М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄1► Лекция 4. Комплексные числа. Определение; операции над комплексными числами; геометрическая интерпретация; тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа. Алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Как уже отмечалось в курсе математического анализа, потребность в расширении понятия вещественного (действительного)1 числа возникает уже в простейших задачах алгебры. Например, тот факт, что уравнение x 2 1 0 имеет действительные корни, а урав- нение x 2 1 0 их не имеет, вызывает естественное желание исправить эту очевидную «дисгармонию» и «неравноправное положение» одних квадратных уравнений по отношению к другим. Исторически понятие комплексного числа как раз и возникло в результате попыток преодоления проблем, подобных только что описанной. Ход рассуждений, используемых на пути такого преодоления, кратко описан ниже. Главным инструментом, лежащим в основе вещественного анализа функциональных зависимостей, является действительное число, или, в более общей форме, упорядоченный набор таких чисел – точка или вектор соответствующего арифметического пространства. Вводимые в математике действия над векторами можно условно разделить на две группы. Первую составляют операции умножения на действительное число и сложение. Они, как известно, выполняются над операндами поэлементно, а возможность их реализации не зависит от размерности векторов. 1 Не следует придавать используемым здесь и далее терминам «действительный», «мнимый» и пр. чрезмерно яркой буквально-смысловой окраски. Это лишь исторически сложившиеся словесные обозначения некоторых алгебраических объектов. ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄2► Вторая группа состоит из действия умножения векторов друг на друга. Известные из векторной алгебры типы такого умножения – это скалярное и векторное умножения векторов, изучающиеся уже в средней школе. Однако с чисто алгебраической точки зрения оба эти вида умножения векторов должны быть признаны неудовлетворительными по следующим причинам. Скалярное произведение векторов – число (скаляр), а не вектор, как операнды. Таким об- разом, эта операция выводит из множества, в котором лежат подвергаемые ей векторы. Векторное произведение хотя и является вектором, но не допускает обратной операции, поскольку «векторное деление» для этой операции не определено. Оказывается, однако, что для двухкомпонентных2 упорядоченных наборов действительных чисел можно так ввести операцию умножения, что она будет обладать всеми известными из арифметики и естественными с алгебраической точки зрения свойствами. Именно это обстоятельство лежит в основе приводимого ниже определения комплексных чисел. ◀Определение▶ Комплексные числа – это упорядоченные пары действительных чисел вида ( x, y ) для которых следующим образом определены понятия равенства и операции сложения и умножения. 1∞. Равенство комплексных чисел x 1 x 2 . ( x1 , y1 ) ≝ ( x 2 , y 2 ) y 1 y 2 Иными словами, два комплексных числа считаются равными лишь если в соответствующих парах как числа, стоящие на первом месте, так и числа, стоящие на втором, – равны. Традиционным обозначением комплексного числа ( x, y ) является латинская буква z (малая): z ≝ ( x, y ) . 2 И только для них! ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄3► 2∞. Сложение (4.1) x x1 x2 z ≝ z 1 z2 , или ( x, y ) ≝ ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) . y y1 y2 Как видно, равенство и сложение комплексных чисел определяются покомпонентно. 3∞. Умножение (4.2) x x1 x2 y1 y2 . z ≝ z 1 z2 , или ( x, y ) ≝ ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) y x1 y2 x 2 y1 Выше для обозначения равенства комплексных чисел, их суммы и произведения использованы стандартные обозначения « », « », « »3. ◆Примеры: 1). z 1 (1, 2) ; z2 (3, 5) . ∙ z 1 z2 (1 3, 2 5) (2, 7) ; ∙ z 1 z2 (1 3 2 5, 1 5 2 3) (13, 1) . Рассмотрим комплексные числа вида ( x, 0) . В соответствии с определениями (4.1), (4.2) имеем ∙ ( x 1 , 0) ( x 2 , 0) ( x 1 x 2 , 0) , ∙ ( x 1 , 0) ( x 2 , 0) ( x 1 x 2 0, 0 0) ( x 1 x 2 , 0) . Как видно, число нуль на втором месте в операндах «передается» и результату как сложения, так и умножения. В первой позиции при этом происходит в точности то же, что при сложении и умножении действительных чисел x 1 , x 2 . 3 Как и в вещественнозначной алгебре точку умножения можно по соглашению не писать. Тем не менее, в ряде случаев бывает удобно все-таки писать ее. Наконец, в ряде случаев без нее просто не обойтись. ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄4► На основании этого комплексные числа указанного вида отождествляются с действительными числами: ( x, 0) x . Таким образом, множество комплексных чисел, обозначаемое , включает множество действительных чисел : . Поскольку пару (1, 0) приходится отождествлять с числом 1 , то можно еще написать (4.3) ( x, 0) ( x, 0) (1, 0) x (1, 0) . Аналогично обозначается умножение любого комплексного числа ( x, y ) на дейст- вительное число (, 0) : z (, 0) ( x, y ) (x, y ) 4. Рассмотрим теперь комплексные числа, у которых нуль стоит на первой позиции: z (0, y ) . Для таких чисел в соответствии с (4.2) справедливо равенство (0, y ) ( y, 0) (0,1) y (0,1) . Число (0,1) в этой формуле называется мнимой единицей5 и обозначается символом i (реже j ): i (0,1) . Квадрат этого числа, т.е. его произведение на себя, находим по (4.2): i 2 i i (0,1) (0,1) (0 0 1 1, 0 1 1 0) (1, 0) 1 . Итак, (4.4) i 2 1 . Понятно, что действительные числа таким свойством обладать не могут, что оправдывает исторически закрепившееся за комплексными числами вида (0, y ) название – чисто мнимые. Заметим, что (0, 0) 0 единственное комплексное число, которое является одновременно и действительным и чисто мнимым. 4 Можно видеть, что умножение комплексного числа на действительное число выполняется покомпонентно. 5 См. сноску на 1 й странице. ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄5► АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА С учетом сказанного выше запишем равенство (4.5) z ( x, y ) ( x, 0) (0, y ) x y (0,1) x iy . Это соотношение и есть алгебраическая форма записи комплексного числа. Используя ее, можно переписать данные выше определения равенства, суммы и произведения комплексных чисел в более привычной форме x1 x2 ∙ x1 iy1 ≝ x2 iy2 y1 y2 x x1 x2 ∙ x iy ≝ ( x1 iy1 ) ( x2 iy2 ) y y1 y2 x x1 x2 y1 y2 ∙ x iy ≝ ( x1 iy1 ) ( x2 iy2 ) y x1 y2 x2 y1 ◀Определение▶ В формуле (4.5) (равно как и в паре ( x, y ) ) действительное число x называют действительной частью комплексного числа z , а действительное число y его мнимой частью, обозначая их следующим образом x Re z Re ( x iy ) . y Im z Im ( x iy ) ◀Определение▶ Комплексное число ( x, y ) x iy называется сопряженным (нередко говорят комплексно сопряженным) числу (с числом) ( x, y ) x iy и обозначают сопряжение го- ризонтальной верхней чертой: (4.6) z x iy ≝ x iy Для всякого комплексного числа z оно само и z взаимно сопряженные, поскольку z x iy x iy z . ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄6► Далее, равенство z z имеет место лишь в том случае, когда y 0 , т.е. если z действительное число. ◀Определение▶ Действительное число x2 y2 называется модулем комплексного числа z x iy и обозначается посредством z : (4.7) z ≝. x 2 y 2 x iy . Ясно, что для z z 0 , причем z 0 z 0 i 0 0 . Если z x , т.е. когда z действительное число, его модуль, определяемый равенством (4.7), совпадает с абсолютной величиной x : z x 2 02 x . Полезно также заметить, что z z ( x iy )( x iy ) ( x 2 y 2 , 0) x 2 y 2 z 2 Произведение любого комплексного числа на сопряженное с ним число равно квадрату его модуля. Модули сопряженных комплексных чисел z и z , очевидно, совпадают: z x2 y 2 x 2 ( y ) 2 z . СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ I. Коммутативность (переместительный закон) z 1 z2 z2 z 1 ; z 1 z2 z2 z 1 II. Ассоциативность (сочетательный закон) ( z 1 z2 ) z3 z1 ( z 2 z3 ) ; ( z 1 z2 ) z3 z1 ( z 2 z3 ) III. Дистрибутивность (распределительный закон) Умножение комплексных чисел дистрибутивно (распределительно) по отношению к сложению: ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄7► ( z 1 z2 ) z3 z1 z 3 z2 z3 Доказательство Докажем некоторые из сделанных выше утверждений (остальные доказываются аналогично) ▶ коммутативность сложения z 1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) , z 2 z1 ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) ( x2 x1 , y2 y1 ) ● используем коммутативность сложения действительных чисел ● ( x1 x2 , y1 y2 ) z 1 z2 , что и требовалось доказать. ▶ ассоциативность умножения ( z 1 z2 ) z3 (( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )) ( x3 , y3 ) ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) ( x3 , y3 ) (( x1 x2 y1 y2 ) x3 ( x1 y2 x2 y1 ) y3 , ( x1 x2 y1 y2 ) y3 ( x1 y2 x2 y1 ) x3 ) ( x1 x2 x3 y1 y2 x3 x1 y2 y3 x2 y1 y3 , x1 x2 y3 y1 y2 y3 x1 y2 x3 x2 y1 x3 ) . 1 2 3 4 5 6 7 8 z 1 ( z2 z3 ) ( x1 , y1 ) [( x2 , y2 )( x3 , y3 )] ( x1 , y1 ) ( x2 x3 y2 y3 , x2 y3 x3 y2 ) ( x1 ( x2 x3 y2 y3 ) y1 ( x2 y3 x3 y2 ), x1 ( x2 y3 x3 y2 ) y1 ( x2 x3 y2 y3 ) ( x1 x2 x3 x1 y2 y3 y1 x2 y3 y1 x3 y2 , x1 x2 y3 x1 x3 y2 y1 x2 x3 y1 y2 y3 ) ( z 1 z2 ) z3 . 1 3 4 2 5 7 8 6 ▶ дистрибутивность умножения относительно сложения ( z 1 z2 ) z3 [( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )] ( x3 , y3 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ( x3 , y3 ) (( x1 x2 ) x3 ( y1 y2 ) y3 , ( x1 x2 ) y3 ( y1 y2 ) x3 ) , 1 2 3 4 z 1 z3 z2 z3 ( x1 , y1 )( x3 , y3 ) ( x2 , y2 )( x3 , y3 ) ( x1 x3 y1 y3 , x1 y3 x3 y1 ) ( x2 x3 y2 y3 , x2 y3 x3 y2 ) ( x1 x3 y1 y3 x2 x3 y2 y3 , x1 y3 x3 y1 x2 y3 x3 y2 ) ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄8► (( x1 x2 ) x3 ( y1 y2 ) y3 , ( x1 x2 ) y3 ( y1 y2 ) x3 ) ( z 1 z2 ) z3 . 1 2 3 4 Из приведенных свойств операций сложения и умножения вытекает, что формально можно выполнять их над записанными в алгебраической форме комплексными числами в точности так же, как если бы число « i » было действительным. При этом нет необходимости помнить определение (4.2), а следует лишь всюду, где возникают натуральные степени 1) ( 1) i i , или i 2008 (i 2 )1004 (1)1004 1 и т.п. i , заменять i 2 на 1 . Например, i 5 ( i 2 i 2 Далее, числа 0 и 1 (действительные) обладают в множестве комплексных чисел теми же свойствами, что и в множестве , а именно: z 0 z ; z 0 0; z 1 z , z . ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ◀Определение▶ Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число, кото- рое в сумме с z2 дает z1 : z ≝ z1 z2 z z2 z1 . Разность 0 z обозначается z и равна произведению числа 1 на z (докажите). Из определения (4.2) получаем в итоге x x 1 x2 z1 z2 z x iy y y 1 y2 x1 iy1 x2 iy2 Частным комплексных чисел z1 и z2 назовем такое комплексное число z , кото- рое, будучи умножено на z2 , дает z1 : (4.8) z ≝. z1 z2 zz2 z1 . Умножим обе части (4.8) на z2 : zz2 z2 z ( x22 y22 ) z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН (4.9) z ◄9► ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) x22 y22 при условии, что x22 y22 0 , т.е. z2 0 . Как видно, уравнение zz2 z1 имеет в этом случае единственное решение относительно z , определяемое формулой (4.9), которую можно записать еще и так: z x1 x2 y1 y2 i ( x2 y1 x1 y2 ) x1 x2 y1 y2 x y x y i 2 21 12 2 . 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 Иными словами, Re z1 x1 x2 y1 y2 z x y x y , Im 1 2 21 12 2 . На практике нет необхо 2 2 z2 z2 x2 y2 x2 y2 димости запоминать эти формулы. ◆Пример: 1 i (1 i )(2 3i ) 2 3 2i 3i 1 5 2 i . 2 2 3i (2 3i )(2 3i ) 13 13 2 (3) Заметим, что операция вычисления модуля комплексного числа действует на произведение и частное так же, как и в действительном случае, а именно z1 z2 z1 z2 ; z z1 1 . z2 z2 В самом деле, z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) x1 x2 y1 y2 i ( x1 y2 x2 y1 ) z1 z2 2 ( x1 x2 y1 y2 ) 2 ( x1 y2 x2 y1 ) 2 x12 x22 2 x1 x2 y1 y2 y12 y22 x12 y22 2 x1 y2 x2 y1 x22 y12 2 2 x12 ( x22 y22 ) y12 ( x22 y22 ) ( x12 y12 )( x22 y22 ) z1 z2 в силу неотрицательности модуля z1 z2 z1 z2 , что и требовалось доказать. Ясно, что последнее равенство легко обобщается на любое число сомножителей (обобщите). Теперь, вследствие того, что z1 z z2 z1 , находим по доказанному: 1 z2 z1 z2 z2 z1 z z1 , z2 0 . z2 , а тогда 1 z2 z2 z2 ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 10 ► ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Формулу (4.5) удобно интерпретировать как разложение плоского вектора6 z x iy по базису 1; i декартовой прямоугольной системы координат Oxy 7. По оси абсцисс этой координатной системы принято откладывать значение x Re z , а по оси ординат – значение y Im z : Im z ( y ) Начало вектора y i O z в начале координат; конец –в точке с координатами x 1 ( x, y ) . Re z ( x) В соответствии с этой традицией ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Саму же координатную плоскость именуют комплексной плоскостью, или плоскостью . Поскольку координаты векторов (точек) z и z – противоположные действительные числа, то на комплексной плоскости они симметричны относительно начала координат, а векторы (точки) z и z , отличающиеся только знаком мнимой части, симметричны относительно действительной оси. Модуль комплексного числа должен теперь быть интерпретирован как длина вектора z , либо как расстояние от точки z до начала координат. Отсюда немедленно следует, что Re z z , Im z z , z . Сложение (вычитание) комплексных чисел приобретает форму сложения (вычитания) векторов по известным геометрическим правилам треугольника или параллелограмма (см. следующий рисунок). Расстояние между точками z1 , z2 равно z1 z2 z2 z1 (таков же был и геомет- рический смысл абсолютной величины в действительном случае). z это точка ( x, y ) на координатной плоскости. 6 Можно также считать, что 7 Роль координат в этом разложении играют действительная и мнимая части ЛЕКЦИЯ 4 z , т.е. числа x и y . М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 11 ► Im z z1 z2 z2 z1 O Re z z1 z2 z2 ◆Примеры: 1). CR z : z z0 R , R 0 множество точек z комплексной плоскости, равноуда- ленных на расстояние R от фиксированной ее точки z0 . Таким образом, указанные точки z , удовлетворяющие уравнению z z0 R , составляют окружность радиуса R с центром в точке z0 ( x0 , y0 ) . 2). Уравнение z z1 z z2 определяет множество точек z плоскости , равноуда- ленных от двух фиксированных ее точек z1 и z2 z1 . Очевидно, что это серединный перпендикуляр отрезка между z1 и z2 : Im z z z2 z1 O l Re z В координатной форме уравнение серединного перпендикуляра l имеет вид l : ( x x1 ) i ( y y 1 ) ( x x 2 ) i ( y y 2 ) ( x x1 ) 2 ( y y 1 ) 2 ( x x 2 ) 2 ( y y 2 ) 2 x 2 2 xx1 x12 y 2 2 yy1 y12 x 2 2 xx 2 x22 y 2 2 yy 2 y22 ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 12 ► 2 x ( x2 x1 ) 2 y ( y2 y1 ) x12 y12 x22 y22 0 . 3). Уравнение z z1 z z2 2a , где a 1 z1 z2 , определяет на плоскости гео2 метрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости z1 , z2 постоянна и превосходит расстояние между ними. Как известно, то эллипс с фокусами в точках z1 , z2 и большей полуосью, равной a : Im z z z2 O Re z z1 2a НЕРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА Для любых комплексных чисел z1 , z2 выполнены соотношения (неравенства треугольника) z1 z2 (4.10) z1 z2 z1 z2 . а ). б ). В этих неравенствах легко усмотреть известные из элементарной геометрии соотношения между длинами сторон треугольника, имеющего вершины в точках 0, z1 , z1 z2 : а). в любом треугольнике длина стороны не меньше разности длин двух других его сто- рон. б). в любом треугольнике длина стороны не больше суммы длин двух других его сторон. Хотя их можно доказать формально, проще Ниже приводится формальное доказательство неравенств (4.10). ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН б). z1 z2 z1 z2 2 2 z1 2 2 z1 z2 z2 x12 y12 2 z1 z2 x22 y22 x1 x2 y1 y2 2 ◄ 13 ► ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 x12 y12 x22 y22 . Очевидно, что для отрицательной левой части последнее неравенство истинно. Оно истинно и для неотрицательной левой части, поскольку в этом случае оно равносильно неравенству ( x1 x2 y1 y2 )2 ( x12 y12 ) ( x22 y22 ) , которое само истинно: x12 x22 y12 y22 2 x1 x2 y1 y2 x12 x22 x12 y22 x22 y12 y12 y22 x12 y22 2 x1 x2 y1 y2 x22 y12 0 ( x1 y2 x2 y1 ) 2 0 истина. Итак, в любом случае доказываемое неравенство равносильно истинному числовому неравенству и потому само истинно. а). 2 z1 z2 z1 z2 2 z1 2 2 z1 z2 z2 x12 x22 2 x1 x2 y12 y22 2 y1 y2 x12 y12 ( x1 x2 y1 y2 ) x12 y12 2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 x22 y22 x1 x2 y1 y2 x22 y22 . Вновь для отрицательной левой части это неравенство истинно, а для неотрицательной оно равносильно неравенству ( x1 x2 y1 y2 ) 2 ( x12 y12 ) ( x22 y22 ) , истинность которого уже доказана выше. Обобщением неравенства б). в (4.10) служит следующее выражение n n m 1 m 1 z m zm (4.11) – модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей слагаемых, также хорошо известное в случае z . ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Помимо декартовых координат x, y положение точки на плоскости можно охарактеризовать также ее полярными координатами r , : r – полярный радиус – расстояние от точки до фиксированной точки плоскости, назы- ваемой полюсом полярной системы координат; ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 14 ► – полярный угол – угол между размерность радиус-вектором точки и лучом, выпу- щенным произвольно в определенном направлении из полюса и лежащим в плоскости. Этот луч именуется полярной осью. Положительное направление отсчета угла против часовой стрелки, см. следующий рисунок. z r полюс l O полярная ось Принято размещать изображенную фигуру на комплексной плоскости так, чтобы полярная ось совпадала с ее действительной осью, а полюс – с точкой z 0 началом декартовой системы: Im z z r O (полюс) Re z l Угол именуют аргументом комплексного числа z : arg z . Для полюса, т.е. точки z 0 значение не определено. В полярных координатах описанного вида z x 2 y 2 r , а связь декартовых и x r cos . Применив (4.5), можем полярных координат точки z выражают формулы y r sin представить любое комплексное число z 0 в виде (4.12) z x iy r (cos i sin ) ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 15 ► Запись (4.12) называют тригонометрической формой комплексного числа. Аргумент комплексного числа, заданного в алгебраической форме z x iy , определяется из системы уравнений ( z 0 ) x cos r sin y r (4.13) x x2 y 2 y x y2 2 и определен неоднозначно. Все возможные его значения задаются формулой (∗) arg z 0 2k , где 0 одно (любое) из решений системы (4.13), k .Следствием системы (4.13) является равенство tg (4.14) y , x 0. x Следует иметь в виду, что среди значений , удовлетворяющих этому уравнению, есть и такие, которые не являются решениями системы (4.13), т.е. не могут быть значениями arg z . ◆Пример: z i 1 , так что x 1, y 1 . Ясно, что в качестве 0 можно выбрать 0 arg(i 1) 3 2k , k . 4 Im z i 1 i 0 1 ЛЕКЦИЯ 4 3 4 Re z O 3 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 16 ► Уравнение (4.14) сводится к следующему: tg 1 и имеет корни m . Находящиеся среди них числа m , 4 2l , l , не являются значениями функ4 ции arg(i 1) 8, а остальные являются. Пусть в (4.12) r z 1 . Тогда z cos i sin f () . Стоящее в правой части этого равенства выражение, как функция переменной , обладает следующими свойствами. ∙ f (1 2 ) cos(1 2 ) i sin(1 2 ) cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i (sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 ) (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) f (1 ) f (2 ) ; ∙ f (1 2 ) cos(1 2 ) i sin(1 2 ) cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i (sin 1 cos 2 sin 2 cos 1 ) f (1 ) (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) (cos 1 i sin 1 ) ; (cos 2 i sin 2 )(cos 2 i sin 2 ) (cos 2 i sin 2 ) f (2 ) cos 2 2 sin 2 2 1 ∙ d d f () (cos i sin ) sin i cos i (cos i sin ) i f () 9. d d Как видно, два первых свойства полностью совпадают со свойствами показатель- ной функции, а последнее показывает, что показатель экспоненты есть i . 8 В отличие от большинства функций действительного анализа эта функция многозначная. Ее многозначность обусловлена «устройством» (топологической структурой) плоскости . В ряде случаев бывает целесообразно тем или иным способом выделить т.н. однозначные ветви этой многозначной функции с тем, чтобы каждой точке комплексной плоскости, кроме начала координат, соответствовало единственное значение аргумента. В этом случае аргумент изменяется на полуотрезке длиной 2 . Ветвь Arg z : 0 Arg z 2 называется главным значением аргумента. В некоторых учебниках так называют ветвь, отвечающую промежутку ( , ] . 9 Правила дифференцирования применим так, как если бы « i » была вещественной константой. ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 17 ► Опираясь на эти эвристические рассуждения, по определению полагают (4.15) ei cos i sin . Формула (4.15) называется формулой Эйлера. ◆Примеры: e 2 i cos 2 i sin 2 1; e e i 4 i 2 i cos i sin i ; e 2 cos i sin i ; 2 2 2 2 i 1 cos i sin и т.п. 2 4 4 Из (4.15) выводим e i cos i sin , что вкупе с (4.15) дает возможность записать 2 cos , откуда последует, что ei e i (cos i sin ) (cos i sin ) 2i sin e i e i ; 2 . e i e i sin . 2i cos (4.16) Соотношения (4.16), посредством которых cos и sin выражаются через эйлерову экспоненту ei , также называют формулами Эйлера. Возводя обе части равенства (4.15) в действительную степень n и пользуясь свойствами экспоненциальной зависимости, приходим к известной формуле Муавра (4.17) (ei ) n ein (cos i sin ) n cos n i sin n , n . Эта формула – мощное средство получения множества соотношений, известных из тригонометрии и выводимых там зачастую менее эффективными методами. ◆Примеры: 1). (cos i sin ) 2 cos 2 2i sin cos sin 2 cos 2 i sin 2 . ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 18 ► Отсюда, приравняв действительные и мнимые части левой и правой частей равенства, получаем известные формулы двойного угла ▶ cos 2 cos 2 sin 2 ; sin 2 2sin cos . Аналогично можно получить, например, и полезные в ряде случаев формулы тройного угла, отталкиваясь теперь от равенства (cos i sin )3 cos3 3cos 2 i sin 3cos i 2 sin 2 i 3 sin 3 cos 3 i sin 3 , которое дает ▶ cos 3 cos3 3cos sin 2 cos (cos 2 3sin 2 ); ▶ sin 3 3cos 2 sin sin 3 sin (3cos 2 sin 2 ) . 2). Вычислим суммы S1 1 cos cos 2 cos n и S 2 0 sin sin 2 sin n . Положим S S1 iS2 1 (cos i sin ) (cos 2 i sin 2) (cos n i sin n) 1 ei ei 2 ein (сумма (n 1) го члена геометрической прогрессии со знаменателем ei ) i i n 12 1 1 e 2 e e cos n cos i sin n sin i ( n 1) 2 2 2 2 e 1 i i i i 2 e 1 2 sin e e 2 i 2 2i e2 2i i 2 sin 2 1 i sin n sin 2 2 2sin 2sin 2 2 1 ЛЕКЦИЯ 4 1 cos n cos . 2 2 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 19 ► Таким образом, 1 sin n sin 2 2 S1 cos k k 0 2sin 2 n (4.17)1 n 2sin n 2 2 cos 2 2 sin (n 1) cos n 2 2 2 2 . sin 2sin 2 2 1 cos n cos 2 2 S 2 sin k k 1 2sin 2 n (4.17)2 2sin n n 2 2 sin 2 2 sin (n 1) sin n 2 2 . 2 2 2sin sin 2 2 Важный вывод: S1 и S 2 ограниченные величины: S1 1 sin 2 , S2 1 sin 2 . Использованные при выводе формулы замены сумм тригонометрических функций произведениями сами могут быть получены из формул Эйлера (4.16). 3). Так, например, sin a sin b eia e ia eib e ib ei ( a b ) ei ( a b ) ei (b a ) e i ( a b ) 4 2i 2i cos(a b) i sin(a b) cos(a b) i sin(a b) cos(b a ) i sin(b a ) cos(a b) i sin(a b) 4 cos(a b) cos(a b) x y x y . Полагая здесь a b x , a b y a ,получаем ,b 2 2 2 окончательно cos x cos y 2sin ЛЕКЦИЯ 4 x y x y и т.п. sin 2 2 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 20 ► 4). Формулы Эйлера (4.15), (4.16) служат отправной точкой для обобщения элементарных функций вещественного анализа на случай комплексных переменных. Не имея целью в данном курсе лекций изучать функции комплексного переменного систематически, приведем, тем не менее, несколько определений таких функций. Итак, пусть z x iy . ∙ e z e x i y ≝ e x eiy e x (cos y i sin y ) ; eiz e iz ei ( x iy ) e i ( x iy ) e y ix e y ix e y (cos x i sin x) e y (cos x i sin x) 2 2 2 2 ∙ cos z ≝ cos x e y e y e y e y i sin x cos x ch y i sin x sh y ; 2 2 ∙ sin z ≝ eiz e iz ei ( x iy ) e i ( x iy ) e y ix e y ix e y (cos x i sin x) e y (cos x i sin x) 2i 2i 2i 2i cos x ∙ ch z ≝ e y e y e y e y sin x sin x ch y i cos x sh y 10; 2i 2 e z e z e x iy e x iy e x (cos y i sin y ) e x (cos y i sin y ) 2 2 2 e x e x e x e x cos y i sin y cos y ch x i sin y sh x ; 2 2 ∙ sh z ≝ e z e z e x iy e x iy e x (cos y i sin y ) e x (cos y i sin y ) 2 2 2 cos y e x e x e x e x i sin y cos y sh x i sin y ch x ; 2 2 Эти определения вскрывают органическую связь экспоненты, тригонометрических и гиперболических функций, которая не была такой явной в действительном случае. Все выписанные выражения сводятся к действительному случаю, если в них положить Im z 10 Учтено, что 1 / i i . ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 21 ► y 0 . Введенные функции комплексного переменного «наследуют» часть свойств от своих вещественных аналогов, но приобретают и некоторые новые свойства. ▲ Проверьте, что по-прежнему sin 2 z cos 2 z 1 . ▲ Выясните, имеет ли решения уравнение cos z 3 и если да, то найдите все эти решения. ▲ Докажите, что ch(iz ) cos z , ch z cos(iz ) ; sh(iz ) i sin z , sh z i sin(iz ) . ▲ Выведите формулы Муавра для гиперболических функций: (ch sh ) n ch n sh n , n. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Из (4.12), (4.15) следует, что z r (cos i sin ) rei , z , z 0 . (4.18) Такое представление комплексного числа называется его показательной формой. Можно написать еще z z ei arg z , z , z 0 . (4.18’) Свойства экспоненты, фигурирующей в (4.18), (4.18’), позволяют дать простые правила выполнения умножения и деления комплексных чисел. Действительно, ∙ z 1z2 r1 ei1 r2 ei2 r1 r2 ei ( 1 2 ) , ∙ z 1 r1 z2 r2 i ( 1 2 ) , z2 0 . e Таким образом, модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) их модулей, а сумма (разность) аргументов сомножителей (делимого и делителя) является аргументом произведения (частного): ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (4.19)1 1 arg z1 1 2 arg( z1 z2 ) . z1 z2 z1 z2 ; 2 arg z2 (4.19)2 z z1 1 ; z2 0 ; z2 z2 z 1 arg z1 1 2 arg 1 2 arg z2 z2 ◄ 22 ► . Те из соотношений (4.19), которые связаны с модулями, были ранее выведены другими способами (см. стр. 9). Экспоненциальная форма комплексных чисел дает удобный способ получения ряда важных результатов в геометрии. ◆Пример: Найдем связь «старых» и «новых» координат плоского вектора при повороте осей д.п.с.к. Oxy . Im z Im z Re z z угол поворота осей д.п.с.к. O Re z Пусть новые координаты вектора z будут x , y . Поскольку поворот осей на угол равносилен повороту z на угол , то получаем z z ei ( ) z ei e i z e i , или x iy ( x iy )(cos i sin ) x cos y sin z z x i ( y cos x sin ) . y x x cos y sin Итак, искомая связь новых и старых координат z имеет вид , y y cos x sin ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 23 ► x cos sin x x M . или в матричной форме y sin cos y y x Здесь действие на вектор оператора поворота на угол равнозначно умно y cos sin жению на него матрицы M . sin cos ▲ Дайте геометрическую интерпретацию матричному равенству cos sin cos() sin() cos sin cos sin M M 2 . sin cos sin() cos() sin cos sin cos ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА ◀Определение▶ Пусть a , a 0 . Корнем n й степени из комплексного числа a называется комплексное число z , n й степень которого равна a , т.е. (4.20) zn a , n . Корень n й степени из a обозначается стандартным образом, а именно как n a. Будем решать уравнение (4.20) относительно z , используя показательную форму представления чисел z , a . Для этого положим z rei , a ei , где arg z (какое-то из значений аргумента z ) и arg a (тоже некоторое значение многозначной функции arg a , см. равенство (∗), стр. 15). Тогда z n r n ei n , а уравнение (4.20) следует истолковать как равенство двух комплексных чисел, представленных в экспоненциальной форме. В связи с многозначностью аргумента можем записать следующее условие эквивалентности r n (4.20) . n 2k , k ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 24 ► Эта система условий определяет величину модуля искомого числа z и множество значений его аргумента в виде r n (арифметический корень n й степени из положительного числа ); k 2k , k . n n Бесконечное количество значений аргумента в последней формуле не должно вводить в заблуждение по поводу количества различных решений уравнения (4.20). В самом деле, ввиду того, что n , а k , имеется только n различных точек на комплексной плоскости, изображающих решения (4.20). Это обстоятельство обусловлено тем, что изменяя k , скажем, от значения k 0 (можно и от любого другого целого значения) с шагом 1, т.е. в сторону его увеличения (можно и с шагом 1 в сторону уменьшения), через n шагов получим аргумент n 2n 2 , отличающийся от 0 на полn n n n ный оборот. Следовательно, числа z0 rei0 и zn rein изображаются одной и той же точкой на комплексной плоскости (их алгебраические формы тождественны). Далее описанное совпадение ( z1 с zn 1 , z2 с zn 2 и т.д.) продолжится с цикличностью в n шагов. Итак, различными решениями уравнения (4.20) будут z e k n (4.21) n ( a )k n 2 k i n n , k 0, 1, , n 1 . a ◆Замечание Если в качестве взять какое-либо иное значение arg a , то множество точек, описываемое формулой (4.21), не изменится. Могут измениться лишь «начальная точка» и направление обхода этого множества (последнее зависит от «направления» изменения номера k ). ◆Примеры: 1). Извлечь квадратный корень из числа i . ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 25 ► i Имеем a i i e i arg i 1 e 2 , где в качестве значения аргумента i взято число 2 (можно взять любое из чисел 2m , m ). 2 Тогда квадратные корни из i задаются формулой zk k 0, 1 . Их два, а именно: z0 z1 i 1e k e i k 4 , Im z i 2 i (1 i ); 0 2 2 i (1 i ). 1 2 k i 2 2 /4 O 0 Re z i 1 2). Извлечь корень 4 q степени из числа 1. В этом случае 1 1 ei0 , так что 1 , 0 , откуда по (4.21) находим Im z 1 4 z0 1 e i 2 1 e 1 e z1 z2 0 i 0 z3 1 i 2 1 3 e 1 1; 1 1 4 4 i; i. 0 Re z O 1; 3 i 2 2 1 4 3 3). Два предыдущих примера показывают, что сумма всех корней натуральной степени из комплексного числа a 0 равна нулю. Докажем это в общем виде. Из (4.21) суммированием по k находим i n 1 n 1 zk n e n e k 0 k 0 ЛЕКЦИЯ 4 2 ki n 1 e ni 2 n 2 (1 e i e 2 i e( n 1) i 1 e i n Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 26 ► 1 e 2 i 11 0 , что и требовалось доказать. i 1 e 1 e i 4). Пусть a , т.е. корень натуральной степени извлекается из действительного числа. Тогда можем взять 0 и формула (4.21) преобразуется к виду ( a )k n n a e 2 ki n , k 0, 1, , n 1 . Отсюда следует, что n a n k a e n 2 ( n k )i n 2 i n a e e 1 Это означает, что при Im 2 ki n n a e 2 ki n a n . k a 0 наряду с числом a n n k ния (4.20) содержится также и комплексно сопряженное число среди корней уравне- k a n k . Применения комплексных чисел в математике многочисленны и разнообразны. Достаточно сказать, что на этом фундаментальном понятии основан большой раздел математических методов, именуемый теорией функций комплексного переменного (ТФКП). Одной из важных алгебраических задач, при решении которой используются комплексные числа, является отыскание корней так называемого алгебраического уравнения – уравнения вида (4.22) Pn ( z ) 0 . где функция Pn ( z ) an z n an 1 z n 1 a 1 z a0 , an 0 многочлен степени n от переменной z (комплексной), коэффициенты которого an a0 также комплексные числа. Частной формой задачи (4.22) является задача решения квадратного уравнения с действительными коэффициентами, но отрицательным дискриминантом, неразрешимая в действительных числах. Получим решение этой задачи в общем виде. Пусть дано квадратное уравнение относительно x вида ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 27 ► ax 2 bx c 0 . (4.23) После выделения полного квадрата по x и деления обеих частей на a 0 , находим b b2 a x2 2 x 2 2a 4a 2 b2 b b 2 4ac c a x 0 , или 2a 4a 4a 2 b D 2 x 2 , где D b 4ac 0 дискриминант заданного уравнения. 2a 4a Задача свелась к извлечению квадратного корня из отрицательного числа Поскольку D . 4a 2 1 i (проверьте, используя общий результат (4.21)), то D D D i i , каков бы ни был знак числа a (отбрасывание знака абсо2 2 a 2a 4a лютной величины только меняет порядок корней). Следовательно, комплексное число x D b – может быть записано в виде – искомый квадратный корень из 2a 4a 2 x b D i , а тогда в традиционной записи 2a 2a x1,2 (4.24) b D i корни уравнения (4.23). 2a Заметим, что результат (4.24) легко обобщается на случай произвольных комплексных коэффициентов квадратного уравнения. Именно, корни такого уравнения даются формулой (4.24’) где x1,2 b D , 2a D – это квадратный корень из числа D , которое следует трактовать как комплекс- ное. При D 0 этот корень имеет два различных значения. ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 28 ► ◆Пример: x 2 x 1 0 D 1 4 3 и по формуле (4.24) получаем x1,2 диться прямой подстановкой чисел 1 3i (полезно убе2 1 3i в данное уравнение в том, что они действи2 тельно ему удовлетворяют). Как видно, решением оказалась пара комплексно сопряженных чисел 1 3i 2 1 3 1 3i 1 3 i и i. 2 2 2 2 2 Итак, введение комплексных чисел делает решение задачи о нахождении корней квадратного уравнения (в частности, «школьного», т.е. имеющего действительные коэффициенты) логически завершенным. Теперь все без исключения квадратные уравнения имеют корни, причем их всегда ровно два (с учетом кратности). Напомним, что квадратное уравнение имеет корень кратности 2 тогда и только тогда, когда выполнено равенство 2 b b ax bx c a x . D 0 , так что x1,2 2a 2a 2 Обобщением этого факта является следующее фундаментальное утверждение, известное под именем основной теоремы алгебры: Всякое алгебраическое уравнение имеет корень (комплексный). Следствием из этого утверждения является другое: Алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней с учетом кратности. Понятие кратности корня устанавливает следующее ◀Определение▶ Число z0 есть m кратный корень уравнения (4.22), если многочлен Pn ( z ) делится нацело на ( z z0 ) m , но не на ( z z0 ) m 1 , m . ЛЕКЦИЯ 4 М ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН ◄ 29 ► ◆Замечание Уравнение (4.20) при a 0 имеет n кратный корень z 0 . На практике часто приходится решать уравнения вида (4.22) с действительными коэффициентами: an , , a 0 . Оказывается, что множество решений такого уравнения обладает важным свойством, которое можно установить в общем виде, опираясь на перечисленные ниже дополнительные сведения о свойствах операции комплексного сопряжения: ∙ Пусть z rei , тогда z r (cos i sin ) r cos ir sin r cos ir sin re i . Таким образом, z z , и если arg z , то arg z . ∙ z1 z2 z1 z2 . ∙ z1 z2 z1 z2 . z ∙ 1 z2 z1 , z2 0 . z2 ∙ z n z n , n , причем при n 0 z 0 . Например, если z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , то ▶ z1 z2 z1 ( x1 iy1 ) ( x2 iy2 ) x1 x2 y1 y2 i ( x1 y2 x2 y1 ) ▶ z1 z2 x1 x2 y1 y2 i ( x1 y2 x2 y1 ) ▶ z1 z2 z1 ( x1 iy1 ) ( x2 iy2 ) x1 x2 y1 y2 i ( x1 y2 x2 y1 ) z1 z2 . ▲ Докажите остальные утверждения. Допустим теперь, что в уравнении (4.22) an , , a 0 , т.е. ak ak , k 0,1,, n . Пусть, далее, z0 корень этого уравнения, так что an z0n an 1 z0n 1 a 1 z0 a0 Pn ( z0 ) 0 . Отсюда вытекает, что Pn ( z0 ) an z0n an 1 z0n 1 a 1 z0 a0 an z0n an 1 z0n 1 a 1 z0 a0 ЛЕКЦИЯ 4 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ◄ 30 ► an z0n an 1 z0n 1 a 1 z0 a0 an z0n an 1 z0n 1 a 1 z0 a0 an z0 n an 1 z0 n 1 a 1 z0 a0 Pn ( z0 ) 0 . Это означает, что комплексные числа z0 , у которых , Im z0 0 , входят в множество решений уравнения (4.22) с вещественными коэффициентами в виде комплексно сопряженных пар. Проще говоря, если z0 корень уравнения, то и z0 тоже его корень. С проявлением этого общего правила сталкивались в рассмотренном выше примере решения квадратного уравнения с действительными коэффициентами, а также при извлечении корней натуральной степени из действительного числа. Эта последняя задача равносильна задаче решения алгебраического уравнения 1 z n a 0 с действительными коэффициентами an 1, a0 a , an 1 a1 0 . ◆Замечание Вооружившись обобщением множества действительных чисел до множества комплексных, получаем возможность в будущем более широко трактовать элементы встречающихся матриц и определителей и сформировать логически стройный взгляд на ряд общих вопросов линейной алгебры. ======================================================================= Краткая биографическая справка ■ Эйлер Леонард (1707–1783 г.г.) –великий швейцарский математик, механик и физик. ■ Абрахам де Муавр (1667–1754 г.г.) – английский математик. ЛЕКЦИЯ 4