1.Множества и операции над множествами Совокупность объектов произвольной природы называется множеством.
Объекты, входящие в множество, называются его элементами. Множество обозначается большими буквами, а элементы
множеств малыми буквами. Если x элемент множества A, то будем писать x ∈ A ( x принадлежит A ). Если же x не является
элементом A, то пишут x ∈/ A. Пустое множество. О. Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то
будем говорить, что A является подмножеством множества B. A ⊂ B О. Совокупность всех элементов, каждый из которых
принадлежит по крайней мере одному из множеств A и B, называется их объединением, или их суммой, и обозначается A ∪B.
О. Совокупность всех элементов, каждый из которых принадлежит и множеству A, и множеству B, называется их
пересечением, и обозначается A ∩B. О. Совокупность всех элементов, каждый из которых принадлежит множеству A, но не
принадлежит множеству B, называется разностью множеств A и B и обозначается A \B.
2.Действительные числа. Числовые множества. Свойства действительных чисел. Множество действительных чисел R.
способы введения действительных чисел: в виде бесконечных десятичных дробей a = ±a0, a1a2a3. Над действительными
числами можно определить арифметические операции — сложение, вычитание, умножение, деление, а также правило их
сравнения. Числовая прямая, как числа ставятся на нее, бесконечности на ней Множество действительных чисел R,
дополненное элементами +∞ и −∞, называется расширенным множеством действительных чисел Отрезки, интервалы,
полуинтервалы, бесконечные полуинтервалы, окрестность точки. Свойства операции сложения. a+ b = b+ a, a+ (b+ c) = (a+ b) +
c, a+ 0 = a, a+ (−a) = 0 Свойства операции умножения. ab = ba, a(bc) = (ab)c, a · 1 = a, a · 1\а = 1 Связь операций сложения и
умножения. (a+ b)c = ac+ bc Упорядоченность. a+ b > 0, ab > 0. Свойство непрерывности. a ≤ α ≤ b. О. Нетривиальное множество
элементов, обладающих свойствами I – V, называется множеством действительных чисел. Каждый элемент этого множества
называется действительным числом.\
3.Ограниченные и неограниченные множества. О. 1 Множество действительных чисел X называется ограниченным сверху,
если существует такое действительное число M , что каждый элемент x множества X удовлетворяет неравенству x ≤ M . Число
M называют верхней гранью множества X. Аналогично, множество действительных чисел X называется ограниченным снизу,
если существует такое действительное число m, что каждый элемент x множества X удовлетворяет неравенству x ≥ m. Число
m называют нижней гранью множества X. С помощью логических символов данное О. можно записать так: Множество X ⊂ R
ограничено сверху ⇔ ∃M ∈ R ∀x ∈ X: x ≤M . Множество X ⊂ R ограничено снизу ⇔ ∃m ∈ R ∀x ∈ X: x ≥ m. О. 2 Множество X ⊂ R,
ограниченное и сверху, и снизу, называются ограниченным, т.е. ∃ числа m,M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤M . О. 2’. Множество X ⊂ R
называется ограниченным, если ∃ число a ≥ 0 ∀x ∈ X: |x| ≤ a. Лемма. Определения 2 и 2’ эквивалентны. О. 4 Если M ∈ X, и для
∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ M , то число M называется максимальным числом множества X : M = maxX. Если m ∈ X, и
для ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ m, то число m называется минимальным числом множества X : m = minX.
4.Точные верхние и нижние грани числовых множеств. Теорема о существовании точной грани. О. 1 Наименьшая из всех
верхних граней ограниченного сверху множества X ⊂ R называется точной верхней гранью этого множества и обозначается
символом supX. О. 2 Набольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества X ⊂ R называется точной нижней
гранью этого множества и обозначается символом infX. О. 2’. Число m называется точной нижней гранью множества X ⊂ R,
если оно удовлетворяет следующим двум условиям: 1). ∀x ∈ X: x ≥ m, 2). ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x < m+ ε. Теорема. Всякое ограниченное
сверху непустое множество X ⊂ R имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое множествоX ⊂ R имеет
точную нижнюю грань. Доказательство. Мы докажем существование точной верхней грани. Пусть X — ограниченное сверху
непустое числовое множество. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X
ограничено сверху. Следовательно, Y 6= ∅. Таким образом, X 6= ∅, Y 6= ∅. Каждый элемент y ∈ Y ограничивает сверху
множество X. Поэтому ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y : x ≤ y. Следовательно, в силу свойства непрерывности действительных чисел ∃ такое
число M , что ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y : x ≤M ≤ y. Выполнение для ∀x ∈ X неравенства x ≤M означает, что M — верхняя грань, т.е. M ∈ Y , а
условие ∀y ∈ Y : M ≤ y означает, что число M — наименьшая верхняя грань, т.е. M = supX. Теорема доказана.
5.Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Отношения между бесконечно
большими и неограниченными последовательностями О. 1 Пусть каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . по некоторому
закону поставлено в соответствие действительное число xn. Тогда говорят, что этим определена последовательность {xn} =
{x1, x2, x3, . . .}. Над последовательностями можно производить арифметические операции. О. 2 Последовательность {xn}
называется ограниченной сверху, если ∃ число M , такое, что ∀n ∈ N: xn ≤ M . Последовательность {xn} называется
ограниченной снизу, если ∃ число m, такое, что для ∀n ∈ N: xn ≥ m. О. 3 Последовательность {xn} называется ограниченной,
если она ограничена и сверху, и снизу. О. 3’. Последовательность {xn} называется ограниченной, если ∃ число A > 0, такое, что
для ∀n ∈ N: |xn| ≤ A. О. 4 Последовательность {xn} называется неограниченной, если для ∀ числа A > 0 ∃ такой номер n ∈ N:
|xn| > A. отношения между бесконечно большими и неограниченными последовательностями. Ясно, что любая бесконечно
большая последовательность {xn} является неограниченной. В силу определения 2 для бесконечно большой
последовательности ∀A > 0 ∃ номер N = N(A), что при ∀n > N(A): |xn| > A. Следовательно, для ∀ числа A > 0 ∃ хотя бы один
номер n ∈ N: |xn| > A, а, значит, последовательность {xn} неограничена. Обратное утверждение не верно.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей. Связь
бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. О. 1 Последовательность {αn} называется бесконечно
малой, если для ∀ числа ε > 0 ∃ номер N = N(ε), такой, что при ∀n > N(ε): |αn| < ε. О. 2 Последовательность {xn} называется
бесконечно большой, если для ∀ числа A > 0 ∃ номер N = N(A), что при ∀n > N(a): |xn| > A. При этом пишут: предел
бесконечность Если бесконечно большая последовательность {xn} начиная с некоторого номера n0 принимает только
положительные или только отрицательные значения, то пишут предел +-бесконечность. связь: Лемма. Если все элементы
бесконечно большой последовательности {xn} не равны нулю, то последовательность {1/xn} бесконечно малая. Если все
элементы бесконечно малой последовательности {αn} не равны нулю, то последовательность {1/αn} бесконечно большая.
Свойства бм: Лемма 1 Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность. Лемма 2 Бесконечно малая последовательность ограничена. Лемма 3 Произведение ограниченной
последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность. Следствие 1 к
лемме 3 Пусть {αn} — бесконечно малая последовательность, c ∈ R — константа. Тогда последовательность {cαn} —
бесконечно малая. Следствие 2 к лемме 3 Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является
бесконечно малой последовательностью.
7. Теорема о промежуточной бесконечно малой последовательности Теорема. Пусть 1). {αn} и {βn} — бесконечно малые
последовательности. 2). Последовательность {γn} является промежуточной последовательностью между {αn} и {βn}, т.е. для
∀n ∈ N выполняются неравенства αn ≤ γn ≤ βn. Тогда {γn} — бесконечно малая последовательность. Доказательство. Зададим
ε > 0 Так как {αn} и {βn} бесконечно малые последовательности, то ∃ номера N1(ε) и N2(ε), такие, что |αn| < ε при ∀n > N1(ε) и
|βn| < ε при ∀n > N2(ε). Эти неравенства равносильны следующим: −ε < αn < ε, −ε < βn < ε. Положим N(ε) = max{N1(ε), N2(ε)}.
Тогда при ∀n > N(ε) −ε < αn ≤ γn ≤ βn < ε, т.е. |γn| < ε при ∀n > N(ε). Мы доказали, что последовательность {γn} бесконечно
малая. Теорема доказана.
8. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности О. 1
Число a называется пределом последовательности {xn}, если последовательность {xn − a} является бесконечно малой. Lim xn=a
В частности, если {xn} — бесконечно малая последовательность, то lim xn=0. О. 1’. Число a называется пределом
последовательности {xn}, если ∀ε > 0 ∃ номер N = N(ε) такой, что при ∀n > N(ε) выполняется неравенство |xn − a| < ε. О. 1”.
Число a называется пределом последовательности {xn}, если в ∀ε - окрестности числа a находятся все элементы
последовательности {xn}, начиная с некоторого номера. Теорема 1 Сходящаяся последовательность имеет только один
предел. Доказательство. От противного. Допустим, что {xn} имеет два различных предела a и b, a /= b. Рассмотрим ε окрестности точек a и b настолько малой длины, чтобы эти окрестности не пересекались. Для этого достаточно выбрать 0 < ε
< |a − b|/2. Так как lim xn=a то в ε - окрестности точки a находятся все элементы последовательности {xn}, начиная с некоторого
номера. Но тогда ε - окрестность точки b не может содержать бесконечное число элементов {xn}. Следовательно, число b не
является пределом {xn}. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Теорема 2 Сходящаяся последовательность
ограничена. Доказательство. Пусть lim xn=a Возьмем, например, ε = 1 Согласно определению предела последовательности ∃
такое N(1), что при ∀n > N(1): |xn − a| < 1 Далее, в силу неравенства треугольника, |xn| = |(xn − a) + a| ≤ |xn − a|+ |a|, или |xn
− a| ≥ |xn| − |a|, а, значит, при ∀n > N(1) |xn| − |a| < 1 ⇔ |xn| < 1 + |a|. Пусть M = max{1 + |a|, |x1|, |x2|, . . . , |xN(1)|}. Тогда
при ∀n ∈ N: |xn| ≤M , т.е. последовательность {xn} ограничена. Теорема доказана.
9. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Теорема 1 Если
последовательности {xn} и {yn} сходятся, то их сумма и разность также являются сходящимися последовательностями и
выполняются равенства lim xn+yn=lim xn + limy n Доказательство. Пусть lim xn = a и lim yn = b. Тогда xn = a+ αn, yn = b+βn, где
{αn} и {βn} — бесконечно малые последовательности. Следовательно, (xn ± yn)− (a± b) = αn ± βn. Так как сумма и разность
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность, последовательность {αn±βn}
бесконечно малая, а, значит, последовательность {xn ± yn} сходится и имеет своим пределом число a± b. Теорема доказана.
Теорема 2 Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, то их произведение также является сходящейся последовательностью
и выполнено равенство lim xnyn = lim xn lim yn Доказательство. Пусть lim xn = a и lim yn = b. Тогда xn = a+ αn, yn = b+βn, где {αn}
и {βn} — бесконечно малые последовательности. Следовательно, xnyn = (a+ αn)(b+ βn). Поэтому xnyn − ab = aβn + bαn + αnβn.
Так как произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, произведение двух бесконечно малых
последовательностей, а также сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности,
последовательность {aβn + bαn + αnβn} бесконечно малая, а, значит, последовательность {xnyn} сходится и имеет своим
пределом число ab. Теорема доказана. Лемма. Пусть yn /= 0 для ∀n ∈ N и limy n = b где число b /= 0 Тогда последовательность
{1/yn} ограничена. Теорема 3 Пусть yn 6= 0 для ∀n ∈ N и lim yn /= 0 Тогда частное двух сходящихся последовательностей {xn}
и {yn} есть сходящаяся последовательность и выполнено равенство lim xn/yn = lim xn/lim yn Доказательство. Пусть Lim xn = a,
lim yn = b /= 0. Докажем, что последовательность {xn/yn – a/b} бесконечно малая. В самом деле, так как xn = a + αn, yn = b + βn,
где {αn}, {βn} — бесконечно малые последовательности, то xn/yn – a/b = (xnb− yna)/ynb = ((a+ αn )b− (b+ βn )a)/ynb =(1/yn)(αn
– a/b βn) .Так как в силу леммы последовательность {1/yn} ограничена, а последовательность {αn – a/b βn} бесконечно малая,
то последовательность (1/yn)(αn – a/b βn } = { xn/yn – a/b } бесконечно малая. Мы использовали свойства бесконечно малых
последовательностей. Теорема доказана.
10. Переход к пределу в неравенствах ( для последовательностей ).
Теорема 1 Пусть lim xn = a, lim yn = b и для ∀n ∈ N: xn ≤ yn. Тогда a ≤ b. Доказательство. Допустим. что b < a. Далее, зададим
число ε, такое, что 0 < ε < |a− b|/2. Так как lim xn = a, lim yn = b, то существуют номера N1(ε) и N2(ε), такие, что xn > a−ε при ∀n
> N1(ε) и yn < b+ε при ∀n > N2(ε). Пусть N(ε) = max{N1(ε), N2(ε)}. Тогда при ∀n > N(ε) имеем yn < b+ ε < a− ε < xn. Мы пришли к
противоречию, так как по условию xn ≤ yn для ∀n ∈ N. Теорема доказана. Следствие. Если все элементы сходящейся
последовательности {xn} принадлежат [a, b], то ее предел также принадлежит [a, b]. Доказательство следствия. Пусть lim xn =
c. Так как a ≤ xn ≤ b, а lim a = a, lim b = b то по теореме 1 a ≤ c ≤ b, что и требовалось доказать. Теорема 2 Пусть для ∀n ∈ N xn ≤
yn ≤ zn lim xn = lim zn = a.Тогда lim yn = a. Доказательство. Зададим ∀ε > 0 Так как lim xn = a, lim zn = a, то ∃ номера N1(ε) и N2(ε),
такие, что a − ε < xn при ∀n > N1(ε) и zn < a + ε при ∀n > N2(ε). Положим N(ε) = max{N1(ε), N2(ε)}. Тогда при ∀n > N(ε) a− ε < xn ≤
yn ≤ zn < a+ ε, т.е. |yn − a| < ε при ∀n > N(ε). Теорема доказана.
11. Монотонные последовательности. Примеры. Признак сходимости монотонной последовательности. О.
Последовательность {xn} называется неубывающей, если для ∀n ∈ N справедливо неравенство xn ≤ xn+1. Последовательность
{xn} называется невозрастающей, если для ∀n ∈ N справедливо неравенство xn ≥ xn+1. Если на самом деле выполняются
строгие неравенства xn < xn+1, то последовательность {xn} называется возрастающей, а если xn > xn+1 — то убывающей.
Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие, называются монотонными. Пример 1
Последовательность1,1,1/2,1/2…1/n,1/n.} невозрастающая, так как xn ≥ xn+1 Пример 2 Последовательность {n^2}
возрастающая, так как xn < xn+1. О. 1 Точная верхняя ( нижняя ) грань множества значений элементов последовательности
{xn} называется точной верхней ( нижней ) гранью данной последовательности и обозначается sup{xn} ( соответственно inf{xn}
). Напомню, что в случае, когда точная верхняя ( нижняя ) грань последовательности конечна, то это О. можно сформулировать
в следующей эквивалентной форме О. 1’. Число a является точной верхней ( нижней ) гранью последовательности {xn}, n ∈ N,
если 1.) ∀n ∈ N: xn ≤ a (xn ≥ a). 2.) ∀ε > 0 ∃ номер n(ε): xn(ε) > a− ε ( xn(ε) < a+ ε ). Теорема. Если неубывающая последовательность
{xn} ограничена сверху, то она сходится, причем lim xn = sup{xn}. Если невозрастающая последовательность {xn} ограничена
снизу, то она сходится, причем lim xn = inf{xn}. Доказательство. Прежде всего заметим, что последовательность {xn},
удовлетворяющая условиям теоремы, является ограниченной и сверху, и снизу. Поэтому множество ее элементов имеет
точную верхнюю грань sup{xn} ∈ R и точную нижнюю грань inf{xn} ∈ R. Докажем, что если {xn} — неубывающая
последовательность, то ее пределом будет указанная точная верхняя грань sup{xn}. Если же {xn} — невозрастающая
последовательность, то ее пределом будет указанная точная нижняя грань inf{xn}. Неубывающая последовательность:
Поскольку sup{xn} — точная верхняя грань последовательности {xn}, то для ∀ε > 0 ∃ элемент xN , такой, что xN > sup{xn} − ε и
xN ≤ sup{xn}. Следовательно, 0 ≤ sup{xn} − xN < ε. (1) Так как {xn} — неубывающая последовательность, то при ∀n > N
справедливо неравенство xN ≤ xn. Кроме того, xn ≤ sup{xn}, так как ∀ элемент xn не больше точной верхней грани sup{xn}.
Поэтому при ∀n > N : xN ≤ xn ≤ sup{xn} или 0 ≤ sup{xn} − xn ≤ sup{xn} − xN . (2) Из неравенств (1) и (2) вытекает, что при ∀n > N 0
≤ sup{xn} − xn < ε, из которого вытекает неравенство |xn − sup{xn}| < ε. Таким образом, доказано, что lim xn = sup{xn}. Теорема
доказана.
12. Число e. Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограничена сверху. Тогда, согласно признаку сходимости
монотонной последовательности, последовательность {xn} сходится. Предел этой последовательности обозначим буквой e:
покажем, что последовательность xn = (1 + 1/n)n возрастающая. На основании формулы бинома Ньютона
для любого 0 < k < n, то каждое слагаемое в (2) больше, чем
соответствующее слагаемое в (1). Кроме того, в (2) имеется на
одно
положительное
слагаемое
больше.
Итак,
последовательность {xn} возрастающая. Из равенства (1) видно,
что последовательность xn ≥ 2 для ∀n ∈ N. Докажем теперь, что
последовательность {xn} ограничена сверху. Заметим, что в
формуле (1) каждое выражение в круглых скобках больше нуля и меньше 1 Учитывая также, что 1/k! ≤ 1/2^(k-1) при k ≥ 2,
получим. Итак, последовательность {xn} возрастает и ограничена
сверху числом 3 По признаку сходимости монотонной
последовательности {xn} сходится. Этот предел называют числом e: e
— число иррациональное.
13. Принцип вложенных отрезков. О. Система числовых отрезков σ1 = [a1, b1], σ2 = [a2, b2], . . . , σn = [an, bn], . . . , an ∈ R, bn
∈ R, n = 1, 2, . . . называется системой вложеных отрезков, если a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1, т.е., если каждый
следующий отрезок σn+1 содержится в предыдущем σn : σn+1 ⊂ σn, n ∈ N. Теорема. ( Принцип вложенных отрезков.) Для
всякой системы σn = [an, bn], n ∈ N, вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю, существует единственная точка c,
принадлежащая всем отрезкам данной системы (см. рис. 1 ), такая, что c = sup{an} = inf{bn}. Доказательство. Очевидно, что a1
≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ bm при любом m ∈ N. Это показывает, что последовательность {an} не убывает и ограничена сверху числом
bm при любом m ∈ N. Но тогда согласно признаку сходимости монотонной последовательности ∃ число c = sup{an} = lim an.
При этом an ≤ c ≤ bm. Так как в этих неравенствах натуральные n иm произвольные, то, в частности, при n = m: an ≤ c ≤ bn для
∀n ∈ N. Следовательно, c ∈ σn для ∀n ∈ N, т.е. точка принадлежит всем отрезкам. Полученная точка c единственная. Допустим,
что существует другая точка d 6= c, такая, что d ∈ σn для ∀n ∈ N. Тогда an ≤ c ≤ bn, an ≤ d ≤ bn. Откуда bn − an ≥ |d− c| > 0 для ∀n
∈ N. Но это противоречит равенству (3). Следовательно, существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам σn.
Заметим, что в силу равенства (3) и для {bn} (0, pi) Наконец, поскольку последовательность {bn} не возрастает и ограничена
снизу, например, числом a1, то из признака сходимости монотонной последовательности вытекает, что c = lim bn = inf{bn}.
Теорема доказана.
14. Подпоследовательности. Частичные пределы. Примеры. Связь сходимости последовательности со сходимостью ее
подпоследовательности. О. Последовательность {xn }, которая составлена из членов последовательности {xn} и в которой
порядок следования ее элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности {xn}, называется
подпоследовательностью этой последовательности. Таким образом, последовательность {xn } является
подпоследовательностью последовательности {xn}, если условие k < k′ равносильно условию nk < nk′ , k ∈ N, k′ ∈ N. О. Пределы
этих подпоследовательностей называются частичными пределами последовательности {xn}. Пример Найти частичные
пределы последовательности Очевидно, что мы можем выделить подпоследовательностью //{xn } у
которой lim 1/k = 0, а также подпоследовательность {1, 1, 1, . . . , 1, . . .}
Лемма. Пусть последовательность {xn} сходится и имеет своим
пределом число a. Тогда любая ее подпоследовательность также сходится и имеет своим
пределом число a.
15. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. Доказательство. Так как последовательность {xn} ограничена, то все элементы {xn} принадлежат
некоторому отрезку [a, b], который обозначим σ0. Разделим σ0 на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся
отрезков содержит бесконечно много элементов {xn}. Обозначим его σ1. Пусть xn1 — какой-либо из элементов xn, лежащий
на σ1. Далее разделим σ1 на два равных отрезка и обозначим через σ2 один из получив- шихся отрезков, который содержит
бесконечно много элементов {xn}. Выберем среди этих элементов один xn2 с номером n2 > n1. Продолжим этот процесс по
индукции. В результате получим бесконечную систему вложенных друг в друга отрезков σk = [ak, bk], k = 1, 2, . . . , длины
которых стремятся к нулю: lim (bk - ak) = lim (b0-a0)/2^k = 0 и подпоследовательность {xn } точек нашей последовательности
{xn}, такую, что xnk ∈ σk На основании принципа вложенных отрезков ∃ точка c, принадлежащая всем отрезкам σk. Так как lim
ak = c, lim bk = c, то переходя к пределу в неравенствах ak ≤ xn ≤ bk, k ∈ N, получаем, чтоk lim xnk = c, т.е. подпоследовательность
{xn } сходится. Теорема доказана.
16. Критерий сходимости последовательности в терминах частичных пределов. Теорема Для того, чтобы ограниченная
последовательность {xn} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она имела единственный частичный предел.
Доказательство. Необходимость. У нас была лемма, что если последовательность {xn} сходится к числу a lim xn = a, то для ∀
последовательности {xnk} lim xnk = a Поэтому множество частичных пределов состоит из одного числа a. Необходимость
доказана. Достаточность. Пусть множество частичных пределов состоит из одной точки a. Докажем, что это число является
пределом последовательности {xn}, т.е. a = lim xn. Допустим, что это не так, т.е. a /= lim xn. Берем отрицание в определении
предела. Следовательно, ∃ число ε > 0, такое, что для ∀ сколь угодно большого номера N ∃ номер n > N : |xn − a| ≥ ε. Тем
самым, вне некоторой ε - окрестности числа a (a−ε, a+ε) находится бесконечно много элементов последовательности {xn}.
Геометрически это означает, что либо при x ≥ a + ε, либо при x ≤ a− ε имеется бесконечно много элементов {xn}. Далее учтем,
что последовательность {xn} ограниченная. Это означает, что ∃ такое число A > 0, что ∀n ∈ N : |xn| ≤ A. Следовательно, либо
на [a+ ε,A], либо на [−A, a− ε], либо на обоих этих отрезках содержится бесконечно много элементов {xn}. ( см. рис. 1 ) Но тогда
согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, найдется хотя бы один частичный предел b, который находится либо на [a+ε,A],
либо на [−A, a−ε], т.е. b /= a. Это противоречит условию, что частичный предел единственный.
17. Верхний и нижний предел последовательности. Существование верхнего предела у ограниченной последовательности.
О. Если последовательность ограничена сверху, то наибольший из ее частичных пределов называется верхним пределом
последовательности {xn} и обозначается символом верхний предел к бесконечности. Если последовательность неограничена
сверху, то верхний предел к +бесконечности. Аналогично, если последовательность ограничена снизу, то наименьший из ее
частичных пределов называется нижним пределом последовательности {xn} и обозначается символом нижн предел к беск.
Если последовательность неограничена снизу, то нижн предел к -беск. Теорема. Числа M = supL и m = inf L являются
частичными пределами ограниченной последовательности {xn} ( т.е. M ∈ L, m ∈ L ). Доказательство. Докажем теорему в случае
точной верхней грани. Точная верхняя грань M удовлетворяет двум условиям: 1.) ∀l ∈ L удовлетворяет неравенству l ≤M . 2.)
∀ε > 0 ∃l ∈ L: l > M − ε. Рассмотрим ε > 0 Согласно 2 свойству ∃l ∈ L: M − ε < l ≤ M . Если l = M , то утверждение доказано. Поэтому
будем считать, что l < M , т.е. l ∈ (M − ε,M). Обозначим ε0 =1/2 min{M − l, l − (M − ε)}. ε0 - окрестность точки l лежит внутри
интервала (M − ε,M). Так как l является частичным пределом {xn}, то ∃ подпоследовательность {xn }: lim xnk = l Следовательно,
для ε0 > 0 ∃ номер K, такой, что ∀k > K: |xn − l| < ε0 ⇔ l − ε0 < xnk < l + ε0. Следовательно,∀k > K: M − ε < xn < M Таким образом
доказано, что для ∀ε > 0 ∃ бесконечно много элементов последовательности {xn}, расположенных между M − ε и M . Далее
рассмотрим значения ε = εn вида εn = 1/n. По индукции, полагая n = 1 для ε1 = 1 ∃ xn1 ∈ (M − 1,M). Полагая n = 2 для ε2 = 1/2
∃ xn2 ∈ (M − 1/2,M), для которого n2 > n1. Полагая n = k для εk = 1/k ∃ xn ∈ (M − 1/k,M), для которого nk > nk В результате
получим подпоследовательность {xn }, удовлетворяющую неравенствам M − 1/k < xn < M . Переходя к пределу в этих
неравенствах , так как lim (M – 1/k ) =M, получаем lim xnk = M Следовательно, M ∈ L. Теорема доказана. Лемма. Ограниченная
последовательность сходится тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы совпадают.
18. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности. О. 1 Последовательность {xn}
называется фундаментальной, если ∀ε > 0 ∃ номер N = N(ε), такой, что для ∀n,m > N справедливо неравенство |xn − xm| < ε.(1)
О. 1’. Последовательность {xn} называется фундаментальной, если ∀ε > 0 ∃ номер N = N(ε), такой, что для ∀n > N и ∀ целого
неотрицательного p справедливо неравенство |xn+p − xn| < ε. (2) Теорема. ( Критерий Коши.) Для того, чтобы
последовательность {xn} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Доказательство.
Необходимость. Пусть последовательность {xn} сходится и lim xn = a. Зададим ε > 0 Тогда, согласно определению предела, ∃
такое N = N(ε), что ∀n > N выполняется неравенство |xn − a| < ε/2. Пусть теперь n > N и m > N . Тогда, используя неравенство
треугольника, имеем |xn − xm| = |(xn − a)− (xm − a)| ≤ |xn − a|+ |xm − a| < ε/2 + ε/2 = ε, т.е. последовательность {xn}
фундаментальная.
Необходимость
доказана.
Достаточность.
Доказательство
сходимости
фундаментальной
последовательности будет доказано в два этапа. I этап. Установим сначала ограниченность фундаментальной
последовательности и тем самым ( теорема Больцано - Вейерштрасса ) существование хотя бы одного частичного предела. II
этап. Докажем, что данная последовательность {xn} сходится к этому частичному пределу. Доказательство I этапа. Возьмем,
например, ε = 1 Тогда из определения фундаментальной последовательности следует, что ∃N = N(1), такое, что ∀n,m > N : |xn
− xm| < 1 Фиксируем какой - либо номер m = m0 > N . Тогда при ∀n > N |xn − xm0 | < 1 ⇔ −1 < xn − xm0 < 1 ⇔ xm0 − 1 < xn <
xm0 + 1 Следовательно, при ∀n > N : |xn| < |xm0 |+ 1 Ясно, что это неравенство влечет ограниченность всей
последовательности. Достаточно выбрать M = max{|x1|, |x2|, . . . , |xN |, |xm0 |+ 1}. Тогда для ∀n ∈ N: |xn| ≤M . Следовательно,
по теореме Больцано - Вейерштрасса ∃ a = lim xnk , где {xn } — некоторая подпоследовательность последовательности {xn}.k
Доказательство II этапа. Пусть lim xnk = a. Покажем, что lim xn = a. В первых, по определению предела ∀ε > 0 ∃ такое число K:
∀k > K, или, что то же самое, по определению подпоследовательности для всех nk > nK : |xn − a| < ε/2.k Во вторых, так как
последовательность {xn} фундаментальная, то ∀ε > 0 ∃N : ∀n,m > N : |xn − xm| < ε/2. Положим N1 = max{N,nK} и зафиксируем
некоторое число nk0 > N1. Тогда ∀n > N1 получим |xn − a| = |(xn – xnk0 ) + (xnk0 − a)| ≤ |xn – xnk0 |+ |xn − a| < ε/2 + ε/2 = ε
19. Понятие функции. Способы задания функции. Критерий Коши существования предела функции (доказательство
необходимости ). О. 1 Пусть X ⊂ R — некоторое множество чисел и пусть каждому значению переменной x ∈ X ставится в
соответствие по известному закону некоторое число y. Тогда говорят, что на множестве X задана функция y = f(x). При этом
переменная x называется аргументом, а множество X — областью определения функции y = f(x). О. 2 Графиком функции y =
f(x) называется множество точек на плоскости с координатами (x, f(x)), где x ∈ X, а X — область определения функции. Способы:
аналитический, табличный, графический. Теорема. ( Критерий Коши существования предела функции. ) Для того, чтобы
существовал предел необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была определена в некоторой окрестности a, за
исключением, быть может, самой точки a, и для ∀ε > 0 существовала такая окрестность U(a), что для любых точек x′, x′′ ∈ U(a),
x′ 6= a, x′′ =6 a выполнялось неравенство |f(x′)− f(x′′)| < ε. Доказательство. Пусть lim f(x) = b, х к а где b — конечное число. Тогда
∃ окрестность точки a, где f(x) определена, за исключением, быть может, самой точки a. Кроме того, для ∀ε > 0 ∃ окрестность
U(a), что, если x ∈ U(a), x 6= a, то |f(x)− b| < ε/2. Пусть x′, x′′ ∈ U(a), x′ /= a, x′′ /= a. Тогда в силу неравенства треугольника |f(x′)−
f(x′′)| ≤ |f(x′)− b|+ |b− f(x′′)| < ε/2 + ε/2 = ε.
20. Предел функции. Эквивалентность двух определений предела функции. Примеры О. 1 Число b называется пределом
функции f(x) в точке x = a ( или при x→ a ), если для любой сходящейся к a последовательности {xn}, элементы которой xn /= a,
соответствующая последовательность {f(xn)} сходится к b. Таким образом, если lim xn = a, lim f(xn) = b О. 2 Число b называется
пределом функции f(x) в точке x = a ( или при x → a ), если для ∀ числа ε > 0 ∃ число δ = δ(ε) > 0, такое, что при ∀x,
удовлетворяющих неравенству 0 < |x− a| < δ, справедливо неравенство |f(x)− b| < ε. Сравним теперь определения предела
функции по Гейне и по Коши. Теорема. Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны. Доказательство. 1 часть. Пусть b =
lim f(x) в смысле определения 2 Покажем, что b есть предел f(x) по определению 1 Пусть {xn} — любая последовательность,
такая, что lim xn = a, xn /= a. Фиксируем ∀ε > 0 Согласно определению 2 для этого ε ∃ δ > 0, такое, что для ∀x, 0 < |x− a| < δ:
|f(x)− b| < ε. Так как lim xn = a, то для указанного числа δ > 0 ∃ номер N , такой, что при ∀n > N 0 < |xn − a| < δ. Стало быть, при
∀n > N |f(xn)− b| < ε, а это значит, что lim f(xn) = b. О. 3 Число b = lim f(x), если для ∀ числа ε > 0 ∃ такая окрестность U(a) точки
a, что ∀x ∈ U(a), x =6 a, справедливо неравенство |f(x)− b| < ε.
21. Свойства функций, имеющих предел, связанные с арифметическими операциями и переходом к пределу в
неравенствах. Теорема 1 Пусть lim f(x) = A, lim g(x) = B, где A и B — конечные числа. Тогда существуют пределы lim[f(x)± g(x)],
lim f(x)g(x), а если B 6= 0, то и lim f(x)/g(x) причем lim[f(x)± g(x)] = A±B, lim f(x)g(x) = AB, liim f(x)/g(x)=A/B Доказательство. Мы
докажем формулу для произведения f(x)g(x). Пусть {xn} — любая последовательность, такая, что lim xn = a, xn /= a. Тогда lim
f(xn) = A, lim g(xn) = B. Но поскольку для последовательностей предел произведения равен произведению пределов, то lim
f(xn)g(xn) = lim f(xn) lim g(xn) = AB.Таким образом, по определению предела по Гейне lim f(x)g(x) = AB Теорема доказана.
22. Локальная ограниченность функций, имеющих предел. Теорема о сохранении знака. Теорема 1 Пусть lim f(x) = b, где b
— конечное число. Тогда существует такая окрестность U(a) точки a и константа M > 0, что для ∀x ∈ U(a), x 6= a справедливо
неравенство |f(x)| ≤M. Доказательство. Так как lim f(x) = b, то для ε = 1 ∃ такая окрестность U(a), что для ∀x ∈ U(a), x /= a |f(x)−
b| < 1 Далее в силу неравенства треугольника так как |f(x)| = |(f(x)− b) + b| ≤ |f(x)− b|+ |b|, то |f(x)| − |b| ≤ |f(x)− b| < 1.
Полагая M = 1 + |b|, имеем |f(x)| < M для ∀x ∈ U(a), x 6= a. Теорема доказана. Теорема 2 Если lim f(x) = b и b /= 0 — конечное
число, то ∃ окрестность U(a), такая, что |f(x)| > |b|/2 при ∀x ∈ U(a), x 6= a. Более того, для указанных x: f(x) > b/2, если b > 0, и
f(x) < b/2, если b < 0 Доказательство. Из условия теоремы следует существование для ε = |b|/2 окрестности U(a), такой, что при
x ∈ U(a), x /= a |b| − |f(x)| ≤ |f(x)− b| < |b|/2. Мы использовали неравенство треугольника. Отсюда для указанных x: |f(x)| >
|b|/2. Неравенство |f(x)− b| < |b|/2 можно записать в виде b− |b|/2 < f(x) < b+ |b|/2. При b > 0 отсюда следует, что f(x) > b−
|b|/2 = b/2, а при b < 0 следует f(x) < b+ |b|/2 = b/2, Теорема доказана.
23. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов. О. 1 Число
c называется пределом функции f в точке a справа (слева), если для ∀ последовательности {xn}, такой, что lim xn = a, xn > a (xn
< a ) имеем lim f(xn) = c. Для предела справа используется обозначение lim f(x) = c, x к а+0 или f(a+ 0) = c, а для предела слева
lim f(x) = c, х к а-0 или f(a− 0) = c. О. 2 Конечное число c называется пределом функции f(x) в точке x = a справа ( слева ), если
для ∀ числа ε > 0 ∃ число δ = δ(ε) > 0, такое, что ∀x, удовлетворяющих условию a < x < a+ δ (a− δ < x < a ) выполняется неравенство
|f(x)− c| < ε. Теорема 2 Пусть lim f(x) = A, lim g(x) = B, и на некоторой окрестности U(a), x 6= a, f(x) ≤ g(x). Тогда A ≤ B.
Доказательство. Пусть lim xn = a, xn /= a. Тогда ∃ такой номер N , что при ∀n > N : xn ∈ U(a) и, следовательно, f(xn) ≤ g(xn).
Переходя к пределу в этом неравенстве, получаем неравенство A = lim f(xn) ≤ lim g(xn) = B. Теорема доказана. Теорема 3 Пусть
lim f1(x) = b, lim f2(x) = b, и на некоторой окрестности U(a), x /= a, f1(x) ≤ g(x) ≤ f2(x). Тогда lim g(x) = b. Доказательство. Пусть lim
xn = a, xn /= a. Тогда ∃ такой номер N , что при ∀n > N : xn ∈ U(a) и, следовательно, f1(xn) ≤ g(xn) ≤ f2(xn). Но мы доказали для
последовательностей, что если lim f1(xn) = lim f2(xn)=b, то lim g(xn) = b. Поскольку {xn} — произвольная последовательность,
для которой lim xn = a, xn =/ a, то lim g(x) = b. Теорема доказана.
24. Первый замечательный предел. Теорема. Справедливо равенство lim sinx/x= 1 x→0 Доказательство. Так как lim sinx = 0,
x→0 то выражение sinx/x представляет собой неопределенность. Раскроем. Из определения тригонометрических функций и
геометрических соображений при 0 < x < pi/2 имеем неравенства 0 < sinx < x < tg x. (1) Из этих неравенств, деля на sinx > 0,
получаем 1 <x/sinx<1 или, заменяя величинами им обратными, cosx <sinx/x<1 (2) Остается перейти к пределу в неравенствах
(2). Так как lim 1 = lim cosx = 1 x→0, то и lim sinx/x=1 в силу свойств пределов. Теорема доказана.
25. Второй замечательный предел. Теорема. Справедливо равенство lim (1 + x)^1/x = e. (2) x→0 Доказательство. Поскольку
существует предел (1), то для любой подпоследовательности натуральных чисел {nk}, такой, что lim nk = +∞ k→∞ имеем lim
(1 + 1/nk)^nk=e (3) Пусть теперь последовательность {xk} такая, что lim xk = +0, k→∞ т.e. lim xk=0 и xk > 0 Покажем, что lim (1 +
xk)^ 1/xk=e Без ограничения общности считаем, что xk < 1, k = 1, 2, . . . ( конечное число членов последовательности не влияет
на предел ). Для всякого xk найдется такое натуральное число nk, что nk + 1 >1/xk ≥ nk. Достаточно взять целую часть: nk =
[1/xk], и, следовательно, 1/(nk+1)< xk ≤1/nk . поэтому
В силу (3) и поскольку
1+1/nk, 1+1/(nk+1) стремятся к 1 при nk → +∞, первый
и последний члены
цепочки неравенств
стремятся
к
e.
Следовательно, промежуточная последовательность (1 + xk )^1/xk также
стремится к e. Тем самым доказано, что lim (1 + x)^1/x = e. (4) x→+0 Пусть теперь
{xk} такова, что lim xk = −0, k→∞ т.е. lim xk=0 и xk < 0 Положим yk = −xk. Тогда yk
> 0, и lim yk=0 причем без ограничения общности можно считать yk < 1(, k = 1,
2), . . . Тогда !!! Поэтому в силу равенства (4) lim (1 + xk )^1/xk = lim (1 + zk)^1/zk
lim (1 + zk) = e. k→∞Таким образом, мы доказали, что lim (1 + x)^1/x = e. (5) x→−0
Из существования и совпадения односторонних пределов (4), (5) вытекает (2)
26. Бесконечно малые функции и их свойства. Связь бесконечно малой функции с функцией, имеющей предел. О. Функция
α(x) называется бесконечно малой при x→ a, если lim α(x) = 0. Лемма. Конечный предел lim f(x) x→a существует и равен b,
тогда и только тогда, когда f(x) = b + α(x), где α = α(x) — бесконечно малая при x→ a. Теорема. Сумма и произведение конечного
числа бесконечно малых при x → a функций, а также произведение бесконечно малой при x→ a функции на ограниченную
функцию являются бесконечно малыми при x→ a функциями. Доказательство. То, что сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых являются бесконечно малыми, непосредственно следует из свойства суммы и произведения пределов
функций в том частном случае, когда эти пределы равны нулю. Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть lim α(x) = 0
и f(x) — ограниченная функция, т.е. |f(x)| ≤ M для ∀x ∈ U(a), x 6= a. Здесь M — константа. Если xn ∈ U(a), xn =6 a, n = 1, 2, . . . —
такая последовательность, что lim xn = a, то согласно определению предела функции по Гейне имеем lim α(xn) = 0. Кроме того,
для ∀n ∈ N выполняется неравенство |f(xn)| ≤ M , т.е. последовательность {f(xn)} ограничена. Но как мы знаем, произведение
бесконечно малой последовательности, в данном случае последовательности {α(xn)}, на ограниченную последовательность,
в данном случае на {f(xn)}, является бесконечно малой последовательностью. Поэтому lim f(xn)α(xn) = 0. Так как это верно для
любой указанной последовательности {xn}, то согласно определению предела функции по Гейне получим lim f(x)α(x) = 0, а это
и означает, что функция f(x)α(x) является бесконечно малой при x→ a. Теорема доказана.
27. Бесконечно большие функции. Связь бесконечно малой функции с бесконечно большой функцией. О. Функция f(x)
называется бесконечно большой при x→ a, если для ∀ числа M > 0 ∃ такая окрестность U(a) точки a, что для ∀x ∈ U(a), x 6= a
справедливо неравенство |f(x)| > M. Лемма. Если функция f(x) бесконечно большая функция при x → a, то функция 1/f(x) —
бесконечно малая функция при x→ a. Доказательство. Пусть фиксировано ∀ число M = 1/ε > 0 Тогда, согласно определению
lim f(x) =∞,x к a существует такая окрестность U(a) точки a, что ∀x ∈ U(a), x 6= a выполнено неравенство |f(x)| > 1/ ε (2) а,
следовательно, и неравенство ∣1/f(x)∣ < ε.А это и означает, что lim1/f(x)=0 т.е. функция 1/f(x) является бесконечно малой. Лемма
доказана.
28. Сравнение порядков бесконечно малых функций. Эквивалентные функции. Вычисление пределов с помощью
эквивалентных функций. О. 1 Говорят, что бесконечно малая функция α(x) является бесконечно малой более высокого
порядка малости по сравнению с бесконечно малой функцией β(x) при x→ a, если lim α(x)/ β(x)= 0 О. 2 Две бесконечно малые
при x→ a функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если ∃ такая окрестность U(a) точки a
и ∃ числа m > 0, M > 0, такие, что ∀x∣∣∈ U(a∣), x /= a выполняется неравенство m ≤ ∣α(x)/ β(x)∣≤M или m|β(x)| ≤ |α(x)| ≤M |β(x)|.
В частности, бесконечно малые α(x) и β(x) при x→ a, для которых ∃ lim α(x)/ β(x)= c, где константа c /= 0, являются бесконечно
малыми одного порядка. О. Функции ϕ(x) и ψ(x) называются эквивалентными при x → a, если справедливо равенство lim
ϕ(x)/ψ(x)=1 Эквивалентные функции обозначают символом ∼: Теорема. Пусть α(x) ∼ α1(x) и β(x) ∼ β1(x) при x→ a. Тогда, если
∃ lim α1(x)/ β1(x) то ∃ limx α(x)/ β(x) и они равны
29. Символы o и O. Критерий эквивалентности функций. Главная часть функции. По определению формула ϕ(x) = o(ψ(x)),
x→a, означает, что lim ϕ(x)/ ψ(x) = 0 По определению формула ϕ(x) = O(ψ(x)), x→ a, означает, что ∃ такая окрестность U(a)
точки a и такая константа C > 0, что |ϕ(x)| ≤ C|ψ(x)| ∀x ∈ U(a), x ∈ X. Теорема. Для того, чтобы функции ϕ(x) и ψ(x) были
эквивалентными при x→ a, необходимо и достаточно, чтобы при x→ a ϕ(x) = ψ(x) + o(ψ(x)). (2) Доказательство. Необходимость.
Если ϕ(x) и ψ(x) эквивалентны при x→ a, то lim ϕ(x)/ ψ(x)= 1Но тогда lim (ϕ(x)− ψ(x))/ ψ(x) = lim ϕ(x)/ ψ(x)− 1 = 1− 1 = 0
Следовательно ϕ(x)− ψ(x) = o(ψ(x)), x→ a. Равенство (2) доказано. Достаточность. Пусть выполнено (2). Тогда lim ϕ(x)/ ψ(x) = lim
ψ(x) + o(ψ(x))/ ψ(x)= 1 + lim o(ψ(x))/ ψ(x) == 1 + 0 = 1, т.е. функции ϕ и ψ эквивалентны. Теорема доказана. О. Если справедливо
равенство (2), то функция ψ(x) называется главной частью функции ϕ(x) при x→ a.
30. Непрерывность функции в точке. Эквивалентность двух определений. Примеры непрерывных функций. О. 1 Функция
f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке
x0, и если lim f(x) = f(x0). (1) О. 2 Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она опре- делена в некоторой
окрестности этой точки, в том числе в самой точке x0, и если lim дельта y = 0 (2) дельта x→0 Приведенные определения
эквивалентны, так как lim д y = lim [f(x0 +д x)− f(x0)] = lim f(x)− f(x0) д х →0 а, значит, равенства (1) и (2) выполняются
одновременно. Пример 1 Постоянная y = c есть функция, непрерывная в любой точке x0, так как для нее д y = 0 и,
следовательно, lim д y = lim 0 = 0 д x→0 Пример 2 Функция y = x непрерывна в любой точке x0, так как д y = x− x0 = д x, и,
следовательно, lim д y = lim д x = 0д x→0
31. Свойства непрерывных функций, связанные с арифметическими операциями. Локальная ограниченность непрерывных
функций. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Теорема 1 Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a, то
в этой точке непрерывны также их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии g(a) /= 0 ). Доказательство.
Данная теорема является следствием теоремы о свойствах функций, имеющих предел, связанных с арифметическими
операциями. Мы докажем теорему в случае произведения f(x)g(x). Для остальных операций аналогично. В силу
непрерывности f(x) и g(x) в точке a, f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки a и lim f(x) = f(a), lim g(x) = g(a). Но
тогда произведение f(x)g(x) определено в некоторой окрестности точки a и lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x) = f(a)g(a). Мы
воспользовались тем, что предел произведения функций равен произведению пределов. Теорема доказана. Теорема 2 Если
функция f(x) непрерывна в точке a, то ∃ окрестность U(a) этой точки и константа M > 0, что для ∀x ∈ U(a): |f(x)| ≤M . Теорема 3
Если функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) /= 0, то существует окрестность U(a) точки a, на которой |f(x)| >|f(a)|/2 Более
того, если f(a) > 0, то для ∀x ∈ U(a) f(x) > f(a)/2 а если f(a) < 0, то для ∀x ∈ U(a) f(x) < f(a)/2
32. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции. О. Если функция y = ϕ(x) отображает множество X в
множество Y , а функция z = f(y) отображает множество Y в множество Z, то функцию z = f(ϕ(x)) называют сложной функцией
или суперпозицией ϕ и f . Она определена на множестве X и отображает X в Z. Теорема. Пусть функция y = ϕ(x) непрерывна в
точке x = a, а функция z = f(y) непрерывна в точке y = b, причем b = ϕ(a). Тогда сложная функция z = f(ϕ(x)) = F (x) непрерывна в
точке x = a. Доказательство. Из предположений теоремы следует, что z = f(ϕ(x)) определена в некоторой окрестности точки x
= a. Поэтому остается проверить, что lim f(ϕ(x)) = f(ϕ(a)).x к a Пусть {xn} — любая последовательность, такая, что lim xn = a. Так
как ϕ(x) непрерывна при x = a, то lim ϕ(x) = ϕ(a), а, значит, lim ϕ(xn) = ϕ(a).n Но ϕ(a) = b. Поэтому для последовательности yn =
ϕ(xn), n ∈ N, имеем lim yn = b. Далее, в силу непрерывности функции f(y) в точке y = b lim f(y) = f(b), y→b а, значит, lim f(yn) =
f(b). n→∞ Итак, для ∀ последовательности {xn}, такой, что lim xn = a, lim f(ϕ(xn)) = f(ϕ(a)), lim F (x) = F (a) в силу определения
предела по Гейне. Теорема доказана.
33. Точка разрыва функции. Классификация точек разрыва. Примеры. Односторонняя непрерывность. О. Пусть функция
f(x) определена в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки. Точка a называется точкой разрыва
функции f , если функция f не определена в точке a или, если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
О. Если a — точка разрыва функции f и существуют конечные односторонние пределы f(a− 0) = lim f(x), f(a+ 0) = lim f(x), x→a−0
x→a+0 то точка a называется точкой разрыва 1— го рода. Величина f(a+ 0)− f(a− 0) называется скачком функции f в точке a.
Если скачок функции f в точке a равен 0, т.е. f(a+ 0) = f(a− 0), то a называется точкой устранимого разрыва. О. Функция f(x)
непрерывна в точке a, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке a, и если
существуют односторонние пределы f(a+ 0) и f(a− 0) такие, что f(a) = f(a+ 0) = f(a− 0). О. Функция f(x) называется непрерывной
в точке a справа (слева), если она определена на промежутке [a, a+ε) ((a−ε, a] ), где ε > 0, и справедливо равенство f(a) = f(a+
0) (f(a) = f(a− 0)). О. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва 1 — го рода, называется точкой разрыва 2 — го
рода. Пример 1 Для функций sign x и |sign x| точка x = 0 является точкой разрыва 1 — го рода, поскольку, как было показано,
∃ sign(+0) = 1, sign(−0) = −1. В случае |sign x| получаем устранимый разрыв. Пример 2 Функция y = [x] — целая часть x — имеет
график, изображенный на рис. 8 Она непрерывна для нецелых x, а если x — целое, то [x+0] = x = [x], [x−0] = x−1, и,
следовательно, имеет место разрыв 1 рода в точках x ∈ Z. При этом она в этих точках непрерывна справа.
34. Монотонные функции. Примеры. Точки разрыва монотонной функции. О. Функция f(x) называется возрастающей
(убывающей) на множестве X ⊂ R, если для ∀x1, x2 ∈ X, для которых x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2) ( f(x1) > f(x2)
). Функция f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X ⊂ R, если для ∀x1, x2 ∈ X, для которых x1 < x2,
выполняется неравенство f(x1) ≤ f(x2) ( f(x1) ≥ f(x2) ). Функции возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие
называются монотонными. Теорема. Если функция f(x) не убывает на отрезке [a, b], то существуют пределы f(a+ 0) = inf f(x) ≥
f(a) f(b− 0) = sup f(x) ≤ f(b). Доказательство. Из условия теоремы следует, что ∀x ∈ [a, b) f(x) ≤ f(b), т.е. f ограничена сверху числом
f(b) на полуинтервале [a, b). Но тогда существует точная верхняя грань значений f(x) на этом полуинтервале: sup f(x) =M ≤ f(b).
В силу свойства точной верхней грани для ∀ε > 0 ∃ x0 ∈ [a, b), такое, что M − ε < f(x0) ≤M, (1) а в силу того, что f не убывает, ∀x:
x0 < x < b имеет место неравенство f(x0) ≤ f(x). (2) Из (1) и (2) следует, что ∀x: x0 < x < b M − ε < f(x) ≤M и мы доказали, что
существует левый предел f в точке b: lim f(x) = f(b− 0) =M ≤ f(b). Следствие. Если функция f(x) не убывает на отрезке [a, b], то в
любой точке x ∈ [a, b) существует правый предел f(x+ 0) ≥ f(x) и в любой точке x ∈ (a, b] существует левый предел f(x− 0) ≤ f(x).
35. Первая теорема Вейерштрасса. О. Функция f(x) непрерывна на интервале (a, b), если она непрерывна во всех точках (a,
b). Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех точках (a, b), непрерывна в точке a справа и
непрерывна в точке b слева. Функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a, b), если она непрерывна во всех точках интервала
(a, b) и непрерывна в точке a справа. Функция f(x) непрерывна на полуинтервале (a, b], если она непрерывна во всех точках
интервала (a, b) и непрерывна в точке b слева. Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом
отрезке, т.е. ∃ константа K > 0, такая, что ∀x ∈ [a, b]: |f(x)| ≤ K. Доказательство теоремы. Допустим противное, т.е. f(x) не
ограничена на [a, b]. Тогда для ∀ натурального числа n ∈ N ∃ точка xn ∈ [a, b], такая, что |f(xn)| > n, n ∈ N. Таким образом, ∃
последовательность {xn}, такая, что соответствующая последовательность {f(xn)} бесконечно большая. Так как a и b —
конечные числа, то последовательность {xn} ограничена, и в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить
подпоследовательность {xn }, сходящуюся к некоторому числу ξ ∈ [a, b].k Принадлежность ξ отрезку [a, b] вытекает из
следствия к теореме 1 о переходе к пределу в неравенствах. Но в точке ξ функция f непрерывна ( если ξ = a, то в этой точке f
непрерывна справа, а если ξ = b, то в этой точке f непрерывна слева ). Поэтому lim f(xn ) = f(ξ).k k→∞ Но это не возможно, ибо
подпоследовательность {f(xn )}, будучи выделенной из бесконечно большой последовательности {f(xn)}, сама является
бесконечно большой. Полученное противоречие доказывает теорему.
36. Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своего минимального и
максимального значений, т.е. ∃ точки α, β ∈ [a, b] такие, что f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) для ∀x ∈ [a, b]. Иначе говоря, min f(x) = f(α), max f(x)
= f(β). x∈[a,b] Доказательство теоремы. Докажем, что f(x) достигает максимального значения. По первой теореме
Вейерштрасса непрерывная на [a, b] функция ограничена сверху некоторым числом K: f(x) ≤ K для ∀x ∈ [a, b]. Но тогда ∃ точная
верхняя грань f(x) ( или значений f(x) ) на [a, b]: sup f(x) =M. (1) x∈[a,b] Число M обладает следующим свойством: для ∀
натурального числа n ∈ N на [a, b] ∃ точка xn такая, что M – 1/n < f(xn) ≤M, n = 1, 2, . . . . Последовательность {xn}, как
принадлежащая [a, b], ограничена, и поэтому из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить
подпоследовательность {xnk }, сходящуюся к некоторому числу β ∈ [a, b]. Но функция f(x) непрерывна в точке β, и поэтому lim
f(xnk ) = f(β).k→∞ С другой стороны, так как M-1/nk< f(xnk ) ≤M при ∀k ∈ N, то lim f(xnk ) =M. k→∞ Мы перешли к пределу в
неравенствах. Но так как f(xnk ) может стремиться только к одному пределу, M = f(β). Верхняяk грань (1), таким образом,
достигается в точке β, т. е., как говорят, функция f(x) достигает в точке β своего максимума на отрезке [a, b]. Мы доказали, что
∃ точка β ∈ [a, b], для которой max f(x) = f(β). x∈[a,b] Доказательство другой части теоремы о минумуме аналогично min f(x) =
− max (−f(x)). x∈[a,b]
37. Теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции. Промежуточные значения непрерывной функции. Теорема.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и числа f(a) и f(b) не равны нулю и имеют разные знаки. Тогда ∃ по крайней
мере одна точка c ∈ (a, b), такая, что f(c) = 0 Доказательство теоремы. Пусть для определенности f(a) < 0 < f(b). Разделим отрезок
[a, b] точкой x0 на два равных по длине отрезка. Тогда либо f(x0) = 0, и, значит, искомая точка c найдена, либо f(x0) 6= 0 и тогда
на концах одного из полученных отрезков f(x) принимает значения разных знаков. Точнее, на левом конце значение меньше
0, на правом — больше 0 Обозначим этот отрезок [a1, b1], и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В
результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке c, в которой f(c) = 0, либо получим бесконечную систему
вложенных отрезков [an, bn], n ∈ N по длине стремящихся к нулю, и таких, что f(an) < 0 < f(bn), n ∈ N. (2) Согласно принципу
вложенных отрезков ∃ единственная точка c ∈ [an, bn] для ∀n ∈ N. При этом c = lim an = lim bn. Поэтому в силу непрерывности
f(x) f(c) = lim f(an) = lim f(bn). Переходя к пределу в неравенствах (2), имеем f(c) = lim∞ f(an) ≤ 0 ≤ lim f(bn) = f(c), что возможно
лишь в случае f(c) = 0 Так как f(a) 6= 0, f(b) 6= 0, то c ∈ (a, b). Теорема доказана. Следствие 1 Пусть функция непрерывна на
отрезке [a, b], причем f(a) = A, f(b) = B, A /= B и C — произвольное число, находящееся между числами A и B. Тогда ∃ по крайней
мере одна точка c ∈ (a, b), такая, что f(c) = C. Следствие 2 Непрерывная на отрезке [a, b] функция принимает все промежуточные
значения между ее наименьшим и наибольшим значениями ( которые существуют по второй теореме Вейерштрасса ).
38. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема. Для того, чтобы возрастающая ( убывающая ) на отрезке [a, b]
функция y = f(x) являлась непрерывной на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы любое число y0, заключенное между
числами α = f(a) и β = f(b), было значением этой функции. Доказательство. Необходимость. Необходимость вытекает из
следствия 1 к теореме Больцано - Коши о нуле непрерывной функции. Согласно этому следствию любая непрерывная на
отрезке [a, b] функция, даже не обязательно монотонная, принимает все промежуточные значения, заключенные между
числами α = f(a) и β = f(b). Достаточность. Докажем достаточность в случае возрастающей на отрезке [a, b] функции y = f(x).
Зададим произвольную точку x0 ∈ (a, b), т.е. a < x0 < b. В силу того, что f возрастает, соответствующая точка y0 = f(x0) будет
принадлежать интервалу (α, β), т.е. α < y0 < β. Зададим ε > 0 настолько малым, чтобы α < y0 − ε < y0 < y0 + ε < β. По условию,
найдутся точки x1, x2 ∈ (a, b), где x1 < x0 < x2, такие, что y0 − ε = f(x1), y0 + ε = f(x2). Интервал (x1, x2) можно рассматривать как
окрестность точки x0, поскольку x0 ∈ (x1, x2). Вследствие того, что функция y = f(x) возрастает, при x ∈ (x1, x2) будет справедливо
неравенство y0 − ε < f(x) < y0 + ε. или |f(x)− y0| < ε, т.е. |f(x)− f(x0)| < ε Следовательно, lim f(x) = f(x0). x к x0
39. Понятие обратной функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Примеры. О. Пусть функция
y = f(x) задана на отрезке [a, b], и пусть множеством значений этой функции является отрезок [α, β]. Пусть, далее, каждому y
из отрезка [α, β] соответствует только одно значение x из отрезка [a, b], для которого f(x) = y. Тогда на отрезке [α, β] можно
определить функцию x = f−1(y), ставя в соответствие каждому y из [α, β] то значение x из [a, b], для которого f(x) = y. Функция x
= f^−1(y) называется обратной для функции y = f(x). Пример 1 Пусть на отрезке [0, 1] задана функция f(x) = 2x. Множеством
значений этой функции будет отрезок [0, 2]. Функция f^−1(y) = y/2 , определенная на отрезке [0, 2], является обратной для
функции f(x) = 2x. Теорема 1 Пусть на отрезке [a, b] задана возрастающая ( убывающая ) непрерывная функция y = f(x), и пусть
α = f(a), β = f(b). Тогда эта функция имеет на отрезке [α, β] ( или [β, α], если β < α ) возрастающую ( убывающую ) непрерывную
обратную функцию x = f−1(y). Доказательство. Пусть для определенности y = f(x) возрастает на отрезке [a, b]. В силу критерия
непрерывности монотонной функции множеством значений функции y = f(x) является отрезок [α, β], а тогда , как показано в
данном разделе, на отрезке [α, β] существует обратная возрастающая функция x = f−1(y), множеством значений которой
является отрезок [a, b] и которая поэтому, в силу того же самого критерия непрерывна на отрезке [α, β]. Теорема доказана.
Теорема 1’. Пусть функция y = f(x) непрерывна и возрастает на (a, b) ( или на [a, b), или на (a, b] ) и α = inf f(x), β = sup f(x). x∈(a,b)
Тогда эта функция имеет на (a, b)( или на [a, b), или на (a, b] ) возрастающую непрерывную обратную функцию x = f−1(y).
40. Элементарные функции. Непрерывность элементарных функций. Обоснование эквивалентностей. О. Всякая функция,
которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических
операций и супер-позиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией. Делятся на классы:
многочлены, рациональные функции, иррациональные функции, трансцендентные функции. Теорема. Всякая элементарная
функция непрерывна во всех точках своего множества определения. Доказательство. Согласно определению, всякая
элементарная функция получается из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических
операций и суперпозиций. Поэтому ее непрерывность на множестве определения сразу следует из непрерывности основных
элементарных функций на множествах их определения, из непрерывности суммы, разности, произведения, частного
непрерывных функций, а также из непрерывности сложной функции. Теорема доказана. Пример 1 Покажем, что при x→ 0 ln(1
+ x) ∼ x. Так как натуральный логарифм lnu = loge u непрерывная функция, то в силу 2 замечательного предела lim ln(1 + x)/x =
lim ln(1 + x)^1/x = ln lim(1 + x)^1/x = ln e = 1
41. Равномерная непрерывность. Примеры. О. Функция f(x), определенная на промежутке X, называется равномерно
непрерывной на этом промежутке, если для ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0, зависящее только от ε, такое, что ∀x′, x′′ ∈ X, удовлетворяющих
условию |x′ − x′′| < δ, (1) выполняется неравенство |f(x′)− f(x′′)| < ε. (2) Пример 1 Функция f(x) = x равномерно непрерывна на
всей числовой оси R, так как для ∀ε > 0 ∃δ = ε > 0, такое, что ∀x′, x′′ ∈ R: |x′ − x′′| < δ 1 Условие непрерывности функции f(x) на
промежутке X имеет вид ∀ε > 0 ∀x ∈ X ∃δ > 0 ∀x′ ∈ X, |x′ − x| < δ : |f(x′)− f(x)| < ε, а условие ее равномерной непрерывности на
X — вид ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X, ∀x′ ∈ X, |x′ − x| < δ : |f(x′)− f(x)| < ε.
42. Теорема Кантора. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она равномерно непрерывна на нем. Доказательство
теоремы Кантора. Доказательство проведем от противного. Допустим, что теорема не верна. Тогда существует такое ε > 0, что
∀δ > 0 ∃ пара точек x′, x′′ ∈ [a, b], удовлетворяющих неравенству |x′′ − x′| < δ для которых |f(x′)− f(x′′)| ≥ ε. Зададим стремящуюся
к нулю последовательность положительных чисел δn, n = 1, 2, 3, . . . Для определенности, можно взять δn = 1/n. Для каждого
δn = 1/n ∃ точки x′, x′′ ∈ [a, b], такие, что |x′′ − x′| < 1/n , но |f(x′)− f(x′′)| ≥ ε. Так как точки последовательности {x′n} принадлежат
[a, b], то эта последовательность ограничена. Следовательно, из нее по теореме Больцано - Вейерштрасса можно выделить
подпоследовательность {x′nk}, сходящуюся к некоторой точке x0 ∈ [a, b]. Так как − 1 /nk < x′′ − x′< 1/nk то переходя к пределу в
этом неравенстве, получаем, что lim (x′′nk − x′nk ) = 0 k→∞ Поэтому подпоследовательность {x′′n } также сходится к точке x0:k
lim x′′nk = lim x’nk + lim (x’’nk – x’nk) = x0. По условию, функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и, следовательно, непрерывна
в точке x0. Конечно, если x0 = a или x0 = b, то надо считать, что f(x) непрерывна в x0 справа или, соответственно, слева. Поэтому
lim f(x′nk ) = f(x0), lim f(x′′nk ) = f(x0 ). k→∞ Следовательно, lim (f(x′nk )− f(x′′nk )) = 0 (1) k→∞ Но по конструкции
последовательностей {x′nk }, {x′′nk} |f(x′nk )− f(x’’nk )| ≥ ε, (2) где ε > 0 и не зависит от k. Очевидно, что условия (1), (2)
противоречат друг другу. Теорема доказана.