Задание 2 Рассмотрим балку 1.

1
Задание 2
Дано: М=
кНм, а=
м, L=
м, Р=
кН, q=
Рассмотрим балку 1.
Определяем опорные реакции:
X = 0,
HA= 0;
mA= 0;
mB= 0;
Y = 0;
Проверка
Реакции определены правильно.
Балка имеет три участка.
0  z 1
Участок 1:
м, поперечная сила: Q =
Изгибающий момент: M =
z1=0; M =
z 1=
м,
M=
 z 2
Участок 2:
Поперечная сила:
Q=
Изгибающий момент:
z 2=
м,
M=
z 2=
м,
M=
м
M=
кН/м, схема
2
0  z 3
Участок 3:
Изгибающий момент:
z3=0,
z 3=
м, поперечная сила: Q =
M=
M=
м,
M=
По результатам расчета строим эпюры,
откуда Qmax=
kH, Mmax=
kHм
3
Рассмотрим балку 2.
Балка имеет два участка.
Опорные реакции можно не вычислять, если рассматривать только
левые части балки.
0  z 1
Участок 1:
z1= 0,
z 1=
м, поперечная сила: Q =
Q=
м,
Q=
Изгибающий момент: M =
z1=0; M =
z 1=
м,
M=
 z 2
Участок 2:
z 2=
м,
Q=
z 2=
м,
Q=
Изгибающий момент:
z 2=
м,
M=
z 2=
м,
M=
м, поперечная сила:
Q=
M=
Для определения экстремума изгибающего момента найдем zI
условия Q(zI ) = 0,
zI =
М(zI )=
По результатам расчета строим эпюры,
откуда Qmax=
kH, Mmax=
kHм
из
4
Рассмотрим балку 3.
Определяем опорные реакции:
X = 0,
HA= 0;
mA= 0;
mB= 0;
Y = 0;
Проверка
Реакции определены правильно.
Балка имеет два участка.
0  z 1
Участок 1:
z1= 0,
z 1=
м, поперечная сила: Q =
Q=
м,
Q=
Изгибающий момент: M =
z1=0; M =
z 1=
м,
M=
Участок 2: 0  z2
Поперечная сила:
z2= 0,
z 2=
Q=
м,
Q=
м,
Q=
5
Изгибающий момент:
z2= 0,
z 2=
M=
M=
м,
M=
Для определения экстремума изгибающего момента найдем zI
условия Q(zI ) = 0,
zI =
М(zI )=
По результатам расчета строим эпюры,
откуда Qmax=
kH, Mmax=
kHм
из
6
Рассмотрим балку 4.
Балка имеет два участка.
Опорные реакции можно не вычислять, если рассматривать только
правые части балки.
0  z 1
Участок 1:
z1= 0,
z 1=
м, поперечная сила: Q =
Q=
м,
Q=
Изгибающий момент: M =
z1=0; M =
z 1=
м,
M=
 z 2
Участок 2:
z 2=
м,
Q=
z 2=
м,
Q=
Изгибающий момент:
z 2=
м,
M=
z 2=
м,
M=
м, поперечная сила:
Q=
M=
Для определения экстремума изгибающего момента найдем zI
условия Q(zI ) = 0,
zI =
М(zI )=
По результатам расчета строим эпюры, откуда,
Qmax=
kH, Mmax=
kHм
из
7
Рассмотрим балку 5. Балка имеет промежуточный шарнир С.
Определяем опорные реакции, раскладывая балку на простейшие и
составляя уравнения равновесия /рис.1/:
X = 0,
H = 0;
mC= 0;
mA= 0;
mB= 0;
mC= 0;
Y = 0;
Проверка
Реакции определены правильно.
Балка имеет пять участков.
0  z 1
Участок 1:
м, поперечная сила: Q =
Изгибающий момент: M =
z1=0; M = 0
z 1=
м,
M=
 z 2
Участок 2:
Изгибающий момент:
z 2=
м,
M=
z 2=
м,
M=
м, поперечная сила:
M=
Q=
8
 z 3
Участок 3:
Изгибающий момент:
z 3=
м,
M=
z 3=
м,
M=
 z 4
Участок 4:
Изгибающий момент:
z 4=
м,
M=
z 4=
м,
M=
 z 5
Участок 5:
м, поперечная сила: Q =
M=
м, поперечная сила: Q =
M=
м, поперечная сила: Q =
Изгибающий момент: M =
z 5=
м; M =
z 5=
м,
M=
По результатам расчета строим эпюры,
откуда Qmax=
kH, Mmax=
kHм
9
Рассмотрим балку 6. Балка имеет промежуточные шарниры С и D.
Определяем опорные реакции, раскладывая балку на простейшие и
составляя уравнения равновесия /рис.1/:
X = 0,
H = 0;
m = 0;
m = 0;
m = 0;
m = 0;
m = 0;
m = 0;
Y = 0;
Проверка
Реакции определены правильно.
Балка имеет пять участков.
0  z 1
Участок 1:
Изгибающий момент: M =
z1=0; M = 0,
z 1=
м,
M=
м, поперечная сила: Q =
10
 z 2
Участок 2:
Изгибающий момент:
z 2=
м,
M=
z 2=
м,
M=
 z 3
Участок 3:
Изгибающий момент:
z 3=
м,
M=
z 3=
м,
M=
0  z 4
Участок 4:
Изгибающий момент:
z4=0,
z 4=
м, поперечная сила:
Q=
M=
м, поперечная сила: Q =
M=
м, поперечная сила: Q =
M=
M=
м,
M=
 z 5
Участок 5:
м, поперечная сила: Q =
Изгибающий момент: M =
z 5=
м, M =
z 5=
м,
M=
По результатам расчета строим эпюры,
откуда Qmax=
kH, Mmax=
kHм
11
В соответствии с заданием в зависимости от Mmax для балок выбираем поперечное сечение в виде:
для балки
Mmax=
кНм сечение – двутавр, сталь (профиль 1);
для балки
Mmax=
кНм сечение – два швеллера, сталь
Mmax=
кНм сечение – прямоугольник, чугун
(профиль 2);
для балки
h =4b (профиль 3);
для балки
Mmax=
кНм сечение – бревно, сосна (профиль 6);
для балки
Mmax=
кНм профиль 4 — труба с d= 0,8D, чугун;
для балки
Mmax=
кНм профиль 5 — два бревна, сосна;
для балки
Mmax=
кНм сечение – бревно, сосна (профиль 6);
Допускаемые напряжения:
для стали []= 160 МПа, []= 100 МПа,
для чугуна []= 60 МПа, []= 40 МПа,
для сосны []= 12 МПа, []= 1,5 МПа,
Подбираем сечения из условия прочности:
max=
М max
Wx
 
Для балки
откуда Wх 
М max
[]
с сечением – двутавр (Mmax=
кНм, Qmax=
kH)
находим
Wх 
 10 3
160  10
6
=
10-3 м3=
см3.
По сортаменту прокатной стали ( Беляев Н.М. Сопротивление материалов., 76г. стр.592) выбираем двутавр №
х=
см4, Smax=
см3, b=
с Wх=
мм. (рис.а)
см3
12
М max
max=
Находим
Wx
 10 3
=
=
 10 -6
- 160
100%=
160
Процент недогрузки:
МПа.
% > < 5%, что не допустимо.
Выбираем двутавр №
с Wх=
см3
х=
см3, b=
мм. (рис.а)
см4, Smax=
М max
max=
Находим
Wx
 10 3
=
- 160
100%=
160
Процент перегрузки:
МПа.
=
 10 -6
% > < 5%, что не допустимо
Проверяем прочность по касательным напряжениям:
max=
Q max S max
 10 3 
=
xb
10 -6
 10 -8 
 10 -3
=
МПа < [] =100 МПа.
Прочность балки обеспечена.
Для балки
с сечением – два швеллера
(Mmax=
кНм, Qmax=
kH)
находим
Wх 
 10 3
160  10
6
10-3 м3=
=
см3.
По сортаменту прокатной стали ( там же, стр.595) выбираем швеллер
№
см3 х=
с Wх=
b=
см3,
мм. (Рис.б)
Находим
max=
М max
2Wx
Процент недогрузки:
см3, b=
=
 10 3
2
 10 -6
- 160
100%=
160
Выбираем швеллер №
Smax=
см4, Smax=
с Wх=
мм. (Рис.б)
=
МПа.
% > < 5%, что не допустимо.
см3 х=
см4,
13
- 160
100%=
160
Процент перегрузки:
% > < 5%, что не допустимо
Проверяем прочность по касательным напряжениям:
max=
Q max 2S max
2 x 2 b
=
 10 3  2 
 10 -8  2 
2
10 -6
 10 -3
=
МПа < []
Прочность балки обеспечена.
b=
b=
Рис.а
Рис.б
Y
4 см
d=
y
X
D=
Рис.г
Рис.в
d=
Рис.д
d=
Рис.е
14
Для балки
(Mmax=
с прямоугольным сечением (чугун)
кНм, Qmax=
kH)
находим
Wх 
 10 3
60  10
6
10-3 м3=
=
см3.
Для прямоугольного сечения:
получаем Wх=
W=
bh 2
т.к. h =4b,
6
3
8 3
b , тогда b 3
8
3
=
см
Округляя до четного числа миллиметров, принимаем
мм, h= 4
b=
Найдем
max=
мм, (рис.в)
=
М max
Wx
103  6
=
10-9
=
МПа
[] =60 МПа
Процент недогрузки перегрузки
- 60
60
100%=
< 5%, что допустимо
Проверяем прочность по касательным напряжениям:
для прямоугольного сечения:
3
3 Q max
max=
=
2 bh
2
 10 3
 10 -6
Прочность балки обеспечена.
=
МПа < [] =40 МПа
15
Для балки
(Mmax=
с сечением – труба (чугун)
кНм, Qmax=
kH)
находим
Wх 
 10 3
60  10
6
10-3 м3=
=
см3.
Имеем Wх для полого круглого сечения:
D 4 d 4

d4
D 3
64
64
Wх =
=
(1 — 4 ).
D
32
D
2
3,14  D 3
Учитывая, что d=0,8D, получаем Wх =
(1 — 0,84) = 0,058D3,
32
откуда D  3
0,058
см
=
Округляя до четного числа миллиметров, D =
Wх =0,058
max=
 10 -6
=
=
см3
=
 10 3
cм, d = 0,8
МПа
[] =60 МПа
Процент недогрузки перегрузки
- 60
60
100%=
< 5%, что допустимо, /рис.г/
Проверяем прочность по касательным напряжениям:
момент инерции для полого круглого сечения:
x=
d4
3,14 
D 4
(1 — 4 ) =
64
64
D
(1  0,8 4 ) =
см4
d3
2D 3
Статический момент полукольца: Smax=
(1 — 3 ) =
3
D
=
2
3
(1  0,83 ) =
см3.
[Беляев Н.М. Сопр.мат.,с.260]
см,
16
Q max S max
находим max=
xb
 10 3 
=
10 -6
 10 -8 
 10 -2
=
МПа < []= 40МПа
где b = D — d =
Прочность балки обеспечена.
Для балки
с круглым сечением – два бревна (сосна)
(Mmax=
кНм, Qmax=
kH)
находим
Wх 
 10 3
12  10
6
Для круга Wх =
10-3 м3=
=
см3.
d 3
32
, тогда d 3
=
32
2  3,14
см
Округляем до целого числа сантиметров d =
cм
Проверяем
max=
 103  32
 10-6  2
3,14 
=
МПа
[] = 12 МПа
Процент недогрузки перегрузки
- 12
12
100%=
< 5%, что допустимо, /рис.д/
Проверяем прочность по касательным напряжениям:
находим
max=
Q max S max
xb
3,14 
d 4
x= 2
= 2
64
64
max=
=
=
b = 2d = 2
 10 3 
 10 -8 
,
Smax= 2
3
d3
=2
=
12
12
см4,
см,
10 -6
 10 -2
=
Прочность балки обеспечена.
МПа < []= 1,5 МПа
см3
17
Для балки
с круглым сечением – бревно (сосна)
(Mmax=
кНм, Qmax=
kH)
находим
Wх 
 10 3
12  10
6
Для круга Wх =
10-3 м3=
=
см3.
d 3
32
, тогда d 3
32
3,14
=
см,
Округляем до целого числа сантиметров d =
cм,
Проверяем
max=
 10 3  32
3,14 
 10 -6
=
МПа
[] = 12 МПа
Процент недогрузки перегрузки
- 12
12
100%=
< 5%, что допустимо, /рис.е/
Проверяем прочность по касательным напряжениям:
для круглого сечения:
max=
16 Q max
16 
=
3 d 2
3  3,14 
 10 3
 10
Прочность балки обеспечена.
-4
=
МПа < []= 1,5 МПа
18
Вычисляем  и  в заданной точке (рис.в).
При z =1,5 м из эпюр Q и М для балки
находим:
Q=
M=
Нормальное напряжение =
где М=
b=
кНм,
см, =
y=
2
My
,
x
—4=
 10 3 
 10 -2
 10 -8
Касательное напряжение
см,
=
bh 3
х=
=
12
МПа.
QSотс
x
=
,
 xb
где статический момент отсеченной части сечения:
Sотс
x =b(
h
h
1
– y) ( + y) =
2
2
2
Q=
kH,
=
 10 3 
 10 -8 
 10 -6
 10 -2
=
МПа.