 xtg 4 x
.
x 0
x2
4.3.7 lim
4 x cos 7 x
.
x  0 sin 2 x
4.3.9 lim
4.3.11 lim
x0
3xtg 2 x
.
sin 2 3x
4.3.12 lim
x 0
sin 3 xtg 2 x
.
x2
4.3.13 lim
x0
sin 6 x
.
tg 2 x
4.3.14 lim
x0
5 x cos 8 x
.
sin 10 x
2 xtg 4 x
.
x  0 sin 2 6 x
sin 2 xtg 3x
.
x 0
x2
4.3.15 lim
4.3.16 lim
4.3.17 lim
x0
sin 7 x
.
tg 3x
4.3.18 lim
x0
4 x cos 5 x
.
sin 8 x
4.3.19 lim
x0
sin 3 x
.
tg 5 x
4.3.20 lim
x 0
sin 6 xtg 2 x
.
x2
Пример 4.4. Вычислить, используя второй замечательный предел:
 2n  1 
а) nlim


  2n  3


Решение.
2n  1 

n  2n  3


а) lim 
4 n 1
.
4 n 1
3n  5
; б) lim
n2
4
n2
n2
 2n  1 

 .
; в) nlim
  3n  4


При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
 2n  1 
lim 

n   2n  3


4n 1
 
 1 .
В данном случае для освобождения от неопределенности будем
x
использовать второй замечательный предел
 1
lim 1    e . Для этого
x 
 x
представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно
малой величины:
2n  1 2n  3  4
(4)

1
.
2n  3
2n  3
2n  3
Т.о. наш предел примет вид:
 2n  1 
lim 

n  2n  3


4 n 1
(4) 

 lim 1 

n 
 2n  3 
4 n 1
.
1
4
Введем такую новую переменную y , что y  2n  3
n
 y
2n  3
,
4
 4y  3
3
или n  2 y  . При n   переменная y   . Показатель
2
2
степени примет вид:
3

4n  1  4  2 y    1  8 y  5 .
2

Таким образом, пользуясь свойствами пределов и правилами
действия со степенями, будем иметь:
(4) 

lim 1 

n 
 2n  3 
4 n 1
 1
 lim 1  
y  
y

8 y  5
 1  8 y  1  5 
 lim 1    1    
y  
y
y 



8
5
5
 1  8 y 
 1  y 
 1
 1
 lim 1     lim 1    lim 1     lim 1   
y  
y  
y   y  
y
y   y  
y




8
y
5

 1 
 1
  lim 1     lim 1    e 8  15  e 8 .
y   y  
y
 y  

4
б) lim
3n  5n2 .
n2
При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
4
 
lim 3n  5n  2  1 .
n2
В данном случае для освобождения от неопределенности будем
1
использовать второй замечательный предел lim
1  y  y  e . Для этого
y 0
положим 3n  5  1  x , или n 
степени примет вид:
x6
x6
x
, n2
 2  , тогда показатель
3
3
3
4
4 12

 . При n  2 , x  0 .
n2 x
x
3
Выразив основание и показатель степени через
x,
а также
воспользовавшись свойствами пределов и правилами действия со
степенями, получим
lim 3n  5
4
n2
n2
12
x
 lim 1  x 
x 0
12
12
1
1
 lim 1  x  x   lim 1  x  x   e12 .
x0 

 x 0

n2
2n  1 
в) lim 
 .
n   3n  4


При непосредственной подстановке получаем неопределенность:
 2n  1 
lim 

n   3n  4


n2
 
 1 .
В данном случае для освобождения от неопределенности будем
x
 1
использовать второй замечательный предел lim
1    e . Преобразуем
x 
 x
выражение, стоящее в скобках. Для этого представим основание в виде
суммы единицы и некоторой дроби:
 2n  1 
lim 

n   3n  4



 ( n  5) 
 lim 1 

n  
3n  4 


3n  4
(  n  5)
n2





 3n  4  n  5 
 lim 

n 
3n  4


( n  5)  n 2
3n  4
e
( n  5) n 2
 lim
n  3n  4
n2
 ( n  5) 
 lim 1 

n 
3n  4 

 lim
n 
e
(1 5 )  n 3
n
n 3  3 2  4 3 
 n
n 
 lim
n 
e
n2

3
1 5 
n
4
2
n
n3
 e  0 .
Задачи контрольной работы
В заданиях 4.4.1 – 4.4.20 найти указанные пределы, используя второй
замечательный предел.
n
n  1
 .
 n 1 
4.4.1 lim 
n 
2n  3 

 2n  1 
4.4.2 lim 
n
n4
4.4.3
 n2  1 
lim  2  .
n
 n 
4.4.5
 n  10 
lim 

n  n  1


4.4.7
 6n  7 
lim 

n  6n  4



4.4.9 nlim
1 


.
n1
4.4.4
4.4.6
lim 2 n  5 n  2 .
.
3
n  2
3n  2
4.4.8
.
2n
1
lim 2n  3n 1 .
n  1
n 3

 n  5

4.4.10 nlim


.
n4
.
n2
n 1
4.4.11 lim 
 .
n n  1


.
 n 1 
lim 

n n  3


3 n 1
3 

n 4
n
4.4.12 lim 5  2 n n  2 .
n2
2n
 10n  3 
4.4.13 nlim

 .
  10n  1


 n  3
4.4.14 nlim


 n  1


n 2
.
n
2
4.4.15 lim 7  2 n n 3 .
n 3
4.4.16 lim 4  3n n 1 .
n 1
2 

4.4.17 nlim
1 


 3n  2 
 2n  1 
4.4.19 nlim


  2n  1


n 1
6 n 1
.
 3n  1 
lim 

n   3n  1


4.4.18
2n  3
n
n 1
.
1
6
4.4.20 lim  n  5  .
n n  7


5. ПРОИЗВОДНЫЕ
Программные вопросы
1. Сформулируйте определение производной.
2. Каков геометрический смысл производной?
3. Что
называется
касательной
к
кривой?
Напишите
уравнение
касательной к графику функции y = f(x).
4. Каков механический смысл первой и второй производной?
5. Каковы правила вычисления производных от суммы, произведения,
частного двух функций?
6. Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции.
Решение типового примера
Пример 5. Продифференцируйте указанные функции, пользуясь
правилами и формулами дифференцирования.


a) y  ln cos x 4  3x 2 ,
2
в) y  (6sin 7 x  5
x3  8
5
 17) , г) y 
b) y  3 arctg 7 x  sin 2 6 x 
arccos 5 x
, д) y  x 2  cos 3 x
5x
6
e  7x


1
x 1
.
РЕШЕНИЕ.


а) y  ln cos x 4  3 x 2 .
Это сложная логарифмическая функция, которая дифференцируется
по формуле: ln u  
u
.
u


cos x 4  3 x 2
 sin x 4  3 x 2  x 4  3 x 2

y 


cos x 4  3x 2
cos x 4  3x 2





 sin x  3x   x 4  3 x 2


4
cos x  3 x 2
4

2
1

2

 sin x 4  3x 2  x 4  3x 2

1

1

 sin x 4  3 x 2  x 4  3 x 2 2  x 4  3x 2

 
2

cos x 4  3 x 2

1
  4 x
4
2 cos x  3 x
2
3
 6x
2

 


sin x 4  3 x 2  4 x 3  6 x
4
2
4

2 x  3 x  cos x  3 x 2
.
Окончательно получаем:
y  

sin x 4  3 x 2  2 x 3  3x
4
2
4
x  3 x  cos x  3 x
   2 x
2
3
 3x
4
x  3x
  tg
2
x 4  3x 2 .
При решении использовали формулы дифференцирования:
cos u    sin u  u ,
u   n  u
n
n1
 u .
б) y  3 arctg 7 x  sin 2 6 x  .
Данная
функция
представляет
собой
произведение
сложной
показательной функции 3 arctg 7 x и сложной степенной функции sin 2 6 x  .
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:
u  v   u  v  u  v , а также формулами дифференцирования показательной и
степенной функции:
a   a
u
u

 ln a  u  , u n  n  u n1  u .
 


y  3arctg 7 x  sin 2 6 x   3arctg 7 x  sin 2 6 x  






 3arctg 7 x  ln 3  arctg 7 x   sin 2 6 x   3arctg 7 x  2 sin 6 x  sin 6 x  
Для того, чтобы закончить дифференцирование воспользуемся
формулами дифференцирования сложной обратнотригонометрической и
тригонометрической функций: arctgu  
y  3
arctg 7 x
u
, sin u   cos u  u .
2
1 u


7 x

 ln 3 
 sin 2 6 x   3arctg 7 x  2 sin 6 x  cos 6 x  6 x  
2
1  7 x 
y  3arctg 7 x  ln 3 
2
в) y  (6sin 7 x  5
7
 sin 2 6 x   3arctg 7 x  6 sin 12 x .
2
1  49 x
 17) 5 .
3
x 8
Это сложная степенная функция, которая дифференцируется по

формуле: u n   n  u n  u .
4

 sin 7 x
  sin 7 x
1
2
y  5   6

 17    6
 2  x 3  8 5  17  
5

x3  8

 


4

 
6

2
 2
 5   6sin 7 x 
 17    6sin 7 x  ln 6  sin 7 x    x 3  8 5  x 3  8  
5
5

x3  8

 



2
 5   6sin 7 x  3
 17 
5
x 8


4
 


6x2
  6sin 7 x  ln 6  7  cos 7 x 
6

5  5 x3  8




.


При решении использовали формулы дифференцирования:
a   a
u
г) y 
u


 ln a  u  , sin u   cos u  u , u n  n  u n1  u .
 
arccos 5 x
.
e5 x  7 x 6
Данная
функция
представляет
собой
частное
сложной
обратнотригонометрической функции и разности сложной показательной и
степенной
функций.
Воспользуемся
правилом
дифференцирования

u
uv  uv
частного   
, а также формулами дифференцирования:
2
v
v

arccos u 
u


1 u
2

, eu   eu  u , x n   n  x n1 .

5  e5 x  7 x 6

arccos 5 x   e
y 
5x
6


5x
 7 x  arccos 5 x  e  7 x
e

5x
 7 x6


2

6


1  5 x 
2

  arccos 5x  5e
e


5x
 7x6
5  e5 x  7 x 6  arccos 5 x  5e5 x  42 x5  1  5 x 
д) y  x 2  cos 3x 
e
1
x 1
.
5x

2
 7 x 6  1  5 x 
2
2
.

2
5x
 42 x 5


Это
показательно
–
степенная
функция,
которую
можно
продифференцировать, используя формулу
u   vu
v
v 1
u  u v v ln u ,
но эта формула сложна для запоминания, поэтому мы поступим
иначе:
1.
прологарифмируем обе части равенства и воспользуемся
свойствами логарифмической функции ln x a  a  ln x 

ln y  ln x 2  cos 3x

1
x 1

1
.
x 1

 ln x 2  cos 3 x 
2. продифференцируем обе части равенства, считая y сложной
функцией


y
1
 1 
2
2
 ln x  cos 3 x 
 ln x  cos 3 x  
 
y
x 1
 x 1 
 




 cos 3 x
1
 1
3 

 ln x 2  cos 3x     x  1 2  ,
2
x  cos 3x
x 1
 2

x
2



Или


y
2 x  3 sin 3 x
ln x 2  cos 3x
 2

.
y
x  cos 3 x  x  1
2  x  13




3. Из полученного равенства выразим y


2 x  3 sin 3x
ln x 2  cos 3x


y 

 x 2  cos 3x  x  1
2  x  13





   x


2
 cos 3x

1
x 1
.
Задачи контрольной работы
В заданиях 5.1.1 -5.1.20 продифференцировать указанные функции,
пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
5.1.1
а) y  ln arctg 2 x  ,
б) y  cos3 x   e sin x ,
в) y  (3x  4  3 x  2 ) 4 ,
д) y  (arctg3x)
ln  arctgx 
г) y 
.
5.1.2 а) y  cosln 5 x  ,
в) y  (3 x 2  2  3 x 2  1) 2 ,
4 x  7tgx
1  9x2
,
б) y  2 3 x  tg 2 x ,
г) y 
sin x
д) y  x e .
arcsin 3x
,
1  8x 2
5.1.3 а) y  cos x 2  3 ,
в) y  (4 x 2 
3
 4)3 ,
x
б) y  2 tgx  ln 2 x ,
г) y 
д) y  (sin x )ln cos x  .
5.1.4 а) y  arcsin ln 4 x  ,
б) y  2 8 x  tg 3x ,
в) y  ( x 5  3 x  1) 5 ,
г) y 
5x
д) y  sin 4 x e .
5.1.5 а) y  sin ln 5 x  ,
в) y  (6 x 2 
2
 5) 2 ,
x4
г) y 
3
в) y  ( x3  4  4 x3  2)3 ,
г) y 
x
в) y  ( x 2 y  2  5 x  4) 4 ,
д) y  (3 x)
arcsin 9 x
г) y 
2x
5.1.9 а) y  arcsin ln 2 x  ,
,
arctg 7 x
,
2  9 x2
x3  e x
4  9 x3
,
б) ,
в) y  ( x 4  2  3 x  1) 2 ,
д) y  (ctg 3x)e .
3x 2  4
б) y  e ctgx  cos 6 x ,
.
5.1.8 а) y  ln cos 5 x  ,
cos 3 x
б) y  3tgx  arcsin x 2  ,
д) y  (arcsin x)e .
5.1.7 а) y  sin ln 2 x  ,
1  4x2
,
2 x  tgx
б) y  e ctgx  sin 4 x ,
д) y  (ln x) x .
5.1.6 а) y  ln sin 6 x  ,
arcsin 7 x
,
x4  e x
г) y 
3  5x3
,
e x  ctgx
3
б) y  e x  tg 7 x ,
1
 7 )3 ,
4
x
в) y  (3x 5 
г) y 
x 4  tgx
4x2  7
,
tgx
д) y  x e .
5.1.10 а) y  ln cos 7 x  ,
б) y  2 sin x  arcsin 2 x ,
в) y  ( 2 x 4  3  3 x  1) 4 ,
г) y 
4x
д) y  (tgx)e .
5.1.11 а) y  arctg ln 8 x  ,
в) y  (3x5  2  4 x  8) 5 ,
д) y  (sin x)
ln(cos x )
б) y  e arcsin x  ctg 3 x ,
г) y 
3
 4)2 ,
x2
5x2 1
г) y 
cos x
5.1.13 а) y  arctg ln 5 x  ,
в) y  (5 x 2  3  5 x 2  2)3 ,
4
г) y 
д) y  ( x  4) .
г) y 
д) y  (ctgx )ln x .
5.1.15 а) y  arctg ln 7 x  ,
4
 1) 2 ,
4
x
г) y 
г) y 
5.1.17 а) y  arctg ln 5 x  ,
,
arctg 2 x
,
x4  ex
tgx  sin x
x2  1
,
б) y  5 6 x  arcsin 5 x ,
в) y  (e x  cos 3 x  1) 6 ,
д) y  ( x 4  5)ctgx .
4  2 x3
б) y  e sin x  arccos 3 x ,
д) y  (arctg 2 x )sin x .
5.1.16 а) y  ln sin 7 x  ,
2 x  ctgx
б) y  4 tgx  arctg 3x ,
в) y  ( 4 x 4  3  3 x  2)3 ,
3
2  3x5
,
sin 2 x
б) y  e x  arcsin 2 x ,
tgx
5.1.14 а) y  ln cos 4 x  ,
,
б) y  5 arctgx  sin 4 x ,
д) y  x e .
в) y  (2 x3 
ctgx  cos x
.
5.1.12 а) y  ln arcsin 3 x  ,
в) y  ( x 3 
2  x2
,
cos 2 x
x 3  sin x
,
tgx
б) y  e arcsin x  cos 4 x ,
в) y  (2sin x 
4
 5)8 ,
x 1
г) y 
ln 4 x  x 5
,
x3  3x
5x
2
д) y  (sin x) .
5.1.18 а) y  ln arcsin 2 x  ,
в) y  (esin x 
б) y  4 arctgx  cos 6 x ,
4
 10) 7 ,
x 1
г) y 
д) y  ( x 2  1)cos x .
5.1.19 а) y  sin ln 7 x  ,
sin 4 x  x 3
,
x 2  3x 7
б) y  e sin x  arctg 3 x ,
в) y  10cos x  ln x  10 x  ,
4
г) y 
д) y  (sin x) x .
5.1.20 а) y  ln cos 6 x  ,
cos 4 x  2 x15
,
x13  3x 2
б) y  2 arctgx  arcsin 2 x ,
в) y  eln x  arctg 5 x  10 x 5  ,
4
x
д) y  (sin x ) e .
г) y 
sin 3x  2 cos x
,
x10  3x12
6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Программные вопросы
1. Область определения функции.
2. Исследование функции на четность, нечетность и
периодичность.
3. Нахождение участков непрерывности функции и точки разрыва
с указанием вида разрыва.
4. Точки пересечения с осями координат.
5. Асимптоты графика функции.
6. Интервалы возрастания и убывания функции.
7. Экстремумы функции.
8. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба
функции.
Решение типового примера
Пример 1.1.
Исследовать заданную функцию y 
1 3
x  9 x 2  15 x  9
4


методами
дифференциального исчисления, начертить ее график.
Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить
по следующей схеме:
1)
найти область определения функции D(y) и исследовать функцию на
непрерывность, найти точки разрыва функции, ее односторонние пределы
в точках разрыва;
2)
проверить четность (нечетность) функции;
3)
найти точки экстремума функции и определить интервалы ее
монотонности;
4)
найти точки перегиба графика функции и определить интервалы
выпуклости и вогнутости графика;
5)
найти наклонные асимптоты графика функции;
6)
построить график, используя результаты предыдущих исследований.
Решение.
1) Областью определения данной функции являются все действительные
значения аргумента x, то есть D ( y ) : x  (, ) , а это значит, что функция
непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных
асимптот.
2)
Исследуем функцию на четность (нечетность), для чего рассмотрим
y  x  :
y  x  
1
 x 3  9 x 2  15   x   9  1  x3  9 x 2  15 x  9 .
4
4

 

Таким образом, мы видим, что y  x   y x  . Следовательно, функция не
является четной.
1

y  x     x 3  9 x 2  15 x  9  .
4



Таким образом, мы видим, что y  x    y x  . Следовательно, функция не
является нечетной. Поэтому, делаем вывод, что график функции - общего
вида.
3)
Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С
этой целью найдем ее производную и приравняем ее к нулю:
y 
1 2
3x  18 x  15 , y  0  3 x 2  18 x  15  0 , x 2  6 x  5  0 .
4


Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что
функция имеет две критические точки x1 = – 5, x2 = – 1. Разбиваем область
определения этими точками на части и по изменению знака производной в
них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
x
 ;5
–5
 5;1
–1
 1; 
f ( x )
+
0
–
0
+
f(x)
4)
max
min
ymax  y  5 
1
 53  9   52  15   5x  9  4 ,
4
ymin  y  1 
1
 13  9   12  15   1x  9  4 .
4




Определим точки перегиба графика функции и интервалы его
выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную
заданной функции и приравняем ее к нулю:
y 
1
6 x  18 , y  0  6 x  18  0  x  3 .
4
Итак, функция имеет одну критическую точку x  3 . Разобьем область
определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим
знак второй производной:
x
 ;3
–3
 3; 
f  x 
–
0
+
f(x)
т. п.
Значение x  3 является абсциссой точки перегиба графика функции,
а ордината этой точки yпер  y  3 
5)
1
3
2
 3  9   3  15   3  9  0 .
4


Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот.
Для
определения
параметров
уравнения
асимптоты
воспользуемся формулами
k  lim
x 
f x 
, b  lim
 f x   kx  .
x
x
Имеем
1 3
x  9 x 2  15 x  9
1
9
k  lim 4
 lim  x 2  9 x  15     .
x
x 4
x
x



y  kx  b
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
6)
Для построения графика в выбранной системе координат изобразим
9
точки максимума À1(- 5; 4 ) , минимума À2(- 1;-4 ) , перегиба A3  0;  . С учетом

4
результатов предыдущих исследований построим кривую.
A1
A3
A2
Задачи контрольной работы
В примерах с 6.1.1-6.1.20 исследовать заданные функции методами
дифференциального исчисления, начертить их графики.
6.1.1 y  2 x 3  9 x 2  12 x  5 .
6.1.2 y  x 3  6 x 2  9 x  1 .
6.1.3 y  x 3  3x 2  9 x  10 .
6.1.4 y  x 3  3x 2  9 x  10 .
6.1.5 y  x 3  6 x 2  9 x  2 .
3
2
6.1.6 y  2 x  3 x  12 x  5 .
6.1.7 y  2 x 3  3 x 2  12 x  8 .
6.1.8 y  2 x3  9 x 2  12 x  7 .
3
6.1.10
2
6.1.9 y  2 x  15 x  36 x  32 .
y  2 x 3  3x 2  36 x  20
.
6.1.11
y  2 x 3  3 x 2  36 x  21
6.1.12
.
6.1.13
.
y  2 x 3  15 x 2  24 x  4
6.1.14
.
6.1.15
y  2 x3  9 x 2  24 x  61
.
y  2 x 3  9 x 2  24 x  56
6.1.16
.
6.1.17
y  2 x 3  15 x 2  36 x  32
y  2 x 3  15 x 2  24 x  2
.
y  x 3  9 x 2  24 x  18
6.1.18
y  x 3  3x 2  24 x  26 .
6.1.20
y  x 3  9 x 2  24 x  17 .
.
6.1.19
y  x 3  3x 2  24 x  21
.
Решение типового примера
Пример 6.2.
Исследовать заданную функцию
x 2  20
y
.
x4
Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить
по
следующей схеме:
1) найти область определения функции D(y)
2) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва
функции, ее односторонние пределы в точках разрыва;
3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее
монотонности;
4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы
выпуклости и вогнутости графика;
5) найти наклонные асимптоты графика функции;
6) построить
график,
используя
результаты
предыдущих
исследований.
Решение.
1) Область определения.
D ( y )  { x  (  ; 4)  (4;  )}.
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим
ее односторонние пределы в этой точке:
x 2  20
lim f ( x )  lim
 ;
x 4  0
x  4 0 x  4
x 2  20
 .
x 4 0 x  4
lim f ( x )  lim
x  4 0
Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой
разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.
3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.
y 
2 x ( x  4)  ( x 2  20) x 2  8 x  20 x 2  8 x  20

;
 0, x 2  8 x  20  0,
2
2
2
( x  4)
( x  4)
( x  4)
х1 = – 2, х2 = 10.
(– ∞, –
x
2)
f ( x )
+
f(x)
–2
(– 2, 4)
4
(4, 10)
10
0
–
не сущ.
–
0
max
(10, +
∞)
+
min
y max  y (  2)   4; y min  y (10)  20.
4) Исследование
графика
на
выпуклость,
перегиба.
y  
(2 x  8)( x  4) 2  2( x  4)( x 2  8 x  20)

( x  4) 4
2( x  4)  ( x  4) 2  ( x 2  8 x  20) 
( x  4)
4

36
.
( x  4)3
вогнутость,
точки
Так как y   0 , то график заданной функции точек перегиба не
имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и
вогнутости:
x
(– ∞, 4)
4
(4, + ∞)
–
не сущ.
+
f ( x )
f(x)
5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.
20
)
f ( x)
x  20
x 2  1.
k  lim
 lim 2
 lim
x 
x  x  4 x
x 
4
x
x 2 (1  )
x
2
x 2 (1 
 x 2  20

4 x  20
b  lim( f ( x )  kx )  lim  2
 x   lim
 4.
x 
x 
 x 4
 x  x  4
Таким образом, прямая y  x  4 – наклонная асимптота графика.
6) Построение графика.
Очевидно, график заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –
5) и на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований
имеет вид, представленный на рис. 2.
Рис. 2
Задачи контрольной работы
В задачах с 6.2.1-6.2.20 исследовать заданные функции методами
дифференциального исчисления, начертить их графики.
x2 1
6.2.1 y 
x
x2
6.2.2 y 
x 1
6.2.3 y 
x2  3
x2
6.2.4 y 
x2  8
x3
6.2.5 y 
x2  9
x4
6.2.6 y 
x2  4
x
6.2.7 y 
x2  3
x 1
6.2.8 y 
x2  5
x2
6.2.9 y 
x2  5
x3
6.2.10
y
6.2.12
x2  8
y
x 1
x 2  15
x4
6.2.11
x2  9
y
x
6.2.13
y
x 2  21
x2
6.2.14
y
x 2  16
x3
6.2.15
y
x 2  12
x4
6.2.16
y
x 2  25
x
6.2.17
y
x 2  24
x 1
6.2.18
y
x 2  32
x2
6.2.19
y
x 2  27
x3
6.2.20
y
x2  7
x4
7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
Программные вопросы
1)
Что называется мнимой единицей?
2)
Что называется комплексным числом?
3)
Как изображаются комплексные числа?
4)
Что называется модулем и аргументом комплексного числа?
5)
Арифметические действия с комплексными числами в
алгебраической и тригонометрической форме.
6)
Возведение комплексного числа в натуральную степень.
7)
Сколько значений имеет корень n-степени из комплексного
числа?
Решение типового примера
Пример 7.1.
Пусть даны комплексные числа z1  5  5i , z 2  4  7i , r  7, p  4 .
а) Вычислить в алгебраической форме: z1  z2 , z1  z2 ,
z2
, z2 2 .
z1
б) Изобразить z1 и z2 в комплексной плоскости.
в) Записать z1 в тригонометрической форме.
г) Найти z1r и p z1 .
Решение.
а) Вычислить в алгебраической форме: z1  z2 ,
z1
, z1  z2 , z2 2 .
z2
Подставим вместо z1 и z 2 их значения и раскроем скобки:
z1  z 2  5  5i   4  7i   20  35i  20i  35i 2 .
Приведем подобные члены и воспользуемся определением мнимой
единицы: i 2  1 , тогда получим
z1  z 2  20  35  55i  15  55i .
Вычислим
z1 5  5i

. Домножим числитель и знаменатель на число,
z 2 4  7i
сопряженное знаменателю, т.е. на 4  7i :
z1 5  5i   4  7i  20  35i  20i  35i 2
.


z 2 4  7i   4  7i 
16  49i 2
Воспользуемся определением мнимой единицы:
i 2  1 ,
тогда
получим:
z1 20  15i  35 55  15i 55 15i 11 3




  i.
z2
16  49
65
65 65 13 13
Найдем z1  z 2 :
z1  z2  5  5i   4  7i   5  4  5  7 i  9  12i .
Вычислим z2 2 :.
2
2
2
z 2  4  7i   4 2  2  4  7i  7i   16  56i  49i 2  16  56i  49  33  56i .
б) Изобразить z1 и z2 в комплексной плоскости.
Y
z2
z1
X
O
в) Записать z1 и z2 в тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа z    i
имеет вид: z  z  cos  i sin   , где z   2   2 ,   arctg

.

5
5
В нашем случае: z1  5  5i  z1  52  52  50 ,   arctg  arctg1 

.
4
Т.о. тригонометрическая форма записи комплексного числа



z1  50   cos  i sin  .
4
4

г) найти z1r и p z1 .
Для возведения комплексного числа в степень и извлечения корней
используются формулы Муавра:
n
z n  z  cosn   i sin n  ,
n
  2k  
  2k   

z  n z   cos
 i sin
,
n
n


k  0;1;2...; n - 1 .
Таким образом
7
z1 
4
z1  4
 50    cos 74  i sin 74  
7


 2
2 
507 

i .
2 
 2




 2k  
 2k   

,
50   cos 4
 i sin 4
4
4






k  0;1;2;3 .
Следовательно:
4
k 0 
k 1 
4

 

z1  8 50   cos  i sin  ,
16
16 

9
9 

z 1  8 50   cos  i sin  ,
16
16 

k 2
4
17 
17  

z 1  8 50   cos
 i sin
,
16
16 

k 3
4
25
25 

z 1  8 50   cos
 i sin
.
16
16 

Задачи контрольной работы
В заданиях 7.1.1 – 7.1.20 даны комплексные числа z1 и z2 .
а) Вычислить в алгебраической форме: z1  z2 , z1  z2 ,
б) Изобразить z1 и z2 в комплексной плоскости.
в) Записать z1 в тригонометрической форме
г) Найти z1r и p z1 .
7.1.1 z1  2, z2  3  i , r  5, p  3 .
7.1.2 z1  3, z2  3  i , r  3, p  3 .
7.1.3 z1  1  i, z2  3  i , r  5, p  3 .
7.1.4 z1  1  i, z2  2  i , r  3, p  4 .
7.1.5 z1  1  3  i, z2  2  i , r  5, p  4 .
7.1.6 z1  1  3  i, z2  2  i , r  3, p  4 .
7.1.7 z1  3  3  i, z2  2  i , r  5, p  4 .
7.1.8 z1  3  3  i, z2  3  i , r  3, p  3 .
7.1.9 z1  2  2i, z2  3  2i , r  5, p  3 .
7.1.10 z1  2  2i, z2  3  4i , r  3, p  3 .
z2
, z1  z2 2 .
z1
7.1.11 z1  2  2 3  i, z2  4  2i , r  5, p  3 .
7.1.12 z1  2  2 3  i, z2  4  2i , r  3, p  3 .
7.1.13 z1  3, z2  4  2i , r  5, p  3 .
7.1.14 z1  i, z2  2  2i , r  4, p  3 .
7.1.15 z1  2i, z2  2  2i , r  2, p  4 .
7.1.16 z1  1  i, z2  5  2i , r  4, p  2 .
7.1.17 z1  1  i, z2  5  i , r  2, p  2 .
7.1.18 z1  1  i, z2  5  2i , r  4, p  2 .
7.1.19 z1  1  3  i, z2  2  i , r  4, p  4 .
7.1.20 z1  1  3  i, z2  2  5i , r  2, p  2 .
8. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Неопределенный и определенный интегралы.
Программные вопросы.
1.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
2.
Свойства неопределенного интеграла.
3.
Таблица основных интегралов.
4.
Методы вычисления неопределенных интегралов.
5.
Определенный интеграл.
6.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Решение типовых примеров.
Неопределенный интеграл.
Интегрирование методом подстановки (замены переменной).
Замена
переменной в неопределенном интеграле производится с
помощью подстановок двух видов:
1)
х  (t), где t
– новая переменная, а (t) – непрерывно
дифференцируемая функция; тогда
 f ( x) d x   f  (t )(t ) d t
t  (x), где t – новая переменная; в этом случае:
 f  ( x) ( x) d x   f (t ) d t.
Пример 8.1. Вычислить интеграл
Решение.
x
dx
1 x2
.
Вычислим этот интеграл методом подстановки.
1
1
1
dt
dt
2
2
dx
dt
t
t
t
 
 
 
  ln | t  1  t 2  С.
 x 1  x2 
2
1
1
1
1
1 t
dx   2 dt
1 t2
1 2
2
t
t
t
t
x
1
t
Возвращаясь к старой переменной x  , находим t 
1
и
x
подставляем в найденное выражение:

Ответ:
1
1
1 1 x2
x
 ln  2 1  C  ln
 C  ln
 C.
2
x
x
x
x 1 x
1  1  x2
dx
x
dx
1  x2
 ln
x
1  1  x2
 C.
Пример 8.2. Вычислить интеграл

ln x
d x.
x
Решение. Введем новую переменную ln x  t , эта подстановка
приводит интеграл к такому виду:
ln x  t

dt  ln x  dx
ln x
t
t2
ln 2 x
d
x


x
d
t

tdt


C

 C.
1
 x
x

dt  dx
2
2
x
dx  xdt
Ответ:
ln x
ln 2 x
d
x

C.
 x
2
Метод интегрирования по частям.
Пусть U=U(x) и V=V(x) – функции аргумента х, имеющие
непрерывные производные. Тогда возможно интегрирование по частям:
∫UdV = UV - ∫VdU
где V находится по формуле V   dV.
Формула интегрирования по частям дает возможность свести
вычисление интеграла ∫UdV к вычислению интеграла ∫VdU .
Успех применения формулы интегрирования по частям зависит от
правильности выбора множителей U и dV в подынтегральном выражении
исходного интеграла. Существуют два полезных правила для такого
выбора:
1.
Интегралы вида ∫ P(x)ekxdx , ∫ P(x)sinkxdx,
∫ P(x)coskxdx ,
где Р(х) – многочлен, а k – некоторое число, вычисляются по
приведенной выше формуле , если положить Р(х)=U.
2.
Интегралы вида ∫ P(x)lnxdx, ∫ P(x)arcsinxdx, ∫ P(x)arccosxdx,
∫ P(x)arctgxdx ,
∫ P(x)arcctgxdx , где Р(х) – многочлен. Во всех этих
интегралах за и при интегрировании по частям принимают функцию,
являющуюся множителем при Р(х), а произведение P(x)dx = dV.
Пример 8.3. Вычислить интеграл  x cos 5 x d x.
Решение. Согласно формулы интегрирования по частям получаем:
 x cos 5x d x 
x
 u dx 
cos 5 xdx  dv v 

Ответ:  x cos 5x d x 
du
1
1
1
 x sin 5 x   sin 5 x d x 
sin 5 x 5
5
5
x sin 5 x cos 5 x

 C.
5
25
x sin 5 x cos 5 x

 C.
5
25
Пример 8.4. Вычислить
интеграл

ln x
d x.
x3
Решение. Интегрируя по частям получаем:
ln x
 u du 
ln x
 x 3 d x = dx3 dx  dv
v 
x
=
Ответ:

ln x  dx  dx
x =
dx
1
 x 3   2x 2
ln x 1 dx
ln x 1  1 
ln x
1
  3   3   2   c   2  2  C
2
2x
2 x
2x
2  2x 
2x
4x
ln x
ln
1
dx   2  2 C .
3
x
2x
4x
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида
P( x)
, где Р(х) и Q(x) –
Q( x)
многочлены. Если степень многочлена Q(x) выше степени многочлена
Р(х), то такая рациональная дробь называется правильной; в противном
случае дробь называется неправильной.
Простейшими дробями I, II, III и IV типов называются рациональные
дроби следующего вида:
I.
A
.
xa
II.
A
,
( x  a) m
где m – целое число, большее единицы.
III.
Ax  B
,
x  px  q
где квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет
2
действительных корней.
IV.
Ax  B
, где n – целое число, большее единицы, а
( x  px  q) n
2
x2 + px + q не имеет действительных корней.
Любая
правильная
единственным
образом
рациональная
представлена
дробь
в
виде
P ( x)
Q ( x)
может
суммы
быть
простейших
рациональных дробей по следующему правилу:
1. Необходимо знаменатель Q(x) разложить на линейные и
квадратные множители, не имеющие действительных корней.
2. Дробь
P ( x)
Q ( x)
надо разложить на сумму простейших дробей
следующим образом:
–
каждому сомножителю (х – а)k разложения Q(x) отвечает в
разложении дроби
P ( x)
разложение вида
Q ( x)
A1
A2
Ak


,
2
x  a ( x  a)
( x  a) k
где а – корень многочлена Q(x), а k – кратность этого корня; A1, A2, …,
Ak – числа (неопределенные коэффициенты);
–
каждому
x
сомножителю
2
 px  q

l
Q(x)
разложения
–
выражение вида
B1 x  C1
2
x  px  q

B2 x  C 2
x
2
 px  q

2
 
x
Bl x  C l
2
 px  q

l
,
где l – кратность многочлена x 2  px  q в разложении Q(x); Bi и Ci (i 
1, 2, …, l) – неопределенные коэффициенты.
3.
Полученное
знаменателю
и,
равенство
получив
необходимо
равенство
привести
двух дробей
с
к
общему
одинаковыми
знаменателями, приравнять числители.
4. Найти определенные коэффициенты можно двумя способами.
Первый способ. Раскрыть скобки, привести подобные члены и
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.
Второй способ. Не раскрывая скобок, задать аргументу х столько
различных значений, сколько имеется неопределенных коэффициентов.
В обоих случаях получаются системы линейных уравнений
относительно неопределенных коэффициентов, решая которые получают
значения искомых неопределенных коэффициентов.
Замечание.
Для
рациональной дроби
нахождения
интеграла
от
неправильной
P ( x)
необходимо, прежде всего выделить из нее
Q ( x)
целую часть, т.е. представить в виде:
P ( x)
R ( x)
 M ( x) 
,
Q ( x)
Q ( x)
где M(x) – многочлен, а
R ( x)
– правильная рациональная дробь.
Q ( x)
Пример 8.5. Вычислить интеграл
x
2
3x  8
d x.
 3 x  10
Решение. Знаменатель дроби имеет корни х   их  , и его можно
разложить на множители следующим образом:
x 2  3x  10  ( x  2)( x  5).
Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших
дробей:
A
A
3x  8
 1  2 .
x  3x  10 x  2 x  5
2
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
A ( x  5)  A2 ( x  2)
3x  8
 1
.
( x  2)( x  5)
x  3x  10
2
Приравнивая числители, получим:
3 x  8  A1 ( x  5)  A2 ( x  2).
Коэффициенты А1 и А2 можно найти двумя способами.
Первый способ. Раскроем скобки в правой части последнего
равенства и приведем подобные члены:
3 x  8   A1  A2  x  5 A1  2 A2 .
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
х1
3=
х0
8 = 5А1 - 2А2
А1 + А2
Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
 A1

5 A1
A2
 3
 2 A2
 8

, решая которую найдем А1 = 2, А2 = 1.
Следовательно,
3x  8
2
1


.
x  3x  10 x  2 x  5
2
Будем задавать определенные значения х
Второй способ.
(желательно те значения, при которых знаменатели простейших дробей
равны нулю):
3 x  8  A1 ( x  5)  A2 ( x  2)
14  7 A1  A2  2
х= 2
х = -5
 7  7 A2  A2  1
Таким образом, искомый интеграл
x
3x  8
1 
 2
dx  

 d x  2 ln | x  2 |  ln | x  5 |  С 
 3x 10
 x 2 x5
2



 ln ( x  2) 2 | x  5 |  С .
Ответ:
x
2
3x  8
d x  ln ( x  2) 2 | x  5 |  С.
 3 x  10

Пример 8.6. Вычислить интеграл
Решение.

x2  2x  2
 ( x  2) 2 ( x  3) d x.
Представим подынтегральную дробь в виде суммы
простейших дробей. Линейному множителю (х  3) знаменателя этой
дроби отвечает дробь
дробей вида
A1
2
, а множителю (х – 2) – сумма простейших
x3
A3
A2

x  2 ( x  2) 2 .
Следовательно, разложение данной дроби на простейшие дроби
имеет вид:
A
A
A3
x 2  2x  2
 1  2 
.
2
( x  2) ( x  3) x  3 x  2 ( x  2) 2
Складывая правую часть равенства и приравнивая числители,
получаем
x 2  2 x  2  A1 ( x  2) 2  A2 ( x  3)( x  2)  A3 ( x  3).
Для
вычисления
неопределенных
коэффициентов
комбинировать оба изложенных выше способа.
Во первых зададим определенные значения х:
х  2 10  5 А3
х   3 5  25 А1


А3
А1


2
1
5
Приравняем коэффициенты при х2, получим
1  A1  A2  A2 
4
.
5
Итак, находим искомый интеграл:
4
 1



x  2x  2
 5  5  2 d x  1 d x  4 d x 
d
x

 x  3 x  2 (x  2) 2 
5 x 3 5 x 2
(x  2) 2 (x  3)




2


2
dx
 ( x  2)
2


1
4
2
ln | x  3 |  ln | x  2 | 
С 
5
5
x2
 ln 5 ( x  3)( x  2) 4 
Ответ:

2
 С.
x2
x2  2x  2
2
4
 ( x  2) 2 ( x  3) d x  ln 5 ( x  3)( x  2)  x  2  С.
Пример 8.7. Вычислить интеграл
5 x  10  x 2
 x 2  4 x  3 dx.
будем
Решение. Подынтегральная функция представляет собой
неправильную рациональную дробь, поэтому необходимо выделить целую
часть, для этого числитель разделим на знаменатель:
 x 2  5 x  10
x2  4 x  3
 x2  4 x  3
1
x7
Тогда
5 x  10  x 2
x7
 1  2
2
x  4x  3
x  4x  3
.
Разложим знаменатель дроби на множители x 2  4 x  3  ( x  1)  ( x  3) .
Получили
5 x  10  x 2
x7
 x 2  4 x  3 dx    dx   ( x  1)( x  3) dx .
Вычислим неопределенный интеграл от правильной рациональной
дроби, для этого подынтегральную функцию разложим на простейшие
дроби и вычислим неопределенные коэффициенты.
x7
A
A
 1  2
( x  1)( x  3) x  1 x  3
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и
приравняем числители:
x  7  A1 ( x  3)  A2 ( x  1)
Тогда
x 1
 6  2 A1

A1  3
x3
 4  2 A2

A2  2
2
x7
3
.


( x  1)( x  3) x  1 x  3
Окончательно получаем:
5 x  10  x 2
x7
3
2
 x 2  4 x  3 dx   dx   ( x  1)( x  3) dx   dx   x  1 dx   x  3 
  x  3 ln x  1  2 ln x  3  C   x  ln
x  13
C .
x  32
Ответ:
5 x  10  x 2
x  13
dx
.
=

x

ln
C
 x2  4x  3
x  32
Определенный интеграл.
Связь определенного и неопределенного интегралов задается
формулой Ньютона – Лейбница:
b
b

f ( x ) dx  F ( x )
 F (b)  F (a)
a
a
т. е. определенный интеграл от непрерывной функции f (x) равен
приращению первообразной функции F(x) на отрезке [a, b].
Формула Ньютона – Лейбница позволяет вычислять определенный
интеграл, используя методы вычисления неопределенного интеграла,
рассмотренные в предыдущей главе.
2
 6 x
Пример 8.8. Вычислить интеграл
2

 2 x  5 d x.
1
Решение. Используя свойства определенного интеграла и формулу
Ньютона – Лейбница, получим:
2
 6x
2

2
2
2
2
2
2
1
1
1
 2 x  5 d x  6  x d x  2  x d x  5  d x  2 x 3  x 2  5x 
1
2
1
1
1
 16  2  4  1  10  5  0.

4
Пример 8.9. Вычислить интеграл
1  tg x


cos
Имеем:
4
d x.
dx
. Найдем новые пределы
cos 2 x


интегрирования: t1  tg     1; t 2  tg  1;
4
x
4
Решение. Полагая t  tg x, имеем d t 

2

4
1  tg x


2
cos x
1
dx

1
1 t dt 
1
1
2
3
 1  t  2 d t  1  t 
3
1
1

1
2
4 2
8
.
3
3
4

Пример 8.10. Вычислить интеграл
 x cos x d x.
0
Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, для
определенного интеграла
b
 u d v  uv 
a
b
a
b
  v d u,
a
найдем:


x cos x d x =
0


0
0
x
 u du 
cos xdx  dv v 


0
0
dx
 cos xdx  sin x
=
= x sin x   sin x d x  x sin x  cos x   sin   0 sin 0  cos   cos 0   2
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площади в декартовых координатах
Если функция
y  f  x  непрерывна
на [a, b] и положительна, то
площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией
y  f x ,
двумя прямыми x  a и x  b и отрезком [a, b] оси абсцисс, вычисляется по
формуле
b
S
 f  x  d x,
a
если f x   0 на отрезке [a, b], то,
b
S   f x  d x.

a
Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными функциями
y1  f 1  x  и y 2  f 2  x  и двумя прямыми x  a и x  b , где f 2  x   f 1  x  на
отрезке [a, b], находится по формуле:
b
S
  f x  f x d x.
2
1
a
Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
осуществляется в следующим порядке:
1) делается рисунок фигуры, площадь которой необходимо найти;
2) находятся пределы интегрирования;
3) подбирается нужная формула;
4) вычисляется значение площади.
Пример 8.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
y  x 2  1,
прямыми
x  1, x  2
и осью абсцисс.
Решение. Построим криволинейную трапецию
у
-2
-1
1
Рисунок 1.
Пределы интегрирования:
a  1, b  2.
2
х
b
Площадь вычисляем по формуле S   x 2  1d x.
a
Получаем
2
S
 x
1
2
 x3

 1 d x  
 x 
 3


2
8
  1 
   2      1  6 (кв.
1  3
  3 
ед.).
Пример 8.12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
y   x 2  2 x  3, осями координат и прямой x  2.
Решение. На рисунке 2. изображена фигура, площадь которой надо
найти.
у
-1
1
2
х
Рисунок 2
Функция
y  x 2  2x  3
на отрезке [0, 2] меняет знак. Следовательно,
промежуток интегрирования [0, 2] необходимо разбить на два
промежутка: 0,1 и 0, 2  . Получим:
1
S
  x
0
2

 2x  3 d x 
2
  x
1
2
 x3
1
 2 x  3 d x   
 x 2  3 x  
 3
0

 x3
2  1
  8
  1

    x 2  3x     1  3     4  6      1 3  4 (кв.
  3
  3

 3
1  3
ед).
Пример 8.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
y  x 2  4 x и прямой x  y  4  0.
Решение. Сделаем рисунок плоской фигуры, заключенной между
параболой и прямой (рисунок 3).
у
-4 -2
1
х
Рисунок 3
Найдем пределы интегрирования, для этого решим систему
y  x2  4
уравнений 
y  x  4
и получим  4; 0; 1, 5.
Следовательно, пределы интегрирования: a  4, b  1.
Вычислим площадь:
1
S
 x  4  x
4
2

 4x d x 
1
  x
4
2
 x 3 3x 2
 1
 3x  4 d x    
 4x  
2
 3
 4

5
 1 3
  64
 125
   4
 24  16  
 20
6
6
 3 2
  3

(кв. ед.).
Вычисление объема тел вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной
y  f x  , осью
трапеции, ограниченной непрерывной кривой
прямыми
xa
и
абсцисс и двумя
x  b a  b  , находится по формуле
b
Vx  π
  f x 
2
d x.
a
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной
x    y ,
трапеции, ограниченной непрерывной кривой
прямыми
y c
и
y  d,
осью ординат и двумя
находится по формуле
d
V y  π   y  d y.
2

c
Пример 8.14 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
вращения параболы
y2  x
вокруг оси Ох и плоскостью
x  2.
Решение. Найдем Vx согласно приведенной выше формуле:
2
Vx  π

2
y2 d x  π
0

xd x  π
0
x2
2
2
 2π
(куб. ед.).
0
Пример 8.15. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Оу фигуры, ограниченной кривой
y  x3
и отрезком
0 y8
оси ординат.
Решение. Записав уравнение данной кривой в виде x  3 y и
используя формулу вычисления объема, получим
8
Vy  π

3
y2 d y 
0
3 3 5
π y
5
8

0
96
1
 19
5
5
(куб. ед.).
Вычисление длины дуги кривой в прямоугольных координатах
Если производная
f x
функции
y  f  x  является
функцией на отрезке [a, b], то длина дуги кривой
между точками с абсциссами
xa
и
xb,
непрерывной
y  f x ,
заключенная
находится по формуле
b
L   1   y  d x.
2
a
x
Пример 8.16. Найти длину дуги цепной линии
прямыми
y e2 e

x
2
между
x  0 и x  2.
x
Решение. Найдем производную функции
y  e2  e

x
2
:
x
x
 
1  2
e e 2 

2 

y 
и вычислим длину дуги кривой:
2
L

0
2
x
x
2
2
 
1
1
1
1 e2  e 2  d x 
4  e x  2  e x d x 

4 
20
20



1
2
x
 x

e 2  e 2

0
2


x

 x

d x  e 2  e 2








2
 e
0
2
 x x
e2  e 2  d x 




1
 1, 45 .
e
Вычисление площади поверхности тела вращения
Если производная
функцией, то кривая
f x
y  f  x  является
функции
y  f  x  называется гладкой
непрерывной
кривой. Площадь
поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги гладкой кривой
y  f  x  между точками с абсциссами х  а
и x  b , вычисляется по формуле
b
2
S x  2 π y 1   y  d x.

а
Пример 17. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ох
1
2
дуги кубической параболы y  x 3 при 0  x  .
Решение. Используем приведенную выше формулу для вычисления
площади:
1
2
S x  2 π x 3 1  9 x 4 d x.

0
Вычислим этот интеграл методом подстановки. Обозначим
t  1  9 x 4 , тогда d t  36 x 3 d x. Пересчитаем
x  0 t1  1,
при
x
1
25
t2  .
2
16
1
2
Получаем
25
16
25
16
π
π 3
Sx  2 π x 1  9x d x 
t dt 
t
18 1
27
0

3
4
пределы интегрирования: при


π  125  61
(кв.ед.).
1 

27  64  1728
1
Задачи контрольной работы
В задачах 1- 20 вычислить интегралы.
8.1. а)

dx
2
x sin 2
x
; b)  x ln xdx ; с)
3
x 3  3x 2  2 x  3
dx ; d)  x 2  5 x  2dx
2
x  3x  4
2

3

6
2
x  x  4x  1
dx ; d)  sin 3xdx
x2  x  6
0
8.2. а)  x cosx 2  1dx ; b)  x cos xdx ; c)

1  tg 3x
8.3. a) 
dx ; b)
cos 2 3 x
x 3  3x 2  2 x  3
dx ; d)
x 2  3x  4
8.4. a)
8.5. a)
8.6. a)



 arcsin 3xdx ; c) 
sin x cos xdx ; b)
dx
; b)
x ln x
 arccos 2 xdx ; c) 
 x sin xdx ; c)
3
cos xdx
1  sin x
; b)  x ln 2 xdx ; c)
2
x dx
8.7. a) 
; b)
9  x6
8.8. a)

sin x
cos x
x  14 x
dx ; d)
x 2  16

3
e
2 x

xdx
8.9. a)  2 2
; b)
cos x  3
 xe
dx ; c)
 ln 3xdx ; c) 


2

e dx
 1 e
2x
; b)

ln x
dx ; c)
x2
3

1

x6  4
0
1
 arctgxdx
0
sin ln x 
dx
x
1

 ln xdx
1
x  x  10 x  1
dx ; d)
x 2  x  12
2
e
e
2

dx
0
x 2 dx
x  2 x  6x  2
dx ; d)
x 2  2x  8
8.12. a)  sin x cos 2 xdx ; b)  arctg2 xdx ; c)
x

2
3
 xe
ln x
dx
x
x 3  2 x 2  6x  1
dx ; d)
x 2  2x  8
8.11. a)  xe x dx ; b)  arcsin 3xdx ; c)
8.13. a)
e
1
2 x  3 x dx
x 3  x 2  4x  1
dx ; d)
x2  x  6
3
x

dx
0
x  4 x  3x  4
dx ; d)
x 2  4x  5
3
x
e2
2
 ln x  3dx ; c)
dx ; b)
x 2 dx
8.10. a)  3
; b)
x  6
xdx ; c)
2
2
8

dx
 1  2 x 
x 3  2x 2  x  2
dx ; d)
x 2  2x  3
x 3  x 2  10 x  1
dx ; d)
x 2  x  12

3
2
0
 2 x  3e
1
dx
 11  5x 
3
2

2
 x  1 cos xdx
0
dx
1
x  3x  8 x  3
dx ; d)
x 2  3 x  10
x  4 x  3x  4
dx ; d)
x 2  4x  5
x
8.14. a)  (1  sin x ) 2 cos xdx ; b)  x sin 2 xdx ; c)
8.15. a)
8.16. a)
1  ln x
dx ; b)
x

xdx

8.18. a)

; b)  arctg4 xdx ; c)
2  x2
8.17. a)  sin xe
cos x
xdx ; b)
arcsin 2 x
1 x2
dx ; b)
arctg 3 x
8.19. a) 
dx ; b)
1 x2
8.20. a)

 x  1 sin xdx ; c) 
sin 2 xdx
2
1  cos x

x3  x2 1
dx ; d)
x2  x  2
x 3  3x 2  8 x  3
dx ; d)
x 2  3x  10
 arcsin 2 xdx ; c) 
 x ln xdx ; c)

2
x 3  7x
 2 1 
dx
;
d)
 x  4  dx
2

x 9
x 
1

e3
x
1


x3  x2  1
dx ; d)
x 2  2x  2
3
e
x
2
ln xdx
1
1
x3
0 x 8  1 dx
4
1 x
dx
x2
1

x 3  2x 2  x  2
dx ; d)
x 2  2x  3
8.21 Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми
dx
64  x 2
4
x 3  2 x 2  13x  2
dx ; d)
x 2  2 x  15
; b)  arccos 4 xdx ; c)
1  ln x
4 3
x 3  x 2  18 x  1
dx ; d)
x 2  x  20
 x  2 cos xdx ; c) 
dx
5
 xe
x
dx
0
y  4 x , x  3, x  1
и осью Ох.
y  x2
8.22 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и
прямой y  9.
8.23 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y  e 2x , прямыми
x  0,5, x  1 и
осью абсцисс.
8.24 Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы
прямыми
x  1, x  5 и
осью Ох.
8.25 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
прямыми
x  1, x  3
2
y ,
x
y  6x - x 2 ,
и осью абсцисс.
3
x
8.26 Найти площадь части гиперболы y  , отсекаемой от нее прямой
x  y  4  0.
8.27 Найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы y  3 x  x 2 прямой
5 x  y  8  0.
8.28 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y 2  16 x и
прямой y  x.
8.29 Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y  6x 2 и
y  2x 3 .
8.30 Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y  8 x  x 2 и
y  x 2  18 x  12.
8.31 Найти площадь, ограниченную кривой
y  x  x  1  x  2 
и осью Ох.
8.32 Вычислить площадь, заключенную между кривой y  tg x , осью Ох и
прямой
x
π
.
3
8.33 Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболами
y  x2 , y 
x2
и прямой y  2x.
2
8.34 Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох трапеции,
образованной прямыми
y
x
, x  4, x  6
2
и осью Ох.
8.35 Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу трапеции,
образованной прямыми
y  3x , y  2 , y  4
и осью ординат.
8.36 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды y  sin x и отрезком [0, ]
оси абсцисс.
8.37 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной дугой кубической параболы
y  x 3  4x
и осью
абсцисс.
8.38 Найти объем тела, образованного вращением эллипса
4x 2  9 y 2  36
вокруг его малой оси.
8.39 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной параболами
y  2x 2
и
y  x 3.
8.40 Фигура, образованная в результате пересечения параболы
прямой
yx
y 2  4x
, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
и
8.41 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной параболой
y 2  2x
и прямой
8.42 Фигура, ограниченная кривыми
2x  2 y  3  0.
прямой
y  tg x, y  ctg x,
x
π
,
6
вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
8.43 Вычислить длину дуги кривой
y2  x3
8.44 Вычислить длину дуги кривой
y  ln sin x
8.45 Найти длину дуги кривой
2y  x 2  3
от
x 0
от
до
x  5.
π
3
до
x
x
π
.
2
между точками пересечения с
осью Ох.
8.46 Найти длину дуги кривой
y  ln x
от
x 3
до
x  2 2.
8.47 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох
дуги параболы
y 2  4ax
от
x 0
до
x  8.
8.48 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг
оси Ох прямой
y  3x
от
x 1
до
x  3.
8.49 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох
одной полуволны косинусоиды
y  cos x.
8.50 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг
оси Ох параболы
y2  3  x,
отсеченной прямой
x  3.
9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частные производные
Программные вопросы
1. Определение функции нескольких переменных.
2. Предел функции двух переменных и ее непрерывность.
3. Частные производные первого порядка.
4. Частные производные функции двух переменных второго и более
высоких порядков.
Решение типового примера
Пример 9.1. Найти частные производные первого и второго порядка
функции
z  4 x 2 y 3  2 sin y .
Решение. Найдем производные первого порядка.
При нахождении производной по переменной
x,
переменная
y
считается константой, а любую константу можно вынести за знак
производной, следовательно, производная по переменной
слагаемого заданной функции будет равна:
Так как переменная
y
4x y 
2
3 '
x
x
от первого
 
 4 y 3 2 x  8 xy 3 .
 4 y3 x2
считается константой, то и
'
x
константой и его производная будет равна нулю: 2 sin y 'x
 0.
образом, частная производная заданной функции по переменной

z x'  4 x 2 y 3  2 sin y
  4 x y 
'
x
2
3 '
x
является
2 sin y
x
Таким
равна:
 2 sin y 'x  8 xy 3 .
При нахождении производной по переменной
y,
переменная
x
считается константой, тогда в первом слагаемом за знак производной
вынесется
4x 2 :
4 x y 
2
3 '
y
 
 4x 2 y 3
'
y
 4 x 2 3 y 2  12 x 2 y 2 .
Частная производная по
переменной
второго
y
2 sin y 'y  2 cos y .
слагаемого
производная заданной функции по переменной

z 'y  4 x 2 y 3  2 sin y
  4 x y 
'
3 '
y
2
y
y
Тогда
частная
равна:
 2 sin y 'y  12 x 2 y 2  2 cos y .
Находим частные производные второго порядка. Для наглядности
перепишем уже найденные частные производные первого порядка:
z x'  8xy 3 ,
z 'y  12 x 2 y 2  2 cos y .
Для нахождения второй частной производной по переменной
первую производную
z 'x
x
нужно
еще раз продифференцировать по переменной x :
   8xy 
z "xx  z 'x
'
3 '
x
x
 8 y 3  x 'x  8 y 3 .
Аналогично, чтобы найти вторую частную производную по переменной
y,
дифференцируем
z 'y
снова по переменной y :
   12x
z "yy  z 'y
'
2
y
y 2  2 cos y

'
y
 
z "xy
Найдем смешанные производные
z "xy берем
частную производную
'
y
 12 x 2 y 2
z 'x
и
'
 2cos y  y  24 x 2 y  2 sin y .
z "yx .
Для того, чтобы найти
и дифференцируем ее еще раз, но в
данном случае – уже по переменной y :
z   8xy 
' '
x y
Для нахождения
z "yx
3 '
y
 
 8x y 3
'
y
 24 xy 2 .
z 'y
частную производную
дифференцируем по
переменной x :
   12 x
z "yx  z 'y
Так как
z "xy = z "yx ,
'
x
2
y 2  2 cos y

'
x
 
 12 y 2 x 2
то достаточно найти
'
x
 24 xy 2 .
любую из
смешанных
производных.
Задачи контрольной работы
В заданиях 9.1.1-9.1.20 найти для заданных функций частные
производные первого и второго порядков.
9.1.1.
9.1.3.
9.1.5.
9.1.7.
9.1.9.
9.1.11.
9.1.13.
9.1.15.
9.1.17.
9.1.19.
z  x 4 y  e xy  4 .
9.1.2.
9.1.4.
9.1.6.
9.1.8.
9.1.10.
9.1.12.
9.1.14.
9.1.16.
9.1.18.
9.1.20.
z  3 x  2y2x .
z  ln xy   e y .
2
z  4e x  y  7 x  1 .
z  3 cos y  4 yx 3 .
z  2 x  y  2y  x .
z  ln( y  x )  5e x .
z  2 x  y  3xy 3  11 .
z  3e x
2
 y2
 4 xy  y .
z  x 2  y 2  2e x  y  6 .
z  cos( x  y )  2 x 2  3 y .
z  x y  4x 3  9 .
z  3 sin xy   5 x 3 y .
z  2 y  3x 4 y 2 .


z  ln x 2  y 2  8x .
z  3 x y  y 2  x 4 .
z  0,5 sin( x 2  y 2 )  8 x  2 .
z  4 x  2 y 2  0,5 ln y 2  4 .
z  y x  3 x  2y2  5.
z  2 x 3 y 2  cos( 2 x  4 y ) .
Производная по направлению
Программные вопросы
1. Определение производной по направлению вектора.
2. Связь производной по направлению с частными производными.
3. Формула для нахождения производной функции в заданной точке по
направлению вектора.
Решение типового примера
u  x 2 y  3yz 3
Пример 9.2. Найти производную от функции
M 0 1;2;1
по направлению вектора




a  9 i  6 j  2 k .
Решение. Производную от функции
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
по направлению вектора
в заданной точке
u  u ( x; y; z )

a (a x ; a y ; a z )
можно найти по формуле:
 u 
 u 
 u 
 u 
      cos      cos      cos 
 a  M 0  x  M 0
 z  M 0
 y  M 0
где
cos  ,
cos 
,
cos 
,
- направляющие косинусы вектора
которые вычисляем по формулам:
cos  
ax

a
;
в точке
cos  
ay

a
;
cos  
az

a
.

a (a x ; a y ; a z ) ,

Вычислим длину вектора

a:
a x 2  a y 2  a z 2
a 

 9 2   62  2 2
 121  11 .
Следовательно, направляющие косинусы будут равны:
cos  
9
;
11
cos  
6
;
11
cos  
2
.
11
Далее находим все частные производные первого порядка от заданной
функции
u  x 2 y  3yz 3 :
u
 2 xy ;
x
u
 9 yz 2 .
z
u
 x 2  3z 3 ;
y
Вычислим значения этих частных производных в точке
M 0 1;2;1 :
 u 
   2 xy M 0  2  1  2  4 ,
 x  M 0
 u 
   x 2  3z 3
 y  M 0

 u 
2
    9 yz

z
  M0



M0
M0
 12  3  13  2 ,
 9  2  12  18 .
Затем подставим полученные значения в формулу для нахождения
производной по направлению в заданной точке:
2
36 12 36
60
 u 
 9
 6
 .
   4       2       18     
11
11 11 11
11
 a  M 0
 11 
 11 
u  x 2 y  3yz 3
Ответ. Производная от функции
направлению вектора




a  9 i  6 j  2 k
равна

в точке
M 0 1;2;1
по
60
.
11
Задачи контрольной работы
В заданиях 9.2.1-9.2.20 найти производную от функции
направлению вектора

a:




9.2.1.
u  x  ln( z 2  y 2 ) , M 0 2;1;1 , a  2 i  j  k .
9.2.2.
u  x 2 y  xy  z 2 , M 0 1;5;2  , a  2 j  2 k .
9.2.3.
u  x(ln y  arctgz ) , M 0  2;1;1 , a  8 i  4 j  8 k .







u
в точке
M0
по




9.2.4.
u  ln(3  x 2 )  xy 2 z , M 0 1;3;2  , a   i  2 j  2 k .
9.2.5.
u  x 2  y 2  2 z , M 0 2;1;2  , a  i  2 j  k .
9.2.6.
u  xy 2 z  3x 2 yz 3 , M 0  1;1;2  , a  i  2 j  2 k .
9.2.7.
u  x 2 y 2 z  ln z  1 , M 0 1;1;2  , a  5 i  6 j  2 5 k .
9.2.8.
u  x 3  y 2  z 2 , M 0 1;3;4  , a  j  k .
9.2.9.
u  xy  9  z 2 , M 0 1;1;0  , a  2 i  2 j  k .






















9.2.10.
u  2 x  y  y  arctgz , M 0 3;2;1 , a  4 i  3 k .
9.2.11.
u  ln( x 2  y 2 )  xyz , M 0 1;1;2  , a  i  j  5 k .
9.2.12.
u  z 2  2arctg ( x  y ) , M 0 1;2;1 , a  i  2 j  2 k .

  
x
u  xy  , M 0  4;3;1 , a  5 i  j  k .
z
9.2.13.











9.2.14.
u  x 2  arctg ( y  z) , M 0 2;1;1 , a  3 j  4 k .
9.2.15.
u  y2 
9.2.16.
u  ln 12  x 2  y 2  z , M 0 1;1;5 , a  3 j  4 k .
9.2.17.
u  x 3  2 xy 2  3 yz 2 , M 0 3;3;1 , a  2 i  2 j  k .
9.2.18.
u  xy  yz  zx , M 0 2;1;3 , a  3 i  4 j  12 k .
9.2.19.
u  ln( x 2  y 2  z 2 ) , M 0 1;2;1 , a  2 i  4 j  4 k .




z
u  arctg ( xy )  , M 0 1;0;1 , a  i  2 j  2 k .
x
9.2.20.




x
, M 0 1;2;1 , a  2 i  6 j  3 k .
z















Градиент
Программные вопросы
1. Определение градиента скалярного поля.
2. Формула для нахождения градиента функции в заданной точке.
3. Свойства градиента.
Решение типового примера
Пример 9.3. Найти градиент функции
u  x2  y2  z2
в точке
M 0 (3;6;2)
его длину.
Решение. Градиент функции в точке
M0
вычисляется по формуле:
и
gradu M
0
  u 


 u 
 u 
    i     j     k .
 x  M 0
 z  M 0
 y  M 0
Сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной
функции:
u

x
x
2
2
x y z
2
u

y
;
y
2
2
x y z
u

z
;
2
z
2
x  y2  z 2
.
Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в
точке M 0 (3;6;2) :

x
 u 

  
2
2
2
 x  M 0
 x y z

3
3
 
 ,

2
2
2
7
3  6  (2)
M0

 u 
y
   

2
 y  M 0  x  y 2  z 2

6
6
 


2
2
2
7
3  6  (2)
M0

z
 u 

  
2
2
2
 z  M 0
 x y z

2
2
 
 .

7
3 2  6 2  ( 2) 2
 M0
,
Подставляя найденные значения в формулу градиента, получаем:
gradu M
0

3  6  2 
 i   j  k .
7
7
7
Находим его длину:
2
( gradu) M 0
Ответ. Градиент функции
gradu M

0



3
6
2
 i   j  k
7
7
7
2
2
49
 3
 6
 2
         
1.
49
7
7
 7
u  x2  y2  z2
, длина
в точке
M 0 (3;6;2)
равен
( gradu ) M 0  1 .
Задачи контрольной работы
В заданиях 3.1-3.20 найти градиент функции
u
в заданной точке
M0
и
его длину.
9.3.1.
u
1 2
x  xy 2  z
3
,
M 0 ( 2;2;1) .
9. 3.2.
u  tgx  zy 2  z
9. 3.4.
u  ln( x 2  y 2 )  zy ,
9.3.6.
u  x2 y 2 z  3 y  2 z 3 ,
9.3.8.
u  ex
,

M 0 ( ;3;1) .
3
9.3.3.
u  sin x  2  z  tgy  3 z 2 , M 0 (
2
;0;2) .
3
M 0 (3;2;2) .
9.3.5.
u  x 2 y 3  ln( zx) , M 0 (1;2;3) .
M 0 (1; 4;1) .
9.3.7.
u  ln xy  yz  zx , M 0  2;2;1
2
 y2 z2
,
M 0 ( 4;3;5) .
9.3.9.
u  x  tgz  2 cos y , M 0 (2;
 
; ).
2 4
9.3.10.
u  3 xyz  z 2 y ,
M 0 ( 2;3;6) .
9.3.11.
u  2x 2 y 
yz  xz 2 , M 0 ( 1;8;2) .
9.3.12.
u  ln x 2  z 2  ln yz ,
M 0 ( 2;2;1) .
9.3.13.
u  2 y 2 z  e 3z  y
2
,
9.3.14. u  tgy  x cos z  4 x 2 ,
M 0 (3;3;2)
 
M 0 (1; ; ) .
3 2
9.3.15.
u  2 x 2  y 2  y 2 z 3 , M 0 ( 3;4;1) .
9.3.16.
u  x  y  z  3 zy 2 ,
M 0 (3; 2; 4) .
2
9.3.17. u  ex  y  z  x 2  3 , M 0 (2; 2; 2) .
9.3.18. u  y 2  ctgx  6sin z ,
 
M 0 ( ;1; ) .
4 3
9.3.19. u  ln( x 2  y 2  z 2 )  2 xz , M 0 (1; 2; 1) .
9.3.20. u  4 y 2 x  xz 2  yz ,
M 0 (2; 2; 2) .
Экстремум функции нескольких переменных
Программные вопросы
1. Определение экстремума функции двух переменных.
2. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в
замкнутой области.
Решение типового примера
Пример
9.4.
Исследовать
на
экстремум
функцию
z  2 x 2  xy  y 2  3x  y  4 .
Решение.
В соответствие с достаточным условием экстремума
функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
 z
 x  0,
 z
  0.
 y
Для этого находим частные производные функции:
z
 4x  y  3 ;
x
z
 x  2 y  1,
y
затем приравниваем их к нулю и решаем систему уравнений:
4 x  y  3  0,

 x  2 y  1  0,
откуда находим x  1 , y  1 . Таким образом, получили точку M (1;1) , в которой
будем продолжать исследовать функцию на экстремум.
Находим значения частных производных второго порядка в точке M :
 2z 
A   2   4 ;
 x  M
 2z 
  1 ;
B  


x

y

M
 2z 
C   2   2 .
 y  M
Найдем знак дискриминанта
 в указанной точке:
  AC  B 2  4  2  (1) 2  7 .
Так как дискриминант больше нуля
минимум в точке M (1;1) :
 >0
и
A>0 ,
то функция имеет
z min  2  12  1  1  12  3  1  1  4  2 .
Ответ. В точке
z min  2 .
M (1;1)
функция
z  2 x 2  xy  y 2  3x  y  4
имеет минимум
Задачи контрольной работы
В заданиях 9.4.1-9.4.20 найти экстремум заданной функции.
9.4.1. z  x 2  xy  y 2  3 x  6 y  1 .
9.4.3. z  2 x 2  xy  y 2  7 x  5 y  2 .
9.4.5. z  3x 2  xy  6 y 2  6 x  y  9 .
9.4.7. z  4 x 2  2 xy  y 2  2 x  4 y  3 .
9.4.9. z  8 x 2  xy  2 y 2  16 x  y  1 .
.9.4.11. z  2 x 2  6 xy  y 2  14 x  5
9.4.13. z  3x 2  10 xy  2 y 2  26 x  18 y  1 .
9.4.15. z  3x 2  8 xy  5 y 2  4 x  26 y  3 .
9.4.17. z  5 x 2  2 xy  3 y 2  18 x  10 y  4 .
9.4.19. z  2 x 2  2 xy  3 y 2  10 x  16 y  7 .
9.4.2. z  3x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  3 .
9.4.4. z  x 2  3 xy  y 2  2 x  6 y  1 .
9.4.6. z  x 2  3 xy  2 y 2  4 x  6 y  11 .
9.4.8. z  0,5 x 2  xy  y 2  x  2 y  8 .
9. 4.10. z  2 x 2  2 xy  3 y 2  2 x  16 y  3
9.4.12. z  2 x 2  3xy  y 2  2 x  7 y  7 .
9.4.14. z  3 x 2  2 xy  2 y 2  18 x  8 y  1 .
9.4.16. z  2 x 2  2 xy  3 y 2  8 x  10 y  9 .
9.4.18. z  7 x 2  2 xy  5 y 2  34 x  34 y  5 .
9.4.20. z  2 x 2  xy  3 y 2  2 x  11y  11 .
10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ.
Программные вопросы.
1. Понятия дифференциального уравнения, общего и частного решения
дифференциального уравнения.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
3. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Решение типовых примеров.
Уравнения, связывающие независимую переменную, неизвестную
функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков,
называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
старшей производной, входящей в данное уравнение.
В общем виде дифференциальное уравнение n – го порядка имеет
вид:
F(x, y, y', y′', … ,y(n))=0
Решением дифференциального уравнения называется функция,
которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Процесс нахождения решения называется интегрированием
дифференциального уравнения.
Решение уравнения, зависящее от n произвольных постоянных С1,
С2, … , Сn, называется общим решением, и имеет вид:
y= f(x,C1, C2, … ,Cn)
Если решение уравнения получено в неявном виде (3.3), то оно
называется общим интегралом.
φ(x, y, C1, C2, … , Cn) = 0
Задача Коши: среди всех решений дифференциального уравнения
требуется найти решение y=f(x), для которого функция f(x)вместе со
своими производными до (n-1)-го порядка включительно принимает
заданные значения y0, y0', y0'',…,y0(n-1) при заданном значении х0
аргумента х, т.е.
y0 = f(x0)
y0'= f'(x0)
y0'' = f''(x0)
y0(n-1)=f(n-1)(x0)
где х0,у0, y0', y0'',…,y0(n-1) – заданные числа.
Эти условия называются начальными условиями решения y=f(x), а
само это решение – частным решением дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными.
В общем случае дифференциальные уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными имеют вид:
P1(x)Q1(y)dу + P2(x)Q2(y)dх=0
Видно, что в этом уравнении множители перед
dx
и
dy
представляют собой произведения двух функций. Одна из которых зависит
только от х, а другая - только от у. Следовательно, данное уравнение
можно проинтегрировать, предварительно разделив переменные: в одной
части уравнения оставить функцию, зависящую только от х, а в другой –
только от у, для этого перенесем одно из слагаемых в правую часть и
разделим обе части полученного равенства на произведение функций Q2(y)
P1(x).
Q1  y 
P ( x)
dy   2
dx
Q2  y 
P1 x 
Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Q1  y 
P ( x)
dy    2
dx  C
Q2  y 
P1 x 
Пример 10.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
xydx+(x+1)dy=0.
Решение. Разделим переменные в данном уравнении, перенеся
первое слагаемое в правую часть, и разделив обе части уравнения на
выражение у(х+1).
x  1dy   xydx
dy
xdx

y
x 1
Проинтегрируем обе части полученного равенства:

x  1  1
dy
xdx
dy
dy
1 
dy
dx

 

 
dx  
   1 
   dx  
dx  
y
x 1
y
x 1
y
x  1
y
x 1

ln y   x  ln x  1  C
Найдем общее решение
ye
x  ln x 1  C
.
Пример 10.2. Найти частное решение дифференциального уравнения
(4+x2)lny∙y' - y = 0 ,
при следующих начальных условиях y(2)=1.
Решение. Заменив y′ на
dy
, и разделив переменные получаем:
dx
4  x ln y dy  y . 
2
dx
dx
x 4 y

2

ln ydy
dx
ln ydy
dx
dx
ln 2 y 1
x
 2

 2
  ln yd (ln y )   2

 arctg  C
y
y
2
2
2
x 4
x 4
x 4
Получили общий интеграл дифференциального уравнения. Чтобы найти
частное решение, можно, сначала, найти частный интеграл. Для этого, в
общий интеграл подставим начальные условия x=2 и y=1 и находим С.
ln 2 1 1


 arctg1  C  0   C  C  
2
2
8
8
Окончательно получаем частный интеграл и частное решение:
ln 2 y 1
x 
x 
 arctg   ln y  arctg  .
2
2
2 8
2 4
ye
x 
arctg 
2 4
Однородные уравнения.
Уравнения
вида
 y
y  f  
x
называется
однородным
дифференциальным уравнением первого порядка.
Однородное уравнение приводиться к уравнению с разделяющимися
переменными подстановкой y=u∙x, где u=u(x) - новая искомая функция.
Заменим у и y'= u'x + u в данном уравнении :
u'x + u = f(u)
Разделив переменные, получаем:
du
dx

f u   u x
Проинтегрировав, полученное уравнение найдем общее решение или
общий интеграл.
Пример 10.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
y  7 
y
.
x
y
x
Решение. Введем новую функцию u  , тогда y  ux и y   u x  u .
Заменяя в исходном уравнении функцию у и ее производную у' получим
уравнение с разделяющимися переменными:
u x  u  7  и  u x  7 
du
dx
dx
x  7  du  7   du  7 
 u  7 ln x  ln C
dx
x
x
u = lnCx7.
Возвращаемся к старой функции
y
 ln Cx 7  y  x ln Cx 7 .
x
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
линейно относительно искомой функции и ее производной.
Линейное уравнение в общем виде записывается так:
y' + P(x)y = Q(x
Это уравнение сводиться к двум уравнениям с разделяющимися
переменными, если искомую функцию у заменить двумя функциями
u=u(x) v=v(x)
следующим образом y=uv. Тогда
y' = u'v + uv', и данное
уравнение примет вид:
u v  uv   P x uv  Q x  ,
Сгруппируем второе и третье слагаемые левой части уравнения и
вынесем общий множитель и за скобку:
u v  u v   Px v   Q x  .
(*)
В силу того, что одну из вспомогательных функций, например v,
можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в
квадратных скобках обратилось в нуль:
v   P x v  0 -
-это уравнение с разделяющимися переменными, решив которое
найдем функцию v=v(x). Вернемся к уравнению (*) и подставим в него
найденное значение функции v(x):
u'v(x) = Q(x)
это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, найдем
и = и (х,С), тогда общее решение линейного дифференциального
уравнения равно:
y = u(x,C)v(x).
Пример 10.4. Найти общее решение дифференциального уравнения
y′cosx – ysinx = cos2x.
Решение. Преобразуем уравнение
y′ – ytgx = cosx
Полагаем y=uv, тогда
y' = u'v + uv' и данное уравнение примет
вид:
u'v + uv'-uvtgx=cosx ,
u'v + u[v'-vtgx]=cosx (*)
Приравниваем квадратную скобку к нулю и решаем полученное
уравнение:
v   vtgx  0 
dv
dv
dv
1
 vtgx 
 tgxdx  
  tgxdx  ln v   ln cos x  v 
dx
v
v
cos x
Подставив v 
1
u
в уравнение (*), получим уравнение
 cos x
cos x
cos x
из которого находим u:
u
du
1  cos 2 x
 cos x  u   cos 2 x 
 cos 2 x  du  cos 2 xdx   du  
dx
cos x
dx
2
Итак
u
x sin 2 x

C.
2
4
x
2
Окончательно получаем: y   
sin 2 x
 1
 C
.
4
 cos x
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка.
I. Уравнения вида y′′ = f(x)
решается последовательным двукратным интегрированием. При
каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а
общее решение содержит две константы.
Пример 10. 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
y''=sin3x.
Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение, получим
1
y    sin 3xdx   cos 3x  C1
3
1
1
 1

y     cos 3x  C1 dx    cos 3 xdx  C1  dx   sin 3 x  C1 x  C 2 .
3
9
 3

II.
Уравнение второго порядка, не содержащее
искомой функции
Уравнение вида F(x, y', y'') = 0 допускает понижение порядка
введением новой функции, следующим образом
y'= p(x), тогда y''=
p'(x).
Пример 10.6. Найти общее решение дифференциального уравнения
xy   y  ln
y
.
x
Решение. Данное уравнение не содержит функции у, поэтому
положим
y'= p(x), тогда y''= p'(x) и уравнение примет вид:
xp   p ln
p
p p
 p   ln
x
x x
Получили однородное уравнение первого порядка. Для его решения
воспользуемся подстановкой p=ux, тогда p'= u'x+u и, следовательно,
приходим к уравнению
du
dx
du
dx



 ln ln u  1  ln u  ln
u ln u  1 x
u ln u  1
x
ln ln u  1  ln C1 x  ln u  1  C1 x  u  e C1 x 1 .
u x  u  u ln u  u x  u ln u  1 
откуда
Возвращаясь к функции у, получаем общее решение
p
 e C1 x 1 или y   xe C1 x 1 .
x
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy
 xe C1 x 1  dy  xe C1 x 1 dx   dy   xe C1 x 1 dx
dx
Интеграл, стоящий в правой части уравнения интегрируем по
частям:
C x 1
 xe 1 dx 
u du  1 dx
C1 x 1
e C1 x 1 dx  du u  C e
1
x

=

1
1
xe C1 x 1 
C1
C1
e
C1 x 1
dx 
1
1
xe C1 x 1  2 e C1 x 1  C 2 .
С1
C1
Окончательно получаем: y 
1
1
xe C1 x 1  2 e C1 x 1  C 2 .
С1
C1
III. Уравнения второго порядка, не содержащие независимой
переменной
Уравнение F(y, y', y'') = 0 при помощи подстановки y'= p(y)
уравнение сводиться к уравнению первого порядка
F(y, p, p
Пример 10.7.
Найти
dp
)=0 .
dy
частное
решение
дифференциального
уравнения
2yy'3+y''=0 , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0)=-3.
Решение. Это уравнение не содержит независимой переменно,
следовательно, будем его решать, полагая y'= p(y), откуда
y   p
Используя данные подстановки преобразуем данное уравнение к виду
2 yp 3  p
dp
dp
dp
dp
 0  2 yp 3   p
 2  2 ydy   2  2  ydy .
dy
dy
p
p
1
1
dy
1
 y 2  C1  p  2

 2
.
p
dx y  C1
y  C1
Интегрируя, получим
Получили дифференциальное уравнение первого порядка
dy
1
 2
,
dx y  C1
(*)
Решая которое получим:
dy
1
y3
2

  y  C1 dy   dx 
 C1 y  x  C 2 .
dx y 2  C1
3
Итак, общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:
y3
 C1 y  x  C 2
3
dp
.
dy
Найдем частный интеграл, для этого в общий интеграл и в уравнение
(*) подставим начальные условия y(0)=0, y'(0)=-3. Получаем систему двух
уравнений для определения постоянных С1 и С2.
1


 3 
С
С1   1

 0  С 2
С 2
1
3.
0
 

Таким образом, искомое частное решение имеет вид y3 – y= 3x.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
y'' + py' +qy = 0
где
p и q – числа.
Для
того,
чтобы
решить
это
уравнение
надо
составить
характеристическое уравнение, которое получается из данного уравнения
, если в нем заменить y"=k2, y'=k, a y=k0=1.
k2 + pk + q = 0 - это квадратное уравнение.
Общее
решение
характеристического
уравнения
строиться
в
зависимости от характера его корней.
Возможны три случая:
- дискриминант квадратного уравнения
больше нуля
D > 0 ,
уравнение имеет два действительный различных корня, k1≠ k2, и общее
решение характеристического уравнения имеет вид:
y  C 1 e k1 x  C 2 e k 2 x
- дискриминант характеристического квадратного уравнения равен
нулю D= 0, уравнение имеет два действительный кратных корня, k1= k2=
k, и общее решение уравнения имеет вид:
y  C1 x  C 2 e kx
- дискриминант квадратного уравнения меньше нуля D < 0,
уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней , k1,2= α ± βi, и
общее решение уравнения имеет вид:
y  e x C1 cos x  C 2 sin x 
Пример 10.8. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"+7y'+6y=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2+7k+6=0.
Решим его:
D=49-24=25, k1= -1, k2 = -6. Так как корни
действительные и разные, то, согласно формулы , получаем общее
решение:
y = C1e-x + C2e-6x.
Пример 10.9. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"-6y'+9y=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2 - 6k +9=0.
Решим это уравнение:
D = 36 -36 = 0,
k1 = k2 =3.
Характеристическое уравнение имеет два действительных кратных корня,
следовательно, общее решение находим по формуле :
y = (C1x + C2)e3x.
Пример
10.10.
Найти
общее
решение
уравнения
y"-4y'+13y=0.
дифференциального
Решение. Составим характеристическое уравнение
k2 – 4k +13 = 0.
Решим его. Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля,
D=-36,
уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней , k1,2=
4  6i
 2  3i
2
(α=2, β=3) и общее решение уравнения имеет вид:
y = e2x(C1cos3x + C2sin3x).
Пример 10.11.
Найти частное решение дифференциального
уравнения
y"-5y'+4y=0, удовлетворяющее начальным условиям у'(0)=8, у(0)=5.
Решение. Сначала найдем общее решение, для этого составим
характеристическое уравнение
k2 – 5k +4 = 0.
Дискриминант этого уравнения D=1, следовательно, уравнение
имеет два действительный корня, k1 = 2, k2 = 3 и общее решение
уравнения имеет вид:
y = С1e2x +C2e3x.
Чтобы найти частное решение, сначала найдем у'=2С1e2x +3C2e3x , а
затем подставим в общее решение и в производную от функции-решения у
начальные условия и получим систему для определения постоянных С1 и
С2 .
 C1 e 0

0
2C1 e
 C2 e 0
 3C 2 e 0
 5  C1

 8 2C1
 C2
 3C 2
 5
.
 8
Решив систему получили С1=7, С2 = -2.
Таким образом искомое частное решение имеет вид:
y =7e2x – 2e3x.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
y'' + py' +qy = f(x)
Для нахождения общего решения этого уравнения нужно найти
общее решение у однородного уравнения, как это было показано в
предыдущем параграфе, и какое-либо частное решение у* неоднородного
уравнения . Их сумма будет общим решением данного неоднородного
уравнения:
у = у + у*.
Рассмотрим один из методов нахождения частного решения – метод
неопределенных коэффициентов.
Суть метода заключается в следующем: если правая часть уравнения
неоднородного уравнения имеет вид
f(x)=eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβх] ,
где α и β – действительные числа, а Pn(x) и Qm(x) – многочлены
соответственно n - й и m – й степени с действительными
коэффициентами, то частное решение у* ищется в виде
y* = xl eαx[Ms(x)cosβx+Ns(x)sinβx],
где Ms(x) и Ns(x) – многочлены степени s = max(n,m) с
неопределенными буквенными коэффициентами, а l – кратность, с которой
α + βi входит в число корней характеристического уравнения .
Следует отметить, что в общем виде многочлены соответствующей
степени, имеют вид:
- многочлен 0-ой степени
- А
- многочлен 1-ой степени
- Ах+В
- многочлен 2-ой степени
- Ах2+Вх+С
- многочлен 3-ей степени
- Ах3+Вх2+Сх+D и т.д.
А, В, С, D, … - неопределенные коэффициенты.
Для того, чтобы
найти неопределенные коэффициенты, частное
решение у* , его производные у*' и у*'' подставляют в левую часть
неоднородного уравнения
и производят соответствующие упрощения;
затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при
подобных членах в левой и правой частях, что дает систему уравнений
относительно искомых неопределенных коэффициентов, решив которую
находят эти коэффициенты.
Замечание. Если правая часть неоднородного уравнения есть сумма
функций вида
f(x)=f1(x)+f2(x)+ … +fn(x),
нужно предварительно найти частные решения y1*, y2*, …,yn*,
соответствующие функциям f1(x, f2(x), … ,fn(x). Тогда частное решение
данного уравнения запишутся в виде
y*= y1*+ y2*+, …,+ yn* .
Более общим методом решения уравнений является метод вариации
произвольных постоянных.
Пусть у1 и у2 – линейно независимые частные решения однородного
уравнения . Тогда общее решение неоднородного уравнения
следует
искать в виде
у=С1(х)у1+С2(х)у2
где функции С1(х) и С2(х) определяются из системы уравнений
С1  x  y1

C1  x  y1
Решая эту систему, получим
 C 2 x  y 2
 C 2 x  y 2

0

f x
С1 ( x ) 
где
W  y1 , y 2  
 y 2 f ( x)
,
W  y1 , y 2 
y1
y1
y2
y 2
С 2 ( x ) 
y1 f ( x )
W  y1 , y 2 
- определитель Вронского.
Интегрируя С'1(х) и С'2(х) получаем
С1 ( x )   
y 2 f ( x)
dx
W  y1 , y 2 
С2 ( x)  
y1 f ( x )
dx
W  y1 , y 2 
,
откуда, подставляя найденные функции в функцию решения , найдем
общее решение линейного неоднородного уравнения .
Пример 10.12.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
y"+4y'=-2xe-4х.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме
общего решения
y
однородного уравнения и какого-либо частного
решения у* неоднородного уравнения:
у = у + у*.
Найдем общее решение однородного уравнения
y"+4y'=0.
Составим характеристическое уравнение и решим его
k2 + 4k = 0,
k1=0 , k2=-4.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
-4х
у = С1 +C2e .
Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения.
Здесь правая часть неоднородного уравнения
f(x)=-2xe-4x содержит
произведение многочлена первой степени и показательной функции, а
также коэффициент в показателе степени совпадает с одни из корней
характеристического уравнения, следовательно, необходимо в частное
решение добавить множитель х и частное решение будт иметь вид
y*= x(Ax+B)e-4x=(Ax2+Bx)e-4x.
Вычислим производные функции у*
y*'= 2Axe-4x-4e-4x(Ax2+Bx) = (-4Ax2+2Ax-4Bx+B)e-4x
y*" = (-8Ax+2A-4B) e-4x-4e-4x(-4Ax2+2Ax -4Bx+B)=
= (16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B)e-4x.
Подставим найденные производные в неоднородное уравнение
(16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B)e-4x+4(-4Ax2+2Ax-4Bx+B)e-4x=-2xe-4x
(16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B+16Ax2+8Ax-16Bx+4B)e-4x=-2xe-4x.
Приведем подобные члены и сократим равенство на е-4х
-8Ax+2A -4B =-2x.
Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие
перед х в одинаковой степени, получим систему уравнений, решив
которую найдем значения неопределенных коэффициентов А и В:
A 
 2 
x1  8A


x 0 2 A  4B  0 
B 
1
4
1
8
Получили частное решение неоднородного уравнения
1
1
y*=  x 2  x e  4 x
4
8 
Теперь можно записать общее решение данного неоднородного
уравнения
1
4
1
8 
y = С1 +C2e-4х+  x 2  x e  4 x .
Пример 10.13.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
y"+4y=3xcosx.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме
общего решения
y
однородного уравнения и какого-либо частного
решения у* неоднородного уравнения:
у = у + у*.
Найдем общее решение однородного уравнения
y"+4y=0.
Составим характеристическое уравнение и решим его
k2 + 4 = 0,
k1,2=±2i (α=0, β=2)
Общее решение однородного уравнения имеет вид
у = С1cos2x +C2 sin2x.
Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения.
Здесь правая часть неоднородного уравнения
f(x)=3xcosx содержит
произведение многочлена первой степени и тригонометрической функции
(α =0, β =1), коэффициенты в правой части неоднородного уравнения не
совпадают с корнями характеристического уравнения и частное решение
будет иметь вид
y*= (Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx,
где A,B,C,D – неопределенные коэффициенты.
Вычислим производные функции у*:
y*'=Acosx - (Ax+B)sinx + Csinx + (Cx+D)cosx=(Cx + D + A)cosx +
+(-Ax +C - B)sinx
y*" =Ccosx - (Cx + D +A)sinx – Asinx+(-Ax+C-B)cosx=(-Ax + 2C –
B)cosx + +(-Cx – 2A – D)sinx
Подставим найденные производные в неоднородное уравнение,
приведем подобные члены и сгруппируем члены при cosx и sinx
(3Ax + 3B + 2C)cosx + (3Cx + 3D - 2A)sinx = 3xcosx
3Axcosx + 3Cxsinx + (3B+2C)cosx + (3D-2A)sinx = 3xcosx
Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие
перед xcosx , xsinx , cosx и sinx получим систему уравнений, решив
которую найдем значения неопределенных коэффициентов A,B,C,D:
x cos x
x sin x
cos x
sin x
A
 3 
 0  C
 B
3B  2C  0 
D
3D  2 A  0 
3A
3C




1
0
0
2
3
Таким образом, частное решение имеет вид
2
3
y*=xcosx+ sinx.
Окончательно
получаем
общее
решение
неоднородного
дифференциального уравнения
2
3
у = С1cos2x +C2 sin2x+ xcosx+ sinx.
Задачи контрольной работы
В задачах 10.1- 10.20 решить дифференциальные уравнения первого
порядка.
x  8y
;
8x  y
y
10.4. xy   xtg  y ;
x
10. 2. xyy   x 2  y 2 ;
10.7. xyy   x 2  y 2 ;
10.8. x  y  y   2 x  y ;
10.1. y  
10. 5. xy   y ln
y
0;
x
y
y
y
 x  y ln ; 10.11. xy   y  2 xctg ;
x
x
x
2
2
2
2
10.13. xyy   2 x  y ;
10.14. x y   y  xy  x 2 ;
10.10. xy  ln
y
y2
16. y    1  2 ;
x
x
y
10.19. xy   y  y ln ;
x
xy
;
xy
y
y
10.6. y    sin ;
x
x
y
10.9. xy   y ln 2  0 ;
x
x  2y
10.12. y  
;
2x  y
10.15. 2 x  y  y   x  2 y ;
10.3. y  
10.17. x  2 y  y   x  y  ;
y
x
10.18. xy   y  3x sin ;
10.20. 3x  y  y   x  3 y .
В задачах
10.21 – 10.40 найти частное решение однородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
10.21. y'' – 7y' + 10y = 0;
y(0) = 2;
10.22. y'' + 2y' + 10y = 0;
y( ) = 0;
y'( ) = 1.
y(0) = 1;
y(0) = 2;
y(π) = 0;
y(0) = 2;
y(0) = 1;
y(0) = 0;
y(0) = 5;
y(0) = -1;
y(π) = -1;
y(0) = 1;
y' (0) = 0.
y'(0) = 1.
y'(π) = -1.
у'(0)=-2.
y'(0) = -3.
y'(0) = 1.
y'(0) = 0.
y'(0) = 0.
y'(π) = 0.
y'(0) = 1.
10.23.
10.24.
10.25.
10.26.
10.27.
10.28.
10.29.
10.30.
10.31.
10.32.
y'' – 6y' + 9y = 0;
y'' + 8y' + 7y = 0;
y'' + 9y = 0;
y'' – 7y' + 12y = 0;
y'' + 9y' = 0;
y'' – 3y' + 2y = 0;
y'' – 5y' + 6y = 0;
y'' – 2y' + 5y = 0;
y'' + 16y = 0;
y'' + 10y' + 25y = 0;

2
y'(0) = -1.

2
10.33. y'' – 6y' = 0;
10.34. y'' – 4y' + 4y = 0;
10.35. y'' – 8y' + 15y = 0;
y(0) = 2;
y(0) = 1;
y(0) = 1;
10.36. y'' – 4y' + 17y = 0;
y( ) = 0;
y'( ) = 1.
y'' – 2y' + y = 0;
y'' + y = 0;
y'' – 7y' + 6y = 0;
y'' + 8y' + 16y = 0;
y(1) = 0;
y(π) = -1;
y(0) = 2;
y(0) = 1;
у'(1)=2
y'(π) = -4.
y'(0) = 0.
y'(0) = 0.
10.37.
10.38.
10.39.
10.40.

2
y'(0) = -2.
y'(0) = 3.
y'(0) = -2.

2
В задачах
10.41 – 10.60 найти общее решение однородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
10.41. у'' - 2у' = 3х2 + 1
10.42. у'' - 5у' + 6у = 2хе-х
10.43. у'' + 8у' = (х-1)е2х
10.44. у'' - 6у' + 8у = 3е4х
10.45. у'' - 2у' - 3у = хе-х
10.46. у'' + у' - 2у = (х = 2)е-2х
10.47. у'' + 2у' - 8у = (3х+1)е2х
10.48. у'' + 7у' = 2х2 + х
10.49. у'' - у' = 8х2 ех
10.50. у'' + 3у' -10у = 2х2ех
10.51. у'' + 2у' = х2 -3х +1
10.52. у'' - 5у' - 24у = (2х + 3)ех
10.53. у'' - 2у' - 3у = 8е3х
10.54. у'' + 2у' - 3у =- 2е3х
10.55. у'' + 8у' = (х2+1) е-х
10.56. у'' + 4у' + 3у = -хе-х
10.57. у'' - 2у' - 3у =(х + 2)е-х
10.58. у'' + у' + 6у = 2(х – 1)е2х
10.59. у'' - 4у' = 2х2 – 3х +1
10.60. у'' - 5у' + 6у = 2хе3х
11. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕРЯДЫ
Программные вопросы.
1) Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
2) Теоремы сравнения.
3) Признаки Даламбера и Коши.
4) Интегральный признак сходимости ряда.
5) Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
6) Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства
абсолютно сходящихся рядов.
7) Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.
8) Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
9) Теоремы о почленном интегрировании и почленном
дифференцировании функционального ряда.
10)Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
11)Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность
суммы ряда.
12)Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
13)Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
m
14)Разложение по степеням x бинома (1  x) .
15)Условия разложимости функции в ряд Тейлора.
16)Разложение по степеням x функций e, cos x, sin x, ln(1  x) .
Постановка задачи.

Найти сумму ряда
n
n 1
2
A
. , где A, p, q – целые числа.
 pn  q
План решения задачи.

Суммой ряда
 a . называется предел последовательности его частичных
n
n 1
сумм {S n } , т.е. S  nlim
S n где S n  a1  a2  ...an .

1. По условию задачи an 
A
.Если корни знаменателя отличаются
n  pn  q
2
на целое число, т.е. n 2  pn  q  (n  a )(n  a  k ) , где k – натуральное число,

то члены последовательности частичных сумм ряда
a
n
легко найти, т.к.
n 1
в выражении S n  a1  a2  ...an многие слагаемые взаимно уничтожаются.
2. Раскладываем общий член ряда на элементарные дроби:
A
A 1
1

 


n  pn  q k  n  a n  a  k 
2
3. Находим n-ю частичную сумму ряда: S n  a1  a2  ...an ,сократив
соответствующие слагаемые.
4. Вычисляем сумму ряда по формуле S  lim S n .
n 
Замечание 1. Если коэффициент при n 2 не равен единице, но равен
квадрату целого числа, то все выполняется аналогично.
Замечание 2. Если суммирование ряда начинается не с 1, а с некоторого
номера m, то n-я частичная сумма ряда будет S n  am  am1  ...an .
Задачи с 11.1.1 – 11.1.20. Найти сумму ряда.

11.1.1

2
.
2
 14n  48
11.1.11
18
.

2
n 9 n  13n  40
11.1.12
n
n 9

4
.
2
n 8 n  12 n  35

11.1.4
6
.

2
n  7 n  10n  24
11.1.15
54
.

2
n  7 n  9n  18

11.1.7
n
n6
8
.
2
 8n  15
n
2
n4

n
2
n0

11.1.6
2


11.1.5
n
n4
11.1.14
n 8
2

11.1.13
36
.
2
 11n  28
n
n
n 5

11.1.3 
2
n 5

11.1.2
n

11.1.16
n
2
n0

11.1.17
n
n 10
2
10
.
 6n  8
90
.
 5n  4
12
.
 4n  3
18
.
n2
16
.
 4n  3
36
.
 7 n  10
30
.
 14n  48

11.1.8
n
n6

72
.
2
 7 n  10
11.1.18

36
.

2
n  9 n  12 n  35
54
.
n  0 n  5n  4
11.1.19 

11.1.10
54
.
 11n  28
2
n 9

11.1.9
n
2

72
.

2
n  8 n  9n  18
11.1.20
n
18
.
n2
2
n3
Постановка задач.

Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами
a
n
, где
n 1
an  f (n, u1 (n), u 2 (n),...) и u1 (n), u2 (n),... – функции с известными наименьшими и
наибольшими значениями, причем функция f монотонно зависит от
u1 (n), u2 (n),...
План решения задач.
1. Проверяем, что lim
an  0 , т.к. если lim an  0 , то ряд расходится, т.к. не
n 
n 
выполнено необходимое условие сходимости ряда.
2. Поскольку an  0 , то можно применить первую теорему сравнения:

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

a
n
и
n 1

из сходимости ряда
 b . .Если
n

 bn следует сходимость ряда
n 1
a .
n
n 1

Если an  bn , то из расходимости ряда

 bn следует расходимость ряда
n 1
3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного ряда,
необходимо установить справедливость одной из двух гипотез:

1) Исходный ряд
a
n 1

n
an  bn , то
n 1
сходится.
2) Исходный ряд
a
n 1
n
расходится.
a .
n
n 1
3.1.Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд

a

n
сходится, нужно найти сходящийся ряд
n 1
b
n
такой, что an  bn .
n 1
В качестве эталонного ряда используем одни из следующих рядов:

а) сходящийся гармонический ряд
C
n
при p  1 (С– константа);
p
n 1

б) сходящийся геометрический ряд
 Cq
n
при 0  q  1 (С– константа).
n 1

Если существует сходящийся ряд
b
такой, что выполняется неравенство
n
n 1

an  bn , то по первой теореме сравнения исходный ряд
a
n
сходится. В
n 1
противном случае проверяем вторую гипотезу.
3.2. Проверяем вторую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд


 an расходится, нужно найти расходящийся ряд
n 1
b
n
такой, что an  bn .
n 1

В качестве эталонного ряда
b
n
используем одни из следующих рядов:
n 1

а) расходящийся гармонический ряд
C
n
p
при p  1 (С– константа);
n 1

б) расходящийся геометрический ряд
 Cq
n
при q  1 (С – константа).
n 1

Если существует расходящийся ряд
 b . такой, что выполняется неравенство
n
n 1

an  bn , то по первой теореме сравнения исходный ряд
 a . расходится.
n
n 1
Замечание. Для оценки общего члена ряда используем неравенства:
 1  cos n  1,  1  sin n  1, 1  ln n  n p ( p  0, n  ),


 arctgn  , и т.п.
4
2
Задачи 11.2.1-11.2.20. Исследовать на сходимость ряд.

11.2.1.

sin 2 n n
n n
n 1

11.2.11.
.
n
ln n
.
 n 1
3
n 1
arctg 2n
11.2.2. 
.
n3
n 1
11.2.12.
sin 2 n
.

n2
n 1
arctgn 2
11.2.3. 
.
n 1 nn  1n  2 
11.2.13.
arctg 3n
.

4
n 1 n  3




11.2.4.

n 1
ln n
3
n7


11.2.14.
.
11.2.15.
1  cos n
.
3
n 1 n  2
11.2.16.
11.2.7.
n2  cos n 
.

2n 2  1
n 1
11.2.17.

n2
3  sin n
3
3

sin 2 2 n
.
n2
n 1

ln n

n5  n
n 1
11.2.18.
n n
n
n2

11.2.19.

n2  n
.
1
2
ln n  3 ln 2 n
2  cos n
n2  n
n2
ln n 2  3n
n2
1  sin n

.
sin 2 n
11.2.9.  2 .
n 1 n  1

.
 n  1n  2.


11.2.10.
n7  5



n
n 1
11.2.6.

4

3  sin n
.

n 1 n  ln n

11.2.8.
2  cos n 
n 1

11.2.5.

.
.
cos n 2
.
3
n
n 1

.
11.2.20.
n
Задачи 11.3.1-11.3.20. Исследовать на сходимость ряд.

11.3.1  n 1  cos
n 1

1 
.
n  1

11.3.11
n 1

11.3.2
1
1
tg
.

n
n 1 n  4

11.3.3
 ln
n 1
n2  5
.
n2  4
1
1
sin
.
n 1
n4


11.3.12
1
 n  1 arctg
n2

11.4.13
 ln
n2
n2  3
.
n2  n
3
1
.
n 1

11.3.4   e

n 1



11.3.5
n 1
n3
11.3.14
n2
 sin
n 1
n 1
n arcsin 3
.
n 2

 12

11.3.6  n e   1.
n 1 

11.3.7

5
n 1

11.3.8

3
n 1

3

11.3.16
2n  1
 sin n n  1
n 1
2
11.3.18

11.3.10  3
.
2
2
1

arctg
.
n
4 n
n  tg
.
 3n

11.3.15   e n 1  1.


n2


 1n 
11.3.17  n e  1 .
n 1 

n2
n2
n5  2
1
1
sin
.
n 1
n

11.3.9
n



3


 1.


n 1
.
n3  n


5
n2

11.3.19
 sin n
n 1
1
1
sin
.
n 1
n5
1
 arctg n  1
23
 arcsi n
n 1
.
n
.
n 5

11.3.20
n2  1
n
2
3

52
.
Постановка задачи 4.

Исследовать сходимость ряда с положительными членами
 a . где a
n
n
n 1
содержит произведения многих сомножителей (например, степени и
факториалы).
План решения задачи 4.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами
 a . Если
n
n 1
an1
  , то при   1 ряд сходится, а при   1 расходится.
n  a
n
существует предел lim
Если   1 , то признак Даламбера ответа не дает и требуется дополнительное
исследование ряда.
1. Проверяем, что lim
an  0 , т.к. если lim an  0 , то ряд расходится, т.к. не
n 
n 
выполнено необходимое условие сходимости ряда.
2. Проверяем, что an  0 для всех n  1 .
an1
 ,
n  a
n
3. Вычисляем предел lim
4. Применяем признак Даламбера и делаем вывод о сходимости или
расходимости исследуемого ряда.
Замечание. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком
случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить
признак Даламбера к упрощенному ряду.
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

11.4.1
11.4.11
4n n!
.

n 1 (3n )!
11.4.12
1  3  5  ...  2n  1
.
3n (n  1)!
n 1

n 1
 2 (n  1)!.
n
n2

4n
11.4.2  .
n 1 ( n )!





2 n 1 n 3  1
11.4.3 
.
(n  1)!
n 1
11.4.13
10 n n!
11.4.4 
.
n 1 ( 2n )!
2

n!
11.4.14  n
.
n 1 3  12 n !


2n  2! .

n
n 1 2 3n  5
n5
2
sin n .

3
n 1 n!

11.4.7
1
.


11.4.15
5
 n! arctg n .

11.4.16
n
.
n  1!.
nn
1  4  7  ...  3n  2
.
2n 1 n!
n 1

11.4.17

11.4.18
3


n 1

n!
1
11.4.9 
tg n .
5
n 1 2 n !

n 1
n 1
nn
11.4.8  n .
n 1 3 n!

 n!sin 2
n 1

11.4.6
n 1
n 1

11.4.5
n!
n
n!2n  1!
.
(3n)!
n 1

11.4.19
n!3 n
.
n
2


72n
.

n 1 ( 2n  1)!

11.4.10
11.4.20 
3n  2!.
n 1
10 n n 2
Постановка задачи 5.

Исследовать сходимость ряда с положительными членами
 a .и
n
n 1
lim n an   существует и легко вычисляется.
n 
План решения задачи 5.
Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд с положительными членами

 a . Если существует предел lim
n
n 1
n
n 
an   ,то при   1 ряд сходится, а при   1 –
расходится. Если   1 , то признак Коши ответа не дает и требуется
дополнительное исследование ряда.
1. Проверяем, что lim
an  0 , т.к. если lim an  0 , то ряд расходится, т.к. не
n 
n 
выполнено необходимое условие сходимости ряда.
2. Проверяем, что an  0 для всех n  1 . 3. Вычисляем предел lim n an   .
n 
4. Применяем радикальный признак Коши и делаем вывод о сходимости или
расходимости исследуемого ряда.
Замечание 1. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в
таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и
применить радикальный признак Коши к упрощенному ряду.
Замечание 2. Полезно иметь в виду, что lim n n  1, lim n ln  n  1, lim n C  1,
n 
(  , C  const )
n 
n 
Задача 5. Исследовать ряд на сходимость.

1
11.5.1  n
n 1 3
 n 


 n  1
 n2
.
n

2n 
11.5.2  n 
.
 3n  5 
n 1
4
n2
 2n 2  1 
 .
11.5.3   2
n 1  n  1 

n2

1
1
11.5.4  1    n .
n 4
n 1 
2n  1 
11.5.5  
 .
n 1  3n  2 

n

n2
2n  2 
3
11.5.6  
 n .
n 1  3n  1 
4n  3 
11.5.7  
 .
n 1  5n  1 
n2

n 
11.5.8  
 .
n 1  10n  5 


11.5.9  n arcsin n .
4n
n 1

n2
n2 
11.5.10  
 .
n 1  3n  1 
 n 1 n

 n.

n 1  n  5

n2

n2
2n  3 
11.5.12  
 .
n 1  n  1 
n 1 
11.5.13  
 .
n  2  2n  3 
n

3n  2 
11.5.14  n 
.
 4n  1 
n 1
2
n2

n

11.5.11

11.5.15
 n 



n 1  3n  1 
2 n 1
.
n

2n  1  2
11.5.16  
 .
n 1  3n  1 

2n 1
11.5.17  n .
n 1 n

11.5.18
n
2
sin n
n 1

.
2n
n3
.

n
n  2 ln n 

11.5.19

n3
n 
11.5.20  
 .
n 1  3n  1 
Постановка задачи 6.

Исследовать сходимость ряда с положительными членами
a
n
, где
n 1
an b n  f (n) , причем первообразная функции f (x ) легко вычисляется.
План решения задачи 6.
Если b n  f (n) , причем первообразная функции f (x) легко вычисляется, то
применяем интегральный признак Коши:
Если функция f (x) , принимающая в точках x  n(n  N ) значения b n  f (n)  0 ,

убывает в некотором промежутке a  x   , a  1 , то ряд
a
n
и несобственный
n 1

интеграл
 f ( x)dx либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.
a
1. Проверяем, что lim an  0 , т.к. если lim an  0 , то ряд расходится, т.к. не
n 
n 
выполнено необходимое условие сходимости ряда.
2. Упрощаем, если требуется, выражение для an , т.е. будем исследовать

сходимость ряда
b
n
, такого, что an b n при n   и bn  f (n) выбраны так,
n 1
чтобы функция f (x) имела очевидную первообразную F (x) . Затем используем
вторую теорему сравнения.
3. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению


a
f ( x)dx  lim

b
b a
f ( x)dx  lim ( F (b)  F (a )) .
b 

4. Применяем интегральный признак Коши к ряду  bn и затем делаем вывод о
n 1

сходимости или расходимости исходного ряда
a
n
, используя вторую
n 1
(предельную) теорему сравнения.
Замечание. Интегральный признак Коши применяется, в частности к рядам

вида
1
 n f (ln n).
n 1
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.


11.6.1
1
.

2
n  2 n ln (3n  1)
11.6.11
n2

11.6.2
1
.

2
n 1 n ln ( 2n  1)
1
 3n  1ln n .

11.6.12
1
 2n  1ln( n  1) .
n2

1
.

2
n 1 2 n  3 ln ( 2 n  1)

1
11.6.4 
.
2
n  3 3n  5 ln ( 4 n  7 )

1
11.6.5 
.
2
n 1 3n  4 ln (5n  2)

1
11.6.6 
.
2
n 1 2 n  1ln ( n 5  2)

1
11.6.7 
.
2
n 1 n 2  1 ln ( n 3  1)

1
11.6.8 
.
n  5 n  2  ln( n  3)
11.6.3


11.6.9

1
 2n  1ln( 2n) .

11.6.13
n2

11.6.14

1
 n  1ln( 2n) .
1
 n  2ln
2
n
n 1

11.6.15

11.6.16
2
( 2n)
.
1
 2n  3ln
2
n2

11.6.17
.
1
 n  3ln
n2
(n  1)
.
1
 n ln( n  1) .
n3

11.6.18
 2n
n2
1
.
ln( 3n  1)

11.6.19
n 1
11.6.10
1
 2n  3ln( 3n  1) .
 n  2
n 5

11.6.20
n 1
 3n  1
n4
1
.
ln( n  3)
1
.
ln( n  2)
Постановка задачи 7.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда
 (1)
n
an , an  0
n 1
План решения задачи 7.

1. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей,
a
n
, используя
n 1
теоремы сравнения и признаки сходимости для рядов с положительными
членами.
Если ряд из модулей сходится, то исследуемый знакочередующийся ряд
сходится абсолютно.
2. Если ряд из модулей расходится, то остается еще возможность того, что
исходный ряд сходится условно. Чтобы исследовать эту возможность,
применяем признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда убывают по
абсолютной величине и стремятся к нулю при n   , то ряд сходится (по
крайней мере, условно).
В данном случае, если условия признака Лейбница выполнены, то исходный
ряд сходится условно (т.к. уже выяснено, что абсолютно он не сходится).
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.

 (1) n1
\11.7.1.
n 1
2n  1
.
n(n  1)


(1) n
.

n  3 n ln 2 n 
n

sin n
.
n 1 n!
11.7.11.

11.7.2.
 n 
(1)n 1 
.

 2n  1 
n 1
11.7.12.
11.7.3.
(1)n 1
.

n  2 ln n  1
11.7.13.
(1) n
.

n  3 n ln nln ln n 
11.7.14.

11.7.15.
(1)n 1
.

2n
n 1 2 n  1


n 1


11.7.4.

11.7.5.
 (1)n
n 1
2n 2
.
n4  n2  1
(1) n
.
n  3 n  1 ln n
11.7.16.
11.7.7.
(1)n
.

n  3 n ln n  1
11.7.17.
11.7.8.
(1) n 1
.

4
n 1 n 2 n  3

n 1

11.7.10.
3
(1) n
.
3ncso 3n 
(1) n 1
.

n
n 1 3 2  n  1

2n  1
11.7.18.  (1) n
.
3n
n 1




n 1


cos n
.
2
n 1 n


11.7.6 
11.7.9.
1
n
 (1) tg n .
(1) n

sin
.
3n  1
2 n

11.7.19.
n

11.7.20.
 (1)
n 1
n  3!.
2n
n 1
n
 3n  1 
(1)n 
.

 n 
n 1
 (1)
n
n 1
n3
.
Постановка задачи 8.

Вычислить сумму знакочередующегося числового ряда
 (1)
n
an , an  0 с
n 1
заданной точностью  .
План решения задачи 8.
1. Если an1  an и lim an  0 , то для остатка знакочередующегося
n 
ряда Rn справедливо неравенство | Rn | an1 ,т.е. остаток ряда меньше по модулю
первого отброшенного члена ряда.
2. Если an1   , то и | Rn |  . Поэтому, решая неравенство an1   , находим
количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда
с заданной точностью  .
3. Непосредственно вычисляем n-ю частичную сумму ряда
S  S n  a1  a2  ...  (1) n an
Задача 8. Вычислить сумму ряда с точностью  .
11.8.1.
(1) n1
,   0,01.

3n 2
n 1
11.8.11.
11.8.2.
(1)n 1
,  0,01.

n!
n 1
11.8.12.
11.8.3.
(1)n 1
,   0,001.

3
n 1 2 n 
11.8.4.
(1) n
,  0,001.

n 1 n!2 n  1
11.8.5.
 (1)





n 1
n
2n  1
,  0,01.
n3 n  1
(1)n
,  0,001.

n 1 2n !!


n

n
 2
   ,   0,01.

5
n0 

n
11.8.13.  (1)n n ,  0,0001.
7
n 1
2
11.8.14.     ,  0,1.
3
n0 
(1)n
,  0,001.

n 1 2n !

11.8.15.
11.8.6.
(1) n
,  0,0001.

n 1 2 n  1!
11.8.16.
(1)n
,  0,01.

n  0 3n!
11.8.7.
 (1)
n
,  0,1.
2n
11.8.17.
(1) n
,  0,00001.

n 1 2 n !2n
n2
,  0,1.
3n
11.8.18.
 (1) 2n!n!,  0,001.


n
n 1

11.8.8.
 (1) n
n 1

11.8.9.
n



n 1
n
 (1) 2n  1 2n  1 ,  0,001.
2
2
n 1
(1)n
11.8.10. 
,  0,0001.
n  0 2 n  1!!

2n  1
n

11.8.19.
(1)n
 2 n! ,  0,001.
n
n 1
(1)n
11.8.20.  n ,  0,0001.
n 1 3 n!

Постановка задач 9-11.

Найти область сходимости функционального ряда
f
n
( x)
n 1
План решения задач 9-11.
При каждом допустимом значении x рассматриваем данный ряд как числовой и
исследуем его сходимость, применяя теоремы сравнения, признаки Коши,
Даламбера и др. Таким образом, находим те значения x , при которых данный
ряд сходится. Совокупность таких значений x образует область сходимости
ряда.
При использовании признаков Даламбера или Коши поступаем следующим
образом.
1. Находим  (x) по одной из формул (если предел существует)  ( x)  lim
n 
или  ( x)  lim n | f n ( x) | ,где f n (x) – общий член ряда.
n 
| f n1 ( x ) |
| f n ( x) |
2. Т.к. по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при  <1 и расходится
при  >1, находим интервал сходимости, решая неравенство  (x) <1.
3. Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала сходимости.
Задача 9. Найти область сходимости ряда.

xn
.

n
n 1 x  1

11.9.1.
n

n 1
.
x2

n  3 n 1
11.9.13.
 4  n x 2  4  x n
.
1   e

n
n 1 
n
11.9.5.  2 2 .
n 1 x  n

11.9.6.  e
n 2 sin
x 2 1
n

11.9.14.

11.9.15.
n5
n
1
1 e

11.9.16.
.
3x x
2
 nx
.
e
 n 2 sin
x 2 1
n
 nx
.

11.9.18.
n 1
xn
.

2n
n 1 1  x

ln 1 x 2

n 1

n2

11.9.19.

 n2 arctg 2nx.
 1n 1 .
n
n 1

n 1
1  xn
.

n
n 1 1  x

11.9.17.
.
 n arcsin 3
11.9.10.

n x 2  4 x 3  x n
n 1

11.9.9.
 ne 
n 1
n 1
11.9.8.
1
.
1
n 1
n 1
11.9.7.
n2
nx

3

e
n 1
n

11.9.4.
.
n

n

4
1
11.9.12.   2   4 x .
n
n 1 
ln 1 x 

n
x 2 1

n 1
11.9.3.
n
n 1
 1n 1 .

11.9.2.
11.9.11.
 n  n
x 1
3

11.9.20.
nx
 n arcsin 3
n 1
.
.
.
Задача 10. Найти область сходимости ряда.
(n  2) 3
( x  3) 2n .
n 1 2n  3
11.10.11.
 1n ( x  3) n .

n
n 1 n  15
11.1012.

11.101.


11.10.2.
( x  1)2 n
11.10.3. 
.
n9n
n 1


3
 1n 1 ( x  2)2 n .
11.10.15.
2n
n 1

 1
( x  6) n .


n

3

ln

n

3

n 1
1.10.17.
11.10.8.
( x  6) n
.

n
n 1 n  2 3
11.10.18.
11.10.16.
n 1
n5
( x  5) 2n 1.

n 1 n  1!


( x  5)2 n 1
.

n
n 1 2n  14
11.10.20.
3n  2
 n  1 2
2
n
( x  3)n .
n 1

11.10.10.
( x  4)2 n .
( x  6) n
.

n
n 1 n  32
11.10.19.

3

( x  7) 2 n 1
.
2n 2  5n 4n

n 1
 3n  1
n 1
n

11.10.9.
n
( x  2) n .
1
 1n ( x  6) n .

n
n 1 3n  13

11.10.7.

2

(n  5) 2n 1
.

3n  8
n 1

n
n 1
11.10.6.

( x  2)3n .

11.10.14.

.
n 1
 1n n  1 ( x  7) n .

2 n 1
n 1 n  3 2

3n
 5n  8

11.10.5.
n
n 1
( x  5)n
11.1013. 
.
3n
n 1

11.10.4.
( x  2) n
 3n  12
( x  5) n
.

n 1 n  4  ln n  4 

Задача 11. Найти область сходимости ряда.

11.11.1.
 n( x
2
n 1
5n
.
 6 x  13) n
8n
sin 3n x.

2
n
n 1

11.11.11.
n


11.11.12.



11.11.14.
2n
sin 4 3 x .

4
n 1 n

n

11.11.16.
n

x

n
2
n 1
 5 x  11
.
5n n 2  5


4n
.

2
n
n 1 n( x  5 x  10)
11.11.17.
4n
sin 2n x.

2
n
n 1
2n
sin 2n 2 x .
n
11.11.18.
ln n x
.

n 2
n 1 2 n
11.11.19.
3n
.

2
n
n 1 n( x  2 x  3)
11.11.20.
n




n 1

ln n  x  e 
.

ne
n 1

11.11.9.
.
1
11.11.15.  4 x  2 .
n 1 n
1
11.11.6. 
2 4 x .
n
(
n

1
)
n 1
11.11.8.
n
cos x
3n
.

2
2
n
n 1 n ( x  2)

 8n n2 sin 3n x.
n 1
11.11.7.


n
n 1 2
x  4x  6 .

n
n 1 3

 ne
11.11.13.
n

11.11.5.
x.
n 1
1
11.11.3.  1   3 x 1 .
n
n 1 
11.11.4.
2n
n 1

11.11.2.
3n
 n tg

11.11.10.

n 1
x


n
2
 6 x  12
.
4n n 2  1



n 1
1
3
tg n 2 x .
12. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
12.1. Основные понятия теории вероятностей
Программные вопросы
1. Случайное событие. Виды событий. Полная группа событий.
2. Вероятность события. Классическое определение вероятности
события. Геометрическая вероятность.
3.
Относительная
частота
появления
события.
Статистическая
вероятность.
Решение типовых примеров
Пример 12.1.1. В корзине 10 яблок, из которых 4 зелёных и 6 красных.
Наугад отбирают 5 яблок. Найти вероятность того, что среди них 1) 2
зелёных и 3 красных; 2) все яблоки красные.
Решение. 1) Обозначим через А событие, состоящее в том, что из 5
отобранных яблок 2 зелёных и 3 красных. Так как исходы опыта
равновозможные и их число конечно, то вероятность данного события
можно найти по классической формуле:
Р(А) =
m
, где
n
n – число
возможных исходов опыта, а m – число исходов, благоприятствующих
появлению события А.
5
В нашем случае n = C10

10  9  8  7  6
 252 (в общем случае –это число
5  4  3  2 1
сочетаний из п элементов по т, которое находится
C nm 
по формуле
n  (n  1)  ...  (n  m  1)
43 65 4
). т= C 42 C 63 

 120 .
m  (m  1)  ...  1
2 1 3  2 1
Получаем: Р(А)=
120
 0,476 .
252
2) Пусть теперь А1 – событие, состоящее в том, что из пяти отобранных
яблок - все красные.
Вероятность события А1 также найдём по классической формуле. Как и
в предыдущем случае n = C105  252 ; т= C 65  C 61 
6
 6.
1
Ответ: Р(А1)=
6
 0,024 .
252
Пример 12.1.2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100
качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами.
Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.
Решение. Пусть событие А - купленная сумка качественная. Тогда
Р(А) =
100  8
 0,92 .
100
Ответ: Р(А)=0,92.
Задачи контрольной работы
12.1.1.В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены
3 детали. Найти вероятность, что среди извлечённых деталей 1) нет
бракованных; 2) нет годных.
12.1.2. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов
в двух из 20 магазинов, среди которых два принадлежат фирме «Заря».
Найти вероятность того, что в течение месяца 1) оба они будут проверены;
2) ни один из них не будет проверен.
12.1.3. В бригаде 8 рабочих, среди которых 2 женщины. Для
выполнения работы по табельным номерам наудачу отобраны 5 человек.
Найти вероятность того, что среди них 1) не окажется женщин; 2)
окажутся обе женщины.
12.1.4.
В
ящике
50
арбузов,
причем
10
из
них
являются
некондицонными. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 арбуза
окажутся 1)кондиционными; 2) некондиционными.
12.1.5. В корзине 20 яиц, среди которых 3 испорченных. Наудачу
выбирают 5 яиц. Найти вероятность того, что среди них 1) нет
испорченных; 2) только одно испорченное.
12.1.6. Линия электропередачи, длиной 20 км, соединяющая пункты А и
В, порвалась в неизвестном месте. Найти вероятность того, что она
порвалась не далее чем 1) в 1,5 км от пункта В; 2) в 2 км от пункта А.
12.1.7. В
хозяйстве имеется 8 тракторов, причём 5 из них на
гусеничном ходу. Найти вероятность, что в наудачу выбранный момент из
трёх работающих тракторов 1) один на гусеничном ходу, а остальные
колёсные; 2) все гусеничные.
12.1.8. Грузовая машина перевозит зерно от трёх комбайнов. За смену
она сделала 5 рейсов от первого комбайна, 4 от второго и 3 от третьего?
Найти частости перевозок от каждого комбайна?
12.1.9. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры,
которые он набрал наугад. Найти вероятность, того, что будут набраны
нужные цифры. Какова вероятность того, что будут набраны нужные
цифры, если известно, что цифры должны быть различными?
12.1.10. По данным многолетних наблюдений в данном районе число
дождливых дней в октябре равно 15. Найти вероятность того, что 1)
первого октября будет ясный день; 2) первого октября будет дождь; 3)
первые два дня в октябре будут ясными?
12.1.11. Из 10 акционерных обществ (АО) три являются банкротами.
Гражданин приобрёл по одной акции четырёх АО. Найти вероятность того,
что среди купленных акций 1) нет акций банкротов; 2) одна акция
банкрота.
2.1.12. Найти вероятность того, что 1) при бросании одной игральной
кости (кубика) выпадет нечётное число очков; 2) при бросании двух
игральных костей выпадет в сумме 5 очков.
12.1.13. В книге 105 страниц. Найти вероятность того, что нужная
формула находится на странице, которая оканчивается цифрой 1) 1; 2) 6.
12.1.14. Для посева заготовлена смесь, состоящая из 100г белой, 300г
цветной и 600г чёрной фасоли. Найти вероятность того, что наудачу
отобранное зерно 1) белое; 2) чёрное.
12.1.15. На склад поступило 100 ящиков огурцов от двух бригад,
причём от первой поступило 40 ящиков. Найти вероятность того, что из
двух наудачу выбранных ящиков 1) оба поступили от первой бригады; 1)
от первой бригады поступил один ящик.
12.1.16. Для озеленения пустыря завезли 150 саженцев деревьев. Среди
них 40 тополей, 40 клёнов, 50 сосен 20 елей. Найти вероятность того, что
первое наугад выбранное для посадки дерево окажется 1) хвойным; 2)
лиственным.
12.1.17. Среди 200 ампул, проверенных на герметичность, оказалось 3 с
трещинами. Найти относительную частоту появления ампул 1) с
трещинами; 2) без трещин.
12.1.18. Опытный участок имеет форму прямоугольника со сторонами
50 м и 100м. Под пшеницу была выделена площадь 100 кв. м. Какова
вероятность, что в данном месте участка посеяна пшеница.
12.1.19. За бригадой были закреплены 5 прицепных и 7 навесных
культиваторов. Какова вероятность, что из трёх наудачу выбранных
культиваторов 1)один навесной; 2) два навесных.
12.1.20. В хозяйстве из 15 тракторов не отремонтировано 3. Найти
вероятность того, что из пяти выбранных наугад 1) все исправны; 2) один
неисправен.
12.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Программные вопросы
1. Операции над событиями.
2. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных
событий.
3. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей для
зависимых и независимых событий.
Решение типового примера
Пример 12.2. В поле работают два трактора. Вероятность того, что
первый из них в течение смены будет работать без остановок из-за
поломок, равна 0,9, а для второго эта вероятность равна 0,8. Найти
вероятность того, что 1)оба трактора будут работать без остановок из-за
поломок; 2) хотя бы один из них будет работать без остановок из-за
поломок.
Решение.
Пусть события А и В состоят в том, что соответственно
первый и второй трактор будут работать без остановок из-за поломок в
течение смены.
1) Событие АВ – оба трактора будут работать без остановок из-за
поломок.
По теореме умножения вероятностей для независимых событий Р(АВ)=
= Р(А)·Р(В).
И, следовательно, Р(АВ)=0,9·0,8=0,72, так как по условию Р(А)=0,9, а
Р(В)=0,8.
2) Событие А+В состоит в том, что хотя бы один трактор будет работать
без остановок из-за поломок. Так как события А и В совместны, то по
теореме сложения для совместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ).
Учитывая, что Р(АВ)=0,72, получаем Р(А+В)= 0,9+0,8 – 0,72=0,98.
Ответ: 1) 0,72; 2) 0,98.
Задачи контрольной работы
12.2.1. При изготовлении некоторого изделия брак составляет 2% от
общего количества. Из числа годных изделий 90% составляют изделия
первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие будет
первого сорта.
12.2.2. В тракторной бригаде работают 3 трактора одной марки.
Вероятность того, что каждый из них будет работать без вмешательства
механика, равна 0,96. Найти вероятность того, что 1) все тракторы не
потребует вмешательства механика; 2) хотя бы один трактор потребует
внимания механика.
12.2.3. В корзине находится 10 яиц, среди которых 3 штуки
испорченные. Первое разбитое яйцо оказалось некачественным. Какова
вероятность того, что второе наугад разбитое яйцо будет качественным.
12.2.4. Вероятность правильного оформления счёта на предприятии
составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счёта.
Найти вероятность того, что 1) оба счёта оформлены правильно; 2) хотя
бы один счёт оформлен неправильно.
12.2.5. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо
работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает
первый сигнализатор равна 0,95, а для второго эта вероятность равна 0,9.
Найти вероятность,
что при аварии сработает 1) хотя бы один
сигнализатор; 2)оба сигнализатора.
12.2.6. В мастерской по ремонту сельхозинвентаря имеется три
резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в
данный момент электродвигатель включён равна 0,2. Найти вероятность
того, что, что в данный момент из числа резервных 1) все двигатели
включены; 2) включён хотя бы один двигатель.
12.2.7. Вероятность того, что комбайн на уборке пшеницы будет
работать без поломок, равна 0,8.
Вероятность безотказной работы
автомашины равна 0,85. Найти вероятность того, что уборка будет
произведена без остановок из-за поломок.
12.2.8. Для посадки заготовили три сорта картофеля. Первого сорта
заготовили 500кг, второго – 300кг и третьего – 200 кг. Какова вероятность
того, что наудачу выбранный клубень либо первого, либо второго сорта?
12.2.9. В книге 100 страниц. Какова вероятность того, что нужная
формула находится на странице, номер которой будет кратным 4 или 5?
12.2.10. Партия семян, состоящая из 10 мешков, принимается, если при
проверке семян из выбранных наудачу двух мешков они окажутся
удовлетворяющими стандарту. Найти вероятность приёмки партии,
содержащей в четырёх мешках нестандартные семена.
12.2.11. Для полива участка вода поставляется двумя насосами.
Вероятность бесперебойной работы в течение смены для одного из них
равна 0,9, а для другого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение
смены будут работать 1) оба насоса; 2) хотя бы один из них.
12.2.12. Вероятность установления в Саратовской области устойчивого
снежного покрова до 10 ноября равна 0,2. Найти вероятность того, что два
года подряд с 10 ноября в области установится устойчивый снежный
покров.
12.2.13. Пахотный агрегат состоит из трактора и плуга. Вероятность
безостановочной работы трактора в течение смены равна 0,9, а вероятность
поломки плуга равна 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены
агрегат будет работать без остановок из-за поломок.
12.2.14. В зернохранилище поступает зерно от двух хозяйств. В течение
смены от первого хозяйства поступает 12 автомашин, а от второго – 15.
Какова вероятность того, что прибывшие подряд две машины принадлежат
второму хозяйству?
12.2.15. В стаде из 30 животных одной породы оказалось 5 без
прививки. Наудачу выбирают двух животных. Какова вероятность, что они
оба привитые?
12.2.16. Установлено, что 5% яблок данной партии поражены паршой.
Какова вероятность, что 2 яблока, выбранные из них наугад, здоровые?
12.2.17.
При
подготовке
семян
к
посеву
установлено,
что
повреждённые семена составляют 5%. Для целых семян всхожесть
составляет 85%. Какова вероятность, что из наудачу взятого зерна
вырастет растение?
12.2.18. Среди 1000 початков кукурузы, заготовленной на семена, 400
штук имеют массу менее 250 г; 300 штук – более 250 г, но менее 275г;
остальные имеют массу большую 275г. Какова вероятность того, что масса
наугад взятого початка окажется более 250 г?
12.2.19. На делянке в посевах пшеницы 95% здоровых растений.
Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя
бы одно окажется здоровым?
12.2.20 .В теплицу завезли три сорта удобрений: 15 пакетов аммиачной
селитры, 10 пакетов мочевины и 5 пакетов кальциевой селитры. Найти
вероятность того, что наудачу выбранный пакет окажется мочевиной или
аммиачной селитрой.
12.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Программные вопросы
1. Формула полной вероятности.
2. Формулы Байеса.
Решение типового примера
Пример 12.3. Заготовлены семена трёх сортов кукурузы, из которых
семена первого сорта составляют 50%, второго – 30%, а третьего – 20%, а
их всхожести соответственно равны 95%, 90% и 85%. Какова вероятность
того, что после сбора урожая выбранный початок вырос из семени второго
сорта?
Решение. Такая задача решается с использованием формул полной
вероятности и
Байеса. Применение их связано с введением понятия
системы гипотез для рассматриваемого события А, то есть такой полной
группы событий, что появление события А происходит лишь при условии
появления одного и только одного из этих событий.
Введем следующие гипотезы: В1, В2 и В3 – наугад взятое зерно является
соответственно зерном первого, второго и третьего сортов. Из условия
задачи можно заключить, что Р(В1) =0,5, Р(В2) =0,3, Р(В3) =0,2.
Пусть А – событие, состоящее в том, что из выбранного наугад семени
вырастет растение.
По формуле полной вероятности
Р(А)= P (B1 )PB ( A)  P(B2 )PB ( A)  P (B3 )PB ( A) ,
1
2
3
где
PBi (A) -
условная
вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие Bi
уже наступило (i = 1, 2, 3).
Так
как
по
условию
PB1 ( A) =0,95;
PB2 ( A) =0,9;
PB3 ( A) =0,85,
то
Р(А) = 0,5·0,95+0,3·0,9+0,2·0,85 =0,915.
Для переоценки вероятности гипотезы после того, как становится
известным, что событие произошло, служат формулы Байеса:
PA (Bi ) 
P (Bi )PBi ( A)
P ( A)
(i =1, 2, …)
Тогда вероятность того, что початок вырос из зерна второго сорта, по
формуле Байеса равна PA (B2 ) 
0,3  0,9
 0,295 .
0,915
Ответ: Р(А) = 0,915. PA ( B2 )  0,295 .
Задачи контрольной работы
12.3.1. Двое рабочих изготовили по одинаковому количеству деталей.
Вероятность изготовления бракованной детали для первого рабочего равна
0,1, а для второго - 0,15. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь
окажется годной. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена
первым рабочим.
12.3.2. Заготовлены семена трёх сортов пшеницы, причём семена
первого сорта составляют 50%, второго – 30%, и третьего 20%.
Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50
зёрен, равна для первого сорта 0,8, для второго- 0,7 и для третьего 0,6.
Наудачу собранный колос содержит более 50 зёрен. Какова вероятность,
что он вырос из зерна второго сорта.
12.3.3. Детали на сборку плуга поступают из двух цехов: 70% из
первого цеха, из второго – 30%. Среди деталей первого цеха 10% брака,
среди деталей второго цеха 5% брака. Какова вероятность того, что
выбранная годная деталь изготовлена во втором цехе?
12.3.4. Для посадки заготовили семена двух сортов огурцов: 40% сорта
«Конкурент» и 60% сорта «Неженский». Всхожесть сорта «Конкурент»
составляет 80%, сорта «Неженский» – 85%. Посаженное семя проросло.
Какова вероятность того, что проросло семя сорта «Конкурент»?
12.3.5. Для посадки заготовили 70 саженцев яблони и 30 саженцев
груши. Стандартные саженцы среди яблонь составляют 80%, среди груш
85%. Какова вероятность, что наудачу взятый саженец стандартный?
12.3.6. Поле вспахано тремя агрегатами, состоящими из трактора и
комплекта плугов. Производительность первого агрегата больше, чем
второго
в
2
раза.
Производительность
третьего
агрегата
равна
производительности первых двух вместе взятых. Вероятность вспашки на
заданную глубину для первого агрегата составляет 0,9, для второго- 0,95 и
для третьего –0,8. Был обнаружен брак в пахоте. Какова вероятность того,
что он был допущен при работе первого агрегата?
12.3.7. В магазин поступают электролампы, изготовленные на двух
заводах, причём первый завод поставляет 60%
от общего количества
электроламп. Продукция первого завода содержит 10% брака, второго –
15%. Какова вероятность того, что купленная в магазине стандартная
лампа изготовлена на втором заводе?
2.3.8. На сборку трактора поступают
детали от трёх станков,
производительность которых относится как 1:2:3. Причём брак составляет
для них соответственно 1%; 1,5%; 0,5%. Взятая наугад деталь оказалась
годной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.
12.3.9. Для посадки на опытном участке заготовили семена трёх сортов
пшеницы, причём первого сорта заготовили 200г, второго 300г и третьего
– 500г. Всхожесть семян составляет соответственно 90%, 85%, 80%. Найти
вероятность того, что наугад взятое зерно прорастёт.
12.3.10. В каждой из двух урн содержится 6 чёрных и 4 белых шаров. Из
первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую. Найти
вероятность того, что шар, извлечённый из второй урны, окажется чёрным.
12.3.11. В каждой из двух урн содержится 7 белых и три чёрных шара.
Из второй урны наудачу извлечён один шар и переложен в первую. Найти
вероятность, что шар, извлечённый из первой урны, окажется белым.
12.3.12. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и
усиленном. В нормальном режиме он работает 80% времени, а в
усиленном – 20%. Вероятность выхода прибора из строя в течение смены в
нормальном режиме равна 0,1, а в усиленном – 0,7. Найти вероятность
того, что прибор в течение смены не выйдет из строя.
12.3.13. Одну и ту же операцию выполняют рабочие 3-го, 4-го и 5-го
разрядов, производительности которых относятся как 2:3:5. При этом
рабочие 5-го разряда допускают 2% брака, 4-го – 3%, а 3-го – 5%. При
проверке деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что её
изготовил рабочий 5-го разряда?
12.3.14. На молочный завод ежедневно поступает молоко с двух ферм:
70 фляг с первой и 30 – со второй. Вероятность того, что жирность молока
не ниже 4% для продукции первой фермы равна 0,75, а для второй – 0,8. В
наудачу выбранной фляге молоко содержало жира более 4%. Какова
вероятность того, что фляга поступила со второй фермы?
12.3.15. В инкубатор заложили яйца двух сортов. Первого сорта – 80%,
второго – 20%. Вероятность того, что из яйца первого сорта вылупится
цыплёнок, равна 0,95, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что
наудачу взятый цыплёнок вылупился из яйца второго сорта?
12.3.16. Трое рабочих изготавливают одинаковые детали: первый – 12,
второй – 15, а третий 18 штук в день. Вероятность того, что деталь,
изготовленная первым мастером, будет стандартной равна 0,95, вторым 0,9, а третьим – 0,85. Наудачу взятая деталь оказалась стандартной. Какова
вероятность, что она изготовлена вторым рабочим?
12.3.17. Азотные удобрения поступают на склад хозяйства из пунктов
А и В, причём из пункта А в 2 раза больше, чем из пункта В. Вероятность
того, что удобрения из пункта А удовлетворяют стандарту равна 0,8, а из
пункта В – 0,75. Найти вероятность того, что взятое для пробы на складе
хозяйства удобрение удовлетворяет стандарту.
12.3.18. Три бригады возят на сортировку картофель. Первая бригада
сдала 35% картофеля, вторая – 45%, третья – 20%. Доля некондиционного
картофеля из первой бригады составляет 0,04, второй – 0,06, третьей –
0,03. Найти вероятность того, что взятый наудачу клубень окажется
кондиционным и убран первой бригадой.
12.3.19. Изделие проверяется на стандартность одним из двух
контролёров. Первый из них проверяет 60% изделий. Вероятность того,
что стандартное изделие будет признано стандартным, для первого
контролёра равна
0,95, для второго – 0,98. Стандартное изделие при
проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это
изделие проверил второй контролёр.
12.3.20. Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдёт сбой
в оперативной памяти и остальных устройствах, относятся как 4:6.
Вероятность обнаружения сбоя в оперативной памяти равна 0,8, а в
остальных устройствах – 0,9. Найти вероятность того, что возникший сбой
будет обнаружен.
12.4. Повторные независимые испытания
Программные вопросы
3 Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли.
4 Теорема Пуассона.
5 Локальная теорема Лапласа.
6 Интегральная теорема Лапласа.
Решение типового примера
Пример 12.4.1. Всхожесть семян данной партии равна 90%. Найти
вероятность того, что 1) из пяти посеянных семян взойдёт не менее
четырёх;
2) из 100 посеянных семян взойдет 85; 3) из 200 посеянных
взойдёт не менее 190. 4) Найдите наивероятнейшее число взошедших
семян из 20 посеянных.
Решение. 1) Так как вероятность того, что каждое семя прорастёт р=0,9
и семян для опыта отобрано всего 5, то вероятность того, что прорастет к
семян из n посеянных можно найти по формуле Бернулли: Рn(к)=Сnк ркqn-к,
где q=1-р.
В нашем случае, вероятность того, что прорастёт не менее четырех
семян, находим, используя формулу Бернулли: Р5(к≥4)= Р5(4) + Р5(5)=С54
р4q5-4+ +С55 р5q5-5=
5
(0,9)4 (1- 0,9) + (0,9)5  0,919. Здесь использовано, что
1
Сnк= Сnn-к.
2) Так как число посеянных семян достаточно велико, то здесь
необходимо использовать локальную теорему Лапласа, в соответствии с
которой Рn(к)=
1
npq
 ( x ) , где x 
к  np
npq
, ( x) 
1
2
e

x2
2
.
Таким
образом,
Р100(85)=
 85  100  0,9 
=
 
100  0,9  0,1  100  0,9  0,1 
1
1
 (1,33) =
3
1
3
=  0,1647=0,0549.
Значения функции  (x ) находят с учётом того, что она чётная по
таблице (см. приложение 1).
3) При достаточно большом числе испытаний вероятность того, что
событие появится не менее к1 и не более к2 раз в серии из n независимых
испытаний, по интегральной теореме Лапласа: Рn (к1  к  к2)  Ф(х2) Ф(х1), где Ф(х)=
1
2
x
e

t2
2
dt . Значения функции Ф(х) находятся по таблице
0
(см. приложение 2) с учётом того, что эта функция нечётная и при х> 4
Ф(х)=0,5.
В нашем случае Р200 (190  к  200)  Ф(4,71) - Ф(-2,35) = 0,5 +0,4906=
=0,9906, так как х1= 190  200  0,9  2,35 , а х2=
200  0,9  0,1
200  200  0,9
200  0,9  0,1
 4,71 .
4) Наивероятнейшее число k 0 наступлений события в условиях схемы
Бернулли, когда вероятность появления события в каждом испытании одна
и та же и равна р, а п – число испытаний, удовлетворяет условию:
np  q  k 0  np  p , где q  1  p .
В нашем случае, р=0,9, q=0,1, п=20, и 20  0,9  0,1  k0  20  0,9  0,9 , то
есть, 17,9  k 0  18,9 , но k 0 - целое число. Следовательно, k 0 =18.
Ответ: 1) 0,919; 2) 0,0549; 3) 0,9906; 4) 18.
Пример 12.4.2. Вероятность заболевания животного в стаде равна
0,002. Найдите вероятность того, что среди 1000 голов не окажется
больных животных.
Решение.
Поскольку
вероятность
заболевания
животного
в
многочисленном стаде мала, для нахождения требуемой вероятности
k  
применим теорему Пуассона, по которой Pn (k ) 
e , где   np . В
k!
нашем
случае
п=1000,
р=0,0002,
k=0 и
  1000  0,0002  2 . Для
нахождения используем таблицу (см приложение 3): P1000 (0)  0,1353.
Ответ: 0,1353.
Задачи контрольной работы
12.4.1. Доля зараженности зерна вредителями составляет 0,004. Какова
вероятность, что в выборке из 1000 зёрен окажется 5 штук зараженных?
12.4.2. Вероятность рождения бычка при отёле коровы равна 0,5. Найти
вероятность того, что от 400 коров родится 190 бычков.
12.4.3. Семена некоторой культуры в 1 кг содержат в среднем 3 семени
сорняков. Для опытов отвешивается 200г семян. Определить вероятность
того, что в них не окажется семян сорняков.
12.4.4. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти
вероятность того, что среди 500 приборов окажется не менее 420 точных.
12.4.5. Вероятность остановки комбайна из-за поломки равна 0,1. Чему
равно наивероятнейшее число комбайнов, работающих в поле, если
хозяйство имеет 30 комбайнов.
12.4.6.
Всхожесть
семян
груши
составляет
70%.
Определить
вероятность того, что из посаженных четырёх семян взойдут три.
12.4.7. Всхожесть семян пшеницы составляет 85%. Какова вероятность,
что из четырех посеянных
семян 1) 3 прорастут? 2) не менее трёх
прорастёт?
12.7.8. Вероятность поражения земляники серой гнилью равна 0,4.
Сколько растений надо взять, чтобы с вероятностью 0,936 можно было
утверждать, что выборка содержит хотя бы одно здоровое растение?
12.4.9. Вероятность поражения помидоров фитофторой равна 0,6.
Определить вероятность того, что из 100 проверяемых помидоров 55 будет
поражено этой болезнью.
12.4.10. Вероятность того, что хотя бы одно из двух семян одной
партии взойдёт, равна 0,99. Найти вероятность того, что из пяти семян
данной партии взойдет 4.
12.4.11. Нестандартные детали данной партии составляют 8%. Найти
вероятность, что из четырёх взятых наугад деталей не менее трёх окажутся
стандартными.
12.4.12. На инкубационную закладку поступила партия в количестве
1000 яиц. Вероятность того, что в результате инкубации из яйца вылупится
цыплёнок, равна 0,8. Найти наивероятнейшее число вылупившихся
цыплят.
12.4.13. Вероятность того, что расход воды в течение дня не превысит
норму, равна 0,8. Найти вероятность того, что расход воды будет
нормальным в течение 3 из ближайших четырёх дней.
12.4.14. Вероятность поражения яблок паршой равна 0,001. Найти
вероятность того, что из 1000 случайно отобранных плодов поражёнными
окажутся 2 яблока.
12.4.15. Вероятность изготовления стандартной детали на данном
станке равна 0,9. Найти вероятность, что из взятых наугад 300 деталей 250
окажутся стандартными.
12.4.16. Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что
число прижившихся деревьев составит от 360 до 375, если вероятность
приживания отдельного дерева составляет 0,9.
12.4.17. На некотором участке повреждены градом 20% растений.
Какова вероятность, что из 100 растений окажутся повреждёнными от 15
до 25 растений?
12.4.18. Птицефабрика поставляет в магазин 90% яиц первой категории.
Найти вероятность того, что в партии 10000 яиц число яиц первой
категории будет не менее 8900.
12.4.19. Всхожесть семян данной партии равна 90%. Найти вероятность
того, что из 100 посеянных взойдёт 95 семян.
12.4.20. Семена пшеницы содержат 0,2% сорняков. Найти вероятность
того, что из 1000 семян будет 3 семени сорняков.
12.5. Дискретная случайная величина
Программные вопросы
1. Дискретная случайная величина
и закон её распределения.
Многоугольник распределения.
2. Функция распределения случайной величины.
3.
Числовые
характеристики
дискретной
случайной
величины:
математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение;
их свойства и вероятностный смысл.
Решение типового примера
Задача 12.5. Для случайной величины Х – стоимости возможного
выигрыша для владельца одного лотерейного билета в беспроигрышной
лотерее, в которой разыгрывается 100 выигрышей (10 по 50 руб., 30 по
10руб., 60 по 1 руб.), 1) построить ряд распределения; 2) вычислить
математическое
ожидание,
дисперсию
и
среднее
квадратическое
отклонение; 3)найти функцию распределения вероятностей.
Решение. 1) Случайная величина в результате испытания принимает
одно из своих возможных значений, которое предугадать заранее
невозможно. Дискретная случайная величина Х, принимающая значения
х1, х2,…, хn с вероятностями р1, р2,…, рn, может быть задана рядом
распределения, который записывается в виде таблицы:
Х
Р
х1
р1
х2
р2
…
…
хn
рn
В нашем случае возможные значения случайной величины Х: 1, 10 и 50.
Вероятности этих значений р1 
60
30
10
 0,6 , р 2 
 0 ,3 , р3 
 0,1 .
100
100
100
Получаем ряд распределения:
Х
Р
1
0,6
10
0,3
50
0,1
2) Так как математическое ожидание М(Х) для дискретной случайной
величины Х находится по формуле
n
М ( Х )  х1 р1  х2 р2  ...  хn pn   xi pi ,
i 1
то получаем: М(Х) = 1∙0,6 +10∙0,3 + 50∙0,1 = 8,6
Дисперсия D(Х) случайной величины Х может быть найдена по
формуле:
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2
Вычислим
М(Х2) = 12∙0,6 + 102∙0,3 + 502∙0,1 = 280,6. Тогда
D(Х) = 280,6 – (8,6)2 = 206,64.
Среднее квадратическое отклонение  ( x )  D( X ) . Получаем:
 ( x )  206,64  14,37 .
3) Для случайной величины Х функция распределения вероятностей
F(x) определяется формулой: F (х) = Р (Х<х)
Для дискретной случайной величины F(x) вычисляется по формуле:
F( x ) 
 P( X  x
i
).
xi  x
Найдём функцию распределения вероятностей.
Если x < 1, то F(x)=Р(Х<х)=Р(- <X< x)=0, так как интервал
содержит возможных значений Х; если
(-; х) не
1< x ≤10, то F(x)=Р(Х<х)=
=Р(- <X< x)=P(X=1)=0,6; если 10< x≤50, то F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=1)+
Р(Х=10)=0,6+0,3=0,9;
если
х>50,
Р(Х=10)+Р(Х=50)=0,6+0,3+0,1=1. Итак,
то
F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=1)+
 0, ïðè õ  1,
 0,6, ïðè 1  x  10,

F ( x)  
0,9 ïðè 10  x  50,
 1, ïðè x  50.
Ответ: 2) М(Х) = 8,6; D(Х) = 206,64.  ( x )  14,37 .
Задачи контрольной работы
12.5.1. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого
попадания или пока не израсходует патроны. Вероятность попадания в
цель при каждом выстреле 0,25. Составить закон распределения случайной
величины Х – числа израсходованных патронов.
12.5.2. Монета брошена три раза. Случайная величина Х – число
появления
герба.
Написать
закон
распределения
и
построить
многоугольник распределения случайной величины Х.
12.5.3. Составить закон распределения попадания в цель при четырех
выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле 0,25.
12.5.4. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность
попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон
числа попаданий в мишень.
12.5.5. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга
свободна, равна
0,3. Составить закон распределения числа библиотек,
которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.
12.5.6. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими
законами распределения:
Х
р
0
0,15
2
5
0,25 0,6
Y
p
1
0,1
2
4
5
0,35 0,15 0,4
Составить законы случайных величин Х + У, ХУ, 0,5У.
12.5.7. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими
законами распределения:
Х
0
2
4
6
Y
-1
1
3
5
р
0,1
0,2
0,3
0,4
р
0,2
0,3
0,
3
0,2
Составить законы распределения случайных величин Х + У, ХУ.
12.5.8.
Дискретная
случайная
величина
Х
задана
законом
распределения:
Х
р
3
0,2
5
0,1
7
0,4
10
0,3
Найти функцию распределения этой случайной величины и построить
ее график.
12.5.9.
Дискретная
случайная
величина
Х
задана
законом
распределения:
Х
1
2
3
4
5
Р
0,1
0,2
0,1
0,2
0,4
Найти функцию распределения этой случайной величины.
12.5.10. Монета брошена три раза. Случайная величина Х – число
появления герба. Построить ряд распределения этой случайной величины
и найти ее интегральную функцию распределения.
12.5.11. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются
две вещи стоимостью по 15 рублей, и одна стоимостью 55 рублей.
Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента,
который приобрел один билет за 2 рубля; всего продано 50 билетов.
12.5.12. Стрелок сделал 3 выстрела по мишени с вероятностью
попадания при каждом выстреле 0,6.
Найти интегральную функцию
распределения числа попаданий по мишени и построить ее график.
12.5.13. Среди 10 лотерейных билетов имеются 4 билета с выигрышем.
Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей
числа выигрышных билетов среди купленных.
12.5.14.
Дискретная
случайная
величина
распределения:
Х
2
3
5
Х
задана
законом
р
Вычислить
0,1
математическое
0,4
0,5
ожидание,
дисперсию
и
среднее
квадратическое отклонение этой случайной величины Х.
12.5.15. В партии из 20 курток 5 имеют скрытый дефект. Найти закон
распределения числа дефектных курток среди 3 купленных.
12.5.16.
Дискретная
случайная
величина
Х
задана
законом
распределения:
Х
р
Вычислить
-2
0,5
математическое
5
0,2
7
0,3
ожидание,
дисперсию
и
среднее
задана
законом
квадратическое отклонение этой случайной величины Х.
12.5.17.
Дискретная
случайная
величина
Х
распределения:
Х
р
Вычислить
1
3
4
0,1
0,4
0,2
математическое ожидание,
5
0,3
дисперсию
и
среднее
квадратическое отклонение этой случайной величины Х.
12.5.18. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,4.
Приобретено
30
билетов.
Определить
математическое
ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа билетов, на
которые выпадет выигрыш.
12.5.19. Вероятность появления бракованной детали равна
Определить
математическое
ожидание,
дисперсию
и
0,3.
среднее
квадратическое отклонение числа годных деталей в партии из 1000 штук.
12.5.20. Проведено 100 независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления некоторого события равна 0,6. Определить
математическое
ожидание,
дисперсию
и
среднее
отклонение числа появления события в этих испытаниях.
квадратическое
12.6. Непрерывная случайная величина
Программные вопросы
1. Плотность распределения вероятностей для непрерывной случайной
величины. Кривая распределения.
2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины:
математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение;
их свойства и вероятностный смысл.
Решение типового примера
Задача 12.6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией
распределения
при
0

F ( х )   a( х  1) 2 при
1
при

х 1
1 х  2.
х2
Найти для неё 1) функцию плотности распределения вероятностей f(х);
2) коэффициент а; 2) вероятности попадания в интервалы (1,5; 2) и (0,5;
1,3); 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение.
Решение. 1) Для непрерывной случайной величины по определению
функции плотности вероятностей F’(х)=f(х). Следовательно,
при х  1
0

f ( х )   2a( х  1) при 1  х  2 .
0
при х  2


2) Так как


2
f ( x )dx  1 , то 2a( x  1)dx  1 и

1
2a( x  1) 2
2
2
1
 1,
следовательно, а=1.
3) Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал
находится по формуле: Р(α<Х<β) = F(β) – F(α). Так как а=1, то Р(1,5<X<2)=
=F(2)-F(1,5)=(2-1)2 – (1,5-1)2 =1 – 0,52=0,75, а Р(0,5<X<1,3)= F(1,3) – F(0,5)
= =(1,3 – 1)2 – 0 = 0,09.
4) Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х
находится по формуле:

М( Х ) 
 х f ( x )dx .

Так
как
вне
2
=  2 x( x  1)dx  (
1
интервала
2x 3
 x2)
3
2
(
1
[1,
2]
f(x)=0
и
а=1,
то
М(Х)=
16
2
5
 4)  (  1)  ,
3
3
3
Так как дисперсия непрерывной случайной величины находится по

формуле
D( X ) 
x
2
f ( x )dx  (M ( X ))2 ,
то
в
нашем
случае

2
2
x 4 2x 3
5
D( Х )  2 х ( x  1) dx     (

)
2
3
3
1


2
2
1

25  16 16   1 2  25

   

9  2
3  2 3 9
1
.
18
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
 ( X )  D( Х ) =
1
 0,235 .
18
Ответ: 1) 1; 2) 0,09; 3) М(Х) =
5
1
, D( X ) 
18
3
 ( X )  0,235 .
Задачи контрольной работы
12.6.1. Случайная величина Х задана функцией распределения
при х  3
0
х

F ( х )    1 при  3  х  0
3
при х  0
 1
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная
величина Х примет значение в интервале (-1,0).
12.6.2. Случайная величина Х задана функцией распределения
0

F( х )  x
1

при х  0
при 0  х  1
при
х1
Определить вероятность того, что случайная величина Х в результате
испытания примет значение, больше 0,5, но менее 0,8.
12.6.3.
Случайная
Х
величина
задана
интегральной
функцией
распределения:
при х  1
0

F ( х )   x  1 при 1  х  2
1
при х  2

Определить вероятность того, что случайная величина примет значение
в интервале:
а) (1,3; 1,5);
б) (1,2; 1,8).
12.6.4.
Случайная величина Х задана интегральной функцией
распределения
F(х).
Найти
функцию
плотности
распределения
вероятностей f(х).
0
 2
х
F( х )  
 16
 1
12.6.5.
Случайная
распределения
F(х).
величина
Найти
при
х 0
при 0  х  4
при
Х
х4
задана
функцию
интегральной
плотности
вероятностей f(х).
при х  5
0
х

F ( х )    1 при 5  х  10
5
при х  10
 1
функцией
распределения
12.6.6.
Случайная
распределения
F(х).
величина
Найти
Х
задана
функцию
интегральной
плотности
функцией
распределения
вероятностей f(х).
при х  2
0
 2
 х  х  1 при  2  х  0
 8
2 2
F(х )  
2
х 1
 х

 8  2  2 при 0  х  2

при х  2
1
12.6.7.
Случайная
распределения
F(х).
величина
Найти
Х
задана
функцию
интегральной
плотности
функцией
распределения
вероятностей f(х).

0
при х  0



F ( х )  sin x при 0  х 
2



1
при
х


2
12.6.8. Непрерывная случайная
величина
Х задана плотностью
распределения:

0
при х  0


3
f ( х )   sin 3 x при 0  х 
3
2


при х 
 0
3
  
Найти вероятность того, что Х примет значение в интервале  ;  .
6 4
12.6.9.
Непрерывная
распределения:
случайная
величина
задана
плотностью
при х  0
0

f ( х)   2 х
 (1  х 2 ) 2 при х  0

Найти вероятность того, что значение случайной величины Х
содержится в интервале (1,3).
12.6.10. Плотность распределения вероятностей задана формулой
f(x)
a
.
1  x2
Найти коэффициент а и функцию распределения вероятностей
случайной величины Х.
12.6.11.Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
распределения:


при х  
0
2




f ( х )  a cos x при   х 
2
2



0
при
х


2

Определить коэффициент а.
12.6.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения
вероятностей f(х). Найти интегральную функцию распределения F(х), если
0
 2
х
f(х) 
9
 0
при
х0
при 0  х  3
при
х3
2.6.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения
вероятностей f(х). Найти интегральную функцию распределения F(х), если

0
при х  0



f ( х )  cos x при 0  х 
2



при х 
 0
2
12.6.14. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной
дифференциальной функцией распределения f(х):
при х  4
0

f ( х )  2 х  8 при 4  х  5
0
при х  5

12.6.15. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной
дифференциальной функцией распределения f(х), если
0
 2
 3х
f (х)  
 8
0

при
при
при
х 0
0х2
х2
12.6.16. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной
дифференциальной функцией распределения f(х):
при х  0
0
 sin x

f(х)
при 0  х  
2

при х  
 0
12.6.17. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной
дифференциальной функцией распределения f(х):
при х  0
0
х

f ( х)  
при 0  х  4
8

при х  0
 0
12.6.18. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной
дифференциальной функцией распределения f(х):
при х  0
0

x

f ( х )  0,25 sin
при 0  х  2
2

при х  2
 0
12.6.19. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной
дифференциальной функцией распределения f(х):

0
при х  0




f ( х )  0,5сosx при   х 
2
2



0
при
х


2
12.6.20. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и
среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной
дифференциальной функцией распределения f(х):
12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины
Программные вопросы
1.
Законы
распределения
случайных
величин:
биномиальное,
равномерное, показательное, нормальное.
2. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Решение типового примера
Задача 12.7. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с
параметрами: а=375 г, =25. Найти вероятность того, что вес одной
пойманной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше
300 г.
Решение. Вероятность того, что случайная величина Х, распределенная
по нормальному закону, примет значение из интервала (х1; х2) находится
по формуле:
 x a
 x a
Р( х1  X  x2 )  Ф  2
 Ф 1
,
  
  
х
t2

1
2
Ф
(
х
)

е
dt - интегральная функция Лапласа, значения
где

2 0
которой табулированы (см. прил. 2); а и σ – параметры распределения.
а) При а=375,  =25, х1=300, х2=425 получим:
 425  375 
 300  375 
Р( 300  X  425 )  Ф 
 Ф
  Ф( 2 )  Ф( 3 ) 
25
25




 Ф( 2 )  Ф( 3 )  0 ,4772  0 ,4987  0 ,9759 .
б) Согласно приведенной выше формуле, имеем:
 450  375 
 0  375 
Р( Х  450 )  Р( 0  X  450 )  Ф 
  Ф

25


 25 
 Ф( 3 )  Ф( 15 )  Ф( 3 )  Ф( 15 )  0 ,4987  0 ,5  0 ,9987 .
 300  375 

в) Р( Х  300)  Р(300  X  )  Ф     Ф 
25


 Ф(  )  Ф( 3 )  Ф(  )  Ф( 3 )  0 ,5  0 ,4987  0 ,9987 .
Ответ: а) 0,9759; б) 0,9987; в) 0,9987.
Задачи контрольной работы
12.7.1. Случайная величина Х равномерно распределена. Плотность
вероятности ее f(х)=а при 1 < х < 10 и f (х)=0 при х<1 и х>10. Определить
ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
12.7.2. Равномерно распределенная случайная величина Х задана
плотностью распределения f ( x ) 
1
в интервале a  l ; а  l  , вне этого
2l
интервала f(х)=0. Найдем математическое ожидание и дисперсию
величины Х.
12.7.3.
Найти математическое
ожидание,
дисперсию и среднее
квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной
равномерно в интервале (2; 8).
12.7.4. Случайная величина Х имеет показательное распределение с
параметром =6. Написать плотность и функцию распределения этого
закона.
12.7.5. Найти параметр  показательного распределения: а) заданного
2 x
плотностью f(х)=0 при х<0, f ( х )  2 е
при х>0; б) заданного функцией
0 ,4 x
распределения F(х)=0 при х<0 и F ( х )  1  е
при х>0.
2.7.6.
Непрерывная
случайная
величина
Х
распределена
по
3 x
показательному закону, заданному плотностью вероятностей f ( х )  3 е
при х>0; при х<0 f(х)=0. Найти вероятность того, что в результате
испытания Х попадет в интервал (0,13; 0,7).
12.7.7.
Непрерывная
случайная
величина
Х
распределена
по
показательному закону, заданному при х>0 плотностью распределения
f ( х )  0 ,04 е 0 ,04 x ; при х<0 функцией f(х)=0. Найти вероятность того, что
в результате испытания Х попадет в интервал (1; 2).
12.7.8.
Непрерывная
показательному
закону,
случайная
величина
заданному
Х
функцией
распределена
по
распределения
F ( х )  1  е 0 ,6 x при х>0 и F(х)=0 при х<0. Найти вероятность того, что в
результате испытания Х попадет в интервал (2; 5).
12.7.9. Найти математическое ожидание и дисперсию показательного
распределения, заданного при х>0: а) плотностью
f ( х )  5 е 5 x ; б)
0 ,1 x
функцией распределения F ( х )  1  е
.
12.7.10. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение показательного распределения, заданного
10 x
плотностью вероятности f ( х )  10 е
при х>0 и при х<0 f(х)=0.
12.7.11.
Найти
вероятность
того,
что
случайная
величина
Х,
распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и
дисперсией равной 4, примет значение: а) в интервале (-1; 5); б) не более 8;
в) не менее 5; г) в интервале (-3; 9).
12.7.12. Случайная величина Х распределена по нормальному закону.
Математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины
соответственно равны 7 и 16. Найти вероятность того, что отклонение
величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине не
превзойдет двух.
12.7.13. Известно, что вес вылавливаемых в пруду карпов подчиняется
нормальному закону с математическим ожиданием, равным 500 г и
средним квадратическим отклонением 75 г. Определить вероятность того,
что вес наудачу взятого карпа будет: а) заключен в пределах от 425 до 550
г; б) не менее 300 г; в) не более 700 г.
12.7.14. Детали по длине распределяются по нормальному закону со
средним значением 20 см и дисперсией, равной 0,2 см2. Определить
вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет заключена в
пределах от 19,7 см до 20,3 см, то есть отклонение в ту или иную сторону
не превзойдет 0,3 см.
12.7.15. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка
подчинена нормальному закону со средним значением, равным 20 м, и
средним квадратическим отклонением 40 м. Определить вероятность того,
что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или
другую сторону не более чем на 30 м.
12.7.16.
Случайная
величина
подчинена
нормальному
закону
распределения со средним квадратическим отклонением 0,4. Определить
вероятность того, что значение случайной величины отклоняется от
математического ожидания на величину, меньшую 0,3.
12.7.17. Средняя масса яблок – 120 г. 5% яблок данной партии
отклоняются от нее более чем на 20 г. Считая, что распределение массы
яблок подчиняется нормальному закону, найти, какой процент яблок имеет
массу в пределах от 100 до 130 г.
12.7.18. Средняя высота дерева в некоторой роще равна 12 м.
Определить,
исходя
из
предположения,
что
высота
деревьев
распределяется по нормальному закону, какой процент деревьев имеет
высоту, превышающую 15 м, если деревья, высота которых не достигает
10 м, составляет 15 %.
12.7.19.
Считая,
что
распределение
массы
яблок
подчинено
нормальному закону с М(Х)=120 г и D(Х)=100 г2, найти вероятность того,
что масса хотя бы одного из наудачу выбранных четырех яблок будет в
пределах от 100 до
130 г.
12.7.20. Случайная величина, распределенная по нормальному закону,
имеет математическое ожидание 5 м и дисперсию, равную 16 м2.
Определить вероятность того, что случайная величина примет значение не
менее 6 м и не более 8 м.
13. МАТЕМАТИЧЕМКАЯ СТАТИСТИКА
13.1. Математическая статистика
Программные вопросы
1. Генеральная и выборочная совокупности и их объёмы.
2. Вариационный и интервальный ряды распределения. Статистическое
распределение. Полигон и гистограмма.
3. Основные характеристики вариационного ряда: выборочная средняя,
низшая и высшая средние, мода и медиана, выборочная дисперсия и
среднее квадратическое отклонение; исправленная дисперсия, стандарт,
коэффициент вариации.
4. Статистическая гипотеза. Проверка гипотезы о нормальном
распределении признака с помощью критериев согласия  2 ─ Пирсона и
 2 ─ Смирнова.
5.
Точечные
и
интервальные
оценки
генеральной
средней
и
генерального среднего квадратического отклонения для нормально
распределённого признака.
6. Ошибки выборочных оценок.
Решение типового примера
Пример 13.1. В таблице 1 приведены денежные затраты Х на
животноводство, заданные выборкой по 60 хозяйствам области, дес. тыс.
руб. на 100 голов.
Требуется для признака Х:
1. Построить интервальный ряд распределения; для каждого интервала
подсчитать
локальные,
а
также
накопленные
вариационный ряд;
2. Построить полигон и гистограмму;
частоты;
построить
3. Определить выборочную среднюю; а также низшую и высшую
частные средние; моду и медиану; дисперсию и среднее квадратическое
отклонение; коэффициент вариации;
4. Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о нормальном законе
распределения соответствующего признака с помощью критериев согласия
χ2 ─ Пирсона и  2 ─ Смирнова;
5. Найти
точечные и интервальные оценки генеральной средней и
среднего квадратического отклонения (при доверительной вероятности р =
=0,95);
6. Найти ошибки выборочных оценок;
7. Произвести анализ всех вычисленных статистических параметров.
Таблица 13.1
Распределение затрат на животноводство
X
X
X
X
X
X
41
49
23
25
38
67
56
47
49
31
40
41
38
49
63
48
37
60
42
51
30
42
53
27
44
39
62
54
41
38
52
43
40
50
68
50
38
49
41
44
57
39
43
20
51
42
35
61
33
67
39
18
40
39
60
51
59
53
59
31
Решение.
1) Составим интервальный ряд для признака Х. Для этого найдём
размах варьирования значений признака по формуле: RХ =Xmax - Xmin.
Из таблицы 13.1 следует: Xmax = 68 ; Xmin = 18 и RХ = 68 - 18 = 50.
Число интервалов m, на которые следует разбить интервал значений
признака, найдём по формуле Стерджеса: m = 1+3,322 lg n, где n - объём
выборки, то есть число единиц наблюдения.
В нашем примере n=60. Получим: m = 1+3,322•lg 60 = 1+3,322•1,778
= =6,9 ≈7.
Теперь рассчитаем шаг (длину частичного интервала) h по формуле:
h=
R x 50
=  7,1. Округление
m
7
шага производится, как правило, в
большую сторону. Таким образом, принимаем h=8.
За начало первого интервала
интервала [хmin-
принимаем такое значение из
h
; хmin), чтобы середина полученного интервала оказалась
2
удобным для расчетов числом. В нашем случае за нижнюю границу
интервала возьмём хmin - 2 = 18 - 2 = 16. В результате получим следующие
границы интервалов: 16-24-32-40-48-56-64-72.
Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант,
попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами
частичных интервалов, включают в правый интервал.
Для удобства подсчёта частот используют «метод конверта»:
Его вершины, стороны и диагонали обозначают одну единицу. Итого: 4
вершины, 4 стороны и 2 диагонали. Всего 10 единиц. Например,
2;
-7;
- 8;
- 10.
Таблица 13.2
Распределение частот денежных затрат на животноводство
i
1
2
3
4
5
6
7
Интервалы
16 –24
24 – 32
32 – 40
40 – 48
48 – 56
56 – 64
64 – 72
∑
Середины
Интервала, xi
20
28
36
44
52
60
68
60
Разноска
Частоты
Ni
3
5
11
15
14
9
3
60
Накопленные
Частоты niнак.
3
8
19
34
48
57
60
В табл. 13.2 произведена разноска значений признака Х, указаны
интервалы, середины интервалов, частоты ni, накопленные частоты,
равные сумме частот, попавших в предшествующие интервалы.
Интервалы и их частоты представляют собой интервальный ряд.
Середины интервалов и соответствующие частоты дают вариационный
ряд (табл. 13.3).
Таблица 13.3
Вариационный ряд
Варианта, хi
20
28
36
44
52
60
68
Частота, ni
3
5
11
15
14
9
3
2)
Графически
интервальный
ряд
изображают
с
помощью
гистограммы. Для её построения в прямоугольной системе координат на
оси
абсцисс
откладывают
отрезки,
соответствующие
интервалам
вариационного ряда. На этих отрезках строят прямоугольники с высотами,
равными частотам. Полученная ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, и есть гистограмма. Для признака Х гистограмма
изображена на рис. 13.1.
n
15
14
11
9
5
3
16
24
32
40
48
56
64
72
Рис. 13.1. Гистограмма распределения денежных затрат на животноводство
Для
графического
изображения
дискретного
многоугольник (полигон). Для его построения
ряда
служит
на оси абсцисс
откладываются варианты, а на оси ординат их частоты. Полученные точки
соединяют отрезками. Полигон вариационного ряда признака Х изображён
на рис.13 2.
15
13
11
9
7
5
3
0
xi
20 28 36 44 52 60 68
Рис. 13.2. Полигон денежных затрат на животноводство
3) Для интервального ряда распределения выборочная средняя
вычисляется по формуле:
m
x n
i
i 1
x
где хi - середина
n
i
,
i - го интервала, ni - частота i- го интервала, n – объём
выборки.
Используя данные табл. 13.3., вычислим средние затраты на
животноводство:
x
20  3  28  5  36  11  44  15  52  14  60  9  68  3
=
60
2728
 45,5 , то есть 455 тыс. руб. на 100 голов.
60
Низшая и высшая частные средние находятся по формулам:
x n
j
xн 
x j x
n
x n
j
j
и xв 
j
x j x
n
j
,
j
причём в знаменателе суммируются частоты тех же групп, что и в
числителе.
Вычисляем: x н 
xв 
20  3  28  5  36  11  44  15 1256

 36,9 ;
3  5  11  15
34
52  14  60  9  68  3 1472

 56,6 .
14  9  3
26
Для
характеристики
рядов
распределения
применяют
также
структурные средние: моду Мо и медиану Ме.
Мода – это варианта, которая наиболее часто встречается в данной
совокупности, то есть варианта с наибольшей частотой.
Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется
по следующей формуле:
M o  x Mo  h
где
n Mo  nM o 1
(n Mo  n Mo 1 )  (nMo  nM o 1 )
,
h - шаг, nM - частота модального (содержащего моду) интервала;
o
nM o 1 - частота домодального интервала; nM o 1 - частота послемодального
интервала; x Mo - начало модального интервала.
В нашем случае Мо=40+ 8
15  11
=46,4.
(15  11)  (15  14)
Медианой в статистике называют варианту, расположенную в
середине вариационного ряда.
Для интервального ряда медиану определяют по формуле:
M e  x Me
0,5n  n н M e 1
h
nMe
где хМе - начало медианного интервала (содержащего медиану), nн
Me-1
-
накопленная частота интервала, предшествующего медианному, nМе локальная частота медианного интервала.
В нашем примере, используя данные таблицы 13.2, получим:
Ме=40 +8
30  19
≈45,9
15
Дисперсия
вариационного
ряда
служит
для
характеристики
рассеяния значений признака вокруг среднего значения и вычисляется по
формуле:
m
S X2 
 (x
i
 x )2 n i
i 1
n
.
Для удобства вычислений дисперсии признака Х составим рабочую
таблицу (см. табл. 13.4).
Таблица 3.4
I
xi
20
28
36
44
52
60
68
1
2
3
4
5
6
7
ni
3
5
11
15
14
9
3
xi  x
-25,5
-17,5
-9,5
-1,5
6,5
14,5
22.5
( xi  x )2
650,25
306,25
90,25
2,25
42,25
210,25
506,25
( x i  x )2 ni
1950,75
1531,25
992,75
33,75
591,5
1892,25
1518,75
60
∑
Таким образом, S X2 
Среднее
8511
8511,0
 141,9 .
60
квадратическое
отклонение
(стандарт)
SX
арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.
S X  141,9  11,9 .
Таблица 3.5
Характеристика
Выборочная средняя, дес.
тыс. руб.
Размах
варьирования,
дес. тыс. руб.
Высшая средняя, дес. тыс.
руб.
Низшая средняя, дес. тыс.
руб.
Мода, дес, тыс. руб.
Медиана, дес. тыс. руб
Дисперсия, кв. дес. тыс. руб.
Стандарт, дес. тыс. руб.
Обозначение
Значение
X
45,5
RX
50
xв
56,6
xн
Mo
Me
SX2
SX
36,9
46,4
45,9
141,9
11,9
-
это
Коэффициент
вариации, %
VX
2,62
Для сравнения величин рассеяния вариационных рядов вычисляют
коэффициент вариации Vх как процентное отношение стандарта к средней
арифметической: V X 
SX
100% .
x
Для признака Х: V X

11,9
100%  26,2% .
45,5
Результаты вычислений поместим в табл. 13.5.
4) Проверим гипотезу о соответствии данных ряда (табл. 3.3)
нормальному закону распределения сначала по критерию Пирсона χ2. Для
этого сравним наблюдаемые ni и теоретические nit (вычисленные в
предположении нормального распределения) частоты. Теоретические
частоты
рассчитываются
по
формуле:
ni t 
nh
 (u i ) ,
SX
где
nit
─
теоретические частоты, n ─ объём выборки, h ─ шаг (длина) частичного
интервала,
ui 
xi  x
SX
─ нормированное отклонение, xi ─ середины
частичных интервалов, x ─ выборочная средняя, SХ ─ стандарт,  (u i ) ─
дифференциальная функция Лапласа (значения даны в приложении 1).
Таблица13. 6
t
( ni  ni ) 2
Хi
Ni
x x
ui  i
SX
20
3
-2,14
0,0404
1,6
28
5
-1,47
0,1354
5,5
36
11
-0,8
0,2897
11,7
0,7
0,04
44
15
-0,13
0,3956
16,0
-1
0,06
52
14
0,8
0,2897
11,7
2,3
0,45
60
9
1,22
0,1895
7,6
1,7
0,28
68
3
1,89
0,0669
2,7

60
─
─
56,8
─
0,94
 (u i )
nit
ni-nit
0,9
ni
t
0,11
Критерий Пирсона применяется при условии, что все группы ряда
включают частоты не меньшие 5 (т.е. ni  5). Если частота группы ряда
менее 5, то эту группу следует объединить с соседней. Расчёты проверки
критерия Пирсона поместим в табл. 6, вычислив предварительно
nh
60  8

 40,37 ,
SX
11,9
и используя, что x  45,5 .
Поскольку частоты крайних групп n1 = 3 < 5 и n7 = 3 < 5, то
объединяем их с соседними группами.
Сумма последнего столбца определяет фактическую величину
критерия Пирсона χф2 = 0,94. Эта величина сравнивается с предельным
значением χкр2, значения которой даны в таблице (приложение 4) в
зависимости от уровня значимости  и числа степеней свободы k    3 ,
где  ─ число групп вариационного ряда.
В условиях задачи, принимая надёжность результатов равной 95%
(р=0,95), уровень значимости расчётов будет равен   1  р  1  0,95  0,05 .
Число групп вариационного ряда, после объединения первой и
второй, а так же шестой и седьмой групп, равна  = 5, следовательно,
число степеней свободы к = 5 - 3 = 2. Предельное значение критерия χкр2
при   0,05 и к=2, находим по таблице приложения 4.
2
 кр
(2)  6,0
Сравнение
фактического
и
критического
значений
даёт:
2
 ф2  0,94   кр
 6,0 .
Следовательно, с надёжностью р=95% можно принять гипотезу, что
разность частот между фактическим и нормальным распределением
несущественна, а получена за счёт случайных отклонений, и данное
распределение
вариант
можно
считать
подчиняющимся
закону
нормального распределения.
Критерий Пирсона, как правило, используется, когда объём выборки
n>100. Когда же 50<n<100, то наиболее эффективен
критерий  2 -
Смирнова. Проверим гипотезу о нормальном распределении признака по
этому критерию.
Критерий  2 - Смирнова основан на определении существенности
различий
между
накопленными
частостями
эмпирического
Fi
и
теоретического Fit распределений.
Фактическое значение критерия  ф2 вычисляют по формуле:

   ( Fi  Fi t ) 2 , где Fi ─ накопленная частость i-ой группы,
2
ф
i 1
Fit ─ теоретическое значение накопленной частости i-ой группы.
Вычисленное значение  ф
2
сравнивают с критическим значением
 кр2 , которое находится по таблице для величины n и уровня значимости  .
В частности, для  = 0,05
 кр2 (0,05; n) 
0,461
.
n
Таблица 13.7
Fi- Fit
(Fi- Fit)2*10 6
1,6
0,027
0,027
0,023
529
28
5
0,083
0,133
5,5
0,092
0,119
0,014
196
36
11
0,183
0,316
11,7
0,195
0,314
0,002
4
44
15
0,250
0,566
16,0
0,267
0,581
-0,015
225
52
14
0,233
0,799
11,7
0,195
0,776
0,023
529
60
9
0,150
0,949
7,6
0,127
0,903
0,046
2116
68
3
1,050
0,999
2,7
0,045
0,948
0,051
2601

60
0,999
56,8
Частость
t
n
Wi  i
n
t
Накоплен.
Частость Fit
0,050
ni
n
Частость
0,050
20
Wi 
Частота ni
3
Xi
Частота ni
t
Нормальное распределение
Накоплен.
Частость Fi
Фактическое распределение
6200
 кр2 (0,05;60) 
Для n = 60
Расчёт  ф
2
0,461
 0,0077 .
60
поместим в таблицу 13.7, в которую также внесём
сделанные ранее вычисления теоретических частот nit нормального
распределения.
Сравнение фактического  ф2 и предельного  кр2 значений  2 даёт:
2
ô2  6200  10  6  0,0062   êð
 0,0077. Следовательно, с надёжностью
р = 0,95. можно полагать, что данная выборка подчиняется закону
нормального распределения.
5) Найдём точечные и интервальные оценки генеральной средней и
генерального среднего квадратического отклонения.
Представленную в табл.13.1 совокупность можно считать выборкой из
генеральной совокупности, то есть совокупности всех изучаемых
объектов. По этим данным можно найти такое количественное значение
признака, которое позволяет получить и надёжное представление об
интересующем нас параметре, то есть получить статистическую оценку.
Различают оценки точечные и интервальные.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется
одним числом.
выборочная
Для генеральной средней точечной оценкой является
средняя,
т.е.
xГ  x ;
для
генерального
среднего
квадратического отклонения такой оценкой является выборочное среднее
квадратическое отклонение, т.е.
SГ  S X .
При этом следует помнить, что
при небольших объёмах выборки (n < 60) следует умножить SХ на
корректирующий множитель
n
.
n 1
Таким образом, для нашей задачи точечная оценка генеральной средней
–
это
выборочная
средняя,
то
есть,
X Г  45,5 .Точечной
оценкой
генерального среднего квадратического отклонения будет величина: SГ ≈SХ
≈ 11,9.
Интервальной называют оценку, которая определяется парой чисел ─
концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Интервальную оценку генеральной средней a нормальной совокупности
можно найти по формуле:
x
Sx
t ax
Sx
n
n
t
, где t = t(p,n) – аргумент
функции Лапласа, при котором Ф(t) = p. Значение t находят по таблице
приложения 5.
Интервальной
отклонения SГ
оценкой
генерального
среднего
квадратического
нормально распределённого признака
Х служит
доверительный интервал:
S X (1  q )  S Г  S X (1  q )
0 < SГ < SХ (1+q)
при q < 1,
при q>1,
где q=q(p;n) находят по таблице приложения 6.
Для определения интервальной оценки генеральной средней а по
заданным p = 0,95 и n = 60 из таблицы приложения 5 найдём t = t(0,95;60)
= 2. Теперь рассчитаем предельную оценку выборки
E 
SX
t 
n
11,9
 2,0  3,2
60
и доверительный интервал для генеральной средней из неравенства:
xE a xE
Тогда 45,5 – 3,2 < а <45,5 + 3,2 или 42,3 < a < 48,7.
Интервальные
оценки
генерального
среднего
квадратического
отклонения SГ вычисляются следующим образом. По таблице приложения
6 найдём q = q(p;n) = q(0,95;60) = 0,188.
Тогда из неравенства S X (1  q )  S Ã  S X (1  q ) имеем:
11,9(1-0,188) < SГ < 11,9(1+0,188) или 9,7 < SГ < 14,1.
6) Найдём теперь ошибки выборочных оценок. Ошибка выборочной
средней
(стандартное
отклонение
выборочной
средней)
нормальном законе распределения определяется по формуле: S x 
при
Sx
SX
n
.
Относительная ошибка выборочного среднего находится следующим
S
x
 100%
образом: S x % 
x
Сопоставление ошибки выборочного среднего с его величиной даёт
представление о точности вычисления выборочного среднего (точности
опыта). Для рассматриваемой задачи ошибка выборочной средней равна
Sx 
SX
n

11,9
 1,5 .
60
Относительная
(точность опыта): S x % 
Ошибка
(стандарта) Sст
формуле: S ñò 
равна:
x
 100% 
выборочного
выборочного среднего
1,5
 100%  3,3% .
45,5
среднего
квадратического
отклонения
при нормальном законе распределения вычисляют по
SX
2n
S ñò % 
квадратического
Sx
ошибка
. Тогда относительная ошибка вычисления стандарта
S ñò
 100% .
S
отклонения
Ошибка
S cò 
ошибка вычисления стандарта: S cò % 
SX
2n
выборочного

11,9
2  60
 1,1 .
среднего
Относительная
S ñò
1,1
 100% 
 100%  9,2% .
SX
11,9
7) Проведем анализ вычисленных статистических параметров.
Полученные статистические характеристики дают возможность
сделать следующие выводы:
3 Затраты на животноводство по выбранным хозяйствам в среднем
составляют х = 455 тыс. руб. на 100 голов. В большинстве хозяйств они
несколько больше: М0 = 464 тыс. руб. При этом передовые хозяйства
затрачивают на животноводство õ Â  566 тыс. руб., а отстающие ─ в
среднем только по õ n  369 тыс. руб. Наиболее отстающими являются 10
хозяйств, у которых затраты не превышают 369 тыс. руб.
4 Проведённая
проверка
согласия
опытного
и
теоретического
распределения по критериям χ2 ─ Пирсона и  2 ─ Смирнова подтвердила,
что данный
признак Х можно считать подчиняющимся закону
нормального распределения. Это даёт основание при вычислении
интервальных оценок
параметров использовать формулы нормального
распределения.
5 Рассеяние
данных
относительно
выборочного
среднего
характеризуется стандартным отклонением Sx =119 тыс. руб. коэффициент
V% = 26,2% превосходит 20 %, что свидетельствует о
вариации
значительном разбросе данных выборки Х -
денежных затрат на
животноводство в различных хозяйствах.
6 Вычисленная ошибка выборочного среднего S x  15 тыс. руб. даёт
возможность определить относительную ошибку найденного выборочного
среднего S x %  3,3% , которая достаточно мала (менее 5%), а также найти
при   0,05 точность оценки генеральной средней (   32 тыс. руб.) и
установить с надёжностью р = 0,95 доверительный интервал генеральной
средней
423 < a < 487 тыс. руб., следовательно, можно с надёжностью
р = 95% ожидать, что средние затраты на животноводство в целом по
области (генеральная совокупность) будут находиться в пределах от 423
тыс. руб. до 487 тыс. руб. на 100 голов, а среднее квадратическое
отклонение генеральной совокупности ─ в доверительном интервале: 97 <
SГ < 141 тыс. руб.
Задачи контрольной работы
В задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных
совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
1) Построить интервальный ряд распределения; для каждого интервала
подсчитать
локальные,
вариационный ряд.
а
также
накопленные
частоты;
построить
Построить полигон и гистограмму;
Определить выборочную среднюю; а также низшую и высшую частные
средние; моду и медиану; дисперсию и среднее
квадратическое
отклонение; коэффициент вариации;
2) Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о нормальном
законе распределения соответствующего признака с помощью
критериев согласия χ2 ─ Пирсона и  2 ─ Смирнова;
3) Найти
точечные и интервальные оценки генеральной средней и
среднего квадратического отклонения (при доверительной вероятности р =
0,95);
4) Найти ошибки выборочных оценок;
5) Произвести анализ всех вычисленных статистических параметров.
13.1. На 60 сортоиспытательных участках определена следующая
урожайность яровой пшеницы, ц/га:
23,9; 18,4; 23,1; 16,3; 21,8; 17,6; 17,7; 19,4; 19,1; 18,3; 23,1; 21,7; 18,0;
19,2; 19,5; 19,2; 18,2; 20,2; 25,1; 19,6; 24,2; 22,5; 23,2; 16,4; 21,9; 21,7; 19,6;
19,8; 20,5; 20,7; 21,2; 25,0; 21,6; 21,2; 20,1; 20,9; 20,6; 18,1; 19,5; 20,1; 25,0;
21,6; 20,5; 20,4; 20,6; 21,3; 25,1; 21,7; 21,3; 20,2; 22,9; 23,4; 22,1; 17,3; 20,8;
22,6; 19,5; 21,4; 19,6; 22,3.
Провести статистическую обработку данных.
13.2. Среднемесячная зарплата 100 работников хозяйства за истекший
год, тыс. руб.:
3,2; 3,1; 2,3; 3,4; 3,0; 3,6; 2,8; 3,5; 2,1; 1,9; 2,2; 3,1; 3,4; 2,6; 2,9; 3,6; 2,6;
3,3; 3,5; 3,0; 2,7; 1,8; 2,0; 2,2; 2,6; 2,5; 4,2; 2,9; 1,8; 2,4; 3,9; 1,8; 1,9; 3,4; 4,0;
3,7; 2,9; 2,4; 2,5; 2,8; 4,0; 2,0; 3,4; 1,7; 3,3; 3,1; 2,5; 2,9; 2,7; 2,6; 2,6; 3,1; 3,2;
3,8; 2,9; 4,3; 3,9; 2,8; 2,8; 2,1; 2,6; 4,1; 2,9; 2,8; 2,7; 3,0; 3,1; 2,4; 2,8; 3,3; 1,7;
3,3; 3,4; 3,9; 3,1; 3,4; 3,3; 3,1; 3,3; 3,2; 2,7; 2,3; 2,9; 3,2; 3,1; 2,3; 3,0; 3,4; 3,6;
2,8; 3,4; 2,6; 2,9; 2,6; 3,3; 3,7; 3,5; 3,0; 1,7; 1,8.
Обработать данные 1- 60 работников хозяйства.
13.3. Обработать данные 11─70 работников хозяйства, представленные
в 3.2.
13.4. Обработать данные 21─80 работников хозяйства, представленные
в 3.2.
13.5.Обработать данные 31─90 работников хозяйства, представленные в
3.2.
13.6. Обработать данные 41─100 работников хозяйства, представленные
в задаче 3.2.
13.7. Результаты взвешивания 90 коров, ц:
4,5; 4,7; 3,4; 5,4; 4,6; 5,0; 3,8; 4,7; 5,6; 4,0; 5,1; 4,9; 3,3; 3,5; 4,3; 5,5; 4,5;
4,24 5,1; 4,9; 4,5; 3,4; 4,0; 5,1; 4,7; 5,8; 4,4; 4,6; 4,8; 5,7; 3,3; 4,4; 4,9; 3,3; 5,5;
4,5; 5,1; 3,7; 4,8; 5,3; 4,1; 4,2; 5,2; 4,8; 3,2; 3,4; 5,7; 4,5; 4,5; 4,7; 4,5; 4,6; 3,7;
5,9; 4,6; 4,9; 4,1; 4,7; 5,2; 4,2; 5,0; 4,8; 3,6; 3,8; 4,3; 5,2; 4,6; 4,4; 5,1; 5,0; 4,4;
3,6; 4,0; 5,3; 4,7; 5,5; 4,4; 4,6; 4,8; 5,4; 3,9; 4,4; 4,9; 3,7; 5,2; 4,5; 5,1; 4,0; 4,8;
5,3.
Обработать данные взвешивания 1─60 коров.
13.8. Обработать данные взвешивания 11─70 коров, представленные в
3.7.
13.9. Обработать данные взвешивания 21 – 80 коров, представленные в
3.7.
13.10. Обработать данные взвешивания 31─90 коров, представленные в
3.7.
13.11. В случайном порядке отобрано 100 клубней картофеля и
определена масса каждого клубня, г:
112, 210, 133, 215, 206, 80, 134, 145, 183, 251, 58, 142, 120, 177, 159, 111,
185, 200, 191, 96, 205, 138, 213, ,209, 77, 201, 131, 148, 180, 260, 60, 146,
117, 180, 156, 116, 181, 203, 188, 81, 120, 135, 220, 144, 152, 150, 110, 118,
140, 125, 208, 134, 214, 259, 195, ,85, 136, 53, 181, 256, 59, 59, 142, 122, 177,
160, 114, 183, 199, 197, 101, 202, 142, 218, 209, 79, 206, 137, 148, 180, 209,
65, 82, 88, 117, 180, 68, 117, 181, 202, 188, 94, 113, 135, 220, 144, 59, 69, 100,
91.
Обработать данные взвешивания 1─60 клубней картофеля.
13.12. Обработать данные взвешивания 11─70 клубней картофеля,
представленные в 3.11.
13.13. Обработать данные взвешивания 21─80 клубней картофеля,
представленные в 3.11.
13.14. Обработать данные взвешивания 31─90 клубней картофеля,
представленные в 3.11.
13.15. Обработать данные взвешивания 41─100 клубней картофеля,
представленные в задаче 3.11.
13.16. В 70 хозяйствах области затраты на животноводство (в десятках
тыс. руб. на 100 голов):
25, 38, 53, 40, 43, 40, 38, 49, 27, 50, 20, 39, 61, 63, 44, 68, 59, 60, 58, 68,
39, 50, 42, 51, 47, 37, 62, 38, 35, 59, 23, 54, 60, 39, 61, 53, 49, 42, 41, 41, 33,
59, 31, 51, 38, 44, 67, 31, 40, 30, 52, 57, 39, 49, 41, 42, 43, 39, 17, 41, 19, 27,
46, 57, 66, 72, 70, 22, 32, 33.
Произвести обработку данных по 1─60 хозяйствам.
13.17. Обработать данные по 11─70 хозяйствам, представленные в
задаче 3.16.
13.18. По 80 хозяйствам среднегодовой удой молока, ц, составил
23, 29, 39, 36, 32, 19, 33, 25, 30, 32, 29, 15, 14, 22, 28, 38, 31, 35, 23, 32,
42, 43, 22, 27, 30, 38, 35, 31, 29, 35, 32, 28, 40, 36, 29, 34, 31, 32, 36, 30, 32,
15, 35, 28, 28, 18, 27, 39, 30, 15, 14, 30, 42, 38, 35, 43, 39, 29, 18, 19, 24, 25,
23, 29, 39, 36, 19, 34, 24, 31, 33, 28, 16, 15, 23, 29, 38, 32, 34, 22.
Произвести обработку данных по 1─60 хозяйствам.
13.19. Произвести обработку данных по среднегодовому удою молока
по 11─70 хозяйствам, представленным в 3.18.
13.20. Произвести обработку данных по среднегодовому удою молока
по 21─80 хозяйствам, представленным в 3.18.
14. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Линейное программирование
Программные вопросы
1.
Основная
задача
линейного
программирования.
Теорема
об
оптимальном плане.
2. Графический метод решения задач линейного программирования.
3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования в
канонической форме.
Решение типового примера
Пример 14.1. Требуется решить задачу линейного программирования
графическим методом:
L  3 x1  2 x2  max
 x1  x 2  2  0
3 x  2 x  6  0
2
 1
 2 x1  x2  2  0

x2  3

 x1  0, x 2  0
Решение. Построим сначала область допустимых решений, которая
представляет собой множество решений системы линейных ограничений.
Графически решение каждого неравенства есть одна из полуплоскостей,
на которые прямая линия ax +by =c
Решением
системы
неравенств
делит координатную плоскость.
будет
выпуклый
многоугольник,
представляющий собой пересечение полуплоскостей – решений каждого
неравенства.
Пронумеруем каждое неравенство и решим его (см. рис.1.1)
1. x1  x 2  2  0
Построим прямую x1  x 2  2  0 , для чего найдём координаты двух её
точек, например, (0; 2) и (2; 4). Чтобы выбрать полуплоскость-решение
для данного неравенства, подставим в это неравенство координаты любой
точки,
не
лежащей на
построенной прямой,
координатами (0; 0). Получаем 0 – 0 +2

например
точки
с
0. Это верное неравенство.
Следовательно, полуплоскость, содержащая эту точку, будет являться
решением неравенства 1. Стрелками отметим решение.
Аналогично строим решения каждого неравенства.
2. 3x1  2 x 2  6  0
Строим
прямую
координатами
3x1  2 x 2  6  0 ,
(0;-3)
и
(2;0).
проходящую
Решением
через
неравенства
точки
с
является
полуплоскость, содержащая начало координат (0,0), так как: 3∙0 –2∙ 0 – 6

0 - верное неравенство.
3. 2 x1  x 2  2  0
Строим прямую 2 x1  x 2  2  0 , проходящую через точки с координатами
(0;2) и (1;0). Затем в неравенство подставляем координаты точки (0;0): 2∙0
+ 0 – 2

0. Так как это неравенство неверное, то
решением является
полуплоскость, не содержащая точку с координатами (0;0).
4. x 2  3
Прямая, определяемая уравнением x 2  3 проходит через точку (0;3)
параллельно оси абсцисс. Полуплоскость, лежащая ниже этой прямой и
есть решение данного неравенства.
Два последних неравенства
х1  0; х 2  0 определяют первый квадрант
координатной плоскости.
На рис. 14.1
многоугольник ABCDE представляет собой область
допустимых решений задачи линейного программирования.
1
2
В
4
4
С
А
n
D
E
3
2
Рис. 14. 1. Решение задачи линейного программирования.
Для нахождения оптимального решения построим вектор n (3;2),
координаты которого равны коэффициентам при переменных в целевой
функции L. Этот вектор является нормальным вектором для линий уровня
L=const, а также одну из линий уровня, например, 3 х1  2 x 2  0 . Так, как
задача на отыскание максимального значения целевой функции, то линию
уровня перемещаем в направлении нормали до опорной прямой, то есть
такой линии уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью
допустимых решений и по отношению к которой эта область находится в
одной из полуплоскостей. Эта прямая проходит через точку С пересечения
прямых 3x1  2 x 2  6  0 и x 2  3 , для определения координат точки С решим
3х1  2 х 2  6  0
, получаем С(4;3) в этой точке целевая
х2  3

систему уравнений 
функция достигает максимума Lmax  3  4  2  3  18 .
Ответ: Lmax  18 при Х*= (4;3).
Задачи контрольной работы
Решите задачи линейного программирования 14.1 – 14.20 графическим
методом:
14.1.
14.3.
14.5.
14.7.
L  2 x1  3 x 2  max
L  5 x1  3 x 2  min
  2 x1  x 2  2
 x  3 x  9
2
 1
4 x1  3 x2  24


 x1  0, x2  0
 4 x1  x 2  0
 x  x  3
2
 1
2 x1  3 x2  6
 x 4
1

 x1  0, x2  0
14.2.
L  2 x1  3 x2  max
L  2 x1  3 x 2  max
  6 x1  x2  3
 5 x  9 x  45
1
2

 x1  3x 2  3

х1  5

 x1  0, x2  0
 3 x1  2 x2  4
  x  2x  8
2
 1
 x1  x 2  10
 4 x  x  20
 1 2
 x1  0, x2  0
14.4.
L  5 x1  5 x 2  max
L  x1  2 x2  max
 2 x1  x 2  2
  x  3x  9
2
 1
 x1  x2  3

x1  4

 x1  0, x 2  0
 3x1  2 x2  4
  x  2x  8
2
 1
 x1  x2  10
 x x 2
2
 1
 x1  0, x2  0
14.6.
L   x1  x2  min
L  2 x1  4 x2  min
 2 x1  3 x2  0
 5 x  9 x  45
1
2

 5 x1  4 x2  20

x1  6

 x1  0, x2  0
 3x1  2 x2  6
 x  2 x  10
2
 1
 x1  5 x2  5
 x x 4
2
 1
 x1  0, x 2  0
14.8.
14.9.
14.11.
14.13.
14.15.
L  x1  2 x2  max
L  2 x1  2 x2  max
 3 x1  2 x2  6
 x x 0
2
 1
 x1  x2  8

x2  3

 x1  0, x2  0
 2 x1  x2  2
 x  2 x  7
2
 1
 x1  3 x2  18

x1  6

 x1  0, x 2  0
14.10.
L  x1  2 x 2  max
L  x1  4 x 2  min
 3 x1  2 x 2  12
 3x  2 x  6
1
2

 3 x1  x 2  3

x2  8

 x1  0, x 2  0
 5 x1  2 x2  0
 x  2 x  8
2
 1
 x1  3 x 2  3

x1  6

 x1  0, x 2  0
14.12.
L  2 x1  x2  max
L  2 x1  3 x2  max
 x1  x2  12
 x x 4
2
 1
 2 x1  x2  0
 x 2
2

 x1  0, x2  0
 x1  x 2  2
 x x 0
1
2

 2 x1  5 x2  30

x1  5

 x1  0, x 2  0
14.14.
L   x1  x 2  min
L  x1  3 x 2  min
 3x1  2 x 2  6
 x  2 x  10
2
 1
 x1  3 x 2  6
 x x 3
2
 1
 x1  0, x 2  0
 3x1  2 x2  6
 2 x  3x  6
2
 1
x1  6


x2  6

 x1  0, x 2  0
14.16.
14.17.
L  3 x1  2 x2  max
L  2 x1  4 x 2  min
 2 x1  x 2  0
 x  2 x  3
2
 1
x2  3



 x1  0, x 2  0
2 x1  x 2  4
x x 2
2
 1
 3 x1  2 x 2  0
 x  10
2

 x1  0, x 2  0
L  4 x1  6 x 2  max
14.19.
4 x1  5 x 2  0
2 x  3 x  6
2
 1
x1  5

 x 6
2

 x1  0, x 2  0
14.18.
L  3x1  x2  min
 2 x1  3x 2  6
 2 x  3 x  6
1
2

14.20.  2 x1  x 2  10

x2  6

 x1  0, x 2  0
Приложение 1
1
Значения функции  x  
Целые и
десятые
доли х
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
x2

 2
2
Сотые доли х
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
1
2
3
4
5
6
7
0,3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
0,2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0,0529
0,3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
0,2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0,0519
0,3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
0,2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0,0508
0,3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
0,2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0,0498
0,3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
0,2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0,0488
0,3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
0,2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0,0478
0,3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
0,2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0,0468
8
9
0,3977
0,3973
3925
3918
3836
3825
3712
3697
3555
3538
3372
3352
3166
3144
2943
2920
2709
2685
2468
2444
0,2227
0,2203
1989
1965
1758
1736
1539
1518
1334
1315
1145
1127
0973
0957
0818
0804
0681
0669
0562
0551
0,0459
0,0449
Окончание прил. 1
Целые и
десятые
доли х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,5
5,0
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
0,0001
0,0001338
0,0000160
0,0000015
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0,0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0,0001
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0,0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0,0001
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0,0041
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0,0001
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0,0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0,0001
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0,0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
0,0001
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0,0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0,0001
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0,0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0,0001
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0,0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
0,0001
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0,0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
0,0001
Сотые доли х
Приложение 2
Значения функции Фх  
1
2
x


t2
2
dt
0
Целые и
десятые
доли х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,0000
0,0398
0,0040
0,0438
0,0080
0,0478
0,0120
0,0517
0,0160
0,0577
0,0199
0,0596
0,0239
0,0636
0,0279
0,0675
0,0319
0,0714
0,0359
0,0753
Сотые доли х
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3883
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2703
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,1064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,1103
0,1141
0,1480
0,1517
0,1844
0,1879
0,2190
0,2224
0,2517
0,2549
0,2823
0,2852
0,3106
0,3133
0,3365
0,3389
0,3599
0,3621
0,3810
0,3830
0,3997
0,4015
0,4162
0,4177
0,4306
0,4319
0,4429
0,4441
0,4535
0,4545
0,4625
0,4633
0,4699
0,4706
0,4761
0,4767
Окончание прил. 2
Сотые доли х
Целые и
десятые
доли х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,4991
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,4991
0,4993
0,4996
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4788
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4983
0,4987
0,991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4793
0,4834
0,4871
0,4901
0,4924
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
0,4991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4798
0,4838
0,4874
0,4904
0,4927
0,4945
0,4958
0,4969
0,4977
0,4984
0,4989
0,4991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4803
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,49986
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4930
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,4992
0,4995
0,4996
0,4998
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4980
0,4985
0,4989
0,4992
0,4995
0,4996
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4952
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4900
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
Приложение 3
Значения функции Пуассона
F m,   
m  

m!

m
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,904837
0,818731
0,740818
0,670320
0,606531
0,548812
1
0,090484
0,163746
0,222245
0,268128
0,303265
0,329287
2
0,004524
0,016375
0,033337
0,053626
0,075816
0,098786
3
0,000151
0,001091
0,003334
0,007150
0,012636
0,019757
4
0,000004
0,000055
0,000250
0,000715
0,001580
0,002964
5
0,000000
0,000002
0,000015
0,000057
0,000158
0,000356
6
0,000000
0,000000
0,000001
0,000004
0,000013
0,000035
7
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000001
0,000003

m
0
0,7
0,8
0,9
1,0
2,0
3,0
0,496585
0,449329
0,406570
0,367879
0,135335
0,049787
1
0,347610
0,359463
0,365913
0,367879
0,270671
0,149361
2
0,121663
0,143785
0,164661
0,183940
0,270671
0,224042
3
0,028388
0,038343
0,049398
0,061313
0,180447
0,224042
4
0,004968
0,007669
0,011115
0,015328
0,090224
0,168031
5
0,000695
0,001227
0,002001
0,003066
0,036089
0,100819
6
0,000081
0,000164
0,000300
0,000511
0,012030
0,050409
7
0,000008
0,000019
0,000039
0,000073
0,003437
0,021604
8
0,000001
0,000002
0,000004
0,000009
0,000859
0,008102
9
0,000000
0,000000
0,000000
0,000001
0,000191
0,002701
10
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000038
0,000810
11
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000007
0,000221
12
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000001
0,000055
13
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000013
14
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000003
15
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000001
Окончание прил. 3

m
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0
0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,000045
1
0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,000454
2
0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,002270
3
0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,007567
4
0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737 0,018917
5
0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,037833
6
0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,063055
7
0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,090079
8
0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,112600
9
0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756 0,125110
10
0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099662 0,118580 0,125110
11
0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 0,113740
12
0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 0,094780
13
0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 0,072908
14
0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384 0,052077
15
0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 0,034718
16
0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 0,021699
17
0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 0,012764
18
0,000000 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 0,007091
19
0,000000 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 0,003732
20
0,000000 0,000000 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 0,001866
21
0,000000 0,000000 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 0,000889
22
0,000000 0,000000 0,000000 0,000003 0,000022 0,000108 0,000404
23
0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000008 0,000042 0,000176
24
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000003 0,000016 0,000073
25
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000006 0,000029
26
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000002 0,000011
27
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000004
28
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001
Приложение 4
Критические точки распределения 2
Число
степеней
свободы k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Уровень значимости 
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,89
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
5,0
7,4
9,4
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
0,00098
0,051
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
Приложение 5
Значения tp(p, n)
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,95
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
P
0,99
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
0,999
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
n
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120

0,95
2,093
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
1,960
Приложение 6
Значения q = q(p, n)
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,95
1,37
1,09
0,92
0,80
0,71
0,65
0,59
0,55
0,52
0,48
0,46
0,44
0,42
0,40
0,39
P
0,99
2,67
2,01
1,62
1,38
1,20
1,08
0,98
0,90
0,83
0,78
0,73
0,70
0,66
0,63
0,60
0,999
5,64
3,88
2,98
2,42
2,06
1,80
1,60
1,45
1,33
1,23
1,15
1,07
1,01
0,96
0,92
n
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
150
200
250
0,95
0,37
0,32
0,28
0,26
0,24
0,22
0,21
0,188
0,174
0,161
0,151
0,143
0,115
0,099
0,089
P
0,99
0,58
0,49
0,43
0,38
0,35
0,32
0,30
0,269
0,245
0,226
0,211
0,198
0,160
0,136
0,120
0,999
0,88
0,73
0,63
0,56
0,50
0,46
0,43
0,38
0,34
0,31
0,29
0,27
0,211
0,185
0,162
P
0,99
2,861
2,797
2,756
2,720
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
0,999
3,883
3,745
3,652
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291