ОПД.Ф.10 Теория игр и исследование операций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ОПД.Ф.10
ТЕОРИЯ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
010501 «Прикладная математика и информатика»
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
10
11
Раздел I
Программа учебной дисциплины
1.1. Автор программы
старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и прикладной математики
Кумаров В. Г.
1.2. Рецензенты
доцент кафедры алгебры, геометрии и прикладной математики МГПУ
Ланина Н.Р.,
доцент кафедры математического моделирования и математических методов в
экономике МГПУ Мартынов О. М.
1.3. Пояснительная записка
Приведенная программа составлена на основе государственного образовательного стандарта, утвержденного 23.03.2000.
Целями изучения дисциплины являются: обеспечение требований стандарта; формирование профессиональных навыков по изучению, анализу и оптимизации процессов и систем, сводящихся к задачам теории игр.
Основными задачами изучения данной дисциплины являются: формирование целостной системы знаний о задачах, моделях и методах теории игр и
исследования операций; развитие способности творчески подходить к решению
прикладных задач.
В результате изучения курса студенты
должны знать: основные понятия, задачи, методы и приложения теории
игр и исследования операций;
должны уметь: строить математические модели задач теории игр и исследования операций, приводить их к нужному виду, выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения; использовать пакеты прикладных
программ для решения рассматриваемых задач с помощью компьютера.
1.4. Выписка из ГОС ВПО по содержанию дисциплины
Принятие решений, элементы теории игр, линейные модели; сетевые модели; вероятностные модели, имитационное моделирование.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы:
Курс
Семестр
4
7
Виды учебной работы в часах
ТрудоВсего
ПР/
Сам.
ЛК
ЛБ
емкость аудит.
СМ
Работа
51
50
26
24
–
1
Вид итогового
контроля (форма
отчетности)
экзамен
12
1.6. Содержание дисциплины
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени
№
п/п
Количество часов
Наименование раздела, темы
1
Матричные игры
2
Бесконечные антагонистические игры
3
Биматричные игры
4
Игры с природой
4
Сетевое планирование
Контрольные суммы
Всего
аудит.
25
11
4
6
4
50
ЛК
ПР
15
5
2
2
2
26
10
6
2
4
2
24
Сам.
раб.
1
–
–
–
1
При планировании учитывалось, что студенты уже знакомы с основами
линейного программирования (они изучают его в третьем семестре на курсах
по выбору): графическим и симплекс-методом решения задач линейного программирования, методом потенциалов, теорией двойственности возможностью
ее применения для анализа оптимальных решений задач линейного программирования.
Вероятностные модели и имитационное моделирование отдельно не рассматриваются. Примеры вероятностных приводятся практически во всех разделах. Имитационное моделирование представляет метод фиктивного разыгрывания решения матричных игр.
1.6.2. Содержание разделов дисциплины
Матричные игры: основные теоремы теории матричных игр; методы
решения матричных игр (симплекс-метод, графический метод, формулы для
нахождения решения матричных игр в случае, когда все стратегии являются
активными, матричный метод, итеративные методы).
Бесконечные антагонистические игры: необходимое и достаточное
условие ситуации равновесия в чистых стратегиях; решение выпуклых и вогнутых игр на единичном квадрате.
Биматричные игры: основная теорема о существовании ситуация равновесия в биматричной игре в смешанных стратегиях; необходимое и достаточное условие существования ситуации равновесия в чистых стратегиях; решение биматричных игр в случае, когда все стратегии являются активными.
Игры с природой: критерии Байеса, Лапласа, Вальда и Сэвиджа в чистых и смешанных стратегиях, Гурвица, BL(MM)-критерий.
Сетевое планирование. Постановка задачи сетевого планирования. Основные понятия. Характеристики сетевой модели и методы их расчета. Оптимизация сетевых моделей.
13
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения
№ Наименование раздела
п/п
дисциплины, темы
Форма самостоятельной работы
Матричные игры
Решение задач
1
Форма контроля выполнения самостоятельной работы
Непосредственная
проверка
Количество
часов
1
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Практические занятия по теме «Матричные игры» (10 ч)
Решение задач на сведение практических (текстовых) задач к решению
матричных игр: распределение ролей первого и второго игрока, определение
спектра возможных стратегий, составление соответствующей матрицы выигрышей.
Определение существования равновесия в матричной игре в чистых стратегиях. Уменьшение размерности матричной игры путем удаления доминируемых строк и столбцов.
Графический метод решения 2  n и m  2 матричных игр.
Решение матричных игр в случае, когда все стратегии активные. В частности решение матричных 2  2 игр, не имеющих седловой точки.
Матричный метод решения матричных игр.
Решение матричных игр симплекс-методом.
Решение матричных игр методом фиктивного разыгрывания.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы из
примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Домашнее задание: решение соответствующих задач, приведенных в
пункте 1.10.
Литература
1. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
2. Дрешер М. Стратегические игры: теория и приложения. Пер. с англ. –
М.: Советское радио, 1964.
3. Оуэн Г. Теория игр. Пер. с англ. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Петросян Л. А. и др. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. – М.:
Высш. шк., 1998.
Практические занятия по теме «Бесконечные антагонистические игры»
(6 ч)
Решение задач следующих типов:
свести решение задачи практического содержания (текстовой) к решению
бесконечной антагонистической игры;
определить, имеет ли данная бесконечная антагонистическая игра ситуацию равновесия в чистых стратегиях;
14
определить, образуют ли функции распределения G( x) и H ( y) ситуацию
равновесия в смешанных стратегиях в данной бесконечной антагонистической
игре;
найти оптимальные смешанные стратегии игроков выпуклой или вогнутой антагонистической игры.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы из
примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Домашнее задание: решение соответствующих задач, приведенных в
пункте 1.10.
Литература
1. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
2. Дрешер М. Стратегические игры: теория и приложения. Пер. с англ. –
М.: Советское радио, 1964.
3. Оуэн Г. Теория игр. Пер. с англ. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Петросян Л. А. и др. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. – М.:
Высш. шк., 1998.
Практические занятия по теме «Биматричные игры» (2 ч)
Решение задач следующих типов:
определить, имеет ли биматричная игра ситуацию равновесия в чистых
стратегиях;
найти решение биматричной игры в случае, когда все стратегии игроков
являются активными (в частности решение 2  2 биматричных игр, не имеющих ситуации равновесия в чистых стратегиях).
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы из
примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Домашнее задание: решение соответствующих задач, приведенных в
пункте 1.10.
Литература
1. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
2. Дрешер М. Стратегические игры: теория и приложения. Пер. с англ. –
М.: Советское радио, 1964.
3. Оуэн Г. Теория игр. Пер. с англ. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Петросян Л. А. и др. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. – М.:
Высш. шк., 1998.
Практические занятия по теме «Игры с природой» (4 ч)
Сведение решения задач практического характера (текстовых) к решению
игры с природой.
Решение игр с природой, пользуясь критериями: Байеса; Лапласа; Вальда
и Сэвиджа в чистых стратегиях и смешанных стратегиях; Гурвица; ХоджаЛемана; Гермейера; BL-MM.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы из
примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
15
Домашнее задание: решение соответствующих задач, приведенных в
пункте 1.10.
Литература
1. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
2. Дрешер М. Стратегические игры: теория и приложения. Пер. с англ. –
М.: Советское радио, 1964.
3. Оуэн Г. Теория игр. Пер. с англ. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Петросян Л. А. и др. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. – М.:
Высш. шк., 1998.
Практические занятия по теме «Сетевое планирование» (2 ч)
Построение сетевых моделей проектов. Расчет их характеристик.
Домашнее задание: построение сетевой модели конкретного комплекса
взаимосвязанных работ и рассчитать ее характеристики; самостоятельно изучить вопрос об оптимизации сетевых моделей.
Вопросы для коллективного обсуждения – соответствующие вопросы из
примерных зачетных тестовых заданий (см. пункт 1.10).
Литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
3. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций
в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
1.8.1. Рекомендуемая литература
Основная литература
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.
3. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
4. Дрешер М. Стратегические игры: теория и приложения. Пер. с англ. –
М.: Советское радио, 1964.
5. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006.
6. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций
в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
7. Оуэн Г. Теория игр. Пер. с англ. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
8. Петросян Л. А. и др. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. – М.:
Высш. шк., 1998.
16
Дополнительная литература
1. Абчук В. А. Экономико-математические методы. – СПб: Союз, 1999.
2. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – М.: МГТУ
им. Баумана, 2002.
3. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. – М.:
Наука, 1971.
4. Ермолаев Ю. М., Ляшко И. И., Михалевич В. С., Тюптя В. И. Математические методы исследования операций. – М.: Киев, «Вища Школа», 1979.
5. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в
задачах и упражнениях. – М.: 1986.
6. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.:
ЮНИТИ, 2001.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютеры университетских лабораторий.
1.9.1. Перечень используемых технических средств
1.9.2. Перечень используемых пособий
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1987.
2. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций. – М.: ИНФРА-М, 2006.
3. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988.
4. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – М.: МГТУ
им. Баумана, 2002.
5. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. – М.:
Наука, 1971.
6. Красс М. С., Чупрынов Б. М. Математические методы и модели для
магистрантов экономики. – СПб.: Питер, 2006.
7. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций
в экономике.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
8. Кузнецов А. В. и др. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшэйшая школа, 2001
9. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в
задачах и упражнениях. – М.: 1986.
10. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.:
ЮНИТИ, 2001.
1.9.3. Перечень видео- и аудиоматериалов, программного обеспечения:
Microsoft Visual C++ 6.0
17
1.10. Примерные зачетные тестовые задания
1. Ситуацией равновесия в чистых стратегиях в матричной m  n игре  A
называется пара (i , j ) такая, что (правильных вариантов может быть несколько)
А. max aij  ai j  min ai j
j
i
В. ai j  ai j  aij для всех i  1,
, m , j  1,
,n
С. min ai j  ai j  max aij для всех i  1, , m , j  1,
j
i
D. aij  ai j  ai j для всех i  1, , m , j  1, , n
,n
2. Матричная игра  A имеет ситуацию равновесия в чистых стратегиях тогда и
только тогда, когда
А. max min aij  min max aij
В. max max aij  min min aij
j
i
i
j
С. max min aij  min max aij
i
j
j
i
j
i
i
j
D. max min aij  min max aij
i
j
i
j
3. Имеет ли матричная игра  A ситуацию равновесия в чистых стратегиях, если
4
 2 3

A  5
6 7  ?
8
2
2 

A. да
В. нет
С. при определенных условиях
D. нельзя однозначно ответить на данный вопрос
4. Чему равно математическое ожидание выигрыша первого игрока в матричной игре  A в ситуации ( x, y ) при
0 1
1
A
, x  (1/ 4; 3/ 4) , y  (1/ 4; 2 / 4;1/ 4)
3 
 0 5
A. 21/ 4
В. 21/15
С. 4 / 21
D. 15/ 21
5. Пусть X и Y означают соответственно множества смешанных стратегий
первого и второго игроков в матричной игре  A . Ситуацией равновесия в матричной игре в смешанных стратегиях называется пара ( x, y )  X  Y , такая,
что (правильных вариантов может быть несколько)
А. x A y  x A y  x A y для всех ( x, y) X  Y
В. x A y  x A y  x A y для всех ( x, y) X  Y
18
С. max x A y  x A y  min x A y
xX
yY
D. Ai y  x A y  x A j для всех активных чистых стратегий i и j первого и
второго игроков соответственно
Е. max x A y  x A y  min x A y
xX
yY
6. Образует ли пара ( x, y ) смешанных стратегий ситуацию равновесия в смешанных стратегиях в матричной игре  A , если
0 1
1
A
, x  (1/ 4; 3/ 4) , y  (1/ 4; 2 / 4;1/ 4) ?
3 
 0 5
A. да
В. нет
С. при определенных условиях
D. нельзя однозначно ответить на данный вопрос
7. Пусть xA , yA , v A означают соответственно оптимальные смешанные стратегии первого и второго игроков и значение матричной игры  A .
Если матрицы B и C связаны соотношением B  2C  3I , где I – матрица все элементы которой равны единице, то
А. yB , xB являются оптимальными смешанными стратегиями соответственно
первого и второго игроков в игре  C , vC  12 vB  2
В. xB , yB являются оптимальными смешанными стратегиями соответственно
первого и второго игроков в игре  C , vC  12 vB  2
С. xB , yB являются оптимальными смешанными стратегиями соответственно
первого и второго игроков в игре  C , vC  12 (vB  2)
D. yB , xB являются оптимальными смешанными стратегиями соответственно
первого и второго игроков в игре  C , vC  12 (vB  2)
8. Чистая стратегия i игрока матричной игре называется активной, если
А. соответствующая компонента оптимальной смешанной стратегии этого
игрока равна нулю
В. соответствующая компонента оптимальной смешанной стратегии противника не равна нулю
С. соответствующая компонента оптимальной смешанной стратегии этого
игрока не равна нулю
D. соответствующая компонента оптимальной смешанной стратегии противника равна нулю
19
9. Пусть  – матричная игра с обратимой квадратной n  n матрицей выигрышей A , в которой все стратегии игроков являются активными,
u  (1, , 1)  R1n , adj A – матрица, присоединенная к A . Тогда оптимальные
смешанные стратегии x  и y соответственно первого и второго игроков и
значение v игры можно найти по формулам
adj A  ut
u  adj A
| A|

A. x 
, y 
, v
u  adj A  ut
u  adj A  ut
u  adj A  ut

В. x 
С. x 

D. x 
u  adj A
u  adj A  ut
A  ut
u  adj A  ut
u A
u  A  ut

, y 
, y 

, y 
adj A  ut
u  adj A  ut
u A
u  adj A  ut
A  ut
u  A  ut
, v
, v
, v
| A|
u  adj A  ut
| A|
u  adj A  ut
| A|
u  A  ut
10. Оптимальные смешанные стратегии первого и второго игроков и значение
 3 7
матричной игры с матрицей выигрышей A  
 равны соответственно
 5 0
А. x  (2 / 9; 7 / 9) , y  (4 / 9; 5/ 9) , v  35/ 9
В. x  (4 / 9; 5/ 9) , y  (2 / 9; 7 / 9) , v  35/ 9
С. x  (7 /15; 8/15) , y  (1/ 3; 2 / 3) , v  7 / 3
D. x  (1/ 3; 2 / 3) , y  (7 /15; 8/15) , v  7 / 3
11. Пусть w  (1, ,1) R1n , u  (1, ,1)t Rm1 . Для нахождения оптимальных смешанных стратегии игроков и значения матричной игры со строго положительной m  n матрицей выигрышей A методами линейного программирования необходимо решить следующие взаимно двойственные задачи
линейного программирования
А. x A  w , x  0 , x u  min
В. A x  w , x  0 , x u  min
A y  u , y  0 , w y  max
y A  u , y  0 , w y  max
С. x A  w , x  0 , x u  max
A y  u , y  0 , w y  min
D. A x  w , x  0 , x u  min
y A  u , y  0 , w y  max
12. Даны матрицы
4 2 1
 0, 2 0 0,1 
A
B

и

 0,1 0, 2 0, 4  .
 3 4 6


Векторы x  (1/10;1/ 5) , y  (1/ 5;1/10; 0) являются оптимальными решениями
взаимно двойственных задач линейного программирования
20
x A  w , x  0 , x u  min ,
A y  u , y  0 , w y  max ,
значение задач равно 3/10 .
Оптимальные смешанные стратегии первого и второго игроков и значение матричной игры  B равны соответственно
А. x  (3; 3/ 2) , y  (3/ 2; 3; 0) , v  15/ 2
В. x  (1/3; 2/3) , y  (2/3;1/3; 0) , v  2 /15
С. x  (2 / 3;1/ 3) , y  (1/ 3; 2 / 3; 0) , v  2 /15
D. x  (3/ 2; 3) , y  (3; 3/ 2; 0) , v  15/ 2
13. Чистая стратегия r первого игрока в матричной игре  A называется доминируемой, если
А. Ar  Ai для некоторого i
В. Ar  Ai для некоторого i
С. Ar  Ai для некоторого i
D. Ar  Ai для некоторого i
14. Чистая стратегия s второго игрока матричной игре  A называется доминируемой, если
А. As  A j для некоторого j
В. As  A j для некоторого j
С. As  A j для некоторого j
D. As  A j для некоторого j
15. Если из матрицы
4
4
 6 1 0
 3

2
1

3

2

A
 2
1 0 3 1


1 1
5
4
 6
исключить доминируемые строки и столбцы, то получится матрица
4
 2 3 
 2 2 
 1
А. 
В. 
С. 


5
1 
1
1
 1 3
D. матрица А доминируемых строк и столбцов не имеет
4
1
16. Пусть xA , yA , v A означают соответственно оптимальные смешанные стратегии первого и второго игроков и значение матричной игры  A . Рассмотрим
матрицы
 5 1 3 4 
 5 3 
B   0 2
2 5  , C  
2 
1
1 3

2 6

(С получена из В путем удаления доминируемых строк и столбцов). Известно,


что xC
 (1/ 9; 8/ 9) , yC
 (5/ 9; 4 / 9) , v A  13 / 9 . Чему равны xB , yB , v B ?
А. xB  (1/ 9; 8/ 9; 0) , yB  (0; 5/ 9; 4 / 9; 0) , vB  13 / 9
21
В. xB  (0;1/ 9; 8/ 9) ,
С. xB  (1/ 9; 0; 8/ 9) ,
yB  (0; 5/ 9; 4 / 9; 0) , vB  9 /13
yB  (5/ 9; 0; 4 / 9; 0) , vB  13 / 9
D. xB  (1/ 9; 8/ 9; 0) , yB  (5/ 9; 4 / 9; 0; 0) , vB  13 / 9
 6 2
17. Матричная игра  A , где A  
5
 1
го разыгрывания. Проведено 8 итераций:
Номер
Стратегия Стратегия
партии
игрока I
игрока II
K
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
3
1
1
Выигрыш игрока I при выборе
стратегии
1
2
6
–1
4
4
2
9
0
14
0
16
0
18
6
17
12
16
0
 , решается методом фиктивно2 
Проигрыш игрока II
при выборе стратегии
1
6
12
11
10
9
8
7
6
2
–2
–4
1
6
11
16
21
26
3
0
0
2
4
6
8
10
12
v1( k )
v2( k )
6
4
9
14
16
18
17
16
–2
–4
2
4
6
8
7
6
Как должны выглядеть строки этой таблицы, соответствующие 9-й и 10-й партиям?
А.
9
10
1
2
2
1
19
17
14
6
5
4
31
32
15
51
19
6
5
51
9
10
2
1
1
1
18
24
15
14
5
11
31
29
14
14
18
24
5
11
9
10
1
2
2
3
17
32
15
6
4
45
32
4
41
7
15
6
41
45
9
10
1
2
2
1
18
24
15
14
5
11
32
29
14
14
18
24
5
11
В.
С.
D.
18. Имеет ли биматричная игра ( A, B) ситуацию равновесия в чистых стратегиях, при
0
3
 1
 1 0 2
A   3
7 5  , B   7 0 5 
12 3
 1 6 4 
1



A. да
В. нет
С. при определенных условиях
D. нельзя однозначно ответить на данный вопрос
22
19. Образуют
ли
функции
распределения
H  ( y )  12 I 0 ( y )  12 I1 ( y ) ,
G ( x)  I1/ 2 ( x) ситуацию равновесия в бесконечной игре на единичном квадрате с функцией выигрышей f ( x; y )  x  4 x 2 у 2  у .
A. да
В. нет
С. при определенных условиях
D. нельзя однозначно ответить на данный вопрос
20. Какие стратегии первого игрока являются оптимальными с позиции крайнего оптимизма в игре с природой, которая задается матрицей
5 1
 2

A   1
2 5  ?
 2 3 0 


A. первая и вторая стратегии
В. все три стратегии
С. первая и третья стратегии
D. вторая и третья стратегии
21. Какие стратегии первого игрока являются оптимальными с позиции крайнего пессимизма (по критерию Вальда) в игре с природой, которая задается
матрицей
 2 5 1
A   1 2 5  ?
 2
1 4 

A. первая и вторая стратегии
В. все три стратегии
С. первая и третья стратегии
D. вторая и третья стратегии
22. Чему равен риск первого игрока в ситуации (2, 1) в игре с природой, которая задается матрицей
5 1
 4

A   1 2 6  ?
 7 3 0 


A. 8
В. 5
С. – 8
D. 3
23. Какие стратегии первого игрока являются оптимальными по Сэвиджу в игре с природой, которая задается матрицей
5 1
 4
A   1 2 6  ?
 7 3 0 


A. вторая стратегия
23
В. все три стратегии
С. первая стратегия
D. вторая и третья стратегии
24. Какие стратегии первого игрока являются оптимальными Байесу в игре с
природой с вероятностями состояний природы q1  0,3 , q2  0, 4 , q3  0,3 и
матрицей выигрышей
5 1
 4
A   1 2 6  ?
 7 3 0 


A. вторая стратегия
В. все три стратегии
С. первая стратегия
D. вторая и третья стратегии
25. Какие стратегии первого игрока являются оптимальными по Лапласу в игре с природой с матрицей выигрышей
 4 5 1
A   1
2 6  ?
 7 3 0 


A. вторая стратегия
В. все три стратегии
С. первая стратегия
D. вторая и третья стратегии
26. Какие стратегии первого игрока являются оптимальными по Гурвицу в игре с природой с коэффициентом пессимизма   0,6 и матрицей выигрышей
 4 5 1
A   1
2 6  ?
 7 3 0 


A. вторая стратегия
В. все три стратегии
С. первая стратегия
D. вторая и третья стратегии
27. На каком из графиков верно изображен сетевой график проекта, заданного
следующим комплексом взаимосвязанных работ
Работа
Непосредственно
Предшествующая ей работа
Продолжительность
работы (нед.)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
—
—
—
A
A,B
A,B
С,E
В,F,G
C,E
3
6
4
5
1
9
6
8
5
24
A
B
D
D
A
A
F
F
H
H
B
B
G
E
D
I
C
I
C
G
E
C
C
D
D
D
A
F
A
H
B
F
B
G
G
E
E
I
C
H
I
C
28. На каком из графиков события правильно пронумерованы?
A
B
D
4
A
5
F
B
1
3
A
B
1
6
2
I
D
D
3
F
1
6
3
C
B
G
C
I
2
A
H
E
E
6
5
F
H
G
C
D
4
2
A
H
5
F
G
B
1
5
2
E
G
H
6
E
I
C
D
3
I
C
4
4
29. За какой наименьший срок можно выполнить все работы проекта, заданного сетевым графиком (продолжительность выполнения работы приведена в
днях)
1
A
5
6
2
E
C
1
4
D
3
4
5
4
F
G
14
B
3
A. 20 дней
B. 26 дней
H
12
7
2
I
6
C. 21 день
D. 23 дня
25
30. Чему равны ранний и поздний сроки начала выполнения работы H проекта, заданного сетевым графиком (продолжительность выполнения работы
приведена в днях)?
1
A
5
6
2
E
C
1
4
D
3
4
5
4
F
G
14
B
3
H
12
7
2
I
6
A. Соответственно 9 и 12 дням после начала выполнения всего комплекса
работ.
B. Соответственно 6 и 11 дням после начала выполнения всего комплекса
работ.
C. Ранний и поздний сроки начала выполнения работы H совпадают и равны
6
дням после начала выполнения всего комплекса работ
D. Ранний и поздний сроки начала выполнения работы H совпадают и равны
9
дням после начала выполнения всего комплекса работ
1.11. Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Матричные игры. Минимаксная и максиминная стратегии. Нижняя и
верхняя цены игры. Лемма о том, что в любой матричной игре v1  v2 .
2. Ситуация равновесия в чистых стратегиях. Необходимое и достаточное
условие существования в матричной игре ситуации равновесия в чистых
стратегиях.
3. Лемма о справедливости следующих утверждений: 1) M   N   Z () ;
2) ai1 j1  ai2 j2 для всех (i1, j1), (i2 , j2 )  Z () .
4. Смешанные стратегии игроков. Ситуация в смешанных стратегиях. Математическое ожидание выигрыша в ситуации в смешанных стратегиях.
Ситуация равновесия в смешанных стратегиях. Лемма о справедливости
следующих утверждений: 1) X   Y   Z () ; 2) x1 A y1  x2 A y2 для всех
( x1, y1), ( x2 , y2 )  Z () .
5. Лемма о масштабе. Основная теорема теории матричных игр.
6. Доминирование и строгое доминирование стратегий. Расширения векторов. Лемма 1.
7. Леммы 2 и 3 о доминировании стратегий.
8. Теоремы о доминируемых стратегиях.
3
9. Теорема пункта 1.7 о необходимых и достаточных условиях того, что
данная ситуация в смешанных стратегиях является ситуацией равновесия.
10. Решение матричных игр методами линейного программирования.
11. Решение матричных игр в случае, когда все стратегии активные.
12. Матричный метод решения матричных игр.
13. Графоаналитический метод решения 2  n и m  2 матричных игр.
14. Метод фиктивного разыгрывания.
15. Бесконечные антагонистические игры. Необходимое и достаточное
условие существования ситуации равновесия в чистых стратегиях.
16. Смешанные стратегии игроков в бесконечной антагонистической игре.
Математическое ожидание выигрыша первого игрока и интеграл Стилтьеса.
17. Теоремы 1 и 2 пункта 2.3.
18. Решение выпуклых и вогнутых бесконечных антагонистических игр.
19. Основные понятия и основная теорема теории биматричных игр. Лемма,
предшествующая основной теореме теории биматричных игр.
20. Основная теорема теории биматричных игр.
21. Решение биматричной игры в случае, когда все стратегии являются активными.
22. Игры с природой и методы их решения.
23. Постановка задачи сетевого планирования. Построение сетевой модели.
Вычисление ранних сроков начала, поздних сроков свершения и резервов времени событий.
24. Ранний и поздний сроки начала и окончания работ, полный и свободный
резервы времени и их вычисление.
4
1.12. Комплект экзаменационных билетов
5
1.13. Примерная тематика рефератов
Прикладные задачи теории игр.
Прикладные задачи динамического программирования.
Прикладные задачи сетевого планирования.
1.14. Примерная тематика курсовых работ
Метод динамического программирования и его применения.
Методы решения биматричных игр.
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ
Нахождение всего множества оптимальных стратегий игроков в матричных играх.
Оптимизация сетевых графиков.
Применение теории игр в программировании (игровые модели поиска
информации, игровые модели распознавания образов).
Приветствуются работы по применению теории исследования операций к анализу деятельности и оптимизации работы конкретных предприятий,
учреждений и организаций.
1.16. Бально-рейтинговая система
Оценка «отлично» выставляется при условии
– усвоения студентом 95-100% дидактических единиц;
– 95-100% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «хорошо» или «отлично»
или
– усвоения студентом 90-94% дидактических единиц;
– 90-94% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «отлично».
Оценка «хорошо» выставляется при условии
– усвоения студентом 80-89% дидактических единиц;
– 80-89% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «хорошо» или «отлично»
или
– усвоения студентом 70-79% дидактических единиц;
– 70-79% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «отлично».
Оценка «удовлетворительно» выставляется при условии
– усвоения студентом 60-69% дидактических единиц;
– 60-69% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «удовлетворительно»
«хорошо»
или
– усвоения студентом 50-59% дидактических единиц;
– 50-59% правильно выполненных тестовых заданий;
– написания контрольных работ на «хорошо».
или
6
Раздел II
Содержательный компонент теоретического материала
Лекция №1
Глава I. Элементы теории игр
Введение
Основные понятия теории игр. Задачи теории игр.
§1. Матричные игры
1.1. Примеры матричных игр
1.2. Минимаксная и максиминная стратегии.
Понятие минимаксной и максиминной стратегий, нижнего v1 и верхнего v2 значений игры.
Лемма. В любой матричной игре v1  v2 .
1.3. Ситуация равновесия в чистых стратегиях.
Определение ситуации равновесия в чистых стратегиях.
Лекция №2
Теорема. Для того, чтобы в матричной игре существовала ситуация
равновесия необходимо и достаточно, чтобы в этой игре v1  v2 .
Множества M  , N  и Z () .
Лемма. Справедливы утверждения:
1) M   N   Z () ;
2) ai1 j1  ai2 j2 для всех (i1, j1), (i2 , j2 )  Z () .
1.4. Смешанные стратегии. Ситуация равновесия в смешанных
стратегиях.
Определение смешанных стратегий игроков.
Ситуация в смешанных стратегиях. Математическое ожидание выигрыша в ситуации в смешанных стратегиях.
Ситуация равновесия в смешанных стратегиях.
Множества X  , Y  и Z () .
Лемма 1. Справедливы утверждения:
1) X   Y   Z () ;
2) x1 A y1  x2 A y2 для всех ( x1, y1), ( x2 , y2 )  Z () .
Лекция №3
Лемма 2 (О масштабе). Пусть  – матричная игра с матрицей выигрышей A ,  – матричная игра с матрицей выигрышей A , A   A  B , где
B – матрица с одинаковыми элементами  ,   0 . Справедливы утверждения:
1) Z ()  Z () ;
7
2) если в играх  и  существует ситуация равновесия в смешанных
стратегиях, то v   v   .
1.5. Основная теорема.
Теорема. Любая матричная игра имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях.
Лекция №4
1.6. Теоремы о доминируемых стратегиях.
Доминирование и строгое доминирование стратегий.
Расширения векторов.

Лемма 1. Пусть x  ( p1, , pm
) , y  (q1, , qn ) – оптимальные
стратегии игроков 1 и 2 в игре  A  X , Y , f , v A – значение игры. Тогда для
любого i , при котором f (i, y )  v A , имеет место равенство pi  0 , а для лю-
бого j , такого, что vA  f ( x, j ) , – равенство qj  0 .
Лемма 2. Пусть  A – матричная ( m  n )-игра. Если i-я строка матрицы
A доминируема (то есть доминируема стратегия i игрока 1), то она не превосходит выпуклой комбинации остальных m  1 строк матрицы A .
Лемма 3. Пусть x и y – произвольные смешанные стратегии игроков
1 и 2 в матричной ( m  n )-игре  A . Если i-я строка матрицы A не превосходит (строго меньше) выпуклой линейной комбинации остальных строк этой
матрицы, то найдется такая стратегия x  игрока 1, что
1) f ( x, y )  f ( x, y )  f ( x, y)  f ( x, y)  ;
2) i-я координата вектора x  равна 0.
Лекция №5
Теорема 1. Пусть  A – матричная ( m  n )-игре  A ; i-я строка матрицы
A доминируема;  A – игра с матрицей A , получаемой из матрицы A вычеркиванием i-ой строки. Справедливы утверждения.
1) v A  v A .
2) Всякая оптимальная смешанная стратегия y игрока 2 в игре  A является оптимальной в игре  A .
3) Если x  – произвольная оптимальная смешанная стратегия игрока 1
в игре  A и xi – расширение стратегии x  на i-м месте, то xi – оптимальная смешанная стратегия этого игрока в игре  A .
4) Если i-я строка матрицы A строго доминируема, то произвольная
оптимальная смешанная стратегия игрока 1 в матричной игре  A может быть
получена из некоторой оптимальной смешанной стратегии x  в игре  A
расширением на i-м месте.
8
Теорема 2. Пусть  A – матричная ( m  n )-игре  A ; i-я строка матрицы
A доминируема;  A – игра с матрицей A , получаемой из матрицы A вычеркиванием i-ой строки. Справедливы утверждения.
1) v A  v A .
2) Всякая оптимальная смешанная стратегия y игрока 2 в игре  A является оптимальной в игре  A .
3) Если x  – произвольная оптимальная смешанная стратегия игрока 1
в игре  A и xi – расширение стратегии x  на i-м месте, то xi – оптимальная смешанная стратегия этого игрока в игре  A .
4) Если i-я строка матрицы A строго доминируема, то произвольная
оптимальная смешанная стратегия игрока 1 в матричной игре  A может быть
получена из некоторой оптимальной смешанной стратегии x  в игре  A
расширением на i-м месте.
Лекция №6
1.7. Методы решения матричных игр.
Определение активных стратегий игроков.
Теорема. Пусть A  R mn , w  (1, ,1) R1n , u  (1,
значение игры  A . Следующие утверждения равносильны.
,1)t Rm1 , v –
1) Пара ( x , y ) – ситуация равновесия в игре  A .
2) x / v , y / v – оптимальные решения взаимно двойственных задач
линейного программирования x A  w , x  0 , x u  min и A y  u , y  0 ,
w y  max .
3) Ai y  x A y  x A j для всех i  M , j  N .
4) max Ai y  x A y  min x A j .
iM
jN
j
5) Ai y  x A y  x A для всех активных i  M , j  N .
6) max Ai y  x A y  min x A j .
iM
jN
1.7.1. Методы линейного программирования.
Формулировка алгоритма решения матричных игр, сводящегося к решению взаимно двойственных задач линейного программирования. Пример
решения матричной игры в соответствии с данным алгоритмом.
Лекция №7
1.7.2. Решение матричных игр в случае, когда все стратегии активные.
Теорема. Если все стратегии первого и второго игроков являются
активными, а матрица A обратимой, то игра  A имеет единственную ситуа9
цию равновесия ( x , y ) в смешанных стратегиях; причем векторы x  , y и
значение игры v можно найти по формулам
x  v u A1 , y  v A1 ut , v  1/(u A1 ut ) .
Формулировка алгоритма решения матричных игр матричным методом, заключающийся в переборе квадратных подматриц матрицы выигрышей. Пример решения матричной игры в соответствии с данным алгоритмом.
1.7.3. Матричный метод.
Формулировка алгоритма решения матричных игр матричным методом, заключающийся в переборе квадратных подматриц матрицы выигрышей. Пример решения матричной игры по данному алгоритму.
Лекция №8
1.7.4. Графоаналитический метод решения 2  n и m  2 матричных
игр.
Формулировка соответствующего алгоритма, который вытекает из теоремы пункта 1.7. Пример решения матричной игры по данному алгоритму.
1.7.5. Метод фиктивного разыгрывания.
Основная идея метода. Числа v1( k ) и v2( k ) .
v1( k )
v2( k )
 lim
v.
k
k  k
Пример решения матричной игры по данному алгоритму.
Теорема. lim
k 
Лекция №9
§2. Бесконечные антагонистические игры
2.1. Ситуация равновесия в чистых стратегиях.
Необходимое и достаточное условие существования ситуации равновесия в чистых стратегиях.
2.2. Смешанные стратегии игроков. Математическое ожидание
выигрыша.
Определение смешанных стратегий как функций распределения вероятностей на множестве чистых стратегий.
Математическое ожидание выигрыша первого игрока и интеграл Стилтьеса.
2.3. Основные теоремы
Теорема 1. Всякая непрерывная бесконечная матричная игра имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях.
Теорема 2, аналогичная теореме из пункта 1.7.
Лекция №10
2.4. Решение выпуклых и вогнутых игр.
Определение выпуклых и вогнутых игр.
10
Теорема 1. Пусть  – бесконечная выпуклая антагонистическая игра
на единичном квадрате, f – непрерывная функция выигрышей игры  , а v –
значение этой игры. Справедливы утверждения.
1) Второй игрок имеет оптимальные чистые стратегии. Причем, если 
строго выпукла, то оптимальная чистая стратегия второго игрока единственна.
2) v  min max f ( x, y)  max f ( x, y ) , где y – оптимальная чистая
y
x
x
стратегия второго игрока.
Теорема 2. Пусть  – бесконечная выпуклая антагонистическая игра
на единичном квадрате с функцией выигрыше f , дифференцируемой по y
при любом x , y – оптимальная чистая стратегия второго игрока. Справедливы утверждения.
1) Если y  0 , то среди оптимальных стратегий первого игрока имеется чистая стратегия x  , для которой f y ( x, y )  0 .
2) Если y  1 , то среди оптимальных стратегий первого игрока имеется чистая стратегия x , для которой f y ( x, y )  0 .
3) Если 0  y  1, то у первого игрока имеется оптимальная смешанная
стратегия вида G ( x)   I x ( x)  (1   ) I x ( x) , где   [0;1] и является решением уравнения  f y ( x, y )  (1   ) f y ( x, y )  0 , x  и x удовлетворяют
условиям f y ( x, y )  0 , f y ( x, y )  0 .
Теорема 3 для вогнутых игр, аналогичная теореме 2.
Пример решения выпуклой игры на единичном квадрате.
Лекция №11
§3. Биматричные игры
3.1. Основные понятия и основная теорема теории биматричных
игр.
Понятие биматричной игры. Определение биматричной игры парой
матриц выигрышей первого и второго игроков.
Смешанные стратегии игроков в биматричной игре.
Ситуация равновесия в смешанных стратегиях.
Активные чистые стратегии в биматричной игре.
Лемма. Пусть ( A, B) – биматричная m  n игра. Следующие утверждения равносильны.
1) ( x, y )  X  Y – ситуация равновесия в игре ( A, B) .
2) Ai y  x A y , xB j  xB y для всех i  M , j  N .
3) Ai y  x A y , xB j  xB y для всех активных i  M , j  N .
11
Необходимое и достаточное условие существования ситуации равновесия в биматричной игре в чистых стратегиях.
Теорема. Каждая биматричная игра имеет ситуацию равновесия в
смешанных стратегиях.
Доказательство теоремы на основе теоремы Брауэра о неподвижной
точке.
3.2. Решение биматричной игры в случае, когда все стратегии являются активными.
Теорема 2. Пусть ( A, B) – биматричная квадратная m  m игра с обратимыми матрицами выигрышей, u  (1, ,1)  R1m . Справедливы утверждения.
1) Если в игре ( A, B) все стратегии игроков являются активными, то
она имеет единственную ситуацию равновесия ( x, y ) в смешанных стратегиях, причем
u  adj B
adj A  ut

1 t
x  v2  u  B 1 
,
,
(*)
y

v

A

u
=
1
t
t
u  adj B  u
u  adj A  u
1
| A|
1
|B|
v1 

v


,
.
2
1 t
t
1 t
t
u  A  u u  adj A  u
u B u
u  adj B  u
2) Если векторы x  и y , определяемые равенствами (*), неотрицательны, то пара ( x, y ) образует ситуацию равновесия в игре ( A, B) с вектором равновесных цен (v1, v2 ) . ■
Лекция №12
§4. Игры с природой
4.1. Постановка задачи.
Постановка задачи.
Доминируемые стратегии. Возможность удаления доминируемых стратегий первого игрока.
4.2. Методы решения игр с природой.
4.2.1. Критерии Байеса и Лапласа.
Критерии Байеса и Лапласа и условия их применения. Пример.
4.2.2. Критерий Вальда.
Критерий Вальда и условия его применения. Пример.
4.2.3. Критерий Сэвиджа.
Критерий Сэвиджа и условия его применения. Пример.
4.2.4. Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица и условия его применения. Пример.
4.2.5. Критерий Ходжа-Лемана.
Критерий Ходжа-Лемана и условия его применения. Пример.
4.2.6. Критерий Гермейера.
Критерий Гермейера и условия его применения. Пример.
12
4.2.7. BL(MM)-критерий.
Литература к лекционному материалу по теории игр
1. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
2. Дрешер М. Стратегические игры: теория и приложения. Пер. с англ.
– М.: Советское радио, 1964.
3. Оуэн Г. Теория игр. Пер. с англ. – М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Петросян Л. А. и др. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. – М.:
Высш. шк., 1998.
Лекция №13
Глава III. Сетевое планирование
5.1. Постановка задачи сетевого планирования. Сетевая модель.
Сетевая модель.
Работы и события.
Графическое представление сетевой модели.
Требования к построению сетевых моделей.
Ранний строк свершения события. Критический срок. Вычисление ранних сроков свершения событий методом динамического программирования.
Поздний срок свершения события. Вычисление поздних сроков свершения событий методом динамического программирования.
Резерв времени события и его вычисление.
5.2. Характеристики работ и их вычисление
Ранний и поздний сроки начала работы и их вычисление.
Полный и свободный резервы времени работы. Формулы вычисления
этих резервов времени.
Литература к лекционному материалу по сетевому планированию
1. Афанасьев М. Ю, Багриновский К. А., Матюшок В. М. Прикладные
задачи исследования операций: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006.
2. Кузнецов А. В., Холод Н. И. Математическое программирование. –
Минск: «Высшэйшая школа», 2001.
3. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997.
Раздел III
Словарь терминов (глоссарий)
ТЕОРИЯ ИГР
m-мерный вектор-столбец – матрица размера m  1 (элемент множества R m1 )
n-мерный вектор-строка – матрица размера 1 n (элемент множества R1n )
Антагонистическая игра – игра, в которой принимают участие две стороны и выигрыш одной стороны равен проигрышу другой.
13
Векторная форма записи системы линейных неравенств – это запись системы в
виде A1 x  b1 , …, Am x  bm .
Верхняя цена игры – минимакс.
Взаимная двойственность задач линейного программмирования. Пусть P задача линейного программирования, P – задача, двойственная к P . Задачи P и P называются взаимно двойственными, если P  P .
Вогнутая игра – бесконечная антагонистическая игра с вогнутой функцией выигрыша.
Выпуклая игра – бесконечная антагонистическая игра с выпуклой функцией выигрыша.
Выпуклая линейная оболочка векторов a1, , am есть множество точек
a  1a1   mam , где 1, , m  0 , 1   m  1 .
Допустимая задача линейного программирования – задача линейного программирования с совместной системой линейных ограничений.
Допустимое решение задачи линейного программирования – решение, удовлетворяющее системе ограничений задачи.
Задача линейного программирования – задача поиска вектора, доставляющего
экстремум линейной функции и удовлетворяющего системе линейных уравнений или неравенств.
Задача, двойственная к прямой задаче канонического вида ( Ax  b  0 , x  0 ,
u  c x  min ) – задача поиска решения системы At y  ct  0 , доставляющего минимум
линейной функции v  bt y .
Задача, двойственная к прямой задаче стандартного вида ( Ax  b  0 , x  0 ,
u  c x  min ) – задача поиска решения системы At y  ct  0 , y  0 , доставляющего минимум линейной функции v  bt y .
Игрок – одна их конфликтующих сторон игры.
Линейная комбинация векторов a1, ..., ak с коэффициентами 1, ..., k  , называется вектор 1a1  ...  k ak
Линейная оболочка векторов a1, ..., ak – множество их всевозможных линейных
комбинаций, т.е. множество {1a1  ...  k ak | 1, ..., k  }
Максимин в антагонистической игре или игре с природой – число, определяемое
равенством max min f (i, j ) , где f (i, j ) – функция выигрышей первого игрока.
iM jN
Максиминная стратегия игрока – выбираемая по принципу максимина.
Математическая модель задачи – задача, условие которой записано с помощью
математических символов и соотношений.
Матрица над полем действительных чисел – прямоугольная таблица действительных чисел.
Матричная игра – игра, в которой принимают участие две стороны, каждая сторона имеет конечное число стратегий и выигрыш одной стороны равен проигрышу другой. Другими словами, матричная игра – антагонистическая игра с конечными множествами стратегий игроков. Математически матричную игру с m стратегиями первого
игрока и n стратегиями второго игрока можно определить m  n матрицей A , каждый
элемент aij которой есть выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока) в ситуации
(i , j ) .
Матричная форма записи системы линейных неравенств – это запись системы
в виде Ax  b .
14
Минимакс в антагонистической игре или игре с природой – число, определяемое
равенством min max f (i, j ) , где f (i, j ) – функция выигрышей первого игрока.
jM iN
Минимаксная стратегия игрока – выбираемая по принципу минимакса.
Неотрицательный вектор – вектор с неотрицательными компонентами.
Нижняя цена игры – максимин.
Осевое преобразование симплекс-таблицы. Осевым преобразованием симплекстаблицы
x1
xs
xn
1
y1
a11
a1s
a1n
b1
  x1
yr
ar1
ars
arn
br
  xr
ym am1
ams
amn

bm   xm
cs
cn
1
c1


u
c0


y1
ys
yn
с ведущим элементом ars – преобразование ее в таблицу
x1
xr
xn
v
1
y1

a11
a1 s
a1n
b1
  x1
ys
ar 1

ars

arn
br
  xs
1
ym am
1
c1

ams
cs

amn
cn
   xm

bm
c0  u




y1
yr
yn
v
в которой переменные yr и ys , xs и xr меняются местами. Это преобразование заключается
в
следующем.
1. Ведущий элемент заменяется обратной величиной:
1
 
ars
;
ars
2. Элементы строки, содержащей ведущий элемент, за исключением самого ведущего
элемента, делятся на ведущий элемент:
a
b
  rj для всех j  s ; br  r .
arj
ars
ars
3. Элементы столбца, содержащего ведущий элемент, за исключением самого ведущего
элемента, делятся на ведущий элемент и меняют знаки:
a
c
   is для всех i  r ; cs  s .
ais
ars
ars
4. Прочие
элементы
вычисляются
по
правилу
прямоугольника:
arj  ais
aij  aij 
для всех i  r , j  s ;
ars
arj  cs
b a
i  r ; cj  c j 
bi  bi  r is для всех
для всех j  s ;
ars
ars
15
b c
c0  c0  r s для всех j  s .
ars
Произведение матриц A  Rmk и B Rk n – матрица C  R mn , такая, что
k
cij   air brj .
r 1
Произведение матрицы на число  A есть матрица B , такая, что bij  aij
Прямая задача канонического вида – задача поиска решения системы Ax  b  0 ,
,
доставляющего
минимум линейной функции u  c x
x0
Прямая задача стандартного вида – задача поиска решения системы Ax  b  0 ,
x  0 , доставляющего минимум линейной функции u  c x
Решение задачи линейного программирования – вектор, отвечающий требованиям этой задачи.
Решение системы линейных уравнений (неравенств) – вектор, подстановка
компонент которого вместо соответствующих неизвестных превращает ее в систему верных неравенств (равенств).
Симплекс-метод – метод решения задачи с помощью осевых преобразований симплекс-таблиц.
Симплекс-таблица – таблица, которая применяется для решения задач линейного
программирования симплекс-методом. Симплекс-таблица представляет прямую задачу
Ax  b  0 , x  0 , u  c x  min канонического вида по строкам и задачу At y  ct  0 ,
v  bt y  max по столбцам:
x1
a11
xn
a1n
1
b1
ym am1
amn
bm  0
y1
1
c1
cn


0
0
u

z1
zn
v
, zn – левые части ограничений двойственной задачи.
Здесь z1,
Система линейных неравенств относительно неизвестных x1,
вида
 a11x1   a1n xn  b1


a x   a x  b
mn n
m
 m1 1
, xn – система
Система ограничений задачи линейного программирования – система линейных уравнений или неравенств, которой должно удовлетворять ее решение.
Ситуация в чистых стратегиях (в антагонистической игре или игре с природой),
математически, – пара (i, j )  N2 первый и второй элементы которой означает соответственно номера стратегий первого и второго игрока.
Ситуация равновесия в смешанных стратегиях в бесконечной антагонистической игре на единичном квадрате с функцией выигрыша f , множествами G и H функций распределения первого и второго игроков – пара ( g, h )  G  H смешанных страте-
16
гий этих игроков, такая что M ( g , h )  M ( g , h )  M ( g , h) для всех ( g , h)  G  H , где
M ( g , h) – двойной интеграл Стилтьеса
1 1
0 0 f ( x, y) dg ( x) dh( y) .
Ситуация равновесия в смешанных стратегиях в биматричной игре с m  n
матрицами выигрышей A и B первого и второго игроков соответственно, множеством
смешанных стратегий первого игрока X , множеством смешанных стратегий второго игрока Y – ситуация ( x, y )  X  Y , такая что x A y  x A y , xB y  xB y для всех
( x, y )  X  Y .
Ситуация равновесия в смешанных стратегиях в матричной игре с m  n матрицей выигрышей A , множеством смешанных стратегий первого игрока X , множеством
смешанных стратегий второго игрока Y – ситуация ( x, y )  X  Y , такая что
x A y  x A y  x A y для всех ( x, y )  X  Y .
Ситуация равновесия в чистых стратегиях в антагонистической игре или игре с
природой с множествами стратегий X и Y соответственно и функцией выигрышей f
первого игрока – ситуация ( x, y )  X  Y называется ситуацией равновесия в игре  ,
если f ( x, y )  f ( x, y )  f ( x, y) для всех ( x, y )  X  Y .
Смешанная стратегия игрока в бесконечной антагонистической игре – функция
распределения вероятностей на множестве чистых стратегий этого игрока.
Смешанная стратегия игрока в матричной игре, биматричной игле или игре с
природой – неотрицательный вектор над полем действительных чисел, число компонент
которого равно числу чистых стратегий этого игрока, а сумма всех компонент равна единице. Компонента с номером i этого вектора понимается как вероятность, с которой игрок
использует i-ю стратегию.
Совместная система – система, которая имеет хотя бы одно решение.
Стратегия игрока – решение, которое способен принимать этот игрок.
Сумма матриц А и B одинаковой размерности – матрица С той же размерности,
такая, что cij  aij  bij .
Теорема двойственности. Если взаимно двойственные задачи допустимы, то они
имеют решения и экстремальные значения целевых функций этих задач совпадают. Если
хотя бы одна из задач недопустима, то ни одна из задач не имеет решения.
Теорема равновесия. Пусть x и y – допустимые решения взаимно двойственных
задач линейного программирования, z1, , zn и t1, , tm – значений левых частей линейных ограничений этих задач на векторах x и y . Векторы x и y являются оптимальными
решениями
соответствующих
задач
тогда
и
только
тогда,
когда
z1x1   zn xn  t1 y1   tm ym  0 .
Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в
условиях неопределенности, противоположных интересов различных сторон, конфликта.
Транспонированная матрица к A – матрица B, такая, что bij  a ji для всех i, j .
СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Критический срок – ранний срок свершения последнего события проекта, заключающегося в выполнении всего комплекса работ проекта; минимальное время, за которое
могут быть выполнены все работы проекта.
Поздний срок свершения события – самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ,
следующих за этим событием, в критический срок.
17
Полный резерв времени работы – максимальное временя, на которое можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не нарушая поздних сроков
начала следующих за ней работ.
Работа – любое действие, трудовой процесс, сопровождающийся затратами ресурсов или времени и приводящий к определенным результатам.
Ранний срок свершения события – самый ранний момент времени, к которому
завершаются все работы, предшествующие этому событию.
Резерв времени события – разность между поздним и ранним сроками свершения
этого события; величина, которая показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ (критического срока).
Свободный резерв времени работы – запас времени, на который можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не нарушая ранних сроков
начала следующих за ней работ.
Сетевая модель – экономико-математическая модель, отражающая комплекс работ
(операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научноисследовательского, производственного и др.), в их логической последовательности и связи.
Сетевой график – графическое представление сетевой модели – связный орграф
без петель и контуров, вершинами которого являются события, а дугами – работы.
Событие – результат завершения одной или несколько работ.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
 – отношение теоретико-множественного включения.
 – отношение принадлежности элемента множеству.
X1, , X k – выпуклая линейная оболочка точек X1, , X k .
L (a1, , ak ) – неотрицательная линейная оболочка векторов a1, ..., ak .
L(a1, , ak ) – линейная оболочка векторов a1, ..., ak .
At – матрица, транспонированная к A .
adj A – матрица, присоединенная к A .
 – естественный частичный порядок на множестве действительных чисел или на множестве Rmn ( A  B тогда и только тогда, когда aij  bij для всех i, j ).
R – множество действительных чисел.
m  n матрица – матрица, состоящая из m строк и n столбцов.
Rmn – множество всех m  n матриц над полем действительных чисел.
aij , bij , cij , … – элементы матриц А, В, С, …, расположенные в i-й строке и j-м столбце.
Ai – i -я вектор-строка матрицы A ( Ai  (ai1,
, ain ) ).
A j – j -й вектор-столбец матрицы A ( A j  (a1 j ,
, amj )t ).
 A – матричная игра с матрицей выигрышей A .
X – множество смешанных стратегий первого игрока.
Y – множество смешанных стратегий второго игрока.
Z ( ) – множество всех ситуаций равновесия в смешанных стратегиях игры  .
M ( g , h) – двойной интеграл Стилтьеса
1 1
0 0 f ( x, y) dg ( x) dh( y) .
t p (i ) – ранний срок свершения события i .
18
t (i, j ) – продолжительность выполнения работы (i, j ) .
tп (i) – поздний срок свершения события i .
R (i ) – резерв времени события i .
t р.н. (i, j ) – ранний срок начала работы (i, j ) .
t р.о. (i, j ) – ранний срок окончания работы (i, j ) .
tп.о. (i, j ) – поздний срок окончания работы (i, j ) .
tп.н. (i, j ) – поздний срок начала работы (i, j ) .
Rполн. (i, j ) – полный резерв времени работы (i, j ) .
Rсвоб. (i, j ) – свободный резерв времени работы (i, j ) .
1.10. Практикум по решению задач
По разделу «Теория игр»
Пример 1. Имеет ли матричная игра A ситуацию равновесия в чистых стратегиях
0
0
5
0  7
 3 5
 3




3 1
1
4
7
3
 1
 3
а) A  
;
б) A  
.
4
2
0
0
 4  10
0
18 




5
1
1

1
3
8
15

1




Решение. а) v1  max min aij  max {5;  1;  4;  1}  1 ,
j
i
i
v2  min max aij  min {5; 3; 1; 1}  1 .
j
j
i
v1  v 2  игра не имеет ситуации равновесия в чистых стратегиях.
б) v1  max min aij  max {7; 3;  10;  1}  3 ,
i
j
i
v2  min max aij  min {3; 8; 15; 18}  3 .
j
i
j
v1  v 2  игра не имеет ситуацию равновесия в чистых стратегиях.
Пример 2. Найти решение матричной 2 2 игры с матрицей выигры 3 7
шей A  
 с помощью присоединенной к A матрицы.
5
0


Решение.
 0  7
(0  5;  7  3)
 (1 / 3; 2 / 3) ,
 , x  
adj A  
0

5

7

3

5

3


(0  7;  5  3)
 35
y 
 (7 /15; 8 /15) , v 
 7 / 3.
05 73
0573
Пример 3. Найти решение матричной игры A графическим способом.
19
 6
а) A  
 1
2
5
0
;
2 
 1

5 .
2 
 6

б) A    2
 0

Решение.
(1) f ( x; 1)  6  p  (1)  (1  p)  7 p  1 ,
(2) f ( x; 2)  (2)  p  5  (1  p)  7 p  5 ,
(3) f ( x; 3)  0  p  2  (1  p)  2  2 p .
f
(1)
5
2
v
O
1
( 3)
p
1 p
( 2)
f ( x; 1)  f ( x; 3)  7 p  1  2  2 p  p  1 / 3 .
x   (1 / 3; 1  1 / 3)  (1 / 3; 2 / 3) , v  7  1/ 3  1  4 / 3 , y   (2 / 9; 0; 7 / 9) .
б)
(1) f (1; y)  6  q  (1)  (1  q)  7q  1,
(2) f (2; y)  (2)  q  5  (1  q)  7q  5 ,
(3) f (3; y)  0  q  2  (1  q)  2  2q .
f
(1)
5
v
( 3)
O
1
q
1
q
( 2)
f (1; y)  f (2; y)  7q  1  7q  5  q  3 / 7 .
y   (3 / 7; 1  3 / 7)  (3 / 7; 4 / 7) , v  7  3/ 7  1  2 , x   (1 / 2; 1 / 2; 0) .
Пример 4. Найти решение матричной игры A из примера 3 а) симплекс-методом.
Решение.
20
8 0 2
B  A I 
.
 1 7 4
 8 x1  x2  1
 2 y3  1
8 y1

7 x2  1



 y1  7 y2  4 y3  1
2
x

4
x

1
1
2

 y , y , y 0
 1 2 3
 x1 , x2 , x3  0
v  y1  y2  y3  max
u  x1  x2  x3  min
x  (1 / 10; 1 / 5) , y  (1 / 15; 0; 7 / 30) , min u  max v  3/10
 x   x/ (3 / 10)  (1 / 3; 2 / 3) , y   y/ (3 / 10)  (2 / 15; 0; 7 / 9) ,
v  1/ (3/10)  2  4 / 3
Пример 5. Найти решение матричной игры  A из примера 3 а) матричным методом.
Решение.
 6 0
 6  2
  2 0
 , D  
 , C  
 .
B  
5
 1 2
 1
 5 2
(5  1; 6  2)
(5  2; 6  1)
x B 
 (3 / 7; 4 / 7) , y B 
 (1 / 2; 1 / 2) ,
5 1 6  2
14
1 / 2 
  2
 6  2 0 
 6  2 0
  1 / 2     .
  (2; 2; 8 / 7) , 
(3 / 7; 4 / 7)  
5 2 
5 2
 1
 1
  2
0


(3 / 7; 4 / 7) и (1 / 2; 1 / 2; 0) не образуют ситуации равновесия в смешанных
стратегиях в игре A .
(2  1; 6  0)
(2  0; 1  6)
xC 
 (1 / 3; 2 / 3) , yC 
 (2 / 9; 7 / 9) ,
2 1 6  0
9
 2/ 9
 6 2 0 
 6 2 0  
   4 / 3 .
(1/ 3; 2 / 3)  
 (4 / 3; 8 / 3; 4 / 3) , 

0

  4 / 3
5 2
5 2  
 1
 1

 
7 / 9
Векторы (1 / 3; 2 / 3) и (2 / 9; 0; 7 / 9) образуют ситуацию равновесия в игре A
в смешанных стратегиях, v A  vC  4 / 3 .
Пример 6. Найти приближенное решение матричной игры с матрицей
выигрышей A из примера 3 а) методом Брауна-Робинсона, выполнив 15 итераций.
Решение.
Номер
Стратегия Стратегия
партии
игрока I
игрока II
K
1
2
1
1
1
2
Выигрыш игрока I при выборе
стратегии
1
2
–1
6
4
4
Проигрыш игрока II
при выборе стратегии
1
6
12
2
–2
–4
3
0
0
v1( k )
v2( k )
6
4
–2
–4
21
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
1
3
3
3
3
2
0
0
0
6
12
18
24
30
30
30
30
30
9
14
16
18
17
16
15
14
13
15
17
19
21
11
10
9
8
7
6
5
11
17
23
29
35
41
1
6
11
16
21
26
31
29
27
25
23
21
19
2
4
6
8
10
12
14
14
14
14
14
14
14
9
14
16
18
17
16
18
24
30
30
30
30
30
2
4
6
8
7
6
5
11
14
14
14
14
14
4 / 3  v  2 , x  (8/15; 7 /15) , y  (6/15; 3/15; 6/15) .
Пример 7. Найти решение бесконечной игры на единичном квадрате с
функцией выигрышей f ( x; y )  x  4 x 2 у 2  у .
  8 x  0 , f yy
  8 y  0  игра вогнутая.
Решение. f xx
 0,

v  max min f ( x; y )  max  f ( x; 0),
y
x
x
 f ( x; 1),

x0
1 / 8x 2  1 / 2 
1 / 8x 2  1 / 2
 max{0; max x; max ( x  4 x 2  1)}  1 / 2 достигается при x  1 / 2 .
0 x 1/ 2

1/ 2 x 1
f ( x ; y )  v  y1  0 или y 2  1.
f ( x  ; y1 )  1  0 , f ( x  ; y 2 )  1  0 ,
  f ( x  ; y1 )  (1   )  f ( x  ; y 2 )  0    1 / 2 .
H  ( y )  12 I 0 ( y )  12 I1 ( y ) .
Пример 8. Установить имеет ли биматричная игра ( A, B) ситуацию
равновесия в чистых стратегиях. Если имеет, указать минимаксные стратегии
игроков.
0
3
 1
 1 0 2
A   3
7 5  , B   7 0 5  .
12 3
 1 6 4 
1



Решение.
0
3
 1
 1 0 2


A 3
7 5  , B   7 0 5  .
 12 3
 1 6 4 
1



( A, B) имеет ситуацию равновесия (1, 3) в чистых стратегиях.
Пример 9. За некоторый период времени на предприятии потребление
исходного сырья S в зависимости от его качества составляет 10–12 единиц.
22
Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья S
окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 единиц в расчете на единицу сырья. Если же
запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение составят 2 единицы в расчете на единицу сырья.
1. Придать описанной производственной ситуации игровую схему и
составить платежную матрицу игры, ограничиваясь лишь целыми
значениями уровней запаса и потребления сырья.
2. Найти решение игры полученной игры с природой, пользуясь критерием
а) Байеса, предполагая, что вероятности q1 , q2 и q3 потребления
сырья в количествах 10, 11 и 12 единиц соответственно равны 0,3; 0,1 и 0,6;
б) Лапласа;
в) Вальда в чистых стратегиях;
г) Вальда в смешанных стратегиях;
д) Сэвиджа в чистых стратегиях;
е) Сэвиджа в смешанных стратегиях;
ж) Гурвица с коэффициентом пессимизма   0,6 ;
з) Ходжа-Лемана, считая q1  0,3 ; q2  0,1 ; q3  0, 6 ;   0,6 ;
и) Гермейера с вероятностями q1  0,3 ; q2  0,1 ; q3  0, 6 ;
к) BL-MM с вероятностями q1  0,3 ; q2  0,1 ; q3  0, 6 и уровнем
допустимого риска  доп.  2 .
Решение. 1.
5 10 
0
A   2
0
5 
 4 2
0 

2. а)
Стратегия предприятия
Математическое ожидание затарат
5  0,1  10  0,6  6,5
1
2
2  0,3  5  0,6  3,6
3
4  0,3  2  0,1  1,4
Оптимальная стратегия – третья.
б)
Стратегия предприятия
Математическое ожидание затарат
1
5  13  10  13  5
2
2  13  5  13  2 13
3
 4  13  2  13  2
Оптимальная стратегия – третья.
в) max min aij  max{10;  5;  4}  4 соответствует третьей стратегия
iM jN
 оптимальная стратегия – третья.
23
г) x A  w , x  0 , x u  min .
x  (1/10; 0;  1/ 4) , min x u  7 / 20  x  (2/ 7; 0; 5/ 7) , v  20/ 7 .
 0 5 10 
д) R   2 0
5  .
4 2
0 

min max rij  min{10; 5; 4}  4 соответствует третья стратегия  оптимальная
iM jN
стратегия – третья.
е) x R  w , x  0 , x u  max .
x  (1/10; 0;1/ 4) , max x u  7 / 20  x  (2/ 7; 0; 5/ 7) .
ж) min a1 j  10 , min a2 j  5 , min a3 j  4 , max a1 j  0 , max a2 j  0 ,
jN
jN
jN
jN
jN
max a3 j  0 , max {0,6  min aij  0, 4  max aij }  max {0,6  (10)  0, 4  0;
jN
jN
iM
jN
0,6  (5)  0, 4  0; 0,6  (4)  0,4  0}  max{6;  3;  2,4}  2,4
оптимальная стратегия – третья.
з) max {  aij q j  (1   ) min aij }  max {0,6  ( 6,5)  0, 4  ( 10);
iM
jN
jN

iM
0,6  (3,6)  0, 4  (5); 0,6  (1, 4)  0, 4  (4)}  max{7,9;  4,16;  2, 44} 
 2,44  оптимальная стратегия – третья.
и) B  A  I .
max min bij q j  max min{1  0,3;  6  0,1;  11  0,6}; min{3  0,3;  1  0,1;
iM jN
6  0,6}; min{5  0,3;  3  0,1;  1  0,6}  max{6,6;  3,6;  1,5}  1,5
достигается при i  3  оптимальная стратегия – третья.
к) max min aij  a31  4 ;
iM jN
M1  {i  M | a31  min aij   доп.}  {i  M |  min aij  6}  {2; 3} .
j
j
M 2  {i  M | max aij  max a3 j  a31  min aij }  {3} .
j
j
j
M1  M 2  {3}  оптимальная стратегия – третья.
Задачи для самостоятельного решения
1. Проверить имеет ли матричная игра A ситуацию
стых стратегиях
2
0
4
0
 3 5
 4
 1


3 4 10 
4
8
7
а) A  
;
б) A  
 4
 3 10
2
5
0
0



1
7 1
8 15
 6
 4
равновесия в чи7 
3 
.
18 

1 
24
2. Найти решение матричной 2 2 игры с матрицей выигрышей
 5 3 
A
с помощью присоединенной к A матрицы.
7 
1
3. Найти решение матричной игры A графическим способом.
 4 3 
 4 5 2 
а) A  
;
б) A   5
7  .

7 4
 3
 2
4 

4. Найти решение матричной игры A из примера 3 а) симплексметодом.
5. Найти решение матричной игры  A из примера 3 а) матричным методом.
6. Найти приближенное решение матричной игры с матрицей выигрышей A из примера 3 а) методом Брауна-Робинсона, выполнив 10 итераций.
7. Найти решение бесконечной игры на единичном квадрате с функцией выигрышей f ( x; y)  xy  3x2 у 2 .
8. Установить имеет ли биматричная игра ( A, B) ситуацию равновесия
в чистых стратегиях. Если имеет, указать минимаксные стратегии игроков.
1
3
 2
 1 1 2 


A 4
6 5  , B   7
0 5  .
12 2
 1
1
6 4 


9. Найти решение игры с природой, заданной матрицей
1
3
2
A   4
6 5 
 8 2
1

пользуясь критерием
а) Байеса, предполагая, что вероятности q1 , q2 и q3 потребления
сырья в количествах 10, 11 и 12 единиц соответственно равны 0,2; 0,3 и 0,5;
б) Лапласа;
в) Вальда в чистых стратегиях;
г) Вальда в смешанных стратегиях;
д) Сэвиджа в чистых стратегиях;
е) Сэвиджа в смешанных стратегиях;
ж) Гурвица с коэффициентом пессимизма   0, 4 ;
з) Ходжа-Лемана, считая q1  0, 2 ; q2  0,3 ; q3  0,5 ;   0, 4 ;
и) Гермейера с вероятностями q1  0, 2 ; q2  0,3 ; q3  0,5 ;
к) BL-MM с вероятностями q1  0, 2 ; q2  0,3 ; q3  0,5 и уровнем
допустимого риска  доп.  2 .
25
По разделу «Сетевое планирование»
Пример 1.
Работа
Непосредственно
Предшествующая ей работа
Продолжительность
Работы (нед.)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
—
—
—
A
A,B
A,B
С,E
D,F,G
C,E
3
6
4
5
1
9
6
8
5
2
3
6
D
3
A
5
15 15
0
5
0
F
0
0
6
6
0
4
9
3
B
1
6
6
23 23
0
G
0
6
E
C
H
8
3
I
1
5
4
7
9
2
Работа
t р.н.
t р.о.
tп.о.
tп.н.
Rполн.
Rсвоб.
А
В
С
D
E
F
G
H
I
0
0
0
3
6
6
7
15
7
3
6
4
8
7
15
13
23
12
6
6
9
15
9
15
15
23
23
3
0
5
10
8
6
9
15
18
3
0
5
7
2
0
2
0
11
0
0
3
7
0
0
2
0
11
Задачи для самостоятельного решения
Построить сетевую модель проекта, заключающегося в выполнении
комплекса работ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K. Взаимосвязь между этими работами и их продолжительность приведены в таблице. Найти характеристики
построенной работ и сформулировать рекомендации по реализации данного
проекта в кратчайший срок.
а)
Работа
Непосредственно
предшествующая ей
работа
Продолжительность
Работы (нед.)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
—
—
—
B
A,B
C
D,E
A,F
A,F
G,H
I
1
6
2
3
6
1
8
4
5
8
2
26
б)
Работа
Непосредственно
предшествующая ей
работа
Продолжительность
Работы (нед.)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
—
—
A
—
A,B
D
C,E
B,F
G,H
B,F
J
3
2
5
7
4
2
5
1
4
2
7
27
Раздел V
Изменения в рабочей программе,
которые произошли после утверждения программы
Характер изменений в
программе
Номер и дата протокола заседания кафедры, на котором
было принято данное решение
Подпись заведующего
кафедрой, утверждающего внесенное изменение
Подпись декана факультета (проректора по
учебной работе), утверждающего данное изменение
28
Раздел VI
Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и
степень преподавателя
Кумаров В. Г.
Учебный Факультет
год
2006-2007
ПМПЭ
Специальность
Кумаров В. Г.
2007-2008
ПМПЭ
Новожилова Е.А.
2010-2011
ФМОИП
Прикладная математика и информатика
Давидюк Е.С.
2011-2012
ФМОИП
Прикладная математика и информатика
Богданова Е.А., к.п.н.
2012-2013
ФМОИП
Прикладная математика и информатика
Прикладная математика и информатика
Прикладная математика и информатика
29