РЕФЕРАТ По теме «Теорема Байеса в принятии решений» СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………….3 1. ТЕОРЕМА БАЙЕСА – ФОРМУЛА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ…………………………….4. 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БАЙЕСА………………………………………….5 3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БАЙЕСА………………………………………………..6 4. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА ТЕОРЕМУ БАЙЕСА………………………………………....6 4.1 Пример 1………………………………………………….........................................6 4.2 Пример 2 ………………………………………………………………………. ….7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….............................8 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………….9 2 ВВЕДЕНИЕ Когда в начале игры некоторые игроки имеют ограниченную информацию о стратегиях и функциях выигрышей других игроков, то им нужно принимать решения, базируясь только на доступной информации. Такие игры называются играми с неполной информацией или Байесовскими играми. Эти игры не следует путать с играми с несовершенной информацией, в которых неполная информированность игроков появляется в процессе игры из-за появления случайных событий или невозможности наблюдать действия других игроков. Актуальность темы в том, что Байесовская стратегия оценки выводов - одна из стратегий, применяемых для оценки достоверности выводов (например, заключений продукционных правил) в ЭС. Основная идея байесовской стратегии заключается в оценке вероятности некоторого вывода с учетом фактов, подтверждающих или опровергающих этот вывод. Целью данной работы является раскрытие теоремы Байеса, исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи: - рассмотреть теорему Байеса; - исследовать Байесовскую стратегию прогнозирования разнотипного временного ряда на основе выборки экспертных высказываний. 3 1. ТЕОРЕМА БАЙЕСА – ФОРМУЛА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ Вероятность - это основополагающий понятийный инструмент в статистике и теории вероятностей, который позволяет нам оценивать возможные исходы и принимать решения на основе имеющихся данных. Однако, в некоторых случаях мы хотим обновить или пересмотреть наши вероятности , и здесь на помощь приходит Теорема Байеса. Возможно, вы никогда не слышали про теорему Байеса, но пользовались ей постоянно. Например, изначально вы оценили вероятность получения прибавки к зарплате как 50%. Получив положительные отзывы от менеджера, вы скорректировали оценку в лучшую сторону, и, наоборот, уменьшили ее, если сломали кофеварку на работе. Так происходит уточнение значения вероятности по мере аккумулирования информации. Основная идея теоремы Байеса состоит в том, чтобы получить большую точность оценки вероятности события путем учета дополнительных данных. Теорема Байеса – это важный статистический инструмент, который позволяет пересматривать вероятности на основе новых информаций. Она была разработана Томасом Байесом, английским математиком и проповедником, и считается оной из ключевых теорем в байесовской статистике. Теорема Байеса основывается на концепции условной вероятности. Она позволяет нам пересмотреть вероятность события А на основе дополнительной информации, предоставленной событием В. Это может быть особенно полезно в ситуациях, когда мы хотим пересмотреть наши предложения или обновить вероятности на основе новых наблюдений или доказательств. Формула Байеса Интуитивные действия формализуются в простом, но мощном уравнении (формула вероятности Байеса): Левая часть уравнения — апостериорная оценка вероятности события А при условии наступления события В (т. н. условная вероятность). P(A) — вероятность события А (основная, априорная оценка); P(B|A) — вероятность (также условная), которую мы получаем из наших данных; 4 а P(B) — константа нормировки, которая ограничивает вероятность значением 1 Это короткое уравнение является основой байесовского метода. Абстрактность событий А и В не позволяет четко осознать смысл этой формулы. Для понимания сути теоремы Байеса рассмотрим реальную задачу. Также можно читать Теорему Байеса в следующем формате: « Вероятность события А при условии В равна вероятности события В при условии А, умноженной на вероятность события А и деленной на вероятность события В». Теорема Байеса позволяет пересмотреть вероятность события А на основе новой информации, представленной событием В. 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БАЙЕСА Доказательство Теоремы Байеса основано на применении определения условной вероятности и свойств вероятности. Давайте рассмотрим следующее доказательство: По определению условной вероятности, вероятность события А при условии В может быть выражена следующим образом P(A \ B) = P (A ∩ B) / P (B) (1) Также, по определению условной вероятности вероятность события В при условии А равна: P (B \ A) = P (A ∩ B) / P (A) (2) Мы можем переставить местами числитель и знаменатель в уравнении (2) и выразить P ( A ∩ B) следующим образом: P (A ∩ B) = P (B \ A) * P (A) (3) Теперь мы можем поставить выражение (3) в уравнение (1): P (A \ B) =(P( B \ A ) * P ( A )) / P (B) Таким образом, мы получаем формулу Теоремы Байеса. Это доказательство основано на применении определений условной вероятности и свойств вероятности. Оно показывает как можно получить формулу Теоремы Байеса из этих определений и свойств. 5 3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БАЙЕСА Применение Теоремы Байеса может быть разнообразным.Она широко используется в различных областях, включая науку,медицину, финансы,искусственный интелект и другие. Например, в медицине она может быть использована для оценки вероятности заболевания на основе результатов медицинских тестов и предварительных знаний о заболеваниях. Одним из ключевых аспектов Теоремы Байеса является то, что она позволяет интегрировать новые данные или доказательства в наши оценки вероятностей. Это помогает нам принимать более информированные решения и учитывать изменения в нашем понимании событий. Однако важно отметить, что применение Теоремы Байеса требует адекватного моделировния данных и правильного определения условных вероятностей. Также необходимо учитывать возможность наличия смещений или недостаточности данных, которые могут повлиять на результаты. 4. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА ТЕОРЕМУ БАЙЕСА Разберем несколько примеров, которые позволят наглядно рассмотреть применение формулы Байеса. 4.1 Пример 1 Представьте, что у нас есть 2 контейнера с шариками. В контейнере А находятся 4 красных и 6 синих шарика, а в контейнере В – 2 красных и 8 синих шариков. Мы случайным образом выбираем один из контейнеров, но не знаем из какого именно. Затем мы вытаскиваем шарик, и он оказывается красным. Какова вероятность того, что мы выбрали контейнер А? Решение: Давайте применим формулу Байеса для решения этой задачи. Пусть А – это событие выбора контейнера А, а В – событие извлечения красного шарика. Мы хотим найти ]P ( A \ B ) – вероятность выбора контейнера А при условии, что мы извлекли красный шарик. Из условия задачи известно: 6 P ( A ) =0,5 ( вероятность контейнера А ) P( B \ A ) = 4/10 =0,4 ( вероятность извлечения красного шарика при условии выбора контейнера А ). P (B) = P (B \ A) * P (A) + P (B\¬A) * P (¬A) = 0,4*0,5 +0,2* 0,5 =0,3 (общая вероятность извлечения красного шарика). Теперь мы можем применить формулу Байеса: P( A\B) = ( P (B \ A * P ( A )) / P( B ) = (0.4*0.5) / 0.3 ≈ 0.67 Таким образом, вероятность выбора контейнера А, при условии, что мы извлекли красный шарик составляет около 0,67 или 67%. 4.2 Пример 2 Пусть А – это событие наличия болезни, а В – событие положительного результата теста. Мы хотим найти P( A \ B) - вероятность наличия болезни при условии положительного теста Из условия задачи известно: P( A ) = 0,01(вероятность наличия болезни в общей популяции) P( B \ A ) = 1 - 0,10= 0,90 (вероятность положительного результата теста при условии наличия болезни) P (B\¬A) = 0,05 (вероятность положительного результата теста при условии отсутствии болезни). P( B) = P (B \ A * P ( A ) + P (B\¬A) * P (¬A) = 0.90 * 0.01 + 0.05*0.99= 0.0595 (общая вероятность положительного теста). Теперь мы можем применить формулу Байеса: P (А \ В) = (P (B \ A) * P ( A )) / P (B) = ( 0,90 * 0,01) /0,0595 ≈ 0,151 Таким образом, при положительном результате теста вероятность наличия болезни составляет около 0,151 или 15,1 %. 7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Теорема Байеса является мощным инструментом, который может быть использован для оценки вероятностей и принятия решений на основе новых данных. Она позволяет пересматривать и обновлять наши предложения и оценки на основе дополнительной информации. Это делает ее ценным инструментом в статистике, исследованиях и принятии решений в различных областях. 8 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1.Афанасьев В. В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов / В. В. Афанасьев, М. А. Суворова. - М.: Академия Развития, 2006. - 192 с. 2. Васильков Г. В. Эволюционная теория жизненного цикла механических систем. Теория сооружений / Г. В. Васильков. - М.: ЛКИ, 2008. - 320 с. 3. Краснов М. Л. Вся высшая математика. В 7 томах. Том 3. Теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория устойчивости / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко, Е. В. Шикин, В. И. Заляпин. - М.: Едиториал УРСС, 2010. - 240 с. 4. Мордкович А. Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. 7-9 классы / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2009. - 112 с. 5. Семенчин Е. А. Теория вероятности в примерах и задачах / Е. А. Семенчин. - М.: Лань, 2007. - 352 с. 6. Сидняев Н. И. Теория вероятности и математическая статистика / Н. И. Сидняев. - М.: Юрайт, 2011. - 224 с. 7. Ширяев В. И. Математика финансов. Опционы и риски, вероятности, гарантии и хаос / В. И. Ширяев. - М.: Либроком, 2009. - 200 с. 8. ГОСТ Р 7.0.100-2018 Система стандартов по информации, библиотечному и издательскому делу. Библиографическая запись. Библиографическое описание. Общие требования и правила составления(vstu.ru) 9. ГОСТ Р 2.105-2019 Единая система конструкторской документации. Общие требования к текстовым документам (rustestm.ru) 9