Лекция «Иррациональные уравнения. Способы решения

Лекция
«Иррациональные
уравнения.
Способы
решения
иррациональных уравнений»
Цель: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их
решения.
Ход урока
I. Итоги проверочной работы
1. Разобрать ошибки студентов в работе.
2. Решить задание 6*:
Подкоренные выражения не являются полными
квадратами, т. е. применить приём из предыдущего примера не удаётся. Возведём
вычисляемое выражение в квадрат:
Следовательно, исходное выражение может быть равно 6 или -6; так
как
то это выражение отрицательно. Ответ: -6.
II. Объяснение нового материала (лекция)
1. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня,
называются иррациональными.
2.
Решение
иррациональных
уравнений
сводится
к
переходу
от
иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень обеих
частей уравнения или замены переменной.
3. При возведении обеих частей уравнения в чётную степень возможно
появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода
следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
4. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область
допустимых значений неизвестного и используя равносильные переходы.
5. Решим уравнения:
Решение
Возведём обе части уравнения в квадрат:
Проверка: 1) х = -1, тогда
2) х =2, тогда
ложно;
верно. Ответ: х = 2;
Решение
Проверка:
значит,
х1
=
0
не
удовлетворяет
уравнению.
2) х2 = 3, тогда
Значит, х = 3 – корень уравнения.
Ответ: 3;
Решение
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 2х - 3 = х - 2, х = 1.
Проверка:
Обе части уравнения не имеют смысла. Ответ:
нет корней;
г) решить уравнение
Решение
Поскольку корни арифметические, то левая часть
уравнения неотрицательна, а правая отрицательна, значит, уравнение решений не
имеет. Ответ: уравнение решений не имеет;
д) решить уравнение
Решение
Область допустимых значений неизвестного (ОДЗ) этого уравнения
определяется системой неравенств
которая решений не
имеет. Уравнение не определено в множестве действительных чисел. Ответ:
уравнение решений не имеет;
е) решить уравнение
Решение
По определению квадратного корня уравнение
равносильно
системе
Ответ: 11.
III. Практическая часть
Рассмотрим решение некоторых типов иррациональных уравнений.
1. Уравнения, в которых одно или несколько подкоренных выражений
точные квадраты.
Решить уравнение
Решение
Приведём его к виду
а) если х < -2, то –х – 2 – х + 5 = 10, х = -3,5;
б) если -2 < х < 5, то х + 2 - х + 5 = 10, 7 = 10. Однако, 7 ≠ 10, следовательно,
решений нет;
в) если х > 5, то х + 2 + х - 5 = 10, х = 6,5.
Ответ: х = -3,5 и х = 6,5.
2. Уравнения, содержащие несколько квадратных радикалов.
Пример I. Решить уравнение
Решение
Возведём обе части уравнения в квадрат, получим:
откуда найдём
Пример 2. Решить уравнение
Решение
Допустимые значения неизвестного удовлетворяют условиям
Уединяя один из радикалов и возводя обе части уравнения в квадрат,
получаем:
Снова
возводим
обе
части
в
квадрат:
Число х1 = 2/11 не принадлежит области определения данного уравнения,
поэтому не может быть его корнем. Число х2 = 2 принадлежит ОДЗ, проверкой
убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения. Ответ: х = 2.
3. Уравнения, содержащие корни третьей степени.
Пример 1. Решить уравнение
Указание. Решение примера 6 на стр. 208 учебника.
Пример 2. Решить уравнение
Решение
Воспользуемся
формулой
куба
разности
двух
чисел
Возведя
обе
части
данного
уравнения
в
уравнение
куб,
получим
равносильное
данному. Допустим, что данное уравнение имеет решение, заменим второй
множитель на 1, получим уравнение
Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения.
Ответ: х1 = -109; х2 = 80.
4. Иррациональные уравнения, решаемые способом замены.
Пример 1. Решить уравнение
Решение
Обозначим
= 1 или
Получим
то х
не имеет корней, т. к.
Пример 2. Решить уравнение
Решение
Введём
новую
переменную
уравнение
у
область
= x2 +
х.
определения
Тогда
получим
которого
задаётся
условиями
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, имеем:
Значение y =
Значит,
-5
не
входит
в
область
определения
уравнения.
Пример 3*. Решить уравнение
Решение
ОДЗ: х ≠ 1, х ≠ 0. Обозначим
или
Тогда:
Ответ:
III. Итоги урока (рефлексия)
IV. Домашнее задание