Решение задач из материалов ЕГЭ векторно-координатным
методом
Задание С2 Единого государственного экзамена по математике с 2010
года представляет стереометрическую задачу на определение расстояний или
углов в пространстве между объектами, связанными с некоторым
многогранником. За этот период по итогам ЕГЭ - только около 5%
представленных решений были оценены в два балла.
Как научить выпускников решать задачи C2 из ЕГЭ по математике?
Существует три основных метода решения задач C2. Условно назовем их
«методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом
объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше
знать и уметь использовать все три.
Наиболее универсальным является «метод построений», с его помощью
можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что
предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике. Однако, он не всегда
целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат.
Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить
алгоритмы решения для каждого вида задач. Чтобы решать задачи этим
методом необходимым (но, конечно, не достаточным) условием является
безупречное знание и понимание основных теорем стереометрии, связанных
с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве, которые
непременно сопровождают решение практически любой задачи C2, без
которых часть баллов за это задание на экзамене может быть потеряна.
Второй случай, когда не всегда целесообразно использовать «метод
построений», связан с нахождением расстояний от точки до прямой или от
точки до плоскости. Тогда на помощь приходят два оставшихся метода.
Векторно-координатный метод позволяет избежать вышеуказанные
трудности. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в
решении простейших задач, основная
нагрузка при решении задачи
приходится на вычислительную часть.
Векторно-координатные приемы изучаются в школе в весьма
ограниченном количестве. В базовый учебник стереометрии Л.С. Атанасяна
включен целый параграф «скалярное произведение векторов» и даже
отдельно рассматривается нахождение углов между объектами. Однако
дальше темы «вычисление угла между прямыми» и осторожного намека на
аналогичный алгоритм для прямой и плоскости материал не рассматривается.
И даже не вводится такое понятие, как «нормаль».
Как правило учитель выбирает одну из трех стратегий подготовки к
задаче С2 на ЕГЭ:
1) Полный отказ от векторно- координатных приемов
2) Изучение отдельных алгоритмов
3) Демонстрация всех приемов (без доказательств) для самых сильных
учеников.
Преимущество
методов
аналитической
геометрии
перед
альтернативным решением средствами дополнительных построений состоит
в том, что удается полностью отстраниться от чертежа и заниматься
исключительно числами (координатами). Поэтому в определенных условиях
подготовки к ЕГЭ по математике удается натаскать ученика на стандартные
решения. Причем за весьма короткий срок и в обход большого количества
тем.
Если у школьника имеются серьезные проблемы с пониманием
определений, с чтением или построением сложного стереометрического
рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные
построения, то можно построить работу по С2 на векторах и координатах.
Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда на подготовку
к ЕГЭ отводится всего лишь 2-3 месяца. Если у преподавателя нет времени
на неспешный комплексный подход, то лучше всего сразу обратиться к
координатам.
Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод
координат, так как при его использовании необходимо придерживаться
общего алгоритма: вычислить координаты необходимых точек,
расположенных на многогранниках, и применить соответствующую
формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять
уравнение плоскости.
Какую подготовку к восприятию векторно-координатных приемов
должен провести учитель?
Необходимо повторить следующие темы:
1) Координаты точки и координаты вектора.
2) Длина вектора.
3) Скалярное произведение векторов.
4) Координаты середины отрезка (на случай, если плоскость или прямая
будут заданы серединами каких-нибудь диагоналей или ребер у пирамид).
Удачный выбор системы координат (некоторые вершины
многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно
упростить вычисления.
Первая группа подготовительных задач.
Изобразите многогранник, указанную прямоугольную систему координат и
определите координаты вершин многогранника.
1. Куб A…𝐷𝐷1 с ребром a. Начало координат — в точке A; прямая AD — ось x;
прямая AB — ось y; прямая 𝐴𝐴𝐴𝐴1 — ось z.
2. Правильная треугольная призма𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 , сторона основания которой
равна a, а боковое ребро b. Начало координат — в точке A; прямая AC — ось
x; прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно
прямой AC, — ось y; прямая 𝐴𝐴𝐴𝐴1 — ось z.
3. Правильная шестиугольная призма A…𝐹𝐹1 , сторона основания которой
равна a, а боковое ребро b. Начало координат — в центре O шестиугольника
ABCDEF; прямая CF — ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости
ABC перпендикулярно прямой CF, — ось y; прямая 𝑂𝑂𝑂𝑂1 — ось z, где 𝑂𝑂1 —
центр шестиугольника 𝐴𝐴1 𝐵𝐵1 𝐶𝐶1 𝐷𝐷1 𝐸𝐸1 𝐹𝐹1 .
4. Правильная треугольная пирамида MABC, сторона основания которой
равна a, а высота h. Начало координат — в точке A; прямая AC — ось x;
прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно
прямой AC, — ось y; прямая, проходящая через точку A перпендикулярно
плоскости ABC, — ось z.
5.
Правильная
четырехугольная
пирамида MABCD, сторона основания
которой равна a, а высота h. Начало
координат — в центре O квадрата
ABCD; прямая, проходящая через
точку O параллельно AD, — ось x;
прямая OM — ось z.
6. Правильная шестиугольная пирамида MABCDEF, сторона основания
которой равна a, а высота h. Начало координат — в центре O шестиугольника
ABCDEF; прямая CF — ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости
ABC перпендикулярно прямой CF, — ось y; прямая OM — ось z.
Векторно-координатный метод позволяет рассматривать множество
самых трудных задач на вычисление всех видов углов (между прямыми,
между прямой и плоскостью, между плоскостями) и любых расстояний (от
точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между
скрещивающимися прямыми). С тремя последними работать сложнее всего,
ибо приходится затрагивать тему «уравнение плоскости».
Расстояние от точки до плоскости
Решение данной задачи позволяет решать задачи о нахождении
расстояния между параллельными плоскостями, между параллельными
прямой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми. Поэтому
необходимо подробнее остановиться на отработке учащимися навыков
решения задач о нахождении расстояния от точки до плоскости.
Пусть дана точка M(𝑥𝑥0 ; 𝑦𝑦0 ; 𝑧𝑧0 ) и плоскость α, заданная уравнением
Ax + By + Cz + D = 0 в прямоугольной декартовой системе координат.
Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по формуле:
𝜌𝜌(М, 𝛼𝛼) =
|𝐴𝐴𝑥𝑥0 +𝐵𝐵𝑦𝑦0 +𝐶𝐶𝑧𝑧0 +𝐷𝐷|
√𝐴𝐴2 +𝐵𝐵2 +𝐶𝐶 2
, (1)
где {𝐴𝐴; 𝐵𝐵; 𝐶𝐶} координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора,
перпендикулярного плоскости α).
Подготовительные упражнения для отработки навыков применения
формулы для данных точки и плоскости.
1. Найдите расстояние от точки M(–3; 1; 2) до плоскости, заданной
уравнением 3x + 4y – 12z + 2 = 0.
2. Вычислите расстояние от начала координат до плоскости, заданной
уравнением 2x + 3y – 6z + 14 = 0.
3. Вычислите расстояние между параллельными плоскостями, заданными
уравнениями 3x + 2y + 4z + 11 = 0 и 9x + 6y + 12z – 5 = 0.
Указание. Для этого достаточно выбрать точку первой плоскости,
11
например, 𝑀𝑀 �0; 0; − �
4
4. Докажите, что в общем случае расстояние между параллельными
плоскостями α и β:
𝛼𝛼: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷1 = 0, 𝛽𝛽: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷2 = 0
вычисляется по формуле:
𝜌𝜌(𝛼𝛼, 𝛽𝛽) =
|𝐷𝐷1 −𝐷𝐷2 |
√𝐴𝐴2 +𝐵𝐵2 +𝐶𝐶 2
Указание. Используйте алгоритм решения задачи 3.
Следующая система упражнений направлена на составление уравнения
плоскости, проходящей через три точки. Один из способов получения
уравнения плоскости, если известны координаты трех ее точек не лежащих
на одной прямой: M(𝑥𝑥𝑀𝑀 ; 𝑦𝑦𝑀𝑀 ; 𝑧𝑧𝑀𝑀 ), N(𝑥𝑥𝑁𝑁 ; 𝑦𝑦𝑁𝑁 ; 𝑧𝑧𝑁𝑁 ), P(𝑥𝑥𝑃𝑃 ; 𝑦𝑦𝑃𝑃 ; 𝑧𝑧𝑃𝑃 ). Для этого
нужно в общий вид уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0, подставить
координаты точек M, N, P, получим систему уравнений
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀 + B𝑦𝑦𝑀𝑀 + C𝑧𝑧𝑀𝑀 + 𝐷𝐷 = 0,
� 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑁𝑁 + B𝑦𝑦𝑁𝑁 + C𝑧𝑧𝑁𝑁 + 𝐷𝐷 = 0,
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃 + B𝑦𝑦𝑃𝑃 + C𝑧𝑧𝑃𝑃 + 𝐷𝐷 = 0.
Решив ее, найдем A = pD, B = qD, C = rD (если окажется, что D = 0, то
A = pC, B = qC; если D = C = 0, то A = pB). Подставив в исходное уравнение
и разделив на D ≠ 0, получим уравнение px + qy + rz + 1 = 0.
Иногда удобно использовать уравнение плоскости в отрезках:
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑧
+ + = 1, если известны координаты точек (A; 0; 0), (0; B; 0), (0; 0; C)
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
пересечения данной плоскости с координатными осями Ox, Oy, Oz
соответственно.
Пример 1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки,
M(0; 1; 0), N(1; 0; 0), P(1; 1; 1).
Решение. В общий вид уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 подставим
координаты этих точек, получим:
A ∙ 0 + B ∙ 1 + C ∙ 0 + D = 0,
�A ∙ 1 + B ∙ 0 + C ∙ 0 + D = 0,
A ∙ 1 + B ∙ 1 + C ∙ 1 + D = 0.
Отсюда B = –D, A = –D и C = D. Уравнение плоскости MNP имеет вид
–Dx – Dy + Dz + D = 0, или x + y – z – 1 = 0, после деления на – D ≠ 0.
Пример 2. В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐴 … 𝐹𝐹1 , все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости DE𝐹𝐹1 .
Решение. Введем систему координат,
как показано на рисунке, и найдем
координаты точек:
1
𝐴𝐴 � ; −
2
1 √3
√3
; 0� , 𝐷𝐷 �− ; ; 0�,
2 2
2
1 √3
; 0� , 𝐹𝐹1 (1; 0; 1)
2 2
𝐸𝐸 � ;
Пусть Ax + By + Cz + D = 0 —
уравнение плоскости DE𝐹𝐹1 . Подставляя
в него координаты точек D, E, 𝐹𝐹1 ,
получим:
1
3
⎧− A + √ B + D = 0, (для точки 𝐷𝐷)
⎪ 2
2
1
√3
⎨ A+
B + D = 0, (для точки 𝐸𝐸)
2
⎪ 2
A + C + D = 0, (для точки 𝐹𝐹1 )
⎩
Отсюда имеем: A = 0, B = -
2√3
D,
3
C=-D
Уравнение плоскости DE𝐹𝐹1 примет вид 2√3𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 − 3 = 0. Вычислим
расстояние от точки A до плоскости DE𝐹𝐹1 по формуле (1):
𝜌𝜌(𝐴𝐴; 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐹𝐹1 ) =
1
√3
�0 ∙ 2 − 2√3 ∙ 2 + 3 ∙ 0 − 3�
2
�02 + �2√3� + 32
=
6
√21
=
2√21
.
7
Ответ:
Расстояние между скрещивающимися прямыми
2√21
.
7
Задачу данного вида можно свести к задаче о вычислении расстояния
от точки до плоскости, поэтому можно применить формулу расстояния от
точки до плоскости, применяя координатный метод.
Пример 3. В единичном кубе A…𝐷𝐷1 найдите расстояние между прямыми 𝐴𝐴𝐴𝐴1
и BD.
Решение. Так как 𝐷𝐷𝐷𝐷1 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴1 , то (𝐵𝐵𝐵𝐵С1 ) 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐴𝐴𝐴𝐴1 .
Поэтому расстояние
ρ(𝐴𝐴𝐴𝐴1 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵) = ρ(𝐴𝐴𝐴𝐴1 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵1 )= ρ(𝐴𝐴; 𝐵𝐵𝐵𝐵С1 ).
Введем систему координат, как показано на
рисунке, и определим координаты точек:
𝐴𝐴 (0; 0; 0), 𝐵𝐵 (0; 1; 0), 𝐷𝐷 (1; 0; 0), 𝐶𝐶1 (1; 1; 1).
Плоскость, проходящая через точки 𝐵𝐵, 𝐷𝐷, С1 ,
имеет вид x + y – z – 1 = 0 (см. пример 1).
Расстояние между прямыми 𝐴𝐴𝐴𝐴1 и 𝐵𝐵𝐵𝐵 равно
расстоянию от точки 𝐴𝐴 до плоскости 𝐵𝐵𝐵𝐵С1 :
|1 ∙ 0 + 1 ∙ 0 − 1 ∙ 0 − 1| √3
= .
𝜌𝜌(𝐴𝐴; 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐶𝐶1 ) =
3
√12 + 12 + 12
Ответ:
√3
.
3
Угол между двумя прямыми
На каждой прямой AB и CD выбираются удобные точки, определяются
𝐶𝐶𝐶𝐶{𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 , 𝑧𝑧2 }
координаты их направляющих векторов. Пусть �����⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴{𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 , 𝑧𝑧1 } �����⃗
𝜑𝜑 - искомый угол между двумя прямыми AB и CD.
Формула: cos 𝜑𝜑 = |cos 𝜑𝜑| =
|𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 +𝑦𝑦1 𝑦𝑦2 +𝑧𝑧1 𝑧𝑧2 |
�𝑥𝑥12 +𝑦𝑦12 +𝑧𝑧12 .�𝑥𝑥22 +𝑦𝑦22 +𝑧𝑧22
.
(2)
Пример 4. В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐴 … 𝐹𝐹1 , ребра которой равны
1, найдите угол между прямыми 𝐴𝐴𝐴𝐴1 и 𝐵𝐵𝐵𝐵1 .
Решение. Введем прямоугольную систему
координат, как указано на рисунке.
1
1
√3
√3
; 0� , 𝐵𝐵 � ; − ; 0�,
2
2
2
2
1
√3
𝐵𝐵1 � ; − ; 1� , 𝐹𝐹1 (−1; 0; 1),
2
2
Тогда 𝐴𝐴 �− ; −
3 √3
�������⃗
�������⃗1 �− ;
𝐴𝐴𝐴𝐴1 {1; 0; 1}, 𝐵𝐵𝐵𝐵
; 1�
2 2
Отсюда
1
2
√2∙2
=
√2
,
8
cos 𝜑𝜑 = |cos 𝜑𝜑| =
𝜑𝜑 = arccos
√2
,
8
где 𝜑𝜑 — искомый угол.
��������⃗
�������⃗
�𝐴𝐴𝐴𝐴
1 ∙𝐵𝐵𝐵𝐵
1�
��������⃗
�������⃗
�𝐴𝐴𝐴𝐴1 �∙�𝐵𝐵𝐵𝐵1 �
Ответ: arccos
Угол между прямой и плоскостью
=
√2
.
8
Пусть даны вектор 𝑛𝑛�⃗, перпендикулярный к некоторой плоскости 𝛼𝛼 (ее
нормаль) и направляющий вектор прямой 𝑀𝑀𝑀𝑀. 𝜑𝜑 - искомый угол между
прямой 𝑀𝑀𝑀𝑀 и плоскость 𝛼𝛼
Уравнение
𝑛𝑛�⃗ {𝐴𝐴; 𝐵𝐵; 𝐶𝐶},
плоскости
�������⃗{𝑥𝑥0 ; 𝑦𝑦0 ; 𝑧𝑧0 }
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝛼𝛼 имеет
вид:
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 = 0
Синус угла между прямой 𝑀𝑀𝑀𝑀 и вектором 𝑛𝑛�⃗ равен модулю косинуса угла
между нормалью и направляющим вектором прямой 𝑀𝑀𝑀𝑀, так как углом
между
двумя
прямыми
называется
меньший
из
углов.
Формула: sin 𝜑𝜑 = �cos (90° − 𝜑𝜑)� =
|𝐴𝐴𝑥𝑥0 +𝐵𝐵𝑦𝑦0 +𝐶𝐶𝑧𝑧0 |
2
√𝐴𝐴 +𝐵𝐵2 +𝐶𝐶 2 .�𝑥𝑥0 2 +𝑦𝑦0 2 +𝑧𝑧0 2
. (3)
В задачах на вычисление угла между прямой и плоскостью или угла
между пересекающимися плоскостями в общем случае уравнение плоскости
находить не требуется. Координаты вектора нормали можно вывести, если
известны координаты трех точек плоскости M, N, P, не лежащих на одной
прямой. Для этого находим координаты двух векторов плоскости:
�������⃗ = {𝑎𝑎1 ; 𝑎𝑎2 ; 𝑎𝑎3 } и 𝑏𝑏�⃗ = ������⃗
𝑀𝑀𝑀𝑀 = {𝑏𝑏1 ; 𝑏𝑏2 ; 𝑏𝑏3 }.
𝑎𝑎⃗ = 𝑀𝑀𝑀𝑀
Предположим, что вектор с координатами ���⃗=
𝑛𝑛 {p; q; r} (здесь p, q, r —
неизвестные числа, которые нужно найти) перпендикулярен любому вектору
���⃗
плоскости α, в том числе векторам 𝑎𝑎⃗ и 𝑏𝑏.
Его координаты можно найти из условий равенства нулю скалярных
произведений 𝑛𝑛�⃗ с векторами 𝑎𝑎⃗ и 𝑏𝑏�⃗ из следующей системы уравнений:
𝑎𝑎 𝑝𝑝 + 𝑎𝑎2 𝑞𝑞 + 𝑎𝑎3 𝑟𝑟 = 0,
𝑛𝑛�⃗ ∙ 𝑎𝑎⃗ = 0,
⟺� 1
�
𝑏𝑏1 𝑝𝑝 + 𝑏𝑏2 𝑞𝑞 + 𝑏𝑏3 𝑟𝑟 = 0.
𝑛𝑛�⃗ ∙ 𝑏𝑏�⃗ = 0
Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов,
перпендикулярных плоскости α, бесконечно много. Выразив, например, из
системы координаты
p и q через r,
выберем ненулевой вектор
𝑛𝑛�⃗ = {p(r); q(r); r}, взяв в качестве r какое-нибудь число (обычно берут такое
число, чтобы в координатах не было дробей или радикалов).
Пример 5. В единичном кубе 𝐴𝐴 … 𝐷𝐷1 найти угол между прямой 𝐴𝐴𝐴𝐴1 и
плоскостью α, проходящей через точки 𝐴𝐴1 , E и F, где точка E — середина
ребра 𝐶𝐶1 𝐷𝐷1 , а точка F лежит на ребре 𝐷𝐷𝐷𝐷1 так, что 𝐷𝐷1 𝐹𝐹 = 2𝐷𝐷𝐷𝐷.
Решение. Введем прямоугольную систему
координат, как на рисунке. Тогда
𝐴𝐴 (0; 0; 0), 𝐴𝐴1 (0; 0; 1), 𝐷𝐷1 (1; 0; 1),
1
1
�������⃗1 {1; 0; 1},
𝐸𝐸 �1; ; 1� , 𝐹𝐹 �1; 0; � , 𝐴𝐴𝐷𝐷
2
3
1
2
�������⃗
�������⃗
𝐴𝐴1 𝐸𝐸 �1; ; 0�, 𝐴𝐴
𝐹𝐹 �1; 0; − �
1
2
3
Пусть 𝑛𝑛�⃗ {x; y; z} — вектор,
перпендикулярный плоскости α. Найдем
его координаты из условий
перпендикулярности этого вектора
векторам �������⃗
𝐴𝐴1 𝐸𝐸 и �������⃗
𝐴𝐴1 𝐹𝐹 то есть из
𝑦𝑦
𝑥𝑥 + = 0,
�������⃗
𝑛𝑛�⃗ ∙ 𝐴𝐴
𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥,
2
1 𝐸𝐸 = 0,
или �
⟺�
условий �
2
𝑧𝑧 = 1,5𝑥𝑥.
𝑛𝑛�⃗ ∙ �������⃗
𝐴𝐴1 𝐹𝐹 = 0
𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 = 0
Пусть x = 2,
3
тогда y = –4, z = 3 и 𝑛𝑛�⃗{2; − 4; 3}, |𝑛𝑛�⃗| = √29 .
�������⃗1 � = √2 и �������⃗
Так как �𝐴𝐴𝐷𝐷
𝐴𝐴𝐷𝐷1 ∙ 𝑛𝑛�⃗ = 1 ∙ 2 + 0 ∙ (−4) + 1 ∙ 3 = 5, то
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =
��������⃗
�⃗�
�𝐴𝐴𝐷𝐷
1 ∙𝑛𝑛
��������⃗
�⃗|
�𝐴𝐴𝐷𝐷
1 �∙|𝑛𝑛
=
5
√2∙√29
=
5
. Отсюда 𝜑𝜑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
√58
5
.
√58
Угол между плоскостями
Ответ: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
5
.
√58
Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в
прямоугольной декартовой системе координат уравнениями
𝐴𝐴1 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1 𝑧𝑧 + 𝐷𝐷 = 0
и
𝐴𝐴2 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶2 𝑧𝑧 + 𝐷𝐷 = 0 соответственно,
удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей
𝑛𝑛�⃗ {𝐴𝐴1 ; 𝐵𝐵1 ; 𝐶𝐶1 } и 𝑚𝑚
��⃗ {𝐴𝐴2 ; 𝐵𝐵2 ; 𝐶𝐶2 }, используя формулу
|𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2 + 𝐶𝐶1 𝐶𝐶2 |
cos 𝜑𝜑 = |cos 𝜑𝜑| =
,
(4)
2
2
2
2
2
2
�𝐴𝐴1 + 𝐵𝐵1 + 𝐶𝐶1 . �𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2 + 𝐶𝐶2
где 𝜑𝜑 − искомый угол между плоскостями α и β
Прежде чем перейти к содержательным задачам, с учащимися
необходимо рассмотреть простейшие задачи следующего вида: найти угол
между плоскостями, заданными уравнениями 2x + 3y + 6z – 5 = 0 и
4x + 4y + 2z – 7 = 0.
Пример 6. (ЕГЭ 2012) В правильной четырёхугольной призме A…𝐷𝐷1 стороны
основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре 𝐴𝐴𝐴𝐴1 отмечены точка Е
так, что 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∶ 𝐸𝐸𝐸𝐸1 = 2 ∶ 1. Найдите угол между плоскостями 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 и 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵1 .
Решение.
Введем
прямоугольную
систему координат, как на рисунке.
Тогда
B (0; 0; 0), 𝐷𝐷1 (1; 1; 3), 𝐸𝐸(1; 0; 2).
В общий вид уравнения плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 подставим
координаты этих точек, получим:
A ∙ 0 + B ∙ 0 + C ∙ 0 + D = 0,
�A ∙ 1 + B ∙ 1 + C ∙ 3 + D = 0,
A ∙ 1 + B ∙ 0 + C ∙ 2 + D = 0.
Отсюда D = 0, A = –2C, B = – C. Уравнение плоскости 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵1 имеет вид
–2C x – C y + Cz = 0, или –2 x – y + z = 0, после деления на C ≠ 0.
Вектор нормали 𝑚𝑚
��⃗ плоскости 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵1 𝑚𝑚
��⃗{−2; −1; 1}.
Уравнение плоскости 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: z = 0, её вектор нормали 𝑛𝑛�⃗{0; 0; 1}
|0 ∙ (−2) + 0 ∙ (−1) + 1 ∙ 1|
1
√6
cos 𝜑𝜑 = |cos 𝜑𝜑| =
=
= ,
6
√02 + 02 + 12 ∙ �(−2)2 + (−1)2 + 12 √6
𝜑𝜑 = arccos
√6
.
6
Ответ: arccos
√6
.
6
Источники:
1. Атанасян Л.С.и др. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват.
учреждений: базовый и профил. уровни.- 17 – е изд.- М. : Просвещение, 2008.
2. Беликова И. Задание С2: Решаем методом координат // Математика, 2010,
№ 20.
3. Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия.
Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.
4. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы: пособие. — 2-е изд.,
испр. и доп. — М.: БИНОМ, 2003.
5. http://ege-ok.ru/
6. http://nsportal.ru/