Боровський Денис
КРИТЕРІЙ ОЧІКУВАНОГО ЗНАЧЕННЯ
Задача: Вас запросили на телевізійну гру «Колесо фортуни». Колесо
керується електронним чином за допомогою двох кнопок, які повідомляють
колесо сильне (С) або слабке (Н) обертання. Саме колесо розділене на рівні
області - білу (Б) та червону (К). Вам повідомили, що у білій області колесо
зупиняється з ймовірністю 0,3, а червоною — 0,7. Плата, яку ви отримуєте за
гру, що дорівнює (у дол.) наступному. Намалюйте відповідне дерево рішень.
Б
К
800
200
Н
-2500
1000
В
Розв’язання:
У теорії прийняття рішень гра на біржі називається станами природи, можливі
реалізації яких є випадковими подіями. У загальному випадку задача
прийняття рішень може включати 𝑛 станів природи і 𝑚 альтернатив.
Якщо 𝑝𝑗 – ймовірність j-го стану природи, a 𝑎𝑖𝑗 – платіж, пов'язаний з
прийняттям рішення 𝑖 при стані природи 𝑗 ( 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑚; 𝑗 = 1, 2, . . . 𝑛 ),
тоді очікуваний платіж для вирішення і обчислюється у вигляді
𝑀𝑉 = 𝑎𝑖1 𝑝1 + 𝑎𝑖2 𝑝2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑝𝑛 , 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛,
де за визначенням 𝑝1 + 𝑝2 + … + 𝑝𝑛 = 1.
Найкращим рішенням буде те, що відповідає
𝑀𝑉𝑖∗ = 𝑚𝑎𝑥𝑖 {𝑀𝑉𝑖 } або
𝑀𝑉𝑖∗ = 𝑚𝑖𝑛𝑖 {𝑀𝑉𝑖 },
залежно від того, чи є платіж доходом (прибутком) або збитком (витратами).
0,3
Сильне
обертання (В)
В
В
0,7
-2500
Колесо
зупинилось у
білій області
(Б)
1000
Колесо
зупинилось у
червоній області
(К)
800
Колесо
зупинилось у
білій області
(Б)
200
Колесо
зупинилось у
червоній області
(К)
ПОЧАТОК
0,3
Н
Слабке
обертання (Н)
0,7
Для сильного обертання (В): 0,3 ∙ (−2500) + 0,7 ∙ 1000 = −50 (дол.)
Для слабкого обертання (Н): 0,3 ∙ 800 + 0,7 ∙ 200 = 380 (дол.)
Оптимальним рішенням тоді є слабке обертання колеса.
Боровський Денис
АПОСТЕРІОРНІ ЙМОВІРНОСТІ БАЙЕСУ
Задача: Припустимо, ви є автором роману, який обіцяє бути популярним. Ви
можете або самостійно надрукувати роман, або здати його у видавництво.
Видавництво пропонує вам 20000 дол. за підписання контракту. Якщо роман
матиме попит, буде продано 200000 екземплярів, інакше лише 10 000
екземплярів. Видавництво виплачує авторський гонорар у сумі один долар за
екземпляр. Дослідження ринку, проведене видавництвом, свідчить про те, що
існує 70% ймовірність, що роман буде популярним. Якщо ж ви самі
надрукуєте роман, то зазнаєте втрат у сумі 90000 дол., пов'язані з друкуванням
та маркетингом, але в цьому випадку кожен проданий екземпляр принесе вам
прибуток у два долари.
a). Враховуючи наявну інформацію, ви приймете пропозицію видавництва
або друкуватимете роман самостійно? Побудуйте дерево рішень.
b). Припустимо, що ви уклали договір з літературним агентом на дослідження,
пов'язане з потенційним успіхом роману. Виходячи з попереднього досвіду,
компанія сповіщає вас, що якщо роман буде мати попит, то дослідження
передбачить невірний результат у 20% випадків. Якщо роман не стане
популярним, то вивчення передбачить правильний результат у 85% випадків.
Як ця інформація вплине на ваше рішення? Побудуйте дерево рішень.
Розв’язання:
а). Якщо 𝑝𝑗 – ймовірність j-го стану природи, a 𝑎𝑖𝑗 – платіж, пов'язаний з
прийняттям рішення 𝑖 при стані природи 𝑗 ( 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑚; 𝑗 = 1, 2, . . . 𝑛 ),
тоді очікуваний платіж для вирішення і обчислюється у вигляді
𝑀𝑉 = 𝑎𝑖1 𝑝1 + 𝑎𝑖2 𝑝2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑝𝑛 , 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛,
де за визначенням 𝑝1 + 𝑝2 + … + 𝑝𝑛 = 1.
Найкращим рішенням буде те, що відповідає
𝑀𝑉𝑖∗ = 𝑚𝑎𝑥𝑖 {𝑀𝑉𝑖 } або
𝑀𝑉𝑖∗ = 𝑚𝑖𝑛𝑖 {𝑀𝑉𝑖 },
залежно від того, чи є платіж доходом (прибутком) або збитком (витратами).
Самостійно
надрукувати
0,7
310000
Роман популярний
0,3
-70000
Роман не є
популярний
0,7
220000
Роман популярний
0,3
30000
САМОСТІЙНО
ПОЧАТОК
Видавництво
надрукує
ВИДАВНИЦТВО
Роман не є
популярний
Так як з умови задачі відомо, що кожний проданий екземпляр принесе
прибуток у два долари (якщо друкуватися самостійно), то при найкращому
Боровський Денис
результаті вийде продати 200000 екземплярів. Тоді отримаємо: 200000 ∙ 2 =
400000 доларів. Але в цьому випадку витрати будуть складати 90000
доларів. Якщо ж роман не буде популярний, то автор отримає 10000 ∙ 2 =
20000 доларів. Якщо ж видавництво буде друкувати роман, то тоді автор
отримає 20000 доларів за контракт, та 1 долар за екземпляр. Тоді отримаємо
наступне.
Якщо автор самостійно друкує роман та роман має популярність (але є
витрати): 200000 ∙ 2 − 90000 = 310000 доларів.
Якщо автор самостійно друкує роман та роман не має популярність (та є
витрати): 10000 ∙ 2 − 90000 = −70000 доларів.
Якщо автор віддає у видавництво роман і роман має популярність (та є
гонорар): 20000 + 200000 = 220000 доларів.
Якщо автор віддає у видавництво роман і роман не має популярність (але є
гонорар): 20000 + 10000 = 30000 доларів.
Побудуємо відповідне дерево рішень (малюнок вище).
Якщо автор друкує роман самостійно: 0,7 ∙ 310000 + 0,3 ∙ (−70000) =
196000 (дол.)
Якщо автор віддає роман до видавництва: 0,7 ∙ 220000 + 0,3 ∙ 30000 =
163000 (дол.)
Відповідь: Оптимальним рішенням є самостійне друкування роману.
b). Думка літературного агенту фактично представляє умовні ймовірності при
заданих станах природи як підвищення і зниження популярності (роман є
популярним та роман не є популярним). Введемо наступні позначення:
𝜈1 – думка агенту «85%»,
𝜈2 – думка агенту «20%»,
𝑚1 - роман є популярним,
𝑚2 - роман не є популярним.
Думку агенту можна записати у вигляді ймовірнісних співвідношень
наступним чином.
𝑃(𝜈1 |𝑚1 ) = 0,85; 𝑃(𝜈1 |𝑚2 ) = 0,15;
𝑃(𝜈2 |𝑚1 ) = 0,2, 𝑃(𝜈2 |𝑚2 ) = 0,8.
Побудуємо дерево рішень із урахуванням думки агентства.
Боровський Денис
Самостійно
надрукувати
ВИДАВНИ
Випадкова подія
(думка агента) з
відповідними
ймовірностями
«85%» та «20%»
Самостійно
надрукувати
Роман не є
популярний
220000
Роман
популярний
-70000
ЦТВО
30000
310000
Роман не є
популярний
Роман
популярний
-70000
Роман не є
популярний
220000
Роман
популярний
САМОСТІ
ЙНО
20%
Думка агенту «20%»
ВИДАВНИ
Видавництво
надрукує
-70000
ЙНО
85%
ПОЧАТОК
Роман
популярний
САМОСТІ
Думка агенту «85%»
Видавництво
надрукує
310000
-70000
ЦТВО
30000
Роман не є
популярний
Для оцінки різних альтернатив, що зображені на дереві рішень, необхідно
розрахувати апостеріорні ймовірності 𝑃(𝑚𝑖 |𝜈𝑗 ), що зазначені на відповідних
гілках, що виходять із вузлів "Самостійно - Видавництво". Ці апостеріорні
ймовірності обчислюються з урахуванням додаткової інформації, що
міститься в рекомендації агентства, за допомогою слідчих дій.
Крок 1: Умовні ймовірності 𝑃(𝜈𝑗 |𝑚𝑖 ) для даної задачі запишемо наступним
чином.
𝝂𝟏
𝝂𝟐
0,85
𝑚1
0,15
𝑷(𝝂𝒋 |𝒎𝒊 ) =
𝑚2
0,2
0,8
Крок 2: Обчислюємо ймовірність спільної появи подій.
𝑃(𝑚𝑖 , 𝜈𝑗 ) = 𝑃(𝜈𝑗 |𝑚𝑖 )𝑃(𝑚𝑖 ) для усіх 𝑖, 𝑗.
При заданих апріорних ймовірностях 𝑃{𝑚1 } = 0,7; 𝑃{𝑚2 } = 0,3 ймовірності
спільної появи подій визначаються множенням першого та другого рядків
таблиці (яку отримали на кроці 1) на 0,7 та 0,3 відповідно. Маємо наступне.
𝝂𝟏
𝝂𝟐
0,595
𝑚1
0,105
𝑷(𝒎𝒊 , 𝝂𝒋 ) =
𝑚2
0,06
0,24
Зазначимо, що сума елементів таблиці дорівнює 1.
Крок 3: Обчислюємо абсолютні ймовірності.
Боровський Денис
𝑃(𝜈𝑗 ) = ∑усі 𝑖 𝑃(𝑚𝑖 , 𝜈𝑗 ), для усіх 𝑗.
Ці ймовірності виходять шляхом підсумовування елементів відповідних
стовпців таблиці, що отримали на кроці 2.
P(ν1 )
𝑃(𝜈2 )
0,655
0,345
Крок 4: Визначаємо шукані апостеріорні ймовірності за формулою
𝑃(𝑚𝑖 , 𝜈𝑗 )
𝑃(𝑚𝑖 |𝜈𝑗 ) =
.
𝑃(𝜈𝑗 )
Ці ймовірності обчислюються в результаті ділення ного стовпця таблиці,
отриманої на кроці 2 на елемент відповідного стовпця таблиці, обчисленої на
кроці 3, що призводить до наступних результатів (округленим до трьох
десяткових знаків).
𝝂𝟏
𝝂𝟐
0,908
𝑚1
0,304
𝑷(𝝂𝒋 |𝒎𝒊 ) =
𝑚2
0,092
0,696
Тепер можна оцінити альтернативні рішення, засновані на очікуваних
платежах для вузлів «Самостійно – Видавництво».
Думка, що 85%.
Якщо автор друкує роман самостійно: 310000 ∙ 0,908 + (−70000) ∙ 0,092 =
275040 (дол.)
Якщо автор віддає роман до видавництва: 220000 ∙ 0,908 + 30000 ∙ 0,092 =
202520 (дол.)
Відповідь: Оптимальним рішенням є самостійне друкування роману.
Думка, що 20%.
Якщо автор друкує роман самостійно: 310000 ∙ 0,304 + (−70000) ∙ 0,696 =
45520 (дол.)
Якщо автор віддає роман до видавництва: 220000 ∙ 0,304 + 30000 ∙ 0,696 =
87760 (дол.)
Відповідь: Оптимальним рішенням є віддати у видавництво.