__Министерство науки и высшего образования Российской Федерации_____
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Институт _________________________________________________________
Кафедра __________________________________________________________
Направление подготовки
__________________________________________________________________
Дисциплина: Математический анализ
КУРСОВАЯ РАБОТА
Гиперболические функции
Выполнил студент: ____________________________
Группа _______________________________________
Проверил:
_____________________________________________
_____________________________________________
Оценка _____________________________
Подпись преподавателя _______________
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................... 2
1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ............................................................................ 5
1.1. Гиперболические функции и их свойства........................................................... 5
1.1.1. Определение гиперболического синуса и его важнейшие свойства ......... 6
1.1.2. Определение гиперболического косинуса и его важнейшие свойства ..... 9
1.1.3. Определение гиперболического тангенса и его важнейшие свойства ... 13
1.1.4. Определение гиперболического котангенса и его важнейшие свойства 17
1.2. Тождества, связанные с гиперболическими функциями ................................. 19
1.3. Нахождение производных функций, которые содержат гиперболические
функции ....................................................................................................................... 21
1.4. Нахождение неопределенных интегралов от функций, которые содержат
гиперболические функции ........................................................................................ 22
2. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ, СВЯЗАННЫХ С
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ, ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ....................... 24
2.1. Построение гиперболических функций ............................................................ 24
2.2. Производные гиперболических функций ......................................................... 29
2.3. Интегралы от гиперболических функций ......................................................... 30
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .............................................................................................................. 33
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ..................................................... 34
2
ВВЕДЕНИЕ
Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах
английского
математика
Абрахама де Муавра
(1707,
1722).
Современное
определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в
1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: sh, ch. При
введении понятий гиперболических функций — Риккати исходил из рассмотрения
единичной
гиперболы.
Винсент Риккати (итал.
Vincenzo
11 января 1707, Кастель-Франко — 17 января 1775, Тревизо)
—
de
Riccati;
итальянский
математик, иностранный почетный член Петербургской Академии Наук с
17 января 1760 года. Известен как создатель гиперболических функций. Отец
Винсента Якопо Франческо Риккати (в честь которого названо уравнение Риккати)
был одним из крупных итальянских математиков того времени. Винсент Риккати
унаследовал интересы отца в области дифференциальных уравнений, которые
естественно возникали при решении геометрических задач. Это привело его к
изучению конических сечений в декартовых координатах и к заинтересованности в
изучении гиперболы.
Независимое
открытие
и
дальнейшее
исследование
свойств
гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который
установил
широкий
параллелизм
формул
обычной
и
гиперболической
тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм,
пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой
круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую. В обозначениях
гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в
Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp, в
русскоязычной литературе закрепились обозначения sh, ch, в англоязычной
закрепились sinh, cosh.
3
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных
интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций,
содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен
переменных с использованием гиперболических функций.
Аналогично тому, как матрицы вида ( 𝑐𝑜𝑠𝑥
−𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
) , описывают повороты
𝑐𝑜𝑠𝑥
двумерного евклидова пространства, матрицы (𝑐ℎ𝑥 𝑠ℎ𝑥 ), описывают повороты в
𝑠ℎ𝑥
𝑐ℎ𝑥
простейшем двумерном пространстве Минковского.
В
связи
с
этим
гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.
Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы,
𝑥
приобретает форму графика функции 𝑦 = 𝑎𝑐ℎ 𝑎 . Это обстоятельство используется
при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевернутой цепной
линии наиболее эффективно распределяет нагрузку. [5]
Таким образом появилась необходимость систематизации и выделения
единого обозначения для гиперболических функций.
Цель исследования – изучить свойства гиперболических функций и их
применение к решению задач.
Задачи исследования:
1. Изучить литературу и дать понятие о гиперболических функциях.
2. Рассмотреть все
виды гиперболических
функций,
изучить их основные
свойства и графики.
3. Рассмотреть производные гиперболических функций.
4. Научиться применять гиперболические функции при вычислении интегралов.
4
1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.1. Гиперболические функции и их свойства
Определение 1: Гиперболические функции — семейство элементарных
функций,
выражающихся
через
экспоненту
и
тесно
связанных
с
тригонометрическими функциями.
Гиперболическими функциями называются следующие функции:
1) гиперболический синус :
𝑠ℎ𝑥 =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
(1)
2) гиперболический косинус :
𝑐ℎ𝑥 =
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
(2)
3) гиперболический тангенс:
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
𝑡ℎ𝑥 = 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
(3)
4) гиперболический котангенс :
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
𝑐𝑡ℎ𝑥 = 𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
(4)
Функции shx; thx; chx определены для всех значений x. Функция cthx
определена всюду, за исключением точки x = 0. Гиперболические функции
непрерывны во всех точках, где они определены. [1, c.5]
1.1.1. Определение гиперболического синуса и его важнейшие свойства
5
Определение 2: Гиперболическим синусом называется
;
-∞<x< ∞,-∞<y<∞.
(5)
1. Область определения: D(y) = (-∞;∞).
2. Множество значений: E(y) = (-∞;+∞).
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: не периодическая.
5. Нули функции: x=0.
6. Промежутки
знакопостоянства:
функция
отрицательна
для
xϵ(-∞;0),
положительна – для xϵ(0;+ ∞).
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений
функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех xϵ(-∞;+∞)
9. Точки пересечения с осями координат: (0,0).
10. Асимптоты: асимптот не имеет.
11. График функции изображен на рисунке 1.1.
6
Рис. 1.1.
Важные свойства гиперболического синуса
Свойство четности:
Теорема 1:
(6)
Доказательство:
Если провести замену аргумента (х) на (-х), то получим
𝑠ℎ(−𝑥) =
𝑒 −𝑥 −𝑒 𝑥
2
=−
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
Что доказывает нечетность функции sh (x).
Формула сложения:
7
= −𝑠ℎ(𝑥)
(7)
Теорема 2:
𝑠ℎ(𝑥 + 𝑦) = 𝑠ℎ𝑥𝑐ℎ𝑥 + 𝑠ℎ𝑦𝑐ℎ𝑥
(8)
𝑠ℎ(𝑥 − 𝑦) = 𝑠ℎ𝑥𝑐ℎ𝑥 − 𝑠ℎ𝑦𝑐ℎ𝑥
(9)
Доказательство:
Перемножая отдельно левые и правые части этих тождеств, составим
следующие выражения [2, c.14-18]:
1
1
1
𝑠ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦 = 2 (𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) ⋅ 2 (𝑒 𝑦 + 𝑒 −𝑦 ) = 4 (𝑒 𝑦+𝑥 + 𝑒 −𝑥+𝑦 − 𝑒 −𝑦+𝑥 − 𝑒 −𝑥−𝑦 )
(10)
1
𝑠ℎ𝑦𝑐ℎ𝑥 = 4 (𝑒 𝑦+𝑥 + 𝑒 −𝑥+𝑦 − 𝑒 −𝑦+𝑥 − 𝑒 −𝑥−𝑦 )
(11)
Теперь легко найти, что
1
𝑠ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦 + 𝑐ℎ𝑥𝑠ℎ𝑦 = 2 (𝑒 𝑥+𝑦 − 𝑒 −𝑥−𝑦 ) = 𝑠ℎ(𝑥 + 𝑦)
(12)
Таким образом, 𝑠ℎ(𝑥 + 𝑦) = 𝑠ℎ𝑥𝑐ℎ𝑥 + 𝑠ℎ𝑦𝑐ℎ𝑥 .
Формулы двойного угла:
Теорема 3:
2𝑡ℎ𝑥
(13)
𝑠ℎ2𝑥 = 2𝑐ℎ𝑥𝑠ℎ𝑥 = 1−𝑡ℎ2𝑥
Доказательство:
1+𝑡ℎ2 𝑥
1
𝑐𝑡ℎ2𝑥 = 2 (𝑡ℎ𝑥 + 𝑐𝑡ℎ𝑥)𝑐ℎ2𝑥 = 𝑐ℎ2 𝑥 + 𝑠ℎ2 𝑥 = 2𝑐ℎ2 − 1 = 1 + 𝑠ℎ2 𝑥 = 1−𝑡ℎ2𝑥 𝑡ℎ𝑥 =
𝑐ℎ2𝑥−1
𝑠ℎ2𝑥
𝑠ℎ2𝑥
1+𝑐ℎ2𝑥
𝑡ℎ2𝑥 =
2𝑡ℎ𝑥
1+𝑡ℎ2𝑥
𝑐ℎ2𝑥 ± 𝑠ℎ2𝑥 = (𝑠ℎ𝑥 ± 𝑐ℎ𝑥)2
Формула понижения степени:
8
=
(14)
(15)
(16)
[1, c.14]
1.1.2. Определение гиперболического косинуса и его важнейшие свойства
Определение 3: Гиперболическим косинусом называется функция
(17)
1. Область определения: D(y)=(-∞;∞)
2. Множество значений: E(y)=[1;+∞)
3. Четность и нечетность: четная.
4. Периодичность: не периодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: функция положительна для xϵ(-∞;+∞).
7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция
принимает при x=0.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при
возрастает – при xϵ(0;+∞).
9
xϵ(-∞;0);
9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Oy в точке y=1, ось Ox не
пересекает.
10. Асимптоты: асимптот не имеет
11. График функции изображен на рисунке 1.2.
Рис 1.2.
10
Важные свойства гиперболического косинуса
Свойство четности:
Теорема 4:
(18)
𝑐ℎ(−𝑥) = 𝑐ℎ(𝑥)
Доказательство:
Если провести замену аргумента (х) на (-х), то получим
𝑐ℎ(−𝑥) =
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
=
𝑒 −𝑥 +𝑒 𝑥
2
= 𝑐ℎ(𝑥)
(19)
Что доказывает четность функции ch (x).
Формула сложения:
Теорема 5:
𝑐ℎ(𝑥 + 𝑦) = 𝑐ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦 + 𝑠ℎ𝑦 + 𝑠ℎ𝑥
(20)
𝑐ℎ(𝑥 − 𝑦) = 𝑐ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦 − 𝑠ℎ𝑦 + 𝑠ℎ𝑥
(21)
Доказательство:
Формула (20) выводится следующим образом. Из определения имеем:
(22)
(23)
11
Перемножая, отдельно левые и правые части этих тождеств, составим
выражение:
1
𝑐ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦 = 4 (𝑒 𝑥+𝑦 + 𝑒 𝑥−𝑦 + 𝑒 −𝑥+𝑦 + 𝑒 −𝑥−𝑦 )
(24)
Далее получаем следующее:
(25)
Таким образом формула сложения гиперболического косинуса проверена. [1, c.11]
Формула двойного угла:
Теорема 6:
(26)
Доказательство :
Для того, чтобы доказать формулу(26) заменим в формуле (20) y на x.
𝑐ℎ(𝑥 + 𝑦) = 𝑐ℎ(𝑥) ∙ 𝑐ℎ(𝑦) + 𝑠ℎ(𝑥) ∙ 𝑠ℎ(𝑦), получаем, что
𝑐ℎ(𝑥 + 𝑥) = 𝑐ℎ(𝑥) ∙ 𝑐ℎ(𝑥) + 𝑠ℎ(𝑥) ∙ 𝑠ℎ(𝑥)
𝑐ℎ(𝑥 + 𝑥) = 𝑐ℎ(𝑥)2 + 𝑠ℎ(𝑥)2
Формула понижения степени:
(27)
[1, c.14]
12
1.1.3. Определение гиперболического тангенса и его важнейшие свойства
Определение 4: Гиперболический тангенс определяются через отношение
гиперболического синус и косинуса.
Гиперболическим тангенсом называется функция
(28)
(29)
1. Область определения: D(y) = (-∞;x).
2. Множество значений: E(y) = (-1;1).
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: не периодическая.
5. Нули функции: x=0.
6. Промежутки
знакопостоянства:
функция
отрицательна
для
xϵ(-∞;0);
положительна – для xϵ(0;+∞).
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений
функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для xϵ(-∞;+∞).
9. Точки пересечения с осями координат: (0;0).
13
10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты y= -1 и y=1.
11. График функции изображен на рисунке 1.3.
Рис. 1.3.
14
Важные свойства гиперболического тангенса
Свойство четности:
Теорема 7:
th(-x)=-th(x)
(30)
Доказательство:
Если провести замену аргумента (х) на (-х), то получим
(31)
Доказали, что функция нечетная.
Формула сложения :
Теорема 8:
(32)
Доказательство:
Если разделить формулу (8) на (20), то получим :
𝑡ℎ𝑥+𝑡ℎ𝑦
(33)
𝑡ℎ𝑥−𝑡ℎ𝑦
(34)
𝑡ℎ(𝑥 + 𝑦) = 1+𝑡ℎ𝑥𝑡ℎ𝑦
Заменив в формуле (33) y на -y, будем иметь :
𝑡ℎ(𝑥 − 𝑦) = 1−𝑡ℎ𝑥𝑡ℎ𝑦
15
Произведение тангенсов гиперболических:
(35)
Формула суммы(разности) тангенсов гиперболических:
Теорема 9:
𝑠ℎ𝑥
𝑠ℎ𝑦
𝑡ℎ𝑥 + 𝑡ℎ𝑦 = 𝑐ℎ𝑥 + 𝑐ℎ𝑦 =
𝑡ℎ𝑥 − 𝑡ℎ𝑦 =
𝑠ℎ(𝑥+𝑦)
(36)
𝑐ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦
𝑠ℎ(𝑥−𝑦)
(37)
𝑐ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦
Доказательство:
Складывая и вычитая равенства (8) и (9), имеем:
𝑠ℎ(𝑥 + 𝑦) + 𝑠ℎ(𝑥 − 𝑦) = 2𝑠ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦
(38)
𝑠ℎ(𝑥 + 𝑦) − 𝑠ℎ(𝑥 − 𝑦) = 2𝑠ℎ𝑦𝑐ℎ𝑥
(39)
а складывая и вычитая (20) и (21), получаем
𝑐ℎ(𝑥 + 𝑦) + 𝑐ℎ(𝑥 − 𝑦) = 2𝑐ℎ𝑥𝑐ℎ𝑦
(40)
𝑐ℎ(𝑥 + 𝑦) − 𝑐ℎ(𝑥 − 𝑦) = 2𝑠ℎ𝑥𝑠ℎ𝑦
(41)
Если положить 𝑥 + 𝑦 = 𝑎, 𝑥 − 𝑦 = 𝑏
то 𝑥 =
𝑎+𝑏
2
,𝑦=
𝑎−𝑏
2
и равенства примут вид:
𝑠ℎ𝑎 + 𝑠ℎ𝑏 = 2𝑠ℎ
𝑐ℎ𝑎 + 𝑐ℎ𝑏 = 2𝑐ℎ
𝑎+𝑏
2
𝑎+𝑏
2
𝑐ℎ
𝑐ℎ
𝑎−𝑏
2
𝑎−𝑏
2
(42)
𝑠ℎ𝑎 − 𝑠ℎ𝑏 = 2𝑐ℎ
(44)
𝑐ℎ𝑎 − 𝑐ℎ𝑏 = 2𝑠ℎ
[2, c.11-15]
Формула двойного угла:
Теорема 10:
16
𝑎+𝑏
2
𝑎+𝑏
2
𝑠ℎ
𝑠ℎ
𝑎−𝑏
2
𝑎−𝑏
2
(43)
(45)
(46)
Доказательство:
Положим в формуле (36) x=y.
Имеем
𝑡ℎ𝑥+𝑡ℎ𝑥
2𝑡ℎ𝑥
(47)
𝑡ℎ(𝑥 + 𝑥) = 1+𝑡ℎ𝑥𝑡ℎ𝑥 = 1+𝑡ℎ2 𝑥
[2, c.14]
1.1.4. Определение гиперболического котангенса и его важнейшие свойства
Определение 5: Гиперболическим котангенсом называется функция
𝑐ℎ𝑥
𝑐𝑡ℎ𝑥 = 𝑠ℎ𝑥 , т.е.
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
(48)
𝑐𝑡ℎ𝑥 = 𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
1. Область определения: D(y) = (-∞ ; 0) ᴗ (0;+∞).
2. Множество значений: E(y) = (-∞;-1) ᴗ (1; +∞).
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: не периодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки
знакопостоянства:
функция
положительна – для xϵ(0;+∞).
17
отрицательна
для
xϵ(-∞;0);
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений
функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает для xϵD(-∞,0) и
xϵD(0,+∞).
9. Точки пересечения с осями координат: нет.
10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты y = -1 и y = 1.
11. График функции изображен на рисунке 1.4.
Рис. 1.4.
Важные свойства гиперболического котангенса
Свойство четности:
18
Теорема 11:
cth(-x)= -ctx(x)
(49)
Доказательство:
Если провести замену аргумента (х) на (-х), то получим
(50)
Тем самым мы доказали нечетность функции.
Формула сложения :
Теорема 12:
Разделив формулу (20) на (8), получим :
𝑐𝑡ℎ(𝑥 + 𝑦) =
𝑐𝑡ℎ𝑥𝑐𝑡ℎ𝑦+1
𝑐𝑡ℎ𝑥+𝑐𝑡ℎ𝑦
(51)
Заменив в формуле (51) y на -y, будем иметь
𝑐𝑡ℎ(𝑥 − 𝑦) =
𝑐𝑡ℎ𝑥𝑐𝑡ℎ𝑦−1
𝑐𝑡ℎ𝑥−𝑐𝑡ℎ𝑦
[1, c.14-18]
1.2. Тождества, связанные с гиперболическими функциями
19
(52)
Гиперболические функции обладают многими свойствами, аналогичными
свойствам тригонометрических функций, а именно [2, c.16-17; 4, c.32]:
Теорема 13:
𝑐ℎ2 𝑥 − 𝑠ℎ2 𝑥 = 1
(53)
Доказательство :
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
𝑐ℎ2 𝑥 = (
2
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 2
𝑠ℎ2 𝑥 = (
2
1
1
1
1
1
1
) = 4 𝑒 2𝑥 + 2 + 4 𝑒 −2𝑥 ;
) = 4 𝑒 2𝑥 − 2 + 4 𝑒 −2𝑥 ;
1
1
1
1
1
𝑐ℎ2 𝑥 − 𝑠ℎ2 𝑥 = 4 𝑒 2𝑥 + 2 + 4 𝑒 −2𝑥 + 2 − 4 𝑒 −2𝑥 = 1.
Теорема 14:
𝑡ℎ𝑥 ⋅ 𝑐𝑡ℎ𝑥 = 1, 𝑥 ≠ 0
(54)
Доказательство :
𝑠ℎ𝑥
𝑡ℎ𝑥 = 𝑐ℎ𝑥
𝑐ℎ𝑥
𝑐𝑡ℎ𝑥 = 𝑠ℎ𝑥
𝑠ℎ𝑥
𝑐ℎ𝑥
𝑡ℎ𝑥 ⋅ 𝑐𝑡ℎ𝑥 = 𝑐ℎ𝑥 ⋅ 𝑠ℎ𝑥 = 𝑠ℎ2 𝑥 ⋅ 𝑐ℎ2 𝑥 = 1
1
1 − 𝑡ℎ2 𝑥 = 𝑐ℎ2𝑥
1
𝑐𝑡ℎ2 𝑥 − 1 = 𝑠ℎ2 𝑥 , 𝑥 ≠ 0
(55)
(56)
1.3. Нахождение производных функций, которые содержат гиперболические
функции
Правила дифференцирования гиперболических функций непосредственно
вытекают из определений этих функций [3, c.99]:
20
(57)
(58)
(59)
(60)
Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку
гиперболические функции являются комбинациями 𝑒 𝑥 и 𝑒 −𝑥 . Например,
гиперболические синус и косинус определяются как.
𝑠ℎ𝑥 =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
, 𝑐ℎ𝑥 =
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
Производные этих функций имеют вид
(𝑠ℎ𝑥)′ = (
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
)′ =
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
= 𝑐ℎ𝑥 , (𝑐ℎ𝑥)′ = (
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
)′ =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
= 𝑠ℎ𝑥.
Выведем производную гиперболического тангенса:
(𝑡ℎ𝑥)′ = (
(𝑠ℎ𝑥)′𝑐ℎ𝑥 − 𝑠ℎ𝑥(𝑐ℎ𝑥)′ 𝑐ℎ𝑥 ⋅ 𝑐ℎ𝑥 − 𝑠ℎ𝑥 ⋅ 𝑠ℎ𝑥 𝑐ℎ2 𝑥 − 𝑠ℎ2 𝑥
𝑠ℎ𝑥
)′ =
=
=
.
𝑐ℎ𝑥
𝑐ℎ2 𝑥
𝑐ℎ2 𝑥
𝑐ℎ2 𝑥
Известно, что для гиперболических синуса и косинуса справедливо соотношение
𝑐ℎ2 𝑥 − 𝑠ℎ2 𝑥 = 1.
Поэтому производная гиперболического тангенса записывается в виде
𝑐ℎ2 𝑥 − 𝑠ℎ2 𝑥
1
(𝑡ℎ𝑥)′ =
=
.
𝑐ℎ2 𝑥
𝑐ℎ2 𝑥
Аналогичным образом можно получить формулу производной котангенса:
(𝑐ℎ𝑥)′𝑠ℎ𝑥 − 𝑐ℎ𝑥(𝑠ℎ𝑥)′
𝑐ℎ𝑥
𝑐ℎ2 𝑥 − 𝑠ℎ2 𝑥
1
(𝑐𝑡ℎ𝑥)′ = (
)′ =
=
−
=
−
.
𝑠ℎ𝑥
𝑠ℎ2 𝑥
𝑠ℎ2 𝑥
𝑠ℎ2 𝑥
21
Как видно, производные гиперболических функций очень похожи на
производные тригонометрических функций. Однако важно отметить различие
в знаках! Если производная косинуса равна (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 , то у производной
гиперболического косинуса знак "минус" отсутствует: (𝑐ℎ𝑥)′ = 𝑠ℎ𝑥
1.4. Нахождение неопределенных интегралов от функций, которые содержат
гиперболические функции
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных
интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций,
содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен
переменных с использованием гиперболических функций [2, c.192].
Наиболее важные формулы интегрирования гиперболических функций
имеют вид:
Теорема 15:
∫ 𝑠ℎ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥 + 𝐶
(61)
Доказательство:
∫ 𝑐ℎ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠ℎ𝑥 + 𝐶
Теорема 16:
∫ 𝑐ℎ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠ℎ𝑥 + 𝐶
Доказательство:
∫ 𝑠ℎ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥 + 𝐶
22
(62)
Теорема 17:
∫ 𝑡ℎ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑐ℎ𝑥| + 𝐶
(63)
Доказательство:
∫ 𝑡ℎ 𝑥𝑑𝑥 = ∫
𝑠ℎ𝑥
𝑑(𝑐ℎ𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
= 𝑙𝑛|𝑐ℎ𝑥| + 𝐶
𝑐ℎ𝑥
𝑐ℎ𝑥
Теорема 18:
∫ 𝑐𝑡ℎ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑠ℎ𝑥| + 𝐶
(64)
Доказательство:
∫ 𝑐𝑡ℎ 𝑥𝑑𝑥 = ∫
𝑐ℎ𝑥
𝑑(𝑠ℎ𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
= 𝑙𝑛|𝑠ℎ𝑥| + 𝐶
𝑠ℎ𝑥
𝑐ℎ𝑥
Теорема 19:
𝑑𝑥
(65)
∫ 𝑐ℎ2 𝑥 = 𝑡ℎ𝑥 + 𝐶
Доказательство:
𝑥
2𝑡ℎ (2)
𝑑𝑥
∫ 2 =
= 𝑡ℎ𝑥 + 𝐶
𝑐ℎ 𝑥 𝑡ℎ2 (𝑥) + 1
2
Теорема 20:
𝑑𝑥
∫ 𝑠ℎ2 𝑥 = −𝑐𝑡ℎ𝑥 + 𝐶
Доказательство:
𝑑𝑥
1
𝑥
∫ 𝑠ℎ2 𝑥 = − 2 𝑡ℎ (2) −
1
𝑥
2
2𝑡ℎ( )
= −𝑐𝑡ℎ𝑥 + 𝐶
2. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ, СВЯЗАННЫХ С
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ, ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
2.1. Построение гиперболических функций
Пример 1:
23
(66)
Построить график функции:𝑦(𝑥) = (𝑐ℎ𝑥)−1
Решение:
Таблица точек
График
X
Y
-9
0
-5
0,013
-4
0,037
-3
0,099
-2
0,266
-1
0,648
0
1
1
0,648
2
0,266
3
0,099
4
0,037
5
0,013
9
0
Рис. 2.1.
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 0}
График построен с помощью онлайн сервиса http://www.yotx.ru/
Пример 2:
Построить график функции:𝑦(𝑥) =
1
2𝑐𝑡ℎ(
1
)
2𝑥
24
Решение:
Таблица точек
График
X
Y
-8
-0,03
-7
-0,04
-6
-0,04
-5
-0,05
-4
-0,06
-3
-0,08
-2
-0,12
-1
-0,23
Рис. 2.2.
0
-
1
0,23
2
0,12
3
0,08
4
0,06
5
0,05
6
0,04
7
0,04
8
0,03
25
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 0}, {𝑦 ∈ ℝ: −
1
< 𝑦 < 0}
2
График построен с помощью онлайн сервиса http://www.yotx.ru/
Пример 3:
Построить график функции:𝑦(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑠ℎ(2𝑥) ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝑥))
Решение:
Таблица точек
График
X
Y
-10
-
-9
16,42
-8
15,3
-7
12,89
-6
-
-5
-
-4
-
-3
3,35
-2
3,21
-1
1,12
0
-
1
1,12
2
3,21
Рис. 2.3.
26
3
3,35
4
-
5
-
6
-
7
12,89
8
15,3
9
16,42
10
-
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ: (𝑠ℎ(2𝑥) ≠ 0, 𝑛 ⩽ 0, −𝜋 < 𝑥 − 2𝜋𝑛 < 0, 𝑛 ∈ ℤ)}
График построен с помощью онлайн сервиса http://www.yotx.ru/
Пример 4:
𝑥
Построить график функции:𝑦(𝑥) = 𝑠ℎ (𝑡ℎ 5) + 𝑐ℎ(𝑡ℎ𝑥)
Решение:
Таблица точек
График
X
Y
-9
0,45
-8
0,49
-7
0,54
-6
0,61
-5
0,71
-4
0,83
27
Рис. 2.4.
-3
0,97
-2
1,11
-1
1,11
0
1
1
1,5
2
1,89
3
2,1
4
2,26
5
2,38
6
2,48
7
2,55
8
2,6
9
2,64
𝐷(𝑓) − Всячисловаяось
График построен с помощью онлайн сервиса http://www.yotx.ru/
Пример 5:
Построить график функции:𝑦(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥𝑐𝑡ℎ(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) +
Решение:
28
1
(𝑐ℎ(𝑥))
2
−1
Таблица точек
График
X
Y
-9
1,09
-8
1,06
-7
1,05
-6
0,94
-5
0,66
-4
0,21
-3
-0,28
-2
-0,42
-1
0,04
0
-
1
0,04
2
-0,42
3
-0,28
4
0,21
5
0,66
6
0,94
7
1,05
8
1,06
9
1,09
Рис. 2.5.
29
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ 0, 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑐ℎ(𝑥) > 0}
График построен с помощью онлайн сервиса http://www.yotx.ru/
2.2. Производные гиперболических функций
Пример 1:
𝑦 = 𝑥𝑠ℎ𝑥 − 𝑐ℎ𝑥
Решение. Применяя правила дифференцирования разности и произведения
функций, имеем:
𝑦′(𝑥) = (𝑥𝑠ℎ𝑥 − 𝑐ℎ𝑥)′ = (𝑥𝑠ℎ𝑥)′ − (𝑐ℎ𝑥)′ = 𝑥′𝑠ℎ𝑥 + 𝑥(𝑠ℎ𝑥)′ − (𝑐ℎ𝑥)′ =
1 ⋅ 𝑠ℎ𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑐ℎ𝑥 − 𝑠ℎ𝑥 = 𝑠ℎ𝑥 + 𝑥𝑐ℎ𝑥 − 𝑠ℎ𝑥 = 𝑥𝑐ℎ𝑥
Пример 2:
𝑦 = 𝑐𝑡ℎ
1
𝑥
Решение. Дифференцируя как сложную функцию, находим:
1
𝑐𝑠𝑐ℎ2 (𝑥)
1
1
1
1
1
𝑦′(𝑥) = (𝑐𝑡ℎ ) ′ = −𝑐𝑠𝑐ℎ2 ( ) ⋅ ( ) ′ = −𝑐𝑠𝑐ℎ2 ( ) ⋅ (− 2 ) =
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥2
Пример 3:
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠ℎ𝑥), 𝑥 > 0
Решение.
𝑦′(𝑥) = [𝑙𝑛(𝑠ℎ𝑥)]′ =
1
𝑐ℎ𝑥
⋅ (𝑠ℎ𝑥)′ =
= 𝑡𝑔ℎ𝑥
𝑠ℎ𝑥
𝑠ℎ𝑥
Пример 4:
𝑦 = 𝑠ℎ(𝑡𝑔ℎ𝑥)
30
Решение. Дифференцируя как сложную функцию, находим:
𝑦′(𝑥) = [𝑠ℎ(𝑡𝑔𝑥)]′ = 𝑐ℎ(𝑡𝑔𝑥)′ ⋅ (𝑡𝑔𝑥)′ = 𝑐ℎ(𝑡𝑔𝑥) ⋅
1
𝑐ℎ(𝑡𝑔𝑥)
𝜋
=
,
где𝑥
≠
+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
2
Пример 5:
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑐ℎ𝑥) +
1
2𝑐ℎ2 𝑥
Решение. Используя линейные свойства производной и правило
дифференцирования сложной функции, имеем:
𝑦′(𝑥) = [𝑙𝑛(𝑐ℎ𝑥) +
1
1
1
1
2
)′ =
] ′ = (𝑙𝑛(𝑐ℎ𝑥))′ + (
⋅ (𝑐ℎ𝑥)′ + ⋅ (− 3 ) ⋅ (𝑐ℎ𝑥)′ =
2
2
2𝑐ℎ 𝑥
2𝑐ℎ 𝑥
𝑐ℎ𝑥
2
𝑐ℎ 𝑥
𝑠ℎ𝑥 2𝑠ℎ𝑥
1
1
(1
)
−
=
𝑡𝑔ℎ𝑥
−
𝑡𝑔ℎ𝑥
⋅
=
𝑡𝑔ℎ𝑥
−
𝑐ℎ𝑥 2𝑐ℎ3 𝑥
𝑐ℎ2 𝑥
𝑐ℎ2 𝑥
Используя равенство (55)
1−
1
= 𝑡𝑔ℎ2 𝑥,
𝑐ℎ2 𝑥
получаем следующий ответ:
𝑦′(𝑥) = 𝑡𝑔ℎ𝑥 (1 −
1
) = 𝑡𝑔ℎ𝑥 ⋅ 𝑡𝑔ℎ2 𝑥 = 𝑡𝑔ℎ3 𝑥
𝑐ℎ2 𝑥
2.3. Интегралы от гиперболических функций
Пример 1:
∫ 𝑠ℎ3 𝑥𝑑𝑥
Решение.
Поскольку, 𝑐ℎ2 𝑥 − 𝑠ℎ2 𝑥 = 1 , и следовательно 𝑠ℎ2 𝑥 = 𝑐ℎ2 𝑥 − 1 , интеграл можно
переписать в виде
𝐼 = ∫ 𝑠ℎ3 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠ℎ2 𝑥𝑠ℎ𝑥 = ∫(𝑐ℎ2 𝑥 − 1) 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥
31
Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем
𝑢3
𝑐ℎ3 𝑥
𝐼 = ∫(𝑐ℎ 𝑥 − 1) 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑢 − 1) 𝑑𝑢 =
−𝑢+𝐶 =
− 𝑐ℎ𝑥 + 𝐶
3
3
2
2
Пример 2:
∫ 𝑥 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥
Решение.
Используем интегрирование по частям:∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Пусть u=x, dv=sh xdx. Тогда 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑣 = ∫ 𝑠ℎ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥
В результате находим интеграл ∫ 𝑥 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑐ℎ𝑥 − ∫ 𝑐ℎ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑐ℎ𝑥 − 𝑠ℎ𝑥 + 𝐶
Пример 3:
∫ 𝑒 𝑥 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥
Решение.
Так как 𝑠ℎ𝑥 =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
, то интеграл равен
∫ 𝑒 𝑥 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥
1
1 1
𝑒 2𝑥 𝑥
𝑑𝑥 = ∫(𝑒 2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ( 𝑒 2𝑥 − 𝑥) + 𝐶 =
− +𝐶
2
2
2 2
4
2
Пример 4:
∫
𝑑𝑥
1 + 𝑐ℎ𝑥
Решение.
По определению 𝑐ℎ𝑥 =
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
Подставляя это в интеграл, получаем
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2𝑑𝑥
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑑(𝑒 𝑥 + 1)
∫
=∫
=∫
= 2∫ 𝑥
= 2∫ 𝑥
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
(𝑒 + 1)2
1 + 𝑐ℎ𝑥
2 + 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
2𝑒 + 𝑒 2𝑥 + 1
1+
2
2
=− 𝑥
+𝐶
𝑒 +1
32
Пример 5:
∫ 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
Решение.
Интегрируем по частям. Полагаем
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥, ⇒ 𝑑𝑢 = −𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥, 𝑣 = ∫ 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥
Интеграл принимает вид:
∫ 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ 𝑐ℎ𝑥(−𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑐ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем
𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑐ℎ𝑥𝑑𝑥, ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥, 𝑣 = ∫ 𝑐ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝑠ℎ𝑥
Получаем
∫ 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ 𝑐ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + (𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠ℎ𝑥 − ∫ 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥)
Решая полученное уравнение относительно ∫ 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 , находим ответ
∫ 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 =
𝑐ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
2
33
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В рамках данного исследования мы рассмотрели основные гиперболические
функции и их применение при дифференцировании и интегрировании.
Были решены следующие задачи:
1. Были изучены и систематизированы теоретические сведения о гиперболических
функциях.
2. На
основании
изученной
литературы
были
рассмотрены
все
виды
гиперболических функций и изучены их основные свойства и графики.
3. Рассмотрены производные гиперболических функций.
4. Рассмотрено
применение
гиперболических
функций
при
вычислении
интегралов.
Таким образом, решая задачи, можно сделать вывод о значимости
гиперболических функций в математическом анализе. Они необходимы для более
простого дифференцирования функций. Так-же гиперболические функции часто
встречаются при вычислении различных интегралов.
34
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Штаерман И. Я. Гиперболические функции / И. Я. Штаерман. — Москва;
Ленинград : ОНТИ, 1935. — 55 с.
2. Янпольский А. Р. Гиперболические функции / А. Р. Янпольский. — Москва :
Физматгиз, 1960. — 195 с.
3. Петрушко И. М. Курс высшей математики : Введение в математический
анализ / И. М. Петрушко. — СПб. : Лань, 2009. — 288 с.
4. Шерватов В. Г. Гиперболические функции / В. Г. Шерватов. — Москва :
Гос. изд. физ.-матем. Лит., 1958. — 56 с.
5. Никольский С. М. Высшая
математика [Электронный ресурс] / С. М.
Никольский. — Режим доступа : https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/116814
35