РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина Течение флюида через слои частиц, созданный по технологии трехмерной печати: новый метод для понимания, проверки и улучшения прогнозирования проницаемости на основе эмпирических уравнений. Сабирова П.М. Fluid flow through 3D-printed particle beds: a new technique for understanding, validating, and improving predictability of permeability from empirical equations Sondre Gjengedal, Vegard Brotan, Ole T. Buset, Erik Larsen, Olav A. Berg, Ole Torsaeter, Randi K. Ramstad, Bernt O. Hilmo, Bjorn S. Frengstad (2020) Москва – 2023 г. Оглавление ВВЕДЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ - Приближенное выражение Стокса для потока - Приближенное выражение Стокса для потока с учетом члена конвективного ускорения ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РАБОТЫ И МЕТОДЫ - Моделирование образца - Изготовление образца - Процедуры осмотра проб, КТ и анализа изображений - Процедура испытания на проницаемость, калибровка и оборудование РЕЗУЛЬТАТЫ - Полученные результаты - Результаты течения флюида по Хасслеру - Эмпирические корреляции - Критические числа Рейнольдса ЗАКЛЮЧЕНИЕ 2 Цель работы Данного исследования является изучение того, как различные геометрические свойства пористой среды влияют на ее проницаемость, и, таким образом, дальнейшее улучшение эмпирических уравнений. В проточной ячейке Хасслера были протестированы четыре различные трехмерные модели однородной пористой среды, и результаты были использованы для проверки современных аналитических уравнений потока Козени-Кармана (1937) и Эргуна-Орнинга (1937). Эти уравнения построены по аналогии с уравнение Хагена–Пуазейля. В качестве альтернативы было разработано новое аналитическое решение, которое здесь представлено, протестировано и сравнено. Новое уравнение основано на аналогии с аналитическими решениями уравнения Навье-Стокса и предлагается как лучшее объяснение поведения потока пористой среды, наблюдаемого в представленных экспериментах. 3 Введение Результаты экспериментальной работы используются для проверки теоретических основ уравнения: Козени-Кармана Эргуна-Орнинга Хагена-Пуазейля Навье-Стокса 4 Уравнение Навье-Стокса Изменение скорости жидкости Давление, оказываемое на частицу Внешние силы 𝜕ũ 1 = − ũ ∙ 𝛻 ũ − 𝛻𝑝 + ν𝛻 2 + 𝐹 𝜕𝑡 𝜌 Перемещение жидкости в пространстве Ссылка:https://lenta.ru/news/2014/02/25/navier/ Вязкость среды 5 Уравнение движения флюида Уравнение Хубберта ∆𝑃 𝐿 𝜇 𝑘 = ∙ 𝑢𝑠 𝑢𝑠 = 𝑄 𝐴 ∆𝑃 - потеря давления (Па) L - длина канала (м) 𝜇 - динамическая вязкость (Па∙с) k - проницаемость (м2 ) 𝑢𝑠 - приведенная скорость потока (м/с) 𝑄 - объемный расход жидкости (м3 /с) 𝐴 - объемная площадь поперечного сечения, перпендикулярная направлению потока (м2 ) Уравнение Форхгеймера ∆𝑃 𝜇 = ∙ 𝑢𝑠 + 𝛽𝜌 ∙ 𝑢𝑠2 𝐿 𝑘 𝛽 – коэффициент инерционного сопротивления (м−1 ) 𝜌 – плотность жидкости (кг/м3 ) 6 Горизонтально направленный однофазный поток несжимаемой жидкости в каналах 𝐹 = (𝐶 + 𝐶𝑑 ∙ 𝑅𝑒) ∙ 𝜇 ∙ 𝜗 ∙ 𝐿 𝑅𝑒 = 𝜌∙𝜗∙𝑚 𝜇 𝑚2 ∙ ∆𝑃 = 𝐶 + 𝐶𝑑 ∙ 𝑅𝑒 ∙ 𝜇 ∙ 𝜗 ∙ 𝐿 𝑚= 𝜋∙𝑟𝑖2 ∙𝐿 2∙𝜋∙𝑟𝑖 ∙𝐿 = 𝑑𝑖 4 𝐹 - рассеивающие силы (Н) 𝜗 - скорость жидкости (м/с) С - линейный член, который означает силу, в которой преобладают вязкое касательное напряжение и диссипация давления (-) 𝐶𝑑 - нелинейный член, который означает силу конвективного ускорения (-) 𝑚 - геометрия канала (м) 𝑟𝑖 - внутренний радиус трубы (м) 𝑑𝑖 - внутренний диаметр трубы (м) Для однородной круглой трубы 7 Приближенное выражение Стокса для потока 𝐹𝑐 = 𝐶 ∙ 𝜇 ∙ 𝑉 ∙ 𝐿 𝐶 = 𝐶𝑓 + 𝐶𝑝 𝐹𝑐 = 3 ∙ 𝜋 ∙ 𝜇 ∙ 𝜗𝑎𝑣𝑔 ∙ 𝑑 𝑅𝑒 ≪ 1 𝐶𝑓 - рассеивающая сила трения (-) 𝐶𝑝 - рассеивающая сила давления (-) 𝜗𝑎𝑣𝑔 - средняя скорость течения жидкости (м/с) Для гладкой сферы 8 Схема модели Стокса для потока 𝜗𝑚𝑎𝑥 = 𝑘0 ∙ 𝑢𝑖 A) Одиночная сфера, подвешенная в однородном поле потока жидкости B) Скорость ограничена в пространстве за счет геометрии пор 9 Приближенное выражение Стокса с учетом поправок Дюпюи 𝑢𝑠 𝑢𝑖 = − предположение Дюпюи 𝑛 ∆𝑃 𝜇 ∙ 𝜗 ∙ 𝑆2 =𝐶∙ 𝐿𝑒 𝑛2 𝑢𝑖 𝜗= 𝑘0 𝑢𝑖 - истинная скорость жидкости (м/c) 𝑘0 - коэффициент геометрии канала (-) ∆𝑃 𝐶 𝜇 ∙ 𝑆 2 ∙ 𝑢𝑠 = ∙ 𝐿𝑒 𝑘 0 𝑛3 11 Приближенное выражение Стокса для потока с учетом поправок Козени Кармана ∆𝑃 𝐶 𝜇 ∙ 𝑆 2 ∙ 𝑢𝑠 = ∙ 𝐿𝑒 𝑘0 𝑛3 𝐿𝑒 𝜏= 𝐿 𝑢𝑠 𝑢𝑖 = ∙ 𝜏 𝑛 𝐿𝑒 - фактический путь (м) 𝐿 - линия,соединяющая начало и конец (м) 𝑘0 - самый труднополучаемый параметр 𝜏2 𝜏 - коэффициент извилистости (-) 𝑘𝑠 - объединение коэффициента С и 𝑘0 Диапазон: 3,14-5,93 ∆𝑃 𝐶 = ∙ 𝐿 𝑘0 𝑆2 ∙ 𝜇 ∙ ∙ 𝑢𝑠 𝑛3 𝐶 3𝜋 𝑘𝑠 = ≈ 𝑘0 𝑘0 12 Значения 𝑘0 для линейного течения в различных поперечных сечениях трубы 13 Приближенное выражение Стокса для потока с учетом поправок Козени Кармана ∆𝑃 𝐶 𝜏 2 ∙ 𝜇 ∙ 𝑆 2 ∙ 𝑢𝑠 = ∙ 𝐿 𝑘0 𝑛3 𝑘𝑐 = 𝑘0 ∙ 𝜏 2 ≈ 5 𝑘𝑐 - некая константа (-) Диапазон: от 4,84 до 6,13 ∆𝑃 𝑘𝑐 ∙ 𝜇 ∙ 𝑆 2 ∙ 𝑢𝑠 = 𝐿 𝑛3 14 Включение члена конвективного ускорения 𝐹𝐶𝑑 𝑛 𝑚= 𝑆 𝑢𝑠 𝑢𝑖 = 𝑛 𝑢𝑖 𝜗= 𝑘0 𝐿𝑒 𝜏= 𝐿 𝑢𝑠 𝑢𝑖 = ∙ 𝜏 𝑛 = 𝐶𝑑 ∙ 𝜌 ∙ 𝑚 ∙ 𝜗 2 ∙ 𝐿𝑒 Конвективное ускорение – неоднородность поля скоростей в данный момент времени ∆𝑃𝐶𝑑 𝐶𝑑 ∙ 𝜏 3 ∙ 𝑆 ∙ 𝜌 ∙ 𝑢𝑠2 = 𝐿 𝑘02 ∙ 𝑛3 𝐶𝑑 - коэффициент рассеяния, который предположительно зависит от формы канала и степени расширения и сжатия (-) 15 Потери в результате расширения и сжатия канала ℎ𝐿,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐿 = 𝑓 + 𝑑𝑖 𝐾𝐿 𝐾𝐿−𝑒𝑥 = 𝛼 ∙ 1 − 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑙𝑙 𝐴𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒 𝐾𝐿−𝑒𝑥 = 𝛼 ∙ 1 − 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑙𝑙 𝐴𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒 для 0° < 𝜃 < 45° 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑙𝑙 𝛼= 𝐴𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒 𝜗2 ∙ 2𝑔 2 для 45° < 𝜃 < 180° 2 ∙ 2,6𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 ℎ𝐿,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 - общие потери гидравлического напора (м) 𝑓 - коэффициент трения Дарси-Вейсбаха в ламинарном потоке (-) 𝐾𝐿 - коэффициент потерь (-) 𝛼 - величина незначительных потерь(-) В ламинарных условиях 𝐾𝐿−𝑒𝑥 ≈ 0,0–2,0 В турбулентных условиях 𝐾𝐿−𝑒𝑥 ≈ 0,0–1,05 16 Принципиальная схема малых потерь из-за сжатия и расширения А)Потери в отрезке трубы В) Потери в пористых средах, когда жидкость перетекает из одной поры в другую 17 Модифицированная форма члена конвективного ускорения ∆𝑃𝐶𝑑 𝐶𝑑 ∙ 𝜏 3 ∙ 𝑆 ∙ 𝜌 ∙ 𝑢𝑠2 = 𝐿 𝑘02 ∙ 𝑛3 𝐶𝐾𝐿 𝐶𝑑 = 2 𝛼 ∆𝑃𝐶𝑑 𝐶𝐾𝐿 𝜏 3 ∙ 𝑆 ∙ 𝜌 ∙ 𝑢𝑠2 = 2 ∙ 𝐿 𝛼 𝑘02 ∙ 𝑛3 𝐶𝐾𝐿 - коэффициент рассеивания. Должен зависеть как от коэффициента сужения канала, так и от обтекаемости геометрии порового канала (-) 18 Окончательная версия уравнения с учетом члена конвективного ускорения ∆𝑃 𝐶 𝜏 2 ∙ 𝜇 ∙ 𝑆 2 ∙ 𝑢𝑠 = ∙ 𝐿 𝑘0 𝑛3 ∆𝑃 3𝜋 𝑆 2 ∙ 𝜏 2 ∙ 𝜇 ∙ 𝑢𝑠 𝐶𝐾𝐿 𝜏 3 ∙ 𝑆 ∙ 𝜌 ∙ 𝑢𝑠2 = ∙ + 2 ∙ 3 𝐿 𝑘0 𝑛 𝛼 𝑘02 ∙ 𝑛3 ∆𝑃𝐶𝑑 𝐶𝐾𝐿 𝜏 3 ∙ 𝑆 ∙ 𝜌 ∙ 𝑢𝑠2 = 2 ∙ 𝐿 𝛼 𝑘02 ∙ 𝑛3 19 Приближеное значение выражения Стокса по Эргуну-Оринингу ∆𝑃 𝐿 = 2∙𝛼0 ∙𝑆 2 ∙𝜇∙𝑢𝑠 𝑛3 + 𝛽0 𝑆∙𝜌∙𝑢𝑠2 ∙ 3 2∙4 𝑛 𝛽0 - фактор геометрического отношения (-) Эргун и Орнинг не говорят, что 𝛽0 применительно к трубам различной формы, как это пытается сделать Карман для фактора 𝑘0. Однако они обеспечивают диапазон 1,1 < 𝛽0 < 5,6, в частности приходится на диапазон 2,0–3,3. Эргун и Орнинг не учитывают извилистость. 20 Экспериментальная работа и методы. Моделирование образца А) Сферы диаметром 1,0 мм, уложенные друг на друга в кубической форме. Пористость - 47,6%. B) Октаэдры размером 1,0 мм, уложенные друг на друга в кубическом порядке. Пористость - 83,3%. C) Октаэдры размером 0,50 мм уложены кубическим образом. Пористость - 83,3%. D) Oктаэдры 1,0 мм, уложенными друг на друга в два набора равных кубических расположений, где один набор закреплен между другими, не касаясь другого набора. Пористость - 66,6%. 21 Табличные данные Свойства четырех образцов Конструктивные параметры для четырех образцов 22 Формы и относительные размеры пор в пористых средах Канал поры окрашен в красный цвет. Размер порового канала образца А составляет 0,215 мм2 , а отношение площадей 𝑎= 0,215. Размер порового канала образца B составляет 0,500 мм2 , а отношение площадей 𝑎 = 0,500. Размер порового канала образца С составляет 0,125 мм2 , а отношение площадей 𝑎 = 0,500. Размер порового канала образца D составляет 0,125 мм2 , а отношение площадей 𝑎 = 0,666. Пора разрезана на восемь частей, чтобы показать местонахождение внутренней частицы и соответствующий извилистый путь. 23 Конструкция образца А) Контейнер-цилиндр в классических опытах влиял на расположение сфер в упаковке. В) Цилиндрический контейнер повлияет на форму и размер пор в прилегающем слое. С) Кубический контейнер в этом эксперименте обеспечивает постоянную форму и размер пор во всем образце. Куб имеет внутренний размер 10,0 мм • 10,0 мм по оси X и оси Y. D) Полный дизайн образца с длиной образца 35,0 мм по оси Z. 24 Изготовление образца Powder Bed Fusion – Laser Beam (PBF - LB) - это процесс аддитивного производства, в котором используется лазерный луч для плавления и сплавления металлических порошков вместе для формирования детали. Ссылка: https://www.twi-global.com/technical-knowledge/faqs/what-is-powder-bed-fusion 25 Изготовление образца Ссылка: https://www.twi-global.com/technical-knowledge/faqs/what-is-powder-bed-fusion 26 Иллюстрация воксельных данных по образцу A3 Воксель(объемный пиксель) – элемент объемного изображения. Ссылка: https://ru.wikipedia.org/wiki/Воксел В данном конкретном случае образец A3 затемнен (серый), а часть образца изолирована от оставшегося образца, чтобы визуализировать внутреннюю структуру упаковки кубических сфер (красный). 27 Схема установки ячейки абсолютной проницаемости 28 Индивидуальная ячейка Хасслера Слева: изображение подготовки к тесту. Справа: схематический эскиз внутренней части камеры с приспособлением для датчиков давления с внутренним диаметром 11 мм. 29 Многоточечная последовательность испытаний образца C6 Ось Х – время (с) Ось Y – перепад давления (бар) 30 Полученные результаты Изображения некоторых тестовых образцов, напечатанных на 3D-принтере. А - образец типа А с кубическим контейнером. B - крупный план сфер диаметром 1,0 мм. С - образец типа D со свободным поровым пространством между двумя наборами октаэдров. D образец типа B без кубического контейнера. E - крупный план октаэдров 1,0 мм. F - образец C с кубическим контейнером. 31 Оценивание свойства пористости с помощью КТ-изображения Отклонения от первоначального конструкции рассчитываются как соотношения между средней площадью поверхности частиц, оцененной по изображениям компьютерной томографии и идеальной гладкой формой в таблице конструктивных параметров для четырех образцов. 32 Необработанные данные КТ в оттенках серого Изображения показывают примерно 9 мм × 9 мм по оси X и оси Y от типичного сечения слоев частиц кубических ядер A3, B3, C1 и D3. Поперечное сечение «порового тела» соответствует наибольшему раскрытию каналов внутри пор. Поперечное сечение «Дюпюи» представляет собой отношение площадей, соответствующее пористости, указанной в таблице ОСП. Изображение «устья поры» показывает самое узкое сечение канала пор в пласте. 33 Расчетная пористость через типичное сечение слоев частиц Данные начинаются с поперечного сечения тела пор (0 мм) и переходят через поровое отверстие пласта в следующее поровое тело. Изображения НД выделены желтыми маркерами вдоль кривых. На каждый 1 мм длины слоя A3 и B3 приходится по одному сегменту сужения, а C1 и D3 — по два. Плавные линии показывают теоретические доли пустот, которые были бы в результате, если бы частицы были гладкими и симметричными. 34 Результаты течения флюида по Хасслеру Результаты регрессии методом наименьших квадратов для масла EXXSOL D60 для образцов A, B, C и D и для дистиллированной воды для образца A3. 𝑖 - количество измерений, включенных в регрессию. Количество измерений в линейной регрессии включает только линейные данные и варьируется в зависимости от начала критической скорости. Вязкость масла и дистил. воды составляет 1,38 и 0,994 МПа∙с соответственно. Плотность нефти и дистил. воды составляет 790 кг/м3 и 998 кг/м3 . 35 Экспериментальные результаты испытаний многоточечного течения флюида по Хасслеру для масла EXXSOL D60. Для образцов A, B, C и D, включая все 23 дубликата. Данные представлены в виде зависимости потери перепада давления на единицу длины от приведенной скорости, ∆𝑃 𝐿 от диапазона скоростей испытаний 0,00121–0,0275 м/с (7,25–165 мл/мин). 36 Экспериментальные результаты испытаний многоточечного течения флюида по Хасслеру для масла EXXSOL D60. Аппроксимация линейной регрессии методом наименьших квадратов показана пунктирными линиями на рисунках a, c, e и g, тогда как подбор полиномиальной регрессии методом наименьших квадратов показана сплошными линиями на рисунках b, d, f и h. Результаты регрессии представлены в таблице результатов регрессии методом наименьших квадратов для масла EXXSOL D60. 37 Экспериментальные результаты для масла EXXSOL D60 и дистиллированной воды, полученные в многоточечном течении флюида по Хасслеру Диапазон скоростей испытаний 0,00121 – 0,0275 м/с (7,25–165 мл/мин). 38 Заключение Представленные эксперименты демонстрируют, что применение методов AM, КТ и анализа изображений представляет собой улучшение в исследованиях пористых сред. Эта комбинация 3D-технологий улучшает сбор и интерпретацию данных и способствует новому пониманию явления течения жидкости через пористую среду. Новое аналитическое уравнение Навье-Стокса дает геометрические коэффициенты, которые согласуются с наблюдаемой геометрией трехмерных образцов. Уравнение учитывает и в некоторой степени изменяет некоторые часто применяемые допущения о потоке пористой среды. Эффекты шероховатости поверхности не влияют на поведение течения в течениях Дарси или Форхгеймера. Переход от потока Дарси к потоку Форхгеймера в значительной степени определяется соотношением сужения канала поры и тела поры. 50 Спасибо за внимание! По вопросам: lee.violetta19@gmail.com sunnat.ruziyev@mail.ru