АВ ∥ CD; BC ∥ AD Дано: АВCD – четырёхугольник 1 = 4; 2 = 3 Доказать: АВCD – параллелограмм Найдите углы трапеции. А=В=С=D=90° АВ ∥ CD; BC ∥ AD АВ = CD; BC = AD АО = ОC; BО = ОD АВ = BC = CD = AD АВ ∥ CD; BC ∥ AD АО = ОC; BО = ОD АВ = BC = CD = AD АВ ∥ CD; BC ∥ AD Площадь квадрата равна квадрату его стороны. B a C 2 S a a ABCD A D Теорема Площадь прямоугольника смежных сторон. Р b a S ab Е М равна Н произведению его B 7 P 5 C Дано: ABCD – прямоугольник 1 = 2, BP = 7, РC = 5 1 2 A D Найти: SABCD Теорема Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. B C SABCD = AD · BH A Н D B C 15 12 Найти: SABCD 30° A Н Дано: ABCD – параллелограмм А = 30°, BС = 15, АВ = 12 D Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба. B C Дано: ABCD – ромб SАBCD = 27, P = 36 Найти: BH. A Н D Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. C A Н SABC = ½ AB · CH B Р М SMPK = PM · MK К Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Теорема Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. В С SABCD = ½ (AD + BC) · BH A Н D Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. В 26 A 10 Н 6 С 25 24 13 D В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. c2 = a2 + b2 a c b Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Найти: х, у. В 9 К 18 А у 12 20 Р х С Определить высоту фонарного столба. А1 ? А 1,7 С1 4,2 С В 2,1 Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. В a BC sin A AB c или α С b А a sin c (1) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В a AC cos A AB c или α С b А b cos c (2) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В a BC tgA AC c или α С b А a tg b sin A tgA cos A (3) Котангенсом острого угла прямоугольного называется отношение прилежащего противолежащему катету. В a АC сtgA ВC c α С b треугольника катета к b или сtg а cos A сtgA sin A А (4) sin 2 A cos 2 A 1 α° 30° 45° 60° sin α 1 2 2 2 3 2 cos α 3 2 2 2 1 2 tg α 3 3 1 3 В 6 Дано: ∆ АВС – п/у, С = 90 АВ = 10, ВС = 6. 10 Найти: cos A. С А В Дано: ∆ АВС – п/у, С = 90 АВ = 13, АС = 12. 13 С 12 А Найти: tg A. В H Дано: ∆ АВС – п/у, С = 90 CH – высота, АС = 10, АН = 8. 8 Найти: cos B. С 10 А С Дано: ∆ АВС – р/б, АС = ВС = 10, АВ = 12. 10 Найти: cos А. А 12 В С Дано: ∆ АВС – р/б, АС = ВС, AH – высота, АВ = 10, AH = 8. Н 8 Найти: sin А, cos A. А 10 В А р – касательная А – точка касания р r О Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. А р r О Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. А С D 30° Дано: АВ = 120°, AC = 30° Найти: АDВ, CDB, DB. 120° О В Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. В А О АВС – вписанный Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. С 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2. Вписанный угол, опирающиеся на полуокружность, – прямой. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что АОВ = 140°. Длина меньшей дуги равна 98. Найдите длину большей дуги. А Найти: длину АDВ. 140° О D В Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 13/36 длины окружности. Ответ дайте в градусах. В А Найти: АВС . О С • • • Геометрия, 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2016. Изучение геометрии в 7 – 9 классах: Пособие для учителей / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2009. http://mathege.ru/or/ege/Main.html - материалы открытого банка заданий ЕГЭ по математике .