МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ) ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА РАСЧЕТ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для курсантов и студентов заочной формы обучения специализаций 160503.65.01 – Летная эксплуатация гражданских воздушных судов, 160503.65.05 – Летная эксплуатация силовых установок и функциональных систем воздушных судов, 160505.65.01 – Управление воздушным движением. Издание второе стереотипное Ульяновск 2008 ББК З844−04я7 Э45 Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров: метод. указания по выполнению расчетно-графической работы / сост. С. Н. Тарасов. – 2-е изд., стереотип. − Ульяновск: УВАУ ГА, 2008. − 36 с. Изложены требования к выполнению расчетно-графической работы. Приведены необходимые теоретические сведения об электрических фильтрах, рассмотрены основные элементы структурного синтеза линейных частотных фильтров на основе максимально-плоской аппроксимации амплитудночастотной характеристики. Изложена методика расчета и синтеза фильтров по заданным требованиям к их частотным свойствам, рассмотрены особенности составления схем и расчета параметров элементов реальных фильтров по рассчитанному фильтру-прототипу. Предназначено для курсантов и студентов заочной формы обучения специализаций 160503.65.01 – Летная эксплуатация гражданских воздушных судов, 160503.65.05 – Летная эксплуатация силовых установок и функциональных систем воздушных судов, 160505.65.01 – Управление воздушным движением. СОДЕРЖАНИЕ 1. Основные задачи расчетно-графической работы и требования к её выполнению ........................................................................ 3 2. Общие сведения об электрических фильтрах................................................. 7 3. Элементы теории синтеза линейных частотных фильтров ......................... 10 4. Методика расчета и синтеза фильтров .......................................................... 25 Библиографический список ................................................................................ 38 © Тарасов С.Н., составление, 2001. © Ульяновск, УВАУ ГА, 2001. Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ И ТРЕБОВАНИЯ К ЕЁ ВЫПОЛНЕНИЮ В современной системе профессиональной подготовки специалистов ГА важное значение имеет дисциплина «Электротехника и электроника», изучение которой направлено на формирование знаний, необходимых для овладения основами современной техники и технологии, используемых в ГА. Знания, полученные при изучении дисциплины, позволят специалисту квалифицированно, технически грамотно осуществлять эксплуатацию существующего сложного электрического и радиоэлектронного оборудования, а также быстро осваивать новые средства, которые будут вводиться в эксплуатацию в будущем. Основными задачами расчетно-графической работы являются: − закрепление и углубление знаний, полученных при изучении данной дисциплины; − умение по заданным характеристикам рассчитывать и составлять простейшие цепи электронных схем, в частности линейные частотные фильтры; − получение представлений о существующих методах анализа и синтеза электрических и радиотехнических цепей. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 3 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 1.1. Содержание расчетно-графической работы Цель расчетно-графической работы − изучение и применение существующих методов анализа и синтеза для упрощенного расчета характеристик и составления структуры такого широко распространенного класса устройств, как линейные частотные фильтры. В процессе выполнения расчетно-графической работы необходимо: − привести краткие сведения о заданном типе фильтра, изобразить его идеализированную частотную характеристику (зависимость коэффициента передачи мощности от частоты); − по заданным исходным данным определить требуемые параметры фильтра-прототипа, которым является фильтр нижних частот; − выбрать тип фильтра-прототипа, т.е. вид аппроксимации требуемой частотной характеристики (для фильтра Баттерворта – максимально-плоская аппроксимация), и рассчитать его порядок; − рассчитать и изобразить частотную характеристику коэффициента мощности для фильтра-прототипа; − определить передаточную функцию фильтра-прототипа; − составить структуру фильтра-прототипа и рассчитать параметры элементов звеньев; − преобразовать схему фильтра-прототипа в схему заданного фильтра и рассчитать параметры его элементов; − начертить электрическую принципиальную схему рассчитанного фильтра с указанием значений параметров элементов; − сделать выводы. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 4 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 1.2. Варианты заданий Задание на расчетно-графическую работу является индивидуальным, а вариант выбирается курсантами самостоятельно по последним двум цифрам номера зачетной книжки из табл. 1. Таблица 1 Номер варианта Тип фильтра fЗ1, fС1, fС2, fЗ2, АЗ, RН, кГц кГц кГц кГц дБ кОм 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 ФНЧ - - 190+N 450+N 20 1+N /10 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 ФВЧ - - 26 1+N /10 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31 ПФ 450+N 800+N 12 N /10 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 РФ 18 N /10 250 N 50+N 320 700 N 100+N N 210 N 690 N 450 N Пример. Последние цифры номера зачетной книжки 07. Находим в таблице номер варианта N=7. Ему соответствует полосовой фильтр (ПФ), при этом частоты пропускания и задержания fЗ1 = 50 + 7 = 57 кГц, fС1 = 100 + 7 = 107 кГц, fС2 = 450 + 7 = 457 кГц, fЗ2 = 800 + 7 = 807 кГц, требуемое ослабление в полосе задержания –12 дБ, сопротивление нагрузки фильтра RН = 7/10 = 0.7 кОм. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 5 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 1.3. Оформление и защита расчетно-графической работы Оформление расчетно-графической работы производится на листах писчей бумаги формата А4 с обязательным указанием на титульном листе названия и варианта задания, учебной группы, шифра зачетной книжки, фамилии и инициалов автора, даты выполнения. Пример оформления титульного листа приведен в приложении. При выполнении расчетов по каким-либо формулам следует давать краткое пояснение буквенных обозначений переменных и размерности полученных результатов. При составлении текстовой части материала расчетно-графической работы следует придерживаться примерного порядка следования разделов, изложенного в п. 1.1. В случае необходимости можно использовать рисунки, схемы, диаграммы и т.п., поясняющие расчеты. Графические зависимости и электрические схемы вычерчиваются на миллиметровой бумаге, вклеиваемой в текст, или непосредственно на листах расчетно-графической работы. Выводы, составление которых требует от автора умения анализировать и творчески мыслить, являются важнейшей частью расчетно-графической работы и должны быть посвящены подведению краткого итога и объяснению особенностей проделанной работы, оценке соответствия полученных результатов требованиям задания. Оформленная расчетно-графическая работа предъявляется преподавателю на проверку до установленного срока. При наличии грубых ошибок и серьезных просчетов работа возвращается автору на доработку. После проверки расчетнографической работы, в случае ее соответствия требованиям задания и правильности выполненных расчетов, преподаватель выясняет знания курсанта по теоретическому материалу, относящемуся к данной теме. По результатам собеседования и с учетом качества выполненной работы выносится окончательное решение о зачете расчетно-графической работы. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 6 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРАХ Электрическим фильтром называется устройство, основное назначение которого состоит в обеспечении прохождения сигналов определенного диапазона частот (полосы пропускания) с малым затуханием, и с большим затуханием сигналов на всех других частотах (полоса задержания) [1, 2]. Частота (или частоты), лежащая на границе полосы пропускания и полосы задержания, называется частотой среза (fС или ωС = 2π fС). По виду амплитудно-частотной характеристики фильтры подразделяются на четыре типа: − фильтры нижних частот (ФНЧ) пропускают сигналы с частотами ниже fС и задерживают сигналы с более высокими частотами; − фильтры верхних частот (ФВЧ) пропускают сигналы с частотами выше fС и задерживают сигналы с более низкими частотами; − полосовые фильтры (ПФ) пропускают сигналы в определенной полосе частот Δf (от fС1 до fС2) и задерживают сигналы с частотами вне этой полосы; − режекторные фильтры (РФ) задерживают сигналы в определенной полосе частот (от fС1 до fС2) и пропускают сигналы с частотами вне этой полосы. Общее представление об амплитудно-частотных характеристиках фильтров приведено на рис. 2.1 [7]. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 7 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Рис. 2.1. Общие определения амплитудно-частотных характеристик фильтров Слева изображена амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра низких частот (ФНЧ) с полосой пропускания от 0 Гц до граничной частоты fС, выше которой, вплоть до бесконечности, расположена полоса задержания. В середине рисунка расположена АЧХ полосового фильтра (ПФ), полоса пропускания которого заключена между нижней fС1 и верхней fС2 граничными частотами, полоса задержания этого фильтра расположена от 0 Гц до fС1 и от fС2 до бесконечности. Справа показана АЧХ фильтра верхних частот (ФВЧ), полоса пропускания которого лежит выше граничной частоты fС до бесконечности, полоса задержания расположена ниже fС до нулевой частоты. АЧХ режекторного фильтра (РФ) можно представить, поменяв местами полосы пропускания и задержания ПФ, при этом полоса задержания будет лежать между частотами fС1 и fС2, а полосы пропускания РФ будут располагаться от 0 Гц до fС1 и от fС2 до бесконечности. В радиоэлектронной аппаратуре широко применяют ПФ, например, в трактах высокой и низкой частоты связных и радиолокационных приемников, для формирования однополосного сигнала и выделения рабочих диапазонов частот в передатчиках и т.д. ФНЧ используют для ограничения диапазона частот модулирующих сигналов в микрофонных усилителях, для подавления гармоник Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 8 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров передатчиков. РФ применяют в радиоприемниках для ослабления приема по зеркальной и промежуточной частотам, в передатчиках для подавления побочных излучений на определенных частотах. ФВЧ используют для ограничения снизу полосы пропускания и снижения фона переменного тока в микрофонных усилителях, для снижения влияния более низкочастотных по сравнению с рабочими частотами помех в радиоприемных устройствах. Основной параметр фильтра – частотная избирательность, определяемая зависимостью его затухания A от частоты, A = UВХ/UВЫХ или AдБ = 20lgUВХ/UВЫХ. Величина K, обратная затуханию, называется коэффициентом передачи: K=UВЫХ/UВХ. Зависимость коэффициента передачи фильтра от частоты называется частотной характеристикой пропускания, а зависимость затухания от частоты – частотной характеристикой затухания. Между собой эти величины связаны соотношением: АдБ = 20 lg 1 . K Другой характеристикой фильтра является зависимость от частоты вносимого им дополнительного фазового сдвига в проходящий через него сигнал. Эта характеристика ϕK(ω) получила название фазочастотной или ФЧХ. В некоторых случаях при проектировании фильтров к ФЧХ предъявляются особые требования. Кроме того, важной характеристикой фильтра является его волновое (характеристическое) сопротивление ρФ. Если фильтр работает на согласованную нагрузку (RН = ρФ), то входное сопротивление фильтра равно его волновому сопротивлению (RВХ = ρФ). Точное согласование фильтра с нагрузкой получается только на одной или нескольких частотах, однако всегда стремятся улучшить согласование ρФ с RН. При большом рассогласовании ухудшается частотная характеристика фильтра вследствие отражения энергии сигнала от нагрузки. При расчетах фильтров необходимо учитывать величину сопротивления нагрузки и соответственно включать его в реальные цепи. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 9 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ Излагаемые здесь методы синтеза применимы не только к электрическим цепям, но и к любым линейным системам, которые допускают представление в виде моделей четырехполюсника с сосредоточенными параметрами [2, 3]. Теорию цепей принято делить на две обширные области, тесно связанные между собой, − анализ и синтез. Задачей анализа является нахождение внешних и внутренних характеристик электрической цепи, структура которой задана заранее, например, в виде принципиальной схемы. Задача синтеза диаметрально противоположна − внешняя характеристика, такая как частотный коэффициент передачи напряжения, входное или выходное сопротивление и т.д., считается известной. Требуется найти структуру цепи, реализующую эту характеристику. В отличие от анализа синтез, как правило, является неоднозначной процедурой. Поэтому среди множества структур с одинаковыми свойствами необходимо отыскать ту, которая в некотором определенном смысле оптимальна. Так, всегда желательно, чтобы синтезируемая цепь содержала минимально возможное число элементов. Во многих случаях нужно, чтобы цепь была малочувствительна к выбору номиналов входящих в нее элементов. Синтез цепей является развитой областью современной теоретической радиотехники. Разработан целый ряд методов синтеза, порой весьма сложных, с которыми при желании можно познакомиться самостоятельно [4–7]. Методы синтеза цепей приобрели исключительно большое значение в связи с внедрением систем автоматизированного проектирования радиоэлектронных устройств на ЭВМ. В данном материале будет изучаться простейшая задача синтеза частотных фильтров, представляющих собой линейные стационарные четырехполюсники, образованные элементами L, C, R. Исходные данные для синтеза во всех случаях будут задаваться амплитудно-частотными характеристиками. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 10 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 3.1. Частотные характеристики четырехполюсников Четырехполюсниками называются электрические цепи, имеющие вид "черного ящика" с двумя парами доступных зажимов. Одна пара служит входом, другая − выходом сигнала (рис.3.1). В рабочем режиме к входу подключен источник сигнала, а выходные зажимы нагружены на сопротивление нагрузки ZН, которое в общем случае может носить комплексный характер. Рис. 3.1. Четырехполюсник – “черный ящик” Далее рассмотрим отдельные моменты, существенные для синтеза четырехполюсников [2]. Матричное описание. Важнейшее свойство линейного стационарного четырехполюсника состоит в том, что четыре комплексные амплитуды U1, I1, U2, I2 при любой частоте внешнего воздействия связаны двумя линейными алгебраическими выражениями. Две произвольно выбранные комплексные амплитуды можно принять за независимые величины, а две другие должны определяться через них. Это служит основанием для матричного описания линейных четырехполюсников. Так, часто используют матрицу передачи (ABCD-матрицу), полагая независимыми переменными напряжение и ток на выходе. При этом U1 = AU2 + BI2, I1 = CU2 + DI2. (3.1) Коэффициенты A, B, C и D имеют разные физические размерности и могут быть определены из опытов холостого хода и короткого замыкания. Матрицы передачи особенно удобны для описания каскадного включения четырехполюсников, поскольку результирующая матрица есть произведение матриц отдельных звеньев. Если заданы матрица четырехполюсника и сопротивление Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 11 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров нагрузки, то можно вычислить так называемые функции цепи, к которым относят, например: а) входное сопротивление ZВХ = U1 / I1; б) передаточное сопротивление ZП = U2 / I1; в) частотный коэффициент передачи напряжения K = U2 / U1. Функции цепи зависят в общем случае от частоты. Любая функция цепи выражается через элементы матрицы четырехполюсника и через сопротивление нагрузки. Так, поделив левые и правые части уравнения (3.1) друг на друга, находим, что входное сопротивление ZВХ(jω) = (AZН + B)/(CZН + D). (3.2) Аналогично, частотный коэффициент передачи напряжения K(jω) = ZН/(AZН + B). (3.3) Обратим внимание на то, что функция K(jω) зависит от направления передачи энергии в системе. Если источник и нагрузка поменялись местами, то вводят частотный коэффициент передачи в обратном направлении (нагрузка слева): KОБР(jω) = U1 / U2. (3.4) Другими словами, коэффициенты прямой и обратной передач в общем случае не совпадают. Передаточная функция четырехполюсника. В теории и практике синтеза линейных четырехполюсников довольно часто в качестве аргумента частотного коэффициента используется не только переменная jω (где ω = 2π f – круговая частота), но и комплексная частота p=σ + jω, т.е. наряду с функцией K(jω) применяется более общая характеристика – передаточная функция K(p) [2]. Передаточная функция четырехполюсника обладает всеми свойствами передаточных функций линейных стационарных систем. Так, линейному четырехполюснику с постоянными параметрами отвечает функция K ( p) = K 0 Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. ( p − z1 )( p − z 2 )...( p − z m ) , ( p − p1 )( p − p2 )...( p − pn ) (3.5) 12 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров где K0 – постоянная величина. Если цепь устойчива, то полюсы p1, p2,...pn должны располагаться на плоскости комплексной частоты в левой полуплоскости, образуя комплексно-сопряженные пары. Обычно вводят дополнительное условие – число полюсов функции K(p) должно превышать число нулей z1, z2,...zm, т.е. в бесконечно удаленной точке должен существовать не полюс, а нуль передаточной функции. Существование нуля передаточной функции в бесконечно удаленной точке обеспечивает спад АЧХ цепи при очень высоких частотах. Расположение нулей передаточной функции. В отличие от полюсов нули функции K(p) устойчивого линейного четырехполюсника могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной p. Действительно, если K(p) = 0, то это лишь означает, что при некотором U1(p) ≠ 0 изображение выходного напряжения U2(p) обращается в нуль. Это не противоречит свойствам устойчивых систем. Четырехполюсники, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называют минимально-фазовыми цепями. Если же нули в правой полуплоскости имеются, то такие четырехполюсники называют неминимально-фазовыми цепями. При одинаковом числе нулей и полюсов неминимально-фазовая цепь обеспечивает большее по абсолютному значению изменение фазы коэффициента передачи по сравнению с минимально-фазовой цепью. Расположение нулей функции K(р) связано с топологической структурой цепи. В теории цепей показывается, что минимально-фазовым будет любой четырехполюсник со следующим свойством: передача сигнала с входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. В частности, минимально-фазовыми цепями будут любые четырехполюсники лестничной структуры (рис. 3.2,а). Рис. 3.2. Примеры: а – минимально-фазовых четырехполюсников; б – неминимально-фазовых четырехполюсников. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 13 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Неминимально-фазовые четырехполюсники имеют, как правило, структуру мостовых (скрещенных) цепей, в которых сигнал на выход проходит по двум или более каналам. Простейшая неминимально-фазовая цепь – симметричный мостовой четырехполюсник, образованный элементами R и C (рис. 3.2,б). Здесь, как нетрудно убедиться, передаточная функция по напряжению K(p) = (pRC – 1)/(pRC +1). (3.6) Данная функция имеет единственный нуль z = 1/(RC), который находится в правой полуплоскости. Однако мостовая структура не гарантирует автоматически принадлежность цепи к неминимально-фазовому классу. В каждом отдельном случае следует проверять наличие или отсутствие нулей передаточной функции в правой полуплоскости. Связь между АЧХ и ФЧХ минимально-фазового четырехполюсника. Передаточная функция K(p) любого устойчивого четырехполюсника в правой полуплоскости переменной p является аналитической функцией. Если к тому же этот четырехполюсник принадлежит к числу цепей минимально-фазового типа, то его передаточная функция в правой полуплоскости не имеет нулей. Таким образом, при реализации заданной АЧХ четырехполюсника минимально-фазового типа, невозможно получить при этом любую фазочастотную характеристику (ФЧХ) ϕK(ω). Основываясь на свойствах преобразования Гильберта [2], можно утверждать, например, что если АЧХ минимально-фазового четырехполюсника на какой-нибудь частоте достигает максимума, то ФЧХ в окрестности этой частоты проходит через нуль (рис. 3.3). Рис. 3.3. АЧХ и ФЧХ минимально-фазового четырехполюсника Если же четырехполюсник принадлежит к числу цепей неминимальной фазы, то АЧХ и ФЧХ независимы друг от друга. Среди неминимально-фазовых Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 14 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров цепей особо важную роль играют так называемые всепропускающие четырехполюсники, у которых модуль коэффициента передачи постоянен и не зависит от частоты. Примером может служить симметричный мостовой RCчетырехполюсник, для которого в соответствии с равенством (3.6) |K(jω)| = 1, ϕK(ω) = – 2 arctg (ω RC). Подобные четырехполюсники используются для фазовой коррекции сигналов. Они позволяют частично компенсировать искажения формы сигналов, прошедших через радиотехнические устройства. Коэффициент передачи мощности. Как известно, так принято называть квадрат модуля частотного коэффициента передачи четырехполюсника: KP(ω) = K(jω) K*(jω) = K(jω) K(–jω). (3.7) В отличие от самого коэффициента передачи K(jω) функция KP(ω) вещественна и поэтому особенно удобна для задания исходных данных к синтезу четырехполюсника. Как видно из формулы (3.7), коэффициент передачи мощности – четная функция частоты, т.е. всегда может быть представлен в виде отношения двух многочленов по степеням ω2: KP(ω) = M(ω2)/N(ω2). (3.8) Если подставить переменную p вместо jω, то функция KP(ω) будет аналитически продолжаться с мнимой оси jω на всю плоскость комплексных частот: KP(p) = K(p) K(−p). (3.9) Формула (3.9) устанавливает следующий факт: если a + jb – особая точка (нуль или плюс) функции K(p), то KP(p) будет иметь такую же особую точку как при p = a + jb, так и при p = – a – jb. Принято говорить, что особые точки частотного коэффициента передачи мощности имеют квадрантную симметрию, т.е. располагаются на комплексной плоскости, имея центр симметрии в начале координат (рис. 3.4). Это свойство имеет большое значение в теории синтеза четырехполюсников, поскольку оно дает возможность восстанавливать частотный коэффициент передачи K(jω) по известной функции KP(p). Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 15 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Рис. 3.4. Расположение полюсов, находящихся в квадрантной симметрии Этапы синтеза частотно-избирательных четырехполюсников. Синтез частотных фильтров обычно начинают с того, что выбирают некоторую идеализированную функцию, которая описывает частотную зависимость коэффициента передачи мощности, равную квадрату АЧХ. Никаких ограничений на вид ФЧХ фильтра не налагают. Поэтому такой подход называют синтезом фильтра по заданной АЧХ. Как правило, идеализированная частотная характеристика является физически нереализуемой. Поэтому второй этап синтеза состоит в аппроксимации этой характеристики такой функцией, которая может принадлежать физически реализуемой цепи. Далее по аппроксимированной частотной характеристике передачи мощности находят передаточную функцию K(p) фильтра. Зная координаты нулей и полюсов этой функции, можно провести реализацию цепи, т.е. получить принципиальную схему фильтра вместе с номиналами входящих в него элементов. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 16 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 3.2. Фильтры нижних частот Рассмотрим некоторые физически реализуемые характеристики фильтра нижних частот (ФНЧ), который при синтезе частотно-избирательных цепей является так называемым фильтром-прототипом, имеющим нормированную полосу пропускания с частотой среза ωН = 1 и нагруженный на единичное (в выбранной расчетной системе единиц) сопротивление. Определив параметры фильтра-прототипа можно перейти в дальнейшем к схемам любых других фильтров. Основное назначение ФНЧ – с минимальным ослаблением передавать на выход колебания, частоты которых не превосходят заданной граничной частоты, называемой частотой среза фильтра ωС=2π fС. В то же время колебания с более высокими частотами должны существенно ослабляться. Очевидно, для ФНЧ с частотой среза ωС идеальная частотная зависимость коэффициента передачи мощности при физических частотах ω > 0 имеет вид (рис. 3.5) Рис. 3.5. Идеальная АЧХ фильтра нижних частот Такая частотная характеристика заведомо нереализуема. Обращение в нуль функции KP(ω), а значит, и передаточной функции K(p) противоречит известному критерию Пэли–Винера [2]. Возникает задача подбора допустимой аппроксимирующей функции. Максимально плоская аппроксимация. Один из возможных способов аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ построен на использовании коэффициента передачи мощности KP(ωН) = 1/(1 + ωН2n), Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. (3.10) 17 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров где ωН = ω /ωС – безразмерная нормированная частота. ФНЧ, имеющий такие частотные свойства, называют фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта. Целое число n = 1,2,3, ... является порядком фильтра. Сравнение выражений (3.8) и (3.10) показывает, что при любом n такой фильтр реализуем. В полосе пропускания фильтра, т.е. при 0 ≤ ωН ≤ 1, квадрат модуля коэффициента передачи плавно уменьшается с ростом частоты. На частоте среза (при ωН = 1) ослабление, вносимое фильтром, составляет 10 lg 0,5 ≈ –3 дБ независимо от порядка системы. Чем больше n, тем точнее аппроксимируется идеальная форма частотной характеристики. На рис. 3.6 изображены графики, построенные по формуле (3.10) для максимально-плоских характеристики различных порядков. Порядок фильтра обычно подбирают, исходя из требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами ω > ωС. Если частота сигнала значительно превышает частоту среза фильтра (ωН >> 1), то из формулы (3.10) получается KP(ωН) ≈ ωН–2n, т.е. ослабление, выраженное в децибелах, A = 10 lg KP(ωН) ≈ −20 n lg ωН. Отсюда следует, что при увеличении частоты вдвое ослабление, вносимое фильтром Баттерворта, возрастает на –20n 0.301 ≈ –6n дБ. Говорят, что для фильтра этого типа скорость роста ослабления вне полосы пропускания составляет –6n дБ/октава. Октава - интервал частот, граничные точки которого отличаются в два раза. Рис. 3.6. Частотные зависимости коэффициента передачи мощности для фильтров Баттерворта при n = 1 и n = 5. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 18 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Передаточная функция фильтра с максимально-плоской частотной характеристикой. Для того чтобы в дальнейшем синтезировать структуру цепи, необходимо от коэффициента передачи мощности, выбранного в формуле (3.10), перейти к передаточной функции K(p). С этой целью введем нормированную комплексную частоту pН = σН + jωН и запишем формулу (3.10) так: KP(pН) = 1 / [1+ (–1)n pН2n]. (3.11) Отсюда видно, что на плоскости pН функция KP(pН), отвечающая ФНЧ с характеристикой Баттерворта n-го порядка, имеет 2n полюсов, которые являются корнями уравнения 1 + (–1)n pН2n = 0. (3.12) Все эти корни лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. При n = 1 полюсы коэффициента передачи мощности находят из уравнения pН2 = 1, т.е. pН1 = 1, pН2 = –1. (3.13) Если n = 2, то уравнение pН4 = –1 имеет четыре корня: pН1= e jπ/4, pН2= e j3π/4, pН3= e j5π/4, pН4= e j7π/4. (3.14) Наконец, для фильтра 3-го порядка необходимо решить уравнение pН6 = 1, у которого имеется шесть корней: pН1= 1, pН2= e jπ/3, pН3= e j2π/3, pН4= –1, pН5= e j4π/3, pН6= e j5π/3. (3.15) Расположение корней на комплексной плоскости для приведенных случаев показано на рис. 3.7. Рис. 3.7. Полюсы коэффициента передачи мощности ФНЧ Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 19 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров с характеристикой Баттерворта при n = 1, n = 2, и n = 3 Общая закономерность при любом n такова: все полюсы расположены на одинаковом угловом расстоянии друг от друга, равном π/n; если n – нечетное число, то первый корень pН1 = 1, если же n – четно, то pН1 = exp(jπ/n). Теперь воспользуемся тем, что полюсы коэффициента передачи мощности имеют квадрантную симметрию, т.е. их число и конфигурация расположения в обеих плоскостях одинаковы. Это позволяет считать, что только полюсы, расположенные в левой полуплоскости, отвечают синтезируемому фильтру. Их "зеркальные копии" в правой полуплоскости соотносятся с функцией K(–pН) и не принимаются во внимание. Описанный здесь принцип является главным в процедуре синтеза фильтров, поскольку именно на нем в дальнейшем основана реализация цепи. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 20 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 3.3. Реализация фильтров Окончательный этап синтеза фильтров состоит в нахождении принципиальной схемы устройства. Здесь будет рассмотрен так называемый структурный синтез, когда цепь образуется каскадным включением некоторого числа звеньев, отделенных друг от друга идеальными развязывающими элементами (рис. 3.8). Широкое использование элементов развязки характерно для современного синтеза активных цепей в микроэлектронном исполнении. Рис. 3.8. Структурная схема фильтра, образованного каскадным включением звеньев (в качестве элементов развязки обычно используются эмиттерные или истоковые повторители) Частотный коэффициент передачи такой цепи K(jω) = K1(jω) K2(jω) ... KN(jω). (3.16) Коэффициенты передачи K1, K2,...,KN должны быть такими, чтобы они могли реализовывать те полюсы функции K(p), которые были определены ранее на этапе аппроксимации. Реализация фильтров нижних частот. Для создания ФНЧ требуются звенья двух типов – звено первого порядка с единственным вещественным полюсом и звено 2-го порядка, имеющее пару комплексно-сопряженных полюсов. Переход от нормированной переменной pН к истинной комплексной частоте производится в соответствии с выражением p = ωС pН. (3.17) Звено 1-го порядка. Простейшей цепью данного вида является Г-образный четырехполюсник (рис. 3.9,а), для которого передаточная функция по напряжению K(p) = 1 / (1 + pRC); Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. (3.18) 21 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров координата полюса в левой полуплоскости p1 = –1/(RC). Рис. 3.9. Элементы ФНЧ: а – звено 1-го порядка; б – звено 2-го порядка Отметим, что, задавая p1, получаем лишь произведение RC. Один из элементов, R или C, может быть выбран произвольно. Звено 2-го порядка. Два комплексно-сопряженных полюса передаточной функции можно реализовать с помощью Г-образного четырехполюсника, схема которого приведена на рис 3.9,б. Для этого звена легко вычислить передаточную функцию по напряжению: ω 02 K ( p) = 2 , p + 2 α p + ω 02 (3.19) где ω0 = 1 / LC и α = 1/(2RC). Желательно, чтобы емкость С значительно превосходила входную емкость последующего звена. При этом снижается чувствительность частотной характеристики фильтра к неточному выбору номиналов элементов. Передаточная функция (в левой полуплоскости) имеет полюсы в точках с координатами (рис. 3.10) p1 = −α + j ω02 − α 2 и p 2 = −α − j ω02 − α 2 , (3.20) которые в зависимости от соотношения между ω0 и α могут быть как комплексно-сопряженными, так и вещественными. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 22 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Рис. 3.10. Расположение полюсов передаточной функции звена 2-го порядка Реализация фильтров верхних частот. ФВЧ предназначены для того, чтобы с малым ослаблением пропускать колебания, частоты которых превышают частоту среза ωС. Схема ФВЧ может быть получена непосредственно, если синтезирован ФНЧ с такой же частотой среза. Для этого в теории цепей используется прием, называемый преобразованием частоты. Перейдем от переменной p, которая использована для описания ФНЧ, к новой частотной переменной p', такой, что p = ωС2/p' (3.21) При этом точке р = 0 , будет соответствовать бесконечно удаленная точка в плоскости р'. Двум точкам p1= + jωС и p2 = − jωС на мнимой оси отвечают две точки р1' = − jωС и р2' = + jωС , отличающиеся от исходных лишь измененными знаками. Поэтому можно ожидать, что АЧХ фильтра, синтезированного из ФНЧ путем частотного преобразования (3.20), будет действительно соответствовать ФВЧ. Каждый конденсатор, имевший в схеме ФНЧ проводимость pC, должен быть заменен на элемент с проводимостью ωС2C/p', т.е. на катушку с индуктивностью L = 1/(ωС2C). Аналогично, катушка с индуктивностью L в низкочастотном фильтре должна быть заменена на конденсатор емкостью C = 1/(ωС2L). Резистивные элементы фильтра остаются без изменения. Реализация полосовых фильтров. Полосовой фильтр с малым ослаблением пропускает лишь частоты в полосе, прилегающей к некоторой точке ω0 ≠ 0. Если синтезирован ФНЧ с заданной частотой среза, то можно непосредственно перейти к схеме ПФ, выполнив замену переменной p = p' + ω02/p'. (3.22) При этом точке p' = jω0 отвечает точка p = 0 и, таким образом, максимум АЧХ, наблюдавшийся в ФНЧ на нулевой частоте, будет возникать в ПФ на частоте ω0. Поскольку pC = p'C + ω02C/p', Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 23 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров проводимости конденсатора, примененного в схеме ФНЧ, отвечает в схеме ПФ проводимость параллельного колебательного контура, образованного конденсатором С и катушкой L = 1/(ω02C). Заметим, что данный контур оказывается настроенным на частоту ω0. Аналогично, из равенства pL = p'L + ω02L/p' заключаем, что катушка L превращается в последовательное соединение катушки и конденсатора C = 1/(ω02 C), т.е. в последовательный колебательный контур. Изложенные здесь сведения показывают, что ФНЧ при синтезе частотноизбирательных цепей служит так называемым фильтром-прототипом, параметры которого дают возможность перейти в дальнейшем к схемам любых других фильтров. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 24 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 4. МЕТОДИКА РАСЧЕТА И СИНТЕЗА ФИЛЬТРОВ На основе рассмотренных элементов теории проектирования фильтров можно рекомендовать следующий примерный порядок проведения расчетов. 4.1. Выбор варианта задания Вариант задания выбирается самостоятельно в соответствии с п. 1.2 настоящих методических указаний. 4.2. Анализ исходных данных и подготовка к расчетам После выбора варианта задания необходимо его осмыслить, просмотреть рекомендованные литературные источники, материал методических указаний, внимательно проанализировать, какой фильтр требуется синтезировать, привести в соответствие обозначения исходных данных и расчетных соотношений: для ФНЧ: fС = fС2 , fЗ = fЗ2 ; для ФВЧ: fС = fС1 , fЗ = fЗ1 ; для ПФ и РФ: fС = fС2 – fС1 , f02 = fС2 ⋅ fС1. Упрощенно изобразить требуемую амплитудно-частотную характеристику заданного фильтра на графике (рис. 4.1). Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 25 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Рис. 4.1. Упрощенный вид АЧХ фильтров 4.3. Определение основных параметров фильтра-прототипа На этом этапе необходимо осуществить преобразование реальной частоты f в безразмерную нормированную частоту ωН, в частности, определить значение нормированной частоты, на которой достигается заданное ослабление сигнала ωНЗ в полосе задержания фильтра. для ФНЧ: ωНЗ = fЗ / fС; для ФВЧ: ωНЗ = fС / fЗ; для ПФ: ωНЗ = min (ωНЗ ', ωНЗ ''), где ωНЗ ' = | (fЗ1⋅fЗ1 – fС2 ⋅ fС1) / [fЗ1⋅( fС2 – fС1)] |, ωНЗ '' = | (fЗ2⋅fЗ2 – fС2 ⋅ fС1) / [fЗ2⋅( fС2 – fС1)] |; для РФ: ωНЗ = min (ωНЗ ', ωНЗ ''), где ωНЗ ' = | [fЗ1⋅( fС2 – fС1)] / (fЗ1⋅ fЗ1 – fС2 ⋅ fС1) |, ωНЗ '' = | [fЗ2⋅( fС2 – fС1)] / (fЗ2⋅fЗ2 – fС2 ⋅ fС1) |. Наименьшее значение ωНЗ соответствует большей крутизне спада АЧХ фильтра в полосе задерживания при заданном ослаблении AЗ. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 26 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 4.4. Выбор вида аппроксимации и расчет порядка фильтра-прототипа Идеальный вид АЧХ фильтра-прототипа, который является ФНЧ, показан на рис. 3.5. На практике такую АЧХ обеспечить невозможно, поэтому следует подобрать аппроксимирующую функцию как можно ближе к идеальной. Для многих случаев вполне удовлетворительной является максимально-плоская аппроксимация зависимости частотного коэффициента мощности (3.10), рассмотренная в п. 3.2. Таким образом, выбрав тип фильтра-прототипа как фильтр Баттерворта далее, следует определить его порядок. n= AЗ 10 lg(10 − 1) . 2 ⋅ lg ωНЗ (4.1) Подставив в выражение (4.1) заданное ослабление в полосе задержания AЗ в дБ и найденное в п. 4.3 значение ωНЗ, получим значение n, которое округляется до ближайшего целого числа, взятого с избытком, т.е. всегда в большую сторону. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 27 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 4.5. Расчет и построение зависимости коэффициента передачи мощности фильтра-прототипа Вид зависимости коэффициента передачи мощности от частоты фильтрапрототипа с максимально-плоской аппроксимацией при различных значения n приведен на рис. 3.6. На этом этапе необходимо рассчитать 15…20 значений KP(ωН) по выражению (3.10) с найденным по (4.1) значением порядка фильтрапрототипа n при равномерном изменении ωН в пределах от 0 до ωНЗ, составить таблицу значений ωН и KP(ωН), построить соответствующий график. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 28 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 4.6. Определение передаточной функции фильтра-прототипа Общий подход к нахождению передаточной функции фильтра-прототипа заключается в анализе зависимости коэффициента передачи мощности от нормированной комплексной частоты (3.11) и определении координат ее полюсов из уравнения (3.12), решением которого являются корни (3.13), (3.14), (3.15) при необходимом порядке фильтра n. Затем, отобрав из всех 2n-полюсов (см. рис. 3.7) n-полюсов, расположенных в левой полуплоскости, осуществляется переход к передаточной функции по напряжению K(pН) фильтра-прототипа. Для фильтра 1-го порядка: при n = 1 выражение (3.11) с учетом (3.9) запишется в виде KP(pН) = K (pН)⋅K (– pН) = 1/[1 + (–1)1 pН2⋅1] = 1/(1 – pН2). Из (3.13) и рис.3.7 передаточная функция (3.5) по напряжению будет иметь один вещественный полюс в левой полуплоскости pН2 = –1 K (pН) = 1/( pН – pН2) = 1/(1 + pН). (4.2) Для фильтра 2-го порядка: при n = 2 выражение (3.11) с учетом (3.9) запишется в виде KP(pН) = K (pН)⋅K (– pН) = 1/[1 + (–1)2 pН2⋅2] = 1/(1 + pН4). Из (3.12), (3.14) и рис. 3.7 следует, что только два комплексно-сопряженных полюса, расположенные в левой полуплоскости соответствуют передаточной функции по напряжению фильтра второго порядка, а именно: pН2 = e j3π/4 и pН3 = e j5π/4, или в тригонометрической форме pН2 = – cos 45° + j⋅sin 45° = (–1 + j) / 2, (4.3) pН3 = – cos 45° – j⋅sin 45° = (–1 – j) / 2. (4.4) Тогда передаточная функция (3.5) по напряжению для этого фильтра будет иметь вид Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 29 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров K( pН ) = 1 1 = 2 . ( p Н − p Н 2 )( p Н − p Н 3 ) p Н + 2 p Н + 1 (4.5) Таким образом, для реализации фильтра-прототипа (ФНЧ) при n = 2 требуется динамическая система 2-го порядка (колебательное звено). Для фильтра 3-го порядка: при n = 3 выражение (3.11) с учетом (3.9) запишется в виде KP(pН) = K (pН)⋅K (– pН) = 1/[1 + (–1)3 pН2⋅3] = 1/(1 – pН6). Из (3.12), (3.15) и рис. 3.7 следует, что только три полюса, расположенные в левой полуплоскости – один вещественный и два комплексно-сопряженных, соответствуют передаточной функции по напряжению фильтра третьего порядка, а именно: pН3= e j2π/3 , pН4= –1, pН5= e j4π/3 , в тригонометрической форме pН3 = – cos 60° + j⋅sin 60° = (–1 + j⋅ 3 ) / 2, (4.6) pН4 = – 1, (4.7) pН5 = – cos 60° – j⋅sin 60° = (–1 – j⋅ 3 ) / 2. (4.8) Тогда в соответствии с (3.16) передаточную функцию (3.5) по напряжению для фильтра третьего порядка можно представить как произведение передаточных функций 1-го порядка с вещественным полюсом pН4 и 2-го порядка с комплексно-сопряженными полюсами pН3 и pН5: K ( pН ) = 1 1 1 1 ⋅ = ⋅ 2 . ( p Н − p Н 4 ) ( p Н − p Н 3 )( p Н − p Н 5 ) 1 + p Н p Н + p Н + 1 Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 30 (4.9) Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 4.7. Определение схемы фильтра-прототипа и расчет ее параметров На этом этапе в соответствии с изложенными в п. 3.3 принципами структурного синтеза и найденной в п. 4.6 передаточной функцией необходимо: − определить состав и структуру фильтра-прототипа; − количество и тип применяемых для его реализации звеньев и устройств развязки; − рассчитать величины параметров его элементов. В международной системе СИ сопротивление имеет размерность Ом, емкость – Фарада, индуктивность – Генри, частота – Герц, а круговая частота – радиан в секунду. Например, для реализации фильтра 3-го порядка потребуется каскадное соединение звеньев 1-го и 2-го порядка с передаточной функцией (4.9) (рис. 4.2). Рис. 4.2. Структура фильтра нижних частот 3-го порядка Для звена 1-го порядка значения параметров его элементов определяются в соответствии с (3.18), (4.2) и (4.7), т.е. при pН = pН2 = –1 –1/(RC1) = ωСpН, или RC1= 1/ωС, откуда, выбрав произвольно значение одного из элементов (например, при R = RН), находится величина другого C1 = 1/(ωСRН) = 1/(2πfСRН). Для звена 2-го порядка допустим, что роль резистора, входящего в его схему, выполняет сопротивление нагрузки RН. На основании соотношений (3.20), (4.6), (4.8) и (4.9) можно утверждать, что пара комплексно-сопряженных полюсов будет иметь требуемую вещественную часть, если α = 1/(2RНC2) = – (Re pН3,5)ωС = ωС cos 60° = ωС/2, Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 31 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров откуда C2 = 1/(ωСRН) = 1/(2πfСRН). Индуктивность L определяется из уравнения для координат полюсов по мнимой оси 1 3 − α 2 = ωС ⋅ Im p3,5 = ωС ⋅ sin 60° = ωС ⋅ . LC2 2 Решая его, находим L = 1/(ωС2C2) = 1/(4π2fС2C2). Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 32 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 4.8. Преобразование схемы фильтра-прототипа в схему заданного фильтра и расчет параметров его элементов После составления и расчета параметров элементов фильтра-прототипа в случае синтеза ФНЧ нет необходимости преобразовывать и пересчитывать величины емкости конденсаторов и индуктивности катушек, так как фильтрпрототип и есть фильтр нижних частот. Физический смысл работы фильтра нижних частот заключается в том, что с увеличением частоты реактивное сопротивление конденсатора уменьшается, а реактивное сопротивление индуктивности увеличивается. Поскольку емкость включена параллельно цепи прохождения сигнала, а индуктивность последовательно, то конденсатор с увеличением частоты будет шунтировать сигнал, а индуктивность препятствовать его прохождению на выход, поэтому уровень выходного сигнала снижается, т.е. происходит ослабление высокочастотных сигналов и пропуск сигналов с низкими частотами. Если заданием предусмотрен синтез ФВЧ, то в соответствии с п. 3.3 и (3.21) рассчитанную схему фильтра-прототипа следует преобразовать, заменив имеющиеся индуктивности на емкости и наоборот. Переход от схемы ФНЧ к схеме ФВЧ иллюстрируется рис. 4.3. В этом фильтре емкость включена последовательно, а индуктивность параллельно цепи прохождения сигнала, поэтому при уменьшении частоты сигнала сопротивление конденсатора возрастает, а сопротивление катушки индуктивности снижается (на постоянном токе – короткое замыкание). Поэтому этот фильтр лучше пропускает более высокочастотные сигналы и значительно ослабляет сигналы с низкими частотами. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 33 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Рис. 4.3. Преобразование схемы ФНЧ в схему ФВЧ: а – звено 1-го порядка; б – звено 2-го порядка При реализации ПФ схему рассчитанного фильтра-прототипа следует преобразовать с учетом рекомендаций п. 3.3, заменив индуктивность последовательным колебательным контуром, а конденсатор параллельным колебательным контуром, и пересчитав значения новых индуктивностей и емкостей в соответствии с приведенными формулами на рис. 4.4. Круговая частота ω0 = 2πf0, где f0 – резонансная частота, на которую настроены колебательные контура полосового фильтра (см. п. 4.2). Работа полосового фильтра основана на различии зависимостей сопротивлений последовательной и параллельной резонансных цепей от частоты. Полное сопротивление последовательной цепи на резонансной частоте f0 минимально, тогда как у параллельной цепи оно максимально. Поэтому сигналы с частотами близкими к резонансной практически беспрепятственно проходят в нагрузку. С увеличением отклонения частоты сигнала от резонансной полное сопротивление последовательного контура возрастает и препятствует прохождению сигнала, а параллельного снижается и шунтирует сигнал, чем и обеспечивается уменьшение уровня выходного сигнала фильтра. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 34 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Рис. 4.4. Преобразование схемы ФНЧ в схему ПФ: а – звено 1-го порядка; б – звено 2-го порядка Особенности преобразования схемы фильтра-прототипа в схему РФ, показанные на рис. 4.5, заключаются в том, что в звене 1-го порядка сначала нужно определить величину L через параметры фильтра-прототипа ωС = 2πfС и C', заменив конденсатор C' катушкой индуктивности, затем найти величину емкости конденсатора C, входящего в последовательный колебательный контур с частотой настройки f0 (см. п. 4.2). В звене 2-го порядка сначала определяются величины C1 и L2 через параметры фильтра-прототипа ωС, C' и L', а затем соответствующие им значения индуктивности L1 и C2 через ω0 = 2πf0 и найденные ранее значения C1 и L2. В основе действия режекторного или полосно-заграждающего фильтра лежат те же принципы, что и ПФ. Различие состоит в том, что параллельный колебательный контур включен последовательно с цепь прохождения сигнала, а последовательный контур подключается параллельно ей. Поскольку на резонансной частоте полное сопротивление последовательной LC-цепи минимально, то она оказывает шунтирующее действие и ослабляет сигналы. Полное сопротивление параллельного контура на резонансной частоте максимально, поэтому эта цепь препятствует прохождению сигналов. В результате совместного действия этих цепей и происходит ослабление сигналов с частотами, прилегающими к резонансной, и прохождение сигналов с частотами, значительно отличающимися от f0. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 35 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Рис. 4..5. Преобра азование схемы с ФНЧ Ч в схему РФ: а – звено з 1-го порядка; п б – звено 2-гго порядка Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 36 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров 4.9. Определение окончательного варианта схемы заданного фильтра В результате проведенных расчетов следует изобразить схему окончательного варианта заданного фильтра с указанием значений параметров элементов, отметить особенности ее построения и функционирования. Таким образом, использование ФНЧ как фильтра-прототипа при структурном синтезе линейных электрических фильтров позволяет составить схему и рассчитать параметры элементов реальных фильтров различного назначения в соответствии с заданными требования: − ФНЧ для пропуска сигналов ниже частоты среза; − ФВЧ для пропуска сигналов выше частоты среза; − ПФ для пропуска сигналов в определенной полосе частот и ослабления сигналов за ее пределами; − РФ для подавления или ослабления сигналов в определенной полосе частот и пропуска сигналов за ее пределами. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 37 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Синдеев, Ю.Г. Радиоэлектроника: учебник для студентов педагогических и технических вузов / Ю.Г. Синдеев, В.Г. Грановский. – Ростов-н/Д: Феникс, 2000. – 352 с. 2. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник для вузов по спец. «Радиотехника» / С.И. Баскаков. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1988. – 448 с.: ил. 3. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник для вузов / И.С. Гоноровский. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1986. – 512 с. 4. Матханов, П.Н. Основы синтеза линейных электрических цепей / П.Н. Матханов. – М.: Высш. шк., 1978. 5. Лосев, А.К. Теория линейных электрических цепей / А.К. Лосев. – М.: Высш. шк., 1987. 6. Трохименко, Я.К. Радиотехнические расчеты на микрокалькуляторах: справочное пособие / Я.К. Трохименко, Ф.Д. Любич. – М.: Радио и связь, 1983. – 256 с. 7. Ред, Э. Справочное пособие по высокочастотной схемотехнике: Схемы, блоки, 50-омная техника / Э. Ред; пер. с нем. – М.: Мир, 1990. – 256 с. 8. Ефимов, А.В. Авиационная радиоэлектроника: учеб. пособие для вузов / А.В. Ефимов. – Ульяновск: УВАУ ГА, 2004. – 219 с. Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 38 Автор: С.Н. Тарасов Электротехника и электроника. Расчет и синтез линейных частотных фильтров Приложение УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ) Летно-технический факультет Кафедра АиАиРЭО Расчетно-графическая работа РАСЧЕТ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ Вариант № 07 ПОЛОСОВОЙ ФИЛЬТР Выполнил: курсант Иванов П.С. группа П-04/1 Ульяновск 2008 Электронная версия: Ильиных ГА © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009г. 39