15.3 Геометрические характеристики приведенного сечения

Лекция №15
Напряжения в стержнях, составленных из неоднородных и композитных
материалов.
15.1 Неоднородные и композитные материалы
15.2 Приведенное сечение. Нормальные напряжения в неоднородном сечении
15.3 Геометрические характеристики приведенного сечения изгибаемого
стержня
15.4 Вычисления нормальных напряжений в сечении сталежелезобетонной
балки.
15.5 Расчет балок переменного сечения методом конечных разностей.
15.1 Неоднородные и композитные материалы
В строительстве часто используются стержни, составленные из
различных материалов. Типичным примером является железобетонный
стержень или балка, в поперечном сечении которых объединены сечения
бетонного стержня с модулем упругости бетона Е б и стальных стержней
(арматуры), имеющих модуль Ес (рис.15.1,а). Применяют так называемые
сталежелезобетонные балки, где в сжатой зоне при изгибе располагают
железобетонную плиту (хорошо работают на сжатие), а в нижней растянутой
зоне – стальные балки. Поперечное сечение сталежелезобетонной балки
показано на рис. 15.1,б. При этом стальная и бетонные части указанных
стержней на всей длине хорошо соединены между собой либо за счет сил
сцепления, либо путем создания специальных устройств (упоры, отгибы и
т.п.). Поэтому они работают при продольных деформациях стержня
совместно, как единое монолитное сечение.
Рис. 15.1 Примеры сечений из неоднородных материалов
Это означает, что в целом к такому составному сечению применима
гипотеза плоских сечений. Будем так же считать справедливой и гипотезу о
ненадавливании продольных волокон в поперечном сечении.
В настоящее время во многих областях техники применяют
композитные материалы. Идея здесь состоит в том, что при создании
комбинированного материала основу армируют большим количеством
тонких нитей, из другого материала, более прочного и жесткого. В
результате возникает возможность получить стержень, имеющий в
наиболее нагруженных частях сечения материал с повышенными упругими и
прочностными характеристиками (рис. 15.1,в).
15.2 Приведенное сечение. Нормальные напряжения в неоднородном
сечении.
В расчетах стержней, составленных из неоднородных материалов,
используется понятие приведенного сечения. Суть его состоит в том, что
неоднородное сечение заменяется условным однородным, имеющим туже
геометрическую форму, но каждый элемент площади, которого изменен
(путем умножения на коэффициент приведения ni ) пропорционально
модулю упругости материала этого элемента. В результате стержень с
приведенным однородным сечением по упругим свойствам не будет
отличаться от неоднородного стержня.
Проиллюстрируем сказанное на примере центрального растяжения
стержня, составленного из двух материалов с модулями упругости Е1 , Е 2
(рис.15.2).
Рис. 15.2 Центральное растяжение неоднородного стержня
Относительная деформация  
l
 1  2
l
одинаковая для обоих
материалов (стержень единое целое, функция продольных перемещений
точек оси w(x ) является непрерывно дифференцируемой). Примем в
качестве основного материал с модулем E1 . Напряжения в точках
поперечного сечения равны:
E
n 2
E1
 1  E1  
 2  E2    nE1 x
(15.1)
Здесь n - коэффициент приведения материала 2 к материалу 1, принятому за
основной. Суммарную продольную силу с учетом (15.1) получим в виде
N   1dA1    2dA2  E1  dA1 nE1  dA2 1 Aпр ,
A1
где
A2
A1
A2
(15.2)
Aпр   dA1 n  dA2 A1  nA2
A1
(15.3)
A2
Из (15.2) получаем окончательные формулы для напряжений
N
,
1 
Aпр
N
2  n
 n1 .
Aпр
(15.4)
Для деформаций

dw 1
N
.


dx E1 E1 Aпр
(15.5)
Эпюра напряжений  в неоднородном сечении на границе двух
материалов имеет разрыв (скачок), так как в точках соприкасания
материалов при одинаковых деформациях соответствующие напряжения
отличаются в n раз (см.формулу (15.1) и рис.15.2).
15.3 Геометрические характеристики приведенного сечения изгибаемого
стержня
При построении физико-математической модели изгиба стержня были
введены допущения (формулы (8.1)):
 y 0
 z  0,
(15.6)
1

( x   ( y   z ))
x  x
E
E .
,
Из допущений (15.6) следует, что при изгибе каждое продольное волокно
балки работает в условиях одноосного растяжения – сжатия. Поэтому
приведенное сечение, его геометрические характеристики, формулы для
напряжений и деформаций будут строиться аналогично формулам (15.3),
(15.4) и (15.5).
Любая геометрическая характеристика приведенного сечения
получается как для однородного условного сечения, в котором каждый
элемент площади dAi материала с модулем Ei заменен на элемент
,
приведенной площади
x 
dAпр  ni dAi , где ni 
Ei
-коэффициент приведения
E1
i -го материала к основному (первому) материалу.
Например, моменты инерции приведенного сечения для неоднородного
стержня (рис. 15.3) определятся так:
2
2
(15.7)
J J n
J z  y dAпр    y ni dAi   J zi ni
A
i Ai
i
y
i
yi i
В формулах (15.7) оси z,y-главные центральные оси приведенного сечения,
для которых выполняются условия:
S z   ydAпр   S zi ni  0 ,
пр
S y   S yi ni  0 ,
пр
i
A
J zy   zydAпр   J zyi ni  0 .
пр
i
(15.8)
i
A
Координаты центра тяжести приведенного сечения относительно
произвольно выбранных осей z1 , y1 вычисляются по формулам:
zC 
S y1пр
yC 
Aпр
S z1пр
(15.9)
Aпр
В представленных формулах для основного материала (первого) n1  1 .
Рис.15.3 Деформации и напряжения в многослойном неоднородном стержне
Напряжение можно вычислить по трехчленной формуле
 i  ni (
M
N
M
 z y  y z) .
Aпр J z пр
J y пр
(15.10)
Напряжения, зависимости между кривизнами и моментами имеют вид:
 i  ni
Mz
y
J z пр
1
z

Mz
E1J z пр
1
y

My
E1J yпр
(15.11)
15.4 Вычисления нормальных напряжений в сечении
сталежелезобетонной балки.
Пример 15.1 Построить эпюру нормальных напряжений в среднем
сечении сталежелезобетонной балки, входящей в состав путепровода, от
временной нагрузки q=27,5 кН/м (рис. 15.4)
Рис. 15.4 Напряжения в сечении сталежелезобетонной балки
Решение. Из сортамента для двутавра №45 найдем площадь A =84,7 см2
, момент инерции J z =27697 см4. Арматурой плиты для простоты
пренебрегаем. Коэффициент приведения стали к бетону n  Ec / Eб  10 .
Площадь поперечного сечения будет
Апр  Аб  nAc =120*12+10*84,7=2287 см2=0,229 м2. Координата центра тяжести
приведенного сечения yC 
S z1п р
Aп р

nS z1c
Aп р

10  84.7  28.5
 =10,5 см=0,105м. Момент
2287
инерции относительно главной центральной оси
120  12 3
J zпп  J zб  п  J zс = (
 1440  10,5 2 )  10(27696  84,7  18 2 )  0,726  10 2 м4.
12
Расчетный изгибающий момент в среднем сечении M z ql 2 / 8 =27,5*82/8=220
кНм. Напряжение в бетонной части сечения  б M zпп y / J zпп 
При y=-0,165 м напряжение
 б =-5
220  10 3
y.
0.726  10 2
МПа, при y=0.405 найдем
б
=12,25 МПа. Эпюра  б в пределах высоты двутавра показана на рис. 15.4.
Если её ординаты умножить на коэффициент приведения n=10, то получим
соответствующее напряжение в стали  с =12,25*10=122,5 МПа.
15.5 Расчет балок переменного сечения методом конечных разностей.
В некоторых случаях интегрирование уравнения для прогибов в
аналитическом виде выполнить не удается. Так, в балках переменного
сечения (рис. 15.5) правая часть уравнения
V ( x)  
M z( x)
EJ z ( x)
(15.12)
является функцией координаты х и в общем случае непосредственное
интегрирование уравнения становится затруднительным.
Рис. 15.5 К определению прогибов в балке переменного сечения
Одним из эффективных численных методов решения данной задачи
является метод конечных разностей. Суть метода заключается в следующем.
Отрезок интегрирования [0; l ] разбивается на n участков, длиной h 
l
(на
n
рис 15.5 n  4 ). Координаты узловых точек полученной сетки связаны
формулой
x j  x j 1  h , ( j  1...n ); x0  0, xn  l .
(15.16)
Предварительно в узлах сетки вычисляются значения изгибающих моментов
и изгибной жесткости:
j 
EJ j  EJ ( x j ) ,
M j  M (x j ) ,
Mj
EJ j
.
(15.17)
Дифференциальное уравнение (15.12) записывается во внутренних узлах
сетки (в опорных узлах прогиб равен нулю)
V ( x j )   j , ( j  1...n  1) ; V ( x0 )  0 , V ( x n )  0 .
(15.18)
Значение второй производной в точке x j заменяют приближенно с помощью
формулы численного дифференцирования
V ( x j ) 
V ( x j 1 )  2V ( x j )  V ( x j )
h
2
 O( h 2 )
(15.19)
Соотношение (15.19) справедливо с точность до величин порядка h 2 . При
увеличение числа дискретных элементов (участков разбиения) погрешность
стремиться к нулю ( n   , h  0 ). С учетом формулы (15.19) уравнения
(15.8) можно записать в виде
V (x j )  V j ,
V0  0 ,
V j 1  2V j  V j 1
h
2
  j , V n 0 .
(15.20)
С учетом более компактных обозначений уравнения (15.20) примут вид
 j  h 2 j
V0  0 , V j 1  2V j  V j 1   j , V n 0 ,
(15.21)
При разбиении балки на шесть участков (n=6) система уравнений (15.21) в
матричной форме запишется так
AV   ,
(15.22)
где
(15.23)
Таким образом, решение дифференциального уравнения с
переменными коэффициентами (15.12) было сведено к решению системы
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений
прогибов V j ( j  1...n  1 ) в узлах сетки.
Пример 15.2 Для балки переменного сечения (рис. 15.5), у которой жесткость
изменяется по закону
EJ ( x)  EJ 0 [1  (
4
)  x  (l  x)] ,
l2
(15.24)
определить прогиб от равномерно распределенной нагрузки.
На рис 15.5 показано решение задачи при разбиении балки на четыре
части (n=4) (  0,  0.8 ). Погрешность решения (для балки
постоянного сечения 
Vmax
5ql 4
).

384 EJ 0
 0 ) составила 4,8% (точное решение