Лекция 3

Лекция 3: Системы линейных алгебраических уравнений.
 a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1

 
a x  a x    a x  b
m2 2
mn n
m
 m1 1
…Система уравнений вида:
называется
системой m линейных уравнений с n неизвестными. В матричной форме
 a11

a
система имеет вид: AX  B , где A   21


 a m1
a12
a 22

am2
 a1n 
 x1 
 b1 

 
 
 a2n 
 x2 
 b2 
,
,
B

X

 .

 

 
 
 a mn 
x
 bm 
 n
Здесь A -матрица системы, X -матрица-столбец неизвестных, B - матрицастолбец свободных членов. Если B  O , где O - нулевая матрица-столбец (все
её элементы равны нулю), то система называется однородной, в противном
случае неоднородной.
Если в системе m  n и определитель матрицы системы  | A | 0 (т.е.
матрица A имеет обратную A 1 ), то система имеет единственное решение,
определяемое:
а) по формулам Крамера: x j 
j

, j  1, n , где  j - определитель, получаемый
из определителя системы  заменой j -ого столбца на столбец свободных
членов;
б) методом обратной матрицы по формуле X  A 1  B .
Решение произвольной системы уравнений находят методом Гаусса. Для
этого составляют расширенную матрицу системы A  ( A | B) , приписывая к
матрице системы A справа столбец свободных членов B . Затем расширенную
матрицу A с помощью элементарных преобразований над строками и
перестановкой
столбцов
приводят
к
специальному
виду:
1
0


0
0

0




  

 
 
~
~
~
0  1 a~r ,r 1  a~rn
b r  . Если хотя бы одно из чисел br 1 , , bm отлично от
~
0  0
0

0
b r 1 
  

 
 
~ 
0  0
0

0
bm 
~
~
нуля, то исходная система уравнений несовместна; если br 1    bm  0 , то
0

0
1

0
a~1,r 1  a~1n
a~2,r 1  a~2 n
~
b1
~
b2
система совместна. Совместная система имеет единственное решение, если
r  n , и бесконечное множество решений, если r  n . Считая x1 , x 2 ,  , x r
базисными неизвестными, x r 1 , x r  2 ,  , x n -свободными, бесконечное множество
решений
записывают
неизвестным
в
виде
произвольные
общего
решения,
придавая
x r 1  C1 ,  , x n  C n  r
значения:
свободным
и
выражая
базисные неизвестные через свободные.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет тривиальное
0  (0,0, ,0) .
решение
Для
существования
нетривиального
решения
однородной системы необходимо и достаточно, чтобы r  rangA  n (при m  n
это условие означает: | A | 0 ).
Если
r  rangA  n ,
независимых
частных
то
однородная
решений:
система
имеет
E1 , E2 ,, Enr ,
(n  r ) линейно
называемых
её
фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы
имеет
вид
x  C1  E1    Cnr  Enr ,
где
C1 ,  , C n  r -произвольные
постоянные. Решения E1 , E2 ,, Enr , образующие фундаментальную систему
решений, можно получить, если в общем решении однородной системы
свободным неизвестным придавать поочерёдно значение 1 , полагая остальные
равными 0 .
Общее решение неоднородной системы AX  B может быть найдено как
сумма общего решения соответствующей однородной системы AX  O и
произвольного
частного
x  xчастн  C1  E1    Cnr  Enr .
решения
неоднородной
системы:
Например. 1. Дана система уравнений:

 4 x  y  4 z  6
2 x  4 y  6 z  12 .

 x  2y  z  2
Требуется:
а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном
виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение
системы методом Гаусса.
Решение.
А) Метод Крамера.
1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
4 1 4
  2  4 6  4  ( 4)  ( 1)  1  6  1  ( 4)  2  2  ( 4)  ( 4)  1  1  2  ( 1)  4  6  2  56  0 .
1 2 1
2а) Так как
  56  0 ,
то система имеет единственное решение, определяемое
формулами Крамера:
x
x

,y
y

,z
z

3а) Вычисляем определители  x ,  y ,  z :

6 1 4
 12  4 6  ( 6)  ( 4)  ( 1)  1  6  2  ( 4)  12  2  ( 4)  ( 4)  2  1  12  ( 1)  ( 6)  6  2  56 ,
x
2
2 1
4 6 4
  2 12 6  4  12  ( 1)  ( 6)  6  1  ( 4)  2  2  ( 4)  12  1  ( 6)  2  ( 1)  4  6  2  112 ,
y
1 2 1
4 1 6
  2  4 12  4  ( 4)  2  1  12  1  ( 6)  2  2  ( 6)  ( 4)  1  1  2  2  4  12  2  168 .
z
1 2
2
4а) Находим решение:
x
 56
 56
5а) Выполняем проверку:
 1,
y
 112
 56
 2,
z
 168
 56
 3.

 4  1  2  4  3  6
2  1  4  2  6  3  12

 1 2 2  3  2
Ответ:
x  1,
y  2,
 6  6
  12  12 .
 2  2
z  3.
Б) Метод обратной матрицы.
1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:
А  X  B или
4
2
1

1  4  x    6
 4 6    y    12 
    
2 1  z   2 
2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
4 1 4
| A | 2  4 6  4  ( 4)  ( 1)  1  6  1  ( 4)  2  2  ( 4)  ( 4)  1  1  2  ( 1)  4  6  2  56  0
1 2 1
3б) Так как
| A | 56  0 ,
то матрица системы A имеет обратную матрицу
единственное решение системы определяется формулой:
X  A 1  B или
 x 4
 y  2
 z  1
  
1  4
4 6 

2 1
1
  6
  12 
 2
 
4б) Находим обратную матрицу A 1 (методом присоединённой матрицы):
A
1  11
1
A 
 A21
| A| 
A
 31
4 6
A11  
 8 ,
2 1
1 4
A21  
 7 ,
2 1
1 4
A31  
 10 ,
4 6
A13 

A23
A12
A22
T
 .
A33 
A32
2 4
A13  
8,
1 2
2 6
A12  
 8,
1 1
4 4
A22  
0,
1 1
4 4
A32  
 32 ,
2 6
4 1
A23  
 7 ,
1 2
4 1
A33  
 18 .
2 4
Тогда
A
1

5б) Находим решение:
8
1 

 7
 56   10

8
0
 32

7 

 18 
8
T

8
 8
 56 
8
1
 7  10 
0  32  .

 7  18 
A
1
и
 x
 y 
z
 

 8
 8
 56  8

1
 7  10    6 
0  32    12  
  
 7  18   2 
 ( 8)  ( 6)  ( 7)  12  ( 10)  2 
  8  ( 6)  0  12  ( 32)  2  
 56  8  ( 6)  ( 7 )  12  ( 18)  2 


1
  56   1 
   112    2  .
 56   168   3 

  
1
6б) Выполняем проверку:

 6  6
 4  1  2  4  3  6
2  1  4  2  6  3  12   12  12 .

 2  2
 1 2 2  3  2
Ответ:
x  1,
y  2,
z  3.
В) Метод Гаусса.
1в) Записываем расширенную матрицу системы:
 4 1  4  6
~


A  ( A | B )  2  4 6 12 .
1 2 1 2 


2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
В
результате
прямого
хода
матрица
системы
A
должна
быть
преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице
треугольного или трапециевидного вида с элементами
уравнений, матрица которой
(i  1,2,..., n) ,
которой
A
A
  0.
a ii
Система
является треугольной с элементами
 0
a ii
имеет единственное решение, а система уравнений, матрица
является трапециевидной с элементами
  0 (i  1, 2,..., k ,
a ii
где k  n ) ,
имеет бесконечно много решений.
4
2
1

A
1  4  6

 4 6 12 

2 1 2 
4
 из второй строки , умноженной на 2, вычитаем первую    0
 из третьей строки , умноженной на 4, вычитаем первую   0

третьей строке , умноженной на 9 , 
к

 прибавляем вторую строку , умноженную на 7 




4
0
0

1  4  6

 9 16 30 

7
0 14 
1
4 6 

 9 16
30 .

0  112  336 
В
результате
элементарных
преобразований
матрица
A
системы
преобразована к специальному виду A . Система уравнений, матрица которой
A , является треугольной с ненулевыми диагональными элементами
  0,
a ii
имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.
Замечание. Если при выполнение преобразования расширенной матрицы
~
~
~
A  A  в преобразованной матрице A  появляется строка 0 0  0 | b  , где
b  0 ,
то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.
3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной
матрице прямого хода:

4 x




y

 9y 
4z
16 z


6
30
 112z   336
и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим
значения всех неизвестных:
z3



9
y

30

16
z

30
 16  (3)  18  y  2 .


4 x  6  y  4 z  6  2  4  3  4  x  1
4в) Выполняем проверку:

 4  1  2  4  3  6
2  1  4  2  6  3  12

 1 2 2  3  2
Ответ:
x  1,
y  2,
 6  6
  12  12 .
 2  2
z  3.
Пример 2. Требуется решить систему линейных уравнений
2 х1  7 х 2  3х3  х 4  6,

3х1  5 х 2  2 х3  2 х 4  4,
9 х1  4 х 2  х3  7 х 4  2.

Решение.
Очевидно,
что
элементарные
преобразования
системы
соответствуют элементарным преобразованиям расширенной матрицы
системы:
A
3 1
6  2 7
3 1 6 
 2 7 3 1 6  2 7
 


 
2 2
4  ~  0  11  5 1  10 
A =  3 5 2 2 4  ~  3 5
 9 4 1 7 2   0  11  5 1  10   0  11  5 1  10 
 


 
3 1
6 
2 7


~  0  11  5 1  10 
0 0
0 0
0 

Ранг расширенной матрицы A равен рангу основной матрицы, т.к.
2 7 3 1

 2 7
3 1
 ,
А =  3 5 2 2  ~ 
0

11

5
1


9 4 1 7


т.е. rang A = rang A =2. Получили следующую (треугольную) систему
линейных уравнений:
 2 х1  7 х 2  3х3  х 4  6,

11х 2  5 х3  х 4  10.

Получим общее решение. Пусть х3 и х4 - свободные переменные, тогда х1 и
х2 - главные. Выразим главные переменные через свободные:
1
9
2

х
1 
х
3
х
4
,

11
11
11
- общее решение.

5
1
10
 х 2   х3  х 4 

11
11
11
Если положить, например, х3  11, х4  11 , то найдем одно из частных
решений системы
х1  
34
90
; х 2   ; х3  11; х4  11 .
11
11
Таким образом, для всякой совместной системы линейных уравнений:
1) если ранг расширенной матрицы меньше числа неизвестных, т.е. rang A =
r  n , то существует n-r свободных переменных и система имеет более одного
решения.
2) если ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных, т.е. r  n , то
система имеет единственное решение.
Если
в
процессе
решения
получится
противоречивое
уравнение
вида 0 0 ... 0 b  , то
0  х1  0  х2  ...  0  хn  b , где b  0 , т.е. строка
система несовместна.
Пример 3. Решить систему линейных однородных уравнений.
 х1  3х 2  х3  0,

 х1  2 х 2  3х3  0.
Решение:
 х1  3 х 2   х 3,
n=3 – число неизвестных.

 х1  2 х 2  3 х 3,
1  3 1   1 3  1
 ~ 
 , rang А= 2 <
А  
1
2

3
0

5
4

 

n, значит, система имеет
бесчисленное множество решений.

х1 
1 3
1
2
 5  0 , 1 
1 7
 х3 ,
 5
Общее решение:
х2 
3х3
2
 7 х3 ;
2 
1  х3
1 3х3
2 4
 х3 .
 5
7

 х1  5 х 3,

4
 х 2  х 3.
5

Заметим, что х1 : х 2 : х3 
7

 х1  5 х 3,
Ответ. 
4
 х 2  х 3.
5

 х3  3
3
2
1 1 3
:
 7 : 4 : 5.
3 3 1 1 2
1
:
1
 4 х3 ,
имеем: