resheniestereometricheskixzadachkoordinatno-vektornyimmetodom

Решение стереометрических задач координатно-векторным
методом.
Координатно-векторный метод является эффективным способом решения
многих задач элементарной геометрии.
Можно сказать, что он рассчитан на сильных учащихся, но ведь и все
геометрические задачи части С рассчитаны не на слабого ученика.
А ведь, по сути, этот метод базируется всего на двух формулах: формуле
косинуса угла между векторами и формуле расстояния от точки до
плоскости.
Итак, что должен знать и уметь ученик для применения координатновекторного метода:
-уметь разными способами задавать систему координат для данной задачи и
находить координаты вершин куба, прямоугольного параллелепипеда,
правильной пирамиды, правильной призмы;
- уметь находить координаты вектора через координаты начала и конца ;
- знать формулу косинуса угла между векторами;
- уметь составлять уравнение плоскости по координатам трёх точек,
принадлежащих этой плоскости;
- знать формулу расстояния от точки до плоскости.
1. Угол между векторами
cos
x1 x 2
2
1
x
y
2
1
y1 y 2
z
2
1
z1 z 2
x
2
2
2
2
y
z
2
2
, где x1 ; y1 ; z1 , x 2 ; y 2 ; z 2 - координаты векторов,
между которыми надо найти угол.
2. Уравнение плоскости ax by cz d 0 , где a, b, c
- координаты вектора,
перпендикулярного плоскости.
3. Расстояние от точки x0 , y 0 , z 0 до плоскости ax by cz d 0
ax0
by0
a2
b2
cz 0
c2
d
4.Координаты вершин многогранников, наиболее часто встречающиеся в
задачах
1. Правильная треугольная призма A…C1 ,
все ребра которой равны 1.
2. Правильная шестиугольная призма A...F1, все
ребра которой равны 1.
3. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр)
ABCD все ребра которой равны 1.
4. Правильная четырехугольная пирамида SABCD,
все ребра которой равны 1.
5. Правильная шестиугольная пирамида
SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а
боковые ребра равны 2.
Методика составления уравнения плоскости, проходящей через три
данные точки.
Уравнение плоскости имеет вид ax by cz d 0 , где a, b, c - координаты
вектора, перпендикулярного плоскости, т.е. координаты нормали или
нормального вектора. Чаще всего в задачах требуется найти именно
координаты нормали. Предлагаем следующий способ.
Пусть плоскость проходит через точки А(2;1;3), В(-3;3;0), С(2;-3;-1).
Первый шаг: вычислим координаты любых двух векторов плоскости
AB
5;2; 3
; AC 0; 4; 4 .
Второй шаг: n a; b; c
n AB
0
n AC
0
ABC
n
5a 2b 3c 0
0a 4b 4c 0
a
b
AB , n
AC
c
c
Получили неопределённую систему. Полагая , что значение с равно,
a
1
например, 1 (можно взять любое число), получим b
1 , значит нормаль к
c 1
плоскости имеет координаты n 1; 1;1 . Для большинства задач этого
достаточно. Если же надо получить полное уравнение плоскости, то надо
ax0 by0 cz 0 , где x0 ; y 0 ; z 0 координаты любой точки
ещё вычислить d. d
2 1 1 1 31
плоскости. В данном примере d
плоскости получим следующее x y z 0 .
0 . Значит уравнение
Алгоритмы решения задач координатно-векторным методом.
Задача 1. Нахождение угла между прямыми.
- Вычислить координаты двух направляющих векторов заданных прямых
AB x1 ; y1 ; z1 , CD x 2 ; y 2 ; z 2
.
- Вычислить косинус угла между прямыми по формуле
cos
x1 x 2
x12
y12
y1 y 2
z12
z1 z 2
x 22
y 22
z 22
Задача 2. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
- Вычислить координаты направляющего вектора прямой AB x ; y ; z ,
- Вычислить координаты нормали к плоскости n a; b; c .
- Вычислить косинус угла между полученными векторами
cos
x1 x 2
x12
y12
y1 y 2
z12
z1 z 2
x 22
y 22
xa
z 22
x2
y2
yb
z2
zc
a2
b2
c2
В результате, мы нашли угол α между прямой и перпендикуляром к
плоскости, тогда для нахождения искомого угла β используем равенство
.
Задача 3. Нахождение угла между плоскостями.
- Вычислить координаты n1 и n 2 - нормалей к каждой из двух плоскостей α и
β.
-
Вычислить
a1 a 2
cos n1 n2
a12
b12
косинус
b1b2
c12
угла
между
нормалями
c1c 2
a 22
b22
c 22
- Мы нашли косинус угла между n1 и n 2 , а нужен угол между плоскостями.
Находим его из равенства ños A = cos n1n2 , так как сумма углов А и В равна
1800.
Задача 4. Нахождение расстояния от точки до плоскости.
- Вычислить координаты вектора n - нормали к плоскости, вычислить
ax0 by0 cz 0 , где
x0 ; y 0 ; z 0 - координаты любой точки
значение d
плоскости.
-
вычислить
расстояние
по
формуле
ax0
где x0 ; y 0 ; z 0 - координаты точки, от которой ищется расстояние.
by0
a2
b2
cz 0
c2
d
Задача 5. Нахождение расстояния от точки А до прямой СD.
-Вычислить координаты вектора n - нормали к плоскости (ACD).
- Взяв за начало вектора n точку С, вычисляем координаты точки К – конца
вектора n .
- Найти координаты нормали к плоскости (КСD) и значение d.
- Вычислить искомое расстояние по формуле
A; KCD
ax0
by0
a2
b2
cz 0
c2
d
Задача 6. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми АВ
и СD.
- Вычислить координаты направляющих векторов прямых AB и ÑD .
- Вычислить координаты некоторой точки К – конца вектора DK
AB .
- Задать уравнение плоскости (CDK), то есть найти координаты нормали к
плоскости (CDK) и значение d.
-
Вычислить расстояние от
A; KCD
ax0
by0
a2
b2
cz 0
точки А
или В
до плоскости (CDK)
d
c2
Рассмотрим, как работает координатно-векторный метод в конкретных
задачах.
Задача 1.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны
1, найти расстояние между прямыми SA и BC.
Решение.
1) Зададим систему координат так, как показано на рисунке (можно и подругому).
2) Вычислим координаты направляющих векторов прямых AS и BC.
Так как ВС=1, то АС=
S 0;0;
2
, A
2
AS
2
;0;
2
, ОС=ОВ=
2
2
;0;0 , B 0;
;0 , C
2
2
2
2
; BC
;
2
2
3) Вычислим
2 2
;
;
2 2
Итак, K
2
.
2
2
;0;0 .
2
2
;0 .
2
координаты
2
;z 0
2
x 0; y
1
2
, OZ= 1
2
2
2
;0;
2
вектора
2
, x
2
2
; BK
2
2
;y
2
2
;0;
2
2
;z
2
BK
2
.
2
2
.
2
4) Вычислим координаты нормали к плоскости (КВС) и значение d
n BC
n BK
0
;
0
2
2
a
b 0
2
2
;
2
2
a
c 0
2
2
Итак, n(1;1; 1); d
ax0
by0
cz 0
b
c
a
a 1
;
a
b 1
0
2
2
c
1
0
2
.
2
AS ;
5) Вычисляем расстояние от точки A
A; KCB
A; KCB
Ответ:
ax0
by0
a2
2
2
cz 0
b2
0 0
2
;0;0 до плоскости (КВС)
2
d
c2
2
2
1 1 1
2
3
2
3
6
3
6
.
3
Задача 2.
В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный
треугольник с острым углом А, равным 30 градусам.
Найти площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет
нижнего основания и середину гипотенузы верхнего основания, если
расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от
вершины А до искомого сечения и равно 6.
Решение.
1) Зададим систему координат так, как показано на рисунке, построим
заданное сечение, соединив точки С и М, и построив MN
параллельно В1С1 , а значит и ВС.
2) Пусть BC m. Тогда AC
3
2m
2
3m
3) Чтобы применить формулу расстояния от точки до плоскости, нам
потребуется вычислить координаты точки А , вычислить координаты
нормали к плоскости и значение d.
4) A 0; 3m;0 ; M 0;
3
m;6 ; C 0;0;0 ; B m;0;0 .
2
3
5) CM 0; m;6 ;
2
a
CB m;0;0
3
mb
2
6
3
mb
12
a
n CB
3
mb 6c
2
ma 0
0
;
; получили неопределённую систему, пусть
0
b 12 , тогда b 12
c
2 3m
;
0
;
0
0
c
6)
n CM
A; MCB
. Получили, что n 0;12;
0 0 12 3m
0 12 2
144 3m 2 ; 9m 2
3m 0
3m 2
144 ; m
7) МС-наклонная, РС – её проекция, РС
высота прямоугольной трапеции MNBC.
6;
S ÒÐÀÏ
Ответ: 12 3 .
36
3 4
2
3 36 12
12 3m
144 3m 2
6;
4.
СВ, значит МС СВ и МС –
2
4 2
2
, d 0.
3m
6;
144 3m2 ; 12m 2
3m
3 48
12 3 .