3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3.1. Постановка задачи регрессионного анализа 55

55
3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
3.1. Постановка задачи регрессионного анализа
Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли,
хозяйства), как правило, представляются таблицами статистических данных:
y i 
y N 
y1  y  2    

x 1 1 
x1 2 

x 1 i 

x1  N 
x 2 1 
x 2 2 

x 2 i 

x2 N 


x j 2 



x j i 



x j N 

x k 2 



x k i 



xk N 
x j 1 

x k 1 
Обычно один из экономических показателей выделяется в качестве результирующего и изучается влияние на него других показателей как факторов.
Статистические данные представляют собой выборку некоторой реализации значений случайных величин:
y i  - i -ая реализация численного значения результата y , i  1 , N ;
x j i  - i -ая реализация численного значения j -ого фактора x , i  1 , N ,
j  1 ,k .
Использование статистических данных позволяет добиваться оптимальных результатов, управляя величинами факторов, или прогнозировать возможную величину результата при сложившихся значениях факторов.
Между случайной величиной результата ŷ и случайной величиной фактора x̂ имеется стохастическая (случайная) зависимость, т.е. существует
корреляционная зависимость.
Использование представленных в табличной форме статистических
данных для выработки управленческих решений или прогнозов недостаточно
удобно из-за их большого объема, ненаглядности и необходимости дополнительной обработки. Поэтому стремятся представить такие статистические
данные в виде аналитической зависимости результата от факторов.
56
Таким образом, корреляционную зависимость результата от факторов,
проявляющуюся приблизительно и лишь в массе наблюдений, требуется
отобразить с помощью функциональной зависимости результата от факторов, проявляющуюся определенно и точно в каждом конкретном случае. Задача состоит в определении интересующей нас случайной величины результата, если случайные величины факторов, от которых статистически зависит
результат, приняли конкретные значения.
Функциональная зависимость результата от факторов представляется
уравнением регрессии1.
Парная корреляция выражается зависимостью между двумя случайными величинами - результатом и одним фактором:
y  f x .
Множественная корреляция характеризует стохастическую связь между результатом и несколькими факторами:
y  f  x1 , x 2 , . . . , xk  .
Замена корреляционной зависимости на функциональную может привести к искажению отображения влияния факторов на результат. Поэтому общая задача регрессионного анализа состоит в определении такого вида и
параметров уравнения регрессии, при которых наиболее точно представляется корреляционная зависимость.
При проведении регрессионного анализа необходимо выполнить, по
крайней мере, пять следующих этапов:
1) выбрать функцию для построения уравнения регрессии;
2) рассчитать коэффициенты (параметры) уравнения регрессии (см. 3.2);
3) оценить надежность рассчитанных коэффициентов уравнения регрессии (см. 3.3);
4) проверить качество уравнения регрессии (см. 3.4);
5) провести экономический анализ на основе уравнения регрессии (см.
3.5).
Далее будем рассматривать только линейные уравнения регрессии и регрессионный анализ - со второго этапа.
Термин "регрессия" был введен Фрэнсисом Гальтоном (1822-1911 гг.,
англ. психолог и антрополог, создатель теории о наследственном здоровье
человека) для объяснения одного биологического явления. В настоящее время этим термином принято называть подбор кривых для выборочных наблюдений.
1
57
3.2. Расчет коэффициентов уравнения регрессии
методом наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов (МНК) может быть использован для
расчета коэффициентов только линейного уравнения регрессии.
При определении коэффициентов однофакторного уравнения регрессии
с помощью табличных (фактических) значений
y1 
y2 
y N 
Результат
...
Фактор
x 1 
x2 
...
x N 
определяют регрессионные остатки, характеризующие отклонения (ошибки), с которыми линейное уравнение регрессии отображает табличную функцию:
a0  a 1  x 1   y 1   u1  ,
a0  a 1  x  2   y  2   u 2  ,

a0  a 1  x  N   y  N   u N  .
Ясно, что чем лучше будут подобраны коэффициенты линейного уравнения регрессии, тем меньше по абсолютной величине будут отклонения.
Поэтому требуется найти такие значения коэффициентов a0 и a 1 , при которых сумма квадратов регрессионных остатков была бы минимальной:
S a0 , a 1    a0  a 1  x i   yi    min.
N
i 1
2
Функция двух аргументов S a0 , a1  принимает экстремальное значение,
в данном случае минимальное, в точке a0 , a1  , в которой частные производные этой функции по каждому аргументу равны нулю:
S a0 , a1  N
  2  a0  a1  xi   yi    0 ,
a0
i 1
S a0 , a1  N
  2  a0  a1  xi   yi    xi   0 .
a1
i 1
После преобразования получаем систему уравнений:
N

N

N

a

x

a

yi  ,




i 
0
1

i 1
 i 1

 N
N
N
  x   a    x 2   a    y  x .
 i 1 i   0  i 1 i   1 i 1 i  i 
Решая систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных a0 и a 1 , определяются коэффициенты (параметры) линейного уравнения
регрессии:
58
y  a0  a1  x .
Аналогично рассчитываются коэффициенты многофакторного уравнения регрессии.
3.3. Оценивание надежности коэффициентов
уравнения регрессии
Надежность оцениваемого коэффициента при соответствующем факторе в уравнении регрессии характеризует, насколько точнее уравнение регрессии, включающее этот коэффициент, отражает случайные величины результата, чем уравнение регрессии, не включающее этот коэффициент.
Для оценки надежности коэффициентов используются:
- коэффициент частной корреляции;
- t-критерий (критерий Стъюдента).
Рассмотрим использование коэффициента частной корреляции для
оценки влияния фактора x 2 в уравнении регрессии
y  a0  a 1  x 1  a 2  x 2 .
Пусть в результате N наблюдений имеются фактические значения,
представленные в таблице:
y
y1 
y2 

y i 

y N 
x1
x1 1 
x1  2 

x1i 

x1  N 
x2
x 2 1 
x2  2 

x2 i 

x2  N 
Коэффициент частной корреляции рассчитывается по формуле:
S12  S 22
ry 12 
,
S12
где суммы квадратов отклонений
S    yi   a0  a1  x1i   ,
2
1
N
2
i 1
S    yi   a0  a1  x1i   a2  x2 i   .
2
2
N
2
i 1
Тогда, если ry 12  1 , то S 22  0 , т.е. отклонения уравнения регрессии при
a 2  0 от фактических значений результирующего показателя y минимальны
и фактор x 2 является существенным.
59
Если ry 12  0 , то S22  S12 , т.е. можно принять коэффициент a 2  0 , т.к.
он не способствует повышению точности.
Рассмотрим использование t-критерия Стъюдента.
Вычисление любого коэффициента a j j  1 , k уравнения регрессии
производится по данным наблюдения фактических значений результата и
влияющих на него факторов (см. 3.3). Поэтому от объема выборки ( N
наблюдений) и точности измерения таких данных зависит правильность расчета коэффициента a j j  1 , k . Ошибка расчета такого коэффициента является случайной величиной и может быть оценена методом испытаний гипотез.
Значение t-критерия Стъюдента рассчитывается по формуле:
a
t j ,
Sa j




где a j - вычисленное значение j -ого коэффициента уравнения регрессии;
S a j - рассчитываемая ошибка определения этого коэффициента.
Сформулируем две гипотезы:
- нулевую H 0 о том, что коэффициент a j  0 ;
- альтернативную (конкурирующую) H 1 о том, что коэффициент a j  0 .
Зададим вероятность допустить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть
правильную гипотезу, как уровень значимости α  0 ,05.
Из таблицы t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости α  0 ,05 и числа степеней свободы N  k  1 определяется значение tT .
Если t  tT , то нулевая гипотеза отвергается.
Если t  tT , то a j  0.
3.4. Проверка качества уравнения регрессии
Проверка качества уравнения регрессии основана на сравнении точности получаемого с помощью этого уравнения отображения результирующего
показателя с точностью оценок при использовании среднего значения результирующего показателя.
Рассмотрим табличную функцию:
60
y
y 1 
y2 
x1
x2

xk
x 1 1 
x 2 1 

x k 1 
x1  2 
x 2 2 

x k 2 





y N 
x1  N 
x2 N 

xk  N 
Пусть построено уравнение регрессии для этой табличной функции:
y  a0  a1  x1  a 2  x 2  ...  a k  x k .
Тогда значения результирующего показателя, взятые из табличной
функции, можно назвать фактическими, а значения, рассчитанные с помощью уравнения регрессии для фактических значений факторов, можно
назвать расчетными:
y 2  фак
y фак
y1  фак
y N  фак

y1  рас
y 2  рас
y N  рас
y рас

где yi  фак  yi  ,
yi  рас  a0  a1  x1 i   a 2  x 2 i   ...  ak  xk i  ,
i 1,N.
Соответствующее среднее значение:
1 N
1 N
yфак   yi    yi  фак .
N i 1
N i 1
Соответствующие усредненные суммы квадратов отклонений:
2
1 N
S 2 фак   yi  фак  yфак ,
N i 1


1 N
 yi  фак  yi  рас 2 .

N i 1
Качество уравнения регрессии характеризуется:
- коэффициентом корреляции;
- критерием Фишера.
S 2 рас 
Рассмотрим использование коэффициента корреляции.
Относительная величина разности между менее точным средним значением и более точным уравнением регрессии определяется коэффициентом
детерминации R , а квадратный корень из него - коэффициент корреляции
r:
2
S фак
 S 2рас
R
,
2
S фак
61
2
где S фак
- усредненная сумма квадратов отклонений фактических значений результирующего показателя от среднего значения фактических значений результирующего показателя;
S 2рас - усредненная сумма квадратов отклонений фактических значений
результирующего показателя от значений результирующего показателя, рассчитанного по уравнению регрессии;
2
S фак
 S 2рас
r R
S фак
где r  1 .
Наихудшим уравнением регрессии будет такое, в котором факторы не
оказывают влияния на результат, т.е. все j  1 , k коэффициенты a j  0 . Тогда уравнение регрессии примет вид:
y  a0  y .
В этом случае ошибка отображения результата:
2
2
S рас
 Sфак
.
В других случаях, когда влияние факторов объясняет изменение результата, по крайней мере один из коэффициентов a j  0 . Тогда ошибка отображения результата:
2
2
S рас
 Sфак
.
В итоге, всегда
2
2
S рас
 Sфак
и для коэффициента корреляции
0  r  1.
Близость к нулю коэффициента корреляции r  0 означает, что
ошибка отображения результирующего показателя с помощью среднего значения y и уравнения регрессии y рас почти не отличается. Поэтому целесообразно использовать в этом случае для получения надежных оценок более
простой инструмент - среднее значение.
Близость к единице коэффициента корреляции r  1 означает, что
линия регрессии проходит близко к экспериментальным точкам. Поэтому
лучшим из уравнений регрессии будет такое, для которого коэффициент корреляции ближе к единице.


Рассмотрим использование критерия Фишера.
Более определенно оценить качество уравнения регрессии в целом позволяет критерий Фишера (F-критерий). Он применяется для проверки
статистических гипотез.
Можно выдвинуть две конкурирующие гипотезы:
62
- нулевая гипотеза H 0 заключается в предположении о том, что все
 j  1, k 
коэффициенты
в
уравнении
регрессии
равны
нулю,
т.е.
a1  a2  ...  a j  ...  ak  0 , a0  y ;
- альтернативная гипотеза H 1 допускает то, что по крайней мере
один из коэффициентов статистически значимо отличен от нуля.
Если нулевая гипотеза будет отвергнута, когда она справедлива, то этот
случай называется ошибкой первого рода, а его вероятность обозначается α .
Обычно в экономических исследованиях принято α  0 ,05 .
Расчетное значение F-критерия определяется аналогично вычислению
коэффициента детерминации при усреднении делением числителя и знаменателя на число степеней свободы:
2

S фак
 S 2рас / k
,
F 2
S фак /  N  k  1
где k - число независимых переменных в уравнении регрессии;
N - число наблюдений.
Для проверки гипотезы H 0 рассчитанное значение F сравнивается с
выбранным из таблицы F-распределения Фишера значением FT для вероятности ошибки первого рода α  0 ,05 и степеней свободы k и N  k  1 .
Если F  FT , то нулевая гипотеза отвергается.
Если F  FT , то нулевая гипотеза принимается и качество уравнения
регрессии плохое.
3.5. Экономический анализ на основе уравнений регрессии
Уравнения регрессии используются для анализа экономических показателей и их взаимосвязей следующим образом:
- для интерпретации полученных коэффициентов уравнения регрессии;
- при изучении вклада факторов в изменение результирующего показателя;
- для прогнозирования результатов экономической деятельности.
Интерпретация полученных коэффициентов уравнения регрессии
позволяет определить:
- влияние фактора на результат при неизменной величине других факторов за счет учета знака коэффициента при этом факторе;
- влияние неучтенных факторов на результирующий показатель через
свободный член (коэффициент) уравнения регрессии.
63
Рассмотрим процедуру изучения вклада факторов в изменение результирующего показателя.
Вклад каждого фактора в изменение результирующего показателя определяется с помощью метода цепной подстановки факторов следующим образом:
- определяют общий прирост результата в отчетном периоде по сравнению с базовым
Δy  y0  yБ ,
где y0 - значение результирующего показателя в отчетный период;
y Б - значение результирующего показателя в базовый период;
- в уравнение регрессии для базового периода
y Б  a0  a1  x1  Б   a2  x2  Б   ...  ak  xk  Б 
подставляют значения факторов для отчетного периода по одному
y1  a 0  a1  x1 O   a 2  x 2  Б   ...  a k  x k  Б  ,
y 2  a 0  a1  x1  Б   a 2  x 2 O   ...  a k  x k  Б  ,
                                      
y k  a 0  a1  x1  Б   a 2  x 2  Б   ...  a k  x k O  ;
- определяют прирост результата под действием каждого из факторов
y1  y1  y Б  a1 x1 O   x1  Б  ,
y 2  y 2  y Б  a 2 x 2 O   x 2  Б  ,
                             
y k  y k  y Б  a k x k O   x k  Б  ;
- определяют долю каждого фактора в приросте результата
Δy j
j  1,k ,
δj 
,
Δy
k
где Δy   Δy j  y0  y Б .
j 1
Прогнозирование результатов экономической деятельности с помощью уравнения регрессии производится при следующих условиях.
Уравнения регрессии, отражающие действующие в прошлые периоды
времени тенденции развития, можно использовать для прогнозирования результатов экономической деятельности при условии сохранения этих
тенденций в будущем. Для этого определяются перспективные значения
факторов и рассчитывается по уравнению регрессии прогнозируемое значение результатов экономической деятельности.
Выводы по третьему разделу
64
Задача регрессионного анализа состоит в определении случайной величины результата, если случайные величины факторов, от которых статистически зависит этот результат, приняли конкретные значения. Для этого корреляционную зависимость результата от факторов требуется отобразить с
помощью функциональной зависимости, которая представляется уравнением
регрессии. Необходимо определить такой вид и параметры уравнения регрессии, при которых наиболее точно осуществляется такое представление.
Для расчета коэффициентов линейного уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов. Надежность рассчитанных коэффициентов оценивается с помощью коэффициента частной корреляции или с помощью t-критерия (критерия Стьюдента). Качество уравнения регрессии характеризуется коэффициентом корреляции или с помощью критерия Фишера.
Экономический анализ на основе уравнений регрессии проводится посредством интерпретации полученных коэффициентов этих уравнений, определения вклада факторов в изменение результирующего показателя, а также
прогнозирования результатов экономической деятельности.
Вопросы для самопроверки
- Что представляют собой статистические данные и как они могут быть
представлены в табличном виде?
- Что такое корреляционная зависимость?
- Для чего служит уравнение регрессии?
- Чем различаются парная и множественная корреляция?
- Какие этапы необходимо реализовать при проведении регрессионного
анализа?
- Для расчета коэффициентов какого вида уравнения регрессии может
быть использован метод наименьших квадратов?
- Как определяются регрессионные остатки и что они характеризуют?
- Почему метод называется наименьших квадратов?
- Что характеризует надежность оцениваемого коэффициента уравнения
регрессии?
- Какие показатели используются для оценки надежности коэффициентов уравнении регрессии?
- Как определяется существенный фактор в уравнении регрессии?
- На сравнении чего основана проверка качества уравнения регрессии?
- Какие показатели используются для проверки качества уравнения регрессии?
- Что означает близость к нулю или близость к единице коэффициента
корреляции?
- Каково качество уравнения регрессии, если при использовании критерия Фишера нулевая гипотеза отвергается?
65
- Каким образом используется уравнение регрессии для анализа экономических показателей и их взаимосвязей?
- С помощью какого метода определяется вклад каждого фактора в изменение результирующего показателя?
- При каких условиях уравнение регрессии, отражающее действующие в
прошедшие периоды времени тенденции развития, можно использовать для
прогнозирования результатов экономической деятельности в будущем?
Примеры решения задач
1. Построить уравнение регрессии и оценить надежность его коэффициентов с помощью коэффициента частной корреляции по следующим данным:
№ наблюдения
x 1 i 
x 2 i 
y i 
i 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
24,69
8,00
29,41
19,14
39,84
18,77
26,14
22,28
26,01
22,35
21,96
34,91
41,05
1,27
44,39
18,02
45,29
30,09
47,39
37,19
1,59
2,41
2,71
1,48
0,03
3,80
0,67
4,59
3,51
0,24
2,54
0,31
2,54
4,02
4,87
2,92
4,28
0,26
2,52
2,06
4,85
7,94
1,12
7,60
6,21
2,33
4,97
5,33
4,10
5,43
0,39
3,57
4,04
9,59
5,41
7,67
2,91
4,52
4,09
3,23
Решение.2
Рассчитываются промежуточные данные, необходимые для составления
системы уравнений, с помощью которой определяются коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших квадратов.
20

i 1
2
y i 
20
 x 1 i 
i 1
Вычисления производились на ПК с помощью Excel
20
 x 2 i 
i 1
66
558,19
20

i 1
y i   x 1 i 
1297,99
20
47,35
20
95,30
 x 12 i 
 x 1 i   x 2 i 
156,59
223,90
i 1
i 1
20

i 1
y i   x 2 i 
2400,81
20
 x 22 i 
i 1
554,32
20
20
20

a

20

a

x

a

x

y i 



1
1 i 
2
2 i 
 0
i 1
i 1
i 1

20
20
20
20

2
a

x

a

x

a

x

x

 y i   x 1 i 
 0  1 i 
1  1 i 
2  1 i 
2 i 
i

1
i

1
i

1
i 1


20
20
20
20
a 0   x 2 i   a 1   x 1 i   x 2 i   a 2   x 22 i    y i   x 2 i 

i 1
i 1
i 1
i 1
 20  a 0  47 , 35  a 1  95, 3  a 2  558,19

47 , 35  a 0  156,59  a 1  223,9  a 2  1297,99

95, 3  a 0  223,9  a 1  554, 32  a 2  2400,81
Решается составленная система линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
47 ,35
95,3   a 0   558,19 
 20

   


   

 47 ,35 156,59 223,9    a 1    1297,99 

   

 95,3 223,9 554,32   a   2400,81 


  2 
47 , 35
95, 3 
 a 0   20
  

  


a
47
,
35
156
,
59
223
,
9
1
  

  

 a   95, 3 223,9 554, 32 

 2 
1
 558,19 




  1297,99  


 2400,81 


 0 ,41  0 ,06  0 ,05   558,19   41,76 

 
 


 
 

   0 ,06 0 ,02
0    1297,99     0 ,63 

 
 





  0 ,05

2400
,
81

2
,
59
0
0 ,01  
 


67
Искомое уравнение регрессии
y  41,76  0 ,63  x 1  2,59  x 2
Рассчитываются промежуточные данные, необходимые для оценивания
надежности коэффициентов полученного уравнения регрессии с помощью
коэффициента частной корреляции.
y 2 расчi  
 41,76  0 ,63  x1 i   2,59  x 2 i 
№
наблюдения
i 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y 1 расчi  
 41,76  0 ,63  x 1 i 
28,18
19,64
37,15
21,11
25,63
33,33
28,45
25,05
28,92
27,52
39,15
32,30
29,68
14,35
24,66
20,02
31,52
29,87
29,57
32,09
20


2
 2202,94


2
 5935, 37
S   y i   y 2 расчi 
2
2
i 1
20
S 12   y i   y 1 расчi 
i 1
Рассчитывается коэффициент частной корреляции
S 12  S 22
ry 1 2 
 0 ,79
S 12
40,76
40,25
40,06
40,83
41,74
39,37
41,34
38,88
39,56
41,61
40,17
41,57
40,17
39,23
38,70
39,93
39,07
41,60
40,18
40,47
68
2. С помощью коэффициента корреляции оценить качество уравнения
регрессии y  2,1  1, 33  x 1  0 , 29  x 2 , построенного по следующим
данным:
№ наблюдения
x 1 i 
x 2 i 
y i 
i 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,60
0,86
0,43
0,12
0,66
0,15
0,67
0,20
1,00
0,20
0,63
0,28
0,08
0,48
0,88
0,13
0,63
0,02
0,07
0,41
1,14
1,04
1,23
1,68
1,11
1,60
1,10
1,50
1,00
1,50
1,12
1,37
1,86
1,20
1,03
1,67
1,12
2,72
1,93
1,25
0,17
0,12
0,23
0,80
0,15
0,65
0,15
0,50
0,10
0,51
0,16
0,35
1,20
0,21
0,11
0,77
0,16
5,44
1,37
0,24
Решение.3
Рассчитываются промежуточные данные, необходимые для определения
коэффициента корреляции.
y фак 
3
1 20
  y i   0 ,43
20 i  1
Вычисления производились на ПК с помощью Excel
69
№ наблюдения i 
y расчi  
 2,1  1,33  x 1 i   0 ,29  x 2 i 
y i   y фак
y i   y расчi 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,63
0,75
0,53
0,10
0,67
0,16
0,68
0,25
0,80
0,25
0,66
0,38
-0,03
0,56
0,76
0,10
0,66
0,06
-0,07
0,51
0,18
0,44
0,00
-0,31
0,24
-0,28
0,25
-0,23
0,58
-0,23
0,21
-0,15
-0,35
0,05
0,46
-0,30
0,21
-0,41
-0,36
-0,02
0,03
-0,11
0,10
-0,02
0,01
0,01
0,01
0,05
-0,20
0,05
0,03
0,10
-0,11
0,08
-0,12
-0,03
0,03
0,04
-0,14
0,10
S
2
фак

1 20

  y i   y фак
20 i  1
2
S расч



2
1 20
  y i   y расчi 
20 i  1
 0 ,09

2
 0 ,01
Рассчитывается коэффициент корреляции
2
2
S фак
 S расч
r
 0 ,96
2
S фак
Задания для самостоятельной работы
Рассчитать уровень производительности труда на плановый период, если
годовая выработка на одного рабочего и энерговооруженность на 14 предприятиях объединения характеризуются данными, приведенными в таблице.
В планируемом периоде предполагается довести уровень энерговооруженности на рабочего до 7,5 квт.
70
В ответах для каждого варианта указать величину производительности
труда при планируемой энерговооруженности. Оценить качество полученных
уравнений регрессии.
Решить варианты задачи для следующих исходных данных:
Вариант № 1
Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Производительность труда,
тыс. руб. на 1 рабочего
6,7
6,9
7,2
7,3
8,4
8,8
9,1
9,8
10,6
10,7
11,1
11,8
12,1
12,4
Энерговооруженность,
квт на 1 рабочего
2,8
2,8
3,0
2,9
3,4
3,9
4,0
4,8
4,9
5,2
5,4
5,5
6,2
7,0
Производительность труда,
тыс. руб. на 1 рабочего
6,8
6,9
7,2
7,5
8,5
8,8
9,2
9,8
10,6
10,9
11,1
11,9
12,2
12,4
Энерговооруженность,
квт на 1 рабочего
2,8
2,8
3,0
3,1
3,5
3,9
4,1
4,8
4,9
5,3
5,4
5,7
6,5
7,0
Вариант № 2
Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
71
Вариант № 3
Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Производительность труда,
тыс. руб. на 1 рабочего
6,7
6,8
7,2
7,6
8,6
8,8
9,3
9,8
10,6
11,0
11,1
12,0
12,3
12,4
Энерговооруженность,
квт на 1 рабочего
2,8
2,8
3,0
2,9
3,6
3,9
4,2
4,8
4,9
5,3
5,4
5,9
6,8
7,0
Производительность труда,
тыс. руб. на 1 рабочего
6,8
6,9
7,2
7,7
8,7
8,8
9,4
9,8
10,6
10,9
11,1
11,9
12,2
12,4
Энерговооруженность,
квт на 1 рабочего
2,8
2,8
3,0
3,1
3,7
3,9
4,3
4,8
4,9
5,3
5,4
5,7
6,5
7,0
Вариант № 4
Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
72
Вариант № 5
Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Производительность труда,
тыс. руб. на 1 рабочего
6,7
6,8
7,2
7,8
8,6
8,8
9,5
9,8
10,6
11,0
11,1
12,0
12,3
12,4
Энерговооруженность,
квт на 1 рабочего
2,8
2,8
3,0
3,2
3,6
3,9
4,4
4,8
4,9
5,3
5,4
5,9
6,8
7,0