5.электромагнитные колебани

120
5. Электромагнитные колебания
5.1. Свободные электромагнитные колебания
5.1.1. Найти отношения амплитудных значений сил тока Im,
напряжений Um , электрических WBm и магнитных WEm мощностей, если
начальный заряд qm на конденсаторе, включенном в идеальный колебательный контур, увеличился в 10 раз.
Решение
1. Предположим, что электрический заряд в колебательном контуре
изменяется по закону
(1)
q  q m sin0 t  0  ,
в этом случае уравнение силы тока представится следующим образом
dq
i
 0 q m cos0 t   0   i m cost   0  ,
(2)
dt
где 0  циклическая частота собственных колебаний в электрическом
контуре.
2. Образуем систему уравнений для амплитудных значений сил токов, из которых найдём их отношение
i m1  q m10 ; 
i m2 q m2
(3)

 10 .
 
i m 2  10 q m10 ;
i m1 q m1
3. Взаимосвязь между зарядом и напряжением установим из следующих соображений
q
q
U m2 q m2
(4)
C  m1 ; C  m1 ; 

 10 .
U m1
U m2
U m1 q m 2
4. Ввиду идеальности колебательного контура для энергии можно
записать следующие соотношения
WBm  WEm
q2
 m; 
2C
WBm( 2 )
WBm(1)

WEm ( 2 )
WEm (1)
 q m( 2)

q
 m (1)
2

  100 .


(5)
121
5.1.2. В идеальном колебательном контуре амплитудное значение
напряжения на конденсаторе увеличивается на Um = 10 В, при этом
максимальная сила тока через индуктивность возросла в 3 раза. Определить амплитуду напряжения до увеличения напряжения и начальное
напряжение на конденсаторе.
Решение
1. Для идеального колебательного контура закон сохранения энергии
можно записать следующим образом
CU 2m (1) LI 2m (1) 

;
2
2 
(1)

CU 2m ( 2 ) LI 2m ( 2 ) 

.
2
2 
2. Поделим уравнения (1) друг на друга почленно
2
2
 U m( 2)   I m( 2) 
 
 ,
 2 ;  
2
U  I 
CU m (1) LI m (1)
m
(
1
)
m
(
1
)

 

U m ( 2) I m ( 2)
.

U m (1) I m (1)
3. Из уравнения (3) следует, что
I m( 2)
.
U m ( 2)  U m (1)
I m (1)
4. Изменение напряжения можно записать следующим образом
 I m( 2) 
I m( 2)
U m ( 2)  U m (1)  U m  U m (1)
 U m (1)  U m (1) 
 1 ,
I

I m (1)
 m (1)

откуда
U m
10
U m (1) 

 5B ,
I m( 2)
2
1
I m (1)
CU 2m ( 2 )
LI 2m ( 2 )
U m ( 2 )  U m (1)  U  15 B .
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
5.1.3. В идеальном колебательном контуре амплитудное значение
напряжения на конденсаторе равно Um = 100 В, а максимальная сила
тока через индуктивность  Im = 100 мА. Определить силу тока через
индуктивность и напряжение на конденсаторе, когда электрическая
122
энергия, запасаемая в конденсаторе, совпадает по величине с магнитной энергией, присутствующей в индуктивности.
Решение
1. Равенство двух видов энергии, электрической и магнитной и закон
сохранения энергии дают основание записать следующие соотношения
(1)
W  WE  WB  2WE ,
CU 2m
Cu 2
,
(2)
; WE 
2
2
CU 2m
U
Cu 2
(3)
2
;  u  m  70,7B .
2
2
2
2. Аналогичные соотношения можно записать и для силы тока через
индуктивность
LI 2
Li 2
,
(4)
WBm  m ; WB 
2
2
LI 2m Li 2
I
(5)
2
, i  m  70,7 мА .
2
2
2
WEm 
5.1.4. В идеальном контуре наблюдаются электромагнитные колебания с периодом Т = 100 мкс. Какой промежуток времени пройдёт с
момента возникновения колебаний до состояния равенства электрической и магнитной составляющих энергии?
Решение
1. В соответствие с уравнением (1) предыдущей задачи
WEm  Wm  WB  2WE .
2. С другой стороны
CU 2m
U
Cu 2
WEm 
; Wm 
;  u m .
2
2
2
3. При нулевой начальной фазе  = 0,
2
u t   U m cos t .
T
4. Совместим уравнения (2) и (3)
Um
2
2
1
 U m cos t; cos t 
,
T
T
2
2
 1  
2
  ;
t  arccos
T
 2 4
2t 1
T
 ;  t   12,5 c .
T 4
8
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
123
5.1.5. Определить, через какой промежуток времени после начала
колебаний в идеальном LC  контуре заряд на конденсаторе с периодом
колебаний Т = 100 мкс достигнет впервые, величины равной половине
амплитудного значения.
Решение
1. Запишем уравнение, характеризующее изменение во времени заряда конденсатора
2
(1)
q  q m cos t  q m cos t .
T
2. Подставим в уравнение заданное условие
qm
2
2
1 
 q m cos
t; 
t  arccos  ,
(2)
2
T
T
2 3
2
1
T
t  ; t   16,7 мкс .
(3)
T
3
6
5.1.6. В идеальном колебательном RC  контуре ёмкость конденсатора увеличилась в 100 раз, а индуктивность катушки уменьшилась в
25 раз. Как при этом поменялась частота собственных колебаний?
Решение
1. Уравнение периодов и частот собственных колебаний
T1  2 L1C1 ; T2  2 L 2 C 2 ,
(1)
1
1
.
(2)
; 2 
2 L1C1
2 L 2 C 2
2. Отношение частот при заданном изменении ёмкости и индуктивности
2
L1C1
1 1
(3)


 .
1
L 2C2
4 2
1 
Частота, таким образом, уменьшилась в два раза.
5.1.7. В некоторый момент времени при возникновении колебаний в
идеальном контуре энергия, накопленная в конденсаторе, становится в
три раза больше энергии, запасаемой индуктивностью. В каком отношении будет находиться мгновенное значение напряжения на обкладках конденсатора с амплитудным значением. Определить в единицах
124
периода промежуток времени от начала колебаний до наступления
заданного режима.
Решение
1. По условию задачи магнитная составляющая энергии WB в три
раза меньше магнитной составляющей WE, т.е.
W
Cu 2
,
(1)
WB  E 
n
2n
В соответствие с законом сохранения энергии
CU 2max Cu 2 Cu 2
,
(2)
WE (max) 


2
2
2n
2. Разрешим последнее уравнение относительно действующего
напряжения
n
u
n
(3)
;

 0,866 .
n  1 U max
n 1
3. Уравнение колебаний напряжения на обкладках конденсатора
позволяет определить искомый промежуток времени

 2  2
u   U max cos
 ;
  arccos 0,866  ,
(4)
T
T
6


U max  u

1
T.
12
(5)
5.1.8. В колебательном контуре без затухания при увеличении ёмкости на С = 0,2 мкФ, частота колебаний уменьшилась в 1,2 раза.
Определить начальную и конечную ёмкость контура.
Решение
1. Частота собственных колебаний контура без затухания связана с
его параметрами, следующими соотношениями
1
1
,
(1)
1 
; 2 
2 LC 1
2 LC 2
откуда
2
2
 
 
C2
C
;  1   2 ; C 2  C1  1  .
(2)
C1
C1
 2 
 2 
2. Уравнение (2) позволяет записать изменение ёмкости и найти искомые величины С1 и С2
1

2
125

C  C1  1
 2
2

C
2 10 7
  C1 ;  C1 

 0,455 мкФ .
2
1,25
 1 

   1
 2 
C 2  C1  C  0,655 мкФ .
(3)
(4)
5.1.9. Идеальный колебательный контур, включённый в антенный
блок радиоприёмника содержит конденсатор ёмкостью С = 9 пФ и
катушку с индуктивностью L =1 мГн. На какую длину волны настроен
колебательный контур?
Решение
1. Используя формулу Томсона и соотношение между длиной волны
и периодом электромагнитных колебаний, получим
T  2 LC ;   cT ,
(1)
  2c LC  6,28  3 10 8 10 3  9 10 12  180 м .
(2)
5.1.10. Плоский конденсатор с площадью обкладок s = 10  3 м2 и
расстоянием между пластинами d= 10  3 м, включён в идеальный колебательный контур радиоприёмника, содержащий катушку с индуктивностью L = 50 мкГн. Определить диэлектрическую проницаемость
материала, помещённого между обкладками конденсатора, если радиоприёмник настроен на длину волны  = 250 м.
Решение
1. Запишем уравнение ёмкости плоского конденсатора с заполнением пространства между пластинами диэлектриком с проницаемостью 
 s
C 0 .
(1)
d
2. Длину волны, на которую настроен контур, определим уравнением (2) предыдущей задачи
(2)
  2c LC .
3. Подставим в последнее уравнение значение ёмкости
 0 sL
4 2  0 sL
  2c
;  2 
.
(3)
d
d
4. Разрешим уравнение (3) относительно диэлектрической проницаемости
126

2 d
6,25 10 4 10 3

 39 .
4 2 c 2  0 sL 39,5  9 10 16  9 10 12 10 3  5 10 5
(4)
5.1.11. В некоторый момент времени сила тока в проводниках, подключенных к квадратным пластинам со стороной а = 1 м плоского конденсатора с диэлектрическом из титаната бария ( = 1000), составила i = 10 А. С какой скоростью изменяется напряжённость электрического поля в конденсаторе?
Решение
1. Выразим силу тока через скорость изменения заряда, а электрическую ёмкость через напряжение на обкладках
dq
dq idt
i
; C

,
(2)
dt
du du
 0 s idt
 0 sdu

;
 idt .
(3)

du

2. Напряжённость электрического поля между пластинами конденсатора определится как
du dE
i
9
В
.
(4)
dE 
;


 10 9

dt  0 a 2 1000  9 10 12 1
мс
5.1.12. Частица массой m и зарядом q влетает в однородное электрическое поле, напряжённость которого изменяется со временем по
закону E=E0sin t. Начальная скорость частицы v0 направлена перпендикулярно вектору напряжённости. Определите уравнение движения
частицы.
Решение
1. Запишем уравнение второго закона
Ньютона для заряженной частицы, на которую действует сила Кулона, изменяющаяся по
закону синуса
(1)
mx  qE0 sin t ,
qE 0
sin t .
m
2. Проинтегрируем уравнение (2) дважды
t
qE 0
qE
x 
sin tdt   0 cos t  C1 ,

m 0
m
x 
(2)
(3)
127
t
t
qE
qE
cos t   C1dt  C 2  
sin t  C1 t  C 2 .
(4)
m 0
m
0
3. Постоянные интегрирования определим из начальных условий
qE
qE


v 0  0  C1 ; C 2  0;  x t    v 0  0 1  sin t  t .
(5)
m
m


x
5.1.13. Напряжение на обкладках конденсатора ёмкостью С = 10
мкФ, включенного в идеальный колебательный контур изменяется в
соответствие с законом u(t) = 100 cos103t. Определить индуктивность катушки, период колебаний и закон изменения силы тока через
индуктивность.
Решение
1. В данном случае циклическая частота собственных колебаний
контура  0 = 103 рад/с, поэтому период колебаний
2
6,28
(1)
T
 3
 2 10 3 c .
0 10  3,14
2. Индуктивность катушки определим, воспользовавшись уравнением Томсона
T2
2 10 6
(2)
T  2 LC ; L  2 
 5 мГн.
4 C 4  9,87 10 5
3. Закон изменения силы тока определится уравнением
du
it   C
 CU 0  sin t  10 5 100 sin 10 3 t ,
(3)
dt
it   10 3 sin 10 3 t .
(4)
5.1.14. Сила тока через индуктивность изменяется в соответствие
с законом i(t) =  10  2sin62,8t. Определить амплитудные значения
электрической и магнитной составляющих энергии, запасаемой в идеальном контуре, обладающем индуктивностью L = 1 Гн.
Решение
1. Заданное уравнение силы тока позволяет определить период колебаний
2 6,28
T

 0,1c .
(1)
0 62,8
2. Ёмкость конденсатора определим из формулы Томсона
128
T2
0,01

 2,5 10 4 Ф  250 мкФ .
2
4 L
40
3. Амплитудное значение магнитной составляющей энергии
Li 2
110 4
WB(max)  max  WE (max) 
 5 10 5 Дж  50 мкДж .
2
2
T  2 LC ; C 
(2)
(3)
5.1.15. После того, как конденсатору, входящему в состав колебательного контура, сообщили заряд qmax = 1 мКл, возникли электромагнитные колебания, которые через некоторое время исчезли. Определить количество выделившегося при этом тепла, если цилиндрический
конденсатор длиной l = 5 см с внешним радиусом r1 = 1 см и внутренним  r2 = 0,5 см снабжён фторопластовым диэлектриком с проницаемостью  = 150.
Решение
1. Найдём ёмкость цилиндрического конденсатора с заданными параметрами
2 0  6,28 150  9 10 12 10 2
(1)
C

 121 пФ .
ln r1 r2 
ln 2
2. Согласно закону сохранения, вся первоначальная энергия, сообщённая колебательной системе, в конечном счете, перейдёт в тепло
q2
10 12
(2)
WE (max)  Q; WE(max)  max 
 4мДж .
2C 2,42 10 10
5.1.16. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности
длиной l = 0,2 м и диаметром D = 0,01 м с числом витков на единицу
длины z = 1000 м  1. Внутрь цилиндрического каркаса помещён стальной сердечник с магнитной проницаемостью  = 200. Плоский конденсатор, состоящий из n = 10 параллельно включенных квадратных металлических пластин со стороной а = 1 см, между которыми помещена слюда, толщиной 100 мкм. Определить число полных колебаний N в
контуре за время  = 1,2 с.
Решение
1. Определим ёмкость конденсатора
 a 2
100  9 10 12 10 4
C  n 0  10
 9 нФ , (1)

10 4
2. Найдём индукцию катушки
129
D2
,
4
200 1,26 10 6 10 6  0,2  3.14 10 4
L
 4 мГн .
4
3. Период колебаний контура
L   0 z 2 
T  2 LC  6,28 9 109  4 103  1,2 104 с .
4. Количество колебаний за время 

N   110 4 .
T
(2)
(3)
(4)
5.1.17. В идеальном колебательном контуре с ёмкостью С1 = 2 мкФ
резонансные колебания устанавливаются на частоте 1 = 500 Гц. При
подключении параллельно первому конденсатору ёмкости С2, резонансная частота понизилась до 2 = 250 Гц. Определить ёмкость конденсатора С2.
Решение
1. Запишем условия резонанса



.
1

2 
2 LC1  C 2  
2. Поделим уравнения (1) почленно
2
LC1  C 2   1 
1
C

;    1  2 ,
2
C1
LC 1
 2 
откуда
   2 
C 2  C1  1   1  2 10 6 4  1  6 мкФ .
  2 

1 
1
2 LC 1
;
(1)
(2)
(3)
5.1.18. Конденсатор ёмкостью С = 1 мкФ включен в идеальный
контур с двумя параллельными катушками L1 = 0,1 Гн, L2 = 0,2 Гн.
Найти амплитудное значение силы кока в контуре, если максимальное
напряжение на обкладках конденсатора составляет um = 10 В.
Решение
1. Запишем закон сохранения энергии применительно к контуру
130
Cu 2m  L1i 2m1  L 2 i 2m 2 .
(1)
2. При возникновении электромагнитных колебаний обе катушки пересекаются один и тем же
магнитным потоком, т.е.
L
(2)
 B1   B 2 ; L1i m1  L 2 i m 2 ;  i m 2  i m1 1 .
L2
3. Суммарный ток в этом случае можно представить следующим образом
L
(3)
i m  i m1  i m 2  i m1  i m1 1 .
L2
4. Выразим из уравнения (4) значения токов через катушки
i L
i
i L
(4)
i m1  m  m 2 ,
i m2  m 1
L1 L1  L 2
L1  L 2
1
L2
5. Подставим значения токов im1 и im2 в исходное уравнение (1)
i 2m L22
i 2m L21
,
(5)
Cu 2m  L1

L
L1  L 2 2 2 L1  L 2 2
откуда
im  u m
CL1  L 2 
10 6  0,3
 10
 38,7 мА .
L1 L 2
0,1  0,2
(6)
5.1.19. Идеальный колебательный контур
состоит из пяти конденсаторов одинаковой
ёмкости С1 =  =С5 = 1 мкФ и катушки
индуктивности L = 1 мГн. определить частоту собственных колебаний контура.
Решение
1. Так как ёмкости всех конденсаторов
одинаковы, то будут одинаковыми и потенциалы точек 1 и 2, т.е. 1 = 2, четыре конденсатора соединены параллельно, что даёт возможность частоту контура записать так
1
1
0 

 2,52 кГц .
(1)
2 4CL 6,28 4 10 6 10 3
131
5.2. Затухающие электромагнитные колебания
5.2.1. RLC  контур, использующийся в качестве сетевого фильтра, имеет следующие
параметры: R = 100 Ом, L = 1 Гн, С = 100
мкФ. Контур включен в стандартную сеть с
эффективным значением напряжения u* = 220
В и частотой  = 50 Гц. Записать уравнения
изменения силы тока и напряжения в контуре и
определить падение напряжения на отдельных
элементах контура.
Решение
1. Найдём ёмкостное и индуктивное сопротивление контура
1
R L  2 L; R C 
.
(1)
2 C
2. Определим амплитудное значение силы тока, протекающего через
катушку и активное сопротивление
im 
um

Z
2u *
R  R L  R C 
2

2u *
1 

R 2   2 L 

2 C 

1,41  220
im 
 1A .
2

1

10 4   6,28  50 

6,28  50 10 4 

2
2
,
(2)
(3)
где u*  эффективное значение напряжения, Z  импеданс (суммарное
сопротивление), RL  индуктивное сопротивление, RC  ёмкостное сопротивление.
3. Амплитудное падение напряжения на элементах схемы
i
1
(4)
uC  imR C  m 
 32 B ,
2 C 6,28  50 10 4
(5)
u R  i m R  100 B; u L  2 Li m  314 B .
4. Сдвиг фаз между колебаниями силы тока в цепи и колебания сетевого напряжения
132
cos  
R

Z
R
,
2
1 

R   2 L 

2 C 

100
1
cos  
 ;    0,4 .
2
4
3
10  314  31,8
(6)
2
5. Уравнения колебаний силы тока и напряжения
ut   u m sin t  310 sin 100 t .
it   i m sint    1sin100 t  0,4 .
(7)
(8)
(9)
5.2.2. В RLC  контуре в течение N = 10 полных колебаний амплитуда напряжения на конденсаторе уменьшилась в 1,5 раза. Определить
добротность контура.
Решение
1. Запишем уравнения для добротности Q и логарифмического декремента  контура

Q  ;   T .
(1)

2. Выразим амплитуду напряжения через указанный в условии задачи промежуток времени
(2)
u N  u 0 exp  t   u 0 exp  NT   u 0 exp  N .
3. Преобразуем уравнение (2) к виду
u0
u
ln 1,5
 exp  N ; N  ln 0  ln 1,5;  
.
(3)
uN
uN
N
4. Сопоставляя уравнения(1) и (3), получим
N
(4)
Q
 774 .
ln 1,5
5.2.3. Колебательный RLC  контур имеет следующие параметры:
R = 100 Ом, С = 1 мкФ, L = 1 Гн. Определить число полных колебаний N
в течение которых амплитуда уменьшится в е раз.
Решение
1. Запишем соотношение амплитудных значений силы тока для колебательной системы с затуханием
133
exp  t  
i0
(1)
 e;  t  1 .
iN
2. Выразим коэффициент затухания  через параметры контура и
подставим его значение в уравнение (1)
R
2L
.
(2)

; t
2L
R
3. Найдём период затухающих колебаний
2
2
.
(3)
T


02   2
4. Циклическая частота собственных незатухающих колебаний
0  1 LC .
(4)
5. Подставим в уравнение (3) значения 0 и 
2
.
T
1
R2

LC 4L2
6. Определим искомое число колебаний
N
t
L

T R
(5)
1
R2
1
1
10 4
 2 

3.
6
LC 4L
314 110
4
(6)
5.2.4. Имеется последовательное соединение активного сопротивления R = 1 кОм, индуктивности L = 10 –2 Гн и ёмкости С =0,2 нФ.
Определите сопротивление цепи при подаче на неё напряжения с частотой 1 МГц и падение напряжения на каждом элементе, если амплитуда внешнего напряжения составляет um = 100 В.
Решение
1. Определим полное сопротивление заданной цепи, с учётом того, что
  2  6,28 10 6 c 1 ,
2
(1)
2
1 
1

 4

9
Z  R 2   L 
  10  10  6
  32 кОм . (2)
10
C 
10  2 10 


2. Определим амплитудное im и эффективное i* значение силы тока
u
i
i m  m  3 мА; i *  m  2 мА .
(3)
Z
2
134
3. Определим падение напряжения на активном сопротивлении R,
конденсаторе С и индуктивности L
i
(4)
u R  i * R  2 B; u C  *  1,6 B; u L  i * L  126 B .
C
5.2.5. Внешняя цепь переменного тока с частотой  = 1000 Гц состоит из активного сопротивления R = 10 Ом и катушки индуктивностью L = 10 –2 Гн. Определите падение напряжения на индуктивности,
когда максимальное напряжение на активном сопротивлении составляет uR(m) = 8,82 В?
Решение
1. Определим циклическую частоту колебаний
  2  6,28 10 3 c 1 .
2. Найдём полное сопротивление заданной цепи
(1)
(2)
Z  R 2  L  100  6,28 10 3 10 2   63 Ом .
3. Амплитудное и эффективное значение силы тока в цепи
u
i
(3)
i m  m  0,141 A; i *  m  0,1 A .
Z
2
4. Падение напряжения на активном сопротивлении uR и индуктивности uL
(4)
u R  i * R  1B; u L  i *L  62,8B .
2
2
5.2.6. Катушка индуктивностью L = 1 Гн, конденсатор ёмкостью С
= 1 мкФ и активное сопротивление R = 10 Ом образуют колебательный контур. Конденсатору первоначально сообщают заряд qm = 1 нКл.
Найти логарифмический декремент затухания колебаний, период колебаний и записать уравнение изменения напряжения на обкладках конденсатора.
Решение
1. Определим циклическую частоту собственных незатухающих колебаний в контуре
1
0 
 1 10 3 c 1 .
(1)
LC
2. Коэффициент затухания  прямо пропорционален величине активного сопротивления и обратно пропорционален удвоенной индуктивности контура
135
  R 2L  5 c 1 .
(2)
3. Определим циклическую частоту затухающих колебаний через
параметры контура
1
R2
(3)
 2 .
LC 4L
4. Найдём период затухающих колебаний
2
6,28
(4)
T

 6,28 мс .
2
1
100
1
R


10 6
4
LC 4L2
5. Логарифмический декремент колебаний
  T  3,14 10 2 .
(5)
6. Амплитудное значение напряжения на обкладках конденсатора
определим, воспользовавшись зависимостью заряда, ёмкости и разности
потенциалов
q
um  m .
(6)
C
7. Если предположить, что напряжение изменяется по закону косинуса без начальной фазы, то уравнение можно записать следующим образом
q
u t   m exp  t  cos t , 10 3 exp  5t  cos 318 t .
(7)
C
  02   2 
5.2.7. Энергия колебательного контура в течение N = 100 полных
колебаний уменьшилась в z = 225 раз. Найти величину логарифмического декремента.
Решение
1. В соответствие с законом сохранения энергии, амплитудное значение электрической составляющей энергии должно быть равным магнитной составляющей, запасаемой в индуктивности
Li 2
WB  m .
(1)
2
2. Отношение энергий z можно представить через величины соответствующих сил токов
i m(0)
WB( 0)
2WB
(2)
im 
;

 z,
L
i m( N)
WB( N )
136
с другой стороны, декремент затухания определяется через период Т и
коэффициент затухания    T , откуда следует, что
i m(0)
(3)
NT  ln
 ln z ; N  ln z .
i m( N)
3. Уравнение (3) позволяет найти величину логарифмического декремента

ln z
 5,42 10 2 .
N
(4)
5.2.8. В колебательном контуре с добротностью Q = 103 происходят колебания с циклической частотой  =103 с 1. За какой промежуток времени амплитудное значение силы тока через индуктивность
уменьшится в 23 раза?
Решение
1. Запишем уравнение изменение силы тока в контуре с затуханием
(1)
it   i m exp  t cos t ,
откуда
i m( 0)
i m( 0)
(2)
 exp  ; ln
   ln 16 .
i m( N)
i m( N)
2. Выразим из уравнения (2) время , в течение которого происходит
заданное затухание
ln 16

.
(3)

3. Коэффициент затухания связан с добротностью контура следующими соотношениями
  

.
(4)
Q 

; 
 T

Q
4. Подставим значение коэффициента затухания из уравнения (4) в
уравнение (3)
Q ln 16 10 3  3,14
(5)


 1c .

3,14 10 3
2.5.9. На последовательно соединённые: активное сопротивление R
= 800 Ом, катушку с индуктивностью L = 1,27 Гн и конденсатор ёмкостью С = 1,59 мкФ подаётся действующее напряжение u* = 127 В
промышленной частоты  = 50 Гц. Определить действующее значение
137
силы тока в цепи, сдвиг фаз между током и напряжением, а так же
действующие значения падения напряжения на элементах схемы, мощность выделяемую в цепи.
Решение
1. Найдём величину циклической частоты колебаний и амплитудное
значение напряжения
  2 ; u m  u * 2 .
2. Определим далее импеданс цепи
(1)
2
1 

Z  R 2   2 L 
 .
2 C 

3. Амплитудное значение силы тока в цепи
im 
um

Z
u* 2
(2)
.
(3)
2
1 

R   2 L 

2 C 

4. Действующее значение силы тока
u*
,
(4)
i* 
2
1 

2
R   2 L 

2 C 

127
i* 
 71 мА .
(5)
2
5
6,4 10  399  2000 
4. Разность фаз между током и напряжением определяется отношением активной составляющей сопротивления к реактивной составляющей
1 

 2 L 

2 C   arctg2;   63,4 0 .
(6)
  arctg
R






5. Падение напряжения на элементах схемы
i
u R  i * R  56,8 В; u L  i * 2 L  28,3 B; u C  *  142 B .
(7)
2 C
6. Мощность, выделяемая в цепи
p  i *2 R  4 Вт .
(8)
2
138
2.5.10. К бытовой сети с действующим напряжением u* = 220 В и
частотой  = 50 Гц подключена схема, состоящая из последовательно
включенного активного сопротивления R = 10 Ом и катушки индуктивностью 30 мГн. Какое количество тепла выделится в активном сопротивлении за время  = 1 с?
Решение
1. Запишем уравнение полного сопротивления цепи
(1)
ZR ,L  R 2  2 L  55,7 Ом .
2. Действующая сила тока, потребляемая цепью
i (1)*  u * Z R ,L = 3,95 А.
(2)
3. Количество тепла, выделяющееся на активном сопротивлении
u 2 R
4,84 10 4 10 1
Q1  i (21)* R  2 * 2 2 2 
 156 Дж .
(3)
R  4  L
100  2960
2
2.5.11. Колебательный R,L,C  контур обладает собственной частотой колебаний 0 = 1 кГц, резонанс контура проявляется на частоте r = 800 Гц. Найти частоту затухающих колебаний контура.
Решение
1. Циклическая частота затухающих колебаний контура
  02   2 ;  02  2   2 .
(1)
2. Циклическая частота резонансных колебаний
r  02  2 2 ;  02  2r  2 2 .
(2)
3. Объединим уравнения (2) и (1)
2   2  2r  2 2 ;   2  2  2r .
(3)
4. Подставим значение коэффициента затухания  из уравнения (3) в
уравнение (1)
02  2  2  2r  22  2r ;   

 02   2r
 906 Гц .
2
02  2r
,
2
(4)
(5)
2.5.12. В RLC  контуре наблюдаются затухающие колебания с периодом Т = 100 мс. В течение 10 периодов колебаний амплитудное значение силы тока в цепи уменьшилось в 20 раз. Найти величину резонансной частоту колебательного контура.
139
Решение
1. Амплитудное значение силы тока при затухающих колебаниях
можно представить следующим образом
i m (1)  i m ( 0 ) exp  T ; i m (10)  i m ( 0 ) exp  10 T  ,
(1)
2. Определим отношение амплитудных значений силы тока при первом и десятом колебании
i m (1)
(2)
 exp 9T   20; 9T  ln 20 .
i m(6)
3. Выразим из последнего уравнения величину коэффициента затухания
ln 20

.
(3)
9T
4. Запишем уравнение для циклической частоты затухающих колебаний в контуре
2
 2 
; 02      2 .
T
T
5. Определим далее циклическую резонансную частоту
2
  02   ;  
(4)
 2 
 2   ln 20 
r  02  2 2      2  2 2     
 ,
 T 
 T   9T 
2
1  2   ln 20 
1
r 
  
 
2  T   9T 
6,28
2
2
2
2
2
(5)
2
 6,28   3 

  
  9,98 Гц .
 0,1   0,9 
(6)
2.5.13. Конденсатор ёмкостью С = 10 мкФ, после сообщения ему
электрического заряда q = 1 мКл, подключают к цепи, состоящей из
катушки с индуктивностью L = 1 Гн с активным сопротивлением R =
100 Ом. Определить период колебаний контура и логарифмический декремент . Как во времени будет изменяться напряжение на обкладках
конденсатора? Получить аналитическую и графическую зависимость
uC = f(t).
Решение
1. Определим амплитудное значение
напряжения на обкладках конденсатора в момент времени t =0
q 10 6
u m   5  0,1 B .
(1)
C 10
140
2. Найдём величину коэффициента затухания цепи
R
(2)

 50 .
2L
3. Период затухающих колебаний
2
2
6,28
(3)
T


 2 10 2 c .
2
4

1
R
1
10


LC 4L2
10 5
4
4. Запишем уравнение изменения напряжения на обкладках конденсатора
(4)
ut   u m exp  t cos t ,
(5)
ut   0,1exp  50 t cos316 t  .
5. Как видно из уравнения (5), амплитудное значение напряжения на
обкладках конденсатора будет изменяться по экспоненциальному закону
(6)
u m t   0,1exp  50 t  .
t, c
um, B
0
0,1
0,02
0,0368
0,04
0.0135
0,06
510 - 3
0,08
1,810  3
0,1
6,710  4
141
5.2.14. Цепь состоит из конденсатора ёмкостью С = 1 мкФ и катушки индуктивностью L = 1 Гн и активного сопротивления R. За время  = 1 с напряжение на обкладках конденсатора уменьшилось в n =
10 раз. Определить логарифмический декремент колебаний  и величину
сопротивления R.
Решение
1.Определим период колебаний, воспользовавшись формулой Томсона
T  2 LC  6,28 103 c .
которая справедлива при
(1)
2
1
 R 
(2)
 
 ,
LC
 2L 
в рассматриваемом случае (1/LC) = 106.
2. Запишем закон изменения напряжения на обкладках конденсатора
и определим логарифмический декремент
u 
T ln  m 
3
 t 
 u   6,28 10 ln 10  1,45 10 2 . (3)
u  u m exp    ;   

1
 T
3. Величину сопротивления определим из уравнения взаимосвязи
логарифмического декремента  и коэффициента затухания 
RT
2L 2 1,45 10 2 1
(4)
  T 
;  R

 4,62 Ом .
2L
T
6,28 10 3
5.2.15. Цилиндрическая катушка индуктивности длиной l = 1 м и
площадью поперечного сечения s = 110  4 м2 включена в бортовую сеть
судна с частотой изменения силы тока  = 400 Гц. Найти активное
сопротивление катушки, если она содержит N = 6000 витков при разности фаз между током и напряжением  = 600.
Решение
1. Определим циклическую частоту колебаний
  2 .
(1)
2. Заданные по условию задачи данные позволяют определить индуктивность катушки
 0 N 2 s
L
.
(2)

142
3. Разность фаз между силой тока и напряжением в общем случае
R,LC  цепи определяется уравнением
1 

 L 

C  ,
  arctg
(3)
R






отсутствие в цепи конденсатора, позволяет формулу упростить
2 L
.
(4)
tg 
R
4. Подставим уравнение индуктивности (2) в уравнение сдвига фаз
2 0 N 2 s
tg 
.
(5)
R
5. Разрешим уравнение (5) относительно активного сопротивления
катушки R
2 0 N 2 s 6,28  400  3,6 10 6 10 4 1,26 10 6
(6)
R

 0,66 Ом .
tg
11,73
5.2.15. RLC  контур включён в сеть переменного тока. Максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора равна um = 10 В.
Найти среднюю величину мощности, потребляемой контуром при незатухающих колебаниях, если L = 1 Гн, C = 1 мкФ, R = 100 Ом.
Решение
1. Определим амплитудное значение заряда на конденсаторе
(1)
q m  Cu m .
2. Найдём амплитудное значение силы тока в цепи из следующих
соображений
dq
 q m sin t ;
(2)
qt   q m cos t; it  
dt
dq
q
I m  m  q m   m .
(3)
dt
LC
3. Средняя мощность, потребляемая цепью
2 q 2m R t
2 q 2m R C 2 u 2m R
1t
,
(4)
P   i 2m Rdt 
sin 2 tdt 


t0
t 0
2
2LC
Cu 2m R 10 6 100 100
p 

 5 мВт .
(5)
2L
2