Н=Н

Четность и нечетность
Если написанная программа сработала правильно, то это значит, что во время ее
работы выполнилось четное число ошибок или программист не понял задание.
Правило четности ошибок
Ч+Ч=Ч
Ч+Н=Н
Н+Н=Ч
ЧЧ=Ч
ЧН=Ч
НН=Н
1. Количество нечетных чисел.
a. Сколько нечетных среди первых 100 натуральных чисел?
b. А среди 2012? Среди 2013?
c. А среди первых N натуральных чисел?
2. Не выполняя никаких арифметических действий, назовите чётность чисел:
a. 1000–947756776+2005+2006
b. 2042121+53607+3121+67318111–154–77+87
c. (1246254651–45645645)(67876–59681)+(1163–712)(948–8569)+886541735+1.
3. Имеется два числа одной четности. Какова может быть четность их разности?
4. Сумма двух чисел нечетна. Какой четности их разность?
5. Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании
присутствовали все, и никто не воздержался при голосовании. Когда было объявлено, что
некоторое решение было принято большинством в 23 голоса (проголосовавших «за»
было на 23 человека больше, чем проголосовавших «против»), оппозиция закричала "Это
обман!". Почему?
6. Двое играют в следующую игру: первый игрок рисует на клетчатой бумаге квадрат. Затем
второй игрок зачеркивает одну из клеток этого квадрата. Потом то же делает первый, и
так далее. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной
игре и как ему надо играть?
7. Филя пишет на доску одно целое число, а Степашка – другое. Если
произведение чётно, победителем объявляют Филю, если нечётно, то
Степашку. Может ли один из игроков играть так, чтобы непременно
выиграть?
8. Докажите, что произведение любых двух последовательных чисел четно.
9. Каким (четным или нечетным) может быть число n2 + n, где n – целое?
10. Может ли для каких-нибудь целых чисел а и b быть верно ab(a–b) = 20122013?
11. Может ли для каких-нибудь целых чисел а и b быть верно (a+1)(b+1)(a+b) = 59911995?
12. На 99 карточках пишут числа 1, 2, ..., 99, перемешивают их, раскладывают чистыми
сторонами вверх и снова пишут числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки складывают два
её числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат чётен.
13. Сложили 5 целых чисел. Получили 2013.
a. Сколько среди них может быть нечётных?
b. А если чисел 2013?
14. Саша перемножил 17 целых чисел и получил 1025, а Катя сложила эти же числа и
получила 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.
15. Сумма четырнадцати целых чисел является нечетным числом. Может ли из
произведение тоже быть нечетным?
16. Произведение 22 целых чисел равно 1. Может ли их сумма равняться нулю?
17. На доске написано 2013 целых чисел. Всегда ли можно стереть одно из них так, чтобы
сумма всех оставшихся чисел была четна?
18. У Полины тетрадей в клетку на 17 больше, чем тетрадей в линейку. Она хочет разложить
все тетради в две равные стопки. Как она может это сделать?
19. 98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом
коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечетным числом? Если да, то
приведите пример, если нет, то докажите, почему.
20. Злой волшебник пообещал Мефодию Буслаеву власть над миром, если он согнет из
волшебной золотой проволоки 17-тиугольник, длины всех сторон которого составляют
нечетное число сантиметров. Волшебник дал ему моток такой проволоки длиной 20м
8см и сказал, что проволока обязательно должна быть использована полностью. Сможет
ли Мефодий получить власть над миром?
21. Гуляя по лунному городу, Незнайка нашел 1 фертинг и решил разменять его на 17 монет.
Но в этом городе есть только монеты по 1, 7 и 13 сантиков. Удастся ли ему это сделать? (1
фертинг = 100 сантиков.)
22. Трем учащимся 6х классов преподаватель выдал 7 карточек, на которых были написаны
числа от 5 до 11. Он их перемешал и раздал детям, причем Юля взяла себе три карточки,
Варя – две, а оставшиеся две преподаватель отдал Глебу, который их тут же потерял. Юля
сразу сказала Варе: «Я точно знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна», и
оказалась абсолютно права. Какие числа были написаны на карточках у Юли?
23. Алиса и Базилио устроили благотворительную лотерею. Они написали на 33 билетах
(занумерованных числами от 1 до 33) 33 последовательных числа от 33 до 65 (в каком-то
порядке) и объявили, что выигрышным считается билет, у которого сумма номера билета
и написанного на нем числа четна. Докажите, что при таких правилах им в любом случае
придется кому-то выплатить выигрыш.
24. Можно ли натуральные числа 1, 2, ..., 20, 21 разбить на несколько групп, в каждой из
которых наибольшее число равно сумме всех остальных чисел этой группы?
25. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так,
чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
26. А если в ряд выписаны числа от 1 до 2013, можно ли получить 17?
А если от 1 до 2014? А если от 1 до 2012?
27. В 26 ящиков разложили 2013 теннисных мячиков. И написали на каждом ящике число,
равное количеству мячиков в этом ящике. Маша перемножила все эти числа и получила
171717171717. Докажите, что она ошиблась.
28. На уроке алгебры Миша упражняется в разложении чисел на множители, а Аня его
проверяет. Написано число, состоящее из 1000 единиц, 2000 троек и 3000 семерок.
Миша утверждает, что у этого числа 2012 различных простых делителей, а Аня – что
сумма этих делителей 777777777. Докажите, что кто-то из них ошибся.
29. В клетчатой таблице 101101 записаны числа от 1 до 1012. Вильям закрашивает клетки в
синий и красный цвет. Он хочет добиться того, чтобы все клетки были раскрашены и
сумма чисел в красных клетках была равна сумме чисел в синих клетках. Удастся ли ему
это сделать?
30. Набор состоит из гирек с целочисленными массами. Известно, что если из набора убрать
любую из гирек, то оставшиеся гирьки можно разложить по двум чашкам весов так, что
весы будут в равновесии. Докажите, что в наборе нечетное число гирек.