Стационарные уравнения возбуждения линии передачи электронным потоком Будем рассматривать возбуждение однородного по оси x бесконечного (или что тоже самое конечного, но идеально согласованного на концах) волновода, пронизываемого прямолинейным электронным потоком с плотностью тока ~j = ~ljx 1 , где ~l – единичный вектор в направлении оси x. Под волноводом будем понимать любую передающую линию, электромагнитное поле которой занимает в поперечном сечении конечную площадь. В таком волноводе могут существовать волны, распространяющиеся в направлениях ±x. Волны, распространяющиеся в волноводе будут характеризоваться полями ~ ±s = E ~ 0 (~r⊥ )ejβ±sx , E ±s ~ ±s = H ~ 0 (~r⊥ )ejβ±s x H ±s (1) и волновыми продольными числами β±s . Поля E±s , H±s — поля собственной s–й волны в системе без пучка, они удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла. Здесь верхний индекс отвечает за волны распространяющиеся в направлении оси x (прямые волны), а нижний — против оси x (встречные волны). Тогда электрическое поле в волноводе можно представить как две группы волн: группа, в которой все волны распространяются вправо X− − → → E = Es ej(ωt−βs x) , (2) s и группа волн, распространяющихся влево: ← − X← − E = Es ej(ωt+βs x) , (3) s где знаки “→"и “←"соответствуют волнам, распространяющимся соответственно вправо и влево; βs – постоянная распространения s-ой волны в системе без пучка, причем будем полагать, что βs одинаково в обоих случаях. Введем продольное волновое сопротивление s-й волны: Ks = |Es,x |2 , 2βs2 Ps (4) где Ps – активная мощность, переносимая s-й волной в направлении x. Величина Ks часто называется сопротивлением связи. Действительно, чем больше Ks , тем больше Es,x , а следовательно, тем сильнее степень взаимодействия распространяющейся в линии передачи волны с потоком электронов. 1 Предполагаем, что плотность возбуждающего тока изменяется во времени по закону ejωt . С учетом определения (4) потоки мощности, переносимые s-й волной вправо или влево от выбранной плоскости x = x̄, выражаются соответственно формулами − →− →∗ ← −← −∗ ← − Es Es → Es Es − Ps = 2 , Ps = 2 . 2βs Ks 2βs Ks (5) Здесь “∗"означает комплексно сопряженную величину. Если в плоскости x = x̄ амплитуда волны изменяется на величину dE, то изменение потока мощности, переносимого волной, можно найти, дифференцируя соотношение (5): − → − →∗ − →∗ − → ← − ← −∗ ← −∗ ← − Es dEs + Es dEs − → ← − Es dEs + Es dEs d Ps = , d P = . (6) s 2βs2 Ks 2βs2 Ks Если теперь предположить, что изменение поля на величину dE в точке x = x̄ обу− → ← − словлено током i(x̄), то в точке x = x̄ удовлетворяется равенство dE = dEs = dEs . Полное изменение мощности в линии передачи определяется изменением потоков мощности, текущих вправо и влево и записывается как − → ← − − →∗ ← −∗ Es + Es → − ← − Es + Es ∗ dP = dPs + dPs = dE + dE. 2βs2 Ks 2βs2 Ks (7) Предполагаем далее, что ток i(x̄) связан с электронным пучком, возбуждающим волновод. Тогда можно найти изменение мощности взаимодействия элемента тока − → ← − i(x̄)dx̄ с полем Es + Es : 1 1 1 − → ← −∗ − →∗ ← −∗ − → ← − dP = − Re i(x̄)(Es + Es ) dx̄ = − i(x̄)(Es + Es )dx̄ − i∗ (x̄)(Es + Es )dx̄. (8) 2 4 4 2 Знак минус в выражении (8) отражает тот факт, что увеличение потока мощности в линии передачи происходит за счет мощности, отдаваемой электронным потоком полю. Приравнивая соотношения (7) и (8), получаем выражение, известное в литературе как теорема “наведения": βs2 Ks i(x̄)dx̄. (9) 2 Отметим, что пучок возбуждает элементарные волны в любой точке пространства dE = − взаимодействия и их необходимо суммировать по всей длине линии передачи (см. рис. 1). В точке x = x̄ поле будет складываться из волн, бегущих вправо от элементов тока, для которых x̄ < x (элемент 1 на рис. 1), и волнами, бегущими влево, для которых x̄ > x (элемент 2). Используя соотношения (2) и (3) и теорему “наведения"(9), для напряженности наведенного поля в произвольной точке пространства взаимодействия получим: Ex = − x X β 2 Ks Z s s 2 2 0 i(x̄)e−jβs(x−x̄) dx̄ − l X β 2 Ks Z s s 2 i(x̄)ejβs(x−x̄) dx̄ (10) x Поясним как появляется соотношение (8). Для выражения Re (ab∗ )/2 имеем: Re ((a1 + ja2 )(b1 + jb2 ))/2 = (a1 · b1 + a2 · b2 )/2; с другой стороны: (ab∗ + a∗ b)/4 = (a1 · b1 + a2 · b2 )/2. Сравнивая первое и второе выражение приходим к соотношению: Re (ab∗ )/2 = (ab∗ + a∗ b)/4. E E 0exp(-jb0x) 0 i(x) x 2 1 0 l x=x 2 dEs=(bsKs/2)i(x)dx 2 dEs=-(bsKs/2)i(x)dx Рис. 1: Схема, поясняющая вывод уравнения возбуждения линии передачи заданным гармоническим током (l – длина пространства взаимодействия). Обычно для простоты ограничиваются рассмотрением только одного вида волн, возбуждаемых в линии передачи сгруппированным током, для которых s = 0 (основной вид волн). Тогда выражение (10) для полной напряженности поля можно переписать в виде: 0 −jβ0 x Ēx = E e β 2 K0 − 0 2 Zx −jβ0 (x−x̄) i(x̄)e β 2 K0 dx̄ − 0 2 0 Zl i(x̄)ejβ0 (x−x̄) dx̄, (11) x где E 0 – амплитуда входного сигнала. Здесь первое слагаемое — внешняя приложенная напряженность поля в начале линии передачи, второе слагаемое — интегральный эффект от составляющих между x̄ = 0 и x̄ = x, третье — между x̄ = x и x̄ = l. Фактор e±jβ0 (x−x̄) учитывает конечную скорость изменения фазы волны: в данный момент в плоскость x приходят “элементарные"волны, возбужденные током i(x̄) тем раньше, чем дальше от плоскости x находится источник возбуждения. Сопротивление связи K0 = K можно рассматривать как коэффициент, связывающий ток i(x̄), и возбужденное им в плоскости x̄ поле. Перейдем от интегрального вида уравнения возбуждения линии передачи к дифференциальному относительно возбужденной части поля Ex . Для этого необходимо воспользоваться правилом Лейбница: Правило Лейбница. Если функция f (x, y) и ее частная производная ∂f /∂y непрерывны на прямоугольнике a ≤ x ≤ b и c ≤ y ≤ e, то d dy Zb a f (x, y) dx = Zb a df (x, y) dx. dy Замечание. Для интеграла d dy ψ(y) Z f (x, y) dx, φ(y) у которого функции φ(y) и ψ(y) дифференцируемы на отрезке c ≤ y ≤ e и не выходят за пределы a ≤ φ(y), ψ(y) ≤ b по правилу дифференцирования сложной функции имеем: ψ(y) ψ(y) Z Z dφ(y) dψ(y) df (x, y) f (x, y) dx = dx − f (φ(y), y) + f (ψ(y), y) . dy dy dy d dy φ(y) φ(y) Учитывая вышесказанное, соотношение (11) легко свести к уравнению: ∂ 2 Ex + β02 Ex = jβ03 Ki(x). ∂x2 (12) Последнее соотношение является дифференциальным уравнением возбуждения линии передачи потоком. Оно справедливо для любых конфигураций линии передачи, поэтому задача заключается в правильном вычислении сопротивления связи конкретной системы. Отметим, что интегралы вида ∓ 12 Rx i(x̄)e−jβ0 x̄ dx̄, входящие в формулу (11), до- 0 пускают энергетическое толкование. Действительно, ∓ 12 Rx i(x̄)E 0 e−jβ0x̄ dx̄ = ∓Pe — 0 средняя за период электронная мощность взаимодействия сгруппированного тока пучка с полем E 0 e−jβ0 x волны в линии передачи без пучка. В соответствии с этим интегралы 1 Pea = Re 2 Zl 0 i(x̄)E 0 ejβ0 x̄ dx , 1 Per = Im 2 Zl 0 i(x̄)E 0 ejβ0 x̄ dx (13) можно назвать соответственно активной и реактивной компонентами электронной мощности взаимодействия.