Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)» Политехнический институт Кафедра «Электрические станции, сети и системы электроснабжения» Лабораторная работа № 2 “ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА” по дисциплине «Моделирование в системах эоектроснабжения» Выполнили: студенты группы П-285 ________/ А.В.Симиргеев ________/ И.А.Старков ________________2023 г. Проверил: к.т.н. ________/Г.С. Валеев ________________2023 г. 1 Цель работы – привитие навыков отыскания значений функции, заданной в табличной форме, при величине аргументов, находящихся между их указанными в таблице значениями, с использованием интерполяционной формулы Лагранжа, а также выявление влияния числа узловых точек интерполирования, используемых при формировании указанной формулы, на степень приближения ею к реальному значению заданной функции. Общие положения При решении ряда технических задач в области проектирования систем электроснабжения, а также и других объектов, часто приходится пользоваться информацией, приведенной в нормативных документах или в справочной литературе в виде зависимостей искомых параметров, обозначаемых далее “y”, функционально связанных с другим параметром, например “х”, представленных в табличной форме. Другими словами, приходится пользоваться таблично заданными функциями вида y f x . Если численное значения аргумента x xk соответствует условию xi < xk < xi 1 , где xi и xi 1 – значения аргументов, следующих друг за другом, для которых в таблицах приведены значения функции соответственно yi и yi 1 , которые значительно различаются по величине, то возникает задача нахождения значения функции y при аргументе x xk , то есть yk f xk . Если лицу, производящему расчёты, известно о том, что значения функции, заданные в табличной форме, обладают высокой степенью точности, то для нахождения значения y k рекомендуется использовать процесс интерполяции [1]. В противном случае следует заняться аппроксимацией таблично заданной функции, методика проведения которой приведена в описании лабораторной работы №1. Из названия самой работы следует, что в ней рассматривается процесс нахождения значения функции путём проведения интерполяции. С этой целью в зависимости от конкретных условий могут быть использованы различные интерполяционные формулы, которые подробно описаны в [1]. Согласно этому источнику, наиболее универсальной из них является интерполяционная формула, предложенная французским математиком и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 – 1813). Эта формула представляет собой полином степени n, обозначаемый далее Ln x . Если на отрезке [a, b] задана зависимость y f x в табличной форме и для интерполирования на указанном отрезке выбраны n 1 узловых точек со значениями аргументов x0 , x1 , ..., xn , при которых указанная функция принимает соответственно значения f x0 y0 , f x1 y1, ..., f xn yn интерполяционная формула Лагранжа согласно [1] может быть записана в виде 2 n Ln x yi pi x , (2.1) i 0 где pi x – полиномы, обладающие следующими свойствами: в узле интерполирования с номером i-е они принимают значение, равное единице, то есть pi xi 1 , а во всех других узловых точках – значение, равное нулю pi x j 0 . Учитывая сказанное, можно утверждать о том, что для этих полиномов все аргументы, за исключением аргумента x xi , являются их корнями. Поэтому согласно [1 и 2] их можно представить в виде pi x a0 x x0 x x1 ... x xi 1 x xi 1 ... x xn , (2.2) где a0 – постоянный коэффициент, значение которого найдём, используя вышеуказанное условие pi xi 1 pi xi a0 xi x0 xi x1 ... xi xi 1 xi xi 1 ... xi xn 1, откуда получаем 1 a0 , xi x0 xi x1 ... xi xi 1 xi xi 1 ... xi xn подставив это значение в (2.2), будем иметь x x0 x x1 ... x xi 1 x xi 1 ... x xn . pi x (2.3) xi x0 xi x1 ... xi xi 1 xi xi 1 ... xi xn Из структуры выражения (2.3) видно, что во всех принятых для интерполирования узловых точках с аргументами x0 , x1, ..., xn , за исключением узла с номером i-е, оно принимает значение, равное нулю, а при x xi принимает значение, равное единице. Поэтому функция, описываемая выражением (2.1), проходит через все заданные значения исходной функции y0 , y1, ..., yn в узлах интерполирования. Подставив правую часть (2.3) в (2.1) получим n x x0 x x1 ... x xi 1 x xi 1 ... x xn Ln x yi . (2.4) x x x x ... x x x x ... x x i 0 i 1 i i 1 i i 1 i n i 0 Анализируя структуру выражения (2.4) нетрудно прийти к выводу о том, что с увеличением числа узловых точек интерполирования на заданном интервале изменения аргумент х таблично заданной функции y f x точность определения значений функции при аргументах х, находящихся между соседними узлами интерполирования, будет повышаться. Однако при этом будет возрастать и степень полинома Лагранжа. 3 Достижение поставленных в лабораторной работе целей осуществляется на примере формирования полинома Лагранжа, описывающего заданную в табличной форме зависимость коэффициента расчётной нагрузки по активной мощности K р. а от величины группового коэффициента использования установленной мощности электроприёмников K и. а при заданном преподавателем значении эффективного числа электроприёмников nэ . В лабораторной работе требуется найти с использованием сформированных интерполяционных формул Лагранжа Ln Kи. а численные значения коэффициентов расчётной нагрузки K р. а. расч при указанных в таблицах 2.1–2.3 значениях K и. а. i и оценить погрешности приближения K р. а. расч к табличным значениям при значениях K и. а. i , которые не входят в число узлов интерполирования. 4 Таблица 2.1 Исходные данные Значения коэффициентов расчетной нагрузки K р. а для питающих сетей напряжением до 1000 В Номер варианта 2 nэ 3 Коэффициент использования K и. а 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 6,22 4,33 3,39 2,45 1,98 1,6 1,33 1,14 1,00 1,00 5 Таблица 2.1 Исходные данные и результаты расчётов коэффициентов K р. а с использованием формулы Лагранжа при числе узловых точек интерполирования, равном 3-м Исходные данные (табличные) при nэ = 3 K и. а 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Kр. а. табл 6,22 4,33 3,39 2,45 1,98 1,6 1,33 1,14 Номер узла интерполир ования 1 0,8 0,9 1,00 1,00 2 3 Полиномы pi Kи. а и их численные значения при заданных величинах K и. а p1 Kи. а 1,00 0,78 0,58 0,25 0,00 -0,17 -0,25 -0,25 -0,17 0,00 p2 Kи. а 0,00 0,25 0,80 1,00 1,07 1,00 0,80 0,47 0,00 p3 Kи. а 0,00 -0,03 -0,05 -0,05 0,00 0,10 0,25 0,45 0,70 1,00 Расчётные значения коэффициента K р. а Kр. а. расч 6,22 5,32 3,09 1,98 1,18 0,68 0,48 0,59 1,00 Kр. а , % 0,00 22,94 32,81 26,08 0,00 0,47 4,50 6 Отклонение Kр. а. расч от табличного значения -26,54 -49,25 -57,98 -41,27 0,00 Таблица 2.2 Исходные данные и результаты расчётов коэффициентов K р. а с использованием формулы Лагранжа при числе узловых точек интерполирования, равном 4-м Исходные данные (табличные) при nэ = 2 Полиномы pi Kи. а и их численные значения при заданных величинах K и. а K и. а 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 Kр. а. табл 6,22 4,33 3,39 2,45 1,98 1,6 1,33 1,14 Номер узла интерполирования 1 p1 Kи. а p2 Kи. а p3 Kи. а p4 Kи. а Расчётные значения коэффициента K р. а Kр. а. расч Отклонение Kр. а. расч от табличного значения Kр. а , % 2 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1 3 4 1,00 0,41 0,00 -0,38 -0,31 0,00 0,38 0,63 0,56 0,00 0,00 0,63 1,00 1,14 0,71 0,00 -0,71 -1,14 -1,00 0,00 0,00 -0,04 0,00 0,25 0,63 1,00 1,25 1,25 0,88 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,02 -0,03 0,00 0,09 0,27 0,56 1,00 6,22 4,61 3,39 1,92 1,45 1,60 2,00 2,28 2,07 1,00 0,00 6,50 0,00 -21,47 -26,72 0,00 50,40 100,09 107,13 0,00 Таблица 2.3 Исходные данные и результаты расчётов коэффициентов K р. а с использованием формулы Лагранжа при числе узловых точек интерполирования, равном 5-и Исходные данные (табличные) при nэ = 2 Полиномы pi Kи. а и их численные значения при заданных величинах K и. а 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Kр. а. табл 6,22 4,33 3,39 2,45 1,98 1,6 1,33 1,14 1 1 Номер узла интерполирования 1 2 3 4 5 p1 Kи. а 1,00 0,35 0,00 -0,15 0,00 0,10 0,00 -0,25 -0,40 0,00 p2 Kи. а 0,00 0,75 1,00 0,64 0,00 -0,29 0,00 0,64 1,00 0,00 p3 Kи. а 0,00 -0,14 0,00 0,60 1,00 0,80 0,00 -1,00 -1,40 0,00 p4 Kи. а 0,00 0,04 0,00 -0,10 0,00 0,40 1,00 1,50 1,40 0,00 p5 Kи. а 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 -0,01 0,00 0,11 0,40 1,00 Kр. а. расч 6,22 4,51 3,39 2,31 1,98 1,76 1,33 0,75 0,39 1,00 Kр. а , % 0,00 4,17 0,00 -5,78 0,00 9,70 0,00 -34,52 -60,80 0,00 7 Расчётные значения коэффициента K р. а K и. а Отклонение Kр. а. расч от табличного значения Рисунок 1 – Построенные зависимости pi Kи. а в системе координат pi , Kи. а при числе узловых точек интерполирования, равном 3-м Рисунок 2 – Построенные зависимости pi Kи. а в системе координат pi , Kи. а при числе узловых точек интерполирования, равном 4-м 8 Рисунок 3 – Построенные зависимости pi Kи. а в системе координат pi , Kи. а при числе узловых точек интерполирования, равном 5-м Рисунок 4 – Построенные зависимости K р. а. табл f K и. а и K р. а. расч Ln K и. а в системе координат K р. а , Kи. а при числе узловых точек интерполирования, равном 3-м Рисунок 5 – Построенные зависимости K р. а. табл f K и. а и K р. а. расч Ln K и. а в системе координат K р. а , Kи. а при числе узловых точек интерполирования, равном 4-м 9 Рисунок 6 – Построенные зависимости K р. а. табл f K и. а и K р. а. расч Ln K и. а в системе координат K р. а , Kи. а при числе узловых точек интерполирования, равном 5-м Вывод: