ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ФИЗИКЕ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 1. Электрический заряд. Закон Кулона. ........................................................................................................................................... 5 Электрический заряд .......................................................................................................................................................................... 5 Закон Кулона. ..................................................................................................................................................................................... 5 2. Принцип суперпозиции для силы Кулона. Распределенный заряд........................................................................................... 7 Принцип суперпозиции для силы Кулона........................................................................................................................................ 7 Распределенный заряд ....................................................................................................................................................................... 7 3. Напряженность ЭСП. Свойства силовых линий ЭСП. Принцип суперпозиции для вектора Е. ............................................ 8 Напряженность ЭСП .......................................................................................................................................................................... 8 Свойства силовых линий ЭСП .......................................................................................................................................................... 9 Принцип суперпозиции для вектора Е ........................................................................................................................................... 10 4. Работа сил ЭСП по перемещению заряда. Критерий потенциальности ЭСП. ...................................................................... 12 Работа сил электростатического поля. ........................................................................................................................................... 12 Критерий потенциальности ЭСП. ................................................................................................................................................... 12 5. Потенциальная энергия заряда. Потенциал поля точечного заряда. Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов................................................................................................................................................................................................... 13 Потенциальная энергия заряда........................................................................................................................................................ 13 Потенциал поля точечного заряда .................................................................................................................................................. 13 Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов ........................................................................................................ 14 6. Связь напряженности ЭСП с потенциалом, разностью потенциалов. Эквипотенциальные поверхности.......................... 15 Связь между напряженностью ЭСП и потенциалом .................................................................................................................... 15 Эквипотенциальные поверхности................................................................................................................................................... 15 Связь между напряженностью ЭСП и разностью потенциалов.................................................................................................. 16 7. Диполь и его характеристики. Сила взаимодействия диполя и точечного заряда. ............................................................... 17 Диполь и его характеристики .......................................................................................................................................................... 17 Сила взаимодействия диполя и точечного заряда ......................................................................................................................... 17 8. Потенциал и напряженность ЭСП диполя. ............................................................................................................................... 19 Потенциал ЭСП диполя. .................................................................................................................................................................. 19 Напряженность ЭСП диполя ........................................................................................................................................................... 20 9. Диполь во внешнем однородном ЭСП. ..................................................................................................................................... 22 10. Диполь во внешнем неоднородном ЭСП. ............................................................................................................................. 24 11. Поток векторов напряженности и индукции ЭСП. .............................................................................................................. 25 12. Теорема Гаусса для ЭСП в вакууме в интегральной форме. ............................................................................................... 27 13. Теорема Гаусса для ЭСП в вакууме в дифференциальной форме. ..................................................................................... 30 14. Теорема о циркуляции вектора напряженности ЭСП в интегральной и дифференциальной форме. Потенциальность ЭСП. 32 1.Интегральная форма теоремы о циркуляции вектора напряженности ЭСП............................................................................ 32 2. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора напряженности ЭСП. ................................................................ 32 15. Применение принципа суперпозиции для расчета напряженности ЭСП заряженных тел различной формы (нить конечной длины, кольцо или диск)..................................................................................................................................................... 35 Напряженность поля на оси заряженного кольца. ........................................................................................................................ 35 16. Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности ЭСП (бесконечная плоскость и бесконечно длинная нить, полый цилиндр, сплошной цилиндр, заряженная сфера или заряженный шар). ........................................................................... 37 Напряженность ЭСП бесконечной заряженной плоскости. ......................................................................................................... 37 17. Расчет потенциала и разности потенциалов ЭСП заряженных тел различной формы (один любой пример). .............. 39 18. Диэлектрики. Полярные и неполярные молекулы. .............................................................................................................. 40 Диэлектрики...................................................................................................................................................................................... 40 Полярные и неполярные молекулы. ............................................................................................................................................... 40 19. Поляризация диэлектриков. Основные типы поляризации. ................................................................................................ 42 Поляризация диэлектриков ............................................................................................................................................................. 42 Основные типы поляризации .......................................................................................................................................................... 42 20. Связанные и сторонние заряды в диэлектриках. Диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость. Поверхностная плотность связанных зарядов. .................................................................................................. 46 Связанные и сторонние заряды в диэлектриках ............................................................................................................................ 46 Диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость..................................................................................... 46 Поверхностная плотность связанных зарядов ............................................................................................................................... 46 21. Вектор поляризации. Его связь с поверхностной плотностью связанных зарядов. .......................................................... 48 Вектор поляризации ......................................................................................................................................................................... 48 Его связь с поверхностной плотностью связанных зарядов......................................................................................................... 48 22. Теорема Гаусса для диэлектрика. Вектор электрического смещения. ............................................................................... 50 Теорема Гаусса для диэлектрика .................................................................................................................................................... 50 Вектор электрического смещения .................................................................................................................................................. 50 23. Электростатическое поле в диэлектрике. ............................................................................................................................. 52 24. Граничные условия для вектора напряженности ЭСП в диэлектрике. .............................................................................. 54 25. Граничные условия для вектора индукции ЭСП в диэлектрике. ........................................................................................ 57 26. Сегнетоэлектрики. Гистерезис в сегнетоэлектриках. .......................................................................................................... 58 Сегнетоэлектрики ............................................................................................................................................................................. 58 Гистерезис в сегнетоэлектриках ..................................................................................................................................................... 59 27. Пьезоэффект. ........................................................................................................................................................................... 62 28. ЭСП заряженного проводника. .............................................................................................................................................. 65 29. Проводник во внешнем ЭСП. Явление электростатической индукции. ........................................................................... 69 Проводник во внешнем ЭСП........................................................................................................................................................... 69 Явление электростатической индукции ......................................................................................................................................... 69 30. Электроемкость уединенного проводника. Влияние окружающих тел на электроемкость проводника. ....................... 72 Электроемкость уединенного проводника..................................................................................................................................... 72 Влияние окружающих тел на электроемкость проводника .......................................................................................................... 73 31. Конденсаторы: плоский, цилиндрический, сферический. Емкость конденсаторов.......................................................... 76 Емкость конденсаторов ................................................................................................................................................................... 76 Конденсаторы: плоский, цилиндрический, сферический ............................................................................................................. 76 32. Соединение конденсаторов. ................................................................................................................................................... 79 33. Энергия заряженного проводника и конденсатора. ............................................................................................................. 82 Энергия заряженного проводника .................................................................................................................................................. 82 Энергия заряженного конденсатора ............................................................................................................................................... 82 34. Энергия ЭСП. Объемная плотность энергии. ....................................................................................................................... 84 Энергия ЭСП .................................................................................................................................................................................... 84 Объемная плотность энергии .......................................................................................................................................................... 84 35. Электрический ток и его характеристики. ............................................................................................................................ 86 Электрический ток ........................................................................................................................................................................... 86 Характеристики тока........................................................................................................................................................................ 86 36. Уравнение непрерывности для электрического тока в интегральной и дифференциальной форме. .............................. 88 37. Электродвижущая сила. Сторонние силы. Падение напряжения. ...................................................................................... 90 Сторонние силы ................................................................................................................................................................................ 90 Электродвижущая силы ................................................................................................................................................................... 90 Падение напряжения ........................................................................................................................................................................ 91 38. Закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи, для замкнутой цепи в интегральной форме. Электрическое сопротивление. ........................................................................................................................................................... 92 Закон Ома для однородного участка цепи ..................................................................................................................................... 92 Электрическое сопротивление ........................................................................................................................................................ 92 Закон Ома для неоднородного участка цепи. ................................................................................................................................ 93 Закон Ома для замкнутой цепи. ...................................................................................................................................................... 94 Закон Ома в интегральной форме ................................................................................................................................................... 94 39. Закон Ома в дифференциальной форме. ............................................................................................................................... 95 Однородный участок........................................................................................................................................................................ 95 Неоднородный участок. ................................................................................................................................................................... 96 40. Соединение проводников. ...................................................................................................................................................... 97 Последовательное соединение проводников. ................................................................................................................................ 97 Параллельное соединение проводников ........................................................................................................................................ 98 41. Правила Кирхгофа. Узел, ветвь, контур................................................................................................................................ 99 Ветвь .................................................................................................................................................................................................. 99 Узел.................................................................................................................................................................................................... 99 Первое правило Кирхгофа ............................................................................................................................................................... 99 Контур ............................................................................................................................................................................................... 99 Второе правило Кирхгофа (правило контуров). ............................................................................................................................ 99 42. Соединение источников тока. .............................................................................................................................................. 102 Последовательное соединение источников тока ......................................................................................................................... 102 Параллельное соединение источников тока ................................................................................................................................ 103 43. Шунт и добавочное сопротивление. .................................................................................................................................... 104 Шунт ................................................................................................................................................................................................ 104 Добавочное сопротивление ........................................................................................................................................................... 104 44. Сопротивление и ток утечки в конденсаторе. .................................................................................................................... 106 45. Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. Мощность тока.......................................................................................... 110 Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. .............................................................................................................................. 110 Мощность тока ............................................................................................................................................................................... 110 46. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность мощности. ..................................................................... 111 Плотность мощности ..................................................................................................................................................................... 111 Закон Джоуля-Ленца в дифферециальной форме: ...................................................................................................................... 111 47. Мощность и КПД источника постоянного тока. ................................................................................................................ 112 48. Режимы работы цепи. ........................................................................................................................................................... 113 49. Зависимость сопротивления проводника от температуры. Сверхпроводимость. ........................................................... 117 Зависимость сопротивления от температуры .............................................................................................................................. 117 Сверхпроводимость ....................................................................................................................................................................... 118 50. Магнитное поле и его характеристики. Принцип суперпозиции для вектора индукции. .............................................. 119 Магнитное поле .............................................................................................................................................................................. 119 Индукция магнитного поля ........................................................................................................................................................... 119 Принцип суперпозиции для вектора индукции ........................................................................................................................... 120 Напряженность магнитного поля.................................................................................................................................................. 120 Относительная магнитная проницаемость среды ....................................................................................................................... 121 51. Закон Ампера. ........................................................................................................................................................................ 122 52. Индукция магнитного поля движущегося заряда. Закон Био-Савара-Лапласа. .............................................................. 123 Индукция магнитного поля движущегося заряда ....................................................................................................................... 123 Закон Био-Савара-Лапласа. ........................................................................................................................................................... 123 53. Сила взаимодействия двух параллельных токов. ............................................................................................................... 125 54. Расчет магнитного поля прямого тока (на оси или в центре кругового тока) по принципу суперпозиции (один любой пример). ............................................................................................................................................................................................... 126 55. Расчет магнитного поля соленоида по принципу суперпозиции. ..................................................................................... 127 56. Сила Лоренца. Связь силы Лоренца и силы Ампера. ........................................................................................................ 129 Сила Лоренца. ................................................................................................................................................................................. 129 Связь силы Лоренца и силы Ампера............................................................................................................................................. 130 57. Параметры траектории заряженной частицы, двигающейся в магнитном поле. ............................................................ 131 Движение по окружности .............................................................................................................................................................. 131 Движение по спирали(винтовой линии)....................................................................................................................................... 132 58. Применение силы Лоренца. Масс-спектрометр. Циклотрон. ........................................................................................... 133 Масс-спектрометр .......................................................................................................................................................................... 133 Циклотрон ....................................................................................................................................................................................... 134 59. Эффект Холла. Постоянная Холла. ..................................................................................................................................... 136 Эффект Холла ................................................................................................................................................................................. 136 Постоянная Холла .......................................................................................................................................................................... 137 60. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной форме. .................... 138 Магнитный поток ........................................................................................................................................................................... 138 Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной форме. .............................................................. 139 61. Теорема о циркуляции для магнитного поля в интегральной форме. .............................................................................. 141 62. Теорема о циркуляции для магнитного поля в дифференциальной форме. .................................................................... 143 63. Применение теоремы о циркуляции для расчета магнитного поля соленоида. .............................................................. 144 64. Применение теоремы о циркуляции для расчета магнитного поля тороида. .................................................................. 145 65. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. .................................................................. 146 Работа по перемещению проводника в магнитном поле ............................................................................................................ 146 Работа по перемещению контура с током в магнитном поле..................................................................................................... 147 66. Контур с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент контура. Вращающий момент. ......................... 148 Поле однородно .............................................................................................................................................................................. 148 Магнитный момент ........................................................................................................................................................................ 148 Вращающий момент....................................................................................................................................................................... 149 67. Энергия контура с током в однородном магнитном поле. Контур с током в неоднородном магнитном поле. ........... 150 Энергия контура с током в однородном магнитном поле .......................................................................................................... 150 Поле неоднородно .......................................................................................................................................................................... 150 68. Типы магнетиков. Гипотеза круговых токов Ампера. Гиромагнитное отношение. ....................................................... 152 Типы магнетиков ............................................................................................................................................................................ 152 Гипотеза круговых токов Ампера ................................................................................................................................................. 152 Гиромагнитное отношение ............................................................................................................................................................ 153 69. Намагниченность. Напряженность магнитного поля. Магнитная восприимчивость. .................................................... 155 Намагниченность............................................................................................................................................................................ 155 Магнитная восприимчивость ........................................................................................................................................................ 155 Напряженность магнитного поля.................................................................................................................................................. 155 70. Граничные условия для вектора индукции магнитного поля. .......................................................................................... 156 71. Граничные условия для вектора напряженности магнитного поля.................................................................................. 159 72. Диамагнетизм. ....................................................................................................................................................................... 160 73. Парамагнетизм. ..................................................................................................................................................................... 162 74. Ферромагнетизм. Гистерезис ферромагнетиков. ............................................................................................................... 163 Ферромагнетизм ............................................................................................................................................................................. 163 Гистерезис ферромагнетиков ........................................................................................................................................................ 166 75. Опыт Фарадея. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. ............................................................................. 169 Опыт Фарадея ................................................................................................................................................................................. 169 Закон электромагнитной индукции .............................................................................................................................................. 169 Правило Ленца................................................................................................................................................................................ 170 76. ЭДС индукции в движущихся проводниках. ...................................................................................................................... 171 77. Токи Фуко. ............................................................................................................................................................................. 172 78. Явление самоиндукции. Индуктивность. Индуктивность длинного соленоида. ............................................................ 174 Явление самоиндукции .................................................................................................................................................................. 174 Индуктивность................................................................................................................................................................................ 174 Индуктивность длинного соленоида ............................................................................................................................................ 174 79. Явление взаимной индукции. Взаимная индуктивность. .................................................................................................. 176 Явление взаимной индукции ......................................................................................................................................................... 176 Взаимная индуктивность ............................................................................................................................................................... 176 80. Переходные процессы в цепи с индуктивностью. Процесс замыкания цепи. Время релаксации. ................................ 178 Переходные процессы в цепи с индуктивностью........................................................................................................................ 178 Процесс замыкания цепи ............................................................................................................................................................... 178 Время релаксации........................................................................................................................................................................... 179 81. Переходные процессы в цепи с индуктивностью. Процесс размыкания цепи. ............................................................... 180 Переходные процессы в цепи с индуктивностью........................................................................................................................ 180 Процесс размыкания цепи ............................................................................................................................................................. 180 82. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии. ................................................................................................ 182 Энергия магнитного поля .............................................................................................................................................................. 182 Объемная плотность энергии ........................................................................................................................................................ 183 83. Обобщение закона электромагнитной индукции. Первое уравнение Максвелла. Вихревое электрическое поле....... 185 Вихревое электрическое поле ....................................................................................................................................................... 185 Первое уравнение Максвелла........................................................................................................................................................ 186 84. Обобщение теоремы о циркуляции вектора Н магнитного поля. Второе уравнение Максвелла. Ток смещения. ....... 187 Второе уравнения Максвелла ........................................................................................................................................................ 188 85. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Следствия из уравнений Максвелла. . 189 Следствия ........................................................................................................................................................................................ 189 1. Электрический заряд. Закон Кулона. Электрический заряд Электрический заряд (ЭЗ) – физическая величина, характеризующая свойства тел вступать в электромагнитные взаимодействия. ЭЗ – фундаментальное свойство элементарных частиц. Основные положения (свойства ЭЗ): 1) Элементарный заряд е – минимальный заряд, которым может обладать частица, и равный е = 1.6ꞏ10-19 Кл; 2) Квантование заряда: любой заряд кратен элементарному, т.е. q = ± Ne (заряд тела может принимать только определенные дискретные значения); 3) Инвариантность заряда: величина заряда, измеряемая в различных ИСО, является одинаковой, т.е. не зависит от того, движется заряд или покоится; 4) Закон сохранения заряда: суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется. Система называется электрически изолированной, если через ограничивающую ее поверхность не могут проникать заряженные частицы. Закон Кулона. Закон Кулона, которому подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов, был установлен экспериментально Кулоном в 1785г. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами и формой которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других заряженных тел. Закон Кулона (для вакуума): сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: qq Fk k 1 2 i , r2 1 где k 9 109 (Нм2 / Кл 2 ) ; ε0 = 8,85ꞏ10-12 (Кл2/Нм2) – диэлектрическая 4 0 постоянная; i – единичный вектор, проведенный от одного заряда к другому и направленный к тому из зарядов, к которому приложена сила. qq Fk k 1 2 . Модуль силы Кулона: r2 В случае одноименных зарядов сила Кулона будет положительной (что соответствует отталкиванию между зарядами). В случае разноименных зарядов сила Кулона отрицательна (что соответствует притяжению зарядов друг к другу) (рис.1). Рис.1 F1 k q1q2 i, r2 По третьему закону Ньютона F1 F2 . F2 k q1q2 r2 i 2. Принцип суперпозиции для силы Кулона. Распределенный заряд. Принцип суперпозиции для силы Кулона. Сила Кулона подчиняется принципу суперпозиции (рис.2): если есть система точечных зарядов q1, q2,…, qN, то результирующая сила, действующая на данный заряд со стороны всех других зарядов, равна векторной сумме сил, действующих на данный заряд со стороны каждого из зарядов системы: Fрез Fi F1 F2 ... FN . i Рис.2 Распределенный заряд Если заряженное тело настолько велико, что его нельзя рассматривать как точечный заряд, то в этом случае говорят о распределении электрического заряда внутри тела. Будем рассматривать однородно распределенный заряд. Виды таких зарядов: 1) заряд, распределенный по длине с линейной плотностью τ: q l , где q / l (Кл/м); величина заряда на единицу длины равна dq dl ; 2) заряд, распределенный по поверхности с поверхностной плотностью σ: q S , где q / S (Кл/м2); величина заряда на единицу поверхности равна dq dS ; 3) заряд, распределенный по объему с объемной плотностью ρ: q V , где q / V (Кл/м3); величина заряда на единицу объема равна dq dV . 3. Напряженность ЭСП. Свойства силовых линий ЭСП. Принцип суперпозиции для вектора Е. Напряженность ЭСП Взаимодействие между неподвижными зарядами осуществляется через электростатическое поле (ЭСП), являющееся частным случаем электрического поля. Исследуем с помощью пробного точечного заряда q0 (или qпр) поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q на расстоянии r от него (рис.5). На пробный заряд действует сила qq Fk k 0 i . r2 Рис.5 Если брать разные пробные заряды q0 , q0 , q0 и т.д., то силы Fk , Fk , Fk ,…на эти заряды со стороны поля будут различными. Однако отношение Fk/q0 для всех пробных зарядов будет одним и тем же и зависит только от величин q и r. Это отношение и есть векторная величина, характеризующая электрическое поле, и называемая напряженностью электрического поля в данной точке: F E k . q0 Согласно формуле, напряженность поля Е численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. В случае отрицательного заряда векторы Е и F имеют противоположные направления. Также из формулы следует, что вектор напряженности ЭП есть: q E k i, r2 а модуль вектора напряженности q Ek . r2 За единицу напряженности ЭП принимается напряженность в такой точке, в которой на заряд в 1 Кл действует сила в 1 Н. В СИ единица напряженности ЭП – 1 В/м. Направлен вектор Е вдоль радиальной прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис.6). Рис.6 На всякий точечный заряд q0 в точке поля с напряженностью Е будет действовать сила F = q0E. Если заряд положителен, направление силы совпадает с направлением вектора Е. В случае отрицательного заряда направления векторов E и F противоположны. Свойства силовых линий ЭСП ЭСП можно представить с помощью линий напряженности (силовых линий): 1) линии напряженности проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е (пример на рис.7); Рис.7 2) густота линий напряженности выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, была равна числовому значению вектора Е; 3) линии напряженности поля точечного заряда – совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен; 4) линии напряженности могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность. На рис.8, 9 и 10 представлены примеры силовых линий полей, создаваемых точечным зарядом, парой точечных зарядов и двумя заряженными параллельными пластинами, соответственно. Рис.8 Рис.9 Рис.10 Принцип суперпозиции для вектора Е Напряженность ЭСП подчиняется принципу суперпозиции (рис.11): напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности: Е рез Еi Е1 Е2 ... Е N . i Рис.11 Напряженность Е ЭП является основной силовой характеристикой ЭП. 4. Работа сил ЭСП по перемещению заряда. Критерий потенциальности ЭСП. Работа сил электростатического поля. Рассмотрим ЭСП, создаваемое неподвижным точечным зарядом qˊ. В любой точке этого поля на точечный заряд q, находящийся в этом поле, действует сила qq Fk Eq k i. r2 Вычислим работу сил ЭСП по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 (рис.13). Работа на элементарном перемещении dl равна: dA Fdl Fdl cos( F dl ) Fdl cos qEdl cos qEdr где модуль напряженности , поля заряда qˊопределяется как q Ek . r2 Рис.13 Проинтегрируем выражение для элементарной работы по перемещению заряда qпо всему пути 1-2: 2 2 1 1 A12 dA kq q r2 2 1 2 1 1 kqq ( ) kqq ( r r ) . 2 1 2 r 1 1r dr kqq dr Критерий потенциальности ЭСП. Анализ данного выражения: 1) работа ЭСП по перемещению заряда не зависит от траектории его движения, а зависит лишь от начального r1 и конечного r2 положений заряда q; 2) для замкнутой траектории (r1 = r2) работа поля равна нулю: A Fdl 0 . l Отсюда можно сделать вывод о том, что ЭСП потенциально, а кулоновские силы – силы консервативные. 5. Потенциальная энергия заряда. Потенциал поля точечного заряда. Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Потенциальная энергия заряда. Работу сил ЭСП, как поля потенциального, можно представить как разность значений потенциальной энергии заряда q в точках 1 и 2 поля заряда qˊ: A12 Wn Wn1 Wn 2 , откуда, с учетом полученного ранее выражения для работы, имеем: 1 1 Wn kqq ( ) . r2 r1 Тогда потенциальная энергия заряда q в поле заряда qˊ Wn k qq q k q. r r Потенциал поля точечного заряда Разные пробные заряды q1 , q2 , q3 и т.д. будут обладать в одной и той же точке поля заряда qˊразличной энергией Wn , Wn ,Wn и т.д. Однако отношение Wn / q для всех зарядов одно и то же. Это отношение называется потенциалом ЭП в данной точке, и используется, наряду с напряженностью поля Е, для описания ЭП и является основной энергетической характеристикой ЭП: Wn / q или k q . r Потенциал подчиняется принципу суперпозиции: потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. рез i 1 2 ... N . i Заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом φ, обладает потенциальной энергией Wn q . Отсюда работа сил поля по перемещению заряда q может быть записана через разность потенциалов: A12 Wn1 Wn 2 q(1 2 ) q . Если заряд q из точки с потенциалом φ удаляется на бесконечность (где потенциал поля равен нулю), работа сил поля будет равна A q . Отсюда следует еще одно определение потенциала: потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля в бесконечность. 1Дж Единица измерения потенциала – 1 В (вольт), 1В . 1Кл Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов Потенциальная энергия Wп заряда q1 в поле заряда q2: qq Wп k 1 2 . r Потенциальная же энергия Wп заряда q0 в поле системы зарядов: n q q Wп k 0 i . i 1 r Потенциальная энергия Wп взаимодействия системы точечных зарядов: 1 n Wп qii , 2 i 1 где φi – потенциал поля, создаваемого всеми n–1 зарядами (за исключением i-го) в точке расположения заряда qi. 6. Связь напряженности ЭСП с потенциалом, разностью потенциалов. Эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью ЭСП и потенциалом Рассмотрим элементарную работу кулоновской силы по перемещению заряда в ЭСП. F Eq dA Fdl Fl dl Fl dl dWn Wn q Eq qgrad . / dA dW F dW dl n n l F gradW n Таким образом, связь напряженности электростатического поля и потенциала в общем случае выражается с помощью функции градиента: d d d E grad ( i j k) , dx dy dz а в проекциях на оси координат – Ex d d d , Ey , Ez . dy dx dz Линии напряженности Е направлены в сторону уменьшения потенциала. Одномерный случай показан на рис.14. В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией (рис.15), связь напряженности и потенциала выражается формулами Рис.14 Рис.15 d r d E , . dr r dr В случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого одинакова в каждой его точке как по модулю, так и по направлению, имеем: E 1 2 . d E Эквипотенциальные поверхности Поверхность, проведенная через точки одинакового потенциала, называется эквипотенциальной поверхностью. Проекция такой поверхности на плоскость дает эквипотенциальную линию (как пример, концентрические линии для поля точечного заряда на рис.16). По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине поля. Если перемещать заряд вдоль эквипотенциальной линии на расстояние dl, то изменение потенциала вдоль линии dφ = 0. Отсюда проекция напряженности поля на эквипотенциальную линию равна: d El 0, dl откуда следует, что напряженность ЭСП перпендикулярна эквипотенциальной линии в любой точке поля. Рис.16 Связь между напряженностью ЭСП и разностью потенциалов Общая формула связи напряженности и потенциала позволяет по известным значениям потенциала найти напряженность в любой точке поля. Можно решить и обратную задачу, т.е. по заданным значениям напряженности поля в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Выведем выражение для этого. 2 2 A12 Fdl qEl dl 2 qEl dl q (1 2 ) 1 1 1 A12 q (1 2 ) 2 2 1 Edl . 1 7. Диполь и его характеристики. Сила взаимодействия диполя и точечного заряда. Диполь и его характеристики Диполь – система двух точечных разноименных зарядовq, расположенных на расстоянии l друг от друга, малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения (рис.17). Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Рис.17. Характеристики диполя: 1) плечо диполя l – расстояние между зарядами; вектор l - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и равный по модулю плечу диполя. 2) дипольный (электрический) момент р - векторная физическая величина, характеризующая электрические свойства диполя. Вектор дипольного момента направлен также как вектор l от отрицательного заряда к положительному и определяется формулой: р ql . Сила взаимодействия диполя и точечного заряда Пусть имеем диполь с зарядами q и плечом l и точечный заряд q0, расположенный на оси, перпендикулярной оси диполя (рис.18). Рассчитаем силу взаимодействия диполя и точечного заряда. Сила взаимодействия будет определяться как векторная сумма сил Кулона между каждым из зарядов диполя и точечным зарядом: qq F F1 F2 , где F1 F2 k 20 . r Из подобия треугольников на рис.17 можно записать: pq F F1 l l qq F F1 k 0 k 0 . l r r r r2 r3 F k pq0 r3 . Рис.18 Таким образом, сила взаимодействия диполя и точечного заряда: F k pq0 r 3 . 8. Потенциал и напряженность ЭСП диполя. Потенциал ЭСП диполя. Определим потенциал φ в произвольной точке М поля, создаваемого диполем (рис.19). Обозначим через r расстояние от середины оси диполя до точки М, а через θ – угол, под которым эта точка видна из середины оси диполя. По условию задачи r>>l, где l – плечо диполя. Рис.19 М 1 2 k Для расстояний, соотношения: q q 1 1 r r k kq ( ) kq ( ) , r r r r r r используемых в расчете, можно составить l l r r cos , r r sin , 2 2 r r r 2 , r r l cos . Подставим полученные соотношения в выражение для потенциала: r r l cos р cos . М kq ( ) kq k r r r2 r2 следующие М k р cos r2 . Частные случаи: 1) точка находится на прямой, перпендикулярной оси диполя, угол θ = π/2 => φМ = 0. р 2) точка находится на оси диполя, угол θ = 0, π => М k . r2 Напряженность ЭСП диполя Найдем напряженность Е в произвольной точке М поля, создаваемого диполем (рис.20). Пусть r расстояние от середины оси диполя до точки М, θ – угол, под которым эта точка видна из середины оси диполя. Снова r >> l. Выделим две составляющие напряженности: Е Е Е , где Е - составляющая напряженности вдоль направления, параллельного расстоянию r; Е - составляющая напряженности вдоль направления, перпендикулярного расстоянию r. Рис.20 Воспользуемся соотношением: Е grad . d d р cos 2 р cos )k (k . dr dr r2 r3 Рассмотрим приращение dS в перпендикулярном направлении dS = rdθ. d 1 d р sin Е k . 3 dS r d r Тогда Е Е Е 2 Е 2 (k р r3 ) 2 (4cos 2 sin 2 ) k Еk р r 3 р r3 1 3cos 2 . 1 3cos 2 . Таким образом, напряженность в произвольной точке М поля диполя Е 1 r3 . Частные случаи: 1) точка находится на прямой, перпендикулярной оси диполя, угол θ = π/2 => р Е Е k . r3 2 рk . 2) точка находится на оси диполя, угол θ = 0, π => Е Е r3 9. Диполь во внешнем однородном ЭСП. Пусть диполь с плечом l и зарядами ±q находится во внешнем однородном ЭСП под произвольным углом α к силовым линиям поля. Со стороны поля на образующие диполь заряды будут действовать равные по величине, но противоположные по направлению силы Кулона (рис.21). Рис.21 Модуль этих сил: F1 F2 F qE . Эти две силы образуют пару сил, плечо каждой из которых равно, согласно рисунку l h sin . 2 Возникает вращающий момент пары сил, стремящийся развернуть диполь вдоль поля: M r F , l M 2M1 2 Fh 2 F sin Fl sin qEl sin pE sin , 2 M pE sin , где р – электрический момент диполя. В векторном виде последняя формула может быть записана как M p E . Направление вектора вращающего момента показано на рисунке. Под действием вращающего момента диполь должен повернуться так, чтобы вектор электрического момента р диполя был направлен по направлению силовых линий поля, т.е. р↑↑Е (рис.22а). Это состояние для диполя будет являться состоянием устойчивого равновесия. Потенциальная энергия диполя будет минимальна. Рис.22 Если же каким-либо внешним моментом сил повернуть диполь из этого состояния на угол 1800 и диполь встанет в положении р↑↓Е (рис.22б), то он опять окажется в состоянии равновесия, но теперь это будет состояние неустойчивого равновесия. Потенциальная энергия диполя в этом положении максимальна. Определим работу, совершаемую внешним полем при повороте диполя на некоторый угол, и потенциальную энергию диполя в этом поле. Рассмотрим поворот диполя на элементарный угол dα из состояния устойчивого равновесия. Элементарная работа при повороте диполя dA Md pE sin d . Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии диполя: dA dWп pE sin d . Полная работа по повороту диполя на угол α, а значит и приращение потенциальной энергии диполя, определяется как 0 0 A Wп pE sin d pE cos pE (1 cos ) . Отсюда потенциальная энергия диполя относительно положения устойчивого равновесия Wп р Е pE cos . 10. Диполь во внешнем неоднородном ЭСП. Рассмотрим диполь, у которого электрический момент находится под некоторым углом α к силовым линиям неоднородного поля (рис.23). В этом случае на диполь также действует пара сил со стороны поля. Но теперь эти силы не равны по величине. F1 F2 , F F2 F1 q( E2 E1 ) . Рис.23 Вспомним связь силы и потенциальной энергии: F gradWп . Рассмотрим одномерный случай - Wп Wп ( x) . Тогда проекция силы Fx Fx dWп dE p cos . dx dx При α < π/2 сила Fx положительна. Это означает, что под действием силы диполь втягивается в область более сильного поля. При α > π/2 сила Fx отрицательна и диполь выталкивается из поля. Силы F1 и F2, действующие на диполь в таком поле, получили название пандемоторных сил. 11. Поток векторов напряженности и индукции ЭСП. 1. Рассмотрим элементарную площадку dS, находящуюся в ЭСП. Линии напряженности поля пронизывают площадку под произвольным углом (рис.24). Вектор n – вектор нормали к площадке. Вектор dSn = dSꞏn – так называемый вектор площадки, направлен по нормали n, а по модулю равен dS. Рис.24 Потоком вектора напряженности ЭСП называется физическая величина, равная скалярному произведению вектора напряженности поля и вектора площадки: d Ф Е EdS EdS cos , Полный поток через произвольную замкнутую площадку S в общем случае запишем как Ф Е EdS EdS cos . S S В случае однородного поля Ф Е E S E S cos . Поток вектора напряженности ЭСП численно равен количеству силовых линий, пронизывающих площадку. Если n E Ф Е min 0 (рис.25а). Если n↑↑Е Ф Е max ES (рис.25б). Рис.25 2. Вторая векторная силовая характеристика ЭСП – вектор электрического смещения или вектор электростатической индукции D. Вектор D ↑↑Е и вводится для характеристики поля без учета свойств среды, в которой находится поле. В вакууме и в среде с диэлектрической проницаемостью ε связь векторов D и Е определяется, соответственно, как D 0E , D 0E . Поток вектора электрического смещения ЭСП: для элементарной площадки d Ф D DdS DdS cos , в общем случае Ф D DdS DdS cos , S S в случае однородного поля Ф D D S D S cos . 12. Теорема Гаусса для ЭСП в вакууме в интегральной форме. 1.Теорема Гаусса для точечного заряда: Поток вектора напряженности ЭСП через произвольную замкнутую поверхность равен заключенному внутри этой поверхности заряду q, деленному на диэлектрическую проницаемость ε0: q Ф Е EdS . 0 S Доказательство. Рассмотрим поле точечного положительного заряда q. Заряд окружим сферической замкнутой поверхностью S (рис.26) и вычислим поток вектора Е поля через эту поверхность. Рис.26 Выберем на сферической поверхности элементарный участок dSi; расстояние от заряда q до участка – ri. Тогда поток через выбранную площадку равен: d Ф Е Ei dSi Ei dSi (α = 0). Выделим телесный угол di , под которым площадка dSi месторасположения заряда q и выразим величину площадки через угол: dSi ri2 d i . Выражение для напряженности поля точечного заряда: 1 q . Ei 4πε 0 ri2 Поток вектора Е через площадку dSi 1 q 2 q d Ф Е Ei dSi r d i 4πε d i . 4πε0 ri2 i 0 Поток вектора Е через сферическую поверхность S 4 q q 4π q , d i ФЕ 4πε 4πε ε 0 0 0 0 что и требовалось доказать. видна из 2.Теорема Гаусса для системы точечных зарядов. Теперь пусть внутри замкнутой поверхности находятся N точечных зарядов q1 , q 2 ,…, q N . В силу принципа суперпозиции напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Еi, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Таким образом, приведенное выше доказательство можно провести для каждого заряда, а результаты алгебраически суммировать. Теорема Гаусса в данном случае гласит: поток вектора напряженности ЭСП через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на диэлектрическую проницаемость ε0: Ф Е EdS S N 1 0 i 1 qi . 3.Теорема Гаусса для непрерывно распределенного заряда. Поле создается зарядом, распределенным в пространстве непрерывным образом с конечной всюду плотностью. Объемная плотность заряда ρ определяется как dq . dV Зная плотность заряда в каждой точке пространства, можно найти суммарный заряд внутри замкнутой поверхности: qi dV . V Тогда выражение для теоремы Гаусса принимает вид: 1 EdS V dV . S 0 Аналогичные формулы теоремы Гаусса для вектора электрического смещения имеют вид: 1) для точечного заряда Ф D DdS q ; S 2) для системы точечных зарядов N Ф D DdS qi ; S i 1 3) для непрерывно распределенного заряда DdS V dV . S Замечания. 1) Напряженность ЭП можно трактовать как число силовых линий, проходящих через единицу поверхности. А поток вектора напряженности Е трактуется как число силовых линий, проходящих через площадку S. 2) Если заряд q переместить из центра в любую другую точку, то число силовых линий, исходящих из этого заряда не меняется, а значит не меняется и поток через площадку. 3) Если поверхность произвольной формы, то это не изменяет число силовых линий, проходящих через нее. Следовательно, поток вектора напряженности Е не меняется. А это значит, что теорема Гаусса справедлива в самом общем случае, т.е. при любых замкнутых системах и самых различных распределениях зарядов. 13. Теорема Гаусса для ЭСП в вакууме в дифференциальной форме. Теорема Гаусса в дифференциальной форме устанавливает связь между объемной плотностью заряда ρ и изменением вектора напряженности Е в окрестности данной точки поля. Пусть имеем заряд q в объеме V, охватываемом замкнутой поверхностью S. Устремим объем V к нулю, стягивая его к данной точке поля. Для этого выделим в объеме V элементарный объем dV: dV dx dy dz . Заряд dq распределен по всему объему: dq dV dx dy dz . Вычислим поток вектора электростатической индукции D через все грани кубика объемом dV по осям x, y, z (рис.27). Рис.27 Поток вектора D вдоль оси х: d Ф Dx Ф Dx 2 Ф Dx1 ( Dx Поток вектора D вдоль оси y: d Ф Dy Ф Dy 2 Ф Dy1 ( D y Поток вектора D вдоль оси z: d Ф Dz Ф Dz 2 Ф Dz1 ( Dz dDx dDx dx)dydz Dx dydz dxdydz . dx dx dD y dD y dy )dxdz D y dxdz dxdydz . dy dy dDz dD dz )dxdy Dz dxdy z dxdydz . dz dz Полный поток вектора D по всем осям: dDx dD y dDz )dxdydz . dx dy dz d Ф D d Ф Dx d Ф Dy d Ф Dz ( По теореме Гаусса d Ф D dq dV dx dy dz . Введем функцию дивергенции. Предел отношения потока векторной величины сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, к объему V называют дивергенцией вектора. Функция дивергенции характеризует изменение векторной величины по модулю вдоль некоторого направления: da da da div a a ( x y z ) . dx dy dz Приравнивая две последние формулы для потока вектора D и используя функцию дивергенции, получим: dD dD y dDz div D D ( x ) . dx dy dz Последнее соотношение есть теорема Гаусса для вектора электростатической индукции D в вакууме в дифференциальной форме. Используя связь векторов Е и D, запишем теорему Гаусса для вектора напряженности Ев вакууме в дифференциальной форме: dЕ dЕ dЕ div Е Е ( x y z ) . dx dy dz 0 Теорема Гаусса в дифференциальной форме показывает, что источником ЭП является заряд. 14. Теорема о циркуляции вектора напряженности ЭСП в интегральной и дифференциальной форме. Потенциальность ЭСП. 1.Интегральная форма теоремы о циркуляции вектора напряженности ЭСП. Ранее было выяснено, что ЭСП потенциально, а кулоновские силы – силы консервативные. Следовательно, этих сил по перемещению заряда по любому замкнутому контуру равна нулю: A Fdl qEdl 0 . l l Сократив на q, получим соотношение, имеющее название теоремы о циркуляции вектора напряженности ЭСП: Edl 0 l Циркуляция вектора напряженности ЭСП по замкнутому контуру равна нулю. Данная теорема является интегральным признаком потенциальности ЭСП. 2. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора напряженности ЭСП. Пусть имеем неоднородное ЭСП. Выберем в этом поле прямоугольный замкнутый контур со сторонами dx и dy. Так как вектор Е имеет самое произвольное направление, то его можно разложить на две составляющие Ех и Еу. Рассчитаем циркуляцию вектора Е по контуру (в плоскости ХОУ) (рис.28). Рис.28 Edl Ex dx ( E y l dE y dE dx)dy ( Ex x dy )dx E y dy 0 . dx dy dE y dE y dEx dE )dxdy 0 . dxdy x dxdy ( dx dy dx dy Площадь контура dS dxdy . Тогда ( dE y dE x )dS 0 . dx dy Сокращая на dS, получим dE y dEx 0. dx dy Проведя аналогичный расчет циркуляции вектора Е по контурам в плоскостях УОZ и XOZ, получим соотношения: dE y dE x ( ) : XOY 0 d d x y dE z dE y 0. (YOZ ) : d d y z dE z dE x 0 ( XOZ ) : d d x z Введем функцию ротора. Пределом циркуляции вектора Е по контуру ΔS называется ротор вектора Е: E dl lim rot E . S 0 S Физический смысл ротора – ротор есть вихрь. Можно показать, что, формулы циркуляции вектора Е по всем плоскостям есть не что иное, как проекции rotЕ на соответствующие оси: dE y dE x 0 (rot E ) z d d x y dE z dE y (rot E ) 0 rot E E 0 . x d d y z dEz dEx 0 (rot E) y d d x z Последнее выражение есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора напряженности ЭСП. Это выражение означает, что ЭСП имеет силовые линии, не образующие вихрей (не замкнутые силовые линии), т.е. ЭСП – поле безвихревое. Также выражение является дифференциальным признаком потенциальности ЭСП. 15. Применение принципа суперпозиции для расчета напряженности ЭСП заряженных тел различной формы (нить конечной длины, кольцо или диск). Напряженность поля на оси заряженного кольца. Пусть имеем кольцо радиусом R, заряженное положительно с линейной плотностью τ. Заряд кольца q l 2R . Выделим на кольце элементарный участок длиной dl (рис.31). Заряд участка можно считать точечным: dq dl . Напряженность поля на оси кольца от этого участка: kdq k dl dE 2 2 . r r Представим dE через горизонтальную dEx и вертикальную dEy составляющие: dE dE x dE y . Вследствие симметрии кольца суммирование всех dEx по всей длине кольца дает ноль. Следовательно, в общую напряженность вклад вносит только вертикальная составляющая, и направлена эта напряженность вдоль оси кольца. dE y dE cos dE E k h r3 l dl 0 С учетом того, что r 2 R 2 h 2 и E k h2R r3 k h r3 k l h k hdl ; 3 r r 2 R 0 k h 2 R r3 . 1 , окончательно имеем: 4 0 hR 20 ( R 2 h 2 )3/ 2 qh 40 ( R 2 h 2 )3/ 2 . Рис.31 Анализ формулы: 1) если h = 0, то Е = 0; E hR R q , где q l 2 R ; 2) если h →∞ (h>>R), то 3) найдем h, при которой Е максимальна: h d( )3/2 2 2 dE R R ( R 2 h 2 )3/2 3 / 2( R 2 h 2 )1/2 2h 2 R h 2 2 3 dh 20 dh 20 (R h ) 2 2 3/2 20 ( R h ) 20 h 2 4 0h 2 R ( R 2 h 2 ) 3 / 2 2h 2 0 2 2 5/2 20 (R h ) Откуда R 2 2h 2 0 , и h R / 2 - высота, на которой Е максимальна. 16. Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности ЭСП (бесконечная плоскость и бесконечно длинная нить, полый цилиндр, сплошной цилиндр, заряженная сфера или заряженный шар). Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность ЭСП более простыми средствами, чем с использованием принципа суперпозиции. Теорему удобно применять в тех случаях, когда интеграл по замкнутой поверхности можно заменить произведением напряженности Е или индукции D на площадь S поверхности. Такая замена возможна, если поле обладает симметрией. Напряженность ЭСП бесконечной заряженной плоскости. Пусть имеем бесконечную равномерно заряженную плоскость. Будем считать заряд Q плоскости положительным. Поверхностная плотность заряда σ во всех точках плоскости одинакова. Из соображений симметрии следует, что вектор D (а значит и Е) поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости и от плоскости. Выделим на плоскости некоторую площадку dS = Sосн и окружим ее воображаемой цилиндрической поверхностью (гауссовой поверхностью) с образующими, перпендикулярными плоскости (рис.33). Внутри данной поверхности находится некоторый заряд q плоскости. Рис.33 Рассмотрим поток вектора D через эту цилиндрическую поверхность. Поток через боковую поверхность цилиндра будет равен нулю. Весь поток пройдет только через основания цилиндра площадью Sосн. Применим теорему Гаусса. Ф D DdS 2 DSосн q Sосн , S откуда D /2 - модуль вектора электростатической индукции поля бесконечно заряженной плоскости. Размерность D совпадает с размерностью поверхностной плотности заряда. Используя связь напряженности и индукции для ЭСП в вакууме, найдем выражение для модуля вектора напряженности поля бесконечно заряженной плоскости: D 0 E => E 20 . 17. Расчет потенциала и разности потенциалов ЭСП заряженных тел различной формы (один любой пример). Для расчета применяем формулу связи напряженности и разности потенциалов: 2 2 1 Edl . 1 1. Потенциал и разность потенциалов поля точечного заряда. Задача сферически симметрична. Тогда d Er dr . Найдем разность потенциалов в точках 1 и 2, находящихся на расстоянияхr1 и r2 от точечного заряда (рис.50). Вспомним, что потенциал поля точечного заряда определяется формулой: q k . r Разность потенциалов поля точечного заряда будет равна: W W1 1 1 1 2 2 kq ( ) . q0 r1 r2 Рис.50 18. Диэлектрики. Полярные и неполярные молекулы. Диэлектрики Диэлектрическая среда – это среда, напряженность Е ЭП в которой меньше напряженности Е0 поля в вакууме в ε раз, где ε – диэлектрическая проницаемость среды. E Е0 / . Диэлектриками называются вещества, не способные проводить электрический ток. Удельное сопротивление диэлектриков составляет диэл 108 1012 Омꞏм. Для сравнения удельное сопротивление металлов составляет мет 108 Омꞏм. Диэлектрики по типу молекул делятся на полярные и неполярные. Полярные и неполярные молекулы. Полярные молекулы – это несимметричные молекулы, в которых центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Пример полярных молекул – молекулы воды, HCl, CO и т.п. (рис.68). Дипольный момент такой молекулы в отсутствие внешнего поля р 0 . Т.е. полярную молекулу можно рассматривать как диполь. Но в целом в отсутствие поля в некотором объеме диэлектрика суммарный дипольный момент р 0 . Рис.68 Неполярные молекулы – это симметричные молекулы, в которых центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают. Пример неполярных молекул – молекулы H2, O2, N2, инертных газов и т.п. (рис.69). Дипольный момент такой молекулы в отсутствие внешнего поля р 0 , а суммарный дипольный момент в некотором объеме диэлектрика также р 0 . Рис.69 19. Поляризация диэлектриков. Основные типы поляризации. Поляризация диэлектриков Обычно в отсутствие внешнего ЭП дипольные моменты молекул либо равны нулю (неполярные молекулы), либо распределены в пространстве по различным направлениям хаотичным образом (полярные молекулы). В обоих случаях суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю. Под действием внешнего ЭП диэлектрик поляризуется. Поляризация диэлектрика – явление, при котором во внешнем ЭП у диэлектрика появляется отличный от нуля результирующий дипольный момент, и происходит уменьшение напряженности внешнего ЭП. Основные типы поляризации Существует три основных типа поляризации диэлектриков в зависимости от их внутреннего строения: 1) ориентационная (дипольная) поляризация – характерна для полярных диэлектриков; 2) электронная поляризация - характерна для неполярных диэлектриков; 3) ионная поляризация– характерна для ионных кристаллов. Ориентационная поляризация наблюдается в полярных диэлектриках, молекулы которых представляют собой диполи. Как говорилось ранее, в отсутствие внешнего ЭП диполи распределены в пространстве хаотичным образом и суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю (рис.70а). Поместим диэлектрик во внешнее ЭП с напряженностью Е0. Под действием вращающего момента, возникающего со стороны ЭП, молекулы будут стараться повернуться и встать по направлению поля (дипольный момент каждой молекулы стремится к положению р↑↑Е0) (рис.70б). Ориентирующему действию внешнего ЭП противится тепловое движение молекул, которое стремится разбросать их дипольные моменты по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов молекул в направлении внешнего поля. Внутри объема диэлектрика противоположные заряды соседних молекул компенсируют друг друга. Но в тонком приповерхностном слое на противоположных сторонах диэлектрика возникают нескомпенсированные связанные заряды противоположных знаков. Это приводит к возникновению внутреннего ЭП диэлектрика с напряженностью Ед, направленной противоположно напряженности Е0 внешнего поля и, соответственно, уменьшающей результирующего ЭП в диэлектрике: его (рис.70в). Напряженность Е Е0 Ед или Е Е0 Ед . При изменении направления напряженности Е0 внешнего поля на противоположное, диполи практически мгновенно повернутся по новому направлению поля (рис.70г). Внешнее ЭП практически не влияет на величину дипольного момента молекулы. Т.е. полярная молекула ведет себя во внешнем ЭП как жесткий диполь. Рис.70 Электронная поляризация наблюдается в неполярных диэлектриках. Как было сказано ранее, это молекулы, в которых центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают. Дипольный момент молекулы в отсутствие внешнего поля р 0 (рис.71а). Поместим такой диэлектрик во внешнее ЭП с напряженностью Е0. Под действием внешнего поля будут происходить упругое смещение и деформация электронных оболочек атомов. Заряды в молекуле смещаются друг относительно друга: положительные по направлению поля, отрицательные против поля. В результате молекула приобретает дипольный момент, наведенный внешним полем и пропорциональный напряженности поля. Далее механизм поляризации аналогичен механизму дипольной поляризации: наведенные диполи стремятся установиться вдоль внешнего поля; на противоположных сторонах диэлектрика возникают нескомпенсированные связанные заряды противоположных знаков; возникает внутреннее ЭП диэлектрика с напряженностью Ед, противоположной напряженности Е0 внешнего поля (рис.71б). Неполярная молекула ведет себя во внешнем поле как упругий диполь. Рис.71 Ионная поляризация наблюдается в ионных кристаллах. В них отдельные молекулы утрачивают свою обособленность. Весь кристалл представляет собой как бы одну гигантскую молекулу. Решетку ионного кристалла можно представить как две вставленные друг в друга подрешетки, одна из которых образована положительными, а другая отрицательными ионами (рис.72а). При помещении кристалла во внешнее ЭП обе подрешетки сдвигаются друг относительно друга. И снова на противоположных сторонах кристалла возникают нескомпенсированные заряды противоположных знаков; возникает внутреннее ЭП с напряженностью Ед, противоположной напряженности Е0 внешнего поля (рис.72 ). Рис.72 Таким образом, поляризация – это явление, при котором в диэлектрике под действием внешнего ЭП возникает отличный от нуля дипольный момент, противоположных сторонах диэлектрика возникают связанные заряды противоположных знаков и внутреннее ЭП, противоположное внешнему. 20. Связанные и сторонние заряды в диэлектриках. Диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость. Поверхностная плотность связанных зарядов. Связанные и сторонние заряды в диэлектриках Связанными зарядами называются заряды, входящие в состав атомов и молекул. Под действием ЭП связанные заряды могут лишь немного смещаться из своих положений равновесия; покинуть пределы молекулы они не могут. Заряды, находящиеся в пределах диэлектрика, но не входящие в состав его молекул, а также заряды за пределами диэлектрика, называются сторонними зарядами. Диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость Диэлектрическая среда – это среда, напряженность Е ЭП в которой меньше напряженности Е0 поля в вакууме в ε раз, где ε – диэлектрическая проницаемость среды. E Е0 / . Напряженность результирующего ЭП при поляризации диэлектрика: Е Е0 Ед . Если вспомним, что результирующее ЭП и поле в вакууме связаны соотношением E Е0 / , то внутреннее ЭП в диэлектрике можно записать как: Е0 1 1 Е0 (1 ) Е0 ( ) Е0 , где величина ( 1) называется диэлектрической восприимчивостью Ед Е0 Е Е0 диэлектрика. Поверхностная плотность связанных зарядов Напряженность внешнего поля на поверхности плоского слоя связана с поверхностной плотностью заряда: Е0 . 0 Аналогично напряженность внутреннего поля в диэлектрике можно записать через поверхностную плотность связанных зарядов: Ед . 0 Используя формулу связи напряженностей внешнего и внутреннего полей, можем получить выражение для поверхностной плотности связанных зарядов: 1 1 Ед Е0 ( ) Е0 => ( ) 0 0 0 и в итоге ( 1 ) , ( ). 21. Вектор поляризации. Его связь с поверхностной плотностью связанных зарядов. Вектор поляризации В качестве величины, характеризующей степень поляризации диэлектрика, логично взять дипольный момент единицы объема. Вектором поляризации или поляризованностью Р называется векторная сумма всех дипольных моментов р молекул в единице объема: N pi Р Размерность поляризованности: Р i 1 V . q l Кл м Кл . V м3 м2 У изотропных диэлектриков любого типа напряженностью внешнего ЭП соотношением: P 0E . поляризованность связана с Замечание. Для неполярных молекул последняя формула вытекает из следующего. В пределы объемаΔV попадает количество молекул, равное nΔV, где n–число молекул в единице объема (концентрация). Каждый из моментов молекул определяется формулой p 0E , где величина β называется поляризуемостью молекулы. Отсюда p nV 0E . V Разделив последнее выражение на ΔV и введя обозначение n , придем к формуле P 0E . Его связь с поверхностной плотностью связанных зарядов Между поляризованностью Р и поверхностной плотностью связанных зарядов имеется простая связь. Рассмотрим бесконечную плоскопараллельную пластину из однородного диэлектрика, помещенную в однородное ЭП. Выделим в пластине элементарный объем dV в виде очень тонкого цилиндра с образующими, параллельными линиям напряженности Е поля, длиной l и основаниями площадью dS (рис.73). Рис.73 Объем цилиндра равен: dV ldS cos , где α – угол между вектором Е и внешней нормалью n к положительно заряженной поверхности диэлектрика. Данный объем можно рассматривать как один большой диполь, образованный зарядами q+= + dS и q- = - dS, отстоящими друг от друга на расстоянииl. Электрический момент pэтого диполя можно записать как (в скалярном виде): p PdV PldS cos p ql dSl . или Приравнивая оба выражения, получим PldS cos p dSl , откуда окончательно имеем: P cos Рn , где Рn - проекция вектора поляризации на нормаль к соответствующей поверхности цилиндра. В общем случае при неоднородной поляризации вектор Р будет зависеть от координаты - Р(x,y,z). Произведя аналогичные расчеты для объемной плотности связанных зарядов, придем к формуле: div Р . Следовательно, объемная плотность связанных поляризованности Р, взятой с обратным знаком. зарядов равна дивергенции 22. Теорема Гаусса для диэлектрика. Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для диэлектрика Источниками поля в диэлектрике служат не только сторонние, но и связанные заряды: q qстор qсвяз . Запишем теорему Гаусса: Ф Е E dS S 1 1 q (qстор qсвяз ) . 0 0 В данном случае формула малопригодна для нахождения вектора Е, так как напряженность Е и поверхностная плотность связанных зарядов, определяющая qсвяз , зависят друг от друга. Вычисление полей упрощается, если ввести вспомогательную величину, источниками которой являются только сторонние заряды. Установим вид этой величины. Пусть связанный заряд в элементе площади dS равен dqсвяз dS Рn dS РdS . Тогда поток вектора поляризации qсвяз РdS , S где знак «-« обусловлен тем, что при внесении диэлектрика во внешнее поле с напряженностью Е0 связанные заряды пересекают гауссову поверхность противоположно направлению Е0. Вектор электрического смещения Перепишем теорему Гаусса в виде: 1 E dS S 0 (qстор qсвяз ) 1 (q Р dS ) . 0 стор S Отсюда для сторонних зарядов запишем: qстор 0 EdS РdS (0E Р)dS . S S S Выражение, стоящее в скобках, и есть искомая величина. Ее обозначают буквой D и называют электрическим смещением или электрической индукцией ЭП. Вектор D определяется соотношением: D 0 E Р . Подставив в выражение для напряженности поля Е, получим: вектора D зависимость поляризованности от D 0E Р 0E 0E 0 (1 )E . Безразмерную величину 1 называют диэлектрической проницаемостью среды. В итоге можем записать формулу связи электрического смещения и напряженности ЭП: D 0 E . Единица измерения электрического смещения - D Кл / м2 . Перепишем выражение для сторонних зарядов, используя вектор электрического смещения. Получим формулу, представляющую собой не что иное, как теорему Гаусса для вектора D (теорему Гаусса для диэлектрика): Ф D DdS qстор S поток электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности сторонних зарядов. Единицей потока вектора D является кулон. В вакууме вектор поляризации Р = 0. Тогда в этом случае вектор D равен: D0 0 E 0 . Поле электрического смещения D можно изобразить с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяются аналогично линиям напряженности Е. Линии Е могут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах. Источниками поля D служат только сторонние заряды. Поэтому линии электрического смещения могут начинаться и заканчиваться лишь на сторонних зарядах. Через точки, где находятся связанные заряды, эти линии проходят, не прерываясь. 23. Электростатическое поле в диэлектрике. Рассмотрим ЭСП двух бесконечных пластин, равномерно заряженных разноименно с поверхностной плотностью σ. Пусть изначально в пространстве между пластинами вакуум (рис.74а). Напряженность ЭСП пластин обозначим через Е0; линии напряженности направлены по нормали к пластинам. Это поле сторонних зарядов. Выразим напряженность Е0 через поверхностную плотность, используя теорему Гаусса. E0 S q S , 0 0 где S – условно площадь пластин; q – заряд каждой пластины. Отсюда для напряженности и электрического смещения поля в вакууме имеем: E0 , D0 0 E0 . 0 Внесем в пространство между пластинами бесконечно длинную диэлектрическую пластину с ε > 1 (рис.74б). В результате поляризации на противоположных сторонах диэлектрика образуются поляризационные связанные заряды с поверхностной плотностью qсвяз . S Рис.74 ЭСП связанных зарядов (внутреннее поле в диэлектрике): Eд . 0 Напряженность результирующего ЭП, исходя из принципа суперпозиции: Е Е0 Ед 1 ( ) . 0 0 0 Установим связь между: 1) Е и Е0; 2) D и D0; 3) σ и . 1) Е и Е0. 1 Е ( ) 0 Pn P P E 0 => Е 0 0 E Е (1 ) 0 => 1 => Е0 / E E0 0 диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз ЭСП в среде меньше ЭСП в вакууме. Линии напряженности ЭСП испытывают разрыв на границе раздела двух сред. 2) D и D0. Умножим левую и правую части в выражении E E0 / на произведение 0 . Тогда для вектора электрического смещения: 0 E 0 E 0 или D D0 - линии электрического смещения непрерывны на границе раздела двух сред. Электрическое смещение внутри пластин: D D0 0 E0 0 0 электрическое смещение определяется поверхностной плотностью зарядов внешнего поля и не зависит от свойств среды. 3) σ и . 1 Е ( ) 0 => Е Е 0 0 24. Граничные условия для вектора напряженности ЭСП в диэлектрике. Вблизи поверхности раздела двух диэлектриков векторы Е и D должны удовлетворять определенным граничным условиям. Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с проницаемостями ε1 и ε2. Пусть в диэлектриках создано ЭСП, вектор напряженности которого в первом диэлектрике равен Е1, «падающий» на границу раздела под углом α1, а во втором Е2, «падающий» на границу раздела под углом α2 (рис.75). Каждый из векторов напряженности разложим на две составляющие – тангенциальную и нормальную: E1 E1 En1 , E2 E2 En2 . Рис.75 1. Условия для тангенциальных составляющих векторов Е и D - E1 и E2 ; D2 . D1 и Выберем на границе раздела небольшой прямоугольный замкнутый контур длиной l и шириной h, который частично проходит в первом диэлектрике, частично – во втором (рис.76). Проведем ось х через середины сторон h. Орт τ – единичный вектор касательной к поверхности раздела. Рассмотрим циркуляцию вектора Еτ по выбранном контуру. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке. l Edl E1dl cos 0 0 0 h l 0 0 h E1dh cos90 E2dl cos180 E2dh cos900 E1l E2l 0 . 0 0 0 Рис.76 Откуда получаем условия для тангенциальной составляющейвектора Е: E1 E 2 - тангенциальная составляющая вектора Е на границе раздела двух диэлектриков непрерывна. Используя связь между векторами Е и D, определим условия для D1 и D2 : D1 Е101 D Е => 1 1 0 1 1 . D2 Е202 2 D2 Е202 Окончательно условия для тангенциальной составляющей вектора D: D1 1 D2 2 тангенциальная составляющая вектора D на границе раздела двух диэлектриков претерпевает разрыв. 2. Условия для нормальных составляющих векторов Е и D - En1 и En2 ; Dn1 и Dn2 . Теперь возьмем на границе раздела диэлектриков воображаемую цилиндрическую поверхность высотой h. Основание цилиндра S1 расположено в первом диэлектрике, основание S2 – во втором диэлектрике (рис.77). Оба основания одинаковы по величине (S1 = S2 = S) и малы, так что поле в их пределах можно считать однородным. Единичные вектора n1 и n2 – внешние нормали к основаниям в первом и втором диэлектриках, соответственно. Пусть на границе раздела отсутствуют сторонние заряды. Рис.77 Применим к поверхности теорему Гаусса для вектора D. Для нормальной составляющей Dn тогда получим: Ф D Dn dS Dn2 S cos00 Dn1S cos1800 Dn2 Dn1 0 . S Откуда получаем условия для нормальной составляющей вектора D: Dn1 Dn2 - нормальная составляющая вектора D на границе раздела двух диэлектриков непрерывна. Снова используя связь между векторами Е и D, определим условия для Еn1 и Еn2 : Dn1 Еn101 Е Е D => n1 n1 0 1 n1 1 1 . Dn2 Еn202 Еn22 Dn2 Еn202 Окончательно условия для нормальной составляющей вектора E: Еn1 2 Еn2 1 нормальная составляющая вектора Е на границе раздела двух диэлектриков претерпевает разрыв. 3. Условие для углов падения векторов Е. tg 2 Е2 Еn1 Еn1 2 . tgα1 Еn2 Е1 Еn2 1 25. Граничные условия для вектора индукции ЭСП в диэлектрике. (читать 24, акцентировать внимание на D) 26. Сегнетоэлектрики. Гистерезис в сегнетоэлектриках. Сегнетоэлектрики Сегнетоэлектрики – класс диэлектрических твердых материалов, которые в определенном интервале температур могут обладать спонтанной (самопроизвольной) поляризацией в отсутствие внешнего поля. К ним относятся титанат бария, сегнетова соль и др. Сегнетоэлектрики отличаются от остальных диэлектриков рядом характерных особенностей: 1) сегнетоэлектриками могут быть только кристаллические вещества. На рис.78 представлен пример кристаллической кубической решетки титаната бария. Кристаллы сегнетовой соли обладают ромбической решеткой. Рис.78 2) для каждого сегнетоэлектрика имеется некоторая критическая температура, при которой вещество утрачивает свои необычные свойства и становится нормальным диэлектриком. Эта терпература называется точкой Кюри. 3) в сегнетоэлектриках очень большая (до 10000) и зависящая от напряженности Е внешнего поля диэлектрическая проницаемость ε = f (Е) (рис.80). У обычных диэлектриков диэлектрическая проницаемость постоянна и составляет несколько единиц. При некотором значении поля Еmax функция ε = f (Е) имеет максимум (состояние насыщения). 4) вследствие того, что диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектрика есть функция от напряженности внешнего поля - ε = f (Е), зависимость поляризованности Р (а значит, и смещения D) от напряженности Е также не является линейной (рис.79). При некотором значении поля Еmax наступает насыщение и при дальнейшем увеличении напряженности поляризованность Р остается практически постоянной. P f ( E ) 0 E ( 1)0 E . Рис.79 На рис.80 представлены в сравнении графикиР(Е), D(Е) и ε(Е). В соответствии с формулой связи Р и D D 0E Р видно, что после точки насыщения смещение D(Е) продолжает увеличиваться, но существенно замедляет свой рост. Рис.80 Гистерезис в сегнетоэлектриках 5)в сегнетоэлектриках наблюдается явление гистерезиса (от греческого запаздывание). При изменениях внешнего поля значения поляризованности Р (а значит, и смещения D) отстают от напряженности поля Е, в результате чего Р и D определяются не только величиной Е в данный момент, но и предшествующими значениями Е, т.е. зависят от предыстории сегнетоэлектрика. Явление гистерезиса обусловлено особенностями внутреннего строения вещества и нелинейной зависимостью P f ( E ) . В сегнетоэлектриках существуют области – домены размером нм-мкм, где между молекулами действуют обменные силы, приводящие к строгой ориентации дипольных моментов молекул рi. По сравнению с отдельной молекулой домен очень тяжел, так как состоит из сотен и даже тысяч молекул. Каждый домен обладает своим собственным дипольным моментом р pi . В отсутствие внешнего поля дипольные моменты всех доменов расположены хаотично и суммарный дипольный момент всего объема сегнетоэлектрика равен нулю (рис.81а). При приложении внешнего поля начинается поляризация сегнетоэлектрика ориентация дипольных моментов доменов по направлению поля. По мере возрастания поля происходит рост доменов, ориентированных по полю (рис.81б), вплоть до образования монодомена с дипольным моментом, направленным по полю (рис.81в). В этот момент наступает насыщение – все домены ориентированы по полю и при дальнейшем увеличении напряженности внешнего поля поляризованность Р остается постоянной. При изменении направления внешнего поля на противоположное начнется обратный процесс переориентации доменов по новому направлению поля. В случае обычного диэлектрика процесс переориентации диполей происходил бы мгновенно. В сегнетоэлектриках из-за массивности доменов их разворот будет идти с некоторым запаздыванием за новым направлением поля – гистерезис (рис.81г). В конце концов домены произведут разворот, все дипольные моменты будут ориентированы по полю, образуется монодомен, наступит насыщение (рис.81д). Рис.80 При циклических изменениях поля зависимость Р от Е описывается графиком, получившим название петля гистерезиса (рис.82). Рис.82 В отсутствие внешнего поля сегнетоэлектрик неполяризован. Это соответствует на графике т.О (или рис.81а). При первоначальном включении поля поляризованность Р растет с ростом Е в соответствии с кривой ОА графика (что соответствует рис.81б). В т.А наступает насыщение, значение Р = Рнас (что соответствует рис.81в). При изменении направления внешнего поля на противоположное изменение Р идет по ветви АВ, т.е. происходит процесс запаздывания разворота доменов (что соответствует рис.81г). Как видно из графика, при обращении Е в нуль вещество сохраняет ненулевое значение поляризованности Р = Рост (или Рr), получившее название остаточной поляризованности. Именно этот момент и соответствует фразе – сегнетоэлектрики могут обладать спонтанной (самопроизвольной) поляризацией в отсутствие внешнего поля. Чтобы снять остаточную поляризованность сегнетоэлектрика (чтобы Р = 0), к нему нужно приложить противоположно направленное внешнее поле величиной Е = ЕС. Это значение напряженности называется коэрцитивной силой. В т. В снова наступит насыщение (соответствует рис.81д). Если снова изменить направление внешнего поля на противоположное изменение Р идет по ветви ВА. Таким образом, циклическое изменение внешнего поля приводит к данному графику – петле гистерезиса для сегнетоэлектрика. 27. Пьезоэффект. Пьезоэлектрический эффект или просто пьезоэффект – явление поляризации диэлектрика под действием механических напряжений. Диэлектрики, в которых возможен пьезоэффект, как правило, представляют собой кристаллы и называются пьезоэлектриками. Пример их – турмалин, кварц, сфалерит и др. Пьезоэффект обусловлен анизотропией упругих и электрических свойств пьезоэлектриков. Он зависит не только от величины механического воздействия, но и от характера и направления сил относительно кристаллографических осей кристалла. Пьезоэффектом могут обладать кристаллы, имеющие так называемые полярные направления (оси) (рис.82а). Приложение внешней механической силы к пьезоэлектрику в определенном направлении вызывает не только его механическую деформацию, но и появление связанных зарядов на его поверхности, а значит, и электрическую поляризацию (появление внутреннего ЭП) (рис.82б). При противоположном направлении механических сил меняются знаки зарядов на поверхности (рис.82в). Это явление называют прямым пьезоэффектом – поляризация пьезоэлектрика под действием механической силы и его деформации. а б в (темные кружки – положительные ионы; светлые кружки – отрицательные ионы) Рис.82 Пьезоэффект объясняется следующим образом. В кристаллической решетке вследствие несовпадения центров положительных и отрицательных ионов имеется объемный электрический заряд. При приложении внешней силы и последующей деформации кристалла положительные и отрицательные ионы решетки смещаются друг относительно друга, и соответственно изменяется электрический момент кристалла, который вызывает появление связанных зарядов и потенциалов на поверхности, и как следствие, внутреннего ЭП. Прямой пьезоэффект линейный и описывается линейной зависимостью, связывающей поверхностную плотность связанных зарядов, а значит и величину суммарного поляризационного заряда Q с механическим воздействием: d F d p, S Q d F , где F – приложенная механическая сила;S – поперечное сечение материала, к которому прилагается сила; p – давление на поперечное сечение;d– постоянная пьезоэффекта (пьезомодуль), которая служит мерой пьезоэффекта. Пьезоэффект обратим. При воздействии на пьезоэлектрик электрического поля соответствующего направления в нем возникают механические напряжения и деформация кристаллической решетки. При изменении направления электрического поля на противоположное соответственно изменяются на противоположные направления напряжений и деформаций. Это явление получило название обратного пьезоэффекта (рис.83). Рис.83 Обратный пьезоэффект также линейный и описывается зависимостью: l d E, l l - относительная деформация; Е – напряженность приложенного ЭП; d– l пьезомодуль. Пьезомодуль для прямого и обратного пьезоэффектов имеет одно и то же значение. Направления поляризации может совпадать с направлением механического напряжения или составлять с ним некоторый угол. При совпадении направлений где поляризации и механического напряжения пьезоэффект называют продольным (рис.84а), а при их взаимно перпендикулярном расположении – поперечным (рис.84б). Рис.84 Применение пьезоэффекта: ультразвуковая дефектоскопия (для обнаружения дефектов внутри металлических изделий); электромеханические преобразователи для стабилизации радиочастоты; фильтры многоканальной телефонной связи и т.д. 28. ЭСП заряженного проводника. Проводниками называют вещества, способные проводить электрический ток. Для того, чтобы вещество являлось проводником, оно должно содержать заряженные частицы, способные свободно передвигаться по объему проводника, - свободные заряды. Типы проводников: 1) металлы (свободные заряды - электроны); 2) электролиты; 3) ионизированные газы. Удельное сопротивление металлического проводника составляет мет 108 Омꞏм, что на много порядков меньше удельного сопротивления диэлектриков. Сообщим металлическому проводнику некоторый сторонний заряд q. Вследствие того, что одноименные заряды отталкиваются и стремятся расположиться как можно дальше друг от друга, внесенный заряд q будет распределяться в тонком поверхностном слое проводника и создаст ЭСП, заданное единственным образом. При равновесии зарядов их направленное движение внутри проводника отсутствует. Условие равновесия зарядов в проводнике – Е = 0 (напряженность ЭСП внутри проводника равна нулю). В противном случае (Е ≠ 0) заряды должны были бы двигаться. Отсутствие поля внутри заряженного проводника означает постоянство потенциала внутри него: E grad 0 => const . Таким образом, потенциал на поверхности проводника также постоянен и равен по величине потенциалу в объеме проводника. Следовательно, поверхность проводника – это эквипотенциальная поверхность. А это означает, что силовые линии ЭСП вне проводника направлены перпендикулярно его поверхности в каждой точке (рис.85). Если разложить напряженность Е ЭСП на нормальную и тангенциальную составляющие, то можно записать: E Еn d dn , Е d d 0 . Рис.85 Из условия равновесия Е = 0 следует, что div Е 0. 0 а это означает, что объемная плотность заряда внутри проводника также равна нулю: 0. Влияние кривизны поверхности проводника на поверхностную плотность заряда и напряженность ЭСП. Заряд по поверхности проводника распределяется таким образом, чтобы потенциал поверхности оставался постоянным. Это приводит к тому, что на поверхности проводника плотность заряда неодинаковая. Например, на острых частях проводников плотность зарядов, а значит, и густота силовых линий, больше, чем в углублениях (рис.86). Другими словами, распределение заряда по поверхности зависит от ее кривизны. Причем, чем больше положительная кривизна поверхности (выпуклость), тем больше поверхностная плотность зарядов, а следовательно, и напряженность ЭСП также больше. При увеличении отрицательной кривизны (вогнутости) поверхностная плотность зарядов убывает. Рис.86 Докажем это. Рассмотрим две заряженные металлические сферы радиусами R и r (рис.87). Заряды сфер qR и qr, соответственно. Причем R 100r , qR 100qr . Рис.87 Поверхностная плотность зарядов сфер: R qR 4R 2 , r qr . 4r 2 Выразим одну плотность через другую. Тогда для поверхностной плотности заряда получим: R qR 4R2 100qr r , 4104 r 2 100 а для напряженности поля: Е 0 => Еr 100 ER . 29. Проводник во внешнем ЭСП. Явление электростатической индукции. Проводник во внешнем ЭСП При внесении незаряженного проводника во внешнее ЭСП с напряженностью Е0 свободные носители заряда начинают двигаться: положительные в направлении вектора Е0, отрицательные - в противоположную сторону. В результате на концах проводника возникают заряды противоположных знаков, называемые индуцированными зарядами. Эти заряды на противоположных гранях являются причиной возникновения внутреннего поля Е в проводнике, направленного противоположно внешнему полю. По принципу суперпозиции результирующее поле в проводнике E Е0 Е . Перераспределение зарядов идет до тех пор, пока величина внутреннего поля не сравняется с величиной внешнего поля, т.е. результирующее поле в проводнике не станет равным нулю (рис.88). Такое равновесие наступит практически мгновенно. При этом снова будут соблюдаться условия равновесия: E Е0 Е 0 и . E0 Еn d dn Таким образом, проводник, внесенный в ЭСП, разрывает часть линий напряженности: они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Рис.88 Явление электростатической индукции Явлением электростатической индукции называют процесс возникновения индуцированных зарядов на поверхности и собственного электростатического поля в проводнике при помещении его во внешнее электростатическое поле. Явление электростатической индукции в проводниках сходно с явлением поляризации в диэлектриках. Под воздействием электрического поля заряженные частицы в веществе начинают перемещаться, образуется внутреннее ЭП. Но механизмы движения частиц и характер внутреннего ЭП в проводнике и диэлектрике при этом различны (рис.89). В диэлектрике при поляризации происходит ограниченное смещение связанных зарядов. Возникшее внутреннее ЭП уменьшает внешнее ЭП настолько сильно, насколько велика диэлектрическая проницаемость материала. Результирующее ЭП в диэлектрике описывается выражением E Е0 / , т.е. всегда будет отлично от нуля; направлено так же, как и внешнее ЭП. В проводниках же происходит неограниченное смещение свободных зарядов до тех пор, пока возникшее внутреннее ЭП не сравняется по величине с внешним ЭП. Результирующее ЭП в проводнике равно нулю. Рис.89 На равенстве нулю суммарного ЭП в проводнике основана электростатическая защита - экранирование тел, например, измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних ЭСП, его окружают проводящим экраном. Внешнее поле будет компенсироваться внутри экрана возникшим внутренним полем (рис.90). Рис.90 30. Электроемкость уединенного проводника. Влияние окружающих тел на электроемкость проводника. Электроемкость уединенного проводника 1.Электроемкостью уединенного проводника называется мера его способности накапливать электрический заряд. Пусть будем сообщать уединенному проводнику заряд q, постепенно увеличивая этот заряд. Заряд распределен по поверхности проводника с плотностью σ. Выделим на поверхности элементарную площадку dS (рис.91). Рис.91 Она несет заряд dq dS . Рассмотрим на расстоянии r от площадки точку А (точка на поверхности). Потенциал в этой точке от заряда dq: dА k dq dS k . r r Весь потенциал проводника, равный dА k S S dq k q q r r C S пропорционален его заряду. При увеличении заряда проводника на столько же возрастет и его потенциал. Коэффициент пропорциональности между зарядом и потенциалом проводника С q называется электроемкостью уединенного проводника или просто емкостью. Таким образом, электроемкость проводника – это физическая величина, численно равная заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на 1В. Единица измерения емкости – 1Ф (Фарад). 1Ф – емкость проводника, потенциал которого повышается на 1В при сообщении ему заряда в 1Кл. Влияние окружающих тел на электроемкость проводника 2. Вычислим потенциал и емкость заряженного шара радиусом R, погруженного в однородный диэлектрик с проницаемостью ε (рис.92). Рис.92 Заряд шара q. Напряженность ЭСП, создаваемая шаром q E . 2 40r Потенциал шара можно найти, проинтегрировав выражение для напряженности по r в пределах от Rдо ∞ ( 0 ): R R 40 r Edr Емкость шара: q 2 dr q . 40 R q 40 R . С Из последней формулы следует, что емкостью в 1Ф обладал бы шар радиуса R 9 109 м , что в 1500 раз больше радиуса Земли. Следовательно, фарад – очень большая величина. Поэтому на практике пользуются единицами измерения емкости 1мФ = 10-3Ф 1нФ = 10-9Ф 1мкФ = 10-6Ф 1пФ = 10-12Ф. 3. Влияние окружающих тел на электроемкость проводника. а) влияние проводников. Пусть имеем проводник в виде шара радиусом R, заряженный с зарядом Q. Начальная емкость шара (до внесения стержня): С Q 40 R , а начальный потенциал шара k Q . R Внесем в ЭСП шара незаряженный проводник в виде стержня длиной l (рис.93). Пусть ближайший конец стрежня находится на расстоянии r от шара. Под действием ЭСП шара в стержне начнется перераспределение свободных зарядов. В результате этого процесса на противоположных концах стрежня образуются индуцированные заряды: на ближайшем конце отрицательный заряд – q, на дальнем конце положительный заряд +q. Возникшие при этом соответствующие потенциалы на концах стержня внесут изменения в начальный потенциал шара, и тогда этот потенциал станет равным: k ( Емкость шара, соответственно: Q q q ). R r r l С Q . Рис.93 Как видно, и С C , т.е. внесенный проводник ослабляет ЭСП проводящего шара, но увеличивает его емкость. б) влияние диэлектриков. Теперь в ЭСП проводящего шара внесем диэлектрик (рис.94). Далее будет происходить процесс, аналогичный внесению проводника. В диэлектрике начнется процесс поляризации. В результате этого на противоположных сторонах диэлектрика возникнут противоположные потенциалы, образованные поверхностными связанными зарядами. Эти потенциалы будут уменьшать начальный потенциал шара и увеличивать его емкость. Но в этом случае это увеличение будет несколько меньше, чем в случае внесенного проводника. Рис.94 Вывод: внесение проводников и диэлектриков в ЭСП заряженного проводника увеличивает его емкость. 31. Конденсаторы: плоский, цилиндрический, сферический. Емкость конденсаторов. Емкость конденсаторов Конденсатором называется устройство, состоящее из двух или нескольких проводников, такой конфигурации и расположения, что они обладают повышенной электроемкостью. ЭП расположено только между этими проводниками, называемыми обкладками конденсатора. Основной характеристикой конденсатора является его емкость, под которой понимают величину, пропорциональную заряду q на обкладках и обратно пропорциональную разности потенциалов между обкладками: С q q , 1 2 U где разность потенциалов (1 2 ) по-другому называют напряжением и обозначают буквой U. Величина емкости определяется геометрией конденсатора (формой и размерами обкладок и величиной зазора между ними), а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. По форме обкладок различают конденсаторы: плоские, цилиндрические, сферические. Конденсаторы: плоский, цилиндрический, сферический 1. Плоский конденсатор. Обкладки такого конденсатора – плоские пластины площадью S на расстоянии d друг от друга (рис.95). Внутри конденсатора находится диэлектрик с проницаемостью ε. При отсутствии диэлектрика с ε > 1 (внутри воздух, ε ≈ 1) конденсатор называется воздушным. Рис.95 Выведем емкость такого конденсатора. Напряженность ЭП между пластинами E q . 0 0 S Разность потенциалов между пластинами: 1 2 Ed d qd . 0 0 S Емкость плоского конденсатора: С q q q0 S 0 S . 1 2 U qd d 2. Цилиндрический конденсатор. Обкладки представляют собой два цилиндра с радиусами R1и R2, длиной l и вставленные один в другой (рис.96). Рис.96 Напряженность ЭП между обкладками E q . 20 r 20 rl Разность потенциалов между обкладками: 1 2 U R2 R2 R1 R1 Edr dr 20 rl R2 R1 Емкость цилиндрического конденсатора: С q 20l . U ln R2 R1 q dr q R ln 2 . 20l r 20l R1 3. Сферический конденсатор. Обкладки представляют собой две сферы радиусами R1и R2, вставленные одна в другую (рис.97). Рис.97 Напряженность ЭП между обкладками E q 40r 2 . Разность потенциалов между обкладками: 1 2 U R2 R2 R1 R1 Edr q dr q 1 R ( ) 2 40 r 2 40 r R1 q 1 1 q R2 R1 ( ) 40 R1 R2 40 R1R2 Емкость сферического конденсатора: С q R1R2 . 40 U ( R2 R1) . 32. Соединение конденсаторов. Существует два основных соединения конденсаторов: последовательное параллельное. Рассмотрим эти соединения на примере плоских конденсаторов. и 1. Последовательное соединение конденсаторов (рис.98). При таком соединении на обкладках отдельных конденсаторов электрические заряды по величине равны: q1 q2 q . Рис.98 Напряжения между обкладками отдельных конденсаторов при их последовательном соединении зависят от емкостей отдельных конденсаторов: U1 q / C1 , U 2 q / C2 , а общее напряжение на всем участке равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов: U U1 U 2 . Для нахождения общей емкости С последовательно соединенных конденсаторов перепишем последнее выражение по-другому: q q q . C C1 C2 Сокращая на заряд, получим выражение для общей емкости С равнозначного (эквивалентного) конденсатора: 1 1 1 C C1 C2 или для n конденсаторов: 1 n 1 . C i 1 Ci Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов величина, обратная общей емкости, равна сумме обратных величин емкостей отдельных конденсаторов. Если имеем nконденсаторов одной емкости C1 C2 ... Cn С , то общая емкость равна Cэкв С / n . 2. Параллельное соединение конденсаторов (рис.99). Рис.99 При таком соединении напряжения между обкладками отдельных конденсаторов равны общему напряжению на всем участке: U U1 U 2 . Заряды на обкладках отдельных конденсаторов: q1 C1U , q2 C2U , а общий заряд, полученный от источника, есть сумма зарядов на каждом из конденсаторов: q q1 q2 . Замечание: заряды на обкладках складываются, если конденсаторы соединены одноименными обкладками. Соединение конденсаторов разноименными обкладками приводит к разности зарядов: q q1 q2 . Для нахождения общей емкости С параллельно соединенных конденсаторов перепишем последнее выражение по-другому: CU C1U C2U . Сокращая на напряжение, получим выражение для общей емкости С равнозначного (эквивалентного) конденсатора: C C1 C2 , или для n конденсаторов: n C Ci . i 1 Таким образом, при параллельном соединении конденсаторов общая емкость равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Если имеем nконденсаторов одной емкости C1 C2 ... Cn С , то общая емкость равна Cэкв С n . 33. Энергия заряженного проводника и конденсатора. Энергия заряженного проводника Будем заряжать проводник емкостью С, перенося на него постепенно из бесконечности заряды маленькими порциями dq. Работа по перемещению заряда dq по мере зарядки проводника всегда будет разной. Пусть в какой-то момент времени потенциал проводника станет равным φ. Тогда работу в этот момент можно записать как: dA dq dq q . C Полная работа по перемещению на проводник конечного заряда q будет равна интегральной сумме малых работ, а значит и энергии заряженного проводника: q q q 2 C 2 W A dA dq . C C 2 2 0 Энергия заряженного конденсатора Энергию заряженного конденсатора можно вычислить подобным образом, но заряд теперь будет переноситься с одной обкладки на другую. Работа по перемещению заряда dq в этом случае будет равна: dA dq U dq q . C Полная работа по перемещению конечного заряда q между обкладками будет равна интегральной сумме малых работ, а значит и энергии заряженного конденсатора: q q q 2 CU 2 qU W A dA dq . C C 2 2 2 0 Обозначим расстояние между обкладками плоского конденсатора через х. Тогда энергию конденсатора запишем как: q2 q2 W x. 2C 2 0 S Используя связь силы и потенциальной энергии, найдем проекцию на ось х силы, действующей на одну обкладку со стороны другой: dW q2 . Fx 2 0 S dx Модуль этого выражения дает величину силы, с которой обкладки конденсатора притягивают друг друга: q2 . F 2 0 S 34. Энергия ЭСП. Объемная плотность энергии. Энергия ЭСП Об энергии заряженного конденсатора можно говорить, как об энергии ЭСП между его обкладками. Выразим эту энергию через величины ЭСП между обкладками плоского конденсатора: 0 E 2 CU 2 0 SU 2 0 U 2 W V, ( ) Sd 2 2d 2 d 2 U Е есть напряженность ЭСП; а величина V Sd - объем, занимаемый d полем в пространстве между обкладками. где величина Объемная плотность энергии Объемной плотностью энергии ω называется энергия, приходящаяся на единицу объема ЭСП: W . V Выразим объемную плотность энергии через величины ЭСП: 0 E 2 W 0 E 2 D2 DE . V V 2V 2 2 0 2 Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V: 0 E 2 W dV dV . 2 V V Пример. Вычислить энергию ЭСП между эквипотенциалями заряженного проводящего шара. Радиусы эквипотенциалей R1и R2 (рис.103). Решение. 1) Напряженность поля за пределами шара: q E . 2 40 r 2) Объемная плотность энергии: 0 E 2 0 q2 q2 . 2 2 162 202 r 4 3220 r 4 Рис.103 3) В качестве элементарного объема dV выберем сферический слой толщиной dr и на расстоянии rот шара, находящемся между эквипотенциалями: R1<r<R2. dV 4r 2dr . 4) Энергия, заключенная в элементарном объеме dV: dW dV q2 3220 r 4 q2 2 4r dr 80 r 2 . 5) Энергия ЭСП шара между эквипотенциалями: W dW dV V V R2 R1 q2 8 0 r 2 dr q2 8 0 r R2 R1 q2 1 1 ). 8 0 r R1 R2 ( 35. Электрический ток и его характеристики. Электрический ток Электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц (свободных носителей тока) под действием электрического поля. Из определения электрического тока вытекает необходимость двух условий для существования тока: 1) наличие свободных носителей заряда; 2) наличие электрического поля (или разности потенциалов) в проводнике. Типы проводимости: 1) электронная проводимость: свободные носители заряда – электроны; 2) ионная проводимость: свободные носители заряда – ионы; 3) смешанная проводимость: электроны и ионы. За направление тока принимается направление движения положительно заряженных частиц. Характеристики тока 1. Сила тока I – количество электричества (величина заряда), переносимое через поперечное сечение проводника в единицу времени. I dq . dt Кл Единица измерения силы тока – 1А (Ампер). I А . с Ток, не изменяющийся со временем, называется постоянным. Для его справедливо соотношение: I q , t где q – заряд, переносимый через рассматриваемую поверхность за конечное время t. 2. Плотность тока j– векторная величина, которая численно равна силе тока, приходящуюся на единицу поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению движения электрических зарядов. j dI dq . dS dt dS A . За направление вектора плотности м2 вектора скорости упорядоченного движения Единица измерения плотности тока - j тока принимается направление положительных носителей заряда. Зная вектор плотности тока в каждой точке пространства, можно найти силу тока I через любую поверхность S: I jdS Ф j , S т.е. сила тока есть не что иное, как поток вектора плотности тока через поверхность. Плотность тока может быть определена через концентрацию носителей заряда, скорость их движения и элементарный заряд е. Выделим в проводящей среде некоторый объем V, равный V dS l , где dS 1м 2 - поперечное сечение, через которое переносятся носители заряда (на рис.1 S); l v dt – путь, который проходят носители заряда (рис.1). Пусть также v – вектор скорости упорядоченного движения носителей заряда; dt = 1c – время движения носителей заряда. Рис.1 Переносимый заряд за время dt через поперечное сечение dS : dq e N e n V e n dS l e n dS v dt , где n – концентрация носителей заряда, переносимых через поперечное сечение. Тогда величина плотности тока равна: j dq e n dS v dt e nv. dS dt dS dt В векторной форме плотность тока: j e nv. 36. Уравнение непрерывности для электрического тока в интегральной и дифференциальной форме. Рассмотрим в некоторой среде, в которой течет ток, воображаемую замкнутую поверхность S (рис.2). Заряд, выходящий в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S: Ф j jdS I . S Рис.2 В силу сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда q, содержащегося в данном объеме: dq jdS dt . S Последнее выражение есть уравнение непрерывности тока в интегральной форме. dq Величина выражает убыль заряда в единицу времени. dt Представив зарядq в виде dV , получим соотношение V d d jdS dt dV dt dV . S V V Преобразуем левую часть последнего равенства по теореме Остроградского-Гаусса: jdS jdV S V и подставим ее в равенство. В результате получим: d jdV dt dV , V V из чего следует j d , dt что есть уравнение непрерывности тока в дифференциальной форме. Уравнение показывает, что в точках, которые являются источниками вектора j, происходит убывание заряда. В случае постоянного тока потенциал, плотность заряда в разных точках являются неизменными. Тогда уравнение непрерывности принимает вид: j 0 . Таким образом, в случае постоянного тока вектор j не имеет источников. Это означает, что линии постоянного тока всегда замкнуты. Поэтому для постоянного тока картина, аналогичная изображенной на рис.2, имеет вид, показанный на рис.3. Рис.3 37. Электродвижущая сила. Сторонние силы. Падение напряжения. Сторонние силы Если в проводнике создать ЭП или, другими словами, создать на концах проводника разность потенциалов, и не поддерживать это поле, то перемещение носителей тока по полю практически мгновенно приведет к тому, что ЭП и разность потенциалов исчезнут и ток прекратится. Для того, чтобы поддерживать ток достаточно долго, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом непрерывно отводить приносимые током заряды (положительные), а к концу с большим потенциалом непрерывно их подводить, т.е. поддерживать постоянную разность потенциалов на концах проводника (рис.4). Другими словами, необходимо осуществлять работу по разделению зарядов. Как известно, циркуляция вектора напряженности ЭСП равна нулю. Поэтому перемещение зарядов для поддержания постоянной разности потенциалов с помощью электростатических сил невозможно. Такое перемещение зарядов возможно лишь с помощью сил неэлектростатического происхождения, называемых сторонними силами (пунктирная линия на рис.4). Эти силы могут быть химической, механической, ядерной природы, обусловлены электрическими (но не электростатическими) полями, порождаемыми переменными магнитными полями. Рис.4 Электродвижущая силы Сторонние силы характеризуются работой, которую они совершают по перемещению зарядов по электрической цепи. Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по всему замкнутому контуру (цепи), называется электродвижущей силой (ЭДС). Если работа сторонних сил над зарядом q равна А, то ЭДС есть: А / q. Единица измерения ЭДС такая же, как у потенциала – 1В. Стороннюю силу Fст, действующую на заряд q, можно записать как: Fст Eст q . Векторная величина Eст называется напряженностью поля сторонних сил. Тогда работа сторонних сил по перемещению заряда q на участке цепи 1-2 равна: 2 2 1 1 Аст Fст dl q Eст dl . Разделив эту работу на заряд q, получим ЭДС, действующую на данном участке: 2 12 Eст dl . 1 Аналогичный интеграл, вычисленный для замкнутой цепи, даст выражение для ЭДС, действующей в этой цепи: Eст dl . l Таким образом, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, есть циркуляция вектора напряженности сторонних сил. Падение напряжения Кроме сторонних сил, на заряд действуют силы электростатического поля: FЕ qE . Следовательно, результирующая сила, действующая на заряд q в каждой точке цепи, равна: F FЕ Fст q(E Eст ) . Работа, совершаемая этой силой над зарядом q на участке цепи 1-2, определяется выражением: 2 2 1 1 А12 q Edl q Eст dl q(1 2 ) q12 . Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения или просто напряжением U на данном участке цепи: U12 1 2 12 . Пояснение того, когда ЭДС берется с «+», а когда с «-«, будет дано в следующем параграфе. 38. Закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи, для замкнутой цепи в интегральной форме. Электрическое сопротивление. Закон Ома для однородного участка цепи Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, приводящие к возникновению ЭДС, называется однородным (рис.5). Рис.5 Для однородного участка цепи напряжение совпадает с разностью потенциалов на концах участка: U12 1 2 . Закон Ома для однородного участка цепи: сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике: I U . R Электрическое сопротивление Величина R в законе называется электрическим сопротивлением проводника. В Единицей измерения сопротивления служит 1 Ом: R Ом . 1 Ом – А сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1В течет ток силой 1А. Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника справедливо: R l , S где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; ρ – удельное электрическое сопротивление материала проводника, измеряется в (Омꞏм): 2 RS Ом м Ом м . Величина, обратная удельному сопротивлению, l м называется удельной электрической проводимостью: 1 . Единица, обратная Ому, называется сименсом. Т.е. единица измерения удельной проводимости – 1 См/м (Сименс на метр). Закон Ома для неоднородного участка цепи. Участок цепи, на котором на носители тока действуют сторонние силы, т.е. содержащий ЭДС, называется неоднородным (рис.6). Рис.6 Для неоднородного участка цепи напряжение на концах участка: U12 1 2 12 . Закон Ома для неоднородного участка цепи: сила тока, текущего по неоднородному участку цепи, пропорциональна полному падению напряжения (или суммарной работе электростатических и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда) на участке: U 2 12 I 12 1 . R Rr где R R r - суммарное сопротивление участка, состоящее из внешнего сопротивления R цепи и внутреннего сопротивления r ЭДС. В случае, когда ЭДС способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении (ток втекает в отрицательную обкладку ЭДС), то 12 0 (рис.7а). Если ЭДС препятствует движению положительных носителей тока в данном направлении (ток втекает в положительную обкладку ЭДС), то 12 0 (рис.7б). Рис.7 Закон Ома для замкнутой цепи. Если в законе Ома для неоднородного участка цепи положить 1 2 , то получим закон Ома для замкнутой цепи (рис.8): I 12 12 R Rr . Рис.8 Закон Ома в интегральной форме Все вышеперечисленные формы закона Ома являются интегральными. 39. Закон Ома в дифференциальной форме. Однородный участок. 1) Выделим внутри проводника элементарный участок в виде цилиндра длиной dl, поперечным сечением dS и образующими, параллельными векторам плотности тока j и напряженности Е ЭСП (рис.9). Найдем связь между векторами j и Е. Рис.9 Cопротивление участка запишем как: dR dl . dS Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой dI. Напряжение на концах цилиндра dU равно dU Edl . Запишем силу тока через плотность тока и через закон Ома: dI jdS dI jdS dUdS dU => dI dR dI dl dI jdS => EdldS EdS . dI dl Приравнивая оба выражения для силы тока и сократив на dS, найдем выражение для плотности тока: E j . Так как векторы j и Е имеют одинаковое направление, можно записать последнее выражение в векторной форме: E j E . Формула выражает закон Ома в дифференциальной форме для однородного участка. Неоднородный участок. 2) На таком участке на носители тока действуют, кроме электростатических сил, сторонние силы. Проведя преобразования, аналогичные сделанным для однородного участка, найдем выражение для плотности тока: j (E Ест ) (E Ест ) . Формула выражает закон Ома в дифференциальной форме для неоднородного участка. 40. Соединение проводников. Существует два основных типа соединения проводников: последовательное (рис.10а) и параллельное (рис.10б). Рис.10 Последовательное соединение проводников. (Рис. 10 (а)) При таком соединении через все проводники течет один и тот же ток: I1 I 2 ... I n I . Напряжение на каждом проводнике: U1 IR1 , U 2 IR2 , …, U n IRn , а общее напряжение на всем участке равно сумме напряжений на каждом из проводников: U U1 U 2 ... U n . Для нахождения общего сопротивления последовательно соединенных проводников перепишем последнее выражение по-другому: U IRэ IR1 IR2 ... IRn . Сокращая на силу тока, получим выражение последовательно соединенных проводников Rэ R1 R2 ... Rn n для Ri . i 1 общего сопротивления Таким образом, при последовательном соединении проводников общее сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных проводников. Параллельное соединение проводников (рис.10(б)). При таком соединении напряжения на отдельных проводниках равны общему напряжению на всем участке: U U1 U 2 ...U n . Токи в проводниках: I1 U / R1 , I 2 U / R2 , …, I n U / Rn , а общий ток есть сумма токов на каждом из проводников: I I1 I 2 ... I n . Для нахождения общего сопротивления параллельно соединенных проводников перепишем последнее выражение по-другому: I U / Rэ U / R1 U / R2 ... U / Rn . Сокращая на напряжение, получим выражение для общего сопротивления параллельно соединенных проводников: n 1 1 1 1 1 ... . Rэ R1 R2 Rn i 1 Ri Таким образом, при параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям отдельных проводников. 41. Правила Кирхгофа. Узел, ветвь, контур. Ветвь Ветвь – это участок электрической цепи, состоящий из одного или нескольких проводников, по которым протекает один и тот же ток. Узел Узлом называется точка цепи, где соединяются три и более проводников (рис.11). Рис.11 Ток, текущий к узлу, считается имеющим одни знак (плюс или минус), а ток, текущий от узла – имеющий другой знак (минус или плюс). Первое правило Кирхгофа Первое правило Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: n Ii 0 . i 1 Это правило вытекает из закона сохранения заряда. Правило можно записать для каждого из N узлов цепи. Однако независимыми будут только N-1 уравнений, N-е уравнение будет следствием из них. Контур Контуром называется замкнутый неразветвленный участок цепи. Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры. Второе правило Кирхгофа (правило контуров). Это правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи независимому замкнутому контуру. Пусть имеем разветвленную цепь, состоящую из внешних сопротивлений Ri и ЭДС Еi с внутренними сопротивлениями R0i (рис.12). Рис.12 Рассмотрим замкнутый контур ABC цепи. Зададим направление обхода контура (в данном случае против часовой стрелки), а также направления токов на всех участках контура. Применим к каждому из участков контура закон Ома: АВ: I 3 R3 A B AC: I 4 R4 C A BC: I 2 R2 I 2 R02 B C 2 . Сложим все эти уравнения. I 2 R2 I 2 R02 I 3 R3 I 4 R4 B C 2 A B C A . При этом потенциалы сократятся и получится уравнение, которое запишем в общем виде: m n Ii Ri εi , i 1 j 1 которое выражает второе правило Кирхгофа, которое гласит: алгебраическая сумма падений напряжений в произвольно выбранном замкнутом контуре разветвленной цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников тока, заключенных в этом контуре. Ток считается положительным, если его направление совпадает с выбранным направлением обхода контура. Значение ЭДС считается положительным, если направление обхода контура совпадает с переходом внутри источника от отрицательного полюса к положительному. Второе правило Кирхгофа есть результат того, что разность потенциалов в замкнутом контуре равна нулю и закона Ома. Уравнение по правилу можно составить для всех замкнутых контуров данной разветвленной цепи. Однако независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга. Алгоритм составления уравнений по правилам Кирхгофа: 1. Число независимых уравнений, составленных по первому и второму правилам Кирхгофа, должно быть равно числу различных токов, текущих в разветвленной цепи. Определяем это число М. 2. Произвольно задаем направления токов в каждой ветви цепи. 3. Составляем уравнения по первому правилу с учетом знаков токов. Токи, втекающие в узел и вытекающие из него, берутся с разными знаками. Число независимых уравнений равно N-1, где N – число узлов в цепи. 4. Недостающие уравнения составляем по второму правилу. Их число L = M – N. Замечание: всего по второму правилу можно составить K = B – P – N +1 независимых уравнений, где B – число ветвей в цепи; P – число ветвей в цепи с источником тока. K ≥ L. 5. Выбираем в цепи L независимых контуров. 6. Задаем произвольные направления обхода контуров (по часовой стрелке или против нее). 7. Составляем уравнения по второму правилу Кирхгофа для каждого выбранного контура с учетом знаков токов и ЭДС. 8. Составляем систему уравнений, решая которую, находим неизвестные параметры цепи. 42. Соединение источников тока. Последовательное соединение источников тока Пусть батарею образуют n последовательно соединенных элементов. Батарея замкнута на внешнее сопротивление (рис.13). Ток течет в данном случае против часовой стрелки. Направление обхода контура выберем по направлению тока. Запишем для контура второе правило Кирхгофа: Inr IR n . Отсюда I n R nr . Рис.13 В общем случае при последовательном соединении нескольких источников сила тока определяется отношением суммы ЭДС всех источников тока к полному сопротивлению всей цепи: n i I i 1 , n R ri i 1 где ri – внутреннее сопротивление i-го источника; R – внешнее сопротивление. Последовательное соединение источников эквивалентно источнику тока с большой ЭДС. Однако при этом возрастает его внутреннее сопротивление. Чтобы такое соединение привело к увеличению тока в нагрузке по сравнению с током от одного n источника, необходимо, чтобы n ri i 1 i R . При этом I i 1 . R Параллельное соединение источников тока Рассмотрим параллельное соединение в батарею n одинаковых элементов с ЭДС εи внутренним сопротивлением r. Батарея замкнута на внешнее сопротивление R (рис.14). Согласно первому правилу Кирхгофа сила тока Iв неразветвленной части цепи равна сумме сил токов во всех элементах батареи. Поэтому через каждый из элементов в отдельности протекает ток силой I/n. Применим второе правило Кирхгофа к контуру ABCDEF. Получим I IR . nr Отсюда I Rr/n . Таким образом, при параллельном соединении n одинаковых элементов в батарею ЭДС не меняется, а внутреннее сопротивление уменьшается вn раз. Легко видеть, что параллельное соединение элементов выгодно при малом внешнем сопротивлении. Если R r / n , то им можно пренебречь. Тогда формул для тока приближенно принимает вид I n , r т.е. сила тока возрастает в n раз по сравнению с силой тока от одного элемента. Рис.14 43. Шунт и добавочное сопротивление. Шунт Шунтом называется низкоомный резистор, который подключается параллельно к измерительному прибору (амперметру), для измерения токов бóльших, чем те, на которые рассчитан прибор (рис.17). Тем самым расширяются пределы измерения прибора. При шунтировании бóльшую часть измеряемого тока пропускают через шунт, а меньшую - через измерительный прибор. Рис.17 Для токов, протекающих через амперметр и шунт, можно составить соотношение: I A Rш , I ш RA где RА и Rш– сопротивления амперметра и шунта, соответственно; причем Rш < RА. Измеряемый ток в цепи: I I A Iш n I A , где n I / I A - так называемый коэффициент шунтирования. Тогда сопротивление шунта можно определить как: Rш R A / ( n 1) . Добавочное сопротивление Добавочным сопротивлением называется высокоомный резистор, который подключается последовательно к измерительному прибору (вольтметру), для измерения напряжений бóльших, чем те, на которые рассчитан прибор (рис.18). Тем самым расширяются пределы измерения прибора. При этом бóльшая часть измеряемого напряжения падает на добавочном сопротивлении, а меньшая - на измерительном приборе. Измеряемый ток в цепи: I где RV иRд– сопротивления U , RV Rд вольтметра и добавочного сопротивления, соответственно; причем RV<Rд, U - измеряемое напряжение. Поскольку через добавочное сопротивление и вольтметр протекает один и тот же ток, то падение напряжения на вольтметре будет равно: RV . UV U RV Rд Рис.18 Если величина добавочного сопротивления удовлетворяет условию: Rд RV ( n 1) , то при его помощи можно расширить пределы измерения вольтметра в n раз. 44. Сопротивление и ток утечки в конденсаторе. В любом веществе всегда имеются пусть в очень незначительных количествах носители тока. Другими словами, любое вещество обладает способностью проводить электрический ток. Одним из назначений конденсатора является сохранение зарядов, помещенных на его обкладках. Поэтому вещество (диэлектрик), заполняющее пространство между обкладками конденсатора, должно иметь по возможности наименьшую электропроводность(большое удельное сопротивление).В реальном конденсаторе диэлектрик, несмотря на то, что он является изолятором, всё-таки пропускает незначительный ток. Этот ток называется током утечки. Он ограничивается так называемым сопротивлением утечки большим сопротивлением диэлектрика. Рассчитаем сопротивление и ток утечки для различных типов конденсаторов. 1. Плоский конденсатор. Имеем конденсатор с площадью обкладок S, расстоянием между обкладками d и диэлектриком внутри конденсатора с проницаемостью ε (рис.19). Рис.19 Сопротивление диэлектрика (сопротивление утечки) и его емкость: d R , S C 0 S , d где ρ – удельное электрическое сопротивление материала диэлектрика. Перемножив выражения для сопротивления и емкости, получим формулу, позволяющую вычислять сопротивление утечки в конденсаторе, зная его емкость: RC d 0 S 0 . S d Применяя закон Ома, получим выражение для тока утечки: I утечки U . R 2. Цилиндрический конденсатор. Имеем конденсатор с обкладками в виде двух цилиндров с радиусами R1 и R2, длиной l, вставленных один в другой, и с диэлектриком между цилиндрическими обкладками с проницаемостью ε. Выделим внутри конденсатора тонкий цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис.20).Площадь поверхности слоя dS = 2πrl. Сопротивление этого слоя: dR dr dr . dS 2rl Рис.20 Полное сопротивление диэлектрика внутри конденсатора: R R2 R2 R1 R1 dR dr 2rl 2l R2 R1 dr R ln 2 . r 2l R1 Вспомним, что емкость цилиндрического конденсатора равна: С 20l . R2 ln R1 Перемножив выражения для сопротивления и емкости, получим ту же самую формулу связи этих величин, что и выведенную выше для плоского конденсатора: RC R 20l 0 . ln 2 2l R1 ln R2 R1 Применяя закон Ома, получим выражение для тока утечки: I утечки U . R 3. Сферический конденсатор. Имеем конденсатор с обкладками в виде двух сфер с радиусами R1 и R2, вставленных одна в другую, и с диэлектриком между обкладками спроницаемостью ε. Выделим внутри конденсатора тонкий сферический слой радиусом r и толщиной dr (рис.21). Площадь поверхности слоя dS = 4πr2. Сопротивление этого слоя: dR dr dr . dS 4r 2 Полное сопротивление диэлектрика внутри конденсатора: R R2 R2 R1 R1 dR R 2 dr 4 4r 2 4 R r 2 dr R2 R1 1 1 1 R2 R1 . ( ) 4 R1 R2 4 R1R2 Вспомним, что емкость сферического конденсатора равна: С 40 R1R2 . ( R2 R1) Перемножив выражения для сопротивления и емкости, получим ту же самю формулу связи этих величин: RC R1R2 R2 R1 0 . 40 4 R1R2 ( R2 R1) Применяя закон Ома, получим выражение для тока утечки: I утечки U . R Рис.21 Вывод: для вычисления сопротивления и токов утечки в конденсаторах во всех случаях можно пользоваться зависимостью: RC 0 . 45. Закон Джоуля‐Ленца в интегральной форме. Мощность тока. Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. Закон Джоуля-Ленца позволяет определить количество теплоты, выделяющееся в проводнике при протекании по нему тока. Рассмотрим проводник, к концам которого приложено напряжение U. Пусть за время dt через поперечное сечение проводника протекает заряд dq = Idt. При этом совершается элементарная работа (с учетом закона Ома): dA dqU IdtU IUdt I 2 Rdt U2 dt , R где I– ток в проводнике; R – сопротивление проводника. Если ток течет по неподвижному проводнику, то вся затраченная работа на протекание тока идет на нагревание проводника: A = Q – количество теплоты, выделившееся в проводнике за время dt протекания тока в нем. Закон Джоуля-Ленцав интегральной форме (для постоянного тока): количество теплоты, выделившееся при прохождении по проводнику электрического тока, прямо пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока (один из вариантов формулировки закона). U2 Q IUt I Rt t. R 2 Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющееся за время t, вычисляется по формуле: t Q I 2 (t ) Rdt . 0 Мощность тока Разделив количество теплоты, выделившееся в проводнике, на время протекания тока, получим электрическую мощность, развиваемую током: Q U2 2 . P IU I R t R 46. Закон Джоуля‐Ленца в дифференциальной форме. Плотность мощности. Плотность мощности Выделим в проводнике элементарный объем в виде цилиндра длиной dl, поперечным сечением dS (рис.22). В единицу времени через поперечное сечение цилиндра протекает ток: dI jdS E dS . Рис.22 Сопротивление цилиндра: dR dl . dS Тогда мощность, выделяемая в цилиндре: dP dI 2 dR E2 2 dS 2 dl E 2 dldS . dS Объем цилиндра dV dl dS Плотностью мощности ω, выделяющейся в проводнике при протекании тока, называется тепловая мощность, выделяющаяся в единице объема проводника: dP , dV измеряется в Вт / м3 . Закон Джоуля-Ленца в дифферециальной форме: dP E 2 dldS E 2 E2 2 E 2 jE E , dV dldS , где ρ – удельное сопротивление материала проводника; σ – его удельная проводимость 47. Мощность и КПД источника постоянного тока. Рассмотрим замкнутую цепь, включающую в себя источник тока с ЭДС ε = const и внутренним сопротивлением r = const и внешнее переменное сопротивление R (рис.23). Полной мощностью называется мощность, вырабатываемая источником: 2 2 Pполн I ( R r ) (R r) I . Полезной мощностью (или мощностью нагрузки) называется мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении (нагрузке): 2 U2 R 2 I R Pполез IU . R ( R r )2 Рис.23 Мощностью потерь называется мощность, выделяемая на внутреннем сопротивлении источника тока (а также на сопротивлении соединительных проводов в цепи): 2 Pпотерь I r 2 r ( R r )2 . Полную мощность, таким образом, можно представить как Pполн Pполезн Pпотерь . Коэффициент полезного действия (КПД) источника тока показывает, сколько выделяемой данным источником полной мощности идет на полезную мощность в цепи. Выражение для КПД имеет вид: P U R полезн . Pполн R+r 48. Режимы работы цепи. Выделяют три особенных режима работы: режим короткого замыкания, режим холостого хода и режим согласования. Рассмотрим электрическую цепь с регулируемой нагрузкой (рис.23). Сила тока в цепи определяется переменным внешним сопротивлением R при изменении его от нуля до бесконечности. Режим короткого замыкания возникает при соединении двух различных точек цепи с различными потенциалами. В этом режиме зажимы источника энергии замкнуты проводником («закорочены») (рис.24). При этом внешнее сопротивление близко к нулю (R ≈ 0), а полное сопротивление цепи определяется только внутренним сопротивлением источника. В этом режиме ток в цепи (называемый в данном случае током короткого замыкания) значительно превышает номинальные значения (из-за отсутствия сопротивления): I кз , r а полезная мощность и КПД источника тока равны нулю: 2 R 2 Pполез I R ( R r )2 2 0 (0 r )2 0, R 0 0. R+r 0 +r Этот режим работы считается аварийным. Рис.24 Режим холостого хода. Этот режим работы электрической цепи характеризует ее разомкнутое состояние – ток отсутствует, все элементы отключены от источника питания, внешнее сопротивление стремится к бесконечности (R => ∞), (рис.25). Напряжение на зажимах источника питания совпадает с ЭДС источника (U = ε), полная и полезная мощности стремятся к нулю, а КПД источника тока стремится к 100 % (или к 1): Pполн I 2 ( R r ) 0 ( R r ) 0 , Pполез I 2 R 0 R 0 , R 1 . R+r Рис.25 Режим согласования. В этом режиме сопротивление нагрузки равно (согласуется) внутреннему сопротивлению источника: R = r. При этом полезная мощность максимальна. Доказать это можно, взяв производную полезной мощности по сопротивлению и приравняв ее к нулю: dPполез d 2 R ) 2 d ( R ) 2 ( R r )2 2( R r ) R 2 ( R r ) 2 R 0 , ( dR dR ( R r )2 dR ( R r )2 ( R r )4 ( R r )3 ( R r ) 2 R 0 => r R 0 => R r . Отсюда полезная мощность в режиме согласования: Pполез 2 R ( R r )2 2 R ( R R)2 2 . 4R Полная мощность, вырабатываемая источником тока, в два раза превосходит полезную: Pполн 2 (R r) 2 ( R R) 2 2R 2 Pполез . Отсюда следует, что КПД источника в этом режиме равен 50 % (или 0,5): R R 1 . R+r 2 R 2 В таблице приведены параметры работы электрической цепи в трех различных режимах, полученные с использованием закона Ома. Режим работы цепи Коротко е замыкан ие Холосто й ход Согласо вание R, Ом Rобщ, U, В Ом 0 r ∞ ∞ R I, А 2R Pполн, Рполез, Вт η 0 0 0 1 Вт Iкз 0 I r 0 ε U R U = IR Pкз 2 r 0 P 2 2R P 2 4R 0,5 Здесь R – сопротивление нагрузки; Rобщ – общее сопротивление цепи; r –внутреннее сопротивление источника; U – напряжение на нагрузке. Графики зависимости полной и полезной мощностей и КПД от сопротивления нагрузки показаны на рис.26 и 27. Рис.26 Рис.27 На приведенных графиках точка при R = 0 соответствует режиму короткого замыкания; область при R => ∞ соответствует режиму холостого хода; точка при R = r – режиму согласования. 49. Зависимость сопротивления проводника от температуры. Сверхпроводимость. Зависимость сопротивления от температуры Способность вещества проводить электрический ток характеризуется его удельным сопротивлением ρ, которое определяется химической природой вещества и условиями, в частности, температурой, при которых оно находится. Согласно классической электронной теории проводимости с ростом температуры увеличивается скорость теплового движения свободных электронов в металлическом проводнике. А значит увеличивается частота столкновений электронов с узлами кристаллической решетки, что ведет к росту сопротивления движению электронов. Опыт показывает, что при не очень низких температурах удельное сопротивление проводников может быть описана линейной зависимостью: (t ) 0 (1 t 0 ) , где 0 - удельное сопротивление при 00С; t 0 - температура по шкале Цельсия; α – температурный коэффициент сопротивления, 1/ К , определяемый как: 0 . 0t 0 Т.е. α – это величина, численно равная относительному изменению удельного сопротивления при изменении температуры проводника на один Кельвин или один градус. Для всех металлических проводников α > 0 и незначительно меняется с изменением температуры. Если интервал изменения температуры невелик, то α можно считать постоянным. Обычно для чистых металлов (1/ 273)К1 . График зависимости удельного сопротивления проводника от температуры показан на рис.28. При низких температурах, близких к нулю Кельвин, зависимость (t ) отклоняется от линейного закона. Для проводников типа 1 удельное сопротивление остается малой и постоянной величиной ост . Рис.28 Сверхпроводимость Проводники типа сверхпроводимости 2 обладают свойством заключается в том, что сверхпроводимости. Явление ниже некоторой критической температуры(температура Тк перехода проводника в сверхпроводящее состояние) удельное сопротивление материала становится исчезающе малым. Сверхпроводниками являются свинец, цинк, серебро, некоторые сплавы. Явление сверхпроводимости используется для получения сильных магнитных полей. Теория сверхпроводимости нашла объяснение в современной квантовой механике. 50. Магнитное поле и его характеристики. Принцип суперпозиции для вектора индукции. Магнитное поле Индукция магнитного поля Принцип суперпозиции для вектора индукции Напряженность магнитного поля Относительная магнитная проницаемость среды 51. Закон Ампера. 52. Индукция магнитного поля движущегося заряда. Закон Био‐Савара‐ Лапласа. Индукция магнитного поля движущегося заряда Закон Био-Савара-Лапласа. 53. Сила взаимодействия двух параллельных токов. 54. Расчет магнитного поля прямого тока (на оси или в центре кругового тока) по принципу суперпозиции (один любой пример). 55. Расчет магнитного поля соленоида по принципу суперпозиции. 56. Сила Лоренца. Связь силы Лоренца и силы Ампера. Сила Лоренца. На заряд q, движущийся со скоростью v во внешнем магнитном поле с индукцией В, со стороны поля действует сила Лоренца, определяемая как: FЛ qvB , где q – абсолютное значение движущегося заряда (q > 0 для положительного заряда, q < 0 для отрицательного заряда). Модуль силы Лоренца определяется составляющей FЛ qBv sinα = qBv qBv , где α – угол между вектором магнитной индукции В и вектором скорости v; Направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд, определяетсяпо правилу левой руки (рис.18). На отрицательный заряд, такой же величины и движущийся с такой же скоростью,сила Лоренца действует в противоположном направлении (рис.19). Рис.18 Рис.19 Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно направлению движения заряда. Следовательно, при действии этой силы не совершается работа. Сила Лоренца изменяет только направление вектора скорости, в то время как модуль скорости, а значит и кинетическая энергия заряда в магнитном поле, не меняются. Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, то электромагнитная сила, действующая со стороны этих полей на движущийся заряд q, равна Fэм Fэл Fм qE qv B, где Е – вектор напряженности электрического поля; v – вектор скорости заряда. Направление обобщенной силы Fэм зависит от направлений действия сил со стороны обоих полей. Сила Лоренца позволяет ввести понятие вектора магнитной индукции: модуль вектора магнитной индукции в данной точке магнитного поля равен наибольшей силе Лоренца, действующей на единичный положительный заряд, который движется с единичной скоростью: Связь силы Лоренца и силы Ампера. Пусть имеем проводник с током I и длиной l, находящийся в магнитном поле с индукцией В. Со стороны поля на проводник действует сила Ампера: FA I l B sin . На каждый носитель тока со стороны поля действует сила Лоренца: FЛ qBv sinα . Объем проводника запишем как V l S , где l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения проводника. Число носителей тока в проводнике: N nV , где n – концентрация носителей тока. Ток в проводнике: I j S e nv S . Подставив в формулу для силы Ампера выражения для тока, числа носителей тока и объема проводника, получим: FA I l B sin e n v S l B sin N e v B sin N FЛ . Вывод: сила Ампера есть интегральное проявление силы Лоренца. То есть, если просуммировать все силы Лоренца, действующие со стороны магнитного поля на носители тока в проводнике, то получим силу Ампера, действующую со стороны этого поля на весь проводник. 57. Параметры траектории заряженной частицы, двигающейся в магнитном поле. Движение по окружности 131 Движение по спирали(винтовой линии) 132 58. Применение силы Лоренца. Масс‐спектрометр. Циклотрон. Масс-спектрометр 133 Циклотрон 134 135 59. Эффект Холла. Постоянная Холла. Эффект Холла 136 Постоянная Холла 137 60. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной форме. Магнитный поток 138 Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной форме. 139 140 61. Теорема о циркуляции для магнитного поля в интегральной форме. 141 142 62. Теорема о циркуляции для магнитного поля в дифференциальной форме. 143 63. Применение теоремы о циркуляции для расчета магнитного поля соленоида. 144 64. Применение теоремы о циркуляции для расчета магнитного поля тороида. 145 65. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника в магнитном поле 146 Работа по перемещению контура с током в магнитном поле 147 66. Контур с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент контура. Вращающий момент. Поле однородно Магнитный момент 148 Вращающий момент 149 67. Энергия контура с током в однородном магнитном поле. Контур с током в неоднородном магнитном поле. Энергия контура с током в однородном магнитном поле Поле неоднородно 150 151 68. Типы магнетиков. Гипотеза круговых токов Ампера. Гиромагнитное отношение. Типы магнетиков Гипотеза круговых токов Ампера 152 Гиромагнитное отношение 153 154 69. Намагниченность. Напряженность магнитного поля. Магнитная восприимчивость. Намагниченность Магнитная восприимчивость Напряженность магнитного поля 155 70. Граничные условия для вектора индукции магнитного поля. 156 157 158 71. Граничные условия для вектора напряженности магнитного поля. (читать 70, акцентировать внимание на H) 159 72. Диамагнетизм. 160 161 73. Парамагнетизм. 162 74. Ферромагнетизм. Гистерезис ферромагнетиков. Ферромагнетизм 163 164 165 Гистерезис ферромагнетиков 166 167 168 75. Опыт Фарадея. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Опыт Фарадея Закон электромагнитной индукции 169 Правило Ленца 170 76. ЭДС индукции в движущихся проводниках. 171 77. Токи Фуко. 172 173 78. Явление самоиндукции. Индуктивность. Индуктивность длинного соленоида. Явление самоиндукции Индуктивность Индуктивность длинного соленоида 174 175 79. Явление взаимной индукции. Взаимная индуктивность. Явление взаимной индукции Взаимная индуктивность 176 177 80. Переходные процессы в цепи с индуктивностью. Процесс замыкания цепи. Время релаксации. Переходные процессы в цепи с индуктивностью Процесс замыкания цепи 178 Время релаксации 179 81. Переходные процессы в цепи с индуктивностью. Процесс размыкания цепи. Переходные процессы в цепи с индуктивностью Процесс размыкания цепи 180 181 82. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии. Энергия магнитного поля 182 Объемная плотность энергии 183 184 83. Обобщение закона электромагнитной индукции. Первое уравнение Максвелла. Вихревое электрическое поле. Вихревое электрическое поле 185 Первое уравнение Максвелла 186 84. Обобщение теоремы о циркуляции вектора Н магнитного поля. Второе уравнение Максвелла. Ток смещения. 187 Второе уравнения Максвелла 188 85. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Следствия из уравнений Максвелла. Следствия 189 190