Document 645417

Работа № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И
ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ ТИПОВЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
3.1. Цель работы
Исследование особенностей временных характеристик типовых линейных звеньев
второго порядка в зависимости от коэффициента демпфирования  .
3.2. Теоретическое обоснование
По определению, переходной характеристикой h(t) называется реакция системы
на единичное ступенчатое 1(t) входное воздействие при нулевых начальных условиях
1, при _ t  0
1(t )  
0, при _ t  0
Преобразование Лапласа от единичной ступенчатой функции 1(t) получаем,
подставляя эту функцию в интеграл Лапласа:

L1(t )   e  st 1(t )dt 
0
1
s
Переходная характеристика вычисляется по формуле:
h(t )  L
1 W


( s) 
.
s 
Весовой, или импульсной функцией w(t) называют реакцию системы на
единичный импульс  (t). При анализе систем управления приходится часто использовать
δ – функцию, которая обладает следующими свойствами:
, при _ t  0
0, при _ t  0
 (t )  


0
0
  (t )dt  1;
  (t ) x(t )dt  x(0);
Преобразование Лапласа от этой функции

L (t )    (t )e  st dt  1.
0
К типовым звеньям второго порядка относятся звенья, знаменатель и числитель
передаточной функции которых имеют порядок не выше второго, т.е.
1
b 0  b1 s  b 2 s ,
W ( s) 
2
a 0  a1 s  a 2 s
2
где a 0 , a1, a 2 , b 0 , b1, b 2  постоянные коэффициенты.
В настоящей работе рассматривают звенья, для которых коэффициенты b1 и b 2
равны нулю. В этом случае передаточная функция приводиться к виду
W ( s) 
K
2 2
T s 2
 T s 1
,
K  b 0 a 0 -коэффициент усиления; T  a 2 a 0  постоянная времени;
где
 
1
2
a1  коэффициент
a0 a2
демпфирования
(затухания
колебаний)
звена.
В
зависимости
от
значения
коэффициента
ξ в теории
демпфирования
автоматического управления принята следующая классификация типовых звеньев второго
порядка: консервативное звено при ξ=0, колебательное звено при
0  1 ,
апериодическое звено второго порядка при   1 .
3.2.1. Консервативное звено (ξ=0)
Консервативное
звено
является
звеном
второго
порядка
и
описывается
передаточной функцией вида
W 1 ( s) 
K
2 2
T s 1
;
Переходная характеристика консервативного звена описывается выражением
W ( s) 
h1 (t )  L1  1   K  (1  cos 0t )
 s 
где  0 
1
частота собственных колебаний.
T
2
h1(t)
Aк
K
Aк
t
Tк
Рис.3.1 Переходная характеристика консервативного
звена
На рис.3.1 приведена переходная характеристика консервативного звена h1(t ) . Она
имеет вид незатухающего гармонического колебания с постоянной амплитудой колебаний
Aк и постоянным периодом колебаний Tк. Характеристика обладает следующими
свойствами:
амплитуда колебании Aк=K;
период колебаний Tк связан с частотой ω0 соотношением  0 
2
Тк
, а с постоянной
времени T - соотношением Т  Т к / 2 .
Эти соотношения позволяют по виду переходной характеристики h1(t ) оценить
значение параметров K и T консервативного звена.
Весовая функция консервативного звена задается выражением
1
w 1 (t )  L W1 ( s)   K sin 0t ,
где  0 
1
частота собственных колебаний.
T
3
w1(t)
Aк
t
Aк
Tк
Рис.3.2 Весовая функция консервативного звена
3.2.3. Колебательное звено (0<ξ <1)
Колебательное звено относится к звеньям второго порядка. Работа этих звеньев
описывается дифференциальным уравнением:
a2
d 2 y(t )
dt
2
dy(t )
 a0 y(t )  b0 x(t )
dt
 a1
Преобразуя это уравнение, получим:
T2
b
где K  0 ; T 
a0
d 2 y(t )
dt 2
 2T
dy(t )
 y(t )  Kx(t )
dt
a2
a1
; 
.
a0
2 a0 a 2
Характеристическое уравнение полученного дифференциального уравнения может
быть представлено в следующем виде:
s 2  2
1
1
s 2 0
T
T
Корни этого уравнения определяются формулой
s1, 2  
1 1

 2 1 .
T T
Отсюда следует, что комплексные корни s1 и s2 могут быть только при
выполнении условия 0    1 . Наличие комплексных корней является непременным
условием колебательного режима работы звена второго порядка, поэтому при выполнении
полученного условия звено называется колебательным.
Преобразуя уравнение динамики колебательного звена, найдём передаточную
функцию
4
W 2 ( s) 
K
.
2 2

T s 2Ts 1
Переходная характеристика колебательного звена может быть представлена в виде
t



1
t
W2 ( s) 
2
T
h2 (t )  L 

K
1

e
sin(
1



arccos

)

.
T
 s 
1  2


1
или
h 2(t )  K  1  Ae t sin  0t   0 

где
T - логарифмический декремент затухания,
0  1  2 Т
- частота собственных колебаний,
 0  arctg   0 - начальный сдвиг фазы.
Δhmax1
h2(t)
1.2
1.2
Δhmax2
t.m
1.1
1
0.9
K 0.8
h ( t)
h(t )
h .y
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
t
0
70
80
90
100
110
120
120
Tк
t1max
t2max
Рис.3.3 Переходная характеристика колебательного звена.
Здесь h2 уст  lim h2 (t ) - установившееся значение переходной характеристики,
t 
t1max и t2max - моменты времени, соответствующие положению первого Δhmax1
и второго максимумов Δhmax2 переходной характеристики h2(t) колебательного
звена,
5
Tк - период собственных колебаний связан с частотой ω0 соотношением
0 
2
Тк
, а с постоянной времени T – соотношением Т 
Тк
.
2
Переходная характеристика h2(t) колебательного звена имеет следующие
особенности:
установившееся значение переходной характеристики равно коэффициенту
пропорциональности K.
Весовая функция w2(t) колебательного звена аналитически может быть
описана выражением
w2 (t )  L1 W2 ( s)  K 
1
T 1  2
e

t
T
 sin
t
1  2
T
или
w2 (t )  K  A  (  e t  sin(  0 t   0 )   0  e t  cos( 0 t   0 )) ,
где

T - логарифмический декремент затухания,
0  1  2 Т
-частота собственных колебаний,
 0  arctg   0 - начальный сдвиг фазы.
h ( t) 
W(s )
s
invlaplaceT sк  18.  18.  exp ( .12500000000000000000  t)  cos ( .48412291827592711065  t)  4.6
w2(t)
t
Рис.3.4 Весовая функция колебательного звена.
3.2.3. Апериодическое звено второго порядка (   1 )
Апериодическое звено второго порядка имеет передаточную функцию
W 3 ( s) 
K
;
T 1 s  1T 2 s  1
где T1 и T2 - постоянные времени связанные с параметрами T и ξ соотношениями
T  T1  T2 ,
6

T1  T2
2 T1  T2
.
Очевидно, что при ξ=1 T1=T2=T.
Переходная характеристика h3(t) апериодического звена второго порядка при ξ=1
имеет вид:

h 3 (t )  K 1 


а при


t
1  t  e   ,

T  T 

 1 `
t
t 

T1
1  W3 ( s ) 
  T 2 e  .

K

1


h3(t )  L 
e
T T T
T
 s 
1
1 2
2 
 T 1  T 2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
h( t ) 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t
Рис 3.5 График переходной характеристики апериодического звена второго
порядка
На рис 3.5 представлен график переходной характеристики апериодического звена
второго порядка h3 (t ) . График имеет следующие особенности:
установившееся значение h 3уст (t )  lim h 3 (t ) равно K,
t 
скорость изменения переходной характеристики
d h3 (t )
dt
при t=0 равна нулю,
Приближение переходной характеристики h3(t) к установившемуся значению h3уст
происходит монотонно при отсутствии колебаний.
Весовая функция w3(t) апериодического звена второго порядка описывается
выражением
7
t
t 
 1
1
1


w3(t )  L W3 (s)  K  
e T1 
e T2 
T1  T 2
 T1  T 2

и представлена на рис.3.6.
h ( t) 
w3(t)
W(s )
s

-2
invlaplace  s  18.  18.  exp ( .15714285714285714286  t)  cosh 6.5465367070797714379  10
t
Рис.3.6. Весовая функция апериодического звена второго
порядка
2.3. Порядок выполнения работы
В соответствии с вариантом задания в табл.3.1. произвести построение временных
характеристик типовых звеньев второго порядка и графоаналитическим способом
рассчитать их параметры.
Вычисление временных характеристик звеньев с применением
программного пакета символьной математики Mathcad
Динамические свойства линейного звена характеризуются переходной h(t) или
весовой w(t) функциями, которые связаны соотношениями
t
h(t )   w(t )dt ,
0
.
dh(t )
w(t ) 
dt
Связь между переходной и передаточной функциями может быть определена через
 
преобразование Лапласа L h(t ) 
W ( s)
s
 
или
 
 dh(t ) 
 sL h(t )  W ( s )
L w(t )  L 
 dt 
Эти выражения показывают, что переходная и весовая функции содержат
информацию о передаточной функции W(s), которая в свою очередь также характеризует
динамические свойства линейных звеньев.
8
2
W ( s ) 
2
3s  1s  1
По определению, весовой функцией w(t) называется реакция системы на
импульсное входное воздействие. Весовая характеристика может быть найдена как
обратное преобразование Лапласа от передаточной функции по формуле:
w(t )  L
1
W (s)
В программном пакете символьной математики Mathcad данная операция
обратного преобразования Лапласа от выражения
W (s)
s
может быть реализована при
помощи символьных операторов invlaplace, s, и оператора ограничения десятичных
единиц до двух float,2.
Вычислим весовую функцию звена, используя символьные операторы invlaplace, s
(переводит выражение из области Лапласа в область времени по переменной S):

4 11 e
w( t)  W ( s ) invlaplace s 
t
6
 11 t 

 6 
 sin 
11
Построение весовой функции звена w(t) В программном пакете символьной
математики Mathcad производится при помощи панели графиков Graph Toolbar и панели
вида графического отображения Graph.
Панель математических инструментов
Панель вида графического отображения
Для этого после нахождения весовой функции звена w(t), необходимо щелкнуть по
свободному месту в рабочем документе ниже введенной функции w(t), затем – по кнопке с
изображением графика в панели математических инструментов и в открывшейся панели
щелкните по левой верхней кнопке. Появится поле для построения графика:
9
поле для построения графика
При появлении поля для построения характеристики в левое окошко (рядом с осью
ординат) с клавиатуры вводится имя функции, которую необходимо построить (или
нескольких при необходимости построения в одной плоскости), введите w(t), в нижнее
окошко (помеченную позицию под осью абсцисс) с клавиатуры вводится аргумент
функции t, затем щелкните вне прямоугольной рамки.
Настройки масштаба, цены деления шкал, вид кривой, её цвет, толщина и др.
выполняются двойным нажатием левой клавиши «мыши» на область построения.
Щелкните по пункту X-Y-Plot (График X-Y) строки Graph (Графики) меню Format
(Формат). В появившемся окне настройки параметров изображения (Установка
параметров для графиков) пометьте пункты Crossed (Пересечение) и щелкните OK.
10
Щелкните по полю графика, затем – по числу, задающему наименьшее значение
аргумента (число в левом нижнем углу ограниченного рамкой поля графиков), нажмите
<Backspace> и введите с клавиатуры 0 (временной аргумент не может быть меньше 0).
Аналогично измените правую границу аргумента и границы изменения функции w(t) –
такое значение аргумента, чтобы функция приблизилась к нулевому значению. Щелкните
вне поля графика.
Постройте график весовой функции на плоскости с ценой деления, кратной 1, 0,5 или
подобрать адекватный.
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
w( t ) 0.3
0.2
0.1
 0.1
 0.2
 0.3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
t
Рис.3.7. Построение весовой функции при помощи графической панели Graph Toolbar
Сложность состоит в правильном выборе масштаба отображения для выполнения
дальнейших расчетов параметров звеньев и удобстве восприятия полученных графиков.
Для выбора масштаба отображения временных характеристик и их начертаний зададим
диапазон
и
шаг
изменения
аргумента
t
(времени),
воспользовавшись
знаком
«многоточие», вызываемым с помощью символа «;» или из панели матричных
операторов:
t:=0,0.01..10
Далее из палитры Инструменты графиков вызовем поле декартовых координат
(Ctrl+2), где в позиции на оси абсцисс запишем аргумент t, а на оси ординат – w(t) или
h(t). Для удобства представления характеристик необходимо дважды «кликнуть»
собственно на редактируемый график.
11
По определению, переходной характеристикой h(t) называется реакция системы на
единичное ступенчатое входное воздействие. Переходная характеристика вычисляется по
формуле:
h(t )  L
1 W


( s) 
.
s 
Вычислим переходную характеристику звена, используя символьные операторы
invlaplace, s (переводит выражение из области Лапласа в область времени по
переменной S):

h ( t) 
W(s )
s
2 11 e
invlaplace s  2 
t
 11 t 
t


 6   2 e 6  cos  11 t 


11
 6 
6
 sin 
Построение переходной характеристики звена h(t) В программном пакете
символьной математики Mathcad производится при помощи панели графиков Graph
Toolbar и панели вида графического отображения Graph по ранее изложенному
алгоритму.
3
2.5
2
h( t ) 1.5
1
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
t
Рис.3.8. Построение переходной характеристики при помощи графической панели Graph
Toolbar
3.4. Варианты заданий
3.4.1. Постройте и рассчитайте все динамические характеристики звеньев, изменяя
коэффициенты, в соответствии с номером варианта.
Таблица 3.1.
№
Значения параметров звеньев второго порядка
12
Консервативн
ое звено
вар.
Колебательное звено
T
K
=0
1
1.
5
10
0
0,707
0,01
0,5
1,5
7
1
2.
6
14
0
0,707
0,01
0,3
1,2
6,3
1
3.
4
7
0
0,707
0,03
0,2
2
4,2
1
4.
6
12
0
0,707
0,01
0,35
2,5
5
1
5.
2
19
0
0,707
0,01
0,3
3
6
1
6.
7
20
0
0,707
0,04
0,1
4
8
1
7.
4
16
0
0,707
0,05
0,2
2
9
1
8.
4
18
0
0,707
0,02
0,5
5
1,4
1
9.
7
12
0
0,707
0,01
0,3
6
1,3
1
10.
7
18
0
0,707
0,02
0,5
1,1
5
1
11.
2
21
0
0,707
0,03
0,5
7
2,7
1
12.
3
30
0
0,707
0,01
0,1
3,5
8
1
13.
6
1
0
0,707
0,02
0,5
8
1,8
1
14.
4
28
0
0,707
0,02
0,2
9
2,9
1
15.
5
10
0
0,707
0,01
0,55
6,5
2,1
1
16.
7
20
0
0,707
0,04
0,1
1,5
7
1
17.
6
14
0
0,707
0,01
0,3
8
1,8
1
18.
4
7
0
0,707
0,03
0,2
2
4,2
1
19.
7
12
0
0,707
0,01
0,3
2
9
1
20.
2
19
0
0,707
0,01
0,3
7
2,7
1
21.
4
16
0
0,707
0,05
0,2
4
8
1
22.
2
21
0
0,707
0,03
0,5
6,5
2,1
1
23.
7
18
0
0,707
0,02
0,5
5
1,4
1
24.
6
1
0
0,707
0,02
0,5
2,5
5
1
25.
4
28
0
0,707
0,02
0,2
1,1
5
1
26.
3
30
0
0,707
0,01
0,1
9
2,9
1
27.
5
10
0
0,707
0,01
0,55
3,5
8
1
28.
7
20
0
0,707
0,04
0,1
6
1,3
1
Апериодическое звено
второго порядка
1, =1
13
29.
6
12
0
0,707
0,01
0,35
1,2
6,3
1
30.
5
10
0
0,707
0,01
0,5
3
6
1
3.4.2. Рассчитать
 корни характеристического уравнения (полюсы звеньев),
 все параметры звеньев второго порядка по графикам переходных
характеристик,
 для колебательного звена: логарифмический декремент затухания, период
Tк и частоту собственных колебаний.
3.4.3. Оформить отчет по лабораторной работе в напечатанном виде на листах
формата А4, представить выводы о влиянии параметров звеньев K, Т и ξ на
динамические временные характеристики.
14