Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Смоленский государственный университет» Психолого-педагогический факультет Кафедра теории и методики начального образования Курсовая работа на тему: «МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТЫ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПО РЕШЕНИЮ ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ ВО ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО МАТЕМАТИКЕ» Выполнил: студент группы № 21 очного отделения направление подготовки «Психолого-педагогическое образование» профиль «Начальное общее образование» Бабахова Юлия Александровна Научный руководитель: канд. физ.-матем. наук, доцент Ассонова Н.В. Смоленск 2020 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3 ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ 1.1. Комбинаторные задачи и способы их решения ........................... 5 1.2. Внеучебная деятельность по математике в начальной школе .............................................................................................. 13 ГЛАВА II. ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПО РЕШЕНИЮ ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ 2.1. Методические приемы обучения решения комбинаторных задач ................................................................... 18 2.2. Внеурочные занятия для младших школьников по решению занимательных комбинаторных задач ....................... 22 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 32 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................... 33 2 Введение В нашем непредвиденные мире иногда ситуации, в происходят результате различные которых трудные требуется и найти действенный способ решения. Выйти из сложившейся ситуации сможет человек, у которого присутствует гибкость мышления. Ведь этот человек может мыслить объективно, и без страха воспринимать происходящее вокруг него. Уделяя внимание воспитанию детей, подрастающему поколению, ни в коем случае нельзя ограждать их от жизненных проблем, необходимо сформировать у них жизнестойкость. Но не всегда можно предугадать ситуацию, которая может возникнуть. Важно научить думать детей нешаблонно, гибко, уметь подбирать различные варианты. Им в этом поможет умение решать задачи по комбинаторике. Данное умение помогает ребятам делать не только правильный выбор, а также поможет ориентироваться в нашем современном иочень сложном мире. Все вышесказанное и обуславливает актуальность выбранной темы курсовой работы. Цель работы:изучение методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач. Объект исследования:внеучебная деятельность по математике в начальной школе. Предмет исследования:методика обучения младших школьников решению комбинаторных задачво внеучебной деятельности по математике в начальной школе. Задачи исследования: 1. Рассмотреть понятия комбинаторики и комбинаторных задач; 2. Проанализироватьспособы решения простых комбинаторных задач; 3. Рассмотретьподходы к организации внеучебной деятельности по математике в начальной школе; 4. Изучить различные методические приемы обучения решению комбинаторных задач; 3 5. Рассмотреть внеурочные занятия для младших школьников с решением занимательных комбинаторных задач. Структура работы: моя курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. 4 Глава 1. Теоретические основы методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач. 1.1. Комбинаторные задачи и способы их решения. Наука o комбинаторике возникла в XVI веке и изначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, которые связаны с азартными играми. Первый человек, занявшийся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в кости,стал итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. В дальнейшем изучение комбинаторики связано с такими именами как Яков Бурнулли, Лейбниц, Эйлер. В процессе изучения комбинаторных задач были разработаны общие подходы к их решению, а также получены формулы для подсчета числа различных комбинаций и вариаций. В настоящее время комбинаторика является одним из важных и главных разделов математической науки. Ее методы достаточно обширно используются при решении практических и теоретических задач. Комбинаторика-раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. 1 Комбинаторика - область математики, в которой изучают комбинаторные задачи. В свою очередь решение комбинаторных задачс теоретико-множественной точки зрения связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств.2 Общим в данных понятиях является рассмотрение различных комбинаций для получения ответа. 1 Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение задач по комбинаторике» (практикум) - Махачкала: ДГУНХ, 2018. С.21 2 Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений -2-е изд., - М.: Издательский центр «Академия», 2004. С.142 5 Комбинаторные задачи в начальнойшколерассматриваются как задачи повышенной трудности и решаются, как правило, методом перебора. Для того чтобы облегчить процесс решения этих задач применяются таблицы и графы. Поэтому учителю начальной школы требуются определенные ЗУНы по решению комбинаторных задач. Сперва решая несложные комбинаторные задачи, учитель должен уметь грамотно осуществлять перебор всевозможных вариантов и быть уверенным, что перебор проходит верно. Преподавателю необходимо знать общие правила комбинаторики (в частности, правила суммы и произведения), некоторые виды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул. В начальных классахприменяютсятакие методы решения комбинаторных задач: -метод перебора (подбираются задачи, которые развивают мышление учеников); -табличный метод (все условия вносятся в таблицу и в ней выполняется решение); -построение дерева возможных вариантов решений; -построение граф-схем. Методы комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному. Изучимпоподробнее методы решения комбинаторных задач, приводя конкретные примеры. 1. Перебор всевозможных вариантов Простые задачи решают простым перебором всевозможных вариантов без составления каких-либо таблиц и схем. ЗАДАЧА:Какие двузначные числа мы можем составить из предложенных цифр (цифры 1, 2, 3, 4, 5)? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55. 6 2. Древо возможных вариантов Самые разнообразные комбинаторные задачи решаются при помощи составления специальных схем. Предлагаемая схема похожа на дерево, поэтому метод и называется древом возможных вариантов. ЗАДАЧА: Какие трехзначные числа мы можем составить из предложенных цифр (цифры 0, 2, 4)? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Построим вместе древо возможных вариантов, при этом учтем, что 0 не может быть первой цифрой в числе. ОТВЕТ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444. 3. Составление таблиц Решение задачпо комбинаторике возможно с помощью таблиц. Они, также, как и древо возможных вариантов, помогут наглядно представить решение подобных задач. ЗАДАЧА: Аня, Маруся, Настя, Света, Артур, Олег и Артем готовились стать ведущими на Новогоднем утреннике. Назовите все возможные варианты, если ведущими праздника могут быть только одна девушка и один парень. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Составим таблицу: слева расположим первый столбец иназовем его «Имена девочек», а вверху расположим первую строку, которую назовем«Имена мальчиков». 7 4. Построение граф-схем Графа - это совокупность непустого множества вершин и связей между вершинами. Круги называются вершинами графа, линии со стрелками называются дугами, а линии без стрелок называются ребрами. ЗАДАЧА: У Маруси имеются 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Узнайте сколько способов есть у Маруси, чтобы выбрать конверт и марку для отправки письма? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: ОТВЕТ:у Маруси есть 6 способов. Путь освоения способов решения комбинаторных задач состоит из нескольких этапов:3 сначала они решаются методом перебора и для записи возможных вариантов используются различные способы; затем появляются правила суммы и произведения и процесс решения комбинаторных задач 3 Белокурова Е.Е. Методика обучения решению комбинаторных задач /Начальная школа. 1994. №12. С.22 8 несколько формализуется, и, наконец, рассматриваются некоторые виды комбинаций, а их число подсчитывается по формулам. Правило суммы и произведения. В комбинаторике правило нахождения числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы. Если объект a можно выбрать m способами, а объект b- k способами (не такими, как a), то выбор «либо a, либо b» можно осуществить m + k способами. Задача 1. На подносе лежат 7 груш и 8 персиков. Найдите количество способов для того чтобы выбрать один фрукт. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: По условию задачи грушу мы можем выбрать семью способами, а персикмы можем выбрать восьмью способами. Так как в задаче речь идет о выборе «либо груши, либо персика», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 7+ 8 = 15 способами. Задача 2. Сколькими способами можно заказать напиток в ресторане, где есть 3 вида лимонада и 6 видов кофе? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Напиток - это лимонад (объект под названием Х) или кофе (объект под названием Y). Лимонад можно выбрать тремя способами, кофе можно выбрать шестью способами, причем способы выбора несовместны. Тогда по правилу суммы напиток (объект под названием «Х или Y») можно выбрать 3+6=9 способами. Правило нахождения числа элементов декартова произведения двух множеств называют в комбинаторике правилом произведения. Если объект a можно выбрать m способами, а объект b- k способами, то пару(a, b) можно выбратьm.k способами. Задача 3. На столе лежат 2 манго и 8 бананов. Найдите количество способов для того чтобы выбрать пару фруктов, состоящую из манго и банана? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: По условию задачи манго можно выбрать двумя способами, банан можно выбрать восьмью способами. Так как в задаче речь 9 идет о выборе пары(манго, банан), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать2*6=12 способами. Задача 4. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 8, 1 и 7? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: В данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в их записи могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. Так как запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, по правилу произведения, его выбор можно осуществить 27 способами, так как 3 * 3 * 3 = 27. Размещения и сочетания. Правила суммы и произведения являются общими правилами решения задач по комбинаторике. Кроме них в комбинаторике используют формулы для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются часто. Вот некоторые из них. Используя цифры 1, 3 и 8, мы образуем различные двузначные числа: 11, 13, 18, 31, 33, 38, 81, 83, 88. В записи этих чисел цифры повторяются. С теоретико-множественной точки зрения запись любого двузначного числа - это кортеж длины 2. Записывая разные двузначные числа с помощью цифр 1, 3, 8, мы составляли из данных цифр различные кортежи длины 2 с повторяющимися элементами. В комбинаторике такие кортежи называют размещениями с повторениямииз трех элементов по 2 элемента. Размещение с повторениями из k элементов по m элементов - это кортеж, из m элементов k-элементного множества. Задача 5. Найдите количество двузначных чисел, которые можно записать, используя цифры 1, 3 и 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Число возможных размещений с повторениями из k элементов по m элементов обозначают подсчитывают по формуле = km. (с повторениями) = 32 = 9. 10 (с повторениями) и Иногда встречаются задачи, где требуется найти число кортежей длины m, образованных из kэлементов некоторого множества, при условии, что элементы в кортеже не повторяются. Эти кортежи называются размещениями без повторений из kэлементов по mэлементов. Размещение без повторений из k элементов по m элементов - это кортеж, составленный из mнеповторяющихся элементов множества, в которомk элементов. Число возможных вариантов размещений kэлементов по mэлементов обозначают без повторений из и подсчитывают по формуле: =k. (k– 1) ..... (k–m+1). Задача 6. Найдите количество трехзначных чисел, которые можно записать, используя цифры1, 3, 8, так, чтобы цифры в их записине повторялись? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: В данной задаче рассматривается размещение без повторений из трех элементов по три, и их число найдем по формуле: =3 . (3 – 1) .(3 – 2) = 3 . 2 . 1 = 6. Эти числа таковы: 138, 183, 318, 381, 813, 831. Перестановка из без повторений- kэлементов размещение без повторений изkэлементов поk элементов. Число перестановок из kэлементов без повторений - Pk. Справедлива формула Pk= k! Задача 7.Найдите число способов, при которых семь человек смогут выстроиться в очередь к терапевту. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: 7!= 1*2*3*4*5*6*7=5040 Сочетание без повторений из k элементов по m элементов – это mэлементное подмножество множества, содержащего k элементов. Запишем формулу сочетания: = 11 Задача 8.В офисе 17 сотрудников. Найдите число способов, с помощью которых можно выбрать двух человек для охраны. РЕШЕНИЕ: = = = = 12 = 136 1.2. Внеучебная деятельность по математике в начальной школе. Внеучебная деятельность- это организованные и целенаправленные занятия с учащимися, проводимые школой для расширения и углубления знаний, умений, навыков развития индивидуальных способностей учащихся, а также как организация их разумного отдыха.4 Внеучебная деятельность- учебно-воспитательный процесс, реализуемый во внеурочное время сверх учебного плана и обязательной программы коллективом учителей и учеников или работников и учащихся учреждений дополнительного образования на добровольных началах, обязательно с учетом интересов всех ее участников, являясь неотъемлемой составной частью воспитательного процесса.5 Для многих учеников математика - базовый предмет для дальнейшего получения образования в высшей школе. Как же мотивировать школьников на изучение столь сложного предмета - математики? Этот вопрос актуален для учителей начальных классов. Ни для кого не секрет, что математика является основой развития у учащихся познавательных действий, в первую очередь логических, и даже таких, как планирование, систематизация и структурирование знаний, преобразование существенных и информации, моделирование, несущественных условий, дифференциация формирование элементов системного мышления, выработка вычислительных навыков. Поэтому, математика является эффективным способом развития личности школьника. Внеурочная деятельность по математике составляет неразрывную часть учебно-воспитательного процесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание и поведение учеников начальной школы, углубление и расширение их ЗУНов по математике. Значение внеурочной деятельности по математике с младшими школьниками следующем: 4 Каиров И.А.Педагогический словарь. - М., 1960. С.211 Верзилин Н.М.Проблемы методики преподавания.– М.: Просвещение, 1983. С.258 5 13 состоит в 1. Различные познавательной виды данной деятельности работы учащихся: содействуют восприятию, развитию вниманию, представлениям, памяти, мышлению, речи и воображению. 2. Внеурочная деятельность по математике помогает формированию творческих способностей учащихся, элементы которых проявляются в процессе выбора наиболее рациональных способов решения задач, в математической или логической смекалке, при проведении на внеклассных занятиях соответствующих игр. 3. Она позволяет детям глубже понять роль математики в жизни. 4. Внеурочная деятельность по математике содействует воспитанию коллективизма и товарищества, накоплению наблюдений за трудом и отношением к нему взрослых и в связи с этим воспитанию любви к труду. 5. Также она способствуют воспитанию у детей культуры чувств (справедливости, чести, долга, ответственности). Примером организации внеурочной деятельности по математике являетсяматематический кружок в начальной школе - это первая ступенька к профильному обучению в старших классах. Задачи курса внеурочной деятельности по математике для учеников 14 классов: 6 1. Формирование УУД обучающихся (регулятивных, познавательных, коммуникативных). 2. Развитие познавательного интереса учащихся, интеллектуальных способностей. 3. Выявление учащихся с признаками одаренности и организация индивидуальной работы с ними таким способом, как решение олимпиадных задач по математике. 6 Р.Г. Чуракова. Программа курса внеурочной деятельности по математике «Готовлюсь к школьной олимпиаде». 14 Как воплотить все это на внеурочных занятиях по математике? Рассмотрим примеры внеурочной математической деятельности в начальных классах. Игровая ситуация. Используются дополнительные материалы: танграм, уголки, цветные треугольники. По возможности можно использовать цифровые устройства, в том числе интерактивную доску. Условия игр и компания других игроков сдерживает детей, имеющих сложности с произвольностью поведения. Подход к раскрытию того или иного факта в процессе игры математически корректен, доступен, максимально точен (с учетом возрастных особенностей). Содержание любой игры предусматривает достижение не только математических целей, но целей формирования учебной деятельности, развития образного и логического мышления. Внеклассная работа. Способствует развитию коммуникативных умений, таких как желание общаться, умение слушать, умение ориентироваться в ситуации (кому, зачем и что я говорю), знание норм и правил общения, умение осуществлять контроль за речью, контролировать себя. Организация математического занятия. Курс «Занимательная математика» предлагают организовать в кабинете несколько центров деятельности: «Математические игры», «Конструкторы», «Занимательные задачи», «Математические головоломки», «Задания на компьютере». Дети подразделяются на группы и работают попеременно в разных рабочих зонах. Это позволяет отойти от строгой формы работы за партами. в зависимости Центры деятельности от учебных задач, можно добавлять, особенностей класса, сокращать потребностей учеников. Если рабочих зон 5, то групп детей тоже 5. Поскольку занятие длится 45 минут, на каждый центр группе дается 6-7 минут, а в конце подводится итог работы. Примеры заданий для внеурочной деятельности по математике: 15 «Игры с кубиками». Приготовьте для игры два игральных кубика с точками. Можно вырезать и склеить их. Запишите в таблицу свои имена. Бросайте по очереди сразу два кубика. Считайте точки на верхних гранях двух кубиков. Записывайте результаты в таблицу. Проведите шесть раундов. Результат: повторение чисел, развитие социальных навыков. «Путешествующие точки» (используется тетрадь в клетку). Проведи линию от отмеченной точки: Одна клетка вправо, Одна клетка вниз, Одна клетка вверх, Одна клетка вниз. Результат: начало развития пространственного мышления. «Числовые головоломки» (используются поля игры «судоку» 4×4) Судоку - головоломка с числами. В переводе с японского «су» означает «цифра», «доку» - стоящая отдельно. Расставь цифры от 1 до 4 так, чтобы каждая цифра встречалась только один раз в столбце, в строке и в каждом квадрате из четырех клеток. Результат: развитие навыков, необходимых для решения числовых головоломок. Выбор коллективной, групповой игры прежде всего определяется точным учетом уровня развития мышления учеников, уровня сформированности их коммуникативных умений. Внеурочная деятельность по математике является продолжением учебного процесса, составной частью урока. Такая деятельность создаёт большие возможности для решения воспитательных задач, стоящих перед учителем и школой в целом. Внеурочные занятия с учащимися приносят большую пользу и самому учителю, так как для успешной внеклассной работы, приходится постоянно расширять свои познания по предмету и систематически следить за новостями в сфере математической науки. Таким образом, активно внедряя внеурочную деятельность по математике в образовательный процесс, мы получим возможность постепенно повышать уровень математического образования школьников, а также достигать высоких результатов в познавательной деятельности: от 16 приобретения социального знания, формирования положительного отношения к базовым знаниям, общественным ценностям, до приобретения самостоятельного развития кругозора. 17 Глава 2. Организация работы младших школьников по решению занимательных комбинаторных задач 2.1. Методические приемы обучения решения комбинаторных задач. Обучение решению задач по комбинаторике неформальным способом проходит в три этапа:7 1. В начале проводят подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций в процессе решения задач по комбинаторике с помощью метода перебора. На этом этапе предлагаются задачи на развитие умственных способностей, на включение таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи, похожие на игры, задачи,приведенные из жизни. Для того чтобы привить желание решатьзадачи по комбинаторике можно предложить ученикам задачу-игру «День-ночь». Описание игры «День, ночь»: Играя в данную игру, ребята будут решать комбинаторную задачу. Днем звери ищут себе корм, а ночью зверушкипрячутся в укромные места. У нас будут три зверька: лев, пантера и тигр. Учительница вызывает трех ребят, повязывает им нагрудники трех цветов. Бежевый, символизирует льва, оранжевый черный символизирует пантеру, а оранжевый символизирует тигра.Дети садятся у доски на стулья. По команде “День!” они встают и двигаются. По команде “Ночь!” они садятся на стулья, но так, чтобы каждый раз порядок расположения их был другой. Все остальные записывают в своих тетрадях расположение вызванных учеников по первым буквам названий зверят и следят за тем, чтобы играющие выполняли поставленное условие. Игра продолжается до тех пор, пока не обнаружатся все возможные варианты. Их шесть: 1. П. Т. Л. 7 Истомина Н.Б. Учимся решать комбинаторные задачи. 3 класс./ Н.Б. Истомина, Е.П. Виноградова./ Изд.: Линка-Пресс, 2005. 18 2. П. Л. Т. 3. Т. П. Л. 4. Л. Т. П. 5. Т. Л. П. 6. Л. П. Т. Задачи из жизни показывают возможность применения комбинаторных задач в повседневной деятельности людей. ЗАДАЧА. В очереди в магазине стояло четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух пятидесятирублевые купюры. Как же надо расположиться детям, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: 1 способ. 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей; 2 способ. 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. 2. Основной этап обучения. Его цель - обучить младших школьников решению комбинаторных задач при помощи методов перебора, при помощи графа, таблицы и древа возможных вариантов. ЗАДАЧА. Рита, Аня и Ксюша едут в поезде на море. Они сидят на одной скамейке. Девочкам надо проехать 8 остановок. Что не было скучно по дороге они решили меняться своими местами на каждой остановке. Возможно ли девочкам каждый раз меняться местами так, чтобы их новое местоотличалось от предыдущего РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: 1 способ. Р А К - Р К А 2 способ.А К Р - А Р К 3 третий способ.К Р А - К А Р Далее дети знакомятся с таблицами. Рассматривая ее, они находятпринцип её составления и способы ее заполнения: по строкам, по 19 столбикам. Чтобы ученики не тратили свое время на черчение таблицы Е.Е. Белокурова8предлагает пользоваться специальными трафаретами. Примеры задач, которые решаются благодаря таблицам: ЗАДАЧА 1. Записать в нужные клетки таблицы числа: 47, 74, 88, 78, 44, 77, 87. Найдите числа, которые нужно записать в оставшиеся клетки. ЗАДАЧА 2. В музыкальном кружке занимаются пять девочек: Рита, Алина, Лиза, Диана и Вика и 5 мальчиков: Дима, Даня, Игорь, Костя и Влад. Найдите количество танцевальных пар, которые можно составить. При решении задач по комбинаторике при помощи графов объекты обозначаются точками. Связи между ними могут обозначаться линиями или стрелками. ЗАДАЧА. Пятеро мальчиков встретились в кинотеатре и обменялись рукопожатиями. Найдите количество рукопожатий. РЕШЕНИЕ. Выясним, как обозначить каждого.Обозначим людей точками. Рукопожатия обозначим черточками. Сначала составим рукопожатия одного мальчика (точку соединим со всеми остальными точками), потом перейдем к другому мальчику. Данные линии покажут с кем поздоровался мальчик, а с кем нет. Проведем оставшиеся рукопожатия. Также дети знакомятся с древом возможных вариантов. С ними мы выясняем, что этот вид графа, если его перевернуть похож на дерево, на котором растут веточки с листочками. 3.Формирование навыка решения комбинаторных задач в начальнойшколе. На этом этапе школьникирешают задачи разными способами (методом перебора, с помощью таблиц, графов) закрепляя умение решать данные задачи с помощью различных методов и,осуществляя самоконтроль. 8 Белокурова Е.Е. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов /Начальная школа. 1995. № 1. С.14 20 В 1 классе комбинаторные задачи в основном решаются методом перебора. Во 2 классе задачизначительно усложняются и требуют от детей сосредоточенности. В 3 и 4 классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приёмы умственной деятельности, абстрагирования, помогают развитию произвольного внимания и образного мышления. Дети знакомятся с древом возможных вариантов. Важную роль в организации обучения детей решению комбинаторных задач играет роль дифференциации заданий по уровню сложности. ЗАДАЧА: В кино пришли четыре девочки: Алина, Ангелина, Аня и Рита. Как можно рассадить девочек в кинотеатре? Пониженный уровень: составьте возможные варианты, пользуясь методом перебора. Повышенный уровень: Заполнитедрево возможных вариантов. 21 2.2. Внеурочные занятия для младших школьников по решению занимательных комбинаторных задач. Внеурочные занятия можно провести в разной форме. Одни из примеров является конкурс «Кенгуру». Рассмотрим его более подробно. В нашей странеэтот конкурс впервые прошёл в 1994 году по инициативеСанкт-Петербургского Математического общества. А с 1995 года проведением созданный данного в конкурса руководит Санкт-Петербурге в Российский институте оргкомитет, продуктивного обученияРоссийской академии образования. Деятельность оргкомитета поддерживается иРоссийским Санкт-Петербургским государственным Математическим педагогическим обществом университетомим. А.И.Герцена. Непосредственную организационную работу ведет Центр технологии тестирования «Кенгуру плюс». Конкурс проводится каждый год (в нашей стране- обычно в марте). Конкурс обычно проводится в школе. Задания составляются по пяти возрастным категориям: 3 и 4 классы, 5 и 6 классы, 7 и 8 классы, 9 и 10 классы. В каждом варианте 30 задач, которые разбиты на три категории сложности: 10 задач оцениваются тремя баллами каждая, 10 задач оцениваются четырьмя баллами и 10 задач оцениваются пятью баллами. Большее число баллов равно 120. Для конкурса подбираются занимательные задачи, которые похожи на головоломки и олимпиадные задачи, имеющие несколько вариантов ответа, время на решение задач ограничено. Почему конкурс называется кенгуру? Животное кенгуру - символ Австралии. Конкурс так назвали не просто. Дело в том, что впервые «Кенгуру» придумали и провели в 1980 году в Австралии. Математик из Австралии Питер Холлоран, придумал конкурс, чтобы участвовать смог любой ребенок. 22 В 1991 году группа французских математиков провела «Кенгуру» во Франции. В знак уважения к австралийским коллегам конкурс и был назван «Кенгуру». Число участников в первые года проведения этого конкурса достигло 600000 человек. Вот так началась история этого удивительного конкурса. Сейчас «Кенгуру» один из самых массовых, интеллектуальных конкурсов в мире. Сам конкурс проводится в школах в конце марта. По окончанию конкурса можно провести внеурочное занятие, и решить с ребятами задачи, в которых они испытали затруднение. Примеры задач и их решения из конкурса «Кенгуру для обучающихся 3 класса. ЗАДАЧА 1. Найдите количество способов, которыми можно прочитать слово строка, двигаясь вправо или вниз. СТРОКА ТРОКА РОКА ОКА КА А РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Движение можно начать только с первой буквы "C". С каждым ходом мы спускаемся на одну диагональ ниже, и перед нами имеется выбор - идти вправо или вниз. При каждой из данных возможностей мы опять опускаемся на диагональ ниже и тем самым продолжаем чтение слова строка. Таким образом, возможностей прочитать слово строка ровно столько же, сколько возможностей последовательного пятикратного выбора из двух вариантов, то есть, 25 = 32. 23 ЗАДАЧА 2. В одной сказочной странеЛена повстречала Лису и Ежа, отдыхавших под деревом. Странные это были существа. Лиса лгала по понедельникам, вторникам и средам и говорила правду во все остальные дни. Еж же вел себя иначе: он лгал по четвергам, пятницам и субботам и говорил правду во все остальные дни. Они высказали следующие утверждения: Лиса: «Вчера был один из дней, когда я лгу». Еж: «Вчера был один из дней, когда я тоже лгу». Из этих двух высказываний Лена сумела вывести, какой был день недели. Какой это был день недели, когда Лена встретила Лису и Ежа? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Предположим, что у нас сегодня воскресенье и оба зверька говорят правду. Не подходит, так как по субботам врет только еж. Значит из представленных двух утверждений одно истинно и одно ложно, причем утверждение ежа не может быть истинным, так тогда выходит, что вчера была суббота, а сегодня воскресенье, что невозможно как мы уже ранее выяснили. Значит истинным является утверждение Льва, а соответственно сегодня у нас четверг. ЗАДАЧА 3: Заяц прыгает только вперед на 1 или на 3 метра. Он хочет преодолеть дистанцию в 10 метров. Найдите число способов, которыми он это сделает. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Есть 4 варианта представления числа 10 в виде суммы троек или единиц: 10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 10=1+1+1+1+1+1+1+3 10=1+1+1+1+3+3 24 10=1+3+3+3 Первое разбиение предлагает всего один способ преодоления расстояния в 10 метров. Во втором разбиении единственная тройка может быть одним из восьми слагаемых, что даёт 8 вариантов. Из третьего разбиения можно получить количество сочетаний из 6 по 2 вариантов. = = = = = 15 В третьем разбиении единственная единица может быть одним из четырёх слагаемых, что даёт ещё 4 варианта. Всего 1+8+15+4=28 вариантов. ЗАДАЧА 4: Имеется 5 коробок с карточками, на которых написаны буквы B, R, A, V, O. В первой коробке лежат буквы B, V. Во второй коробке лежат буквы B, A, V, R. В третьей коробке лежат буквы A, B. В четвёртой коробке лежитбуква V. В пятой коробке лежат буквы B, R, A, V, O.Игорь вытащил из коробок карточки так, чтобы в каждой коробке осталось по одной карточке и в разных коробках остались карточки с разными буквами. Найди букву, которая осталась во второй коробке. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Из четвёртой коробки ничего не надо вытаскивать. Там останется буква V. Значит, из первой коробки нужно вытащить букву V и оставить букву В. Тогда из третьей коробки нужно вытащить букву В и оставить букву А. И из второй коробки нужно вытащить буквы B, A, V и оставить букву R. Из пятой коробки тогда Игорь вытащит все буквы, кроме буквы О. Во второй коробке осталась буква R. ЗАДАЧА 5. Маруся подарила маме, бабушке, учительнице и двум подругам по букету цветов. Цветы для подруг и учительницы были одного цвета. 25 Известно, что маме она подарила не хризантемы. Какой букет получила бабушка? 1. Розовые герберы; 2.Красные розы; 3.Белые хризантемы; 4.Розовые тюльпаны; 5.Розовыехризантемы; РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Три розовых букета: 1, 4 и 5 получили учительница и подруги. Так какмама получила не хризантемы, то она получила розы, а бабушке Маруся подарила белые хризантемы. Еще одни способом по внедрению комбинаторных задач будет являться математическая эстафета. По окончанию эстафеты можно выбрать победителей и наградить их памятными призами. Приведу пример математической эстафеты по решению комбинаторных задач. Участники и условия проведения:Участвуют 2 команды из 6 человек учеников 3-4 классов; у каждой команды имеется свой игровой стол, название команды, специальная “сигнальная” карточка. 1 этап. Разминка (за каждый правильный ответ - 1 балл) Команды по очереди вытягивают вопросы и через 30 секунд дают ответ. Каждой команде задается по пять вопросов 1. Какое слово всегда пишется неправильно?(Неправильно) 2. С какой скоростью должна двигаться собака (в возможных для нее пределах), чтобы не слышать звона сковородки, привязанной к ее хвосту?(С нулевой. Собака нужно стоять на месте) 3. Сколько месяцев в году имеют 28 дней?(Все месяцы) 26 4. Как спрыгнуть с десятиметровой лестницы и не ушибиться?(Нужно прыгать с нижней ступени) 5. Что можно видеть с закрытыми глазами? (Сны) 6. Что в огне не горит и в воде не тонет?(Лед) 7. Маленький, серенький на слона похож. Кто это?(Слоненок) 8. Какой рукой лучше размешивать чай?(Той, в которой ложка) 9. Когда человек бывает в комнате без головы?(Когда высунет ее из комнаты (например, в окно)) 10. Чем оканчивается день и ночь?(Мягким знаком) Раздел задачи на логику. 1 балл. Каких камней нет в море? (Сухих) 2 балл. Может ли петух назвать себя птицей? (Нет, т.к. он не умеет разговаривать) 3 балла. Что принадлежит вам, однако другие пользуются им чаще, чем вы? (Ваше имя) 4 балла. Сколько будет 2+2*2? (6) 5 баллов. В каком месяце болтливая Светочка Говорит меньше всего? (В феврале-самом коротком месяце) Раздел ребусы 1 балл. Конус 27 2 балла. Линейка 3 балла. Точка 4 балла. Задача 5 баллов. Циркуль 28 Раздел продолжи числовой ряд. 1 балл. …, …, 5, 7, 9, …, …, … 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 2 балла. …, …, 21, 17, 13, …, … 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5 3 балла. …, 2, …,7, 11, 16, 22, …, 37, 46 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46 4 балла. 25, 24, 21, 20, 17, 16, … 25, 24, 21, 20, 17, 16, 13, 12, 9, 8 5 баллов. 9, 10, 12, 15, 19, 24, … 9, 10, 12, 15, 19, 24, 30, 37, 45, 54 Раздел эстафета по математике 1. В лукошке лежало 20 бананов и 15 апельсинов. Ангелина взяла 17 плодов и нарезала для начинки пирога. Можно ли с уверенностью сказать, что в пироге, приготовленном Ангелиной обязательно будут и бананы, и апельсины? (задача оценивается 4 баллами). а) можно б) нельзя 2. У отца Лизы всего шесть дочерей: 1 -Ноно, 2 -Нини, 3 - Нуну, 4 - Нана, 5 - Няня. Как зовут шестую дочь? (задача оценивается 4 баллами). 2 этап. Конкурс капитанов. Капитанам раздаются листки с геометрическими фигурами. Надо посчитать на каждом из них количество треугольников и четырехугольников. В это время остальным игрокам задаются загадки. 29 Загадки: Три стороны и три угла. И знает каждый школьник: Фигура называется, Конечно, ... (Треугольник) У нее нет ничего: Нет ни глаз, ни рук, ни носа, Состоит она всего Из условия с вопросом. (Задача) Нужно объяснять кому-то, Что такое час? Минута? С давних пор любое племя Знает, что такое... (Время) Эти знаки только в паре, Круглые, квадратные. Мы все время их встречаем, Пишем многократно. Заключаем, как в коробки, Числа в... (Скобки) Три плюс три и пять плюс пять, Нужно это сосчитать. Есть знак «плюс» и знак «равно», Может, «минус» - все равно. Складываем, вычитаем, Так, ребята, что решаем? (Примеры) 30 Думает он, что король, А на самом деле - ... (Ноль) 3 тур Черный ящик. В черном ящике лежит предмет, название которого произошло от греческого слова, означающего в переводе «игральная кость». Используется этот предмет в играх маленьких детей. Что находится в черном ящике?(Кубик). 4этап. Реши пример. На столе карточки с примерами. Примеры одинаковые для команд. По моему сигналу идете к столу по одному человеку от команды, каждый решает по одному примеру и идет обратно. За ними идут вторые игроки, потом третьи и т. д. Побеждает команда , выполнившая задание первой, при условии, что все примеры решены правильно. 5 х 6 +2 = 7 х 4 + 3= 9 х 5 + 1= 3 х 8 + 6= 2 х 9 + 10= 6 х 7 + 4= 8 х 7 + 5= 5 тур Сложи квадрат. Каждой команде раздаются геометрические фигуры, из которых нужно сложить квадрат. Также в школе можно создать кружок «Занимательная математика». Ребята будут решать различные задачи на смекалку, в том числе и по комбинаторике. 31 Заключение Моя курсовая работа посвящена теме методические приемы организации работы младших школьников по решению занимательных комбинаторных задач во внеурочной деятельности по математике. Изучая данную тему, я коротко рассказала об истории комбинаторики, рассмотрела понятие комбинаторики, проанализировала методы решения задач по комбинаторике.Также рассмотрела примеры задач с решениями по комбинаторике, которые часто встречаются в олимпиадных заданиях. Комбинаторика - это раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Она имеет огромное значение в обучении учеников эффективность начальной школы учебно-воспитательного математике. процесса, Повышается благодаря решению комбинаторных задач развивается мышление учеников. Увеличивается его быстрота и гибкость. В методах решения комбинаторных задач: переборе вариантов, древе возможных вариантов, составлении таблиц, построении граф-схем, есть свои достоинства и недостатки. Метод перебора вариантов наглядный, в нем можно увидеть абсолютно все варианты решения. Но данный путь очень длительный и можно пропустить какие-нибудь варианты.Древо возможных вариантов тоже наглядный метод решения комбинаторных задач. Но он очень громоздкий и длинный. Так что не все задачи могут быть решены таким способом. Комбинаторика сопровождает нас в жизни. Методика решения комбинаторных нужна нам при составлении расписаний, графиков работы. Таким образом, в ходе выполнениякурсовой работы все поставленные мною задачи были решены, цели были достигнуты в полном объеме согласно плану. 32 Список литературы 1. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение задач по комбинаторике» (практикум) - Махачкала: ДГУНХ, 2018. 2. Белокурова Е.Е. Методика обучения решению комбинаторных задач /Начальная школа. 1994. №12. 3. Белокурова Е.Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики /Начальная школа. 1992. №1. 4. Белокурова Е.Е. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов /Начальная школа. 1995. № 1. 5. Белокурова Е.Е. Характеристика комбинаторных задач / Начальная школа. 1994. №1. 6. Варга Т. Математика 2. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность: Математические игры и опыты. (перевод с немецкого) - М.: Педагогика, 1978. 7. Верзилин Н.М. Проблемы методики преподавания.– М.: Просвещение, 1983. 8. Истомина Н.Б. Математика. Комплект учебников для 1, 2, 3 и 4 классов. Смоленск: Ассоциация 21 век, 2011. 9. Истомина Н.Б. Учимся решать комбинаторные задачи. 3 класс / Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Издательство: Линка-Пресс, 2005. 10. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 4 класса четырехлетней начальной школы. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004. 11. Каиров И.А. Педагогический словарь.- М., 1960. 12. Катасонова А.Т. Простейшие комбинаторные задачи /Начальная школа - 1972. - № 9. 13. Кушнерук Е.Н., Айзенберг М.Н., Клименченко Д.В. Комбинаторные упражнения. /Начальная школа №6, 1977. 14. Солнышко С.В. Использование комбинаторных задач при обучении первоклассников математике / Начальная школа -1996-№2. 33 15. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студентов высших педагогических учебных заведений -2-е издание, - М.: Издательский центр «Академия», 2004. 16. Стойлова Л.П. Способы решения комбинаторных задач /Начальная школа. - 1994. - №1. 17. Чуракова Р.Г. Программа курса внеурочной деятельности по математике «Готовлюсь к школьной олимпиаде». 34