Факультатив в 8(9)

№1. Решите уравнение: ах = 1.
Решение:
если а  0, то уравнение не имеет решений;
если а  0, то х 
1
.
а
№2. Решите уравнение: (а2 1)х = а + 1.
Решение:
если а  1, то 0  х  2, т.е. уравнение не имеет решений;
если а  1, то 0  х  0, т.е. х  любое число;
1
.
а 1
№3. Решите неравенство: ах < 1.
Решение:
1
если а  0, то х  ;
а
если а  0, то 0  х  1, т.е. х  любое чило;
если а  1, то х 
если а  0, то х 
1
.
а
№4. При каких значениях параметра а неравенство
решение?
Решение:
а  2, то
х  а х  2  0
х  2х  2  0,
х  22  0,
а
имеет единственное
х
2
2
а
х
х  2;
если а  2, то х  а; 2 или х  2; а  (см. рисунок 1).
рис. 1
Ответ : при а  2.
№5. При каких значениях параметра а решением неравенства
отрезок?
Решение:
2
Т.к. х  а   0, то данное неравенство равносильно системе :
х  а 2 х  2х  3  0
будет
х  2х  3  0,

 х  а.
Решением неравенства является отрезок  3; 2.
Т.к. х  а, то а   3; 2.
Ответ : при а   3; 2.
№6. При каких значениях параметра а уравнение ах2  х + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение:
1. а  0, тогда
 х30
х3
2. а  0, тогда
D  1  12а
D  0, если а 
1
.
12
Ответ : уравнение имеет единственное решение при а  0 или а 
1
.
12
№7. При каких значениях параметра а уравнение (а  2)х2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственное
решение?
Решение:
1. а  2, тогда
0 х2  0 х  3  0
Уравнение не имеет решений.
№8. При каких значениях параметра а уравнение ах2  4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?
Решение:
1. При а  0 уравнение  4 х  3  0 имеет один корень,
что не удовлетворяет условию.
а
2. При а  0 уравнение имеет два корня, если D  0
4
1
D  4  а а  3  а 2  3а  4
D  0, если а 2  3а  4  0
а   4; 1 см. рисунок 2 
рис. 2
Из этого промежутка надо исключить 0.
Ответ : а   4; 0   0; 1
№9. При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х2 + (2а + 6)х  3а  9 = 0 имеет более
одного корня?
Решение:
а а  3х 2  2а  3х  3а  9   0
1. Если а  0, то 0  х 2  6 х  9  0
х  1,5  т.е. уравнение имеет единственное решение;
2. Если а  3, то 0  х 2  0  х  0  0, т.е. х  любое число;
3. Если а  0 и а  3, тогда уравнение имеет более одного корня, если D  0
D  а  3  а а  3 3а  9   а  3  3а а  3  а  3 1  3а 
2
2
2
2
1
D  0, если а   .
3
 1 
С учетом условия а  0, имеем : а    ; 0   0;   
 3 
 1 
Ответ : уравнение имеет более одного корня при а   3   ; 0   0;   
 3 
№10. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение
имеет два различных действительных корня.
Решение:
ОДЗ : 11  b 2  0; b  11;  11  b  11.
b  1x 2  2 x
11  b 2  1  0
1. Если b  1, то 0  х  2 х 10  1  0  уравнение имеет единственный корень,
что не удовлетворяет условию.
2. Если b  1, то уравнение имеет два различных действительных корня, если D  0
D
 11  b   b  1  11  b
2
2
2
 b  1  b 2  b  12
D  0, если b 2  b  12  0
b   4; 3  см. рисунок 3


С учетом ОДЗ и вывода в п. 1, получим : b   11; 1  1; 3
Ответ : уравнение имеет два различных действительных корня,


если b   11; 1  1; 3
b
4
3
рис. 3
№11. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (а + 4)х2  2ах + 2а – 6 > 0 не
выполняется ни при каком действительном х.
Решение:
Чтобы выполнилось услови задачи, надо, чтобы неравенство
а  4х 2  2ах  2а  6  0 выполнялось для всех х.
7
 выполняется не для всех х.
4
2. Чтобы нервенство выполнялось для всех х, надо, чтобы, ветви
1. Если а  4, то 8 х  14  0, х 
параболы были направлены вниз и выполнялось условие D  0.
D  a 2  a  4 2a  6   a 2  2a  24
a  4,
a  4  0,

 a  6;  a  6 
 2
a  2a  24  0;
a  4;

Ответ : при а   ;  6.
№12. Найдите все значения параметра b, при которых функция f(х) = bх2 + 4х + 5 имеет
наибольшее значение, и это значение больше 5,5.
Решение:
1. b  0; f  x   4 x  5  графиком функции будет прямая,
наибольшег о значения нет.
2. b  0; графиком функции будет парабола, ветви которой
напрвлены вверх, наибольшег о значения нет.
3. b  0; найдем координаты вершины параболы :
х0  
2
b
f  x0   b 
4 8
4
 5  5
2
b
b
b
Наибольшее значение функции должно быть больше 5,5
b  0,
b  0,

 4
1 
b  8.
 b  5  5 2 ;
Ответ : при b   8; 0 
№13. Для каждого значения параметра а решите неравенство:
ха
 0.
2х 1
Решение:
ха
2х 1
1  1


1. D f     ;      ;   
2  2


 х  а,
 х  а  0,

2. f  х   0, если 

1  х  а 
2 х  1  0;
 х   2 ;
3. Рассмотрим все возможные случаи
Пусть f х  


Ответ : при а  
1
 1

x   ; a     ;   
2
 2

1
1  1


х    ;      ;   
2
2  2


1
1

при а  
х    ;    а;   
2
2

при а  

а

1
взаимного расположения а и 
2
см. рисунок 4

а
х
1
2

х
1

2



1
2

а
рис. 4
 х 2  9  0,
№14. При каких значениях параметра b система 
не имеет решений?
 x  4  b
Решение:
х
1. При b  0 система не имеет решений.
2. При b  0 система равносильна следующей
системе :
 3  x  3,
 3  x  3,


 b  x  4  b;
  b  4  x  b  4.
Полученная система не имеет решений,
х
3
3
4b 4b
4b 4b 3
если см. рисунок 5 
4  b  3;
b  7;
4  b  3;  b  1;  b  1


Таким образом, система не имеет решений,
х
3
рис. 5
если
b  0 или 0  b  1, т.е. при b  1.
Ответ : при b  1.
№15. Найдите все значения параметра а, при которых квадратный трехчлен 0,5х2 – 2х  5а + 1
имеет два различных корня, сумма кубов которых меньше 40.
Решение:
 х13  х23  40, x1  x2  x12  x1 x2  x22  40,


 D  0;
1  0,51  5a   0;
2
1  5a
1. x1  x2 
 4, x1  x2 
 21  5a 
0,5
0,5


2. x12  x1 x2  x22  x12  2 x1 x2  x22  3x1 x2   x1  x2   3x1 x2
2
Итак,


4 4 2  3  21  5а   40,
16  6  30a  10,
a  0,



a  0,2;
a  0,2.
2,5a  0,5  0;
Ответ : при а   0,2; 0.
№16. Для каждого значения параметра а решите неравенство: ах 2  2а  3х  а  1  0 .
Решение:
1. Если а  0, то 0  х 2  3х  1  0; х 
1
3
2. а  0
D  2a  3  4aa  1  4a 2  12a  9  4a 2  4a  16a  9
2
D  0, если а 
9
16

 2а  3  9  16а
;
 x1 
2
а


 2а  3  9  16а
.
 х2 
2а

х   ; х1   х2 ;    см. рисунок 6 
х1
х
рис. 6
3. а  0
а) Если D  0, т.е. 0  а 
х2
9
, то х  х1 ; х2  см. рисунок 7 .
16
9
, то решений нет.
16
9
5
в) Если D  0, т.е. а  , то х 
16
3
Ответ : при а  0 х   ; х1   х2 ;   ;
б) Если D  0, т.е. а 
1

при а  0 х   ;   ;
3

9
при 0  a 
х  х1 ; х2 ;
16
9
5
при а 
х ;
16
3
9
при а 
нет решений.
16
х1
х2
х
рис. 7
№17. Для каждого значения параметра а решите неравенство: х2  (3а+6)х + 2а2 + 11а + 5 < 0 .
Решение:
2
D  3a  6   4 2a 2  11a  5  9a 2  36a  36  8a 2  44a  20 


 a 2  8a  16  a  4  .
2
x1,2 
a  42
3a  6 
2
1. Если а  4, то x1,2

3a  6  a  4
2
3a  6  а  4 

2
3а  6  а  4

;
 х1 
 х1  2а  1;
2


 х 2  а  5.
 х  3а  6  а  4 ;
2
2

При а  4 2а  1  а  5, т.е. х  а  5; 2а  1.
2. Если а  4, то x1,2 
3a  6  4  а 
2
 х1  а  5;
 х  2а  1.
 2
При а  4 2а  1  а  5, т.е. х  2а  1; а  5.
3. Если а  4, то х 2  18 х  32  44  5  0
х 2  18 х  81  0
х  92  0  нет решений.
Ответ : при а  4 х  а  5; 2а  1;
при а  4 х  2а  1; а  5;
при а  4 нет решений.
№18. При каких значениях параметра а уравнение х 2  3а  1 х  2а 2  а  0 имеет четыре
различных корня?
Решение:
2
Т.к. х 2  х , можно преписать данное уравнение в виде :
х  3а  1 х  2а 2  а  0
2


D  3a  1  4 2a 2  a  9a 2  6a  1  8a 2  4a  a  1
2
2
3a  1  a  1

;
 x 1  2a  1;
 x1 
2


 x 2  a .
 x  3a  1  a  1 ;
 2
2
Для того, чтобы данное по условию уравнение имело четыре
различных корня, надо, чтобы выполнялись условия :
1

a ,
 x 1  0,

2
a

1

0
,

1
2




a  ,
 a  0,  
2
 x 2  0,  a  0,

 2 a  1  a;
a  1;
a  1.

 x 1  x 2 ;


1 
Ответ : при а   ; 1  1;   .
2 