ДЕПАРТАМЕНТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТОМСКОЙ ОБЛАСТИ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ТОМСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ Методическая разработка самостоятельных работ по общеобразовательной учебной дисциплине: «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ» По теме: «Показательные уравнения» для специальностей СПО 09.02.02 «Компьютерные сети» 10.02.01 «Организация и технология защиты информации» 13.02.11 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования» 38.02.04 «Коммерция (по отраслям)» 42.02.01 «Реклама» 43.02.10 «Туризм» 43.02.11 «Гостиничное дело» Разработчик: Сороковенко И.Р., преподаватель математики ОГБПОУ «ТомИнТех» Томск-2017 г. 1 СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка.……………………..………………………………………………………..….4 Показательные уравнения …………………………..……………………………………….…… ..5-15 1. Виды показательных уравнений и способы их решения………………………………….…...…5-9 1.1. Простейшие показательные уравнения…………………………………………………………..5 1.2. Решение уравнений с использованием свойств степеней ……………………………………...7 1.3. Решение уравнений, сводящихся к простым методом замены переменной………………......8 1.4. Решение уравнений вынесением общего множителя за скобку …………………………….....8 1.5. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям методом замены переменной ………………………………………………………………………………………..9 2. Задания по теме «Показательные уравнения»….………………………………………………10-15 Задание №1. Простейшие показательные уравнения……………………………………………...10 Задание №2. Простейшие показательные уравнения……………………………………………...11 Задание №3. Простейшие показательные уравнения……………………………………………...12 Задание №4. Решение уравнений с использованием свойств степеней. Решение уравнений, сводящихся к простым методом замены переменной……………………..13 Задание №5. Решение уравнений вынесением общего множителя за скобки…………………...14 Задание №6. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям методом замены переменной……………………………………………………………………………………………15 Список литературы………………………………………………………………………………………16 2 Пояснительная записка В методической разработке по общеобразовательной учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» представлены самостоятельные работы по теме: «Показательные уравнения» для обучающихся в учебных заведениях системы СПО. Самостоятельные работы рассчитаны на внеклассные занятия обучающихся после прохождения соответствующей темы в учебном заведении. Самостоятельные работы разработаны на основании положений: - ФГОС среднего общего образования; - примерной программы по дисциплине «Математика», рекомендованной ФГАУ «ФИРО» (протокол № 3 от 21.07.2015г.); - рабочей программы общеобразовательной учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия». Задания в пособии распределены по уровням сложности: задания №1 и №2 - «Простейшие показательные уравнения» - минимальный уровень сложности, задание №3 - «Простейшие показательные уравнения» - средний уровень сложности и задания №4 - «Решение уравнений с использованием свойств степеней. Решение уравнений, сводящихся к простым методом замены переменной», №5 «Решение уравнений вынесением общего множителя за скобку» и №6 «Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям методом замены переменной» наиболее сложные. К каждому заданию приведены ответы. Самостоятельные работы обозначены: «Задание №1», «Задание №2» и т.д., Всего самостоятельных работ шесть. По усмотрению преподавателя работы можно делить или выполнять по столбцам (вариантам) по мере прохождения темы в зависимости от уровня успеваемости учащихся. Самостоятельные работы служат дополнением к аудиторным практическим занятиям по теме «Показательные уравнения», и разработаны с целью закрепления, обобщения и систематизации знаний учащихся по данной теме, и соответственно, для более качественной подготовки к итоговому экзамену. Данные самостоятельные работы не предполагают оценку и могут быть использованы для работы с учащимися, пропустившими занятия по теме «Показательные уравнения», или как домашнее задание. В пособии для удобства выполнения заданий приведены основные виды показательных уравнений, способы их решений, рассмотрены примеры. 3 Показательные уравнения Определение. Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени. 1. Виды показательных уравнений и способы их решения 1.1. Простейшие показательные уравнения Решение уравнений находят с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, т.е. решение показательных уравнений сводится к решению уравнения вида , где , , – неизвестное. Виды уравнений и способы их решения Основания степеней 1) основания степеней равны Вид уравнения и способ решения решение: решение находят из уравнения: Пример: Решение Ответ: Пример: Пример: Решение Решение . Ответ: 2) и решение находят из уравнения: решение находят из уравнения: , Ответ: . решение находят из уравнения: . решение находят из уравнения: , Пример: Решение запишем тогда , Ответ: . Пример: Пример: Решение запишем , тогда Решение запишем , тогда Ответ: . Ответ: . 4 3) и решение находят из уравнения: , решение находят из уравнения: решение находят из уравнения: , , Пример: Пример: Пример: . Решение запишем , тогда , Решение запишем , тогда Решение запишем , тогда √ Ответ: 4) и . Ответ: решение находят из уравнения: √ Ответ: решение находят из уравнения: . решение находят из уравнения: , Пример: ( ) Пример: . . Решение запишем , тогда получаем , , Пример: Решение запишем , , тогда ( . получаем ( ) , тогда ( ) Ответ: ( . ) Решение запишем , , Ответ: ) ( ) , ( ) получаем Ответ: , . 5 1.2. Решение уравнений с использованием свойств степеней Свойства степеней 1) 5) 2) ( ) 6) 3) 7) 4) 8) , ( ) ( ) √ Пример 1. Решите уравнение Решение запишем уравнение в виде Ответ: (см. свойства 3 и 6), тогда , . Пример 2. Решите уравнение Решение запишем уравнение в виде Ответ: , . (см. свойство 6), тогда , , Пример 3. Решите уравнение Решение запишем и , подставим в уравнение и получим: перепишем уравнение в виде , (см. свойство 3), тогда , Ответ: , . Пример 4. Решите уравнение √ Решение запишем: √ , т.к. √ (по свойству 8), (по свойству 7), подставим в уравнение и получим: Ответ: , тогда , . . Пример 5. Решите уравнение Решение запишем уравнение в виде Ответ: (по свойству 4), тогда , , . . 6 Пример. 6. Решите уравнение Решение Перепишем равенство в виде разделим обе части этого уравнения на ( ) , так как , получим: для любого числа , то (см. свойство 2) перепишем в виде: ( ) ( ) ( ) Ответ: . 1.3. Решение уравнений, сводящихся к простым методом замены переменной Пример. Решите уравнение Решение Перепишем уравнение в виде получим: , введем новое неизвестное , Найдем неизвестную : , Ответ: , . 1.4. Решение уравнений вынесением общего множителя за скобку Пример. 1. Решите уравнение Решение запишем Ответ: (по свойству 3), получим , вынесем за скобку , . 7 Пример. 2. Решите уравнение Решение вынесем за скобку степень с наименьшим показателем – Пояснение к решению: если представить уравнение можно записать в виде . Ответ: . , получим: и , то , а затем за скобку вынести 1.5. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям методом замены переменной Решение уравнений данным методом предполагает введение новой переменной для степени с наименьшим показателем. Пример. Решите уравнение Решение пусть , где , тогда получим уравнение , Если Если Ответ: , то , то , , , ; . 8 2. Задания по теме «Показательные уравнения» Задание №1. Простейшие показательные уравнения Решите уравнения: 1) 16) 2) ( ) 17) √ 3) 18) ( ) 4) 19) 5) 20) √ 6) ( ) 21) √ 7) ( ) 22) ( ) 8) √ 23) 9) ( ) 24) √ 10) ( ) 25) ( ) 11) ( ) 26) ( ) 12) √ √ √ ( ) √ 27) 13) 28) ( ) 14) ( ) 29) 15) 30) √ Ответы. 1) ; 2) ; 3) ; 16) 28) ; 29) ; 4) ; 17) ; 30) ; 5) ; 18) ; 6) ; 7) ; 19) ; 20) ; 8) ; 9) ; 21) ; 22) ; 10) ; 11) ; 12) ; 23) ; 24) ; 25) ; 13) ; 26) ; 14) ; 27) ; 15) ; . 9 Задание №2. Простейшие показательные уравнения Решите уравнения: 1) 16) √ 2) ( ) 17) 3) 18) 4) ( ) 19) 5) ( ) 20) ( ) 6) ( ) 21) 7) ( ) 22) ( ) 8) 23) ( ) 9) ( ) 24) 10) 25) 11) 26) 12) ( ) 27) 13) ( ) 28) 14) ( ) 29) 15) ( ) 30) ( ) ( ) Ответы. 1) ; 2) ; 3) ; 16) ; 17) ; 18) 29) ; 30) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 19) ; 20) ; 21) нет решений; 22) ; 11) ; 23) ; 24) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 25) 26) ; 27) ; 28) ; . 10 Задание №3. Простейшие показательные уравнения Решите уравнения: 1) 26) ( ) 2) 27) ( ) √ 28) 3) ( ) 4) √ √ 29) 5) √ 30) 6) ( ) 31) 7) ( ) ( ) 32) 8) 33) 9) ( ) ( ) 34) ( ) ( ) 10) 35) ( ) 11) 36) ( ) 12) ( ) 37) ( ) 13) ( ) ( ) 38) ( ) ( ) 14) ( 39) 15) 40) ( 16) 41) 17) √ 42) 18) 43) 19) 44) 20) 45) 21) ( ) 22) ( ) 23) ( ) ( ) 46) ) 47) ( ( ( ) ) √ √ 48) ) 24) ) 49) ( ) 25) 50) ( √ ) Ответы. 1) ; 2) 1; 3) ; 4) ; 5) 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;10) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) 11) ; 12) ; 25) ; 13) ; 14) ; 15) ; 26) ; 27) ; 16) ; ; 28) 1; 29) 11 30) 39) ; 31) ; 32) ; 40) ; 41) ; 50) ; 33) ; 42) ; 43) ; 34) ; 35) ; 44) ; 45) ; 36) ; 37) ; 46) ; 47) ; 38) ; 48) ; ; 49) . Задание №4. Решение уравнений с использованием свойств степеней. Решение уравнений, сводящихся к простым методом замены переменной Решите уравнения: 1) 16) 2) 17) 3) 18) ( ) 4) ( ) 19) ( ) 5) 20) 6) 21) 7) 22) 8) 23) 9) 24) 10) 25) 11) 26) 12) ( ) 13) ( ) 14) ) 27) ( ) 28) ( ) 29) ( 30) 15) ( ) Ответы. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 15) ; 16) ; 17) ; 6) ; 7) ; 18) ; 8) ; 19) ; 9) ; 20) ; 10) ; 11) ; 21) ; 22) ; 12) ; 13) ; 14) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) . 12 Задание №5. Решение уравнений вынесением общего множителя за скобки Решите уравнения: 1) 26) 2) 27) 3) 28) 4) 29) 5) 30) 6) 31) 7) 32) 8) 33) 9) 34) 10) 35) 11) 36) 12) 37) 13) 38) 14) 39) 15) ( ) 40) 16) 41) 17) 42) 18) 43) 19) 44) 20) 45) 21) 46) 22) 47) 23) 48) 24) 49) 25) 50) Ответы. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) ; 31) ; 32) ; 33) ; 34) ; 35) ; 36) ; 37) ; 38) ; 39) ; 40) ; 41) ; 42) ; 43) ; 44) ; 45) ; 46) ; 47) ; 48) 2; 49) ; 50) . 13 Задание №6. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям методом замены переменной Решите уравнения: 1) 26) 2) 27) 3) 28) 4) 29) 5) 30) 6) 31) 7) 32) 8) 33) 9) 34) 10) 35) 11) 36) 12) 37) 13) 38) 14) ( ) 39) 15) 40) 16) ( ) 41) ( ) 17) 42) 18) 43) 19) 44) ( ) 20) 45) 21) 46) 22) 47) 23) 48) ( ) 24) 49) 25) 50) Ответы. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) 28) ; 29) ; 30) 37) ; 38) ; 39) ; 49) ; 50) 7) ; 8) ; 21) ; 31) ; 40) ; 9) ; 10) ; 22) ( ) ; 11) 12) ; 13) 14) ; 15) ; 16) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; ; 32) ; 41) ; 33) ; 34) ; 42) ; 43) ; 44) ; 45) ; 46) ; 35) ; 36) ; ; 47) ; 48) . 14 Список литературы 1) Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2010. 2) Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.. – М.: Просвещение, 2011. 3) Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: под ред. А.Н. Колмлгорова. – М.: Просвещение, 1991. 4) Балаян Э.Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы. – Ростов н/Дону: Феникс, 2003. 5) Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1993. 6) Башмаков М.И. Математика: Эксперемент. учеб. пособие для СПТУ. – М.: Высш. шк., 1987. 7) Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов. – М.: Дрофа, 2011. 8) Дорофеев Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2011. 9) Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2003. 10) Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса: Пособие для учителя / Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. – М.: Просвещение, 1988. 11) Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1993. 12) Пособие по математике для посупающих в вузы: под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1982. 13) Челомбитько В.П. Математика: весь курс: теория, задачи, решения: для выпускников и абитуриентов / Челомбитько В.М. – М.: Эксмо, 2008. 15