Золотое сечение

НАЦИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ»
КОНКУРС ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
«ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»
Секция: Математика
ВОКРУГ ХРАМА С КАЛЬКУЛЯТОРОМ В ПОИСКАХ
ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
Вяткина Оксана
МОУ «Еланская СОШ», 11 класс, п. Елань
Новокузнецкий район Кемеровская область
Куюкова Татьяна Михайловна,
учитель математики
г. Обнинск, 2007-08 учебный год
Содержание
Введение
3
Основная часть
1.
Золотое сечение и связанные с ним соотношения
4-7
2.
Золотое сечение в архитектуре. Золотой вурф
8 - 11
3.
Золотое сечение в архитектуре русских храмов
11 - 13
4.
Исследование системы пропорций в архитектуре храма
14 - 17
поселка Абагур Лесной
Заключение
18
Литература
19
Приложение (словарь терминов)
20 - 21
2
Введение
Актуальность исследования. Необходимость исследования обусловлена интересом
к золотому сечению с точки зрения дальнейшей перспективы (применения полученных знаний
в своей будущей профессии инженера-строителя), интересом к духовному наследию русского
народа, к православию и православному зодчеству.
Почему православные
храмы так притягательны для верующих и неверующих?
Храмы на Руси всегда выходили за рамки только культового назначения. Храм - это прежде
всего общественное место, нередко праздничное, предмет постоянной заботы и гордости
местных жителей. Ее архитектура выражает идеал красоты, в ее образах воплощается духовное
совершенство. Православные храмы удивляют своей красотой и совершенством благодаря
точным пропорциям, образующим своеобразный «математический каркас» церкви.
Что такое идеальная пропорция? Какие секреты знали древние зодчие? Какое
значение имеет Золотое сечение в эстетическом и художественном формообразовании? Какие
пропорции присущи архитектуре древних русских храмов? В ходе анализа литературы,
современной практики строительства храмов возникает вопрос: не утрачены ли традиции
старых мастеров, создавших шедевры мирового зодчества? Попытаемся найти ответы на эти
вопросы, изучив литературу и сделав детальный анализ постройки
ближайшей церкви
с
помощью геометрических инструментов и вычислений.
Объект исследования: «математический каркас» церкви поселка Абагур Лесной.
Предмет исследования: пропорции в архитектуре церкви поселка Абагур Лесной.
Гипотеза: в архитектуре церкви поселка Абагур заложены пропорции золотого сечения.
Цель работы: выявить гармоничность постройки церкви поселка Абагур Лесной
с точки
зрения Золотого сечения.
Задачи:
1.Проанализировать различные аспекты изучения данной темы. (Осуществить поиск и отбор
информации о Золотом сечении в геометрии, в архитектуре древних построек, православном
зодчестве).
2.Исследовать пропорции в архитектуре церкви
поселка Абагур с точки зрения Золотого
сечения и сделать выводы на основе полученных фактов.
3.Оформить результаты исследования.
Методы:
 эмпирические:
измерение,
изучение
чертежей,
наблюдение,
сравнение,
математические расчеты;
 теоретические: восхождение от абстрактного к конкретному, формализация;
 общие методы: абстрагирование и конкретизация, анализ, синтез, индукция.
3
Основная часть
1. Золотое сечение и связанные с ним соотношения
Одна из самых важных пропорций, которая часто встречается в произведениях
искусства: скульптуре, живописи, архитектуре, а также в природе
это так называемая
Золотая, или божественная пропорция. Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал
Золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Как же оно получается?
Золотое сечение - это такое деление целого на две неравные части, при котором
большая часть так относится к целому, как меньшая часть - к большей. В геометрии Золотое
сечение называется также делением отрезка в крайнем и среднем отношении.
AC
CB
=
AB
AC
A
(1)
C
x
B
a-x
a
Рис. 1.
Если длину отрезка АВ обозначить через α, а длину отрезка АС –через х, то длина
отрезка СВ будет α – х и пропорция (1) примет вид:
x
ax
=
a
x
(2)
Применяя основное свойство пропорции, приведем уравнение (2) к виду:
х2 = а (а - х)
Из этого уравнения видно, что при Золотом сечении длина большего отрезка есть
среднее геометрическое или среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей
части: х =√α (α - х)
Верно и обратное: если отрезок разбит на два неравных отрезка так, что длина
большего отрезка есть среднее геометрическое длин всего отрезка и его меньшей части, то
мы имеем Золотое сечение данного отрезка.
Построение золотых отрезков
Геометрический способ построения Золотого
сечения, не требующий никаких
вычислений, не изменился до настоящего времени и называется «способом архитекторов».
Он прост, как все гениальное. И предполагает всего два движения циркулем. Начертим
отрезок АВ. В точке В проводим перпендикуляр к АВ и на нем откладываем ВD = 0,5АВ;
далее, соединив точки А и D, откладываем DE = BD и АС = АЕ. Точка С является искомой –
она производит Золотое сечение отрезка АВ.
4
В самом деле, заметим, что по
теореме Пифагора
D
(АЕ + ED)² = AB² + BD²
E
и по построению
AE = AC, ED = BD = 0,5 AB.
Из этих равенств следует:
С
A
В
AC² + AC ∙ AB = AB².
Рис. 2. Построение Золотого сечения отрезка
Отсюда получается равенство (1).
Применяя основное свойство пропорции, приведем уравнение (2) к виду:
а (а - х) = х2 или х2 + а х - а2 = 0.
Решив его, получим два корня:
х1 =
1 5
5 1
a и х2 =
a.
2
2
Первый корень – отрицательный, поэтому не подходит. Число
5 1
обозначается буквой φ
2
в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до нашей эры), в творениях которого это
число встречается многократно. Число φ - иррациональное, оно равно φ = 0,618033989 ….
На практике пользуются числом φ, взятым с точностью до тысячных 0,618, или до сотых
0,62, или до десятых 0,6. Если
5 1
≈ 0,618, то х ≈ 0,618 а,
2
а - х ≈ 0,382 а.
Таким образом, части «Золотого сечения» составляют приблизительно 62 % и 38 % всего
отрезка.
Построение ряда отрезков Золотой пропорции можно производить как в сторону
увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем
отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков Золотой
пропорции восходящего и нисходящего рядов.
Рис. 3. Построение шкалы отрезков Золотой пропорции
Загадочные свойства Золотого сечения
областях окружающего нас мира.
5
открываются
в самых неожиданных
Некоторые свойства Золотого сечения
Если в пропорции (2) положить x = aφ, то относительно φ получится следующее
уравнение:
φ2 + φ – 1 = 0
(3).
Положительный корень уравнения равен отношению Золотого сечения:
φ=
x ax
=
=
a
x
5 1
a.
2
Это замечательное число, обладающее рядом интересных свойств.
1. Вычисления показывают, что
φ = 0,618033989 … ,
1

= 1, 618 033989 …
Число, обратное φ, на единицу больше самого φ. Это единственное положительное число,
обладающее таким свойством.
2. Если рассмотреть геометрическую прогрессию
то поскольку
1, φ, φ 2, φ 3, φ 4, … , φ n, … ,
φ2 = 1 + φ,
φ 3 = φ + φ2 = φ + (1 + φ) = 2φ + 1,
φ 4 = 2φ2 + φ = 3φ + 2,
φ 5 = 3φ2 + 2φ = 5φ + 3, …
Из соотношения
φ n=φ
n – 1
+ φ
n – 2
видно, что коэффициенты при φ образуют
последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , n-й член которой связан с предыдущими
отношением un = un-1 + un-2. Этот набор чисел известен как ряд чисел Фибоначчи. Главное
свойство ряда Фибоначчи заключается в том, что каждый последующий член, начиная со
второго, равен сумме двух предыдущих. Если вычислить отношения соседних чисел, то
получим бесконечную дробь, в пределе стремящуюся к Золотому числу.
Позднее Кеплер и Ньютон доказали, что отношениями численного ряда Фибоначчи
определяются радиусы и периоды обращения планет вокруг солнца, законы небесной и
земной механики. Ботаники увидели эти числа в строении растений, зоологи - в раковинах
моллюсков, кристаллографы – в структуре кристаллов, анатомы - в строении форм
человеческого тела. Таким образом, Золотое сечение является морфологическим законом в
природе и искусстве.
2. Золотое сечение в архитектуре
Золотое сечение – понятие математическое, но оно является критерием гармонии и
красоты в искусстве. В энциклопедическом словаре изобразительного искусства дано такое
определение Золотого сечения:
«Золотое сечение, или божественная пропорция (лат. Sectio aurea; Sectio Divina; см.
золото; пропорционирование) - идеальное соотношение величин, наилучшая и единственная
6
пропорция, уравновешивающая отношения частей какой-либо формы между собой и каждой
части с целым, основа гармонии» [4].
Там же дана «формула красоты»: (А +В) : А = А : В. «Эстетический смысл этой
формулы состоит в том, что, данная пропорция является единственно возможной, тем
идеальным случаем, когда уравниваются отношения частей какой-либо величины между
собой и каждой из этих частей с целым. Все прочие гармонические отношения связывают
только отдельные части формы, а Золотая пропорция связывает части и целое [4].
«Значение
этой
закономерности
в
эстетическом
и
художественном
формообразовании громадно. Согласно принципу целостности, конструктивная основа
любой композиции стремится к наиболее простой форме и ясным легко воспринимаемым
отношениям частей. И лучше всего, если они пронизывают всю композицию единой
закономерностью во всех ее частях, членениях, вплоть до самых мелких, незначительных.
Тогда и возникает ощущение мировой гармонии. Художники всех времен, в большинстве
случаев не подозревая о правиле «золотого сечения», так или иначе, интуитивно его
ощущали и эмпирически приближались к идеальным пропорциям» [4]. Форматы
живописных картин, икон, книг, листов писчей бумаги, отношения сторон оконных и
дверных проемов классической архитектуры приближаются к Золотому сечению.
Считают, что деление отрезка в отношении Золотой пропорции открыл великий
Пифагор в VI веке до нашей эры. Однако пропорции пирамиды Хеопса, барельефов из
гробницы
Тутанхамона
свидетельствуют,
что
египетские
мастера
пользовались
соотношениями Золотого деления задолго до Пифагора. Французский архитектор Ле
Корбюзье нашел, что пропорции фигур на рельефе, изображающем фараона Рамзеса,
соответствуют величинам Золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе
гробницы
держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы
пропорции Золотого деления.
Греки и римляне не только стали широко использовать Золотое деление в
архитектуре и скульптуре, но и пытались как-то объяснить, почему оно производит
наилучшее эстетическое впечатление.
Исследованием
Золотого
сечения
занимались
Платон (IV-III в. до н.э.), Евклид (III в. до н.э.), Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и
другие.
В своей практической деятельности человек сравнивает окружающий его мир с
естественными эталонами. Один из таких эталонов - его собственное тело. Рост человека
делится в Золотых пропорциях линией пояса, а так же линией проведенной через кончики
средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом.
7
Множество архитектурных шедевров построено по пропорции Золотого сечения.
Примером может служить величайшее сооружение древности Парфенон (V в. до н. э.) – храм
Афины, в котором сложная композиция пронизана единой закономерностью во всех ее
частях, вплоть до самых мелких.
Парфенон
является символом гармонии в мировом
искусстве.
Известно, что прямоугольник, обрамляющий его фасад, имеет размеры 2 φ -1 и φ+1.
При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы
античного мира.
Рис. 4. Античный циркуль
В эпоху Возрождения усиливается интерес к Золотому сечению
в связи с его
применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В 1509 г. в
Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще
выполненными иллюстрациями, предполагают, что их выполнил Леонардо да Винчи. Книга
была восторженным гимном Золотой пропорции.
В последующие века правило Золотой пропорции превратилось в академический
канон в архитектуре и искусстве. Так, например,
пропорционированы планы, фасады и
ортогональные сечения, романских и готических соборов западной Европы.
Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал
Золотое сечение, например, здание сената в Кремле,
Голицинская больница. Еще один
пример применения Золотого сечения – дом Пашкова в Москве, является одним из наиболее
совершенных произведений архитектора В. Баженова.
Особое значение в архитектуре для планировки зданий имеет универсальная шкала,
основанная на Золотом сечении, которую Сколфилд называет предтечей модулера – шкалы,
предложенной знаменитым архитектором Ле Корбюзье.
Она основана на аддитивном свойстве Золотого сечения. Если длину un нового
отрезка на чертеже всякий раз выбирать равной φ un-1 , где un-1 - длина предыдущего
отрезка, то части чертежа заведомо сойдутся, т.к.
8
un
=
un-1 + un-2.
Пусть
А, А1, А2, … - точки одной
прямой. Предположим, что прямые АВ, А1В1,
V
A
А2В2,, … перпендикулярны прямой АА1, а все
B
E
прямые ВВ1В2,, ЕЕ1Е2,, FF1F2., … проходят
F
через одну точку V
A1
этой прямой. Тогда по
теореме о подобных треугольниках:
АВ : АЕ : АF…= А1В1 : А1Е1 : А1F1 … =
A2
B
1
1E
11
2
F
2
21
2
1
B
2
E
2
F
2
А2В2, : А2Е2 : А2F2 …
Из параллельности прямых АВ, А1В1, А2В2 ,..
вытекает:АА1 : АА2 …= ВВ1 : ВВ2 …= ЕЕ1 : ЕЕ2
Рис.5.
Универсальная
шкала,
основанная на Золотом сечении.
Таким образом, мы получаем метод построения любого числа шкал, основанных на Золотом
сечении.
Архитекторы нового времени наряду с Золотым сечением часто используют другой,
тесно связанный с симметрией, канон пропорций. Речь идет о Золотом вурфе.
Золотой вурф
Если внимательно посмотреть на наше тело, то бросается в глаза трехчленность
строения нашего тела: пальцы рук и ног состоят из трех фаланг, тело – из трех частей.
Обозначим максимальную часть
- АВ, среднюю – ВС, минимальную – СД.
Составим линейное отношение:
W=
( АВ  ВС )( ВС  СД )
≈ 1,309.
ВС ( АВ  ВС  СД )
Это отношение называется вурфом.
Вурф
обладает
замечательным
свойством:
не
меняться
при
конформном
преобразовании. Четыре точки А,В,С,Д могут преобразоваться относительно окружности
любым образом, но их вурф остается неизменным.
С большой точностью (в пределах 3%) вурфы всех трехчленных блоков тела
человека равны между собой и близки к числу 1,309, которое связано с известными нам
числами Фибоначчи, а именно:
W
=

2,618
=
=1,309…
2
2
Эту величину называют Золотым вурфом по аналогии с Золотым сечением.
Знаменитый архитектор Ле Корбюзье писал: «В моей пропорциональной сетке
приведены три основных размера 113:70:43; они находятся в отношениях Золотого сечения
9
и отвечают ряду Фибоначчи. Три размера 113:183:226 - определяют размеры пространства,
в которое вписывается фигура человека ростом в 6 футов». Эти тройки чисел отвечают
Золотому вурфу. Золотой вурф, так же как и Золотое сечение, будучи воплощенный в
геометрические формы, производит наибольшее эстетическое впечатление гармоничностью
своих пропорций.
3. Золотое сечение в архитектуре русских храмов
В древнерусской архитектуре количество глав, связанных с конструкцией храмов,
следуют численному ряду Фибоначчи: 1, 3, 5, 8, 13, 21. Храм Василия Блаженного в
Москве имеет 1+8 = 9 глав, храм Святой Софии в Киеве - 13 глав, церковь Преображения в
Кижах
21+1 = 22 главы. Отношения нижних ярусов колокольни «Иван Великий» в
Москве 0, 618 : 0,382.
Множество архитектурных шедевров русского зодчества построено по пропорции
Золотого сечения. Ярким примером
древнерусского зодчества ХII века является храм
Покрова Богородицы, стоящий на берегу владимирской речки Нерль.
В чем особенность архитектуры храма? План храма состоит из трех частей – нефов. В
закруглениях восточной части (апсидах) помещается алтарь. Главная часть храмовой
постройки – куб. В центре его верхней грани расположен барабан, на котором помещается
купол. Венчает конструкцию крест. Если спроектировать барабан и купол на основание
храма, то они изобразятся кругом, помещенным в центральную часть символического
квадрата.
«Архитектура храма глубоко символична: куб воплощает землю, а купол – небо.
Основой плана является крест – символ христианства. Главу храма держит Христос –
Вседержитель, шею (барабан) - апостолы. В самом храме земля и небо соединяются в
архитектурном строе, они создают единое пространство.
Лаконичная «кубическая» композиция одноглавого храма Покрова на Нерли
поражает своей простотой и строгостью. Правильные формы подчинены единому и точному
замыслу. Как все здесь просчитано, уравновешено и продумано. Точные пропорции и
старинные меры образуют своеобразный «математический каркас» церкви» [1].
При постройке здания зодчие использовали древне русские меры длины – сажени. Их
насчитывают шесть, связаны между собой по такому же принципу, что и египетская система
диагоналей. Их отношения следуют функции Золотого сечения. Главной “строительной
единицей”, из которой получались другие, была мерная, или маховая сажень. Сажень
определялась расстоянием, до которого могут дотянуться руки человека.
Если, например, принять рост человека за а, то мерная сажень будет выражаться
числом См = 1,03а. Построим квадрат, длина стороны которого равна мерной сажени, и с его
10
помощью найдем еще одну сажень, которой также пользовались древние зодчие. Это так
называемая сажень без чети. Ее длина изображается отрезком АМ. Эту меру назвали так
потому, что она не имела пары, что по-старославянски означало ”без чети”. Из треугольника
АМЕ:
C
AM
= ч = 5.
2 EM С м
2
Современные
внимательно
Полученное отношение есть функция Золотого сечения.
искусствоведы
изучали
обнаружили,
что
и
архитекторы
пропорции
при
церкви
постройке
E
и
M
D
F
С
храма
использовался прямоугольник ABCD. Его длина – 3
сажени без чети, а ширина – 3 мерные сажени. В
пространстве,
прямоугольника,
примыкающем
к
помещались
столбы,
вершинам
А
В
несущие
барабан и своды. Найдем отношение соседних
Рис. 6. АМ – сажень без чети
сторон этого прямоугольника:
3C ч
= 5 ≈ 1,118
3С м
2
При анализе пропорции храма Покрова на Нерли нам встретились
функции
Золотого сечения. Само Золотое сечение можно встретить в строе храма не один раз. Закону
Золотого сечения подчинены главные вертикали храма, определяющие его силуэт: высота
основания, равная высоте тонких колонок четверика, и высота барабана. Диаметр барабана
относиться к его высоте также в Золотой пропорции. Эти пропорции видны с любых точек
зрения. Если подойти к западному фасаду церкви, то ряд Золотого сечения можно
продолжить: плечи относятся к диаметру барабана в Золотой пропорции. Приняв высоту
белокаменной части храма за единицу, получим ряд Золотого сечения
1, φ, φ 2, φ 3, φ 4, … , φ n, … .
Творение древних зодчих в результате такого
анализа кажется еще более
совершенным. Замечательный пример неразрывного единства архитектуры и математики.
Невольно возникает вопрос: не утрачены ли традиции старых мастеров, создавших
шедевры мирового зодчества? Исследуем систему пропорций церкви поселка
Лесной с точки зрения Золотого сечения.
11
Абагур
4. Исследование системы пропорций в архитектуре храма
поселка Абагур Лесной
Православный деревянный храм-часовня поселка Абагур Лесной носит имя Божией
Матери в честь иконы Ея «Взыскание погибших». Проект церкви разработан
творческой
мастерской архитектора Усольцева В.Н. Архитектурный образ храма
напоминает
вытянутый с востока
на запад
«корабль» (см. приложение 1).
Такая форма
широко
распространена в России.
Главное святилище храма - алтарь находится в апсиде – пятигранном восточном
выступе. Храм имеет три входа: западный, северный и южный. У главного западного входа
помещается притвор, в верхней части которого находится колокольня. Колокольня
завершается шатровым куполом, посаженным на восьмигранный барабан. С первого же
взгляда храм производит впечатление красивого гармоничного строения.
Чтобы исследовать
систему пропорций церкви с точки зрения Золотого сечения
составим таблицу функций Золотого сечения:
φ
φ + 0,5
0,618
1,118
φ+1
1,618
2 φ-1
0,236
2 φ+1
Φ2
2,236
0,382
Φ3
0,146
W
1,309
Исследуем систему пропорций в архитектуре храма в целом и ее отдельных частей.
1. Колокольня
Рассмотрим
главные
вертикали
колокольни,
определяющие его силуэт. Взгляд на колокольню с южной
стороны позволяет
проследить отчетливое деление на три
части: основная часть, до второго карниза, восьмигранный
барабан и
шатер. Заметим, что все приводимые измерения
даны в миллиметрах.
Фасад
нижней
прямоугольник,
части
колокольни
разделенный
вписывается
горизонтально
в
карнизом
притвора. Обозначим: высоту притвора АВ = 4500, высоту
1-ого яруса ВС = 3000, высота основной части АС = 7500.
Сравним отношения высоты притвора к высоте основной
части и высоты второго этажа к высоте притвора:
ВС
3000
=
≈ 0,666;
АВ
4500
АВ
4500
=
= 0,6;
АС
7500
Рис.7. Колокольня церкви
Полученные отношения не равны, отличаются от Золотой пропорции на 8% и на 3%.
12
Части АВ и ВС отрезка АС (нижней части колокольни) связаны отношением:
( АС  АВ)( АВ  ВС ) (7500  4500)( 4500  3000)
=
≈ 1,333.
4500(7500  4500  3000)
АВ( АС  АВ  ВС )
Это отношение не раз еще встретится в пропорциях храма.
Средняя часть колокольни представляет собой восьмигранный барабан. Сравним
отношения высоты 1-го яруса к высоте всего барабана и высоты второго яруса к первому
ярусу:
2250
≈ 0,666.
3380
3380 ≈ 0,6. Полученные отношения не равны, они отличаются от
5630
Золотой пропорции, как и в предыдущем случае, на 8% и на 3%. Заметим, что пропорции
основной и средней частей колокольни совпадают, хотя и не являются «золотыми».
Для средней части колокольни отношение между частями равно:
(5630  3380)(3380  2250)
≈ 1,333.
3380(5630  3380  2250)
Архитектор использовал свою гармоничную систему пропорционирования.
Третья часть колокольни – шатер. Найдем отношение высоты шатра к высоте
второго яруса барабана:
5900
≈ 2,622 ≈ φ+2.
2250
Полученное отношение является функцией
Золотого сечения.
При исследовании пропорций западного фасада колокольни можно найти еще одно
Золотое сечение, вычислив отношение высоты притвора к ее ширине:
4500
≈ 0,616 ≈ φ.
7300
Как видим, в главной вертикали колокольни, описывающей его силуэт, заложена
своя система пропорций, в которой встречаются функции Золотого сечения.
1. Храмовая часть церкви
Рис 8. Фасад церкви поселка Абагур Лесной
13
Главная часть храмовой постройки - «куб». В центре его верхней грани расположен
восьмигранный барабан. Венчает храмовую часть глава,
которая находится на барабане, и четыре малые луковицы.
Найдем отношение диаметра луковицы к ее высоте
2700
≈ 0,627.
4300
Рис 9. Глава и барабан.
Прямоугольник, в который вписывается изображение главы, является
почти «золотым», погрешность составляет 1,4%.
Расчеты показывают, что
отношение ширины храмовой части к ее высоте до
«пояса» является также функцией Золотого сечения
7250
≈ 1,611 ≈ φ+1.
4500
Теперь найдем отношение ширины храма к ее высоте
7650
≈ 1,055.
7250
Это отношение хотя и не является золотым, но повторяется не раз в архитектурном строе,
следовательно, входит в систему пропорций данного храма.
Апсида
- пятиугольная, выступающая часть церкви, имеющая собственное
перекрытие. Вычислим отношение стороны апсиды к ее высоте:
2965
≈ 0,66.
4500
Такое отношение мы уже не раз встречали в системе пропорций храма.
2. Горизонтали «корабля»
Рассмотрим горизонтальное деление церкви на части: храмовая часть, трапезная,
притвор. Обозначим ширину храмовой части АВ = 7250 мм, трапезной ВС = 4800мм,
притвора СД = 3400мм.
Вычислим Золотой вурф для четырех точек А, В, С, Д отрезка по формуле:
W = ( АВ  ВС )( ВС  СД ) ≈ 1,309;
ВС ( АВ  ВС  СД )
Расчеты показывают,
W=
(7250  4800)( 4800  3400)
≈ 1,332.
4800(7250  4800  3400)
что деление церкви на горизонтальные части - храм, трапезная,
притвор, отвечает Золотому вурфу с точностью до 1,7%.
Описанное выше исследование передает лишь часть сложной архитектуры храма.
Наша задача была отыскать Золотые пропорции в архитектуре храма и мы их нашли.
Вывод: в математическом каркасе храма п. Абагур Лесной заложена своя
гармоничная система пропорций, в которой есть функции Золотого сечения, но они не
являются определяющими, как в храме Покрова Богородицы на Нерли. Формулой красоты
данного храма является Золотой вурф.
14
Заключение
Таким образом, мы
 осуществили поиск и отбор информации о Золотом сечении и его свойствах,
имеющих значение в архитектуре, православном зодчестве;
 исследовали систему пропорций в архитектуре церкви поселка Абагур Лесной с
точки зрения Золотого сечения;
 на основании полученных фактов сделали вывод:
в архитектурном строе
церкви поселка Абагур Лесной
заложена своя вполне
гармоничная система пропорций, в которой есть функции Золотого сечения, но они
не являются определяющими, пронизывающими весь архитектурный строй.
«Формулой красоты» данной храмовой постройки является Золотой вурф.
В ходе работы над проектом мы научились элементам исследовательской
деятельности, освоили технологию проектирования, приобрели собственный опыт
интеллектуальной деятельности. Научились:
 работать с различными источниками информации, в том числе в сети
Интернет;
 деловому общению;
 оформлять работу;
 создавать презентацию;
 готовить защиту проекта.
Продуктом проекта является напечатанный текст исследовательской работы с
презентацией Power Point, который может служить в качестве электронного
учебного пособия для внеклассной работы по математике, элективного курса.
15
Список литературы
1. Азевич, А. Музыка, застывшая в камне / А. Азевич // Учительская газета.-2006.- №13,
28 марта – С.17.
2. Бендукидзе, А.Д. Золотое сечение / А.Д. Бендукидзе // Квант.- 1973.- №8.-С. 22-28.
3. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия.- 2007 (DVD)
4. Власов, В.Г. Золотое сечение / В.Г. Власов. Большой энциклопедический словарь
изобразительного искусства.- М.: 2003.- Т.3.- С.174-180.
5. Волошинов, А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 1992.
6. Виолис, Ле-Дю-Эжен. Беседы об архитектуре / Ле-Дю-Эжен Виолис. -М.: Мир,1938.Т.2.-С. 216-219.
7. Гика, М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. – М.: 1936.
8. Иконников, А.В. Художественный язык архитектуры. – М.: Искусство, 1985.
9. Мороз, О. В поисках гармонии. – М.: Атомиздат. 1978
10. Низовский, А.Н. Православные храмы и монастыри / А.Н. Низовский. - М.: Знание, 2005.- С.35-39.
11. Пидоу, Д. Геометрия и искусство: Пер. с англ. / Д. Пидоу. – М.: Мир, 1979.- С.142145.
12. Петрович, Д. Теоретики пропорций /Д. Петрович.– М., Знание, 1979.-С.48-57.
13. Сафонов, Ю. Новеллы о Золотом сечении и числах Фибоначчи / Ю.Сафонов //Чудеса
и приключения. -1998.- №3.-С.56-59.
14. Сколфилд, Д. Теория пропорций в архитектуре: Пер. с англ./ Д.Сколфилд.- М.: Мир,
1979.-С. 38-42.
15. Сонин, А.С. Постижение совершенства: (симметрия, асимметрия, дисимметрия,
антисимметрия) / А.С. Сонин. - М.: Знание, 1987.-С.84-87,174-177.
16. Стахов, А. Коды золотой пропорции / А. Стахов. - М.: Знание, 1986.- 37с.
17. Тарасов, Л.В. Этот удивительный симметричный мир: / Пособие для учащихся /.- М.:
Просвещение,1982.-С.26-29.
18. Шетникова, А. Золотое сечение в античной математике / А. Шетникова
Математика. -2006. - №16.-С.15-16.
19. http://n-t.ru/tp/iz/2s.htm
16
//
Словарь терминов
Алтарь
- восточная часть христианского храма, где находится престол, в
православной церкви алтарь отделен от остальной части храма иконостасом.
Апсида (гр. свод, арка) - архит. полукруглая, иногда многоугольная, выступающая
часть здания, имеющая собственное перекрытие.
Арка (лат. дуга, изгиб) - архит. криволинейное перекрытие проемов в стене (окон,
ворот, дверей) или пролетов между двумя опорами.
Барабан – основание для купола.
Глава – купол церкви.
Колокольня – звонница.
Луковица - глава.
Неф (лат. корабль) – архит. продольная часть христианского храма, обычно
расчлененного колоннадой или аркадой, на главный более широкий и высокий неф и
боковые нефы.
Притвор – место в церкви, где находятся оглашенные, принимающие христианство, и
женщины после родов, не прошедшие очищение.
Трапезная – место, где трапезничают.
Шатер – шатровое покрытие колокольни.
Золотое сечение - это такое деление целого на две неравные части, при котором
большая часть так относится к целому, как меньшая часть - к большей. В геометрии золотое
сечение называется также делением отрезка в крайнем и среднем отношении:
AC
CB
=
AB
AC
Золотой вурф - линейное отношение для 4-х точек А, В, С, Д отрезка АД
W=
( АВ  ВС )( ВС  СД )
≈ 1,309;
ВС ( АВ  ВС  СД )
W =

2,618
=
=1,309
2
2
17