(DOCX, 468KB)

Задание 1. № 27595 тип B5
Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна
18. Найдите площадь большего многоугольника.
Решение.
Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их периметров. Пусть периметр
и площадь меньшего многоугольника соответственно равны P1 и S1, периметр и площадь большего многоугольника соответственно равны P2 иS2. Соотношение справедливо для подобных фигур.
Поэтому
,
откуда
Поэтому S2 = 50.
,
О т в е т : 50.
↑ Задание2. № 27609 тип B5
Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в
эту окружность?
Решение.
Пусть радиус окружности равен R. Тогда сторона описанного вокруг нее квадрата равна 2R, а его площадь, равная квадрату стороны, равна 4R2. Диагональ вписанного квадрата также равна 2R, поэтому его площадь, равная половине произведения диагоналей, равна 2R2. Следовательно, отношение площади описанного
квадрата к площади вписанного равно 2.
От в е т : 2.
↑ Задание 3. № 244992 тип B5
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
1 см
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата четырех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому
.
Примечание.
Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Поэтому искомая площадь равна 3.
Ответ: 3
↑ Задание 4. № 27741 тип B5
Найдите угол между векторами
и
. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор
наты
, вектор
имеет координаты
имеет коорди-
. Скалярное произведение векторов равно
С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла
между ними. Длина вектора
ем:
, длина вектора
:
, откуда
. Тогда получа-
:
О т в е т : 45.
↑ Задание 5. № 27560 тип B5
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см
щадь в квадратных сантиметрах.
1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее пло-
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому
см2.
От в е т : 10.
Задание 6. № 315122 тип B5
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего.
Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов:
204 − 51 = 153.
О т в е т : 153.
↑ Задание7. № 27935 тип B5
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два
отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Решение.
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники
и
равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит,
О т в е т : 22.
↑ Задание 8. № 27671 тип B5
Найдите ординату точки пересечения оси Oy и прямой, проходящей через точку B(6; 4) и параллельной
прямой, проходящей через начало координат и точку A(6; 8).
Уравнение прямой имеет вид:
цисс и ординат точек
и
Решение.
, где — угловой коэффициент. Тогда , подставляя значения абс, решая уравнения одновременно, получаем:
.
Так как прямые параллельны, то
. Теперь подставляя значения
и точку с координатами
, зная еще, что координата
второй точки, принадлежащей прямой,
, находим
.
О т в е т : −4.
↑
↑ Задание 9 № 27670 тип B5
Прямая a проходит через точки с координатами (0; 4) и (−6; 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; −6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.
Решение.
Прямые параллельны, поэтому их угловые коэффициенты равны. Тогда
↑ Задание 10. № 27831 тип B5
, откуда
.
О т в е т : 9.
Середины сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, последовательно соединены отрезками.
Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
Решение.
Четырехугольник
ромб, значит, его периметр равен
. Стороны искомого четырехугольника
равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника.
Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно, имеем:
От в е т : 10.
.
↑ Задание 11. № 27853 тип B5
Найдите высоту трапеции
, опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны
.
Решение.
По теореме Пифагора
.
О т в е т : 2.
Задание 12.Найдите площадь трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны
.
Решение. Площадь трапеции ABCD можно найти из S треугольника АЕD вычесть S треугольника BEC.
SABCD = SAED –SBED = 16-4=12.
Ответ: 12
Решение. По теореме Пифагора ВС =v(2v2)2 + (2v2)2=v16 =4 , AD=v(4v2)2 + (4v2)2 =v64=8. BH=2.
S=1/2(BC+AD)BH=1/2(12)2=12
Ответ: 12
↑ Задание 13. № 27546 тип B5
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см
площадь в квадратных сантиметрах.
1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию или его продолжению. Поэтому
Дополнительно.а=v5; b=6; c=v20;
↑ Задание 14. № 27802 тип B5
см2.
О т в е т : 6.
P=6+ v5 +v20= 6+v5(1+2)= 6+3v5.
Ответ:6+3v5
Найдите биссектрису треугольника
равны 1.
, проведенную из вершины , если стороны квадратных клеток
Решение. По рисунку видно, что
, значит, биссектриса, проведенная из вершины , также будет делить основание
пополам. Построим отрезок
. Видно, что он равен 4.
О т в е т : 4.
Задание 15. № 27732 тип B5
Найдите сумму координат вектора
.
Решение.
Имеем:
равна
,
,
поэтому
. Сумма
О т в е т : -4.
.
координат
найденного
вектора
↑Задание 16. № 27939 тип B5 .
В четырехугольник
вписана окружность,
. Найдите периметр четырехугольника/.
,
Решение.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
противолежащих сторон равны). Тогда
(Суммы
О т в е т : 52.
↑
↑ Задание 17. № 27572 тип B5
Найдите
площадь
трапеции,
изображенной
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому
см2.
↑
О т в е т : 9.
на
рисунке.
Задание 18. № 27731 тип B5
Найдите квадрат длины вектора
Координаты
+
.
Решение.
векторов
суммы
равны
для
суммам
нат:
Тогда
имеем:
. Квадрат длины вектора равен 200.
соответствующих
длины
вектора
коордисуммы
О т в е т : 200.
Задание 19. № 27835 тип B5
Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4,
отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.
Решение.
– параллелограмм. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
О т в е т : 23.
.
↑ Задание 20. № 27946 тип B5
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
ных клеток равны 1.
, если стороны квадрат-
Решение.
треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы.
О т в е т : 2,5.
↑ Задание 21. № 27763 тип B5
Два угла треугольника равны
ходящие
из
вершин
Решение.
и
. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выэтих
углов.
Ответ
дайте
в
градусах.
Cумма углов в выпуклом четырёхугольнике равна 360 градусам, следовательно,
.
↑
(углы ЕОD и АОВ - вертикальные, а значит равны)
О т в е т : 130.