Электив Задачи с параметрамиx

Оглавление
Пояснительная записка. .................................................................................................................... 2
Содержание программы................................................................................................................... 7
Учебно-тематический план............................................................................................................... 9
Методические материалы. ............................................................................................................. 11
Линейные уравнения. ........................................................................................................... 12
Уравнения, приводимые к линейным................................................................................. 17
Линейные и дробно-линейные неравенства...................................................................... 19
Системы линейных уравнений............................................................................................. 21
Системы неравенств. ............................................................................................................ 24
Квадратные уравнения. ........................................................................................................ 26
Взаимное расположение корней квадратного уравнения................................................ 29
Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений. ........................................ 32
Основные методы решения задач с параметрами. ........................................................... 34
Иррациональные уравнения. ............................................................................................... 40
Иррациональные неравенства............................................................................................. 47
Показательные уравнения и неравенства. ......................................................................... 49
Логарифмические уравнения и неравенства. .................................................................... 51
Тригонометрические уравнения и неравенства................................................................ 53
Примеры задач, предлагавшихся на ЕГЭ ............................................................................ 56
Литература для учителя: ................................................................................................................. 58
Литература для обучающихся: ....................................................................................................... 59
Пояснительная записка.
Основной задачей модернизации российского образования является
обеспечение нового качества школьного образования, соответствующего
требованиям изменившейся системы общественных отношений и ценностей.
Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение
определена Правительством России в “Концепции модернизации
российского образования на период до 2010 г.”, где ставится «задача
создания специализированной подготовки (профильного обучения) в
старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на
индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с
учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы
профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями
начального, среднего и высшего профессионального образования».
В свете профилизации и модернизации школьного образования возникла
необходимость создания элективного курса «Задачи с параметрами» для
развития целостной математической составляющей картины мира и для
расширения возможностей учащихся по свободному выбору своего
образовательного пути.
В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном
курсе алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко,
бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. На экзаменах
прошлых лет в общеобразовательных классах, как правило, задачи с
параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только
частично. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с
параметрами учащимся неизвестны. Причиной является отсутствие базы,
поскольку существующие учебные программы по математике и тематические
планирования к ним (в том числе и тематические планирования учебных
программ обучения математике на профильном уровне) явно не
предусматривают обучение решению задач с параметрами.
Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с
приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю.
Настоящая программа предназначена для старшей школы в
общеобразовательных классах, классах физико-математического и
естественно-математического профиля, что позволяет организовать
систематическое изучение вопросов, связанных с параметрами, и рассчитана
на 34 ч.
В процессе изучения данного элективного курса старшеклассник может
познакомиться с различными методами решения задач с параметрами.
Элективный курс предусматривает не только овладение различными
умениями, навыками, приемами для решения задач, но и создает условия для
формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической
составляющих мышления. Задачи с параметрами, как правило, относятся к
наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных
учебниках по математике таких задач недостаточно. Анализ итоговых
экзаменов в школе и приемных экзаменов в ВУЗы показывают, что задачи с
параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в
логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во
многом предопределяет успешную сдачу экзаменов по математике.
Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение
вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление
реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических
задач, требующих применения высокой логической и операционной
культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое
мышление. Анализ материалов для подготовки к ЕГЭ по математике
позволил выделить группу задач, которые составили основу данного курса.
Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простейших
линейных неравенств и уравнений с параметрами до достаточно трудных,
конкурсных задач.
В процессе работы возможно перераспределение часов
в зависимости от уровня подготовки и заинтересованности учащихся.
Курс характеризуется рациональным сочетанием аналитической строгости
и геометрической наглядности. Программа мобильна, дает возможность
сокращения или увеличения количества решаемых задач по теме в
соответствии с подготовленностью и заинтересованностью учащихся.
Данный элективный курс «Задачи с параметрами» дает примерный объем
знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. Учащиеся
должны научиться решать задачи более высокой по сравнению с
обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и
интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.
Одна из целей преподавания данного курса ориентационная – помочь
осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и
оценить свои возможности. В дополнительной литературе задачам с
параметрами уделяется немало внимания, однако наблюдения показывают,
что задания с параметрами вызывают у учащихся затруднения.
Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается
использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению
задач, самостоятельные работы. Занятия должны носить проблемный
характер. Успешность усвоения курса определяется преобладанием
самостоятельной творческой работы ученика. Ученики самостоятельно или в
сотрудничестве с учителем выполняют различные задания. На занятиях
организуются обсуждения результатов этой работы.
Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к
математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету
и вызвать желание узнать больше. Формой итогового контроля может стать
зачетная работа или защита собственного проекта по теме курса.
Курс «Задачи с параметрами» сокращает разрыв между требованиями,
которые предъявляет к выпускнику школа, и требованиями, которые
предъявляет к абитуриенту ВУЗ. Он ориентирует учащихся на выбор
профиля, связанного с математикой, а в дальнейшем профессии, где
необходимы будут качественные знания по математике.
Цели курса:
•
изучение методов решения задач избранного класса и формирование
компетенций, направленных на реализацию этих методов;
•
формирование у обучающихся интереса к предмету ,развитие их
математических способностей и математической грамотности;
•
развитие познавательной деятельности, логического мышления и
навыков исследовательской деятельности
по предмету;
•
обеспечение условий для самостоятельной творческой работы;
•
ориентация обучающихся на выбор математического профиля
обучения.
Задачи курса:
•
сформировать у обучающихся представление о задачах с параметрами
как задачах исследовательского содержания, показать их многообразие;
•
научить обучающихся применению аналитических методов в решении
задач с параметрами;
•
научить обучающихся приемам выполнения изображений на плоскости
и их использованию в решении задач с параметрами;
•
научить обучающихся осуществлять выбор рационального метода
решения задач и обосновывать сделанный выбор;
•
способствовать подготовке обучающихся к ЕГЭ по математике.
Сроки реализации программы:
Программа рассчитана на обучающихся 11 классов, продолжительность
курса 34 академических часа, продолжительность обучения- 1год.
Основные принципы отбора и структурирования материала:
Элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение,
способствует развитию логического мышления, концентрации внимания и
математической культуры обучающихся, поэтому при отборе и
структурировании материала авторы руководствовались принципом «от
простого к сложному», переходя «в зону ближайшего развития»; принципом
соответствия материала спецкурса государственным стандартам по
математике; принципом сбалансированного содержания теории и практики.
Методы, формы обучения:
Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается
использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению
задач, самостоятельные работы. Занятия должны носить проблемный
характер. Успешность усвоения курса определяется преобладанием
самостоятельной творческой работы ученика. Ученики самостоятельно или в
сотрудничестве с учителем выполняют различные задания. На занятиях
организуются обсуждения результатов этой работы.
Оценка знаний и умений обучающихся проводится с помощью
самостоятельных и контрольных работ (домашних и аудиторных), а также
предполагается создание ученических проектов по подбору и решению задач
с параметрами.
Требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся:
В результате изучения курса обучающиеся должны:
•
усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств,
систем уравнений с параметрами;
•
применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих
параметр;
•
проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
•
овладеть исследовательской деятельностью.
Содержание программы.
1. Введение (1 ч.)
Понятие параметра, постановка задачи с параметром.
2. Линейные уравнения, неравенства, системы (8 ч.)
Линейные уравнения, уравнения, приводимые к ним. Дробно-линейные
уравнения. Системы линейных уравнений и неравенств.
3. Квадратные уравнения и системы (6 ч.)
Квадратные уравнения. Соотношение между корнями квадратных уравнений.
Взаимное расположение корней квадратного уравнения. Задачи на
нахождение наибольших и наименьших значений. Системы уравнений.
Уравнения, приводимые к квадратным.
4. Основные методы решения задач с параметрами. (3 ч.)
Аналитические методы решения задач с параметрами. Решение
относительно параметра (использование параметра как равноправной
переменной). Координатная плоскость. Построение параметрического
семейства кривых (метод сечений). Координатно-параметрическая плоскость.
Метод областей.
5 . Иррациональные уравнения и неравенства (4 ч.)
Различные методы решения иррациональных уравнений в зависимости от
условия. Уравнения, приводимые к квадратным заменой переменных и др.
6. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства и
системы (4 ч.)
Методы решения. Нестандартные приемы решения. Использование свойств
показательной и логарифмической функций.
7. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами (6 ч.)
Методы решения. Использование свойств тригонометрических функций.
8. Задачи с параметрами на ЕГЭ(2 ч.)
Решение задач с параметрами, предлагаемые на ЕГЭ по математике в
части С (С3, С5).
Учебно-тематический план
№
Тема
Кол-
В том числе
во
(мин)
Форма контроля
часов лекция практика
1
Понятие параметра.
1
40
Линейные уравнения, 1
15
Постановка задачи.
2
25
содержащие
Самостоятельная
работа
параметр
3
Уравнения,
1
15
25
приводимые к
Самостоятельная
работа
линейным
4
Линейные
1
15
25
неравенства,
Самостоятельная
работа
содержащие
параметр
5
Дробно-линейные
1
15
25
неравенства
6,7
Системы линейных
работа
2
40
40
уравнений
8,9
Системы линейных
Квадратные
Самостоятельная
работа
2
40
40
неравенств
10,11
Самостоятельная
Самостоятельная
работа
2
40
40
уравнения,
Самостоятельная
работа
содержащие
параметр
12,13
Взаимное
расположение корней
квадратного
2
40
40
Самостоятельная
работа
уравнения.
14,15
Задачи на
2
40
40
нахождение
Самостоятельная
работа
наибольших и
наименьших
значений
16,17,18 Основные способы
3
80
40
4
40
120
решения задач с
параметрами
19-22
Иррациональные
уравнения и
Самостоятельная
работа
неравенства
23,24
Показательные
2
40
40
уравнения и
Самостоятельная
работа
неравенства
25,26
Логарифмические
2
40
40
уравнения и
Самостоятельная
работа
неравенства
27-29
Тригонометрические
3
40
80
уравнения.
30-32
Тригонометрические
Самостоятельная
работа
3
40
80
2
40
40
неравенства
33,34
Задачи с
параметрами на ЕГЭ
Всего:
Контрольная
работа
34
Методические материалы.
Ниже предлагаем примерное содержание каждого занятия с теоретическими
и дидактическими материалами.
Постановка задачи.
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заменены не
конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они
называются параметрами, а уравнение или неравенство
параметрическим.
Что означает решить задачу с параметром?
Для определенности рассмотрим задачу с параметром на примере уравнения,
поскольку общая её постановка не зависит от конкретного вида задач.
Пусть дано уравнение F(х;а) = 0 (1) с двумя переменными х и а.
Задача с параметром в данном случае формулируется следующим образом:
для каждого значения параметра а из некоторого числового множества А
решить уравнение (1) относительно переменной х, то есть привести его к
виду х= f(a) (2).
Множество А называется областью изменения параметра и в общем случае
(если нет дополнительных условий) считается множеством действительных
чисел R.
Таким образом, уравнение (1) можно рассматривать как бесконечное
множество (семейство) уравнений относительно х, каждое из которых
получается при подстановке в уравнение любого конкретного значения
параметра а  R.
Решить уравнение с параметром – это значит разбить множество всех
значений параметра на подмножества, на каждом из которых выражение
х=f(a) имеет различный вид и найти его, если оно существует.
Те значения, которые осуществляют такое разбиение области изменения
параметра, называются контрольными. При этих значениях или при переходе
через них происходят качественные изменения семейства уравнений.
Способы их нахождения определяются конкретными условиями задачи.
Возможно также, что уравнению (1) удовлетворяет конечный набор пар
(х;а), которые находятся непосредственно из его решения. Однако и в этом
случае переменную а принято называть параметром и исходя из этого
формулировать ответ задачи.
Существую другие формы условий задач с параметрами – исследовать
уравнение, определить количество решений, найти положительные решения
и др.
Сформулированные выше положения распространяются и на неравенства,
и на системы уравнений и неравенств с параметрами.
Линейные уравнения.
Уравнение вида ах = b, где а,b  R, называется линейным
относительно неизвестного х. Возможны три случая:
а  0, b - любое действительное число. Уравнение имеет
1.
b
a
единственное решение x= .
2. а=0, b=0. Уравнение принимает вид: 0∙x= 0, решениями являются все
х∈ R.
3. а = 0, b≠0. Уравнение 0 ∙ х =b решений не имеет.
b
a
Ответ: x= при а≠ 0,b∈ R ; х∈ R при а =0, b≠0; ∅ при а = 0, b=0.
Пример 1. Решить уравнение а2х — а = 4х + 2.
Решение. а2х — а = 4х + 2 (а2 —4)х = а +2. Получили линейное уравнение.
Прежде, чем делить обе части уравнения на а2 — 4, надо рассмотреть те
значения а, при которых а2 — 4 обращается в нуль.
1. а = — 2. Решения уравнения 0 ∙ x = 0 - все действительные числа.
2. 𝑎 = 2. Уравнение 0 ∙ х = 4 решений не имеет.
3. а2 — 4 ≠ 0. Уравнение имеет единственное решение
𝑥=
Ответ: 𝑥 =
1
𝑎−2
𝑎+2
𝑎2 −4
=
1
𝑎−2
.
при 𝑎 ≠ ±2; 𝑥 ∈ 𝑅 при а = — 2;  при 𝑎 = 2.
Пример 2. Решить уравнение 𝑥 +
Решение. 𝑥 +
1.
3
𝑎3
=
3
𝑎3
=
1
𝑎
1
𝑎2
(9𝑥 + 1) x(1 −
2
(9𝑥 + 1).
9
1
3
) = 𝑎2 − 𝑎3  𝑥
𝑎2
𝑎2 −9
𝑎2
=
𝑎−3
𝑎3
.
При а = 0 уравнение решений не имеет (а = 0 не входит во
множество допустимых значений параметра).
2. а = —3. Уравнение 𝑥 ∙ 0 =
2
9
решений не имеет.
3. а = 3. Любое х∈R является решением уравнения 𝑥 ∙ 0 = 0
4. 𝑎 ≠ 0, а≠ ±3. Уравнение имеет единственное решение
𝑥=
Ответ: 𝑥 =
1
𝑎(𝑎+3)
𝑎−3 𝑎2 −9
𝑎3
:
𝑎2
=
1
𝑎(𝑎+3)
.
при 𝑎 ≠ 0, а≠ ±3; х∈R при а = 3;  при а = 0 и а≠ -3.
Пример 3. При каких а уравнение 6(𝑎𝑥 − 1) + 𝑎 = 3(𝑎 − 𝑥) + 7 имеет
бесконечно много решений?
Решение. 1) 6(𝑎𝑥 − 1) + 𝑎 = 3(𝑎 − 𝑥) + 7  6𝑎𝑥 + 3𝑥 = 3𝑎 + 7 − 6 −
𝑎3𝑥(2𝑎 + 1) = 2𝑎 = 1.Уравнение имеет бесконечно много решений при
1
𝑎=− .
2
Пример 4. При каких 𝑎 уравнение 2(3х — 2𝑎) = 2+𝑎𝑥 не имеет решений?
Решение. 2(3х — 2𝑎) = 2+𝑎𝑥 6𝑥 − 𝑎𝑥 = 2 + 4𝑎𝑥(6 − 𝑎) = 2 +
4𝑎.Уравнение не имеет решений при 𝑎 = 6.
Пример 5. При каком 𝑎 уравнение 2𝑎𝑥 + 5 = 3𝑥 имеет корень, равный -1?
Решение. Подставим х = - 1 в уравнение, получим -2𝑎 + 5 = −3, откуда
а = 4.
Пример 6. При каком a прямая у = 2ах - 3 проходит через точку А(1; -6) ?
Решение. Подставим х = 1 и у = -6 в уравнение прямой, получим — 6 =
3
2а - 3, откуда а = − .
2
Пример 7. При каких b уравнение (a – 3) х=𝑏 имеет решения для любого
a?
𝑏+2𝑎
Решение. Если а≠ 3, то уравнение имеет решение х=
𝑎−3
при любом b.
Значит, единственное значение а, при котором могут отсутствовать решения
уравнения, это а =3. В этом случае уравнение
(a - 3)x =b + 2a
(1)
принимает вид
0∙𝑥 =𝑏+6
(2)
Если b≠ -6, то уравнение (2) не имеет решений. Если жеb= -6, то любое х R
является решением (2). Следовательно, b =- 6 - единственное значение
параметра b, при котором уравнение (1) имеет решение при любом а (x =2
при а≠ 3 и хR при а = 3).
Ответ:b= -6.
Пример 8. При каких a уравнение 3(х - 2а) = 4(1 - х) имеет отрицательное
решение?
Решение. 3(х-2а) = 4(1+x) х = -6а-4. Решая неравенство -6а - 4 < 0,
2
получаем а > - .
3
2
Ответ: а > - .
3
Пример 9. При каких а уравнение а(4х - а) = 12х- 9 имеет одно
положительное решение?
Решение. а(4х - а) - 12х - 9 <=> 4х(а - 3) = (а - 3)(а+ 3). При a = 3 уравнение
имеет бесконечно много положительных решений. При а≠3 и а+3 > 0
уравнение имеет единственное положительное решение х =
𝑎+3
4
.
Ответ: а > -3, а ≠ 3.
Пример 10. Найти все а, для каждого из которых решение уравнения 10х15а = 13 - 5ах+2а больше 2.
Решение. 10х- 15а = 13- 5ах+2а <=> 5х(а + 2) = 13 + 17а. При
уравнение не имеет решений, при
𝑥=
13+17𝑎
5(𝑎+2)
. Решая неравенство
а= -2
а ≠—2
13+17𝑎
7(𝑎−1)
2 5(𝑎+2) > 0,
5(𝑎+2)
получаем a (-∞; −2) ∪ (1; = +∞).
Ответ: a (-∞; −2) ∪ (1; = +∞).
Пример 11. При каких a каждый корень уравнения 3(х+ a) = 6 — а
удовлетворяет условию х  [2; 4] ?
Решение. 3(a + х) = 6- а 3х = 6- 4а 𝑥 =
6−4𝑎
6−4𝑎
3
3
3
. Решая неравенство 2 ≤
≤ 43 ≤ 3 − 2𝑎 ≤ 6 ,получаем 𝑎 − ; 0.
2
3
Ответ: 𝑎 − ; 0.
2
Упражнения.
1.Решите уравнения:
а)3 + ах = 2x;
б) - 2 + Зах = 6х + а;
б) 2ах - а = 2 -4х;
г) Зах + 3 = 9x + а;
д) 4а2х - 2а = 9х + 3;
е) 2х-4 = ах-а2;
ж) 9b2х – 3b = 4х - 2.
2. При каких а уравнения
а) 6(ах- 1)-а = 2(а + х ) - 7 ; б) 0,5(5х - 1) = 4,5 - 2а(х - 2)
имеют бесконечно много решений?
3. При каких а уравнения
a. а) 2(а - 2х) = ах + 3; б) а2х = а(х + 2) - 2
не имеют решений?
4. При каком а уравнение ах - 4 = 3x имеет корень, равный 8?
5. При каком а уравнение 2ах + 4 = 3a+5x имеет корень, равный 3?
6. При каком а прямая у = ах - 3 проходит через точку A(-2;9)?
7. При каком а прямая
8.
у = 3х + а проходит через точку A(-1;5)?
При каких b уравнение а) (а + 1)х = 2b - а; б) (2а - 1)х =b + а - 1; в)
(а + 2)х = 3b - а + 1 имеет решение при любом а ?
9. При каких а уравнение 2(а + х) = 3(1- х) имеет положительное
решение?
10. При каких а уравнение а(х - 3) = 2х + 1 имеет решение,
удовлетворяющее условию х < 3 ?
11. При каких а каждый корень уравнения 2(х — 2а) = 3 + а
удовлетворяет условию x [—1;3] ?
Уравнения, приводимые к линейным.
Пример 1. Решить уравнение
𝑥−𝑎
𝑥+2
=0
Решение. Уравнение bмеет смысл при всех х≠-2. С учетом ОДЗ приводим
уравнение к равносильному линейному: х - а = 0. Его решение х = а. Условие
х≠-2 влечет за собой требование а≠-2.
Ответ: х = а при а≠-2;  при а = -2.
𝑥+𝑎
Пример 2. Решить уравнение
𝑥 2 −5𝑥−6
= 0.
Решение. При х ≠ - 1 и х≠ 6 уравнение имеет решение х = -а. Из условия х≠1 и х≠ 6 следует, что а ≠ 1 и а≠-6.
6;  при а  {-6; 1}.
Ответ: х = - а при а а ≠ 1 и a≠х
Пример 3. Решить уравнение
𝑥−3
𝑥+2
а
+
4
𝑎−1
2
= (𝑎−1)(𝑥+2)
Решение. Уравнение имеет смысл при а≠ 1 и х≠- 2. Учитывая ОДЗ, приведем
уравнение к линейному (а- 1)(x- 3) + 4(x + 2) =2<=>
х(а + 3) = 3(а - 3).
При а = - 3 уравнение решений не имеет.
Если а≠-3, то x =
3(𝑎−3)
𝑎+3
. Исключим теперь значение а,
при котором х = - 2.
3
−2(𝑎 + 3) = 3(𝑎 − 3)5𝑎 = 3, 𝑎 = .
5
Ответ: x =
3(𝑎−3)
𝑎+3
3
3
5
5
при а≠-3, а≠ , а≠1;  при а-3; ; 1.
Упражнения.
1. Решите уравнения:
а)
2𝑥+3𝑎
𝑥−1
= 0;
б)
𝑥+𝑎
𝑎−𝑥
=
3𝑎+1
3𝑎−1
;
в)
𝑥−𝑎
𝑥 2 −5𝑥+6
1−𝑎
г)
= 0;
𝑥−4
+
𝑎+1
𝑥+2
= 0.
2. При каких а уравнения
а)
3𝑎
𝑥−𝑎
в)
2𝑥
𝑎−2
−
−
𝑎
=
𝑥−2𝑎
𝑎
𝑥−𝑎
−
2𝑎
𝑥−2𝑎
;
б)
𝑥
𝑎+2
𝑥
𝑎2 −1
𝑎
𝑎(𝑎+2)
+ =
𝑎2 −16
𝑥
𝑎+1
= (𝑎+1)(𝑎−2).
имеют бесконечно много решений?
3. При каких а уравнения
а)
𝑥−5
𝑥+7
в)
=
𝑎−𝑥
𝑥+7
(𝑎+3)𝑥−2
𝑥−1
;
= 0;
не имеют решений?
б)
г)
8+5𝑥
2−𝑥
𝑎𝑥
𝑎+2𝑥
= 2𝑎;
= 3; д)
2𝑎𝑥−18
𝑎−𝑥
=1
;
Линейные и дробно-линейные неравенства.
Неравенства вида ах > b и ах < b (а≠0) называются линейными
неравенствами. Множество решений неравенства ах>b
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
-промежуток
( ; +∞), если а > 0, и (-∞; ), если а < 0. Аналогично для неравенства ах < b
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
множество решений - промежуток (-∞; ), если а > 0, и ( ; +∞), если а < 0.
Пример 1. Решить неравенство ах + 4 > 2х + а2.
Решение. ах + 4 > 2х + а2  (а - 2)х > а2 — 4. Рассмотрим три случая.
1. а = 2. Неравенство 0 ∙ х > 0 решений не имеет.
2. а > 2. (а- 2)х > (а-2)(а + 2)  х > а + 2.
3. а < 2. (а- 2)х > (а-2)(а + 2)  x <а + 2.
Ответ: х > а + 2 при а > 2; х < а + 2, при а < 2;  при а = 2.
Пример 2.
Решить неравенство (а2 — 2а — 3)х — а < 0.
Решение. (а2— 2а — 3)х — а < 0 (a+1)(a-3)x<a. Рассмотрим следующие
случаи:
1.
а = - 1, Неравенство 0 ∙х < - 1 решений не имеет.
2.
а=3.
Решением
неравенства
0∙х<3
является
действительное число.
3.
а  ( -1;3). При этих значениях а(а+1)(а —3) < 0, поэтому
𝑎
(а + 1)(а -3)<а 𝑥 > (𝑎+1)(𝑎−3).
4.
𝑎𝜖(−∞; −1) ∪ (3; +∞). Так как (а + 1)(а - 3) > 0, то
𝑎
(а + 1)(а - 3)x<a  x<(𝑎+1)(𝑎−3).
𝑎
𝑎
Ответ: x<(𝑎+1)(𝑎−3) при 𝑎𝜖(−∞; −1) ∪ (3; +∞); 𝑥 > (𝑎+1)(𝑎−3)
при а  ( -1;3); 𝑥 ∈ 𝑅 при 𝑎 = 3;  при 𝑎 = −1.
любое
Пример 3. Решить неравенство
3𝑥−𝑎
(𝑎+3)(𝑥−2)
+
𝑎
𝑎+3
<
−3
𝑥−2
.
Решение. Допустимыми являются все значения а и x, кроме
а=- 3 и x = 2. Перенесем все члены в левую часть и приведем
дроби к общему знаменателю, получим неравенство
3𝑥 − 𝑎 + 𝑎𝑥 − 2𝑎 + 3𝑎 + 9
𝑥(𝑎 + 3) + 9
< 0
< 0, равносильны
(𝑎 + 3)(𝑥 − 2)
(𝑎 + 3)(𝑥 − 2)
в области а=- 3 , x = 2 неравенству
(𝑥 +
9
)(𝑥 − 2) < 0.
(3)
𝑎+3
Неравенство (3) решим методом интервалов. Решая уравнения x-2 = 0 и
x+
9
𝑎+3
= 0, получаем x1 = 2, x2 =2<
−9
Если 2 <
2>
−9
𝑎+3
, т.е.
9
𝑎+3
.Возможны следующие случаи:
−9
−9
−9
,2 =
,2 >
.
𝑎+3
𝑎+3
𝑎+3
2𝑎+15
15
𝑎+3
2
< 0, то 𝑎 (−
; −3). Неравенство
15
𝑎+3
выполняется на множестве (-∞; - ) U (-3;+∞). Так как решением X
2
неравенства (3) является интервал (x 1 ;x 2 ), если x1<x2 и интервал (x 2 ;х 1 ),
если х2 < х1 ,то X = (2; -
9
) при 𝑎 (−
𝑎+3
15
2
; −3) ; Х =( -
15
15
2
2
9
𝑎+3
; 2) при
a(-∞; - ) U (-3;+∞). Если x1,=x2 (a=- ), то неравенство (3) принимает
вид (x-2)2 < 0 и решений не имеет.
Ответ: 𝑥( x(2; -
9
𝑎+3
9
𝑎+3
15
; 2) при a(-∞; - ) U (-3;+∞);
) при 𝑎 (−
2
15
2
; −3) ;  при a=-
15
2
; −3.
Упражнения.
1. Решите неравенства:
a) ах ≤ 1 ;
б) аx > 1;
в) 3 x - а > а х - 2 ;
г) 2(3а +x) < 1 - аx;
𝑎−1
д) 2ах+
2
≥ (𝑎 + 2)𝑥 ;
ж) ( 2 а 2 - а - 1 ) x > 3 a - 2 ;
е) аx – 2b <bx + 2а;
𝑎−1
з) x - 2
𝑎
≤
2
3𝑎
(𝑥 + 1).
2. Решите неравенства:
a. a)
в)
𝑎𝑥+16
4𝑥+𝑎2
1
𝑎−𝑥
< 2; ;
б)
г)
≤ 1;
𝑥−𝑎
2𝑥+3
𝑎𝑥
4−2𝑥
3. При каких а неравенство
≤ 0;
< 1;
4𝑥−𝑎
𝑥−2𝑎
< 0 выполняется для всех 𝑥 ∈ 2; 4 ?
Системы линейных уравнений.
Уравнение вида ах+by=с, где x, у - переменные, а, b, с - числа, называется
линейным; числа а и b называются коэффициентами при переменных, с свободным членом.
Графиком любого линейного уравнения ах + by = с, у которого хотя бы один
из коэффициентов при переменных отличен от нуля, является прямая; если b
= 0, то эта прямая параллельна оси 0у, если а = 0, то эта прямая параллельна
оси Ох. Если а = 0 и b = О, то в случае с = 0 графиком является вся
координатная плоскость, в случае с≠ 0 уравнение не имеет решений.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 2
, 𝑎 + 𝑏12 ≠ 0, 𝑎22 + 𝑏22 ≠ 0
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 1
(1)
может иметь единственное решение, бесконечно много решений и не иметь
решений,
что
геометрически
интерпретируется
соответственно
как
пересечение, совпадение и параллельность прямых, являющихся графиками
уравнений системы.
Если
𝑎1
𝑎2
=
𝑎1
𝑎2
𝑏1
𝑏2
𝑏1
≠
𝑏2
, то эти прямые пересекаются в одной точке; если
𝑐
𝑎1
𝑐2
𝑎2
= 1, то прямые совпадают; если
=
𝑏1
𝑐
≠ 1, то прямые параллельны
𝑏2
𝑐2
и не совпадают.
Отсюда следует, что система (1) имеет единственное решение,
если
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
, имеет бесконечно много решений, если
𝑎1
не имеет решений, если
𝑎2
=
𝑏1
≠
𝑏2
𝑐1
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
𝑐
= 1,
𝑐2
.
𝑐2
В последних трех соотношениях записаны не дроби, а пропорции - они
имеют смысл и в том случае, когда некоторые из знаменателей равны нулю.
Пример 1. Решить систему уравнений
𝑎𝑥 + 2𝑦 = 5
.
{
2𝑥 + 𝑎𝑦 = 3
1
Решение. Из первого уравнения найдем y= (5 − 𝑎𝑥) и подставим во второе
2
1
уравнение. Получим
2х +a (5-ax)=3 <=>
2
х(4 - а2) = 6 - 5а. При 𝑎 ≠ ±2 уравнение решений не имеет. Если 𝑎 ≠
±2, то 𝑥 =
6−5𝑎
4−𝑎2
Ответ: 𝑥 =
1
6−5𝑎
2
4−𝑎2
, 𝑦 = (5-a
6−5𝑎
4−𝑎2
)=
10−3𝑎
1
6−5𝑎
2
4−𝑎2
, 𝑦 = (5-a
4−𝑎2
)=
.
10−3𝑎
4−𝑎2
при 𝑎 ≠ ±2;  при а = ±2.
Пример 2. Решить систему уравнений
2𝑥 + (9𝑎2 − 2)𝑦 = 3𝑎
.
{
𝑥+𝑦 =1
Решение. Из второго уравнения находим у = 1 -x и подставляем
в первое.
Получим 2х + (9a2 - 2)(1 - x) =3а х(3а - 2)(3а + 2) = (3а - 2)(3а + 1).
2
3𝑎+1
3
3𝑎+2
1.Если а≠± , то 𝑥 =
,𝑦 = 1−
3𝑎+1
3𝑎+2
=
1
3𝑎+2
.
2
2. а= . Уравнение х∙0=0 имеет бесконечно много решений (𝑥 ∈ 𝑅).
3
2
3. а=− .Уравнение х∙0=4 решений не имеет.
3
Ответ: 𝑥 =
3𝑎+1
3𝑎+2
,𝑦 =
1
2
3𝑎+2
при а≠± ;
3
2
2
3
3
х=t, y=1-t,tR при а= ;  при 𝑎 = − .
Упражнения:
1. Решите системы уравнений:
3𝑥 + 𝑎𝑦 = 4
а) {
6𝑥 − 9𝑦 = 8,
𝑎𝑥 − 𝑦 = 1
б) {
𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑎3 ,
𝑎𝑥 − 𝑦 = 𝑎
в) {𝑥 − 𝑎𝑦 = 1,
г) {
𝑥 − 𝑎𝑦 = 2
𝑎𝑥 − 𝑦 = 3𝑎.
2. Найдите все пары значений (𝑎; 𝑏), при каждой из которых система
уравнений:
8𝑥 + (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )𝑦 = 4
а) {
(𝑎 − 𝑏)𝑥 + 26𝑦 = 2,
(𝑎 + 𝑏)𝑥 + 26𝑦 = 2
б) {
8𝑥 + (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )𝑦 = 4
имеет бесконечно много решений.
Системы неравенств.
Сначала рассмотрим системы неравенств с одной переменной.
Значения
переменной,
при
которых
каждое
неравенство
системы
обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы
неравенств.
𝑥<6
Пример 1. Решить систему неравенств: 1) {
𝑥 ≥ 𝑎,
𝑥≥2
2) {
𝑥 ≤ 𝑎.
Решение. 1) Для того, чтобы система имела решение, должно выполняться
двойное неравенство а ≤ х<6. Следовательно, при а < 6 система имеет
решение, при а ≥ 6 решений нет.
Ответ: а ≤ х < 6 при а < 6;  при а≥ 6.
2) Проведя аналогичные рассуждения, получим х  [2; а] при а > 2; х= 2
при а = 2;  при а < 2.
3 − 6𝑥 < 2𝑥 − 13
Пример 2. При каких а система неравенств {
3 + 2𝑥 < 𝑎 + 𝑥,
не имеет решений?
3 − 6𝑥 < 2𝑥 − 13
𝑥>2
Решение. {
{
3 + 2𝑥 < 𝑎 + 𝑥,
𝑥 < 𝑎 − 3.
Если а - 3 ≤ 2, то система решений не имеет.
Ответ: а ≤ 5.
𝑎(𝑥 − 2) ≥ 𝑥 − 3
Пример 3. Решить систему неравенств {
8(𝑎 + 1)𝑥 > 8𝑎𝑥 + 9.
Решение.
Выполнив преобразования, получим
𝑎(𝑥 − 2) ≥ 𝑥 − 3
 {𝑥(𝑎 − 1) ≥ 2𝑎 − 3
{
8(𝑎 + 1)𝑥 > 8𝑎𝑥 + 9
8𝑥 > 9.
𝑥∈𝑅
𝑥 ∙ 0 ≥ −1
1. 𝑎 = 1. {
 {𝑥 > 8
8𝑥 > 9
9.
9
Решения системы 𝑥 ∈ ( ; +∞).
8
2. 𝑎 < 1. {
𝑥≤
2𝑎−3
𝑎−1
9
Так как неравенство
𝑥> .
2𝑎−3
𝑎−1
>
9
8

7𝑎−15
𝑎−1
>0
8
15
выполняется для любых 𝑎 ∈ (−∞; 1) ∪ ( ; +∞), то решения системы в
7
9 2𝑎−3
случае 𝑎 < 1 𝑥 ∈ ( ;
8
𝑎−1
.
2𝑎−3
𝑥≥
2𝑎−3
9
15
𝑎−1
3. 𝑎 > 1. {
Уравнение
= имеет решение 𝑎 = . Если 1 <
9
𝑎−1
8
7
𝑥> .
8
𝑎≤
15
2𝑎−3
7
𝑎−1
2𝑎−3
𝑎−1
, то
>
9
8
9
9
15
8
8
7
≤ , поэтому решения системы 𝑥 ∈ ( ; +∞). Если 𝑎 >
и решения системы в этом случае 𝑥 ∈ 
9 2𝑎−3
Ответ: 𝑥 ∈ ( ;
8
𝑥∈
2𝑎−3
𝑎−1
𝑎−1
2𝑎−3
𝑎−1
; +∞).
9
15
8
7
 при 𝑎 < 1; 𝑥 ∈ ( ; +∞) при 1 ≤ 𝑎 ≤
; +∞) при 𝑎 >
;
15
7
.
Упражнения.
1. Решить систему неравенств:
𝑥≤3
𝑥 > −1
𝑥<2
𝑥 ≤ −1
а) {
б)) {
в) {
г) {
𝑥 > 𝑎,
𝑥 ≤ 𝑎,
𝑥 > −𝑎,
𝑥 ≥ 𝑎.
2. При каких а система неравенств
2𝑎𝑥 − 3 ≤ 𝑥(2𝑎 + 3) + 𝑎
a){
3(𝑎 + 𝑥) ≤ 2(𝑥 − 1).
имеет хотя бы одно решение?
5(𝑥 − 2𝑎) ≤ 3𝑥 + 2
б) {
𝑥(2𝑎 − 1) ≤ 2𝑎(𝑥 − 3).
, то
Квадратные уравнения.
Уравнение вида ах2 +bx+с = 0, где а,b,с∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0 называется квадратным
уравнением. D = b2 — 4ас - дискриминант квадратного уравнения. Если D <
0, то уравнение не имеет действительных корней; если D > О, то уравнение
имеет два различных корня
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝐷
;
2𝑎
𝑏
если D =0, то уравнение имеет один корень х=- .
2𝑎
Мы рассмотрим следующие задачи:
1) нахождение корней квадратных уравнений;
2) исследование количества корней в зависимости от значений параметров;
3) установление равносильности уравнений.
Пример 1. Решить уравнение а(а + 1)х2 +х — а(а — 1) = 0.
Решение. При а = - 1 и а = 0 уравнение будет линейным.
1. а = - 1. Уравнение принимает вид х - 2 = 0, откуда х = 2.
2. а= 0. Решение уравнения х = 0.
3. а≠ −1, а ≠ 0 . Корни уравнения
𝑥1,2 =
откуда 𝑥1 =
−𝑎
𝑎+1
−1±√1+4𝑎2 (𝑎2 −1)
2𝑎(𝑎+1)
, 𝑥2 =
=
−1±(2𝑎2 −1)
2𝑎(𝑎+1)
,
𝑎−1
𝑎
.
1
Если D = 0, т.е. а = ± , уравнение имеет единственное
√2
решение (х =
−1
1+√2
при а =
1
,
√2
х=
1
−1+√2
при а =−
Ответ: х = 2 при а = - 1; х=0 при а = 0; 𝑥 =
=−
1
√2
; x=
−𝑎
,𝑥=
𝑎+1
𝑎−1
𝑎
−1
1+√2
при а≠ −1, а ≠ 0, 𝑎 ≠ ±
1
√2
).
при а =
1
.
√2
1
;х=
√2
1
−1+√2
при а
Пример 2. Решить уравнение
𝑥 2 − (𝑎+1)𝑥−(𝑎+2)
(𝑥+2)(𝑥−3𝑎)
=0
Решение.
𝑥 2 − (𝑎+1)𝑥−(𝑎+2)
(𝑥+2)(𝑥−3𝑎)
𝑥 2 − (𝑎 + 1)𝑥 − (𝑎 + 2) = 0
= 0 {
(1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 3𝑎) ≠ 0.
Уравнение х2 - (а+ 1)х - (а+2) = 0  (х+1)(х - а-2) = 0 имеет два корня
х=-1 и х = a+ 2.
1
1. Если х = - 1, то знаменатель обращается в нуль при а =- , поэтому
3
1
уравнение (1) имеет решение х = - 1 при всех а, кроме а =- . При
3
1
5
3
3
а =- уравнение (1) имеет корень х = .
2. Если х= a+2, то знаменатель обращается в нуль при а = - 4 и a = 1.
Следовательно, уравнение (1) имеет решение х = a+2 при всех а, кроме
а = - 4 и а = 1. При а=-4 и а = 1 уравнение (1) имеет корень х =- 1.
Записывая ответ, надо учесть, что корни уравнения х =- 1 и х = а + 2
совпадают при а = - 3.
Ответ: х = - 1 и х = a + 2 при
5
1
3
3
при
1
а≠-4, а≠-3, а≠- , x=-1 при a ∈
3
{−4; −3; 1}; 𝑥 = при а =- .
Пример3.
Найти наименьшее целое а, при котором уравнение x2 +(2a+3)x +a2
-a+5=0 имеет два различных корня.
Решение.
Уравнение имеет два различных корня, если D>0. Из неравенства
11
(2a+3)2-4(a2 –a+5)>0 следует, что 16a-11>0, откуда a> . Наименьшее целое
16
11
значение 𝑎 ∈ ( ; +∞) равно 1.
16
Ответ: a=1.
Пример 4. Найти все пары (а; b), для которых уравнения х2 – ах+ a = 0
x2 +b2х – 2b = 0 равносильны.
и
Решение. Первое уравнение не имеет решений, если a2 - 4a < 0, т. е. при
0 < a < 4. Второе уравнение не имеет решений, если b4+8b<0b(b+2)(b2 2b+4)<0, т.е. при -2 < b < 0. Таким образом, при 𝑎 ∈ (0; 4), 𝑏 ∈
(−2; 0)уравнения равносильны, так как не имеют решений.
Если же уравнения имеют решения и корни уравнений совпадают, то
должны совпадать коэффициенты при x и свободные члены.
2
Имеем систему { −𝑎 = 𝑏 Складывая левые и правые части уравнений,
𝑎 = −2𝑏.
получаем b2 – 2b= 0, откуда b= 0 и b= 2.
Если b = 0, то a = 0 и уравнения принимают вид x2 =0, если b = 2 то a = -4 и
уравнения принимают вид x2 + 4x - 4 = 0, следовательно, пары (0;0) и
(-4; 2) удовлетворяют условиям примера.
Ответ: а = b = 0; а = -4, b= 2; a( 0 ; 4 ) , b(-2;0).
Упражнения.
1. Решите уравнения:
а)
𝑥 2 +(𝑎+2)𝑥−(𝑎+3)
𝑥 2 +(3−2𝑎)𝑥−6𝑎
=0;
б) ax2 – (a-b)x –b=0; в)
𝑎𝑥 2
𝑥−1
− 2𝑎 = 𝑎2 + 1.
2. При каких а уравнение:
а) (а - 3)x2 -2аx+(3а-6) = 0;
б) ах2 – 4x+ 3 = 0;
1
в) (а+ 2)x2 +√10 − 3𝑎 − 𝑎2 𝑥 + = 0
2
имеет: 1) единственное решение; 2) два различных корня ?
2.
При каких а уравнение
a(a+ 3)x2 + (2а+ 6)x - За - 9 = 0
имеет: 1) более одного корня; 2) более двух корней?
3.При каких а уравнения
x2 –(a2+a-6)x=0 b x2 -2(а+3) x + (а 2 -а-12) = 0
равносильны?
Взаимное расположение корней квадратного уравнения.
Часто встречаются задачи с параметрами, связанные с расположением
корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек.
Во многих случаях нахождение корней уравнения и решение
иррациональных неравенств приводит к громоздким преобразованиям. В то
же время использование свойств квадратичной функции позволяет
существенно упростить решение, свести его к решению рациональных
неравенств.
Все приводимые ниже утверждения могут быть доказаны строго, но в этом
нет необходимости. Наглядно, на чертеже покажем справедливость
утверждений.
Сформулируем одну теорему, а остальные формулируются аналогично,
поэтому мы представим все теоремы в таблице.
Теорема1. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше,
чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0),
необходимо и достаточно выполнение условий:
при 𝑎 > 0
𝐷≥0
𝑏
− > 𝑥0
при 𝑎 < 0
𝐷≥0
𝑏
− > 𝑥0
{ 𝑓(𝑥0 ) > 0
{𝑓(𝑥0 ) < 0.
2𝑎
2𝑎
Таблица. Расположение корней квадратного трёхчлена.
x1 и x2 различные корни уравнения Ах2+Вх+С=0;
m, n- действительные числа.
Пример 1. При каких m уравнение x2 — (2т+1)х + 3m- 4 = 0 имеет два
корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2 ?
Решение. Так как а = 1, то чтобы выполнилось условие задачи, необходимо
и достаточно, чтобы f(2) < 0. Решая неравенство 4 - (2m + 1)∙ 2+3m- 4 < 0
 -m-2 < 0, получаем т > —2.
Ответ: т > —2.
Пример 2. При каких m уравнение mx2 + (3m — 2)x+m- 3 = 0 имеет корни
разных знаков?
Решение. Эту задачу можно переформулировать следующим образом: при
каких т число 0 лежит между корнями уравнения?
Решая неравенство
mf(0) < 0  m(т — 3) < 0, получаем т  (0;3).
Ответ: т  (0;3).
Пример 3. При каких m корни уравнения х2+ 2mх+ 8 = 0 отрицательны?
Решение:
𝐷≥0
𝑚2 − 8 ≥ 0
Из системы { 𝑥0 < 0  { −𝑚 < 0 находим, что 𝑚 ∈ 2√2; +∞).
𝑓(0) > 0
8>0
Ответ: 𝑚 ∈ 2√2; +∞).
Упражнения.
1. При каких m уравнение (т -2)х2 + (2т — 3)х+т2 — 3m + 2 = 0 имеет два
корня, один из которых меньше -1, а другой больше -1 ?
2. При каких т уравнение тх2+ (2m —1)x+m2 — 6m + 8 = 0 имеет корни
разных знаков ?
3. При каких m один из корней уравнения
(т2 - 1)x2 + (3m - 1)х - т4 = 0
меньше m, а другой больше т ?
4.
При каких т корни уравнения (m—1)x2 — 2(m+2)x+m+13= О
больше 2 ?
5.
При каких
m
корни уравнения
x2 – 4mx + 3 = О
положительны ?
6. При каких m корни уравнения mx2 — 2(m — 1)x+3m- 2 = 0
отрицательны ?
7. При каких m корни уравнения х2 + 2x+m = 0 больше m ?
Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений.
Часто встречаются задачи на нахождение наибольшего или наименьшего
значения суммы корней (или суммы квадратов корней) квадратного
уравнения. Для решения таких задач достаточно использовать теорему Виета
и условие существования корней квадратного уравнения (D ≥ 0).
Пример 1. При каких а сумма корней уравнения
x2 + 2(а2 — За)x - (6а3 — 14а2 +4) = 0 принимает наибольшее значение?
Найти это наибольшее значение.
Решение. Если х1 и x2 - корни уравнения, то
3
9
9
2
2
2.
f(а)=x1+x2 = -2(а2 - За) = -2(а - )2 + ≤
при а =
3
2
9
Однако fнаим.≠ , так как
уравнение не имеет корней, т.е. а =
2
3
2
не принадлежит области
определения функции f. Область определения f найдем из условия
Решая неравенство
D ≥ 0.
(а2 - За)2 +6а3 - 14а2 + 4≥ 0  а4 - 5а2 + 4 ≥ 0  (а2 — 1)(а2 — 4) ≥ 0
методом интервалов, получим а  (-∞; -2] U [-1; +1] U [2; +∞).
На множестве (—∞; —2] U [—1; +1] f возрастает, поэтому fнаиб..=f(1) = 4. На
множестве [2; +∞) f убывает, поэтому fнаиб. f(2) = 4. Так как f(1) = f(2), то
наибольшее значение на всей области определения функция f принимает в
двух точках (а = 1; а = 2).
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
2𝑥+1
f(x)=
.
𝑥 2 −𝑥+1
Решение. Пусть
2𝑥+1
𝑥 2 −𝑥+1
=a
(1)
Найдем наибольшее и наименьшее значения а, при которых уравнение (1)
имеет решения. Они и будут соответственно наибольшим и наименьшим
значением функции f. Так как х2 — х +1≠ 0, то
2𝑥+1
𝑥 2 −𝑥+1
=a  ax2 -(a+2)x+a-1=0.
Уравнение имеет решения при
D ≥0  ( a + 2)2- 4a(a - 1) ≥ 0  3а2 - 8а - 4 ≤ 0.
Множество решений последнего неравенства –
1
1
отрезок [ (4 − 2√7); (4 + 2√7)].
3
3
1
Ответ: Наибольшее значение (4 + 2√7);
3
1
наименьшее значение (4 − 2√7).
3
Упражнения.
1. Найти все а из промежутка [l;+∞), при каждом из которых больший из
корней уравнения х2 — 6х +2ах +а – 13= 0
принимает наибольшее значение.
2. Найти наименьшее значение выражения 𝑥12 + 𝑥22 , если х1 и x2 - корни
уравнения x2 — 2ах+ а+ 6 = 0.
3. При каком а сумма квадратов корней уравнения
х2 + х√𝑎2 − 4𝑎 - а -2 = 0 принимает наименьшее значение?
4. Найти сумму корней уравнения
х2+ 2(а2 + 2а)х +4а3 - 2а2 + 40 = 0 и указать, при каких а
эта сумма принимает наибольшее значение.
Основные методы решения задач с параметрами.
1. Аналитические методы решения задач с параметрами.
При решении задач с параметрами аналитическими методами необходимо
уметь исследовать исходные уравнения или неравенства относительно
переменной, входящей в уравнение (линейные, квадратные,
логарифмические и т.д.) Часто при решении задач с параметром
аналитически приходится использовать общие методы исследования свойств
функций, такие как область определения и множество значений, четность,
монотонность, экстремумы, ограниченность, обратимость и т.д.
Пример.
При каких значениях параметра а уравнение ах2+sin2x +a2-a=0 имеет
единственное решение?
Решение.
Так как функция f(x)=ax2+sin2x+a2-a – четная, то если х0 – корень уравнения,
то и –х0 – корень уравнения. Следовательно, единственным может быть
только корень х=0. Очевидно, что он существует при двух значениях
параметра: а=0 и а=1. При а=0 уравнение имеет бесконечно много решений
х= k , k  Z . При а=1 решение х=0 – единственное.
Ответ: а=1.
2. 2. Решение относительно параметра (использование параметра как
равноправной переменной)
Метод решения относительно параметра используется, прежде всего, в том
случае, когда степень искомой переменной в уравнении или неравенстве
выше двух, а степень параметра не превосходит двух. Также он
используется тогда, когда для решения задачи необходимо менять местами
переменные и параметры.
Пример. Для каждого значения параметра а решить уравнение: х4+6х3+(42а)х2-(6а + 1)х + а2 + а = 0.
Решение. Так как данное уравнение является квадратным относительно а,
представим его в следующем виде:
а2 - (2х2 + 6х - 1)а + х4 + 6х3 + 4х2 - х = 0.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
D = (2x2 + 6х-1)2 - 4х4 -24х3 -16х2 +4х =
4х4 +36х2 + 1 + 24х3 - 4х2 -12х- 4х4 -24х3 -16х2 + 4х = 16х2 -8х + 1 =
(4х-1)2  0.
2 x 2  6 x  1  (4 x  1)
Следовательно, а 
. Отсюда а = х2 + 5х -1 или
2
а=- х2 + х.
1
4
Отметим, что D = 0 при х = . Этот корень существует при а =
Решим полученную совокупность квадратных уравнений:
х2 + 5х-а-1= 0
или
х2 + х-а= 0
D1=29+4a;
D1=0 при a  
D2=1+4a
29
;
4
Очевидно, что D1 > 0 при a  
D2=0 при
29
, D2  0
4
1
4
при a   .
1
a .
4
5
.
16
Ответ: при a  
29
29
уравнение не имеет корней; при a   уравнение имеет
4
4
5
2
один корень: х =  ; при 
x1, 2 
29
1
 a   уравнение имеет два корня:
4
4
 5  29  4a
 5  28
1
; при a   уравнение имеет три корня: x1, 2 
; x3=2
2
4
1
1
5
5
уравнение имеет четыре корня:
; при   a  ; a 
2
4
16
16
x1, 2 
1
4
 5  29  4a
 1  1  4a
5
; x 3, 4 
; при a 
уравнение имеет три корня:
2
2
16
x1= , x 2  
21
5
, x3   .
4
4
Полученные результаты можно
проиллюстрировать графически,
изобразив на плоскости (х, а)
параболы а = х 2 + 5 х - 1 и а = х2 + х,
а также прямые у= а .
3. Графические методы решения задач с параметрами.
3.1. Координатная плоскость. Построение параметрического семейства
кривых (метод сечений)
Предположим, что уравнение или неравенство, содержащее параметр,
приведено к виду f(x) = g(x,a) или f(x)>g(x,a) (f(x) < g(x,a)). Тогда уравнение
y = f(x) определяет на координатной плоскости (х,у) некоторую кривую, а
уравнение y = g(x,a)-семейство кривых, в котором каждому допустимому
значению параметра а соответствует одна кривая. При этом в зависимости
от значений параметра а кривые семейства y=g{x,a) могут занимать
различные
положения
относительно
кривой
y=f(x).
Графическое
исследование сечения кривой y=f(x) семейством кривых y = g(x,a) позволяет
найти дальнейшее правильное аналитическое решение исходного уравнения
или неравенства.
Пример. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
2х + 2|х – а| + |х -1| > 3 выполняется при всех действительных значениях х.
Решение.
Перенесем слагаемые, не содержащие параметр, в правую часть неравенства:
2|х – а| > 3 - 2х - |х -1|.
Построим график функции у = 3 - 2х - |х -1| и
найдем те значения а, при которых все точки
графиков параметрического семейства функций
у = 2|х – а| лежат выше этого графика.
2  x; если х  1
;
4

3
х
;
если
х

1

3-2х-|х-1|= 
2a  2 x; если х  a
;
2 x  2a; если х  a
2|x-a|= 
Очевидно, что контрольным значением параметра является значение
параметра а1, при котором график функции
у= 2|х – а| проходит через точку А (1; 1). Подставим ее координаты в
3
2
уравнение у = 2а - 2х, получим: 2а - 2х= 1; a1= .
3
2
Ответ: a> .
3.2 Координатно-параметрическая плоскость. Метод областей.
При графическом исследовании задач с параметрами наряду с
координатной плоскостью (х, у) целесообразно также использовать
координатно-параметрическую
плоскость
(х,
а).
Если
возможно
построить на координатно-параметрической плоскости множество всех
точек, координаты которых х и а удовлетворяют условию задачи, то
затем нетрудно поставить в соответствие каждому значению параметра
а этого множества значение соответствующей координаты х. Это и
будет решением задачи. Следует также указать те значения параметра,
при которых задача не имеет решения.Выбор контрольных значений
параметра определяется конкретным видом построенных множеств.
Пример. При всех значениях параметра а решить неравенство
ax 2  x  1  x 2  x  a .
 x 2  x  a  0
 x 2  x  a  0 (1)

Решение. ax  x  1  x  x  a   2
(a  1)( x 2  1)  0 (2)
ax  x  1  x 2  x  a
2
2
На плоскости (х, а) решением неравенства (1) являются все точки, лежащие
не выше параболы а = -х2 -х.
Решения неравенства (2) - прямые а - 1, a = ±1, а
также следующие области:
выше прямой а = 1 и левее прямой х = -1;
выше прямой а = 1 и правее прямой х = 1;
ниже прямой а= 1 между прямыми х = -1 и х = 1.
Множество точек плоскости, удовлетворяющих
исходному неравенству, отмечено на рисунке
штриховкой.
Из уравнения х2 + х + а = 0 выразим х через a: x 
x
 1  1  4a
.
2
 1  1  4a
- уравнение части параболы, расположенной
2
левее вершины;
x
 1  1  4a
-расположенной правее вершины.
2
Ответ: при а<-2 неравенство не имеет решений; при
-2  а  0
 1  1  4а
1
 1  1  4а
 х  1; при 0  а 
1 х 
,
2
4
2
 1  1  4а
1
 х  1 ; при  а  1  1  х  1 ; при а=1 х  R ;
2
4
при а>1 | x | 1.
Иррациональные уравнения.
𝑓(𝑥) = 𝑔2 (𝑥)
Уравнение вида √𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) равносильно системе {
𝑔(𝑥) ≥ 0.
Неравенство 𝑓(𝑥) ≥ 0 следует из уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑔2 (𝑥).
Пример 1. Решить уравнение √𝑎 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0.
Решение. √𝑎 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0  √𝑎 − 𝑥 2 = 1 − 𝑥 
2
2
 {𝑎 − 𝑥 = 1 − 2𝑥 + 𝑥 , 
1−𝑥 ≥0
2
{2𝑥 − 2𝑥 + 1 − 𝑎 = 0,
𝑥 ≤ −1.
Выясним, при каких значениях 𝑎 корни квадратного уравнения
1
𝑥1,2 = (±√2𝑎 − 1) удовлетворяют соотношению 𝑥 ≤ −1.
2
Пусть 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 𝑎.
Значения 𝑎, при которых оба корня не
превосходят 1, находим из системы
2𝑎 − 1 ≥ 0
𝐷≥0
1
1
≤1
,
откуда
𝑎
∈
[
; 1],
{ 𝑥0 ≤ 1  {
2
2
𝑓(1) ≥ 0
2−2+1−𝑎 ≥0
причем при 𝑎 =
1
2
𝑥1 = 𝑥2 =
1
2
Значения 𝑎, при которых один корень меньше 1, а другой больше 1, находим
из условия 𝑓(1) < 0  𝑎 ≥ 1.
1
Ответ: при 𝑎 ∈ (−∞; ) решений нет
2
при 𝑎 =
1
2
1
1
𝑥= ;
2
1
при 𝑎 ∈ ( ; 1] 𝑥1,2 = (±√2𝑎 − 1)
2
2
1
при 𝑎 ∈ (1; +∞) 𝑥 = (1 + √2𝑎 − 1)
2
Пример 2. Решить уравнение √𝑥 + 𝑥 = 𝑎.
2
2
Решение. √𝑥 + 𝑥 = 𝑎.  √𝑥 = 𝑎 − 𝑥  {𝑥 = 𝑎 − 2𝑎𝑥 + 𝑥 , 
𝑎−𝑥 ≥0
2
2
 {𝑥 − 𝑥(2𝑎 − 1) + 𝑎 = 0,
𝑥 ≤ 𝑎.
Уравнение 𝑥 2 − 𝑥(2𝑎 − 1) + 𝑎2 = 0 имеет корни
1
1
𝑥1,2 = (2𝑎 ± 1 + √4𝑎 + 1) при условии 𝐷 = 4𝑎 + 1 ≥ 0, т.е. при 𝑎 ≥ − .
2
4
Выясним теперь, при каких 𝑎 выполняется неравенство 𝑥 ≤ 𝑎.
Пусть 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥(2𝑎 − 1) + 𝑎2 . Абсцисса вершины параболы
1
1
2
2
𝑥0 = (2𝑎 + 1) = 𝑎 + > 𝑎, поэтому
1
𝑥2 = (2𝑎 + 1 + √4𝑎 + 1) > 𝑎.
2
Следовательно, 𝑥2 не является решением первоначального уравнения.
1
Значения 𝑎, при которых 𝑥1 = (2𝑎 + 1 − √4𝑎 + 1) ≤ 𝑎 находим из
2
неравенства
𝑓(𝑎) ≤ 0  𝑎2 − 𝑎(2𝑎 − 1) + 𝑎2 ≤ 0, откуда 𝑎 ≥ 0.
Ответ:
при 𝑎 < 0
решений нет;
1
при 𝑎 ≥ 0 𝑥 = (2𝑎 + 1 − √4𝑎 + 1) .
2
Пример 3. При каких 𝑎 уравнение
𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎(√3 − 1)𝑥 + √𝑥 − 4 − 2√3 − 4 = 0 имеет решение?
Решение. Выполняя преобразования, получим
𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎(√3 − 1)𝑥 + √𝑥 − 4 − 2√3 − 4 = 0 
2
 (𝑎𝑥 + (√3 − 1)) + √𝑥 − 4 = 0 
1
 {𝑎𝑥 + (√3 − 1) = 0  {4𝑎 + (√3 − 1) = 0 , откуда 𝑎 = (1 − √3).
4
𝑥−4=0
𝑥=4
1
Ответ: 𝑎 = (1 − √3).
4
Пример 4. В зависимости от значений параметра а решить уравнение
√4𝑥 + 𝑎 = 2𝑥 − 1. (1)
Способ 1. Уравнение равносильно системе
4𝑥 + 𝑎 = (2𝑥 − 1)2 ,
{
или системе
1
𝑥≤ ,
4𝑥 2 − 8𝑥 + 1 − 𝑎 = 0,
{
1
𝑥≤ .
(2)
2
2
Решая уравнение из системы (2), находим 𝑥1 =
2−√𝑎+3
2
, 𝑥2 =
2+√𝑎+3
2
,
(3)
1) При а<-3 уравнение (1) решений не имеет.
2) При а=-3 уравнение (1) имеет одно решение х=1.
2) Если а>-3, то 𝑥1 < 𝑥2 , и тогда уравнение (1) будет иметь
a) два решения при тех значениях параметра а, при которых совместна
2−√𝑎+3
{ 2
1
≥ , т.е. при −3 < 𝑎 ≤ −2
2
𝑎 > −3,
система
1
б) один корень, если 𝑥1 < ≤ 𝑥2 . В этом случае решая систему
2
2−√𝑎+3
{
2
2+√𝑎+3
2
1
< ,
2
1
приходим к выводу, что 𝑎 > −2.
≥ ,
2
Ответ: если а<-3 , то решений нет;
если а=-3, то х=1;
2±√𝑎+3
если−3 < 𝑎 ≤ −2, то 𝑥1,2 =
если 𝑎 > −2, то 𝑥 =
2
2+√𝑎+3
2
.
Способ 2. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из
системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в
виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли
появиться посторонние корни. Поэтому при данном способе решения
необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень 𝑥1 в исходное
уравнение, придем к соотношению|1 − √𝑎 + 3| = 1 − √𝑎 + 3,
откуда
−3 < 𝑎 ≤ −2.
Если же подставить корень 𝑥2 в уравнение (1), то придем уже к
соотношению |√𝑎 + 3 + 1| = √𝑎 + 3 + 1, и, таким образом, 𝑎 ≥ −3.
Учитывая теперь, что при а<-3 корней нет, а при а=-3 имеем х=1, получаем
тот же ответ, что и при первом способе решения.
Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного
трехчлена, то обращаясь к равносильной уравнению (1) системе (2),
приходим к выводу, что уравнение (1) будет иметь корни 𝑥1 и 𝑥2 в том
случае, когда корни квадратного трехчлена 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 8𝑥 + 1 − 𝑎 не
1
меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде
2
𝐷 = 16(3 + 𝑎) > 0,
−
системы
𝑏
2𝑎
8
1
8
2
= > ,
1
{𝑓 (2) = 1 − 4 + 1 − 𝑎 ≥ 0.
Решая эту систему, находим, что −3 < 𝑎 ≤ −2. При а=-3 уравнение (1)
1
имеет решение х=1. Если же 𝑓 ( ) = −2 − 𝑎 < 0, т.е. если 𝑎 > −2, тогда
2
уравнение (1) будет иметь один корень 𝑥2 . При а<-3 решений нет.
Способ 4. Рассмотрим графики функций 𝑔(𝑥) = 2√𝑥 +
𝑎
4
и 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1,
заданных соответственно левой и правой частями уравнения (1). Абсциссы
точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1).
При а<-3
Y
f(x)=2x-1
графики не
пересекаются и
g(x)=2√𝑥 +
−
значит уравнение
(1) решений не
X
1
2
𝑎
4
𝑎
4
имеет.
Y
При а=-3 графики
f(x)=2x-1
касаются и
𝑎
g(x)=2√𝑥 + 4
X
уравнение (1)
имеет один корень
х=1.
При −3 < 𝑎 ≤ −2
Y
f(x)=2x-1
графики
𝑎
g(x)=2√𝑥 + 4
X
𝑥1 𝑥2
пересекаются в
двух точках и
уравнение (1) имеет
два корня.
При 𝑎 < −2
Y
f(x)=2x-1
графики
пересекаются в
𝑎
g(x)=2√𝑥 + 4
одной точках и
X
уравнение (1)
𝑥2
имеет одно
решение 𝑥2 .
Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде
𝑎 = 4𝑥 2 − 8𝑥 + 1,
{
1
𝑥≤ .
2
Построив тогда в плоскости хОа график функции 𝑎(𝑥) = 4𝑥 2 − 8𝑥 + 1 при
1
условии 𝑥 ≤ , мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя
2
рассмотренными способами.
1
2
Ответ: если а<-3 , то решений нет;
если а=-3, то х=1;
если−3 < 𝑎 ≤ −2, то 𝑥1,2 =
если 𝑎 > −2, то𝑥 =
2±√𝑎+3
2
;
2+√𝑎+3
.
2
Пример 5. В зависимости от значений параметра а решить уравнение
√𝑎 + 𝑥 + √𝑎 − 𝑥 = 𝑥. (1)
Решение. Из вида уравнения (1) следует, что 𝑥 ≥ 0.
Если а=0, то х=0. Справедливо и обратное.
Пусть 𝑥 > 0. Тогда полагая 𝑢 = √𝑎 + 𝑥, 𝑣 = √𝑎 − 𝑥, приходим к системе
𝑢 + 𝑣 = 𝑥,
𝑢 + 𝑣 = 𝑥,
𝑥+2
или к системе {
откуда 𝑢 = √𝑎 + 𝑥 =
.
{ 2
2
2
𝑢 − 𝑣 = 2,
𝑢 − 𝑣 = 2𝑥,
(2)
Возведем обе части уравнения (2) в квадрат. В результате получим уравнение
1
𝑎 + 𝑥 = (𝑥 2 + 4𝑥 + 4), или уравнение 𝑥 2 = 4(𝑎 − 1),
4
(3)
решениями которого будут все 𝑥 = 2√𝑎 − 1, где 𝑎 > 1.
Уравнения (1) и (2) равносильны друг другу. При переходе же от уравнения
(2) к уравнению (3) могли появиться посторонние корни, поэтому
необходимо сделать проверку. Подставляя значение 𝑥 = 2√𝑎 − 1, в
исходное уравнение, приходим к соотношению|√𝑎 − 1 − 1| = √𝑎 − 1 − 1,
решая которое как уравнение относительно параметра 𝑎, находим, что 𝑎 ≥ 2.
Ответ: если 𝑎 ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 2);
если 𝑎 = 0, то 𝑥 = 0;
если 𝑎 ∈ [2; +∞), то 𝑥 = 2√𝑎 − 1.
Иррациональные неравенства.
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие
равносильные преобразования:
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔2 (𝑥)
{
𝑔(𝑥) ≥ 0
√𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
𝑓(𝑥) ≥ 0
{
[ 𝑔(𝑥) < 0
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔2 (𝑥)
√𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)  { 𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑔(𝑥) ≥ 0
Пример 1. Решить неравенство (𝑎 + 1)√2 − 𝑥 < 1.
Решение. Область допустимых значений 𝑥 ≤ 2. Если (𝑎 + 1) ≤ 0, то
неравенство выполняется при всех допустимых значниях 𝑥. Если же
1
(𝑎 + 1) > 0, то (𝑎 + 1)√2 − 𝑥 < 1  √2 − 𝑥 <
𝑎+1
1
2 − 𝑥 < (𝑎+1)2
 {
,
2−𝑥 ≥0
1
откуда 𝑥 ∈ (2 − (𝑎+1)2 ; 2]
Ответ: при 𝑎 ∈ (−∞; −1] x∈ (−∞; 2];
1
при 𝑎 ∈ (−1; +∞) 𝑥 ∈ (2 − (𝑎+1)2 ; 2]
Пример 2. Решить неравенство √2𝑥 − 𝑎 > 𝑥 − 𝑎.
Решение. Неравенство равносильно совокупности двух систем
𝑥≥2
𝑥−2≥0
(1)
{ 2
{
2
𝑥
−
6𝑥
+
4
+
𝑎
<
0
(𝑥
2𝑥 − 𝑎 > − 2)
[
 𝑥<2
𝑥−2<0
𝑎
{
(2)
{
2𝑥 − 𝑎 ≥ 0
[ 𝑥≥2
𝑎
Очевидно, что при а < 4 множество решений системы (2) промежуток [ ; 2),
2
при 𝑎 ≥ 4 система (2) решений не имеет. Корни квадратного трехчлена 𝑥 2 −
6𝑥 + 4 + 𝑎
существуют при 𝑎 ≤ 5 , поэтому при 𝑎 ≥ 5 неравенство
𝑥 2 − 6𝑥 + 4 + 𝑎 < 0, а, следовательно, и система (1) решений не имеют. При
𝑎 < 5 множество решений неравенства
𝑥 2 − 6𝑥 + 4 + 𝑎 < 0 интервал
(3 − √5 − 𝑎); (3 + √5 − 𝑎). Множество решений системы (1) 𝑋1 =
(3 − √5 − 𝑎); (3 + √5 − 𝑎) ∩ [2; +∞). 𝑋1 ≠ ∅, так как
𝑥2 = 3 + √5 − 𝑎 > 2. Выясним взаимное расположение точек
𝑥1 = 3 − √5 − 𝑎 и 𝑥 = 2.
Решая уравнение 3 + √5 − 𝑎 = 2  √5 − 𝑎 = 1  5 − 𝑎 = 1, получим
а = 4. При 𝑎 < 4 𝑥1 < 2, поэтому 𝑋1 = [2; 3 + √5 − 𝑎),
при 𝑎 ∈ [4; 5) 𝑥1 ≥ 2, поэтому 𝑋1 = (𝑥1 ; 𝑥2 ).
Объединяя решения систем (1) и (2), окончательно имеем
𝑎
Ответ: 𝑥 ∈ [ ; 3 + √5 − 𝑎 ) при 𝑎 < 4;
2
𝑥 ∈ (3 − √5 − 𝑎; 3 + √5 − 𝑎) при 𝑎 ∈ [4; 5);
решений нет при 𝑎 ≥ 5.
Упражнения.
1. Решить уравнения:
1) √(𝑎 − 2)(𝑥 + 1) = 3 − 𝑥;
2) (𝑥 + 𝑎)√𝑥 − 2 = 0;
3) √2𝑎𝑥 − 4𝑎 + 1 = 𝑥 − 3;
2. При каких а уравнение
𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎(√2 − 1)𝑥 + √𝑥 − 2 = 2√2 − 3 имеет решения?
3. Решить неравенства:
1) 2√𝑥 + 𝑎 > 𝑥 + 1;
2) 2𝑥 + √𝑎2 − 𝑥 2 > 0;
Показательные уравнения и неравенства.
Пример 1. При каких значениях 𝑎 уравнение
25𝑥 − (𝑎 − 4)5𝑥 − 2𝑎2 + 10𝑎 − 12 = 0 не имеет корней?
Решение. 25𝑥 − (𝑎 − 4)5𝑥 − 2𝑎2 + 10𝑎 − 12 = 0 
2
2
(𝑎
 {𝑡 − − 4)𝑡 − 2𝑎 + 10𝑎 − 12 = 0,
𝑡>0
(1)
(2)
Дискриминант уравнения (1)
𝐷 = (𝑎 − 4)2 − 4(−2𝑎2 + 10𝑎 − 12) = 9𝑎2 − 32𝑎 + 64 > 0 при любом 𝑎.
Тогда система (2) не будет иметь решений, если не будет выполняться
условие 𝑡 > 0. Задача сводится к решению системы {
𝑡1 𝑡2 ≥ 0,
𝑡1 + 𝑡2 ≤ 0.
2 ≤ 𝑎 ≤ 3,
−2𝑎2 + 10𝑎 − 12 ≥ 0,
𝑎2 − 5𝑎 + 6 ≥ 0,
 {
 {
 2 ≤ 𝑎 ≤ 3.
{
𝑎 ≤ 4,
𝑎 − 4 ≤ 0,
𝑎 ≤ 4,
Ответ: 2 ≤ 𝑎 ≤ 3.
Пример 2. При каких значениях 𝑎 уравнение
16𝑥 − (5 − 𝑎)4𝑥 − 2𝑎2 + 6 − 2𝑎 = 0 имеет два различных корня?
Решение. Уравнение 16𝑥 − (5 − 𝑎)4𝑥 + 6 − 2𝑎 = 0 будет иметь два
различных корня тогда и только тогда, когда квадратное уравнение
𝑡 2 − (5 − 𝑎)𝑡 + 6 − 2𝑎 = 0 будет иметь два различных положительных
𝐷 > 0,
корня, что равносильно системе { 𝑡1 𝑡2 > 0,
𝑡1 + 𝑡2 > 0.
(5 − 𝑎)2 − 4(6 − 2𝑎) > 0,
(𝑎 − 1)2 > 0,
𝑎 < 1,
 { 𝑎 < 3,
 [
{ 6 − 2𝑎 > 0,
1 < 𝑎 < 3.
5 − 𝑎 > 0,
𝑎 < 5,
Ответ: 𝑎 < 1; 1 < 𝑎 < 3.
Пример 3. Для каждого значения параметра 𝑎 решить неравенство
𝑎2 42𝑥+1 − 65𝑎 ∙ 4𝑥 − 2𝑎2 + 1 > 0.
(1)
Решение. Рассмотрим 2 случая.
1. 𝑎 = 0. Неравенство (1) принимает вид 1 > 0, что верно при любом
значении х.
2. 𝑎 ≠ 0; 𝑎2 42𝑥+1 − 65𝑎 ∙ 4𝑥 − 2𝑎2 + 1 = 0  [
4𝑥 =
4𝑥 =
1) 𝑎 < 0; 𝑎2 42𝑥+1 − 65𝑎 ∙ 4𝑥 − 2𝑎2 + 1 > 0  [
2) 𝑎 > 0; 𝑎2 42𝑥+1 − 65𝑎 ∙ 4𝑥 − 2𝑎2 + 1 > 0  [
Ответ: при 𝑎 ≤ 0 𝑥 ∈ 𝑅;
при 𝑎 > 0
𝑥 < 𝑙𝑜𝑔4
1
16𝑎
; 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔4
Упражнения.
1. При каких значениях 𝑎 уравнение
4𝑥 − (𝑎 + 3)2𝑥 − 2𝑎2 + 4𝑎 − 4 = 0
1) имеет один корень?
2) не имеет корней
2. Для всех значений 𝑎 решить неравенства
1) 𝑎2 4𝑥+1 − 33𝑎 ∙ 2𝑥 + 8 > 0.
2) 𝑎2 − 9𝑥+1 − 8𝑎 ∙ 3𝑥 > 0.
4
𝑎
4𝑥 >
𝑥
65𝑎−63𝑎
32𝑎2
65𝑎+63𝑎
32𝑎2
1
16𝑎
4
4𝑥 =
𝑎
1
16𝑎
4
4 <
4𝑥 <
[
4𝑥 =
 𝑥 ∈ 𝑅.
𝑎
1
16𝑎
4
4𝑥 >
𝑎
 [
𝑥 < 𝑙𝑜𝑔4
𝑥>
1
16𝑎
4
𝑙𝑜𝑔4
𝑎
Логарифмические уравнения и неравенства.
Пример 1. При каких значениях 𝑎 уравнение 𝑙𝑜𝑔4 (16𝑥 − 𝑎) − 𝑥 = 0
имеет единственный корень? Найти эти корни.
Решение. 𝑙𝑜𝑔4 (16𝑥 − 𝑎) − 𝑥 = 0  16𝑥 − 𝑎 = 4𝑥  16𝑥 − 4𝑥 − 𝑎 = 0.
Пусть 𝑡 = 4𝑥 . Получим уравнение 𝑡 2 − 𝑡 − 𝑎 = 0. Тогда условие задачи
𝐷 = 0,
{
𝑡 > 0,
равносильно совокупности [
𝐷 > 0,
{
𝑡1 𝑡2 < 0.
1
1 + 4𝑎 = 0,
𝑎
=
−
,
1
{ 1
4
> 0,
𝑎=− ,
1
2
4
 [ 𝑎>− ,  [
4
{
1 + 4𝑎 > 0,
𝑎 > 0.
𝑎 > 0.
[ { −𝑎 < 0.
1
1
1
1
4
2
2
2
1. 𝑎 = − , 𝑡 = , 4𝑥 = , 𝑥 = − .
2. 𝑎 > 0, 𝑡 =
1+√1+4𝑎
2
Ответ: при 𝑎 = −
1
4
, 4𝑥 =
1+√1+4𝑎
,
2
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔4
1+√1+4𝑎
2
.
1
𝑥=− ;
2
при 𝑎 > 0 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔4
1+√1+4𝑎
.
2
Пример 2. В зависимости от значений параметра 𝑎
решить уравнение
Решение.
𝑙𝑔(𝑎𝑥)
𝑙𝑔(𝑥+1)
= 2.
𝑙𝑔(𝑎𝑥)
= 2  𝑙𝑔(𝑎𝑥) = 2𝑙𝑔(𝑥 + 1)  {
𝑙𝑔(𝑥+1)
𝑥 2 + (2 − 𝑎)𝑥 + 1 = 0,
{
𝑥 > −1,
𝑎𝑥 > 0.
1. 𝑎 > 0, 𝑥 > 0
1) 𝑥1.2 =
𝑎−2±√𝑎2 −4𝑎
2
2) 𝑎 = 4, 𝑥 = 1;
при 𝑎 > 4;
𝑎𝑥 = (𝑥 + 1)2 ,

𝑥 + 1 > 0,
3) 0 < 𝑎 < 4 − решений нет
2. 𝑎 < 0, −1 < 𝑥 < 0 𝑥 =
Ответ: если 𝑎 < 0, то 𝑥 =
𝑎−2+√𝑎2 −4𝑎
2
𝑎−2+√𝑎2 −4𝑎
2
.
;
если 0 ≤ 𝑎 < 4, то решений нет;
если 𝑎 = 4, то 𝑥 = 1;
если 𝑎 > 4, то 𝑥1.2 =
𝑎−2±√𝑎2 −4𝑎
2
.
1 5
Пример 3. Какие значения х из интервала ( ; ) являются решениями
2 2
неравенства 𝑙𝑜𝑔3𝑥−𝑥 2 (3𝑎 − 𝑎𝑥) < 1 при любом значении параметра а из
интервала (0;2)?
1 5
Решение. Так как при любом х из интервала ( ; ) основание логарифма
2 2
3𝑎 − 𝑎𝑥 < 3𝑥 − 𝑥 2 ,
3𝑥 − 𝑥 2 > 1, то неравенство равносильно системе {
3𝑎 − 𝑎𝑥 > 0,
𝑥 2 − (𝑎 + 3)𝑥 + 3𝑎 < 0,
или системе {
𝑎(3 − 𝑥) > 0.
А так как по условию а > 0, то и 3 - х > 0. Но первое неравенство последней
системы можно переписать в виде (х - а)(х- 3) < 0, откуда приходим к
выводу, что х - а > 0. Замечая теперь, что последнее неравенство должно
1 5
выполняться при всех а ∈ (0; 2) и значениях х из интервала ( ; ), приходим
2 2
5
к выводу, что 2 ≤ х < .
2
5
Ответ: 2 ≤ х < .
2
Упражнения.
1. В зависимости от значений параметра 𝑎 решить уравнение
𝑙𝑜𝑔1 (9𝑥 + 𝑎) + 𝑙𝑜𝑔3 (2 ∙ 3𝑥 )=0.
3
2. В зависимости от значений параметра 𝑎 решить уравнение
𝑙𝑜𝑔√𝑥 𝑎 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎2 (
𝑎2 −4
2𝑎−𝑥
)=0.
3. При каких значениях 𝑎 уравнение 2𝑙𝑔(𝑥 + 3) = 𝑙𝑔(𝑎𝑥) имеет
единственный корень? Найти эти корни.
4. При каких значениях 𝑎 имеет решения неравенство
𝑙𝑜𝑔(𝑎+𝑥) (𝑥(𝑎 − 𝑥)) < 𝑙𝑜𝑔(𝑎+𝑥) 𝑥 ?
5. В зависимости от значений параметра 𝑎 решить неравенство
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 2 + 2𝑐𝑜𝑠𝛼 < 0.
Тригонометрические уравнения и неравенства.
Пример 1. Решить уравнения:
1. asinx = 1.
Решение. При 𝑎 = 0 уравнение решений не имеет.
При 𝑎 ≠ 0 sin 𝑥 =
1
𝑎
1
, | | ≤ 1  |a| ≥ 1
𝑎
1
Ответ: при 𝑎 ∈ (−∞; 1] ∪ [1; +∞) 𝑥 = (−1)𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝜋𝑛, где 𝑛 ∈ 𝑍;
𝑎
при 𝑎 ∈ (−1; 1) решений нет.
2. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 𝑎2 .
Решение. Так как 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ≤ 1, а 1 + 𝑎2 ≥ 1, то уравнение равносильно
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1,
системе {
откуда следует, что уравнение имеет решения 𝑥 =
1 + 𝑎2 = 1,
𝜋𝑛, (𝑛 ∈ 𝑍) только при 𝑎 = 0.
Ответ: при 𝑎 = 0 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
при 𝑎 ≠ 0 решений нет.
3. 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − (2𝑎 + 1)𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎 = 0.
1
𝑎
Решение. Запишем уравнение в виде 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − (𝑎 + ) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + = 0.
2
2
1
По теореме Виета 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎 или 𝑠𝑖𝑛𝑥 = .
2
𝜋
Множество решений первого уравнения 𝑥 = (−1)𝑛 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
6
второе уравнение имеет решения 𝑥 = (−1)𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 только при
|𝑎| ≤ 1. При 𝑎 =
1
уравнение имеет только одну серию решений.
2
𝜋
Ответ: при 𝑎 ∈ [−1; 1] 𝑥 = (−1)𝑛 + 𝜋𝑛, 𝑥 = (−1)𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎 + 𝜋𝑘, 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑍
6
𝜋
𝑥 = (−1)𝑛 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
при 𝑎 ∈ (−∞; 1) ∪ (1; +∞)
6
Пример 2. При каких а уравнение 𝑠𝑖𝑛√𝑎 − 𝑥 2 = 0 имеет ровно 6 корней?
Решение. Решая уравнение 𝑠𝑖𝑛√𝑎 − 𝑥 2 = 0, получим
√𝑎 − 𝑥 2 = 𝑘𝜋 (𝑘 = 0,1,2, … ), откуда 𝑥 = ±√𝑎 − 𝑘 2 𝜋 2 . Уравнение будет
иметь равно 6 корней, если подкоренное выражение будет положительным
при 𝑘 = 0,1,2 и отрицательным при 𝑘 ≥ 3. Значения а находим из системы
𝑎 − 32 𝜋 2 < 0 < 𝑎 − 22 𝜋 2  4𝜋 2 < 𝑎 < 9𝜋 2
Ответ: 𝑎 ∈ (4𝜋 2 ; 9𝜋 2 )
Пример 3. Решить неравенство 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 >
Решение. 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 >
1
2

π
6
+ 2𝜋𝑛 ≤ 𝑎𝑥 ≤
1
2
5π
6
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
1) если а=0, то решений нет,
2) если а > 0
3) если а < 0
π
6𝑎
5π
6𝑎
+
+
2𝜋𝑛
𝑎
2𝜋𝑛
𝑎
≤𝑥≤
≤𝑥≤
5π
6𝑎
π
6𝑎
+
+
2𝜋𝑛
𝑎
2𝜋𝑛
𝑎
, 𝑛 ∈ 𝑍,
, 𝑛 ∈ 𝑍,
Пример 4. При каких а неравенство (𝑎2 − 4)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 5𝑎
выполняется для любых 𝑅?
Решение. Так как (𝑎2 − 4)2 + (4𝑎)2 = (𝑎2 + 4)2 , то
𝑎2 −4
(𝑎2 − 4)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 = (𝑎2 + 4) (
𝑎2 +4
= (𝑎2 + 4)𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝛼), где 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 +
4𝑎
𝑎2 +4
𝑎2 −4
4𝑎
𝑎2 +4
𝑎2 +4
, 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑠𝑖𝑛𝑥) =
.
Первоначальное неравенство примет вид 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝛼) ≤
5𝑎
𝑎2 +4
.
(1)
Учитывая, что 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝛼) ≤ 1, делаем вывод, что неравенство (1) будет
выполняться для любых 𝑥 ∈ 𝑅 только в том случае, когда
5𝑎
𝑎2 +4
≥ 1  a2 − 5𝑎 + 4 ≤ 0, откуда 𝑎 ∈ [1; 4].
Ответ: 𝑎 ∈ [1; 4].
Упражнения.
1. Решить уравнения:
1) sin3x=asinx,
2) sin(2x+3)=a+1,
3) cos √𝑥 − 1 = 2𝑎.
2. При каких значениях 𝑎 уравнения имеют решения:
1) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑎,
2) √6 sin 𝑥 + 5 cos 𝑥 = 𝑎,
3. При каких а уравнение 𝑐𝑜𝑠√𝑎 − 𝑥 2 = 0 имеет ровно 8 корней?
4. Решить неравенства:
1) 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 2 − 𝑎2 ,
2) (𝑎 − 2)𝑠𝑖𝑛 𝑥 > 3𝑎 + 4.
Примеры задач, предлагавшихся на ЕГЭ
Пример 1. Найдите все значения а, для которых при каждом х из
промежутка [-5;-2) значение выражения не равно значению выражения 𝑎|𝑥|.
Решение.
1) 𝑥 2 − 4|𝑥| − 2 ≠ 𝑎|𝑥|  𝑓(𝑡) ≠ 0, где 𝑡 = |𝑥| и 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 − (𝑎 + 4)𝑡 − 2.
Следовательно, требуется, чтобы уравнение 𝑓(𝑡) = 0 не имело корней на
промежутке (2;5].
2) График функции y= 𝑓(𝑡) - парабола, ветви которой направлены вверх, а
точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс, так как
𝑓(0) = −2 Поэтому квадратный трехчлен 𝑓(𝑡) имеет два корня:
𝑡1 < 0 и 𝑡2 > 0 0. Если 0 < 𝑡1 < 𝑡2 , то 𝑓(𝑡) < 0, а если t > t2, то 𝑓(𝑡) > 0.
Таким образом, уравнение 𝑓(𝑡) = 0 имеет корень на промежутке (2;5] тогда
𝑓(2) < 0
и только тогда, когда 2 < 𝑡2 ≤ 5  {
.
𝑓(5) > 0
3) Решим полученную систему:
22 − 2(𝑎 + 4) − 2 < 0
3
−3 < 𝑎 ≤
{ 2
5
5 − 5(𝑎 + 4) − 2 > 0
Итак уравнение 𝑓(𝑡) = 0 не имеет корней на
3
промежутке (2;5] тогда и только тогда, когда 𝑎 ≤ −3 или 𝑎 > .
5
3
Ответ: 𝑎 ≤ −3 , 𝑎 > .
5
Пример 2. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых
наименьшее из двух чисел
b = a4 (1 − 5a−2 ) − 1 и c = a−3 (5a − a−1 ) − 1 больше − 7 .
Решение.
По условию а > 0 .
1) 𝑏 > −7 𝑎4 − 5𝑎2 − 1 > −7  𝑎4 − 5𝑎2 + 6 > 0 
2
 (𝑎2 − 2)(𝑎2 − 3) > 0  [𝑎2 > 3 .
𝑎 <2
𝑎 > √3
С учетом а > 0 получаем [
.
0 < 𝑎 < √2
2) 𝑐 > −7  5𝑎−2 − 𝑎−4 − 1 > −7  𝑎−4 − 5𝑎−2 − 6 < 0 
 (𝑎−2 − 6)(𝑎−2 + 1) < 0  𝑎−2 < √6  𝑎 >
1
.
√6
3) Наименьшее из чисел b и c больше −7 тогда и только тогда, когда каждое
1
< 𝑎 < √2
𝑏 > −7
из них больше −7, т. е. когда {
 [√ 6
.
𝑐 > −7
𝑎 > √3
Ответ:(
1
√6
; √2) ∪ (√3; +∞)
Пример 3. (Демоверсия 2009) Найдите все значения 𝑥 > 1, при каждом
из которых наибольшее из двух чисел
𝑎 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 32 − 2 и 𝑏 = 41 − 𝑙𝑜𝑔2 2 𝑥 2 больше 5.
Решение. Так как 𝑥 > 1, то 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 > 0
1) 𝑎 > 5  𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 32 − 2 > 5  𝑙𝑜𝑔2 𝑥 +

𝑙𝑜𝑔2 2 𝑥−7 𝑙𝑜𝑔2 𝑥+10
𝑙𝑜𝑔2 𝑥
10
𝑙𝑜𝑔2 𝑥
−7>0
> 0  ( 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2)( 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 5) > 0  [
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 > 5
.
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < 2
2) 𝑏 > 5  41 − 𝑙𝑜𝑔2 2 𝑥 2 > 5  4𝑙𝑜𝑔2 2 𝑥 < 36 𝑙𝑜𝑔2 2 𝑥 < 9  𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < 3.
3) Наибольшее из чисел а и b больше 5 тогда и только тогда, когда хотя бы
одно из них больше 5, то есть когда
[
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 > 5
𝑥 > 32
𝑎>5
[
[
.
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < 3
𝑥<8
𝑏<2
Ответ: 1 < 𝑥 < 8, 𝑥 > 32.
Упражнения.
1. Найдите все значения а, такие, что для любого х выполняется неравенство
|𝑥 + 1| + 2|𝑥 + 𝑎| > 3 − 2𝑥.
2. К числу корней уравнения (𝑝 − 2)𝑥 3 + 𝑥 2 +
𝑥
𝑝−2
+ 1 = 0прибавили число
корней уравнения 𝑝𝑥 2 + (𝑝 + 2)𝑥 + 𝑝 − 1 = 0. Найдите все значения p при
которых такая сумма равна p.
Литература для учителя:
1.
Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное
пособие по математике. -Мн.: Асар, 1996.
2.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.
ООО «Илекса», 1998.
3.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и
математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для школ и
классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение,
1995.
4.
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по
математике за курс средней школы: условия и решения. – М.:
Школа-пресс, 1994.
5.
Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для
поступающих в вузы.- М.: АРКТИ, 2001.
6.
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной
математике. Алгебра. Тригонометрия. - М.: ABF, 1995.
7.
Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные
уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие.- М.: АРКТИ,
2003.
8.
Локоть В.В. Задачи с параметрами.Иррациональные уравнения,
наравенства, системы, задачи с модулем.- 2-е изд., испр. и доп.- М.:
АРКТИ, 2006.
9.
Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решения. Тригонометрия:
уравнения, неравенства, системы. 10 класс.-М.: АРКТИ, 2002.
10.
Малышев И.Г., Мичасова М.А., Иванов Б.Н. Избранные вопросы
профильного и предпрофильного курса математики: учебнометодическое пособие.- Н.Новгород: Нижегородский гуманитарный
центр, 2007.
11.
Мичасова М.А., Малышев И.Г., Иванов Б.Н. Теоретические и
практические вопросы для подготовки к ЕГЭ по математике.Н.Новгород: Нижегородский институт развития образования, 2009.
12.
Мичасова М.А., Малышев И.Г., Иванов Б.Н. Подготовка к ЕГЭ по
математике. Задания С1-С6.- Н.Новгород: Нижегородский институт
развития образования, 2009.
13.
Моденова В.П. Задачи с параметрами. Координатнопараметрический метод: учебное пособие.-М.: «Экзамен», 2006.
14.
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач:
Учебное пособие для 10 класса средней школы. - М.: Просвещение,
1989.
Литература для обучающихся:
1.
Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное
пособие по математике. -Мн.: Асар, 1996.
2.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.
ООО «Илекса», 1998.
3.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и
математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для школ и
классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение,
1995.
4.
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по
математике за курс средней школы: условия и решения. – М.:
Школа-пресс, 1994.
5.
Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для
поступающих в вузы.- М.: АРКТИ, 2001.
6.
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной
математике. Алгебра. Тригонометрия. - М.: ABF, 1995.
7.
Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные
уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие.- М.: АРКТИ,
2003.
8.
Локоть В.В. Задачи с параметрами.Иррациональные уравнения,
наравенства, системы, задачи с модулем.- 2-е изд., испр. и доп.- М.:
АРКТИ, 2006.
9.
Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решения. Тригонометрия:
уравнения, неравенства, системы. 10 класс.-М.: АРКТИ, 2002.
10.
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач:
Учебное пособие для 10 класса средней школы. - М.: Просвещение,
1989.