1–1. Найдите наибольшее натуральное

0–0. На линейке длиной 9 см нет делений.
Нанесите на неё наименьшее количество про- 1–1. Найдите наибольшее натуральное
межуточных делений так, чтобы ею можно число из различных цифр, в котором
было отмерять любое целочисленное (в см) любые две подряд идущие цифры обрарасстояние от 1 до 9 см за одно прикладывазуют нечётное двузначное число.
ние линейки.
0–1. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 10 больше другого острого угла. Найдите меньший из
этих углов.
0–2. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 и 4 встречаются ровно по 1 разу, и при этом в записи
любые две подряд идущие цифры не могут
отличаться ровно на 1?
0–3. Входные билеты на аттракцион стоят 38
рублей, но в дождливый день цену снижают в
2 раза. За неделю продано 800 билетов общей
стоимостью 19057 рублей. Сколько билетов
продано по льготной цене?
1–2. Найдите наибольшее десятизначное
число, в котором любые две подряд
идущие цифры образуют чётное двузначное число.
1–3. Разрежьте прямоугольник 36
на два равных шестиугольника с
целочисленными сторонами.
1–4. В школе все учащиеся сидят за партами
по двое, причём у 60% мальчиков сосед по
парте – тоже мальчик, а у 20% девочек сосед
по парте – тоже девочка. Какую часть учащихся этой школы составляют девочки?
1–5. В ряд выписаны пять неотрицательных
0–4. На какое наименьшее натуральное число
чисел. Сумма любых двух соседних не пренужно умножить число 7 для того, чтобы повосходит 1. Какое наибольшее значение молучить число, записывающееся одними девятжет принимать сумма всех пяти чисел? Приками?
ведите ответ и пример.
0–5. Магараджа – это шахматная фигура, которая бьёт как ферзь и как конь.
Поставьте 5 магарадж на доску 77 так,
чтобы они не били друг друга.
0–6. Петя и Вася за месяц получили по 48 отметок, причём Петя получил столько же пятёрок, сколько Вася – четвёрок, столько же четвёрок, сколько Вася – троек, столько же троек,
сколько Вася – двоек, и столько же двоек,
сколько Вася – пятёрок. Кроме того, оказалось, что средние баллы Пети и Васи за месяц одинаковы. Сколько двоек получил Петя?
2–3. Сколькими способами в классе из
23 человек можно выбрать двух дежурных?
1–6. Даша и Таня живут в одном подъезде. Даша живёт на 6 этаже. Выходя от Даши, Таня, задумавшись,
пошла не вниз, как ей было нужно, а вверх. Дойдя до
последнего этажа, Таня поняла свою ошибку и пошла
вниз на свой этаж. Оказалось, что Таня прошла в полтора раза больше, чем если бы она сразу пошла вниз.
Сколько этажей в доме?
2–2. В турнире юных математиков участвовало 119
человек. Каждый участник был на турнире либо
впервые, либо во второй раз, либо в третий раз. Эмпирическим путем было обнаружено, что одни участники всегда говорят правду, а другие всегда лгут.
Каждому участнику задали 3 вопроса: «Ты на турнире
в первый раз?», «Ты на турнире во второй раз?», «Ты
на турнире в третий раз?». На первый вопрос утвердительно ответили 67 человек, на второй – 41, а на
третий – 15. Сколько лгунов приехало на турнир?
3-6. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором любые две подряд идущие
цифры образуют двузначное число, делящееся на 3.
4–4. В некоторые 20 клеток доски 8×8 поста2–4. Найдите наибольшее десятизначное чисвили по ладье. Какое наименьшее количество
ло, в котором сумма любых трёх подряд идупар бьющих друг друга ладей могло при этом
щих цифр делится на 4.
оказаться? Приведите ответ и пример.
2–5.
Какое наибольшее количество клеток доски
55 можно закрасить так, что никакие две нельзя было бы накрыть пентамино любого из 4 видов, представленных на рисунке? (Пентамино можно поворачивать и переворачивать.) Приведите ответ и пример.
2–6. В клетках доски 88 расположены фишки (в каждой клетке  не более одной фишки)
так, что во всех вертикалях фишек поровну,
а в любых двух горизонталях  не поровну.
Сколько фишек могло быть на доске?
3–3. Сколькими способами в
классе из 23 человек можно выбрать трёх дежурных?
3–4.
Известно,
1
1
1


 0,8 .
ab bc ca
a
b
c


.
bc ca a b
3–5.
что
а+b+c=8,
Найдите
а
сумму:
На какое наименьшее число квадратов можно разрезать по линиям сетки
клетчатый квадрат 77? Приведите ответ и пример.
4–5. Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на 4 треугольника и 3 четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см. Сумма периметров
четырёх треугольников равна 20 см. Периметр
исходного большого треугольника равен 19
см. Найдите сумму длин жирных отрезков.
4–6. Книга состоит из 30 рассказов объёмом 1,
2, 3, …, 30 страниц соответственно. Рассказы
печатаются с первой страницы, каждый рассказ печатается с новой страницы. Какое
наибольшее количество рассказов может
начинаться с нечётной страницы?
Вася при сложении двух натуральных
чисел ошибся и записал в одном из слагаемых
лишний ноль на второе с конца место. При
этом вместо суммы 2013 он получил 3003.
Сколько вариантов пар сложенных Васей чисел могло быть?
5–5.
5–6. Найдите
наибольшее 65значное число, произведение цифр
которого равно сумме его цифр.
6–6. Найдите сумму всех цифр,
которыми записываются все
натуральные числа от 1 до 9999.