РАЙОННЫЙ ОТДЕЛ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГАГИНСКОГО

РАЙОННЫЙ ОТДЕЛ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ГАГИНСКОГО РАЙОНА
КАКИНСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
ФИЛИАЛ МБОУ ИТМАНОВСКОЙ СОШ
«Способы решения
квадратных уравнений»
Выполнила:
ученица 8 класса
Егменова Яна
Руководитель: учитель математики
Шумилова С.А.
с.Какино
2013 г.
Введение…………………………………………………………………………...2
1. Из истории квадратных уравнений
1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………..3
1.2. Квадратные уравнения в Индии……………………………………...4
1.3. Квадратные уравнения у Ал-Хорезми………………………………4
1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв……………………...5
2. Квадратное уравнение и его виды……………………………………………6
3. Различные способы решения квадратных уравнений.
3.1. Способы решения неполных квадратных уравнений……………….7
3.2. Разложение левой части уравнения на множители………………….7
3.3. Метод выделения полного квадрата………………………………….7
3.4. Решение квадратных уравнений по формуле………………………..8
3.5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета……………10
3.6. Решение уравнений способом переброски…………………………11
3.7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………12
3.8. Графическое решение квадратного уравнения……………………..14
3.9. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки..15
3.10. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы…….19
3.11. Геометрический способ решения квадратных уравнений……….21
Заключение……………………………………………………………………….23
Литература……………………………………………………………………….24
Приложение 1.
Приложение 2.
Введение
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в
целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое
значение для познания естественных законов, но и служит практическим
целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов
уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс
уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью
элементарных функций.
В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных
уравнений, и
отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем,
современные научно – методические исследования показывают, что
использование разнообразных методов и способов позволяет значительно
повысить эффективность и качество изучения решений
квадратных
уравнений.
Необходимо верно и рационально решать квадратные уравнения. Так
как в некоторых случаях можно их
решать устно, только для этого
необходимо помнить алгоритм решения квадратных уравнений, который
может пригодиться на государственной итоговой аттестации , при
поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.
Таким
образом,
возникает
необходимость
изучения
этих
дополнительных способов решения. Все сказанное выше определяет
актуальность темы выполненной работы.
Цель моей работы
- научиться решать квадратные уравнения,
применяя рациональные и нестандартные методы их решения.
Задачи:
1) Познакомиться с историей квадратных уравнений;
2) Рассмотреть определение квадратного уравнения и его виды;
3) Ознакомиться со способами решения квадратных уравнений, изучив
дополнительную литературу.
Объект:
Квадратные
уравнения
и
уравнения,
приводящие
к
квадратным.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
Методы исследования: теоретические
- изучение специальной
литературы, Internet -информации; практические - решение;
1. Из истории квадратных уравнений
1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Квадратное уравнение - это фундамент, на котором построено огромное
здание алгебры.
История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи,
связанные с квадратными уравнениями, решались ещё в Древнем Египте,
Индии, Китае и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует
математиков всех времён и народов.
Необходимость решать
уравнения не только первой, но и второй
степени возникла ещё в древности и была вызвана потребностью решать
задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с
земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и
самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до
н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно
сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных
квадратных уравнений и
полные
уравнения. Правило решения этих
уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с
современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до
этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты
приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без
указаний
относительно
математических
текстах,
того, каким
образом
выполненных
они
были
клинописью
на
найдены. В
глиняных
пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений
с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом
вавилоняне также не использовали букв, а приводили решение «типовых»
задач, из которых решение аналогичных задач получались заменой числовых
данных. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в
клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общее
методы решения квадратных уравнений.
1.2. Квадратные уравнения в Индии.
Задачи
на
квадратные
уравнения
встречаются
уже
в
астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г.
индийским
математиком
и
астрономом
АРИБХАТТОЙ.
Другой
индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило
решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической
форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и
отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с
современным решением.
публичные
В
соревнования
в
древней
ИНДИИ
решении
трудных
были
задач.
распространены
В
одной
из
старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований
следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый
человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая
алгебраические задачи».
Задачи часто облекались в стихотворную форму.
1.3. Квадратные уравнения у Ал-Хорезми
В алгебраическом
линейных
и
трактате
квадратных
ал-Хорезми
уравнений. Автор
дается
классификация
насчитывает 6
видов
уравнений.
Основная
идея
для
ал-Хорезми,
избегавшего
употребления
отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не
вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у
которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения
указанных уравнений, пользуясь приемами ал-Джабр и ал-Мукабала. Его
решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже
не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить,
например, что при решении неполного квадратного уравнения первого
вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII века., не учитывает
нулевого
решения, вероятно, потому, что в
конкретных
практических
задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных
уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила
решения, а затем их геометрические доказательства.
1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в
Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г.
итальянским
математиком
Леонардо
Фибоначчи. Автор
разработал
самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач
и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга
способствовала распространению алгебраических знаний не только в
Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие
задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники
XVI-XVII вв. и частично XVIII в.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому
каноническому виду х2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков
коэффициентов
b, с
было сформулировано в Европе лишь в 1544 г.
М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется
у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские
математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают,
помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря
трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения
квадратных уравнений принимает современный вид.
2. Квадратное уравнение и его виды
Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где
коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём а≠0.
Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший
коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член,
свободен от переменной х.
Пример: 5х²+7х+3=0 (а=5, b=7, c=3.)
8х-3х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5.)
-3+7х+8х²=0 (а=8, b=7, с=-3.)
Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как
его левая часть есть многочлен второй степени.
Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором
присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого
коэффициенты b и с отличны от нуля.
Квадратное уравнение ax 2  bx  c  0 называют неполным, если хотя бы
один из коэффициентов b или c равен нулю. Таким образом, неполное
квадратное уравнение есть уравнение одного из следующих видов:
1) ах2=0, b=0, c=0
2) ax2+c=0, b=0
3) ax2+bx=0, c=0
Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент
равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший
коэффициент отличен от 1.
х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения
3. Различные способы решения квадратных уравнений.
3.1. Способы решения неполных квадратных уравнений
1) если b = 0 и c = 0 , то уравнение принимает вид ax2=0, значит х2=0, откуда
x =0.
с
a
2) если b = 0, то уравнение принимает вид ax2+c=0 , откуда x =  ,
2
тогда x1  
с
,
a
x2   
с
.
a
3) если с = 0 , то уравнение принимает вид ax2+bx=0 , вынесем x за скобки,
получим
b
a
x(ax+b)=0, откуда-либо x = 0, либо x =  .
3.2. Разложение левой части уравнения на множители
Данный способ рассмотрим на примере: решить уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей
равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а
также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями
уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
3.3. Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0
Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение
х2 + 6х в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2· х ·3.
В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе –
удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат,
нужно прибавить 32, так как х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней
и вычитая 32. Имеем: х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7
= (х + 3)2 – 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.
3.4. Решение квадратных уравнений по формуле
Выведем формулу для решения полных квадратных уравнений:
2
Сначала разделим обе части уравнения ax  bx  c  0 на a  0 - от этого
Его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения
x2 
b
c
x 0
a
a
выделим в левой части полный квадрат
x2 
b
c
b
b
b
c
b
b2 c
b
b 2  4ac
x   ( x2  2 
x  ( )2 )  ( )2   ( x  )2  2   ( x  )2 
.
a
a
2a
2a
2a
a
2a
4a a
2a
4a 2
2
Для краткости обозначим выражение b  4ac через D. Тогда полученное
выражение принимает вид:
x2 
b
c
b
D
x   ( x  )2  2 .
a
a
2a
4a
Возможны 3 случая:
a) Если число D положительно(D>0), то в этом случае можно извлечь из D
D
( D )2
D 2

(
)
2
2
2
D

(
D
)
4
a
(2
a
)
2
a
квадратный корень и записать D в виде
.Тогда
,
И потому тождество
x2 
b
c
b
D
x   ( x  )2  2 .
a
a
2a
4a принимает вид
x2 
b
c
b
D 2
x   ( x  )2  (
)
a
a
2a
2a .По формуле разности квадратов выводим:
x2 
b
c
b
D
b
D
b  D
b  D
x   (x 

)( x 

)  (x 
)( x 
)
a
a
2a 2a
2a 2a
2a
2a
.
2
В силу теоремы (Если выполняется тождество x  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) ,
2
то квадратное уравнение x  bx  c  0 при x1  x2 имеет два корня x1 и x2 ,
а при x1  x2 - лишь один корень x1 ) из тождества
x2 
b
c
b
D
b
D
b  D
b  D
x   (x 

)( x 

)  (x 
)( x 
)
a
a
2a 2a
2a 2a
2a
2a
Следует, что уравнение
x2 
b
c
x 0
2
a
a
а значит и уравнение ax  bx  c  0
Имеет два корня:
x1 
b  D
b  D
x2 
2a
2a
,
.
Обычно эти корни записывают одной формулой.
x1,2 
b  D
2a
.
Пример.
2
Решим уравнение 4 x  7 x  3  0 .
Решение.
2
В данном случае a=4, b=-7, c=3 и, потому, D  (7)  4  4  3  49  48  1 .
Значит,
x1,2 
(7)  1 7  1
78
7 1 3

x1 
 1 x2 

8
8
4.
24
8 . Имеем
,
3
;1
Ответ: 4
б) Если число D равно нулю, то тождество
x2 
b
c
b
D
x   ( x  )2  2 .
a
a
2a
4a
принимает
Вид
b
c
b
x   ( x  )2
a
a
2a . Отсюда следует, что при D=0 уравнение
x2 
ax  bx  c  0
2
x1,2 
имеет один корень
x1  
b
2a . Его можно получить по формуле
b  D
2a
, положив в ней D=0.
Пример.
2
Решим уравнение 4 x  12 x  9  0 .
Решение.
2
2
Имеем a=4, b=12, c=9 и поэтому D  b  4ac  12  4  4  9  0 .
Значит,
Ответ:
x1  

b
12
3


2a
24
2.
3
2.
Уравнения, где D=0, можно решить путем собирания по формуле
квадрата суммы или разности, в зависимости от знака переменной b.
Пример.
2
Решим уравнение 9 x  24 x  4  0 .
Решение.
2
Соберем по формуле квадрат суммы и получим (3x  2)  0 .
Получаем 3x  2 , а отсюда
x1 
2
3.
3
Ответ: 2 .
в) Если число D отрицательно (D<0), то –D>0, и потому, выражение
x2 
b
c
b
D
x   ( x  )2  2 .
a
a
2a
4a является суммой двух слагаемых, одно из
которых неотрицательно(больше или равно нулю), а другое положительно.
Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение
x2 
b
c
x 0
a
a
не имеет действительных корней.
2
Не имеет корней и уравнение ax  bx  c  0 .
Пример.
2
Решим уравнение x  4 x  7  0 .
Решение.
2
Имеем a=1, b=4, c=7 и поэтому D  4  4 1 7  16  28  12 . D<0, следовательно
уравнение не имеет действительных корней.
3.5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета
Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену.
Доказательство. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим
второй коэффициент буквой р, а свободный член – буквой q:
x 2  px  q  0 .
Дискриминант этого уравнения D=p2 - 4q
Пусть D > 0. Тогда это уравнение имеет два корня:
x1 
 p D
 p D
x2 
2
2
и
.
Найдем сумму и произведение корней:
x1  x 2 
 p  D  p  D  2p


 p
2
2
2
;
 p  D  p  D  p  
x1  x2 


2
2
4
2
 D
2


p 2  p 2  4q
4q


q
4
4
.
Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого
французского математика Франсуа Виета.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней
произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Пусть квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2.
Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид:
x2 
b
c
x 0
a
a
.
Тогда по теореме Виета
x1  x 2  
b
c
x1  x 2 
a,
a.
3.6. Решение уравнений способом переброски
Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2 х2 + а bх + ас = 0.
Пусть
ах = у, откуда
х =
у
;
а
тогда приходим к уравнению
у2 + by + ас = 0,равносильного данному. Его корни у1 и у2
помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1=
этом способе коэффициент
а
у1
а
и х2 =
найдем с
у2
. При
а
умножается на свободный член, как бы
«перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».
Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения,
используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть
точный квадрат.
Рассмотрим на примере:
Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим
уравнение у2 – 11y +30 = 0.
Согласно теореме Виета у1=6, у2=5. Тогда х1= =3, х2= =2,5.
Ответ: 2,5;3.
3.7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения
А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то
х1 = 1, х2 =
с
.
а
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим
приведенное квадратное уравнение
х2 +
b
с
х+
= 0.
c
а
Согласно теореме Виета
b

 х1  х2   a

х х  с
 1 2 а
По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,
ac
c

 х1  х2   a  1  a

х х  1 с
 1 2
а
Получаем х1 = 1, х2 =
с
, что и требовалось доказать.
а
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = –
Доказательство. По теореме Виета
b

 х1  х2   a

х х  с
 1 2 а
По условию а – b + с = 0, или b = а + с.
с
.
а
ас
c

 х1  х2   a  1  a

 х х2  1    a ,
 1
 c
Таким образом
т.е. х1 = – 1 и х2 =
с
, что и требовалось доказать.
а
Примеры
1. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Т. к. а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 =
Ответ: 1; –
с
 208
=
.
а
345
208
.
345
2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а – b + с = 0 (132 – 247 +115=0), то х1= - 1, х2= Ответ: - 1; -
.
Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней
х1,2
b  b2  4ac
k  k 2  ac
2a
a
=
можно записать в виде х1,2 =
Пример
Решим уравнение 3х2 – 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7;
D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;
х 1,2=
 k  D 7  1 7 1
8


; х1  2, х2  .
a
3
3
3
Ответ: 2;
8
.
3
В. Приведенное уравнение x2 + px + q = 0 совпадает с уравнением общего
вида, в котором а = 1, b = p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного
уравнения формула корней х1,2
b  b2  4ac
2a
=
2
принимает вид: х1,2
p
 p
 p  p 2  4q
    q.
,
2
=
или х1,2 = - 2  2 
.
Эту формулу особенно удобно использовать, когда p – четное число.
Примеры
Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.
Решение. Имеем: х1,2 = 7± 49  15 = 7± 64 = 7±8.
Ответ: х1 = 15, х2 = – 1 .
3.8. Графическое решение квадратного уравнения
Если в уравнении x2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую
часть, то получим x2 = – px – q .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q .
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.
График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи:
- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек
пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение
имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не
имеет корней.
у
у=х2
у = - рх - q
х1
х2
1.Решим графически уравнение
х2 – 3х – 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4
Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.
х
Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и
х2 = 4.
у
у=х2
у = - 3х + 4
-1
4
х
Ответ: х1 = – 1 , х2 = 4 .
3.9. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы
неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени,
и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Изучая литературу, я познакомилась со способом
квадратного уравнения
нахождения корней
ах2 + bх + с = 0
с помощью циркуля и линейки.
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в
точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения
с
а
ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0; ) на
оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ·ОD = ОА · ОС, откуда
ОС =
ОВ  ОD х1  х2 с

 .
ОА
1
а
у
С(0;
c
)
а
S (
b ac
)
;
2a 2a
А(0; 1)
К
В(х1, 0)
D(х2, 0)
х
Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров
SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому
с
b
1

у

у
х1  х2
b
2
а  ас .

SK =
 а   , SF = 1
2
2
2а
2
2
2а
Итак:
1) построим точки S( 
b ас
;
) (центр окружности) и А (0;1);
2а 2 а
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются
корнями квадратного уравнения.
При этом возможны три случая:
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>
ас
),
2а
окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х1 ; 0) и D (х2 ;0), где
х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R =
ас
),
2а
окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х1 ; 0 ), где
х1 – корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R <
ас
),
2а
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае
уравнение не имеет решения.
У
у
у
S
S
S
А
А
1.
1.
х.
А 1
х
В
х1
В
х2
а)
В
б)
а) AS > SВ,
или R >
х1
в)
б) AS = SВ,
ас
.
2а
Два решения х1 и х2.
или R =
в) AS < SВ,
ас
.
2а
или R <
Одно решение х1.
ас
.
2а
Нет решения.
Примеры
1.Решим графически уравнение х2 – 2х – 3 = 0.
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х=–
у=
b
2

 1,
2a
2 1
ас
=
2а
1 3
 1.
2 1
Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).
у
1А
-1
3
S(1; - 1)
Ответ: х1 = – 1 , х2 = 3 .
2. Решим уравнение х2 – 5х + 4 = 0.
х
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х=–
у=
b
5

 2,5,
2a
2 1
ас
=
2а
1 4
 2,5.
2 1
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).
у
Ответ: х1 = 1 , х2 = 4 .
S(2,5; 2,5)
1 А
1
4
х
3. Решим уравнение х2 +4х + 4 = 0.
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х=–
b
4

 2,
2a
2 1
у=
ас
=
2а
1 4
 2,5.
2 1
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).
у
S ( - 2; 2,5)
А
-2
х
А
4. Решим уравнение х2 – 2х + 3 = 0.
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х=–
b
2

 1,
2a
2 1
у=
ас
=
2а
3 1
 2.
2 1
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).
у
S(1; 2)
А
х
Ответ: уравнение не имеет решения.
3.10. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных
уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначных математических таблиц»
Брадиса - Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q =
0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его
коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:
а
ОВ =
,
1 z
 z2
АВ =
.
1 z
Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН
и СDF получим пропорцию
pq
a
, откуда после подстановок и

p  AB OB
упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает
метку любой точки криволинейной шкалы.
p
О
q
В
F
H
C
Е
D
A
Примеры
1. Для уравнения z2 – 9z + 8 = 0
номограмма дает корни z1 = 8, 0 и
z2 = 1, 0
2. Решим с помощью номограммы
уравнение 2z2 – 9 z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого
уравнения на 2, получим
уравнение z2 – 4, 5 + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и
z2 = 0,5.
3. Для уравнения z2 + 5 z – 6 = 0
номограмма дает положительный
корень z1 = 1,0, а отрицательный
корень находим, вычитая
положительный корень из – р, т.е.
z2 = – р – 1 = – 5 – 1 = – 6,0
3.11. Геометрический способ решения квадратных уравнений
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра,
квадратные
уравнения
решали
не
алгебраически,
а
геометрически.
Рассмотрим ставший знаменитым пример из «Алгебры»
ал-Хорезми:
«Квадрат и десять корней равны 39». Решение этой задачи сводится
к
решению уравнения х2 + 10х = 39.
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся
1
2
прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 ,
1
2
следовательно, площадь каждого равна 2 х
дополняют затем до нового квадрата АВСD,
. Полученную фигуру
достраивая в углах четыре
1
1
равных квадрата, сторона каждого из них 2 , а площадь 6 .
2
4
D
x
6 .
1
4
2 х
6 .
1
2
x2
2 х
1
4
2 х
2 х
6 .
A
1
2
C
1
2
х
1
4
1
2
1
4
6 .
B
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей:
первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников
1
2
1
4
(4 ∙ 2 х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6  4  25 ), т.е.
S = х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64,
откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для
искомой стороны х первоначального квадрата получим
х=8–2
1
1
–2 =3
2
2
2. А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у – 16 = 0.
Решение представлено на рис., где у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9,
(y +3)2= 25. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.
у
3
3у
у
2
3у
9
Заключение
В своём исследовании о квадратных уравнениях я открыла для себя
много интересного и нового. Например, я узнала о том, что ещё в древности
люди пользовались ими, не зная, что это квадратные уравнения. В наше
время невозможно представить себе решение, как
простейших, так и
сложных задач не только в математике, но и в других точных науках без
применения решения квадратных уравнений.
На уроках алгебры я познакомились с 4 способами решения квадратных
уравнений: при помощи разложения левой части уравнения на множители,
методом выделения полного квадрата, с применением формул и теоремы
Виета. В ходе моего исследования я узнала ещё 6 интересных способов. Из
этих способов мне хотелось бы освоить решение уравнений способом
переброски и метод с использованием свойств коэффициентов квадратного
уравнения.
Основным
рационального
в
решении
квадратных
уравнений
является
выбор
способа решения. В процессе исследования я составила
таблицу (см. Приложение 1), которая поможет не только мне, но и моим
одноклассникам,
найти этот рациональный способ. Также я подобрала
квадратные уравнения для освоения различных способов решения (см.
Приложение 2).
В дальнейшем мне хотелось бы полученные знания применять на
практике при решении квадратных уравнений на уроках алгебры, геометрии,
физики, используя при этом различные способы.
Работа над этой темой в дальнейшем окажет
мне
помощь
подготовке к итоговой аттестации за курс основной школы.
при
Литература
1.
Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов,
Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2003.
2.
Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для
общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
3.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы:
Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
4.
Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
5.
Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй
школы. – м., просвещение, 1990
6.
Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства.
Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
7.
Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и
линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
8.
Дидактические материалы по алгебре.
М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97,
24/97, 40/2000.
Приложение 1.
неприведённое
полное
ах2 + bx +c = 0
x1, 2 
Квадратное уравнение
Формула для
приведённое
решения
х2 + рх +q = 0
 b  b 2  4ac  b  D
2a
b=2k
х1,2
неполное
ах2 + с = 0;
ах2 + bx = 0;
ax2 = 0

2a
k  k 2  ac
a
=
x1  
с
с
, x2   
a
a
b
a
х1=0, х2 =  .
х=0
;
р=2k
х2 + q = 0;
х2 + рx = 0;
x2 = 0
Формула для
решения
2
x1, 2  
p
 p
   q
2
2
x1, 2  k  k 2  q
x1  q , x2   q
х1=0, х2 = - p.
x=0
Приложение 2.
1. Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на
множители:
а) х2 – х = 0;
б) х2 + 2х = 0;
в) 3 х2 – 3х = 0;
г) х2 – 81 = 0;
д) 4 х2 –
е) х2 – 4х + 4 = 0;
ж) х2 + 6х + 9 = 0;
з) х2 + 4х +3 = 0;
и) х2 + 2х – 3 = 0.
1
= 0;
144
2. Решите уравнения по формуле:
а) 2х2 – 5х + 2= 0
б) 6х2 + 5х + 1=0
в) 3х2 – 7х – 1 = 0
г) 4х2 – 12х +9 = 0
д) 10х2 – 6х + 0,9 = 0
е) 2х2 – 3х + 2 = 0
3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:
1) х2 – 2х – 15 = 0
2) х2 + 2х – 8 = 0
3) х2 + 10х + 9 = 0
4) х2 – 12х + 35 = 0
5)3 х2 +1 4х + 16 = 0
6) х2 – 5х + 6 = 0
7) х2 – 2х + 1 = 0
8) х2 + 4х + 4 = 0
9) х2 – 6х + 9 = 0
10) 4х2 + 7х – 2 = 0
11) 5х2 – 9х – 2 = 0
12) х2 – 11х + 15 = 0
4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:
1)
2)
3)
4)
2х2 – 9х +9 = 0
10х2 – 11х + 3 = 0
3х2 +11х +6 = 0
4х2 +12х + 5 = 0
5) 3х2 + х – 4 = 0
6) 5х2 – 11х + 6 = 0
7) 2х2 + х – 10 = 0
8) 6х2 +5х – 6 = 0
5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:
1) 5х2 – 7х + 2 = 0
2) 3х2 + 5х – 8 = 0
5) 839х2 – 448х – 391 = 0
6) 939х2 + 978х +39 = 0
3) 11х2 + 25х – 36 = 0
4) 11х2 + 27х +16 = 0
7) 313х2 + 326х + 13 = 0
8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0
6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:
2) 4х2 – 36х + 77 = 0
3) 15х2 – 22х – 37 = 0
3) 4х2 + 20х + 25 = 0
4) 9х2 – 12х + 4 = 0
7. Решите приведенные квадратные уравнения по формуле:
1) х2 – 8х – 9 = 0
2) х2 + 6х – 40 = 0
3) х2 + 18х + 81 = 0
4) х2 - 56х + 64 = 0
8. Решите графически уравнения:
1) х2 – х – 6 = 0;
4) х2 – 2х – 3 = 0;
2) х2 – 4х + 4 = 0;
5) х2 + 2х – 3 = 0;
3) х2 + 4х +6 = 0;
6) 4х2 – 4х – 1 = 0.
9. Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:
1) х2 – 3х + 2 = 0;
2) х2 – 3х – 10 = 0;
3) х2 +4х + 3 = 0;
4) 2х2 – 7х + 5 = 0;
5) х2 – 6х + 9 = 0;
6) х2 +4х + 5 = 0.
10. Решите с помощью номограммы уравнения:
1) z2 – 7z + 6 = 0;
2) z2 + 5z + 4 = 0;
3) z2 – 4z + 4 = 0;
4) z2 – z – 6 = 0 ;
5) z2 – 11z + 18 = 0;
6) z2 – 2z + 3 = 0.