Стационарные у-я возбуждения линии передачи электронным потоком

Стационарные уравнения возбуждения
линии передачи электронным потоком
Будем рассматривать возбуждение однородного по оси x бесконечного (или что тоже
самое конечного, но идеально согласованного на концах) волновода, пронизываемого
прямолинейным электронным потоком с плотностью тока ~j = ~ljx 1 , где ~l – единичный
вектор в направлении оси x. Под волноводом будем понимать любую передающую
линию, электромагнитное поле которой занимает в поперечном сечении конечную
площадь. В таком волноводе могут существовать волны, распространяющиеся в направлениях ±x. Волны, распространяющиеся в волноводе будут характеризоваться
полями
~ ±s = E
~ 0 (~r⊥ )ejβ±sx ,
E
±s
~ ±s = H
~ 0 (~r⊥ )ejβ±s x
H
±s
(1)
и волновыми продольными числами β±s . Поля E±s , H±s — поля собственной s–й
волны в системе без пучка, они удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла.
Здесь верхний индекс отвечает за волны распространяющиеся в направлении оси x
(прямые волны), а нижний — против оси x (встречные волны).
Тогда электрическое поле в волноводе можно представить как две группы волн:
группа, в которой все волны распространяются вправо
X−
−
→
→
E =
Es ej(ωt−βs x) ,
(2)
s
и группа волн, распространяющихся влево:
←
− X←
−
E =
Es ej(ωt+βs x) ,
(3)
s
где знаки “→"и “←"соответствуют волнам, распространяющимся соответственно вправо и влево; βs – постоянная распространения s-ой волны в системе без пучка, причем
будем полагать, что βs одинаково в обоих случаях.
Введем продольное волновое сопротивление s-й волны:
Ks =
|Es,x |2
,
2βs2 Ps
(4)
где Ps – активная мощность, переносимая s-й волной в направлении x. Величина Ks
часто называется сопротивлением связи. Действительно, чем больше Ks , тем больше
Es,x , а следовательно, тем сильнее степень взаимодействия распространяющейся в
линии передачи волны с потоком электронов.
1
Предполагаем, что плотность возбуждающего тока изменяется во времени по закону ejωt .
С учетом определения (4) потоки мощности, переносимые s-й волной вправо или
влево от выбранной плоскости x = x̄, выражаются соответственно формулами
−
→−
→∗
←
−←
−∗
←
− Es Es
→ Es Es
−
Ps = 2 ,
Ps = 2 .
2βs Ks
2βs Ks
(5)
Здесь “∗"означает комплексно сопряженную величину.
Если в плоскости x = x̄ амплитуда волны изменяется на величину dE, то изменение потока мощности, переносимого волной, можно найти, дифференцируя соотношение (5):
−
→ −
→∗ −
→∗ −
→
←
− ←
−∗ ←
−∗ ←
−
Es dEs + Es dEs
−
→
←
− Es dEs + Es dEs
d Ps =
,
d
P
=
.
(6)
s
2βs2 Ks
2βs2 Ks
Если теперь предположить, что изменение поля на величину dE в точке x = x̄ обу−
→
←
−
словлено током i(x̄), то в точке x = x̄ удовлетворяется равенство dE = dEs = dEs .
Полное изменение мощности в линии передачи определяется изменением потоков
мощности, текущих вправо и влево и записывается как
−
→ ←
−
−
→∗ ←
−∗
Es + Es
→
−
←
− Es + Es
∗
dP = dPs + dPs =
dE +
dE.
2βs2 Ks
2βs2 Ks
(7)
Предполагаем далее, что ток i(x̄) связан с электронным пучком, возбуждающим
волновод. Тогда можно найти изменение мощности взаимодействия элемента тока
−
→ ←
−
i(x̄)dx̄ с полем Es + Es :
1 1
1
−
→ ←
−∗
−
→∗ ←
−∗
−
→ ←
−
dP = − Re i(x̄)(Es + Es ) dx̄ = − i(x̄)(Es + Es )dx̄ − i∗ (x̄)(Es + Es )dx̄. (8)
2
4
4
2
Знак минус в выражении (8) отражает тот факт, что увеличение потока мощности
в линии передачи происходит за счет мощности, отдаваемой электронным потоком
полю.
Приравнивая соотношения (7) и (8), получаем выражение, известное в литературе
как теорема “наведения":
βs2 Ks
i(x̄)dx̄.
(9)
2
Отметим, что пучок возбуждает элементарные волны в любой точке пространства
dE = −
взаимодействия и их необходимо суммировать по всей длине линии передачи (см.
рис. 1). В точке x = x̄ поле будет складываться из волн, бегущих вправо от элементов
тока, для которых x̄ < x (элемент 1 на рис. 1), и волнами, бегущими влево, для
которых x̄ > x (элемент 2).
Используя соотношения (2) и (3) и теорему “наведения"(9), для напряженности
наведенного поля в произвольной точке пространства взаимодействия получим:
Ex = −
x
X β 2 Ks Z
s
s
2
2
0
i(x̄)e−jβs(x−x̄) dx̄ −
l
X β 2 Ks Z
s
s
2
i(x̄)ejβs(x−x̄) dx̄
(10)
x
Поясним как появляется соотношение (8). Для выражения Re (ab∗ )/2 имеем: Re ((a1 + ja2 )(b1 +
jb2 ))/2 = (a1 · b1 + a2 · b2 )/2; с другой стороны: (ab∗ + a∗ b)/4 = (a1 · b1 + a2 · b2 )/2. Сравнивая первое
и второе выражение приходим к соотношению: Re (ab∗ )/2 = (ab∗ + a∗ b)/4.
E
E 0exp(-jb0x)
0
i(x)
x
2
1
0
l
x=x
2
dEs=(bsKs/2)i(x)dx
2
dEs=-(bsKs/2)i(x)dx
Рис. 1: Схема, поясняющая вывод уравнения возбуждения линии передачи заданным
гармоническим током
(l – длина пространства взаимодействия).
Обычно для простоты ограничиваются рассмотрением только одного вида волн,
возбуждаемых в линии передачи сгруппированным током, для которых s = 0 (основной вид волн). Тогда выражение (10) для полной напряженности поля можно
переписать в виде:
0 −jβ0 x
Ēx = E e
β 2 K0
− 0
2
Zx
−jβ0 (x−x̄)
i(x̄)e
β 2 K0
dx̄ − 0
2
0
Zl
i(x̄)ejβ0 (x−x̄) dx̄,
(11)
x
где E 0 – амплитуда входного сигнала. Здесь первое слагаемое — внешняя приложенная напряженность поля в начале линии передачи, второе слагаемое — интегральный
эффект от составляющих между x̄ = 0 и x̄ = x, третье — между x̄ = x и x̄ = l. Фактор
e±jβ0 (x−x̄) учитывает конечную скорость изменения фазы волны: в данный момент в
плоскость x приходят “элементарные"волны, возбужденные током i(x̄) тем раньше,
чем дальше от плоскости x находится источник возбуждения. Сопротивление связи
K0 = K можно рассматривать как коэффициент, связывающий ток i(x̄), и возбужденное им в плоскости x̄ поле.
Перейдем от интегрального вида уравнения возбуждения линии передачи к дифференциальному относительно возбужденной части поля Ex . Для этого необходимо
воспользоваться правилом Лейбница:
Правило Лейбница. Если функция f (x, y) и ее частная производная ∂f /∂y непрерывны на прямоугольнике a ≤ x ≤ b и c ≤ y ≤ e, то
d
dy
Zb
a
f (x, y) dx =
Zb
a
df (x, y)
dx.
dy
Замечание. Для интеграла
d
dy
ψ(y)
Z
f (x, y) dx,
φ(y)
у которого функции φ(y) и ψ(y) дифференцируемы на отрезке c ≤ y ≤ e и не выходят за пределы a ≤ φ(y), ψ(y) ≤ b по правилу дифференцирования сложной функции
имеем:
ψ(y)
ψ(y)
Z
Z
dφ(y)
dψ(y)
df (x, y)
f (x, y) dx =
dx − f (φ(y), y)
+ f (ψ(y), y)
.
dy
dy
dy
d
dy
φ(y)
φ(y)
Учитывая вышесказанное, соотношение (11) легко свести к уравнению:
∂ 2 Ex
+ β02 Ex = jβ03 Ki(x).
∂x2
(12)
Последнее соотношение является дифференциальным уравнением возбуждения линии передачи потоком. Оно справедливо для любых конфигураций линии передачи,
поэтому задача заключается в правильном вычислении сопротивления связи конкретной системы.
Отметим, что интегралы вида ∓ 12
Rx
i(x̄)e−jβ0 x̄ dx̄, входящие в формулу (11), до-
0
пускают энергетическое толкование. Действительно, ∓ 12
Rx
i(x̄)E 0 e−jβ0x̄ dx̄ = ∓Pe —
0
средняя за период электронная мощность взаимодействия сгруппированного тока
пучка с полем E 0 e−jβ0 x волны в линии передачи без пучка. В соответствии с этим
интегралы

1
Pea = Re 
2
Zl
0

i(x̄)E 0 ejβ0 x̄ dx ,

1
Per = Im 
2
Zl
0

i(x̄)E 0 ejβ0 x̄ dx
(13)
можно назвать соответственно активной и реактивной компонентами электронной
мощности взаимодействия.