d6d72cc

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО
ХОЗЯЙСТВА
И.Г.Абраменко, Д.И. Абраменко
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Конспект лекций для студентов 3 курса дневной формы и
4 курса заочной формы обучения специальности 6.090.603
Харьков – ХНАГХ – 2008
УДК 621.311
Теория автоматического управления: конспект лекций / И.Г.Абраменко,
Д.И. Абраменко. Под общ. редакцией И.Г.Абраменко. – Харьков:
ХНАГХ, 2008. – 190 с.
Пособие посвящено рассмотрению основных принципов и методов
теории автоматического управления: построение систем управления, методы
их математического описания и моделирования, критерии оценки устойчивости и качества систем. Предназначено для студентов электроэнергетических
специальностей.
Илл. 86. Табл.6. Библиогр. 15 назв.
Рецензенты:
В.И. Омельяненко, д-р техн. наук, профессор (Национальный технический университет «ХПИ»);
Л.А. Назаренко, д-р физ.-матем. наук, профессор (Харьковский государственный научно-исследовательский институт метрологии);
П.И. Савченко, д-р техн. наук, профессор (Харьковский государственный технический университет сельского хозяйства)
© И.Г.Абраменко, Д.И. Абраменко, ХНАГХ, 2008
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………….
Глава 1. Основные понятия ТАУ………………………………
1.1. Предмет и задачи курса…………………………….
1.2. Место ТАУ в системе наук………………………..
1.3. Сущность автоматического управления…………
1.4. Основные определения…………………………
1.5. Цели автоматического управления………….
1.6. Принципы автоматического управления………..
1.7. Виды воздействий на САУ………………………
1.8. Режимы работы САУ……………………………
1.9. Требования к САУ……………………………..
1.10. Классификация САУ……………………………
1.11. Обобщенная функциональная схема САУ………
1.12. Примеры САУ……………………………………
Глава 2. Математическое описание САУ……………………..
2.1. Математическое описание в переменных вход – выход…….
2.1.1.Стандартная форма записи дифференциальных уравнений
САУ………………………………………………………………………….
2.1.2. Операционный метод описания линейных САУ…………..
2.1.2.1. Основные свойства преобразования Лапласа……..
2.1.2.2. Передаточная функция……………………………
2.1.2. 3. Свойства и особенности передаточной функции..
2.1.3. Линеаризация уравнений САУ……………………………..
2.2. Математическое описание САУ в переменных состояния………..
2.2.1. Стандартная форма записи уравнений состояния………..
2.3. Структурные схемы САУ…………………………………………….
2.3.1. Обозначения в структурных схемах…………………………
3
2.3.2. Передаточные функции типовых соединений звеньев………
2.3.3. Дополнительные правила преобразования структурных
схем…………………………………………………………………
2.3.4. Определение передаточных функций замкнутой САУ по ее
структурной схеме………………………………………………..
Глава 3. Характеристики САУ…………………………
3.1. Временные характеристики…………………………….
3.2. Частотные характеристики……………………
3.2.1. Логарифмические частотные характеристики……
3.3. Соотношения взаимосвязи характеристик САУ между собой
и передаточной функцией………………………………………
Глава 4. Типовые звенья САУ и их характеристики…………………….
4.1. Пропорциональное звено……………………………..
4.2. Интегрирующее звено…………………………….
4.3. Дифференцирующее звено……………………….
4.4. Апериодическое звено первого порядка……………..
4.5. Форсирующее звено…………………………………….
4.6. Колебательное звено…………………………………..
4.7. Запаздывающее звено……………………………………
Глава 5. Устойчивость САУ……………………………………….
5.1. Понятие, виды и общее условие устойчивости………..
5.2. Алгебраические критерии устойчивости……………..
5.3. Частотные критерии устойчивости…………………..
5.3.1.Критерий Михайлова………………………
5.3.2. Критерий Найквиста………………………………
5.3.3.Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам…………………………………….
5.4. Сравнительная оценка критериев устойчивости……………..
5.5. Влияние величины передаточного коэффициента разомкнутого контура САУ на ее устойчивость в замкнутом состоянии………….
4
5.6. Запасы устойчивости………………………………………..
Глава 6. Качество САУ
6.1. Точность работы САУ в установившихся режимах…………
6.1.1. Метод коэффициентов ошибок………………………
6.2. Точность работы САУ в переходных режимах……………..
Список литературы…………………………………………………..
5
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих курс "Теория автоматического управления" при обучении по специальностям "Электротехнические системы электропотребления" и "Электрические системы и
сети".
На современном этапе развития человеческого общества дальнейшее
его совершенствование невозможно представить без знания законов управления во всех сферах человеческой деятельности. В этой связи изучение основ кибернетики, как науки об управлении, становиться одним из необходимых условий подготовки специалистов практически во всех областях знаний.
Раздел кибернетики, изучающий способы управления разнообразными техническими устройствами, технологическими процессами и производствами,
обычно называется теорией автоматического управления или технической
кибернетикой. Эта дисциплина включена практически во все учебные планы
технических вузов. И фактически стала общеобразовательной, так как, например физика.
ТАУ выявляет общие закономерности функционирования, присущие
автоматическим системам различной физической природы, и на основе этих
закономерностей разрабатывает принципы построения высококачественных
систем управления.
При изучении процессов управления в ТАУ абстрагируются от физических и конструктивных особенностей систем и вместо реальных систем рассматривают их адекватные математические модели, поэтому основным методом исследования в ТАУ является математическое моделирование. Кроме того, методологическую основу ТАУ образуют теория обыкновенных дифференциальных уравнений, операционное исчисление (преобразование Лапласа), гармонический анализ (преобразование Фурье).
ТАУ вместе с теорией функционирования элементов систем управления (датчиков, регуляторов, исполнительных механизмов) образует бо6
лее широкую отрасль науки — автоматику. Автоматика в свою очередь является одним из разделов технической кибернетики. Техническая кибернетика
изучает сложные автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУТП) и предприятиями (АСУП), построенные с использованием управляющих вычислительных машин (УВМ).
В настоящее время ТАУ наряду с новейшими разделами так называемой общей теории управления (исследование операций, системотехника,
теория игр, теория массового обслуживания) играет важную роль в совершенствовании и автоматизации управления производством.
Автоматизация является одним из главных направлений научнотехнического прогресса и важным средством повышения эффективности общественного производства. Современное промышленное производство характеризуется ростом масштабов и усложнением технологических процессов,
увеличением единичной мощности отдельных агрегатов и установок, применением интенсивных, высокоскоростных режимов, близких к критическим,
повышением требований к качеству продукции, безопасности персонала, сохранности оборудования и окружающей среды. Экономичное, надежное и
безопасное функционирование сложных промышленных объектов может
быть обеспечено с помощью лишь самых совершенных принципов и технических средств управления.
Современными тенденциями в автоматизации производства являются
широкое применение ЭВМ для управления, создание машин и оборудования
со встроенными микропроцессорными средствами измерения, контроля и регулирования, переход на децентрализованные (распределенные) структуры
управления с микроЭВМ, внедрение человеко-машинных систем, использование высоконадежных технических средств, автоматизированное проектирование систем управления.
Целью преподавания ТАУ является формирование у студентов прочных знаний об общих принципах построения и законах функционирования
автоматических систем управления, основных методах анализа и синтеза не7
прерывных и дискретных систем управления при детерминированных и случайных внешних воздействиях. Учащиеся должны получить твердые практические навыки по составлению функциональной и структурной схем конкретной системы автоматического управления, определению передаточных
функций и параметров отдельных конструктивных элементов системы, записи передаточных функций и уравнений динамики линейной системы, расчету
статической и динамической точности управления, анализу устойчивости линейной системы, оценке показателей качества процесса управления (с использованием вычислительных машин). Для достижения этой цели и формирования у студентов навыков по овладению математическим анализом и расчетом автоматических систем управления необходимо в процессе преподавания добиваться понимания студентами излагаемых положений ТАУ, способствовать возбуждению интереса студентов к изучаемой дисциплине, с помощью простых и наглядных примеров из механики и электротехники убеждать
студентов в «физичности» математических методов ТАУ и их доступности
для каждого студента.
В процессе изучения ТАУ студент должен приобрести следующие знания и умения, необходимые инженеру в практической работе по созданию и
эксплуатации автоматических систем управления.
Студент, изучивший ТАУ, должен знать:
фундаментальные принципы построения систем управления, классификацию систем по основным алгоритмическим признакам и соответствующие алгоритмические схемы, достоинства и недостатки замкнутых и разомкнутых систем, роль обратной связи в системах управления;
методику линеаризации статической характеристики отдельного элемента, запись уравнений статики и динамики элемента в отклонениях;
формы описания динамических свойств линейных одномерных элементов и систем управления — дифференциальное уравнение, временные характеристики (переходную и импульсную), передаточную функцию, частотные
8
характеристики и их взаимосвязь, векторно-матричную форму описания многомерных элементов;
классификацию динамических звеньев по виду их передаточных функций, характерные особенности инерционных статических звеньев первого и
второго порядка, интегрирующих и дифференцирующих звеньев;
основные приемы моделирования типовых звеньев и систем на цифровых ЭВМ;
правила преобразования алгоритмических схем и получения эквивалентных передаточных функций систем управления, принцип суперпозиции,
методику записи уравнения динамики системы с несколькими входными воздействиями, закономерность влияния общего передаточного коэффициента
системы на точность управления;
понятие и условие устойчивости линейной системы управления, основные критерии устойчивости и приемы их практического применения для анализа устойчивости, закономерность влияния общего передаточного коэффициента на устойчивость системы;
прямые и косвенные показатели качества процесса управления, методику их приближенной оценки, закономерности влияния общего передаточного коэффициента на показатели, приемы исследования качества систем на
вычислительных машинах;
Изучив ТАУ, студент должен уметь:
составить по принципиальной схеме конкретной автоматической системы управления ее математическую модель в виде алгоритмической структурной схемы, определить передаточные функции отдельных конструктивных элементов и числовые значения параметров, входящих в эти передаточные функции, записать для линейной системы уравнение динамики и передаточные функции по задающему и возмущающим воздействиям;
вычислить установившиеся значения ошибок управления при ступенчатом и линейном воздействиях в статической и астатической системах с известными передаточными функциями и параметрами;
9
проанализировать с помощью алгебраического или частотного критерия устойчивость линейной системы;
оценить по приближенным формулам или определить экспериментально (с помощью вычислительной машины) основные показатели качества процесса управления;
выбрать передаточную функцию и настроечные параметры типового
управляющего устройства, обеспечивающие получение требуемых показателей качества системы;
освоить самостоятельно по специальной литературе новый раздел или
метод ТАУ, не излагавшийся в вузе.
Для успешного изучения ТАУ студентам необходимо знать следующие
разделы предшествующих дисциплин учебного плана:
из высшей математики — элементы линейной алгебры, исследование
функций с помощью производных, неопределенный, определенный и несобственный интегралы, функции нескольких переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения, ряд и интеграл Фурье, элементы теории функций
комплексного переменного, операционное исчисление, элементы математической статистики, элементы вариационного исчисления;
из электротехники — характеристики электрических цепей при синусоидальном токе, основы комплексного метода, классический, операторный
и частотный методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами, основы синтеза электрических
цепей;
из теоретической механики — принцип Д'Аламбера, общее уравнение
динамики, гармонические колебания материальной точки.
Главы 1-5 написаны И.Г. Абраменко, глава 6 - О.Г. Грибом. Общая редакция материалов проведена И.Г. Абраменко.
Изложенные в пособии технологии пригодны для использования в дипломном проектировании и при решении практических задач проектирования и эксплуатации систем электроснабжения.
10
Глава 1. Основные понятия ТАУ
1.1. Предмет и задачи курса
Теория автоматического управления (ТАУ) – научная дисциплина, предметом изучения которой являются процессы, происходящие в системах автоматического управления (САУ).
Задачами курса являются:
- изучение функций, которые выполняют в САУ отдельные устройства и элементы;
- выявление общих закономерностей функционирования САУ в целом;
- разработка на основе этих закономерностей методов анализа существующих и синтеза новых САУ.
Решение этих задач производится с использованием:
- теории дифференциальных уравнений;
- операционного исчисления (преобразования Лапласа);
- спектрального анализа (преобразования Фурье);
- математического моделирования.
1.2. Место ТАУ в системе наук
Формирование ТАУ в самостоятельную научную дисциплину произошло
в конце 40-х годов 20 столетия.
ТАУ является теоретической основой технической кибернетики - направления кибернетики, занимающегося изучением технических систем.
Сама же кибернетика ( в пер. с греч.– искусство управления) является
наукой об управлении, связи и переработке информации∗). Основателем кибернетики считается американский математик Н. Винер, выпустивший в 1948
году книгу, которая так и называлась «Кибернетика».
∗)
Информация (лат. - объяснение, изложение) – сведения, сообщения об окружающем мире
11
Основными объектами исследования в кибернетике служат кибернетические системы (КС). Особенностью этих систем является то, что они рассматриваются абстрактно, т.е. безотносительно к их реальной природе. Абстрактная КС представляется в виде совокупности взаимосвязанных объектов - элементов системы, способных запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться ею с другими элементами и с внешним миром.
Примерами таких систем служат автоматические регуляторы (например, автопилот), электронные вычислительные машины (ЭВМ), человеческий мозг,
биологические популяции, человеческое общество.
Кибернетический подход к изучению различных объектов заключается в
том, что они рассматриваются как преобразователи информации. Сигналы,
поступающие на вход системы, меняют её состояние и инициируют выходные сигналы, которые в общем случае зависят как от состояния КС, так и от
входных сигналов.
КС при изучении вопросов управления можно представить в виде двух
взаимодействующих блоков - объекта управления и управляющей системы
(см. рис. 1.1).
Рис. 1.1. Схема управления в кибернетической системе
Управляющая система по каналам прямой связи передаёт управляющие
воздействия на объект управления. Информация об объекте управления по
каналам обратной связи передаётся в управляющую систему (на рисунке
пунктиром обозначены возможные взаимодействия объекта управления с ок12
ружающей средой). Задачей управляющей системы является выдача таких
управляющих воздействий, которые обеспечивают достижение тех или иных
целей управления.
Для исследования КС в кибернетике используется три метода. Два из
них - математико-аналитический и экспериментальный - широко применяются и в других науках. Заслугой кибернетики является разработка и использование нового метода исследования, промежуточного между указанными
двумя - метода математического моделирования. Суть его состоит в том, что
эксперименты проводятся не с реальной физической моделью изучаемого
объекта, а с его описанием, помещённым в память ЭВМ.
Таким образом ЭВМ можно рассматривать, как универсальный преобразователь информации. Это означает, что, запоминая структуру любой другой КС, ЭВМ оказывается способной выполнять её функции как преобразователя информации.
Благодаря наличию нового метода исследования и универсальности
понятия КС, кибернетика может использоваться в качестве инструмента исследования в других науках. В этом отношении кибернетика подобна математике,
привносящей
в
другие
науки
присущий
ей
математико-
аналитический метод исследования.
1.3. Сущность автоматического управления
В повседневной жизни мы достаточно часто сталкиваемся с понятием
“управление”, под которым понимается процесс приведения определенного
физического объекта в состояние, соответствующее некоторой цели.
Управлять можно транспортным средством, станком, школой, телевизором,
государством и т.п.
В настоящее время одним из наиболее прогрессивных направлений в
общем развитии науки и техники является замена операций человека в процессах управления функционированием определенных технических уст13
ройств, т.е. автоматизация таких процессов. Это обусловливается в первую
очередь тем, что из-за физиологических и психологических особенностей человека-оператора эффективность процессов управления обычно не может
достигать возможных оптимальных значений.
При этом все большее значение приобретает автоматическое управление, под которым подразумевается осуществление определенных управляющих воздействий на заданный объект, необходимых и достаточных для его
целенаправленного функционирования с заданной точностью без непосредственного участия человека. Роль человека сводится к проектированию,
наладке, запуску САУ, эпизодическому контролю за правильностью работы,
остановке системы и другим побочным функциям, непосредственно не связанным с операциями управления.
В качестве примера автоматического управления рассмотрим работу
одного из первых технических устройств, управляющих объектом автоматически – центробежного регулятора для поддержания постоянства хода паровой машины, изобретенного английским механиком Джеймсом Уаттом в
1784 г (см. рис.1.2).
Рис. 1.2
Этот регулятор состоит из двух грузов 1, подвешенных на шарнирах
вдоль оси вертикального вала 2, связанного через редуктор с выходным ва14
лом паровой машины 3. Рычаги грузов соединены с втулкой 4, которая может
перемещаться вдоль вала 2. Втулка 4, в свою очередь, соединена рычагом с
заслонкой 5, положение которой определяет сечение отверстия, через которое пар поступает из котла в цилиндр машины.
При пуске машины ее выходной вал 3 приходит во вращение с круговой скоростью ω , а каждый из грузов начинает испытывать воздействие
двух сил (см. рисунок): силы упругости рычага F (или ее вертикальной Fв
и горизонтальной Fг составляющих) и силы веса P . Если величина веса P ,
угол α и передаточное число редуктора подобраны такими, что при этом
Fв > P , то грузы начнут смещаться вверх и в стороны до тех пор, пока не наступит состояние динамического равновесия, когда Fв = P . В результате этого заслонка 5 принимает некоторое положение, соответствующее определенной скорости.
Применение приведенного регулятора обеспечивает с определенной
точностью постоянство скорости ω независимо от величины нагрузки на валу машины и параметров рабочего пара. Так, например, если по какой-либо
причине машина увеличит скорость вращения, то центростремительная сила
Fг также увеличится, что приведет к росту F а следовательно и Fв . Состояние равновесия нарушится и грузы начнут приподыматься выше, что
приведет к большему закрытию заслонки, снижению расхода пара и, следовательно, к снижению ω .
Паровая машина не обладала способностью устойчиво обеспечивать
требуемый режим работы, т.е. не обладала «самовыравниванием». Наличие
подключённого регулятора тоже иногда приводило к неожиданным результатам – машина начинала «раскачиваться». Это вызывало необходимость проведения соответствующих теоретических исследований.
Особо следует выделить три фундаментальные теоретические работы,
содержавшие в себе, по существу, изложение основ ТАУ: работа
Д.К.Максвелла «О регуляторах» (1866) и работы И.А.Вышнеградского «Об
15
общей теории регуляторов» (1876) и «О регуляторах прямого действия»
(1877). Оба автора осуществили системный подход к проблеме, рассмотрев
регулятор и машину как единую динамическую систему. Математическое
описание системы было упрощено путем перехода к исследованию малых
колебаний и линеаризованных дифференциальных уравнений, что позволило
сформировать общий методологический подход к исследованию разнородных по физике и конструкции систем, заложить основы теории устойчивости
и установить ряд важных общих закономерностей регулирования по принципу обратной связи.
Важную роль сыграли работы И.А.Вышнеградского, содержащие
кроме ценных практических рекомендаций также основы ряда современных
методов исследования устойчивости и качества регулирования (диаграммы
устойчивости и распределения корней, выделение областей устойчивости и
монотонности и др.). Именно И.А.Вышнеградский является основоположником теории автоматического регулирования.
Работа Д.К.Максвелла осталась в то время малозамеченной, т.к. она
рассматривала нехарактерный объект, явно полезных практических выводов
не содержала и рекомендовала практически непригодные для машин того
времени астатические регулятора. Её роль была оценена позднее, когда теория автоматического регулирования уже сформировалась в самостоятельную
научную дисциплину.
Теория регулирования стала стимулировать разработки математического плана. Раус разработал алгоритм для оценки расположения корней характеристического уравнения и устойчивости, Гурвиц вывел алгебраический
критерий устойчивости.
Изменения САУ, связанные с усложнением структуры и повышением
требований, предъявляемых к скорости протекания, точности и качеству
процессов, привели к необходимости создания более эффективных методов
исследования систем. Появились частотные методы, позволяющие сочетать
аналитические и наглядные графические приёмы, теоретические и экспери16
ментальные методы исследования. Х.Найквист в 1932 предложил критерий
устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью, основанный
на свойствах частотной характеристики разомкнутой системы. В 1938 году в
работе «Гармонический метод в теории регулирования» А.В.Михайлов обосновал целесообразность использования частотных методов в теории регулирования. В 1946 году Г.Боде и Л.Мак Кол ввели логарифмические частотные
характеристики. Флойд для исследования качества предложил приближённую разбивку вещественной частотной характеристики на трапеции. Г.Браун,
А.Холл, Д.Кемпбелл, Г.Честнат, А.В.Михайлов, В.В.Солодовников и др. завершили разработку частотных методов синтеза и расчёта систем, придав им
современную форму, удобную для инженерных расчётов, в том числе и при
использовании современных компьютерных технологий.
В заключение отметим, что термин “автоматическое управление” следует отличать от термина “автоматизированное управление”, под которым
понимается управление с обязательным участием человека.
1.4. Основные определения
Наиболее общими, лежащим в основе всей терминологии ТАУ, определениями являются следующие обозначения: алгоритм, алгоритм функционирования, объект управления, алгоритм управления, управление, автоматическое управляющее устройство, система автоматического управления.
Алгоритмом называют совокупность предписаний, устанавливающих
конечную последовательность точно определенных действий, выполнение
которых приводит к конечному результату. В ТАУ термин “алгоритм” используют, чаще всего, в сочетании со
словами
“функционирование” и
”управление”.
Алгоритм функционирования – это совокупность предписаний, ведущих к правильному выполнению технического процесса в каком-либо устройстве или в совокупности устройств (системе). Например, алгоритм функ17
ционирования генератора переменного тока, предназначенного для преобразования тепловой энергии в электрическую, часто формулируется в виде:
обеспечение постоянства параметров напряжения U и частоты f , т.е.
U = const
и f = const .
В ТАУ алгоритм функционирования считается заданным.
Объект управления (ОУ) – это устройство (или совокупность устройств), осуществляющее технический процесс и нуждающееся в специально
организованных воздействиях извне для обеспечения своего алгоритма
функционирования.
Дело в том, что на всякое техническое устройство всегда влияет внешняя среда, причем это влияние, как правило, носит возмущающий характер,
т.е. среда мешает правильному функционированию этого устройства. В результате отклонения от алгоритма функционирования могут превышать допустимые пределы.
Алгоритм управления – это совокупность предписаний, определяющих
характер воздействий на ОУ с целью обеспечения его алгоритма функционирования.
Управление - процесс выполнения воздействий на ОУ в соответствии с
алгоритмом управления.
Автоматическое управляющее устройство (АУУ) – это устройство,
осуществляющее без участия человека процесс управления.
Система автоматического управления (САУ) – совокупность ОУ и
АУУ, взаимодействующих между собой с целью обеспечения заданного алгоритма функционирования ОУ. САУ можно представить в виде схемы, приведенной на рис. 1.3.
18
Рис. 1.3.
Рассмотрим величины, присутствующие в этой схеме.
Величины y (t ) на выходе ОУ характеризуют его состояние и, следовательно, в процессе управления должны целенаправленно изменяться либо
поддерживаться постоянными. Поэтому они называются управляемыми величинами или управляемыми переменными. Этими величинами могут служить
как определенные физические параметры, которые непосредственно измеря0
ются ( t , U , ω , ϕ и т.д.), так и величины, вычисляемые по нескольким изме-
ряемым параметрам (к.п.д, мощность).
Управляемые величины зависят от входных воздействий x(t ) . Последние разделяются на две принципиально разные группы: управляющие u(t ) и
возмущающие f (t ) воздействия.
Управляющие воздействия вырабатываются в АУУ в соответствии с
алгоритмом управления на основе информации о требуемых значениях
управляемых величин y з (t ) и информации о состоянии ОУ - z (t ) , обеспечивая желаемое функционирование ОУ.
Возмущающие воздействия f (t ) , наоборот, мешают нормальному
функционированию ОУ и изменить их, как правило, невозможно.
Величины y з (t ) служат для задания требуемых состояний управляемых переменных y (t ) и называются задающими воздействиями.
Таким образом САУ представляет собой динамическую систему направленного действия, обеспечивающую определенную функциональную
связь между задающими воздействиями и управляемыми переменными при
наличии определенных возмущающих воздействий, т.е.
y (t ) = A [ y з (t ), f (t ) ] ,
19
где A – оператор преобразования, представляющих собой совокупность математических операций, которые необходимо выполнить, чтобы получить
y (t ) .
В дальнейшем для простоты изложения ограничимся рассмотрением
только одномерных САУ, у которых y (t ) = y (t ) и y з (t ) = yз (t ) .
1.5. Цели автоматического управления
В зависимости от характера задач управления можно выделить следующие обобщенные виды целей функционирования САУ: стабилизация,
программное управление и слежение.
Под стабилизацией понимается алгоритм функционирования, обеспечивающий поддержание постоянного значения управляемой величины, задаваемого задающим воздействием, т.е. y (t ) ≈ yз (t ) = const . Знак ≈ подчеркивает тот факт, что управляемая величина в реальных системах поддерживается на заданном уровне с некоторой ошибкой. Примером такой системы является САУ стабилизации частоты выходного напряжения генератора электростанции.
Программное управление заключается в изменении управляемой величины в соответствии с заранее известным законом изменения задающего воздействия y (t ) ≈ yз (t ) = yз.пр (t ) = vari . Примерами таких САУ являются система числового программного управления станком (функция времени) и система управления движением лифта (функция пути).
Слежение заключается в изменении управляемой величины в соответствии с заранее неизвестным законом изменения задающего воздействия
y (t ) ≈ yз (t ) = yз.сл (t ) = vari . Такие системы используют обычно для дистанционного управления перемещением объектов в пространстве, либо для дистанционной передачи показаний приборов.
20
1.6. Принципы автоматического управления.
Под принципами управления в ТАУ понимаются способы формирования управляющего воздействия. Для облегчения понимания этих принципов
рассмотрим вначале процесс управления автомобилем.
В этом случае водитель видит перед собой дорогу и находящиеся на
ней объекты, наблюдает куда движется автомобиль и на основе этого принимает решения по управлению им. Проанализировав этот процесс, можно выделить в нем следующие основные элементы:
- получение информации о направлении, в котором должен двигаться
автомобиль;
- получение информации о том, куда фактически движется автомобиль;
- анализ полученной информации и принятие на его основе решения о
необходимых управляющих действиях;
- исполнение принятого решения.
Анализ процессов управления в других случаях также часто приводит
к выделению аналогичных четырех составных элементов, которые в обобщенном виде можно сформулировать так:
- получение информации о задаче управления;
- получение информации о фактическом состоянии ОУ;
- анализ полученной информации и выработка решения о необходимых
управляющих действиях;
- осуществление управляющих воздействий.
Таким образом, в подобных системах определение необходимых
управляющих воздействиях зависит от результатов управления. Иными словами, причина – управляющее воздействие – зависит от следствия – вызываемого этим воздействием поведения ОУ. Такая связь причины и следствия
называется обратной связью, а принцип управления, использующий ее, называется принципом обратной связи или управлением по отклонению (прин-
21
цип Ползунова – Уатта). САУ, реализующую этот принцип, называют замкнутой. Ее наиболее общий вид приведен на рис. 1.4.
Рис. 1.4.
В этих САУ управляющее воздействие определяется не непосредственно по управляемой величине y (t ) , а по величине сигнала ошибки
Δ(t ) = yз (t ) − y (t ) , т.е. u (t ) = Aу [ Δ(t )] ,
где Aу - оператор преобразования (алгоритм управления).
Достоинствами принципа являются:
- учет при выработке управляющего воздействия всех возмущений,
влияющих на управляемую величину;
- возможность осуществлять управление ОУ в условиях некоторой неопределенности (количественной но, вообще говоря, не любой и тем более не
качественной).
Недостатками принципа являются:
- относительно низкое быстродействие, которое объясняется тем, что
компенсация системой действия возмущений начинается только тогда, когда
эти возмущения приводят к изменению управляемой величины;
- наличие ошибки управления в переходном процессе;
- из-за наличия замкнутой цепи в таких системах могут возникать колебания, которые в ряде случаев делают их неработоспособными.
Другим принципом управления является принцип разомкнутого управления, когда отсутствует учет значений управляемой величины. Реализуется
он разомкнутыми САУ, которые, в свою очередь, делятся на два класса:
- САУ, осуществляющие управление по возмущающему воздействию;
22
- САУ, осуществляющие управление по задающему воздействию.
В первом случае САУ имеет вид, приведенный на рис.1.5.
Рис. 1.5.
Из рисунка видно, что в таких системах определение управляющего
воздействия u (t ) осуществляется с учетом информации о величине возмущающего воздействия f (t ) , т.е.
u (t ) = Aу [ yз (t ), f (t )] .
Достоинством такого управления является высокое быстродействие
САУ, так как система реагирует на изменение возмущения еще до того, как
эти изменения вызовут изменения управляемой величины.
Недостатками же его являются:
- нечувствительность САУ ко всем возмущающим воздействиям, кроме измеряемого, вследствие чего точность управления может снижаться до
недопустимых значений;
- необходимость предварительного определения точного количественного закона взаимодействия возмущающего воздействия с управляемой величиной.
Во втором случае САУ имеет вид, приведенный на рис.1.6.
Рис. 1.6.
23
Сущность такого управления заключается в том, что управляющее
воздействие вырабатывается только на основе задающего воздействия, т.е.
u (t ) = Aу [ yз (t )] .
Достоинством принципа является простота реализующей его САУ.
Недостатком же является то, что применять его можно для управления только такими ОУ, у которых управляемая величина практически не зависит от возмущающих воздействий.
В заключение отметим, что в ряде случаев в одной САУ могут использоваться одновременно как принцип обратной связи, так и принцип разомкнутого управления. Такое управление называют комбинированным.
В этом случае
u (t ) = Aу [δ (t ), f (t )] .
Достоинством его является высокое быстродействие на изменения основных возмущающих воздействий и высокая точность управления, независимо от того, какая причина вызвала отклонение управляемой величины.
1.7. Виды воздействий на САУ
САУ в ходе своего функционирования испытывают воздействия двух
видов: внутренние и внешние.
Внутренние воздействия возникают в результате взаимодействия элементов САУ между собой. Типичным примером такого воздействия является
действие АУУ на ОУ.
Внешние воздействия возникают вне САУ и могут передаваться в систему как через ОУ, так и через любой другой элемент системы. Этими воздействиями являются задающее и возмущающие воздействия.
24
Очевидно, что в зависимости от величины и характера внешних воздействий поведение САУ будет различным. В то же время эти воздействия реально представляют собой, чаще всего, случайные функции времени. Поэтому исследование функционирования конкретных САУ производят при нескольких различных, четко определенных воздействиях, называемых типовыми. Эти воздействия описываются простыми математическими выражениями и легко воспроизводятся при испытании систем. В результате такого
подхода стало возможным унифицировать расчеты различных систем, а также проводить сравнение их свойств.
Рассмотрим эти воздействия.
Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (см. рис.
1.7а).
Рис. 1.7. Виды типовых воздействий САУ
Аналитически ступенчатое воздействие записывается в виде:
⎧ 0 при t < 0;
x (t ) = ⎨
⎩ a при t ≥ 0.
25
При этом наиболее удобно использовать воздействие, у которого a = 1 .
Его называют единичным ступенчатым воздействием и обозначают 1(t ) .
Математическое выражение 1(t ) имеет вид:
⎧ 0 п р и t < 0;
1( t ) = ⎨
⎩ 1 при t ≥ 0.
Заметим, что любое неединичное ступенчатое воздействие можно
представить выражением a ⋅ 1(t ) . Если ступенчатое воздействие возникает в
момент времени t = t1 , то используют обозначение вида 1(t − t1 ) .
Импульсное воздействие – воздействие, представляющее собой одиночный импульс прямоугольной формы, имеющий достаточно большую высоту h (см. рис. 1.7б) и существенно меньшую по сравнению с инерционностью системы длительность τ .
Наиболее часто используют единичное импульсное воздействие δ(t ) ,
которое описывается так называемой дельта-функцией:
⎧ ∞ п р и t = 0;
δ (t ) = ⎨
причем
⎩ 0 при t ≠ 0,
∞
∫ δ ( t ) dt
=1.
−∞
Поэтому δ(t ) можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно
большую высоту и бесконечно малую длительность, площадь которого равна
1.
Дельта-функцию можно определить также как производную от 1(t ) , т.е.
δ ( t ) = 1′( t ) .
Основное свойство δ(t ) выражается соотношением:
∞
∫ y ( t ) δ ( t − t ) dt
1
= y ( t1 ) ,
−∞
которое означает, что неединичная импульсная функция y ( t ) δ ( t − t1 ) , полученная как произведение произвольной функции y (t ) на дельта-функцию,
26
существует только в момент t = t1 и что площадь ее равна значению функции
y (t ) в точке t1 .
Гармоническое воздействие – воздействие, описываемое функцией
x ( t ) = 1( t ) ⋅ A ⋅ sin(ω t ) ,
где: Am - амплитуда, а - ω частота изменения (см. рис. 1.7в).
Линейное
воздействие
–
воздействие,
описываемое
функцией
x ( t ) = 1( t ) ⋅ kt (см. рис. 1.7а).
Здесь коэффициент k характеризует скорость нарастания воздействия
x(t ) .
1.8. Режимы работы САУ
Любая САУ в процессе работы может находиться в двух качественно
отличных друг от друга режимах в зависимости от характера внешних воздействий и свойств самой системы. Различаются эти режимы по характеру
изменения управляемой величины во времени и называются статическим и динамическим.
Статическим режимом называют состояние системы, при котором
управляемая величина y (t ) не изменяется во времени, т.е. y (t ) = const .
Этот режим может иметь место лишь тогда, когда входные воздействия
постоянны во времени, а система находится в равновесном состоянии.
Динамическим режимом называют состояние системы, при котором
величина y (t ) изменяется во времени, т.е. y (t ) = var i .
Динамические режимы имеют место, когда в системе после нанесения
внешних воздействий происходят процессы установления заданного состояния, т.е. осуществляется управление. Они в свою очередь подразделяются на
неустановившиеся и установившиеся.
27
Неустановившиеся динамические режимы имеют место сразу после
изменения внешних воздействий. Процессы, происходящие при этом в системе, называются переходными процессами.
Установившиеся динамические режимы работы САУ наступают после
окончания переходных процессов и характеризуются тем, что управляемая
величина системы начинает изменяться во времени по такому же закону, как
и задающее воздействие.
Проиллюстрируем понятия установившегося и неустановившегося режимов графиками возможных изменений управляемой величины y (t ) при
типовых воздействиях для САУ, описываемой дифференциальным уравнением вида 0, 25 y′′(t ) + 0,5 y′(t ) + y (t ) = 10 x(t ) (см. рис. 1.8).
а)
б)
в)
г)
Рис. 1.8. Реакции САУ на типовые воздействия:
а) сигнал x(t ) = 1(t ) ; б) сигнал x(t ) = δ (t ) ;
в) сигнал x ( t ) = 1( t ) ⋅ 10 ⋅ sin(10 t ) ; г) сигнал x ( t ) = 1( t ) ⋅ 0, 2 t
1.9. Требования к САУ
28
Эффективность САУ в каждом конкретном случае зависит от того, насколько система удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям. Основным требованием является обеспечение заданной функциональной зависимости между задающим воздействием на входе и управляемой переменной на
выходе системы. Идеальных систем, которые выполняли бы это требование
абсолютно точно, не существует. Поэтому речь может идти лишь о степени
приближении работы реальной системы к идеалу. Для оценки этого приближения используются следующие категории требований:
- по запасу устойчивости системы;
- по величине ошибки в установившемся состоянии или статической
точности;
- по поведению системы в переходном процессе (совокупность этих
требований называется условиями качества);
- по динамической точности системы, т. е. по величине ошибки при
непрерывно изменяющихся воздействиях.
Наиболее важным и необходимым из перечисленных требований является устойчивость работы системы.
САУ из-за наличия обратных связей склонны к колебаниям. В устойчиво работающей системе наблюдаются затухающие с течением времени колебания. Устойчивость системы не должна нарушаться во время ее работы при
изменении в определенных пределах внешних и внутренних условий. Поэтому требование устойчивости должно удовлетворяться с некоторым запасом.
1.10. Классификация САУ
Системы автоматического управления классифицируются по различным признакам.
По цели управления
различают системы стабилизации, программного
управления и следящие системы.
29
По принципу действия САУ могут быть разомкнутыми, замкнутыми
либо комбинированными.
По возможности контролируемых изменений своих свойств САУ
можно разделить на два больших класса – адаптивные (способные автоматически приспосабливаться к изменению внешних условий и свойств объекта)
и неадаптивные.
Адаптивные системы в свою очередь классифицируются в зависимости от объема адаптационных изменений на:
экстремальные – меняются только управляющие воздействия;
самонастраивающиеся – меняются управляющие воздействия и параметры системы;
самоорганизующиеся – меняются управляющие воздействия, параметры и структура системы;
обучающиеся – меняются управляющие воздействия, параметры и
структура системы, алгоритм функционирования, а в случае самообучения и
целевая функция.
По характеру сигналов в цепи управления различают системы непрерывные и дискретные (через дискретные промежутки времени происходит
коммутация цепи воздействий).
Дискретные системы в свою очередь разделяются на импульсные
(коммутация цепи воздействий происходит принудительно и периодически),
релейные (прерывистое, ступенчатое изменение сигналов при непрерывном
характере входного сигнала) и цифровые (квантование сигналов происходит
как по времени, так и по уровню).
По виду математического описания выделяют линейные (все элементы
описываются линейными дифференциальными и алгебраическими уравнениями) и нелинейные системы (хотя бы один элемент описывается нелинейным уравнением).
По величине ошибки Δ(∞) в установившемся режиме САУ делятся на
статические ( Δ(∞) ≠ 0 ) и астатические ( Δ(∞) = 0 ).
30
По характеру параметров различают стационарные (параметры постоянны) и нестационарные САУ (параметры меняются).
Каждый из этих классов подразделяется на системы с сосредоточенными и распределенными параметрами
По количеству управляемых величин выделяют одномерные (одна
управляемая величина) и многомерные САУ (таких величин несколько)
В зависимости от принадлежности источника энергии, при помощи
которого создаётся управляющее воздействие, системы могут быть прямого и
непрямого действия. В системах прямого действия используется энергия
управляемого объекта. К ним относятся простейшие системы стабилизации
(уровня, расхода, давления и т.п.), в которых воспринимающий элемент через
рычажную систему непосредственно действует на исполнительный орган
(заслонку, клапан и т.д.). В системах непрямого действия управляющее воздействие создаётся за счёт энергии дополнительного источника.
1.11. Обобщенная функциональная схема САУ
При изучении конкретной САУ ее удобно предварительно формально
разделить на отдельные типовые элементы, выявить взаимосвязи между этими элементами и отобразить их в виде функциональной схемы. Функциональной схемой САУ называют условное графическое изображение, отражающее функции, выполняемые отдельными элементами системы и связи
между этими элементами.
В общем случае САУ представляют собой комплексы взаимодействующих элементов, работа которых основана на различных физических
принципах (механических, электрических, гидравлических и т.д.). Однако,
несмотря на это многообразие, элементы САУ могут быть сведены к нескольким основным типам, различающимся по их назначению. Соответственно этому можно говорить об обобщенной функциональной схеме. Такая
схема представлена на рис. 1.9.
31
Рис. 1.9
Частями функциональной схемы являются условные изображения
функциональных блоков и элементов, а также связей между ними в виде линий со стрелками. Стрелки показывают направление передачи сигналов
взаимодействия. Функциональные блоки и элементы изображают в виде
прямоугольников, внутри которых записывают их название.
Как видно из рисунка, типовыми функциональными блоками САУ являются:
- блок задания БЗ, служащий для введения в систему требуемого закона
изменения управляемой величины – задающего воздействия yз (t ) и преобразования его в величину сигнала задания uз (t ) , удобную для использования
(чаще всего в электрическую величину – напряжение);
- блок измерения БИ, который измеряет действительное значение
управляемой величины y (t ) и преобразует его в величину сигнала обратной
связи uос (t ) ;
- блок сравнения БС, выполняющий сравнение сигналов uз (t ) и uос (t ) .
Выходной сигнал этого блока
Δu (t )
определяется из соотношения
Δu (t ) = uз (t ) − uос (t ) и называется сигналом рассогласования или сигналом
32
ошибки. Зачерненный сектор показывает, что величина, входящая в него, вычитается.
Допустимым также является вместо зачернения сектора применять
знак “-”;
- блок управления БУ, определяющий в соответствии с алгоритмом
управления величину необходимого сигнала управления uу (t ) ;
- исполнительный блок ИБ, вырабатывающий управляющее воздействие u (t ) , непосредственно прикладываемое к ОУ.
Каждый из перечисленных блоков может в свою очередь состоять из
нескольких более простых частей – элементов. Так на приведенной схеме показаны: усилительный элемент УЭ, служащий для усиления поступающих
сигналов; преобразующий элемент ПЭ, обеспечивающий совместную работу
элементов с различной физической природой; измерительный элемент ИЭ.
В состав исполнительного блока обычно входят еще две части: исполнительное устройство ИУ и исполнительный орган ИО. В качестве ИУ используют двигатели различных типов или другие источники энергии. ИО
обычно являются заслонки, вентили и другие дозирующие устройства. Иногда ИО составляет с ОУ единое целое и тогда целесообразно относить его к
ОУ.
В общем случае достаточно сложная САУ может включать несколько
контуров обратных связей. Тогда обратную связь, передающую информацию
о значении управляемой величины на вход САУ, называют главной обратной связью, а все остальные – местными.
На функциональных схемах конкретных САУ указывают не общее назначение блоков, а их конкретное наименование, например, двигатель М, тиристорный преобразователь ТП, тахогенератор ТГ.
1.12. Примеры САУ
Пример 1.
33
Система автоматической стабилизации угловой скорости двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением, реализующая принцип разомкнутого управления по возмущающему воздействию.
Принципиальная схема системы приведена на рис. 1.10.
Рис. 1.10
Здесь: М - управляемый двигатель;
ωд - его угловая скорость; LM - об-
мотка возбуждения.
Блоком задания в схеме является потенциометр Rз . Напряжение uз ,
пропорциональное заданному значению скорости рабочего механизма
ωз (uз = kз ⋅ ωз ) , где kз - коэффициент пропорциональности, снимается с
движка этого потенциометра и служит сигналом задания.
Для учета действия основного возмущающего воздействия - момента
статического сопротивления (момента нагрузки) M c используются моментная муфта ММ и усилитель постоянного тока УПТ. Моментная муфта выполняет функцию блока измерения. Выходное напряжение муфты uм , снимаемое с движка потенциометра R f , пропорционально моменту M c -
uм = kм ⋅ M c , где, kм - коэффициент передачи муфты. Напряжения uм и uз
суммируются с помощью сопротивлений Rвх и Rм на входе операционного
34
усилителя и усиливаются. Таким образом, УПТ выполняет функции сумматора и усилителя напряжения.
Тиристорный преобразователь ТП состоит из управляемого выпрямителя, преобразующего переменное напряжение в постоянное, и системы импульсно-фазового управления СИФУ, формирующей последовательность
импульсов, поступающих на управляющие электроды выпрямителя. ТП выполняет функцию усилителя мощности.
Напряжение на якоре двигателя uд является управляющим воздействием, его зависимость от скорости
ωз и момента Mc определяет алгоритм
управления разомкнутой системы:
uтп = (kз ⋅ ωз + kм ⋅ M c ) ⋅ kупт ⋅ kтп .
Функциональная схема системы приведена на рис. 1.11.
Рис. 1.11
При отсутствии связи по возмущению ( kм = 0 ) напряжение uд на входе
двигателя определяется лишь задающим напряжением uз , снимаемым с потенциометра Rз . При увеличении M c оно остается постоянным, что приводит к уменьшению скорости вращения двигателя.
При наличии связи по возмущению ( kм > 0 ) с возрастанием M c увеличивается uм , в результате чего возрастают напряжения uтп и uд . Это приводит к определенной компенсации влияния M c и, следовательно, меняет зави-
35
симость скорости вращения двигателя от величины возмущающего воздействия M c .
На рис. 1.12 показаны зависимости ω д = f ( M c ) при различных значениях коэффициента kм .
Рис. 1.12
Зависимость 1 соответствует режиму kм = 0 . С увеличением kм путем
перемещения движка потенциометра R f падение скорости
ωд
уменьшается
(зависимость 2). При соответствующих положениях движка можно добиться
полной компенсации влияния нагрузки (зависимость 3) или даже перекомпенсации (зависимость 4).
Таким образом, степень компенсации влияния возмущающего воздействия M c в системе зависит от степени адекватности характеристики объекта
ω д = f ( M c ) и от точности измерения возмущающего воздействия.
***
Пример 2.
Система автоматической стабилизации угловой скорости двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением, реализующая принцип
управления по отклонению.
Принципиальная схема системы приведена на рис. 1.13.
36
Рис. 1.13
Формирование сигнала рассогласования
Δ u (t ) , пропорционального
ошибке Δ(t ) = ωз − ωд (t ) , осуществляется с помощью задающего потенциометра Rз и тахогенератора ТГ, которые включены так, что их выходные
напряжения
uз
и
u тг
направлены встречно, т.е.:
Δu = uз − uтг .
Усиленное по величине и мощности в усилителе постоянного тока и
тиристорном преобразователе ТП, выходное напряжение
u тг , приложенное
к цепи якоря двигателя, осуществляет соответствующее изменение скорости
вращения двигателя, уменьшая величину Δ(t ) .
Полагая
uз = kз ⋅ ωз , uтг = kтг ⋅ ωд (t ), uтп = kупт ⋅ ( uз − uтг ) ,
получаем при kз = kтг = k следующее выражение дли сигнала управления на
входе ТП:
uтп (t ) = k ⋅ kупт ⋅ ⎡⎣ωз − ωд (t )⎤⎦ = k ⋅ kупт ⋅ Δ(t ) ,
где kупт - коэффициент передачи УПТ.
Функциональная схема системы приведена на рис. 1.14.
37
Рис. 1.14
Рассмотрим
работу
системы.
Пусть
M c (t ) = M c,0 = const
и
uз = const . Тогда имеем: ω д ( t ) = ω 0 , u д ( t ) = u д,0 , u т г ( t ) = u т г,0 ,
Δ u = u з − u тг,0 = Δ u0 . При увеличении момента нагрузки, например, до
значения
M c,1 > M c,0 , скорость двигателя уменьшится на величину Δ ω 1
и станет равной
ω 1 = ω 0 − Δ ω 1 (см. рис. 1.15, кривая 1).
Рис. 1.15
Величина
Δ ω 1 соответствует падению скорости двигателя при отсут-
ствии управления.
38
Воздействие обратной связи состоит в том, что со снижением скорости
уменьшается напряжение тахогенератора u т г = u т г ,0 − Δ u т г ,1 . Соответственно
возрастает
сигнал
рассогласования
Δ u = u з − u тг = u з − (u тг,0 − Δ u тг,1 ) = Δ u 0 + Δ u тг,1 . Это приводит к возрастанию напряжения на якоре двигателя
u д,1 и скорости вращения ω д .
После окончания переходного процесса система переходит в новый установившийся режим, который характеризуется напряжением
u д ,1 > u д ,0 и
соответствующей этому напряжению скоростью вращения
ω 1 . Однако но-
вое установившееся значение скорости будет меньше того значения, которое
было до начала процесса управления, т.е. ω 1 < ω 0 (см. рис. 1.15, кривая 2).
Действительно, при увеличении момента нагрузки снижается скорость вращения, и для того чтобы ее увеличить, нужно увеличить напряжение
может быть осуществлено только при уменьшении напряжения
u д , что
u тг , а сле-
довательно, и скорости вращения двигателя.
Таким образом, рассмотренная система характеризуется наличием в установившемся режиме ошибки
Δ ω 1 = ω 0 − ω 1 , величина которой, в зави-
симости от коэффициента усиления тахогенератора, может быть значительно
меньше ошибки Δ ω 1 при отсутствии обратной связи ( kтг = 0 ).
***
Пример 3.
Следящая система управления углом поворота рабочего механизма.
Принципиальная схема системы приведена на рис. 1.16.
39
Рис. 1.16
Объектом управления в данной системе является рабочий механизм
РМ. Управляемой величиной является угол поворота вала рабочего механизма β или, что то же самое, угол поворота движка потенциометра
П вых ,
поскольку этот потенциометр расположен на одном валу с рабочим механизмом (на исполнительной оси ИО), а задающим сигналом - угол поворота α
движка потенциометра П вх , который расположен на командной оси КО.
АУУ состоит из измерительных устройств П вх и П вых , усилителя
постоянного тока УПТ, реверсивного тиристорного преобразователя ТП,
двигателя постоянного тока с независимым возбуждением М и редуктора А.
Алгоритм функционирования САУ заключается в том, чтобы исполнительная ось ИО следила за произвольно изменяющимся положением оси КО, т.е.
β (t ) = α (t ) при действии на элементы системы различных возмущений, в
частности момента статического сопротивления
Mc .
Сигнал рассогласования Δu (t ) определяется соотношением:
Δu (t ) = uα (t ) − uβ (t ) = kп [α (t ) − β (t ) ] = kп Δ (t ) ,
где:
uα и uβ - соответственно, выходные напряжения потенциометров
П вх и П вых ; kп - передаточный коэффициент измерительных устройств
(потенциометры П вх и П вых имеют одинаковые конструкции и парамет40
ры). Сигнал Δu (t ) усиливается в УПТ и поступает на вход ТП. В результате
на якорной обмотке двигателя формируется напряжение. Величина uд (t ) зависит от величины сигнала рассогласования и передаточных коэффициентов
тиристорного преобразователя kтп и усилителя постоянного тока k упт :
uд (t ) = kупт ⋅ kтп ⋅Δu (t ) = kупт ⋅ kтп ⋅ kп ⋅Δ(t ) .
Тиристорный преобразователь ТП, двигатель М и редуктор А образуют
исполнительный блок. Выходным сигналом этого блока является скорость
вращения выходного вала редуктора
ω р , которая является управляющим
воздействием на РМ.
Функциональная схема системы приведена на рис. 1.17.
Рис. 1.17
Рассмотрим работу системы. При идентичном положении командной и
исполнительной осей угол рассогласования между ними равен нулю. Также
равны нулю напряжения
Δu и uд , т.е. двигатель и вся система находятся в
покое. При повороте командной оси на некоторый угол возникает угол рассогласования
Δ =α −β
и пропорциональные ему напряжения. Под воз-
действием напряжения u д двигатель начинает вращаться и через редуктор
поворачивает исполнительную ось и движок потенциометра П вых в сторону
уменьшения угла рассогласования до тех пор, пока этот угол не станет равным нулю. При повороте командной оси в другую сторону меняется поляр41
ность напряжения, прикладываемого к двигателю, и, следовательно, направление его вращения.
***
Контрольные вопросы
1. Назовите задачи, которые решаются в курсе теории автоматического
управления.
2. Какую роль играет автоматизация на современном этапе развития
науки и техники?
3.Укажите преимущества и недостатки принципов управления, применяемых в САУ.
4. Что такое функциональная схема САУ?
5. На какие классы делятся САУ по цели управления?
6. На какие классы делятся САУ по виду математического описания?
7. Что такое переходный процесс?
8. Какие типовые воздействия используются при изучении динамики
элементов и систем?
9. Какие признаки элементов системы управления отражаются на ее
функциональной схеме?
10. Назовите наиболее распространенные функциональные элементы
систем управления.
11. На какие классы разделяются системы управления по величине
ошибки Δ(∞) в установившемся режиме?
12. На какие классы разделяются системы управления по принципу
действия?
13. Какие преимущества и недостатки имеют разомкнутые системы
управления?
14. Какие преимущества и недостатки имеют замкнутые системы
управления?
42
Глава 2. Математическое описание САУ
Решение вопросов анализа существующих и синтеза новых САУ возможно лишь при наличии соответствующего математического описания их
свойств. Это описание называют математической моделью САУ, так как при
ее составлении всегда делаются те или иные допущения и приближения.
Отметим, что одна и та же система в зависимости от целей исследования
может описываться несколькими различными моделями. Это объясняется
противоречивостью требований к моделям: с одной стороны они должны как
можно полнее отражать свойства оригинала, а с другой стороны – быть по
возможности проще в использовании. Однако все модели САУ обычно являются дифференциальными уравнениями и только отдельные элементы могут
характеризоваться алгебраическими соотношениями.
При математическом описании САУ применяются два подхода: первый
из них основывается на представлении моделей в переменных вход – выход, а
другой – в переменных состояния.
Представление в переменных вход – выход основано на описании
свойств САУ дифференциальными уравнениями произвольного порядка.
Модель в переменных состояния использует систему дифференциальных уравнений только первого порядка, разрешенных относительно первых
производных, т.е. уравнений в нормальной форме Коши. Такая система, записанная в векторно–матричной форме, обычно называется уравнениями состояния.
2.1. Математическое описание в переменных вход – выход
Математическое описания системы составляют на основе описания
всех входящих в нее элементов. Первым шагом в составлении модели отдельного элемента САУ является выявление физических законов, определяющих его поведение. Математические выражения этих законов и является
43
искомой моделью. Затем, путем исключения промежуточных переменных,
получают модель САУ в целом.
Для САУ, имеющей один вход x(t ) и один выход y (t ) , математическую модель можно представить в виде:
(
)
F x(t ), x′(t ), y (t ), y′(t ), y′′(t ),..., y ( n) (t ) = 0 .
(2.1)
Уравнение (2.1) называют уравнением динамики, так как оно учитывает
входящие переменные в виде функций времени. Уравнение динамики описывает физические процессы в системе как в установившихся, так и в переходных режимах при любых внешних воздействиях. Воспользовавшись (2.1),
можно проводить анализ свойств системы, в частности, можно определять
степень устойчивости, точность, количественные показатели переходных
процессов.
Уравнение динамики, если в нем все производные положить равными
нулю, превращается в уравнение статики:
F (x0 ,0, y0 ,0,0, ... ,0) = 0 .
(2.2)
Уравнение статики описывает физические процессы в системе в установившемся режиме при постоянных внешних воздействиях. Обычно это
уравнение является алгебраическим. Из уравнения статики замкнутой системы может быть определена, в частности, статическая ошибка системы.
Сказанное справедливо для случая, когда уравнение (2.1) содержит помимо производных выходной величины и саму выходную величину y (t ) .
Если же y (t ) отсутствует, то для получения из уравнения динамики уравнения статики нужно принять все производные равными нулю, кроме производной y (t ) самого низкого порядка. В этом случае уравнение статики устанавливает связь между этой производной и входным воздействием.
Для линейной стационарной САУ уравнение (2.1) является линейным
неоднородным дифференциальным уравнением вида:
a0 y ( n ) (t ) + a1 y ( n −1) (t ) + K + an y (t ) = b0 u ( m ) (t ) + b1u ( m −1) (t ) + K + bm u (t ) , (2.3)
44
где u(t ) и y (t ) – соответственно, входная и выходная величины, изменяющиеся во времени; a i , b j – постоянные коэффициенты, определяемые параметрами системы; n – порядок уравнения.
Для определения решения уравнения (2.3) необходимо задать n начальных условий (значений выходной величины и ее производных при
t0 = 0 ):
y(t0 ) = y(0) , y′(t0 ) = y′(0) ,…, y( n−1) (t0 ) = y(n−1) (0)
(2.4)
и вид входной величины u(t ) .
Одной из основных особенностей линейных систем является то, что к
ним применим принцип суперпозиции, в соответствии с которым реакция системы на совокупность возмущений определяется суммой реакций на каждое
возмущение в отдельности. Эта особенность имеет большое практическое
значение, так как в этом случае значительно упрощаются многие расчеты.
2.1.1. Стандартная форма записи дифференциальных уравнений
САУ
При исследовании САУ, особенно при сравнении свойств систем и их
элементов между собой, удобно представлять уравнения в т.н. стандартной
форме. При этом используются следующие правила:
– выходную величину и все ее производные записывают в левой части
уравнения, а все остальные члены – в правой;
– коэффициент при выходной величине путем тождественных преобразований делают равным единице;
– если в правой части содержатся производные, то члены, содержащие
определенную выходную величину и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при этой величине выносят за скобки.
.
Пример 2.1.
45
Исходное уравнение системы имеет вид:
a 0 y ′′(t ) + a1 y ′(t ) + a 2 y (t ) = b0 u ′(t ) + b1u (t ) + c 0 f (t ) .
Представим это уравнение в стандартной форме.
Решение.
Имеем:
⎤ c
a0
a
b ⎡b
y′′(t ) + 1 y′(t ) + y (t ) = 1 ⎢ 0 u′(t ) + u (t ) ⎥ + 0 f (t ) .
a2
a2
a2 ⎣ b1
⎦ a2
2
Введем обозначения: a0 a2 = T0 ; a1 a2 = T1 ; b1 a2 = k1 ; b0 b1 = T2 ;
c0 a 2 = k 2 .
Тогда:
T02 y′′(t ) + T1 y′(t ) + y (t ) = k1 [T2u ′(t ) + u (t ) ] + k2 f (t ) .
Коэффициенты T0 , T1 и T2 имеют размерность времени, т.к.
[T0 ]2 [ y ] + [T1 ]⋅ [ y ] + [ y ] = [ y ] ⎧ [T2 ]⋅ [u ] + [u ]⎫ + [y ] [ f ]
,
⎬
[u ] ⎨⎩ c
c
c2
⎭ [f ]
и называются постоянными времени. Их значения определяют скорость и характер протекания переходных процессов.
Коэффициенты k1 и k 2 называются коэффициентами передачи, имеют
размерность [ k1 ] = [ y ] [u ] , [k 2 ] = [ y ] [ f ] и определяют взаимосвязь переменных в установившихся статических режимах.
***
Если же исходное уравнение не содержит каких–то коэффициентов,
например, a2 = 0 , то в стандартной форме единице должен равняться коэффициент при производной, имеющей меньший порядок. При этом размерность коэффициентов передачи будет меняться, а их значения будут определять взаимосвязь переменных в соответствующих установившихся динамических режимах (например, в режиме с постоянной скоростью изменения
выходной величины).
46
2.1.2. Операционный метод описания линейных САУ
В математике под операционным исчислением подразумевается раздел
математического анализа, в котором разрабатываются методы решения линейных дифференциальных, разностных и некоторых типов интегральных
уравнений. Операционное исчисление базируется на идее замены одних
функций на другие, получаемые по определенным правилам, например, используя преобразование Лапласа или преобразование Фурье.
В ТАУ самое широкое применение нашел операционный метод описания, основанный на использовании интегрального преобразования Лапласа
(L- преобразования):
F ( s ) = L { f ( t )} =
∞
∫
f ( t ) e − st dt .
(2.5)
0
Это преобразование устанавливает соответствие между функцией f (t )
действительной переменной t и функцией F (s ) комплексной переменной
s = α + j β . При этом f (t ) называют оригиналом, а F (s ) - изображением.
Достаточными условиями существования (2.5) являются следующие
требования:
- функция f (t ) должна быть однозначной и непрерывной при всех
t ≥ 0 , непрерывность может быть нарушена только в отдельных точках, яв-
ляющихся точками разрыва непрерывности первого рода;
- функция f ( t ) = 0 для всех t < 0 ;
- функция f (t ) должна иметь ограниченный порядок возрастания, т.е.
должны быть такие два постоянных числа M > 0 и c > 0 , при которых
f ( t ) < M e ct при t > 0 .
2.1.2.1. Основные свойства преобразования Лапласа
47
Преобразование Лапласа ставит в соответствие операциям над оригиналами некоторые определенные операции над изображениями. В таблице
2.1 приведены основные соотношения, используемые при описании линейных САУ.
Таблица 2.1
Наименование свойства
Оригинал
n
Линейность
при нулевых начальных условиях
Интегрирование оригинала при
n
∑ a k f k (t )
∑a
d ( n ) f (t )
dt n
s n F (s)
k =1
Дифференцирование оригинала
Изображение
τ
k =1
k
Fk ( s )
F (s)
s
нулевых начальных условиях
∫
Изменение масштаба
f (α t )
1 ⎛s⎞
F⎜ ⎟
α ⎝α⎠
Смещение аргумента оригинала
f (t − τ )
F ( s ) e − sτ
f ( t ) dt
0
t
∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ
Свертка функций
F1 ( s ) F2 ( s )
0
Начальное значение оригинала
Конечное значение оригинала
lim f (t )
t→0
lim f (t )
t →∞
lim sF ( s )
s→∞
lim sF ( s )
s→0
2.1.2.2. Передаточная функция
Применение преобразования Лапласа при математическом описании
САУ обусловливается также и тем, что с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой
описания свойств САУ или ее составных элементов.
Пусть дано линейное неоднородное уравнение САУ
48
a 0 y ( n ) (t ) + a1 y ( n −1) (t ) + K + a n y (t ) = b0 x ( m ) (t ) + b1 x ( m−1) (t ) + K + bm x(t ) .
Преобразуем это уравнение по Лапласу при нулевых начальных условиях:
a0 s nY ( s) + a1 s n−1Y ( s) + K + anY ( s) = b0 s m X ( s) + b1 s m−1 X ( s) + K + bm X ( s) . (2.6)
Воспользовавшись (2.6), можем записать:
m
m −1
Y ( s ) b0 s + b1 s + K + bm B( s )
=
=
.
A( s )
X ( s ) a 0 s n + a1 s n −1 + K + a n
(2.7)
Анализ выражения (2.7) показывает, что соотношение Y ( s) X ( s) не зависит от вида входного воздействия x(t ) , а характеризует только собственные свойства САУ. Это соотношение и называется передаточной функцией
и обозначается W (s) .
Таким образом, передаточной функцией называется отношение выходной величины ко входной, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях.
2.1.2. 3. Свойства и особенности передаточной функции
1. Передаточная функция устанавливает связь между входной и выходной величинами как в динамическом, так и в статическом
режимах.
2. Передаточная функция является функцией комплексной переменной
s = α + jβ , которая может при некоторых значениях s обращаться
в нуль или в бесконечность. Значение переменной s , при котором
W ( s) = 0 , называется нулем, а значение, при котором W (s) = ∞ полюсом передаточной функции. Из (2.7) следует, что нулями являются корни полинома B(s) , а полюсами – корни полинома A(s) .
3. Корни полиномов B(s) и A(s) могут быть комплексными сопряженными и вещественными. Если эти корни известны, то в соответствии с теоремой Безу выражение (2.7) можно представить в виде:
49
W (s) =
b0 ( s - ρ1 )( s - ρ 2 ) … ( s - ρ m )
,
a0 ( s - λ1 )( s - λ2 ) … ( s - λm )
где ρ i - нули, а λ j - полюса W (s) .
4. Если полином A(s) имеет один или несколько нулевых корней, то
передаточную функцию можно представить в форме с явным выделением этих корней, а именно, в виде:
W (s) = k
W * (s)
sr
,
(2.8)
W * ( s) = 1 ;
где: k - коэффициент передачи по соответствующему каналу; lim
s →0
r - количество нулевых корней полинома A(s) .
В самом деле передаточная функция (2.7) имеет полюса, когда один
или несколько младших коэффициентов полинома
A(s)
равны нулю:
b0 s m + b1 s m −1 + K + bm
an = an−1 = K = an−r +1 = 0 , т.е. W ( s ) =
, или
a 0 s n + a1 s n −1 + K + a n − p s r
после преобразований:
k
*
k
B0 s m + B1s m−1 + K + 1
W (s) = r W (s) = r
,
s
s A0 s n− r + A1s n−1−r + K + 1
где Bi = bi bm при i = 0, m ; Aj = a j an −r при j = 0, n − r ; k = bm an −r .
Элементы САУ, у которых r > 0 , называются астатическими, т.е. не
имеющими статического режима, характеризуемого однозначной зависимостью между входной и выходной величинами. Величину r при этом принято
называть порядком астатизма. Если же r = 0 , то элемент называется статическим.
Для проверки приведенного утверждения воспользуемся теоремой о конечном значении оригинала операционного исчисления и формулой
(2.8) при условии x(t ) = const = x 0 .
Имеем:
50
lim W * ( s )
kx0
kW * ( s ) x0
s →0
lim y (t ) = lim sY ( s ) = lim sW ( s ) X ( s ) = lim s/
kx
=
=
.
0
t →∞
s →0
s →0
s →0
lim s r
lim s r
sr
s/
s →0
s →0
Таким образом, только при r = 0 между величинами x0 и y (∞) существует определенная однозначная зависимость вида:
lim y ( t ) = kx 0 .
t→ ∞
При r > 0 такая зависимость отсутствует.
Пример 2.2.
Пусть система описывается уравнением вида
a 0 y ′′ + a 1 y ′ + a 2 y = k x .
Требуется найти передаточную функцию W (s) системы при
k = 1,
a 0 = 1 , a1 = 3 , a 2 = 2 .
Решение.
Преобразуем уравнение системы по Лапласу при нулевых начальных
2
условиях. Получим (a0 s + a1s + a2 )Y ( s ) = kX ( s ) . Откуда передаточная функ-
ция будет:
W ( s) =
Y ( s)
k
1
=
= 2
.
2
X (s) a0 s + a1s + a2 s + 3s + 2
***
2.1.3. Линеаризация уравнений САУ
Уравнения многих реальных элементов и САУ в целом в той или иной
мере являются нелинейными. В этом случае переменные x(t ) , y(t ) и их производные входят в выражение для функции F в виде произведений, частных,
степеней либо других более сложных функций. Рассмотрим пример.
51
Пример 2.3.
Составим математическую модель ДПТ с независимым возбуждением,
принципиальная схема которого приведена на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Принципиальная схема ДПТ:
R я , Lя - соответственно, активное сопротивление и индуктивность якорной обмотки; R доп , Lдоп - активное сопротивление и
индуктивность дополнительных элементов якорной цепи (щеток,
дополнительных полюсов и т.д.); iяц (t ) - ток якорной цепи; iв (t ) ,
Rв , Lв - соответственно, ток, активное сопротивление и индуктивность обмотки возбуждения; J д и J н - моменты инерции якоря двигателя и нагрузки; ω (t ) - угловая скорость вращения вала
якоря; M д (t ) - момент, развиваемый двигателем; Ф ( t ) - магнитный поток полюсов.
Решение.
52
Математическую модель двигателя определим для общего случая
управления как по цепи якоря, осуществляемого с помощью изменения напряжения
uд (t ) , так и по цепи возбуждения, осуществляемого с помощью
изменения напряжения возбуждения uв (t ) , при действии на двигатель возмущения в виде момента сопротивления Mс (t) имеющейся нагрузки.
Поэтому в качестве входных сигналов примем uд (t ) , uв (t ) и Mс (t) , а в
качестве выходного - ω (t ) .
Сделаем допущения, что:
- параметры R я , L я , Rв , Lв , R доп и Lдоп являются постоянными;
- связь рабочего механизма с валом двигателя осуществляется без зазора (люфта) и является абсолютно жесткой;
- приведенный к валу двигателя момент сопротивления не зависит от
скорости;
- влияние вихревых токов в станине и полюсах двигателя, а также вязкого
(скоростного) трения равно нулю.
Физику процессов в ДПТ на основе данных литературных источников
можно описать следующей системой уравнений:
- уравнением электрического равновесия для цепи обмотки якоря
u д ( t ) = e д ( t ) + R Σ i яц ( t ) + L Σ
di яц ( t )
dt
;
(2.9)
- уравнением электрического равновесия для цепи обмотки возбуждения
u в ( t ) = R в iв ( t ) + L в
diв ( t )
;
dt
(2.10)
- уравнением кривой намагничивания (гистерезис не учитывается);
Ф (t ) = f [iв (t ) ⋅ w ] ;
- уравнением движения
53
(2.11)
JΣ
dω (t )
= M д (t ) − M с (t ) .
dt
(2.12)
Здесь R Σ = R д + R доп , L Σ = L д + L доп , J Σ = J д + J н , w - количество витков обмотки возбуждения.
Как известно, противоЭДС двигателя
eд (t )
определяется соотноше-
нием:
eд (t ) = c ⋅ ω (t ) ⋅ Ф (t ) ,
(2.13)
а его вращающий момент соотношением:
M д (t ) = с ⋅ iяц (t ) ⋅ Ф(t ) .
(2.14)
где c = pN (2 π a ) - машинная постоянная; p - число пар полюсов; N число эффективных проводов якоря; a - число параллельных ветвей обмотки якоря.
Подставив (2.10) и (2.11) в (2.6) и (2.9), получим систему:
u д ( t ) = c ⋅ ω ( t ) ⋅ Ф ( t ) + R Σ i яц ( t ) + L Σ
u в ( t ) = R в iв ( t ) + L в
diв ( t )
;
dt
Ф ( t ) = f [ iв ( t ) ⋅ w ];
JΣ
d ω (t )
= с ⋅ i яц ( t ) ⋅ Ф ( t ) − M с ( t )
dt
di яц ( t ) ⎫
;⎪
dt
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
(2.15)
Уравнения (2.13) и (2.14) содержат произведения функций, а уравнение
(2.11) по определению является нелинейным. Анализ и аналитическое решение нелинейных уравнений, а тем более систем является сложной и не всегда
выполнимой задачей. 1 LΣ
Эффективным средством решения (2.15) является использование численных методов. Для этого (2.15) удобно преобразовать к следующему виду:
54
⎫
R
1
c
⋅ ω ( t ) ⋅ Ф ( t ) − Σ i яц ( t ); ⎪
u д (t ) −
dt
LΣ
LΣ
LΣ
⎪
⎪
diв ( t )
R
1
=
u в ( t ) − в iв ( t );
⎪
dt
Lв
Lв
⎬
⎪
Ф ( t ) = f [ iв ( t ) ⋅ w ];
⎪
⎪
d ω (t )
с
1
M с (t )
=
⋅ i яц ( t ) ⋅ Ф ( t ) −
⎪
dt
JΣ
JΣ
⎭
di яц ( t )
=
(2.16)
На рисунке представлена блок-схема реализации процесса решения
(2.16) средствами структурного программирования пакета Simulink.
Рис. 2.2. Реализация системы (2.13) средствами Simulink
Таким образом ДПТ с независимым возбуждением представляет собой
сложный объект, имеющий три входа - задающие uд (t ) и uв (t ) , а также
возмущающее воздействия M с (t ) . Имеется отрицательная обратная связь по
скорости,
роль
которой
выполняет
противоЭДС
двигателя
eд (t ) = c ⋅ Ф (t ) ⋅ ω (t ) .
По приведенной схеме можно проводить расчеты при определенных (в
общем-то, любых) параметрах входных сигналов и получать те или иные частные результаты. Поэтому такая модель может быть с успехом использована
55
на стадии окончательной проверки результатов выполняемого анализа либо
синтеза САУ. Однако применить многие апробированные методы линейной
ТАУ в этом случае невозможно.
***
В связи со сложностью анализа и решения нелинейных уравнений широко применяется приближенная их замена на линейные – линеаризация.
Существует несколько методов линеаризации. Наибольшее распространение получил метод малых отклонений, который позволяет линеаризовать
как нелинейные алгебраические характеристики отдельных элементов, под
которыми понимаются зависимости выходных величин от входных в установившемся режиме, так и нелинейные дифференциальные уравнения. Необходимыми и достаточными условиями применения метода являются следующие два требования:
– отклонения изменяемых переменных от их установившихся значений в
течение всего процесса управления должны быть достаточно малы;
(
)
(n)
– функция F x, x′, y, y′, y′′, ... , y
, составляющая левую часть уравнения
(2.1), имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам в
окрестностях точки, соответствующей установившемуся режиму.
Достаточная малость отклонений переменных от установившихся значений обычно выполняется, чего требует сам принцип построения замкнутой
системы (принцип управления по отклонению).
В основу метода линеаризации положено разложение в ряд Тейлора,
позволяющее разложить нелинейную функцию нескольких переменных по
степеням малых отклонений этих переменных в окрестностях значений, соответствующих заданному установившемуся режиму. В качестве установившегося режима может выбираться режим, существовавший до начала действия возмущения, либо режим, который установится после затухания переходного процесса.
56
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка
вида:
F ( x, x′, f , y, y ′, y ′′) = 0 .
(2.17)
Производные x′, y′, y′′ будем считать самостоятельными переменными.
Тогда точка заданного установившегося режима может быть задана следующими значениями аргументов: x(0) = x0 ; y (0) = y0 ; x′(0) = y′(0) = y′′(0) = 0 .
Перепишем уравнение (2.17), воспользовавшись разложением Тейлора:
F ( x0 ,0, f0, y0,0,0) +
∂F
∂F
∂F
∂F
Δx(t) +
Δ[x′(t)] +
Δf (t) +
Δy(t) +
∂x 0
∂(x′) 0
∂f 0
∂y 0
∂F
∂F
+
Δ[ y′(t)] +
Δ[ y′′(t)] + R = 0
∂( y′) 0
∂( y′′) 0
где:
Δx(t ) = x(t ) − x0 ;
Δf (t ) = f (t ) − f 0 ;
(2.18)
Δy (t ) = y (t ) − y0 ;
Δ[ x′(t )] = x′(t ) − x0′ = x′(t ) − 0 = x′(t ) ; Δ[ y′(t )] = y′(t ) ; Δ[ y′′(t )] = y′′(t ) – отклонения переменных от установившихся значений;
∂F
∂F
,
, ... – значения
∂x 0 ∂ ( x ′) 0
частных производных, вычисленные в точке заданного установившегося режима; R – остаточный член разложения, содержащий различные произведения отклонений соответствующих аргументов, а также их степени, т.е. величины высших порядков малости.
Воспользовавшись условием о том, что отклонения переменных малы,
в разложении оставляем только члены, содержащие эти отклонения в первых
степенях, т.е. принимаем, что R ≈ 0 .
Вычтя из уравнения (2.18) уравнение установившегося режима
F ( x0 ,0, f 0 , y0 ,0,0) = 0
получаем окончательно:
∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
Δx(t) +
Δ[x′(t)] +
Δf (t) +
Δy(t) +
Δ[ y′(t)] +
Δ[ y′′(t)] = 0 . (2.19)
∂x 0
∂(x′) 0
∂f 0
∂y 0
∂( y′) 0
∂( y′′) 0
Уравнение (2.19) не содержит нелинейных членов и является линейным. Коэффициенты уравнения являются постоянными или переменными,
57
если установившийся режим характеризуется переменными во времени значениями x0 (t ) , y0 (t ) , f 0 (t ) (программной траекторией).
Однако при этом следует учитывать, что в результате линеаризации
получается уравнение в отклонениях. Переменными уравнения (2.19) являются отклонения Δx(t ) и Δy(t ) , а не переменные x(t ) и y (t ) , что соответствует переносу начала координат в точку установившегося режима.
В случае линеаризации нелинейной алгебраической характеристики какого-то элемента линеаризованное уравнение записывается также в отклонениях. Например, если
y (t ) является нелинейной функцией аргумента x(t )
(см. рис. 2.3), то F ( x(t ), y (t ) ) = y (t ) − f [ x(t )] и линеаризованное уравнение
такого элемента имеет вид:
∂F
∂F
Δy (t ) −
Δx(t ) = 0 .
∂y 0
∂x 0
Учтя, что
∂F
∂y
=1 и
0
∂F
∂x
= tgα , где α - угол наклона касательной, прове0
денной к точке равновесия [ x0 , y0 ] , окончательно получим:
Δy (t ) = tgα ⋅ Δx (t ) .
(2.20)
Рис.2.3. Геометрическая интерпретация линеаризации уравнений
Из рисунка видно, что чем меньше величины отклонений Δx(t ) , тем
точнее линеаризованное уравнение отображает процессы, описываемые исходным уравнением.
58
Заметим, что линеаризация недопустима в тех случаях, когда элемент
имеет существенно нелинейную статическую характеристику, например релейную. Линеаризация нелинейного уравнения в этом случае будет означать
искажение принципа работы этого элемента.
Пример 2.4
Произведем линеаризацию математической модели ДПТ с независимым
возбуждением из примера 2.3.
Решение.
Сначала линеаризуем уравнение (2.13). Запишем его следующим образом:
F ⎣⎡ eд (t ), ω (t ), Ф (t ) ⎦⎤ = eд (t ) − c ⋅ ω (t ) ⋅ Ф (t ) = 0 .
(2.21)
Линеаризуем функцию (2.21) в окрестностях базовых значений переменных
e0 , ω 0
и Ф 0 , соответствующих установившемуся режиму.
Имеем
∂F
∂ eд
⋅ Δ eд ( t ) +
0
∂F
∂ω
⋅ Δ ω (t ) +
0
∂F
∂Ф
0
⋅ Δ Ф (t ) = 0 .
(2.22)
Согласно (2.21)
∂F
∂ eд
= 1,
0
∂F
∂ω
= − c ⋅ Ф0 ,
0
∂F
∂Ф
= −c ⋅ω0 .
(2.23)
0
Подставив выражения (2.23) в (2.22), получим:
Δ eд (t ) = c ⋅ ω 0 ⋅ Δ Ф (t ) + c ⋅ Ф 0 ⋅ Δ ω (t ) .
Учтем, что
d ⎡⎣ i яц,0 + Δ i яц ( t ) ⎤⎦ d Δ i яц ( t )
=
dt
dt
и запишем уравнение (2.9) в отклонениях:
59
(2.24)
Δ u д ( t ) = Δ e д ( t ) + R Σ Δ i яц ( t ) + L Σ
d Δ i яц ( t )
dt
;
(2.25)
Преобразовав (2.25) и (2.24) по Лапласу и исключив промежуточную
переменную Δ E д ( s ) , получим:
⎛ L
c ⋅ Ф0 ⋅ ΔΩ( s) + RΣ ⎜1 + Σ
⎝ RΣ
⎞
s ⎟ ΔI яц (s) = ΔU д ( s) − c ⋅ ω0 ⋅ ΔФ(s) . (2.26)
⎠
Линеаризуем уравнение (2.14). Запишем его следующим образом:
F ⎣⎡ M д (t ), iяц (t ), Ф(t ) ⎦⎤ = M д (t ) − c ⋅ iяц (t ) ⋅ Ф(t ) = 0 .
(2.27)
Линеаризуем функцию (2.27) в окрестностях базовых значений переменных M д,0 , i яц,0 и Ф 0 , соответствующих установившемуся режиму:
Согласно (2.27)
∂F
∂M д
= 1,
0
∂F
∂iяц
= −сФ0 ,
0
∂F
= −с ⋅ iяц,0 .
∂Ф 0
(2.28)
Подставив выражения (2.28) в (2.27), получим:
ΔM д (t ) = c ⋅ Ф0 ⋅ Δiяц (t ) + c ⋅ iяц,0 ⋅ ΔФ(t ) .
(2.29)
Запишем в отклонениях уравнение (2.12):
JΣ
d Δω (t )
= ΔM д (t ) − ΔM с (t ) .
dt
(2.30)
Преобразовав (2.29) и (2.30) по Лапласу и исключив промежуточную
переменную ΔM д ( s) , получим:
J Σ ⋅ s ⋅ ΔΩ( s ) − c ⋅ Ф0 ⋅ ΔI яц ( s ) = c ⋅ iяц,0 ⋅ ΔФ ( s ) − ΔM с ( s ) .
(2.31)
Исключим из уравнений (2.26) и (2.31) отклонение потока ΔФ(s) и отклонение тока ΔI яц (s) .
Для этого воспользуемся зависимостью между потоком Ф (t )
и током
возбуждения iв (t ) , которая определяется кривой намагничивания (2.11) и
также является нелинейной.
60
Линеаризовав функцию F = Ф (t ) − f [iв (t ) ⋅ w ] в окрестностях базовых
значений переменных, iв,0 и Ф 0 , в соответствии с (2.20) получим:
Δ Ф ( t ) = k в ⋅ Δ iв ( t ) ,
∂Ф
где k в =
∂ iв
0
(2.32)
⋅w .
Запишем в отклонениях уравнение (2.10):
Δ u в ( t ) = R в ⋅ Δ iв ( t ) + L в
d Δ iв ( t )
.
dt
(2.33)
Преобразовав (2.29) и (2.30) по Лапласу и исключив промежуточную
переменную Δ I в ( s ) , получим:
ΔФ(s) =
kв
ΔUв (s) .
Rв + Lв s
(2.34)
С учетом (2.26), (2.31) и (2.34) система уравнений ДПТ с независимым
возбуждением (2.15) принимает вид:
TэTм ⋅ s 2 ⋅ ΔΩ ( s ) + Tм ⋅ s ⋅ ΔΩ ( s ) + ΔΩ ( s ) =
= kд,u ΔU д ( s ) +
где:
k1 + k2 (1 + Tэ s )
ΔU в ( s ) − kд,М (1 + Tэ s )ΔM с ( s ) , (2.35)
1 + Tв s
Tэ = LΣ R Σ -
Tм = J Σ ⋅ RΣ
Tв = L в R в
( cФ0 )2 -
электромагнитная
постоянная
времени;
электромеханическая
постоянная
времени;
постоянная
времени
обмотки
возбуждения;
kд,u = 1 (c ⋅ Ф0 ) - передаточный коэффициент двигателя по напряжению; k д,М = RΣ - передаточный коэффициент двигателя по моменту;
k1 = k в ⋅ ω 0 ( R в ⋅ Ф 0 ) ; k1 = k в ⋅ i яц,0 ⋅ R Σ ( R в ⋅ с ⋅ Ф 02 ) .
***
2.2. Математическое описание САУ в переменных состояния
61
Метод переменных состояния основан на понятии состояния.
Состояние системы в момент времени t 0 - такой минимальный набор
сведений о ней, которого вместе со входной функцией u(t ) , заданной для интервала времени t 0 ≤ t ≤ t k , достаточно для однозначного определения
выходной функции y (t ) для t 0 ≤ t ≤ t k при любом t k ≥ t 0 .
Состояния системы можно охарактеризовать совокупностью некоторых переменных x1 (t ), x2 (t ),K , xn (t ) , знание начальных значений которых
x1 (0), x2 (0),K , xn (0) и входного воздействия u(t ) позволяет однозначно
определить будущее поведение динамической системы. Эти переменные в
дальнейшем будем называть переменными состояния.
Способы задания переменных состояния могут быть разные. Обычно
используются либо те, которые дают преимущество в исследовании математической модели системы, либо те, которые имеют ясный физический смысл.
В случае наличия многомерной системы, имеющей m входов и r выходов, ее состояние в момент времени t , характеризуемое переменными состояния x1 (t ), x2 (t ),K , xn (t ) (рис.2.4), является функцией начального состояния
x1 (0), x2 (0),K , xn (0)
и
входных
воздействий
u1 (t ), u 2 (t ), K , u m (t ) , т.е.:
xi (t ) = ψ i [ x1 (0), x2 (0), x3 (0),K, xn (0); u1 (t ), u2 (t ), u3 (t ),K, um (t )] ,
где ψ i - однозначные функции своих аргументов, i = 1, 2,K, n .
62
Рис. 2.4. Представление многомерной системы в переменных состояния
Введем в рассмотрение понятие вектора состояния x ( t ) :
x(t ) = [ x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ),K, xn (t )] ,
T
(2.36)
где T обозначает транспонирование матрицы.
Размерность вектора состояния совпадает с порядком дифференциального уравнения, описывающего динамические свойства системы.
Множество всех значений, которые может принять вектор x ( t ) в момент времени t называется пространством состояния (фазовым пространством), которое можно рассматривать как некоторое абстрактное n -мерное
векторное пространство. Точка, определяющая положение конца вектора состояния x ( t ) в пространстве состояний, называетея изображающей точкой.
Движение конца вектора состояния
x ( t ) в пространстве состояний
называется траекторией вектора состояния (фазовой траекторией).
Состояние системы, описываемой дифференциальным уравнением
первого порядка, характеризуется вектором состояния с одной переменной
состояния. Фазовое пространство в этом случае называется одномерным и
представляет собой линию на плоскости, а фазовая траектория - отрезок этой
линии (рис.2.5,а), который описывает конец вектора состояния от значения,
равного x ( t 0 ) в начальный момент времени t = t 0 до значения, равного
x ( t k ) в конечный момент времени t = t k .
63
Рис.2.5. Фазовое пространство и фазовые траектории системы, описываемой дифференциальным уравнением:
а) - первого порядка;
б) - второго порядка;
в) - третьего порядка
Состояние системы второго порядка характеризуется вектором состояния с двумя переменными x1 ( t ) и x 2 ( t ) . Фазовое пространство в этом случае называется двухмерным и представляет собой плоскость с прямоугольными координатами
x1 , x 2 , а фазовая траектория - кривая на плоскости,
которую описывает конец вектора состояния x ( t ) при изменении времени
от t = t 0 до t = t k (рис.2.5.б).
На рис. 2.5,в показаны фазовая траектория в трехмерном фазовом пространстве с системой координат x1 , x 2 , x3 и положение вектора состояния
x ( t 0 ) для момента времени t = t 0 . Трехмерное фазовое пространство используется для характеристики движений системы третьего порядка. Для
системы n -го порядка переменные состояния x1 (t ), x2 (t ), K , xn (t ) рассматриваются как координаты вектора состояния x ( t ) в n -мерном фазовом
пространстве.
64
По аналогии с пространством состояний для многомерной системы
управления вводятся пространство управлений (входов) и пространство
выходов. При этом управляющие воздействия u1 ( t ), u 2 ( t ), K , u m (t ) и
управляемые координаты y1 (t ), y 2 (t ), K , y r (t ) рассматриваются как координаты вектора управления u ( t ) = [u1 ( t ), u 2 ( t ), K , u m ( t ) ] в m -мерном
T
пространстве
и
координаты
вектора
выхода
y (t ) = [ y1 (t ), y 2 (t ), K , y r (t ) ] в r -мерном пространстве соответственно.
T
Следует отметить принципиальное различие, вкладываемое в содержание понятий векторов управления u (t ) , выхода y (t ) и вектора состояния
x ( t ) . Все составляющие u1 ( t ), u 2 ( t ), K , u m (t ) и y1 (t ), y 2 (t ), K , y r (t )
векторов u (t ) и y (t ) являются конкретными физическими величинами. Вектор же состояния системы x ( t ) является некоторой, в общем случае абстрактной, характеристикой системы.
Если на систему действуют помехи, характеризуемые вектором помех
f (t ) = [ f1 (t ), f 2 (t ),K, fl (t )] , то в этом случае вводится l -мерное пространT
ство помех.
Чтобы связать последовательные состояния системы во времени, используются дифференциальные уравнения:
x1′ (t ) = ϕ1 [ x1 (t ), x2 (t ),K , xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),K , um (t ); t ] , ⎫
⎪
′
x2 (t ) = ϕ 2 [ x1 (t ), x2 (t ),K , xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),K , um (t ); t ] , ⎪⎪
⎬
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ⎪ .
⎪
xn′ (t ) = ϕ n [ x1 (t ), x2 (t ),K , xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),K , um (t ); t ] ⎪⎭
(2.37)
Правые части этих уравнений зависят от искомых функций xi (t ) и не
зависят от их производных. Система уравнений первого порядка вида (2.37)
называется системой n дифференциальных уравнений, записанной в нормальной форме Коши.
65
В общем случае число выходов (см. рис.2.4) y1 (t ), y 2 (t ), K , y r (t ) не
зависит от числа n переменных состояния - как правило, число переменных
состояния больше числа интересующих исследователя физических выходных
переменных, и тем более больше числа управляемых переменных. Знание
переменных состояния позволяет найти любой из выходных сигналов yi (t )
как некоторые функции g1, g 2 ,K, g r от переменных состояния и входов:
y1 (t ) = g1 [ x1 (t ), x2 (t ),K, xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),K, um (t ); t ] , ⎫
⎪
y2 (t ) = g2 [ x1 (t ), x2 (t ),K, xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),K, um (t ); t ] ,⎪
⎬
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ⎪ .
yr (t ) = gr [ x1 (t ), x2 (t ),K, xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),K, um (t ); t ] ⎪⎭
(2.38)
При этом правые части уравнений (2.37) и (2.38) (функции
ϕ1, ϕ2 ,K, ϕn ; g1, g2 ,K, gr ) - являются однозначными функциями.
Системы уравнений (2.37) и (2.38) определяет состояние динамической
системы в любой момент времени t и называется уравнениями состояния.
В общем случае как дифференциальные уравнения (2.37) так и алгебраические уравнения (2.38) являются нелинейными. В дальнейшем полагаем,
что эти уравнения линеаризованы и, кроме того, они описывают динамические процессы в детерминированных стационарных системах. Напомним, что
в детерминированной системе каждому заданному вектору входа u (t ) соответствует единственный вектор выхода y (t ) , а в стационарной системе ее
переменные состояния xi (t ) , а также выходные переменные yi (t ) не зависят
от момента t0 приложения входных воздействий uk (t ) . При принятых допущениях уравнения (2.37) и (2.38) могут быть преобразованы к следующему
виду:
x1′ (t ) = a11x1 (t ) + a12 x2 (t ) + K + a1n xn (t ) + b11u1 (t ) + b12u2 (t ) + K + b1mum (t ); ⎫
⎪
′
x2 (t ) = a21x1 (t ) + a22 x2 (t ) + K + a2n xn (t ) + b21u1 (t ) + b22u2 (t ) + K + b2mum (t );⎪⎪
⎬ . (2.39)
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
⎪
⎪
xn′ (t ) = an1x1 (t ) + an2 x2 (t ) + K + ann xn (t ) + bn1u1 (t ) + bn 2u2 (t ) + K + bnmum (t ) ⎪⎭
66
y1(t ) = c11x1 (t ) + c12 x2 (t ) + K + c1n xn (t ) + d11u1(t ) + d12u2 (t ) + K + d1mum (t ); ⎫
y2 (t ) = c21x1 (t ) + c22 x2 (t ) + K + c2n xn (t ) + d21u1(t ) + d22u2 (t ) + K + d2mum (t );⎪⎪
⎬ . (2.40)
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
⎪
yr (t ) = cr1x1 (t ) + cr 2 x2 (t ) + K + crn xn (t ) + dr1u1(t ) + dr 2u2 (t ) + K + drmum (t ) ⎪⎭
В уравнениях (2.39) и (2.40) a i j , i = 1, 2,K, n ;
i = 1, 2,K, n ;
j = 1, 2,K, m ;
i = 1, 2,K, r ;
c ij ,
j = 1, 2,K , n ; b i j ,
j = 1, 2,K , n ;
d ij ,
i = 1, 2,K, r ; j = 1, 2,K, m ; - постоянные коэффициенты, которые получаются в результате разложения нелинейных функций ϕ i и g i в ряд Тейлора
при линеаризации уравнений.
В векторно-матричной форме записи уравнения (2.39), (2.40) имеют
следующий вид:
x′(t ) = Ax (t ) + Bu(t ) ;
(2.41)
y (t ) = Cx (t ) + Du(t ) ,
(2.42)
где
a11 a12 K a1n
A=
b11
b12 K b1m
a21 a22 K a2n
b
b
K b2m
B = 21 22
K K K K;
K K K K
an1 an2 K ann
bn1 bn 2 K bnm
c11 c12 K c1n
c21 c22 K c2n
d11 d12
d
d
C=
D = 21 22
K K K K ;
K K
cr1 cr 2 K crn
dr1 dr 2
K
K
K
K
d1m
d2 m
K .
drm
Уравнения (2.41) и(2.42) можно представить в виде структурной схемы,
приведенной на рис. 2.6.
67
Рис. 2.6. Структурная схема многомерной линейной стационарной системы
Так как элементы матриц A , B , C и D - постоянные числа, то и
сами эти матрицы также постоянны. Квадратная матрица A размерности
n × n называется матрицей состояния - структура этой матрицы определяет
характер как свободных, так и вынужденных движений системы.
Матрица B
размерности n × m называется матрицей управляющих
воздействий. Ее структура определяет характер связи входа системы с различными переменными состояния. Матрица C
размерности r × n называ-
ется матрицей выходных координат - ее структура определяет характер связи выходных координат системы с отдельными переменными состояния.
Матрица D размерности r × m характеризует прямую (не динамическую)
связь выходных координат с управляющими координатами; ее структура определяет, каким образом задающие функции на входе непосредственно воздействуют на различные составляющие выхода. Для многих физических систем матрица D является нулевой.
При векторно-матричной записи дифференциальных уравнений основными звеньями структурной схемы, как видно из рис. 2.6, являются многомерные сумматоры, интеграторы и матричные блоки A , B , C , D . Поскольку определяемые элементами схемы операции линейны, а коэффициенты матричных блоков постоянны, то схема линеаризованной модели на
рис.2.6 соответствует линейной стационарной системе. Эта же структурная
68
схема при замене матричных блоков с постоянными матрицами на матричные блоки с переменными матрицами
A ( t ) , B ( t ) , C ( t ) и D ( t ) будет
соответствовать линейной нестационарной системе.
2.2.1. Стандартная форма записи уравнений состояния
Пусть известно нормированное ( a 0 = 1 ) дифференциальное уравнение
вход - выход, устанавливающее связь между выходом y(t ) и входом u (t )
одномерной системы n -го порядка:
y ( n ) (t ) + a1 y ( n −1) (t ) + K + an −1 y ′(t ) + an y (t ) = b0 u (t ) .
(2.43)
Определим уравнения состояния, соответствующие дифференциальному уравнению (2.43). Поскольку знание начальных значений выходной пере( n−1)
(0) полностью определяет буменной и ее производных y(0), y′(0),K, y
дущее движение системы, то переменные y (t ), y ′(t ),K , y ( n −1) (t ) могут быть
приняты в качестве переменных состояния:
x1 (t ) = y(t );
⎫
⎪
x2 (t ) = y′(t ) = x1′ (t );
⎪
⎬
KKKKKKKKK ⎪ .
xn (t ) = y(n−1) (t ) = xn′ −1 (t ) ⎭⎪
(2.44)
Разрешив уравнение (2.43) относительно старшей производной, имеем
y ( n ) (t ) = − a1 y ( n −1) (t ) − K − an −1 y ′(t ) − an y (t ) + b0 u (t ) .
(2.45)
Тогда из (2.44) и (2.45) получаем следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния
x1 (t ), x2 (t ), K , xn (t ) и алгебраическое уравнение, связывающее выход системы y(t ) с соответствующей переменной состояния:
69
x1′ (t ) = x2 (t );
x2′ (t ) = x3 (t );
⎫
⎪
⎪
KKKKKKKKKKKKKKKKKKK ⎪⎪
⎬
xn′ −1(t ) = xn (t );
⎪
xn′ (t ) = −an x1 (t ) − an−1x2 (t ) − K − a1xn (t ) + b0u(t ); ⎪
⎪
y(t ) = x1(t )
⎪⎭
(2.46)
Систему уравнений (2.46) удобно записать в векторно-матричной форме следующим образом:
x1′ (t )
0
x2′ (t )
0
KK = .
xn′ −1 (t )
0
− an
xn′ (t )
y (t ) = [1 0
1
0
.
0
− an −1
⎫
0
x1 (t )
0
⎪
0
x2 (t )
0
⎪
.
KK + 0 u (t ); ⎪⎪
⎬ . (2.47)
K 1 xn −1 (t )
M
⎪
K − a1 xn (t )
b0
⎪
⎪
T
x2 (t ) K xn (t ) ]
⎪⎭
0
1
.
0
− an − 2
0
0
.
0
− an − 3
0 K 0 ] ⋅ [ x1 (t )
K
K
.
или
x ′(t ) = Ax (t ) + B u (t ), ⎫
⎬,
y (t ) = Cx (t )
⎭
(2.48)
где согласно (2.47) матрица состояния A размерности n × n , матрица входа
B размерности n × 1 , матрица выхода C размерности 1 × n и вектор состояния x ( t ) размерности n × 1 равны:
⎡ 0
⎢ 0
⎢
A=⎢ .
⎢
⎢ 0
⎢⎣ − an
1
0
0
1
0
0
.
0
− an −1
.
0
− an − 2
.
0
− an − 3
C = [1 0
0 ⎤
⎡0⎤
⎥
⎢0⎥
0 ⎥
⎢ ⎥
⎥
.
. ; B = ⎢ 0 ⎥;
⎥
⎢ ⎥
K 1 ⎥
⎢M⎥
⎢⎣ b0 ⎥⎦
K − a1 ⎥⎦
K
K
0 K 0 ] ; x (t ) = [ x1 (t )
x2 (t ) K
xn (t ) ]
T
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬.
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
(2.49)
Уравнения (2.46) называются уравнениями состояния в стандартной
форме.
Пример 2.5.
70
Уравнение САУ по каналу вход-выход имеет вид:
0,0079 y ўўў(t ) + 0,054 y ўў(t ) + 0,3431y ў(t ) + y(t ) = 2801,74u(t ) .
(2.50)
Преобразовать это уравнение в уравнения состояния и решить их.
Решение.
Преобразуем (2.50) к нормированному виду:
y ўўў(t ) + 6,84 y ўў(t ) + 43, 43 y ў(t ) + 126,58 y(t ) = 354650,6u(t ) .
(2.51)
Обозначим: x1 (t ) = y (t ) ; x2 (t ) = y′(t ) ; x3 (t ) = y ўў(t ) и преобразуем исходное уравнение к системе вида (2.46):
x1′(t ) = x2 (t );
⎫
⎪
x2′ (t ) = x3 (t );
⎪
⎬
x3′ (t ) = −126,58x1 (t ) − 43, 43x2 (t ) − 6,84 x3 (t ) + 354650,6u(t ); ⎪ . (2.52)
⎪⎭
y(t ) = x1 (t )
Тогда уравнения состояния САУ принимают вид:
x ′(t ) = Ax (t ) + B u (t ), ⎫
⎬,
y (t ) = Cx (t )
⎭
(2.53)
где
A=
0
0
1
0
0
1
−126,58 −43, 43 −6,84
; B = 354650, 6 ; C = 1 0 0 ;
T
x (t ) = x1 (t ) x2 (t ) x3 (t ) .
Решение системы (2.53) удобно производить при помощи программы
Simulink, воспользовавшись методом понижения порядка производных.
Соответствующая блок-схема приведена рис. 2.7.
71
Рис. 2.7. Блок-схема решения дифференциального уравнения третьего
порядка при помощи программы Simulink
Здесь: три блока Integrator осуществляют интегрирование соответствующих входных переменных с заданием от внутреннего источника internal
их начальных значений; четыре блока Gain служат для задания указанных на
рисунке коэффициентов уравнения; ручной переключатель Manual Switch
осуществляет выбор типа входного сигнала.
Соответствующие изменения переменных состояния при u(t ) = 1(t )
представлены на рис.2.8.
а)
б)
72
в)
Рис. 2.8. Кривые изменения переменных состояния:
а) x1 (t ) = y (t ) ; б) x2 (t ) = y′(t ) ; в) x3 (t ) = y ўў(t ) .
***
2.3. Структурные схемы САУ
В ТАУ при анализе САУ самое широкое применение получили так называемые структурные схемы. При этом под структурной схемой САУ подразумевается условное графическое изображение математической модели
системы в виде совокупности отдельных звеньев с указанием связей между
ними.
Эта схема в сущности представляет собой графическое изображение
системы уравнений, описывающих поведение элементов и устройств САУ.
Структурная схема может также рассматриваться как схема прохождения и преобразования сигналов в САУ. Поэтому ее иногда называют
также алгоритмической схемой.
2.3.1. Обозначения в структурных схемах
Рассмотрим правила изображения элементов САУ на структурных схемах.
1. Звено обозначается в виде прямоугольника с указанием входных и
выходных величин.
73
а)
б)
Рис. 2.9. Изображения звеньев
Внутри прямоугольника указывается
передаточная
функция
(рис.2.9,а). Допускается вместо W (s) указывать уравнение или характеристику звена (рис.2.9,б). Обозначения входных и выходных величин записывают в виде изображений или оригиналов в зависимости от
обозначения в прямоугольнике. Допускается также звенья нумеровать,
а их передаточные функции, уравнения или характеристики представлять вне схемы.
2. Цепь передачи сигнала изображается прямой линией на которой
стрелкой указывается направление прохождения сигнала, а также
приводится буквенное обозначение этого сигнала.
3. Элемент сравнения изображается в виде, приведенном на рис. 2.10.
а)
б)
Рис. 2.10. Изображения элементов сравнения при реализации функций:
а) y = x1 + x2 ; б) y = x1 − x2
2.3.2. Передаточные функции типовых соединений звеньев
Структурная схема реальной САУ обычно может быть представлена в
виде комбинации трех типов соединений звеньев: последовательного, параллельного и встречно-параллельного. Каждое из этих соединений может быть
74
заменено по определенным правилам одним звеном, свойства которого будут
эквивалентными свойствам соединения. Установим эти правила.
Последовательное соединение. При таком соединении выходная ве-
личина предыдущего звена является входной величиной последующего звена
(см. рис.2.11,а).
а)
б)
Рис. 2.11. Структурная схема последовательного соединения звеньев:
а) исходная; б) эквивалентная
Запишем уравнения звеньев в операционной форме:
X 1 ( s) = W1 ( s) X ( s) ; X 2 ( s) = W2 ( s) X1 ( s) ; K ; Y ( s) = WN ( s) X N −1 ( s) .
Исключив промежуточные переменные
X1 ( s), X 2 ( s), K , X N −1 ( s)
получим:
Y ( s) = W1 ( s)W2 ( s) K WN ( s) X ( s) .
Откуда можно получить выражение для определения эквивалентной
передаточной функции соединения
WЭ ( s) по каналу X ( s) → Y ( s) - (см.
рис.2.11,б):
N
Y ( s)
WЭ ( s) =
= ∏Wi ( s) .
X ( s) i =1
Параллельное соединение. При таком соединении на
(2.54)
вход всех
звеньев подается одна и та же величина, а выходная величина равна сумме
выходных величин отдельных звеньев (см. рис. 2.12,а).
75
а)
б)
Рис. 2.12. Структурная схема параллельного соединения звеньев:
а) исходная; б) эквивалентная
Запишем уравнения звеньев:
Y1 ( s) = W1 ( s) X ( s) ; Y2 ( s) = W2 ( s) X ( s) ; K ; YN ( s) = WN ( s) X ( s) .
Просуммировав эти уравнения, получим:
∑ Y (s) = Y (s) = [W (s) + W (s) +
N
i =1
1
2
]
K + WN ( s ) X ( s ) .
Откуда:
Y ( s) N
WЭ ( s) =
= ∑Wi ( s) .
X ( s) i =1
(2.55)
Встречно-параллельное соединение (охват звена обратной связью).
В этом случае структурная схема имеет вид, приведенный на рис. 2.13,а, где
обратная связь может быть как отрицательной, так и положительной.
а)
б)
Рис. 2.13. Структурная схема встречно-параллельного соединения звеньев:
а) исходная; б) эквивалентная
76
Запишем уравнения звеньев и уравнение замыкания контура:
Y ( s) = W1 ( s)ΔU ( s );
⎫
⎪
U ос ( s ) = W2 ( s )Y ( s ); ⎬
ΔU ( s ) = U з ( s ) m U ос ( s ) ⎪⎭
Решив эту систему относительно U з ( s) и Y (s ) , получим:
Y (s) = W1(s) [Uз (s) m Uос (s)] = W1(s) [Uз (s) m W2 (s)Y (s)] = W1(s)Uз (s) m W1(s)W2 (s)Y (s) .
Последнее уравнение можно записать в виде:
Y ( s) [1 ± W1 ( s)W2 ( s)] = W1 ( s)U з ( s) .
Откуда окончательно имеем:
Wэ ( s) =
W1 ( s)
Y ( s)
=
.
U з ( s) 1 ± W1 ( s)W2 ( s)
(2.56)
Знак “+” в последней формуле ставится в случае отрицательной обратной связи, а “-” – положительной.
Пример 2.6.
Найдем эквивалентную передаточную функцию системы, структурная схема которой приведена на рис. 2.14.
Рис. 2.14
Решение.
Воспользовавшись формулами (2.55) и (2.54) для параллельного и последовательного и параллельного соединений звеньев, запишем
Wэ ( s) = W1 ( s)W2 ( s) [W3 ( s) − W4 ( s)]W5 ( s)
***
77
2.3.3. Дополнительные правила преобразования структурных схем
В ряде случаев исходная структура САУ может быть такой, что применение описанных выше основных правил структурных преобразований оказывается недостаточно для ее упрощения. Такими системами являются многоконтурные системы, содержащие перекрестные связи, например, система
вида, приведенного на рис. 2.15.
Рис. 2.15
Для преобразования такого рода схем используется ряд дополнительных правил, которые основываются на принципе эквивалентности,
согласно которому все входные и выходные сигналы каждого преобразуемого участка схемы должны оставаться неизменными.
Наиболее распространенные из этих правил приведены в таблице, где
все переменные Z обозначают сигналы, появившиеся либо исчезнувшие в
результате преобразований.
Таблица 2.1. Правила преобразования структурных схем САУ
Операция
Исходная схема
Преобразованная схема
1. Перестановка
сумматоров
2. Перестановка
Y = X1 − X 2 + X3 + X 4
узлов разветвления сигна78
Y = X1 + X 4 − X 2 + X 3
3. Перенос сумматора через
звено вперед
Y = W ( s )( X 1 + X 2 )
Y = W (s) X1 + W (s) X 2 (s) = W (s)( X1 + X 2 )
4. Перенос сумматора через
Y = W (s) X1 + X 2
⎛
X ⎞
Y = ⎜⎜ X1 + 2 ⎟⎟W (s) = W (s) X1 + X 2
W (s) ⎠
⎝
Y = W (s) X
X=X
X=X
Y = W (s) X
Y = W (s) X
Y = W (s) X
звено назад
5. Перенос узла
разветвления
через звено
вперед
6. Перенос узла
разветвления
через звено
назад
2.3.4. Определение передаточных функций замкнутой САУ по ее структурной схеме.
Пользуясь полученными правилами структурных преобразований, произвольные структурные схемы реальных замкнутых САУ можно преобразовать к одноконтурному виду, приведенному на рис. 2.16.
79
Рис. 2.16. Обобщенная структура замкнутой САУ
Здесь: Yз ( s ) - задающее воздействие; Y (s) - управляемая величина;
F (s) - возмущающее воздействие; U з ( s) - сигнал задания; U ос ( s) - сигнал
обратной связи; ΔU (s) - сигнал рассогласования; X 1 ( s) , X 2 ( s) , X (s) - промежуточные сигналы.
Установим правила эквивалентной замены приведенной обобщенной
схемы более простой структурой.
В соответствии с рисунком, управляемая величина зависит как от
Yз ( s) , так и от F (s) . Определим эту зависимость.
На основе схемы можем записать:
ΔU (s) = Uз (s) − Uос (s) = Yз (s)W1(s) − Y (s)W5 (s) ;
(2.57)
Y (s) = [ΔU (s)W2 (s) + F (s)W3 (s)] ⋅ W4 (s) .
(2.58)
Подставим уравнение (2.57) в (2.58):
Y (s) = [(Yз (s)W1 (s) − Y (s)W5 (s) ) ⋅W2 (s) + F (s)W3 (s)] ⋅W4 (s) =
= YЗ (s)W1(s)W2 (s)W4 (s) − Y (s)W2 (s)W4 (s)W5 (s) + F (s)W3 (s)W4 (s)
. (2.59)
Преобразовав (2.59), получим:
Y (s) = Yз (s)
W3 (s)W4 (s)
W1(s)W2 (s)W4 (s)
+ F ( s)
.
1 + W2 (s)W4 (s)W5 (s)
1 + W2 (s)W4 (s)W5 (s)
Или:
80
(2.60)
Y (s) = Yз (s)
W (s)W4 (s)
Wп (s)
+ F ( s) 3
,
1 + Wр (s)
1 + Wр (s)
(2.61)
где Wп ( s) = W1 ( s)W2 ( s)W4 ( s) - передаточная функция прямой цепи (эквивалентная передаточная функция между точкой приложения задающего воздействия и управляемой величиной при разомкнутом контуре обратной связи); Wр ( s) = W2 ( s)W4 ( s)W5 ( s) - передаточная функция разомкнутого контура,
получаемая при мысленном размыкании контура (чаще всего, на участке
действия сигнала обратной связи) относительно точек размыкания, вычисленная без учета передаточной функции элемента сравнения.
Уравнение (2.61) представим в виде:
Y (s) = YYз (s) + YF (s) ,
(2.62)
где YYз (s) - составляющая управляемой величины, обусловленная действием
задающего воздействия; YF (s) - составляющая управляемой величины, обусловленная действием возмущающего воздействия.
Обозначим:
YYз (s)
Yз (s)
=
Wп (s)
= WY ,Yз (s) .
1 + Wр (s)
(2.63)
Величину WY ,Yз (s) называют передаточной функцией замкнутой сис-
темы по задающему воздействию.
Аналогичным образом полученную величину
YF (s) W3 (s)W4 (s)
=
= WY ,F (s)
F ( s)
1 + WР (s)
(2.64)
называют передаточной функцией замкнутой системы по возмущающему
воздействию.
С учетом (2.63) и (2.64) уравнение (2.61) принимает вид:
Y (s) = Yз (s)WY ,Yз (s) + F (s)WY ,F (s) .
81
Таким образом, исходная структурная схема может быть представлена
в следующем эквивалентном виде:
Рис. 2.17. Эквивалентная структура замкнутой САУ
Передаточные функции (2.63) и (2.64) являются основными передаточными функциями САУ, так как они устанавливают связь управляемой величины со входными воздействиями. Если же в процессе расчета требуется
определение передаточной функции замкнутой системы между произвольными величинами, то следует применять следующее общее правило: переда-
точная функция между любыми величинами схемы равняется дроби, у которой числитель представляет собой произведение передаточных функций
звеньев, включенных между точками приложения входной и выходной величин, а знаменатель – увеличенную на единицу передаточную функцию разомкнутого контура.
Кроме функций (2.63) и (2.64) к основным передаточным функциям
замкнутых САУ относят также функции, устанавливающие связь сигнала
рассогласования ΔU (s) с входными воздействиями. Применив общее правило, получим:
- для передаточной функции по сигналу рассогласования, вызванному
задающим воздействием
WΔU ,Yз (s) =
W1 (s)
ΔU (s)
=
;
Yз (s) 1 + Wр (s)
(2.65)
- для передаточной функции по сигналу рассогласования, вызванному
возмущающим воздействием
82
WΔU ,F (s) =
W (s)W4 (s)W5 (s)
ΔU (s)
=− 3
.
F ( s)
1 + Wр (s)
(2.66)
Пример 2.7.
Преобразовать к одноконтурному виду и определить основные передаточные функции САУ, приведенной на рис. 2.18:
Рис. 2.18. Исходная структура САУ
Решение.
Перенесем узел разветвления сигнала X 3 через звено W3 ( s) вперед и поменяем его местом с узлом разветвления сигнала Y (см. рис. 2.19).
Рис. 2.19
Заменим второй блок суммирования на эквивалентное соединение двух
более простых аналогичных блока (см. рис. 2.19).
83
Рис. 2.20
Тогда эквивалентная одноконтурная структура САУ может быть представлена в виде, приведенном на рис. 2.21.
Рис. 2.21
Передаточные функции системы имеют вид:
W1(s)W2 (s)W3 (s)
1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s)
W1(s)W2 (s)W3 (s)
WY ,Uз (s) =
=
;
W1(s)W2 (s)W3 (s)W4 (s)
1
+
W
(
s
)
W
(
s
)
W
(
s
)
+
W
(
s
)
W
(
s
)
W
(
s
)
2
3
5
1
2
4
1+
[1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s)] ⋅W3 (s)
W2 (s)W3 (s)
1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s)
W2 (s)W3 (s)
WY ,F (s) =
=
W1 (s)W2 (s)W3 (s)W4 (s)
1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s) + W1 (s)W2 (s)W4 (s) ;
1+
[1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s)] ⋅ W3 (s)
WΔU ,Uз (s) =
1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s)
1
=
;
W1 (s)W2 (s)W3 (s)W4 (s)
+
+
1
W
(
s
)
W
(
s
)
W
(
s
)
W
(
s
)
W
(
s
)
W
(
s
)
2
3
5
1
2
4
1+
[1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s)] ⋅W3 (s)
84
W2 (s)W3 (s)W4 (s)
[1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s)] ⋅ W3 (s)
W2 (s)W4 (s)
WΔU , F (s) =
=−
.
W1 (s)W2 (s)W3 (s)W4 (s)
1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s) + W1 (s)W2 (s)W4 (s)
1+
[1 + W2 (s)W3 (s)W5 (s)] ⋅ W3 (s)
−
Заметим, что вариантов преобразования структурных схем существует
всегда несколько. В нашем случае, например, можно сначала перенести первый блок суммирования через звено W1 ( s) , а затем блоки суммирования
поменять местами.
***
Пример 2.8.
Пусть структурная схема САУ имеет вид, приведенный на рис. 2.22.
Рис. 2.22
Найдем передаточную функцию замкнутой системы по задающему
воздействию.
Решение.
Применив правило перестановки сумматоров 1 и 2 и переноса узла D с
выхода на вход пятого звена W5 ( s ) , а затем перестановки его с узлом C , получим структурную схему без перекрестных связей.
85
Воспользовавшись формулами (2.54-2.56) для преобразованной схемы
можем последовательно записать:
W12(s) =
W3457(s) =
W1(s)
;
1 + W1(s)W2(s)
W34(s) = W3(s) + W4(s) ;
W12(s)W3457(s)
W34(s)
W
(
s
)
=
W (s)
1+ W12(s)W3457(s)W6(s) 5 .
1 + W34(s)W5(s)W7(s) ; xy
Контрольные вопросы
1. Какое дифференциальное уравнение называется линейным?
2. Как составляются дифференциальные уравнения элементов САУ?
3. Объясните сущность линеаризации.
4. Что называется передаточной функцией САУ или ее элемента?
5. Как определить вид передаточной функции по заданному дифференциальному уравнению?
6. Нарисуйте переходные характеристики типовых звеньев САУ.
7. Что отражает структурная схема системы управления?
8. Какие вам известны виды соединения звеньев и как определить их
передаточные фикции?
9. Назовите виды передаточных функций замкнутых САУ.
10. Какие системы называются статическими и какие астатическими?
11. Как определить передаточную функцию между произвольными переменными структурной схемы САУ?
86
12. Как из дифференциального уравнения элемента получить его уравнение статики?
13. Как получить в общем случае из дифференциального уравнения переходную функцию?
14. Как связаны друг с другом переходная и весовая функции?
15. Как из дифференциального уравнения элемента получить его передаточную функцию?
16. Как от передаточной функции элемента перейти к его уравнению
динамики в изображениях, а затем в оригиналах?
17. По каким правилам определяются эквивалентные передаточные
функции для последовательного, параллельного и встречно-параллельного
соединений линейных элементов? Запишите соответствующие формулы для
случая двух соединенных элементов.
18. Что такое разомкнутый контур системы и чему равна его передаточная функция?
19. Как записывается в общем случае характеристическое уравнение
замкнутой системы через передаточную функцию разомкнутого контура?
20. Из каких составляющих складывается сигнал ошибки в типовой
системе? От каких внешних воздействий они зависят?
21. Как связаны сигнал ошибки и его составляющие с передаточной
функцией разомкнутого контура?
87
Главав 3. Характеристики САУ
3.1. Временные характеристики
Дифференциальные уравнения не зависимо от формы представления
является самой общей формой описания САУ и не дают наглядного представления о всех ее свойствах. Более наглядно характеризуют эти свойства
функции y (t ) , являющиеся решениями дифференциальных уравнений.
Известно, что одно и то же дифференциальное уравнение имеет множество решений, конкретный вид которых зависит от начальных условий и
от характера функции x(t ) . Поэтому в ТАУ свойства систем и их элементов
характеризуют решениями, соответствующими нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий на входе, которые называются времен-
ными характеристиками.
Наиболее широкое использование при описании динамических свойств
получила переходная функция h(t ) . Переходной функцией называют функцию, описывающую изменение выходной величины, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия 1(t )
при нулевых на-
чальных условиях. График переходной функции называется переходной ха-
рактеристикой.
Второй временной характеристикой является импульсная переходная
функция w(t ) . Под этой функцией подразумевают функцию, описывающую
изменение выходной величины, возникающее после подачи на вход дельта–
функции при нулевых начальных условиях. График w(t ) называют импульс-
ной переходной характеристикой.
Из предыдущего изложения следует, что линейные САУ описываются
дифференциальными уравнениями вида:
a0 y ( n ) (t ) + a1 y ( n−1) (t ) + K + a n y (t ) = b0 x ( m ) (t ) + b1 x ( m−1) (t ) + K + bm x(t ) , (3.1)
88
где x(t ) и y (t ) – соответственно, входная и выходная величины; ai , b j – коэффициенты; n – порядок уравнения.
Из курса высшей математики известно, что интегрирование уравнения
(3.1) сводится к нахождению суммы общего решения однородного уравнения
без правой части yс (t ) и какого–либо частного решения неоднородного
уравнения yв (t ) , т.е.:
y (t ) = yс (t ) + yв (t ) .
(3.2)
Изменение выходной величины, определяемое составляющей yс (t ) называется свободным движением, т.к. зависит только от вида левой части
уравнения (3.1), т.е. от внутренних свойств самого объекта. Составляющая
yв (t ) , наоборот, зависит от характера входного воздействия и поэтому соот-
ветствующее изменение называется вынужденным движением.
Составляющая yс (t ) ищется в виде:
yс (t ) =
e pt ,
(3.3)
где p – некоторое рациональное число.
Подставив (3.3) в уравнение (3.1) при нулевой правой части, получим:
a0 p n e pt + a1 p n −1e pt + K + an e pt = 0 ,
или
a0 p n + a1 p n−1 + K + a n = 0 .
(3.4)
Последнее уравнение называется характеристическим.
Таким образом выражение (3.3) является решением исходного уравнения при условии, что p является корнем уравнения (3.4). Так как это уравнение имеет n корней, то имеем и n линейно независимых решений yi (t ) .
Воспользуемся известной теоремой математики, утверждающей, что если n
линейно независимых функций yi (t )
являются решениями однородного
уравнения, то общее решение этого уравнения определяется выражением:
89
y с (t ) =
n
n
∑ C i yi (t ) = ∑ C i e p t ,
i
i =1
(3.5)
i =1
где Ci – произвольные постоянные интегрирования.
Заметим, что выражение (3.5) справедливо только в случае, если все
корни pi являются простыми. Если же какой–либо корень p j имеет кратность r , то в (3.5) вместо r слагаемых вида (3.3) следует включить составляющую вида:
(
y j ( t ) = C j + C j +1t + C j + 2 t 2 + K + C j + r −1t r −1
)e
p jt
. (3.6)
Частное решение yв (t ) обычно ищется в том же виде, в каком задана
правая часть, т.е. в зависимости от вида функции x(t ) .
Рассмотрим пример.
Пример 3.1.
САУ описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
Ty ′(t ) + y (t ) = kx(t ) ,
где: T = 0,5 с , k = 4 .
Определить временные характеристики h(t ) и w(t ) .
Решение.
Сначала определим h(t ) .
Имеем характеристическое уравнение:
Tp + 1 = 0 .
Его единственный корень p = −1 T . Следовательно:
hс ( t ) = C 1e pt = C1e
( − 1 T )t .
Вынужденную составляющую hв (t ) будем искать в виде hв (t ) = C2 .
Подставив это решение в исходное уравнение, получим C2 = k . Тогда:
90
h ( t ) = C1e
( − 1T )t + k .
Используем начальное условие h(0) = 0 . Для этого запишем уравнение:
h(0) = 0 = C1 + k .
Откуда C1 = −k .
Окончательно получим:
⎡
( − 1 )t ⎤
h ( t ) = k ⎢1 − e T ⎥ = 4 ⎡⎣1 − e − 2 t ⎤⎦ .
⎣
⎦
График полученного решения представлен на рис.3.1.
Рис.3.1
Для определения w(t ) исходное уравнение преобразуем к виду:
w′ =
k
w
δ (t ) −
T
T
и проинтегрируем полученное выражение:
k
w=
T
t
t
t
1
k
1
∫0 δ (t ) dt − T ∫0 w (t ) dt = T 1(t ) − T ∫0 w (t ) dt
или
1
w+
T
t
∫ w (t ) dt
0
91
=
k
1( t ) .
T
t
Введем обозначение
∫ w(t )dt = z . Тогда w = z′ и z′ +
0
1
k
z = 1(t ) или
T
T
Tz ′ + z = k1(t ) .
Последнее уравнение идентично
исходному
при условии,
что
x(t ) = 1(t ) . Значит
⎡
( − 1 )t ⎤
z ( t ) = k ⎢1 − e T ⎥ = h ( t ) .
⎣
⎦
Окончательно получаем:
w ( t ) = z ′( t ) = h ′( t ) =
k
T
e(
−1
T
)t
=
4 −2t
e = 8e −2 t .
0, 5
Таким образом:
w ( t ) = h ′( t ) .
Последнее соотношение справедливо и для любого другого вида уравнения САУ, что весьма удобно при определении w (t ) .
График полученного решения представлен на рис.3.2.
Рис.3.2
***
На рис.3.3,а для условий примера 3.1 представлена реакция системы
при подаче на вход линейно изменяющегося сигнала x(t ) = 2t , а на рис. 3.3,б
92
- гармонического сигнала x(t ) = A sin (ωt + j
) при A = 2 ,
ω = 15 c- 1 ,
j = 12,5 .
Рис.3.3
Применение преобразования Лапласа значительно упрощает определение временных характеристик.
Ход решения при этом следующий.
1. Преобразуем исходное уравнение (3.1) по Лапласу при нулевых начальных условиях:
a0 s nY ( s ) + a1 s n−1Y ( s) + K + a nY ( s) = b0 s m X ( s) + b1 s m−1 X ( s) + K + bm X ( s ) .(3.7)
2. Решим алгебраическое уравнение (3.7) относительно Y (s) при заданном X (s) :
Y ( s) =
b0 s m + b1 s m −1 + K + bm
a 0 s n + a1 s n −1 + K + a n
X ( s) =
B( s)
X ( s) .
A( s )
(3.8)
3. Определим оригинал решения y (t ) .
В общем случае для нахождения y (t ) используют обратное преобразование Лапласа ( L− 1 - преобразование), определяемое формулой обращения Римана-Меллина:
f (t ) = L
−1
{ F ( s )} =
α + j∞
1
2π j
∫
α − j∞
F ( s )e st d s ,
где α = Re s > c0 может быть любым постоянным числом > c 0 .
93
(3.9)
Более простым методом является использование справочных
таблиц, в которых приводятся изображения F (s ) и соответствующие им
оригиналы y (t ) .
В случае, если изображение является дробно-рациональной
функцией, т.е.:
c0 s l + c1 s l −1 + K + cl −1 s + cl
C ( s)
F ( s) =
=
,
D ( s ) d 0 s r + d1 s r −1 + K + d r −1 s + d r
причем l < r , а коэффициенты c i , d j - действительные числа, применяется
формула разложения Хевисайда:
k −1
⎧⎪ 1
⎫⎪
d j ⎡
k
f (t ) = ∑ ⎨
lim k −1 F ( s )( s − s j ) j e st ⎤ ⎬ ,
⎦⎪
⎪ ( k j − 1)! s → s j ds j ⎣
j =1 ⎩
⎭
N
где
s j - корни уравнения D ( s ) = 0 ; N
(3.10)
- число различных корней; k j -
кратность j -го корня.
Дифференциальные уравнения реальных САУ обычно имеют простые
корни s j , и следовательно для них все k j = 1 . Тогда выражение (3.10) с учетом соотношения
d0 ( s j − s1 )( s j − s2 ) K ( s j − s j −1 )( s j − s j +1 ) K ( s j − sr ) =
dD( s)
= D′(s j )
ds s = s j
принимает более простой вид:
⎧⎪ C ( s j ) s j t ⎫⎪
e ⎬.
f (t ) = ∑ ⎨
′
D
(
s
)
j
j =1 ⎪
⎩
⎭⎪
N
(3.11)
Если полином D (s ) имеет q1 кратных и q 2 простых корня, то (3.11)
записывается в виде:
k −1
⎧⎪ 1
⎫⎪
d j ⎡
k
f (t ) = ∑ ⎨
lim k −1 F ( s )( s − s j ) j e st ⎤ ⎬ +
⎣
⎦⎪
s → s j ds j
j =1 ⎪
⎩ ( k j − 1)!
⎭
q1
94
⎪⎧ C ( s j ) s j t ⎪⎫
∑ ⎨ D′( s ) e ⎬ . (3.12)
j
⎪
j = q1 +1 ⎩
⎭⎪
q1 + q2
Поскольку определение временных характеристик САУ производится
при типовых воздействиях, приведем изображения этих воздействий
Наименование воздействия
Оригинал
Изображение
Ступенчатая функция
a1(t )
a
Дельта-функция
δ (t )
1
s
Рассмотрим примеры.
Пример 3.2.
Определить временные характеристики h(t ) и w(t ) для САУ из примера 3.1 операторным методом.
Решение.
Определим h(t ) . Для этого преобразуем по Лапласу исходное уравнение с учетом того, что x(t ) = 1(t ) :
TsH ( s ) + H ( s ) =
k
.
s
Откуда:
H ( s) =
k
k
= 2
.
s (Ts + 1) Ts + s
Полученное выражение является дробно-рациональной функцией, к
которой можно применить формулу разложения Хевисайда. Тогда: C ( s) = k ;
D( s) = Ts 2 + s ; D′( s) = 2Ts + 1 .
2
Уравнение D( s) = Ts + s = 0 имеет два корня: s1 = 0 и s2 = −1 T .
Воспользовавшись формулой (3.11), окончательно получим:
м C ( s j ) s t ьп k
п
k (е нпп D ў( s ) e j эпп = 1 e 0t - 1 e
j
j= 1 п
п
о
ю
2
h (t ) =
95
1
T
)t = k йк1 - e(кл
1
T
)t щ
ъ
.
ъ
ы
Аналогичным образом определим w(t ) учитывая, что x(t ) = δ (t ) .
Имеем:
TsW ( s) + W ( s ) = k ; W ( s ) =
k
; C ( s ) = k ; D( s) = Ts + 1 ; D′( s) = T ;
Ts + 1
s1 = −1 T .
Воспользовавшись формулой (3.11), окончательно получим:
м C ( s j ) s t ьп k (п
е пнп D ў( s ) e j пэп = T e
j
j= 1 п
п
о
ю
1
w (t ) =
1
T
)t
.
***
Пример 3.3.
Уравнение САУ имеет вид:
T 2 y ′′(t ) + 2ξTy ′(t ) + y (t ) = k ⋅ x(t )
Определим временную характеристику h(t ) при T = 0,3 с; ξ = 0,5 ;
k = 10 .
Решение.
Преобразуем исходное уравнение по Лапласу при нулевых начальных
условиях:
(0, 09 s 2 + 0, 3s + 1) H ( s ) =
10
.
s
Откуда:
H ( s) =
10
10
=
.
s (0, 09s 2 + 0,3s + 1) 0, 09s3 + 0,3s 2 + s
Используем формулу разложения Хевисайда. Имеем:
C ( s) = 10 ;
D( s) = 0, 09s3 + 0,3s 2 + s ; D′( s) = 0, 27 s 2 + 0, 6s + 1 .
Уравнение
D( s) = 0, 09s3 + 0,3s 2 + s = 0
имеет три корня:
s2 = −1, 667 + j 2,887 и s3 = −1, 667 − j 2,887 .
Воспользовавшись формулой (3.11), окончательно получим:
96
s1 = 0 ,
м C ( s j ) s t ьп 10
п
е пнп D ў( s ) e j пэп = 1 e 0t +
j
j= 1 п
п
о
ю
10
e (- 1,667+ j 2,887) t +
2
0, 27(- 1, 667 + j 2, 887) + 0, 6(- 1, 667 + j 2, 887) + 1
10
e (- 1,667- j 2,887)t =
2
0, 27(- 1, 667 - j 2, 887) + 0, 6(- 1, 667 - j 2, 887) + 1
10
10
10 +
e (- 1,667- j 2,887)t =
e (- 1,667+ j 2,887) t +
- 1, 5 + j 0, 866
- 1, 5 - j 0, 866
j 2,887 t
щ=
+ (- 5 - j 2, 887)e- j 2,887 t ъ
10 + e- 1,667 t й
кл(- 5 + j 2, 887)e
ы
- 1,667 t
10 + e
{(- 5 + j 2, 887) [(cos(2, 887t ) + j sin(2, 887t ) ]+
3
h (t ) =
+
+
=
=
=
+ (- 5 - j 2, 887) [(cos(2, 887 t ) - j sin(2, 887 t ) ]}=
= 10 -
e- 1,667 t [10 cos(2, 887t ) + 5, 774 sin(2, 887t )] g
Введем обозначения: 10 = A sin ϕ0 ; 5, 774 = A cos ϕ0 . Решив полученные
уравнения, получим:
)
(
ϕ0 = arctg 10 5, 774 = 1, 047 рад; A = 10 sin(ϕ ) = 10 sin(1, 047) = 11,547 .
0
Тогда:
h (t ) = 10 -
e- 1,667 t [ A sin j
= 10 - A e-
1,667 t
0
cos(2, 887 t ) + 5, 774 sin(2, 887 t )] =
sin(2, 887 t + j 0 ) = 10 - 11, 547 e-
1,667 t
sin(2, 887 t + 1, 047).
График характеристики h(t ) приведен на рисунке 3.4.
Рис. 3.4.
***
97
3.2. Частотные характеристики
Частотные характеристики описывают передаточные свойства САУ в
режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним
гармоническим воздействием. Эти характеристики широко используются в
ТАУ, так как реальные внешние воздействия могут быть представлены в виде суммы гармонических сигналов. Они определяются вынужденной составляющей решения дифференциального уравнения при подаче на вход воздействия:
x(t ) = a sin(ωt ) .
(3.13)
Представим воздействие (3.13) с помощью формулы Эйлера в виде
суммы двух экспоненциальных воздействий:
jω t
e
− e − jω t
x (t ) = a
2j
= x1 ( t ) + x 2 ( t ) ,
(3.14)
где
x1 ( t ) =
a
2j
e jω t
(3.15)
и
x2 (t ) = −
a
2j
e − jω t .
(3.16)
Решим (3.1), подставив в правую часть выражение (3.14). При этом будем искать только вынужденную составляющую решения yв (t ) .
Используя принцип суперпозиции, решение yв (t ) можно представить в
виде суммы двух составляющих: yв (t ) = y1 (t ) + y2 (t ) , где y1 (t ) - решение при
x(t ) = x1 (t ) , а y2 (t ) - при x(t ) = x2 (t ) .
Будем искать y1 (t ) в виде:
y1 (t ) = Y ( jω ) x1 (t ) = Y ( jω )
a jωt
e .
2j
Подставив (3.17) и (3.15) в (3.1), после преобразований получим:
98
(3.17)
Y ( jω )
a jωt ⎡
e ⎣ a0 ( jω ) n + a1 ( jω ) n −1 + K + an ⎤⎦ =
2j
14444442444444
3
A ( jω )
=
a jωt ⎡
e ⎣b0 ( jω ) m + b1 ( jω ) m −1 + K + bm ⎤⎦
2j
14444442444444
3
.
B ( jω )
Из последнего выражения имеем:
Y ( jω ) =
B( jω )
= W ( jω ) .
A( jω )
(3.18)
W ( jω) называют частотной передаточной функцией . Сравнив (3.18) с
выражением для передаточной функции W (s) , можно сделать вывод о том,
что W ( jω) является частным случаем W (s) при s = jω .
Воспользовавшись прямым преобразованием Фурье
Ф { f (t )} = F ( jω ) =
∞
∫
f (t )e− jωt dt ,
−∞
можно сделать следующее определение: частотной передаточной функцией
называется отношение выходной величины ко входной, преобразованных
по Фурье при нулевых начальных условиях.
W ( jω) , как и любая функция комплексной переменной, может быть
представлена в алгебраической и показательной формах.
Алгебраическая форма:
W ( jω) = P(ω) + jQ(ω) ,
(3.19)
где P(ω) и Q(ω) - вещественная и мнимая части соответственно.
Показательная форма:
W ( jω ) = A (ω ) e jϕ (ω ) ,
2
2
где A(ω) = P (ω) + Q (ω) - модуль, а ϕ(ω) = arctg
(3.20)
Q(ω)
- аргумент.
P(ω)
Подставив (3.20) в (3.17), получим:
y1 (t ) = W ( jω )
a jω t
e = A (ω )e jϕ (ω ) a e jω t = A (ω ) a e j[ω t +ϕ (ω ) ] .(3.21)
2j
2j
2j
99
Аналогичным образом получим составляющую y 2 (t ) :
y 2 ( t ) = A (ω )
a − j [ω t + ϕ (ω ) ]
e
.
2j
(3.22)
Сложив (3.21) и (3.22), окончательно получим:
yв (t ) = A(ω )
a ⎡ j[ω t +ϕ (ω ) ]
− j ω t +ϕ ( ω ) ] ⎤
e
−e [
= A(ω ) ⋅ a ⋅ sin [ω t + ϕ (ω ) ] . (3.23)
⎦
2j⎣
Таким образом при гармоническом воздействии на входе выходная величина после окончания переходного процесса ( yc (t ) = 0 ) также изменяется
t →∞
по гармоническому закону, но с другой амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фаз –
аргументу W ( jω) .
Кривая, которую описывает конец вектора частотной передаточной
функции на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до ∞ называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).
Кроме АФЧХ, являющейся самой общей частотной характеристикой,
различают следующие разновидности частотных характеристик:
- амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – график функции
A(ω) = W ( jω) ;
- фазовая частотная характеристика (ФЧХ) – график функции
ϕ(ω) = Arg W ( jω) ;
- вещественная частотная характеристика
– график функции
P(ω) = Re W ( jω) ;
-
мнимая
частотная
характеристика
–
график
функции
Q(ω) = Im W ( jω) .
Из сравнения (3.23) и (3.13) следует важное свойство частотных характеристик – возможность их экспериментального определения на реальном
объекте.
100
Пример 3.4.
Определить частотные характеристики для условий примера 3.3.
Решение.
Преобразуем исходное уравнение по Лапласу при нулевых начальных
условиях:
(0, 09 s 2 + 0, 3s + 1)Y ( s ) = 10 X ( s ) .
Откуда можно получить выражение для передаточной функции:
W (s) =
10
.
0, 09s 2 + 0,3s + 1
Сделав замену s = jω , имеем:
W ( jω ) =
10
10
=
.
−0, 09ω + 0,3 jω + 1 1 − 0, 09ω 2 + j 0,3ω
2
Получим алгебраическую форму представления W ( jω ) :
W ( jω ) =
=
=
10
2
1 − 0, 09ω + j 0,3ω
=
умножим и разделим на
комплексно сопр. число
=
1 − 0, 09ω 2 − j 0,3ω
=
1 − 0, 09ω 2 + j 0,3ω 1 − 0, 09ω 2 − j 0,3ω
10
⋅
10(1 − 0, 09ω 2 )
2
⎡1 − 0, 09ω 2 ⎤ + (0,3ω ) 2
⎣
⎦
+j
−3ω
2
⎡1 − 0, 09ω 2 ⎤ + (0,3ω ) 2
⎣
⎦
Откуда :
P(ω ) =
10(1 − 0, 09ω 2 )
2
⎡1 − 0, 09ω 2 ⎤ + 0, 09ω 2
⎣
⎦
{
2
⎡
⎤
⎣10(1 − 0, 09ω ) ⎦ + 9ω
2
A(ω) =
2 ⎤2
2
⎡1 − 0, 09ω
⎣
⎦ + 0, 09ω
=
; Q(ω ) = −
10
2 ⎤2
⎡1 − 0, 09ω
⎣
⎦ + 0, 09ω
2
}
2
=
3ω
2
⎡1 − 0, 09ω 2 ⎤ + 0, 09ω 2
⎣
⎦
{
2
100 ⎡⎣(1 − 0, 09ω 2 ) ⎤⎦ + 0, 09ω 2
{
2 ⎤2
2
⎡1 − 0, 09ω
⎣
⎦ + 0, 09ω
;
2
101
}
2
}
=
;
ϕ (ω) = arctg
функция
Q(ω)
3ω
3ω
arctg
= arctg −
=
=
−
P(ω)
10(1 − 0, 09ω 2 ) нечетная
10(1 − 0, 09ω 2 )
Соответствующие графики представлены на рис. 3.5.
Рис. 3.5
***
3.2.1. Логарифмические частотные характеристики
102
Исследование частотных свойств САУ значительно упрощается, если
использовать частотные характеристики, построенные в логарифмическом
масштабе. Такие характеристики называются логарифмическими частотными
характеристиками (ЛЧХ).
Выясним, что они собой представляют. Для этого прологарифмируем
W ( jω) , выраженную в показательной форме:
lg W ( jω ) = lg A(ω ) + jϕ (ω ) lg e .
В полученном выражении величина lg A(ω ) характеризует изменение
системой амплитуд гармонических колебаний. За единицу измерения этого
изменения принята величина 1 Бел , равная усилению сигнала по мощности в
10 раз. Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату
его амплитуды, то при использовании этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом lg A(ω ) необходимо добавить множитель
2 . Например, если на некоторой частоте A(ω ) = 100 , то это означает, что
2
мощности входного и выходного сигналов отличаются в 100 раз, т.е. на
2 lg100 = 4 Бел . В ТАУ используют единицу в 10 раз меньше - 1 дБел . Тогда перед логарифмом lg A(ω ) необходимо добавлять коэффициент 20 , т.е.
20lg A(ω ) .
График зависимости L(ω ) = 20lg A(ω ) , построенный в логарифмическом масштабе частот, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).
За единицу измерения по оси частот принимают декаду - интервал, на
котором частота увеличивается в 10 раз. Применяется также деление оси ω
на
октавы
-
1
октава
соответствует
1 окт = lg ( 2ω1 ω1 ) = lg 2 = 0,301 дек .
103
удвоению
частоты.
Тогда
Отметим, что для удобства пользования логарифмическим масштабом
на отметке, соответствующей значению lg ω , обычно пишут само значение
ω.
Логарифмирование оси частот позволяет сжать изображение в области
−1
−1
частот ω > 1 c и растянуть его в области ω < 1 c .
При этом точке
ω = 0 c −1 соответствует значение lg ω = −∞ . Поэтому при построении ЛЧХ
ось ординат проводят через некоторую произвольную точку, а не через точку
ω = 0 c −1 .
График зависимости фазовой частотной функции ϕ (ω ) от логарифма
частоты lg ω называется логарифмической фазовой частотной характеристикой ЛФЧХ.
Пример 3.5.
Определить логарифмические частотные характеристики для условий
примера 3.4.
Решение.
Воспользовавшись результатами, полученными в ходе решения примера 3.4, запишем:
10
L(ω ) = 20 ⋅ lg A(ω ) = 20 ⋅ lg
=
(1 − 0, 09ω ) + 0, 09ω
= 20 ⋅ lg10 − 10 ⋅ lg ⎡⎢(1 − 0, 09ω ) + 0, 09ω ⎤⎥ = 20 − 10 ⋅ lg ⎡⎢(1 − 0, 09ω )
⎣
⎦
⎣
2
2
2
2
2
2
Соответствующие графики представлены на рис. 3.6.
104
2
ϕ
2
+ 0, 09ω 2 ⎤⎥
⎦
Рис. 3.6
***
Использование ЛЧХ дает следующие преимущества:
1. Характеристики имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть
приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких
прямолинейных отрезков∗). Эти отрезки в большинстве случаев строятся достаточно просто.
2. В логарифмической системе координат легче находить суммарные
характеристики различных соединений элементов.
3.3. Соотношения взаимосвязи характеристик САУ между собой и передаточной функцией
Возможные соотношеня представлены в таблице.
Характеристика
h (t )
w(t )
∗)
W (s )
W( jω)
Частоты, соответствующие точкам стыковки соседних отрезков, называются сопрягающими частотами.
105
Переходная
характери-
t
∫ w(t )dt
⎧W ( s) ⎫
L−1 ⎨
⎬
⎩ s ⎭
⎧W ( jω) ⎫
F −1 ⎨
⎬
⎩ jω ⎭
h′(t )
1
L−1 {W ( s)}
F −1 {W ( jω)}
sL{h(t )}
L{w(t )}
1
W ( jω) jω=s
jωF {h(t )}
F {w(t )}
W (s) s= jω
1
1
0
стика h(t )
Импульсная
переходная
характеристика w(t )
Передаточная функция
W (s)
Частотная
передаточная функция
W ( jω)
Соотношения, приведенные на пересечении первых трех строк и
столбцов следуют из определения соответствующих характеристик и свойств
преобразования Лапласа. Например, из формулы W ( s) =
Y ( s)
X ( s)
при
x(t ) = 1(t ) получаем W ( s) = sH ( s) , где H ( s) = L{h(t )}.Откуда следуют соот−1 ⎧W ( s ) ⎫
⎬.
ношения: W ( s) = L{h(t )}s и h(t ) = L ⎨
⎩ s ⎭
Соотношения же, приведенные в последнем столбце и нижней строке
следуют из определений прямого F и обратного F −1 преобразований Фурье -
1
F {Y ( jω )} =
2π
−1
∞
∫ Y ( jω )e
−∞
106
jωt
dω = y (t ) .
Контрольные вопросы
1. Какие вы знаете временные характеристики САУ?
2. Какие частотные характеристики вы знаете? Дайте их определения.
3. Как экспериментально определить частотные характеристики?
4. Как определяются частотные характеристики по передаточной функции?
5.Как строятся логарифмические частотные характеристики?
6. Зачем изучаются частотные характеристики САУ?
7. Как из передаточной функции получить выражение для АФЧХ?
8. Приведите основные формулы, связывающие АФЧХ, АЧХ и ФЧХ
между собой.
9. Какой физический смысл имеют ординаты АЧХ элемента? Как по
ним оценить условия пропускания элементом гармонического сигнала?
107
Глава 4. Типовые звенья САУ и их характеристики
Функциональные элементы, используемые в автоматических системах,
могут иметь самое различное конструктивное исполнение и самые различные
принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины этих элементов, позволяет выделить
ограниченное число так называемых типовых алгоритмических звеньев, под
которыми понимается искусственно выделенная часть САУ, соответствующая некоторому элементарному математическому алгоритму.
Классификацию типовых звеньев удобно осуществить, рассматривая
различные частные формы дифференциального уравнения второго порядка.
a 0 y ′′(t ) + a1 y ′(t ) + a 2 y (t ) = b0 x ′(t ) + b1 x(t ) .
(4.1)
В таблице 4.1 приведены значения коэффициентов уравнения (4.1) и
названия для звеньев, реализация которых имеет физический смысл.
Таблица 4.1
Значения коэффициентов уравнения типовых звеньев
№
п/
Наименование звена
п
a0
a1
a2
b0
b1
1
Пропорциональное
0
0
1
0
k
2
Интегрирующее
0
1
0
0
k
3
Дифференцирующее
0
0
1
k
0
0
T
1
0
k
T
1
0
0
k
0
T
1
k
0
4
5
6
Апериодическое 1-го
порядка
Реальное интегрирующее
Реальное дифференцирующее
108
Изодромное (про7
порционально-
0
1
0
k1
k2
0
0
1
kT
k
T2
2ξT
1
0
k
интегрирующее)
Форсирующее (про8
порциональнодифференцирующее)
9
Колебательное
Отметим ряд общих особенностей.
Звенья, у которых коэффициенты a2 ≠ 0 и b1 ≠ 0 , обладают однозначной связью между входом и выходом в статическом режиме. К их названиям
поэтому часто добавляют слова статическое либо позиционное. К таким
звеньям относятся звенья № 1, 3, 4, 6, 8 и 9. Звенья № 2, 5, 7 называют астатическими.
Звенья, у которых a2 ≠ 0 и a1 ≠ 0 или a0 ≠ 0
(№ 4, 6, 9) обладают
инерционностью (замедлением).
У звеньев № 1, 2 и 3 только два коэффициента не равны нулю. Они являются простейшими или элементарными. Все остальные звенья могут быть
в принципе образованы из элементарных путем комбинирования.
На практике наиболее часто встречаются следующие шесть типовых
звеньев:
- пропорциональное;
- интегрирующее;
- дифференцирующее;
- апериодическое 1-го порядка;
- форсирующее;
- колебательное.
Кроме этого к основным типовым звеньям относят также особое звено запаздывающее.
109
Знание свойств перечисленных звеньев существенно облегчает анализ
САУ, так как любой элемент системы и вся система в целом могут быть
представлены в виде одного или соединения нескольких типовых звеньев.
Рассмотрим свойства перечисленных звеньев в следующей последовательности:
- уравнение звена;
- передаточная функция;
- частотные характеристики – АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ ;
- временные характеристики - h(t ) и w(t ) .
4.1. Пропорциональное звено
1. Уравнение звена:
y (t ) = kx(t ) ,
где k - передаточный коэффициент, имеющий размерность [k ] = [ y ] [ x] .
В операторной форме это уравнение имеет вид:
Y ( s) = kX ( s) .
2. Передаточная функция:
W (s) =
Y (s)
=k.
X (s)
3. Частотные характеристики.
Частотная передаточная функция звена имеет вид:
W ( jω ) = P (ω ) + jQ (ω ) = A(ω )e jϕ (ω ) = k .
Поэтому P(ω) = k и Q(ω) = 0 .
Откуда:
A(ω) = k ; ϕ(ω) = arctg
Q(ω)
= 0 ; L(ω) = 20 lg A(ω) = 20 lg k .
P(ω)
На рис.4.1 представлены соответствующие графики.
110
Рис.4.1
Таким образом пропорциональное звено пропускает колебания всех
частот равномерно.
4. Временные характеристики:
- переходная характеристика
h(t ) = k ⋅ 1(t ) ;
- импульсная переходная характеристика
w(t ) = h′(t ) = kδ (t ) .
Вид этих характеристик представлен на рис. 4.2.
Рис.4.2
4.2. Интегрирующее звено
1. Уравнение звена:
t
y (t ) = k ∫ x(t )dt + y (0) , или y′(t ) = kx (t ) ,
0
111
где k - передаточный коэффициент, представляющий собой отношение скорости изменения выходной величины ко входной величине и имеющий размерность [k ] = [ y ] ([ x] ⋅ [t ]) .
В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение
имеет вид:
Y (s) = k
X (s)
.
s
2. Передаточная функция:
W ( s) =
Y (s) k
= .
X (s) s
3. Частотные характеристики.
Частотная передаточная функция:
W ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) = A(ω )e jϕ (ω ) =
Поэтому P(ω ) = 0 ; Q(ω ) = −
k
ω
k
k
=−j .
ω
jω
.
Откуда:
A(ω ) =
k
ω
; ϕ (ω ) = arctg
π
Q(ω )
⎛ k ⎞
= arctg ⎜ −
=
−∞
=
−
∞
=
−
(
)
(
)
arctg
arctg
;
⎟
2
P(ω )
⎝ ω ⋅0 ⎠
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg k − 20 lg ω .
Определим характерные точки ЛАЧХ:
ω 1 = 1 ⇒ L (ω1 ) = 20 lg k ; ω 2 = k ⇒ L(ω2 ) = 0
и ее наклон к оси частот
ω 3 = 10ω1 ⇒ L (ω3 ) = 20 lg k − 20 ; L (ω3 ) − L (ω1 ) = −20 дб дек .
На рис.4.3 представлены соответствующие графики.
112
Рис. 4.3
Таким образом, с ростом частоты входных колебаний амплитуда выходных колебаний уменьшается, стремясь к нулю при ω → ∞ . Сдвиг фаз постоянен и равен ϕ (ω ) = const = -
π
2
4. Временные характеристики:
- переходная характеристика
h(t ) = kt ⋅1(t )
- импульсная переходная характеристика
w(t ) = h′(t ) = k ⋅1(t ) .
Вид этих характеристик представлен на рис. 4.4.
а)
б)
Рис.4.4. Временные характеристики:
а) h(t ) ; б) w(t )
4.3. Дифференцирующее звено
113
1. Уравнение звена:
y (t ) = k
dx (t )
,
dt
где k - передаточный коэффициент, представляющий собой отношение выходной величины к скорости изменения входной величины и имеющий размерность [k ] = [ y ] ([t ] ⋅ [ x]) .
В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение
имеет вид:
Y ( s ) = ksX ( s) .
2. Передаточная функция:
W (s) =
Y (s)
= ks .
X (s)
3. Частотные характеристики:
Частотная передаточная функция:
W ( jω ) = P (ω ) + jQ (ω ) = A(ω )e jϕ (ω ) = jkω .
Поэтому P(ω ) = 0 ; Q(ω ) = kω .
Откуда:
A(ω ) = kω ;
ϕ (ω ) = arctg
Q(ω )
π
⎛ kω ⎞
= arctg ⎜
=
∞
=
arctg
(
)
;
⎟
P(ω )
2
⎝ 0 ⎠
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg k + 20 lg ω
Определим характерные точки ЛАЧХ:
ω 1 = 1 ⇒ L (ω1 ) = 20 lg k ; ω2 = 1 k ⇒ L(ω2 ) = 0
и ее наклон к оси частот
ω 3 = 10ω1 ⇒ L (ω3 ) = 20 lg k + 20 ; L (ω3 ) − L (ω1 ) = +20 дб дек .
На рис.4.5 представлены соответствующие графики.
114
Рис.4.5
Таким образом, с ростом частоты входных колебаний амплитуда выходных колебаний непрерывно увеличивается. Сдвиг фаз постоянен и равен
ϕ (ω ) = const = π 2 .
4. Временные характеристики:
- переходная характеристика
h(t ) = k ⋅ δ (t )
- импульсная переходная характеристика
w(t ) = h′(t ) = k ⋅ δ ′(t ) .
4.4. Апериодическое звено первого порядка
1. Уравнение звена:
Ty′(t ) + y (t ) = kx(t ) ,
где: k - передаточный коэффициент, представляющий собой отношение выходной величины ко входной в статическом режиме и имеющий размерность
[k ] = [ y ] [ x] ; T - постоянная времени, характеризующая инерционность звена.
115
В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение
имеет вид:
TsY ( s ) + Y ( s ) = kX ( s ) .
2. Передаточная функция:
W ( s) =
Y ( s)
k
=
.
X ( s) Ts + 1
3. Частотные характеристики:
Частотная передаточная функция:
W ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) = A(ω )e jϕ (ω ) =
k
T ( jω ) + 1
умножим и разделим на k − jkωT
=
=
комплексно сопр. число 1 + T 2ω 2
Поэтому P(ω ) =
k
kT ω
Q
(
ω
)
=
;
.
1 + T 2ω 2
1 + T 2ω 2
Откуда:
A(ω ) =
k 2 + k 2T 2ω 2
k
=
;
(1 + T 2ω 2 ) 2
1 + T 2ω 2
Q(ω )
kT ω (1 + T 2ω 2 )
ϕ (ω ) = arctg
= arctg −
=
P(ω )
(1 + T 2ω 2 )k
= arctg (−T ω ) =
функция
= − arctg (T ω ) ;
нечетная
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg k - 20 lg 1 + T 2ω 2 .
На рис.4.6 представлены соответствующие графики.
116
=
.
Рис.4.6
Кривая, точно соответствующая функции L (ω ) , показана на рисунке
сплошной линией. В практических расчетах обычно используют приближен*
ную характеристику L (ω ) , представляющую собой ломаную, состоящую из
двух асимптот.
Первая асимптота (низкочастотная) получается при малых частотах,
2 2
когда величиной T ω в выражении L (ω ) можно пренебречь. Тогда
L (ω ) ≈ Lнч (ω ) = 20 lg k .
Вторая асимптота (высокочастотная) получается при высоких частотах,
2 2
когда T ω >> 1 и единицу под корнем можно не учитывать. Тогда
L (ω ) ≈ Lвч (ω ) = 20 lg k − 20 lg(T ω ) .
Последнее уравнение представляет собой уравнение прямой, проходящей через точку с координатами [ ω 1 = 1 T ; L в ч ( ω 1 ) = 2 0 lg k ].
Определим наклон второй асимптоты:
ω 2 = 10ω1 ⇒ Lвч (ω2 ) = 20 lg k − 20lg10 .
L вч (ω 2 ) − L вч (ω 1 ) = − 2 0 д б д ек .
Значение частоты ωсп , при которой пересекаются обе асимптоты, найдем из условия Lнч (ωсп ) = Lвч (ωсп ) , т.е.:
20 lg k = 20 lg k − 20 lg(T ωсп ) .
117
Отсюда ω сп = 1 T . Эта частота называется.
На основе изложенного алгоритм построения асимптотической ЛАЧХ
можно представить следующим образом:
- на уровне L(ω ) = 20 lg k провести прямую до частоты ω сп ;
- из точки с координатами [ωсп ; 20 lg k ] провести другую прямую с
наклоном −20 дб дек .
Максимальная ошибка проведенной аппроксимации получается при
ω = ω сп и составляет:
ΔL = 20 lg k − 20 lg k + 20 lg 2 ≈ 3 дб .
Отметим, что при ω = ωсп :
ϕ (ω сп ) = − arctg
T ⋅1
π
= -arctg(1) = − .
T
4
Таким образом, из анализа ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что с увеличением
частоты входных колебаний амплитуда выходных колебаний до частоты
ω сп не изменяется, а при ω > ω с п - уменьшается, т.е. звено является
фильтром высоких частот.
Сдвиг фаз отрицателен и с ростом
частоты стремится к значению
ϕ (∞ ) = −π 2 .
4. Временные характеристики:
- переходная характеристика
h(t ) = k (1 − e
−t
T
);
- импульсная переходная характеристика
w(t ) = h′(t ) =
k
T
e
−t
T
.
Вид этих характеристик представлен на рис. 4.7.
118
Рис.4.7
4.5. Форсирующее звено
1. Уравнение звена:
y (t ) = k (Tx′(t ) + x(t )) ,
где: k - передаточный коэффициент, представляющий собой отношение выходной величины ко входной в статическом режиме и имеющий размерность
[k ] = [ y ] [ x] ; T - постоянная времени, характеризующая инерционность звена.
В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение
имеет вид:
Y ( s ) = k (TsX ( s ) + X ( s )) .
2. Передаточная функция:
W (s) =
Y (s)
= k (Ts + 1) .
X (s)
3. Частотные характеристики:
Частотная передаточная функция:
W ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) = A(ω )e jϕ (ω ) = k (T ( jω ) + 1) = k + jkT ω .
119
Поэтому P(ω ) = k ; Q(ω ) = kT ω .
Откуда:
A (ω ) =
k 2 + k 2T 2ω 2 = k 1 + T 2ω 2 ;
ϕ (ω ) = arctg
Q (ω )
kT ω
= arctg
= arctg(T ω ) ;
P (ω )
k
L (ω ) = 20 lg A (ω ) = 20 lg k + 20 lg 1 + T 2ω 2 .
На рис.4.8 представлены соответствующие графики.
Рис.4.8
Кривая, точно соответствующая функции L(ω ) , показана на рисунке
пунктирной линией. Аналогично апериодическому звену заменяем ее приближенной характеристикой, представляющей собой ломаную, состоящую из
двух асимптот:
⎧⎪ Lнч (ω ) = 20lg k при ω < 1 T ;
L(ω ) ≈ ⎨
⎪⎩ Lвч (ω ) = 20lg k + 20lg(T ω ) при ω > 1 T .
Определим наклон второй асимптоты:
⎛ 10 ⋅1 ⎞
⎛1⎞
Lвч (ω2 ) − Lвч (ω1) = Lвч ⎜
⎟ − Lвч ⎜ ⎟ = 20lg k + 20lg10-20lg k = +20 дб дек .
⎝ T ⎠
⎝T ⎠
Частота сопряжения также равняется ω с = ω 1 = 1 T .
120
Максимальная ошибка аппроксимации получается при ω = ω с и составляет:
ΔL = 20 lg k − 20 lg k − 20 lg 2 ≈ −3 дб .
Отметим также, что при ω = ω с :
ϕ (ω с ) = arctg
T ⋅1
π
= arctg(1) = .
T
4
Таким образом из анализа ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что с увеличением
частоты входных колебаний амплитуда выходных колебаний до частоты ω с
не изменяется, а при ω > ω с - увеличивается, т.е. звено является усилителем
высоких частот.
Сдвиг фаз положителен и с ростом частоты стремится к значению
ϕ (∞ ) = π 2 .
4. Временные характеристики:
- переходная характеристика
h(t ) = k[Tδ (t ) + 1(t )] ;
- импульсная переходная характеристика
w(t ) = h′(t ) = k[T δ ′(t ) + δ (t )] .
4.6. Колебательное звено
1. Уравнение звена:
T 2 y′′(t ) + 2ξTy′(t ) + y (t ) = kx(t ) ,
где: k - передаточный коэффициент, представляющий собой отношение выходной величины ко входной в статическом режиме и имеющий размерность
[k ] = [ y] [ x] ; T - постоянная времени, характеризующая инерционность зве-
121
на; ξ - коэффициент демпфирования (затухания), характеризующий колебательность звена.
В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение
имеет вид:
T 2 s 2Y ( s) + 2ξTsY ( s) + Y ( s) = kX ( s) .
Динамические свойства рассматриваемого звена определяются значением коэффициента ξ . Собственно колебательным звеном оно называется
только при 0 < ξ < 1 . При ξ = 0 звено называется консервативным, а при
ξ ≥ 1 - апериодическим второго порядка.
Рассмотрим случай, когда 0 < ξ < 1 .
2. Передаточная функция:
W ( s) =
Y ( s)
k
= 2 2
X ( s) T s + 2ξTs + 1
3. Частотные характеристики:
Частотная передаточная функция:
W ( jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) = A(ω )e jϕ (ω ) =
=
умножим и разделим на
комплексно сопр. число
=
k
2 2
-T ω + 2ξ Tjω + 1
k (1- T 2ω 2 )
2
+ (2ξ T ω ) 2
(1- T 2ω 24)24444
1444
3
P (ω )
+j
=
k
(1- T
2 2
ω
) + j 2ξ T ω
−2 k ξ T ω
2
+ (2ξ T ω ) 2
(1- T 2ω 24)24444
1444
3
Q(ω )
Откуда:
A(ω ) =
k 2 (1- T 2ω 2 )2 + k 2 (2ξ T ω ) 2
[(1- T 2ω 2 )2 + (2ξ T ω )2 ]2
ϕ (ω ) = arctg
=
k
(1- T 2ω 2 )2 + (2ξ T ω )2
;
функция
Q(ω )
−2kξ T ω
2ξ T ω
arctg
= arctg −
=
=
−
;
P(ω )
1- T 2ω 2
k (1- T 2ω 2 ) нечетная
L (ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg k - 20 lg (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ξ T ω ) 2 .
На рис.4.9 представлены соответствующие графики.
122
=
Рис.4.9
Вид кривой, точно соответствующей функции L (ω ) , в существенной
степени зависит от значения коэффициента ξ .
Взяв производную L ′ ( ω ) и приравняв ее нулю, можно получить зна2
чение частоты ω max = 1 − 2ξ T , на которой наблюдается резонансный
2
пик ЛАЧХ, величина которого составляет L(ωmax ) = 20 lg k - 20 lg 2ξ 1 − ξ .
При этом, если ξ ≥ 2 2 ≈ 0,707 ( ω m ax ≥ 0 ), ЛАЧХ имеет вид монотонно
убывающей функции. Если же ξ → 0 , то ω max → 1 T и L (ω m ax ) → ∞ .
В практических расчетах обычно используют приближенную характеристику, представляющую собой ломаную, состоящую из двух асимптот.
2
2 2
При низких частотах пренебрегают величинами T ω и (2ξ T ω ) , т.е.:
123
L (ω ) ≈ Lнч (ω ) = 20 lg k − 20 lg 1 = 20 lg k .
Последнее уравнение представляет собой уравнение прямой, проходящей через точку с координатами [ ω 1 = 1 T ; L вч (ω 1 ) = 20 lg k ].
При высоких частотах пренебрегают величинами 1 и (2ξT ω ) 2 :
L (ω ) ≈ Lвч (ω ) = 20 lg k − 20 lg T 4ω 4 = 20 lg k − 40 lg T ω .
Определим наклон второй асимптоты:
ω 2 = 1 0 ω 1 ⇒ Lвч (ω2 ) = 20 lg k - 40 lg10 .
Lвч (ω2 ) − Lвч (ω1 ) = −40 дб дек .
Значение частоты ω с п , при которой пересекаются обе асимптоты,
найдем из условия Lнч (ωсп ) = Lвч (ωсп ) , т.е.:
20 lg k = 20 lg k - 40 lg(T ωсп ) .
Отсюда ωсп = 1 T .
На основе изложенного алгоритм построения асимптотической ЛАЧХ
можно представить следующим образом:
- на уровне L(ω ) = 20 lg k провести прямую до частоты ωсп ;
- из точки с координатами [ ωсп ; 20 lg k ] провести другую прямую с
наклоном −40 дб дек .
ЛФЧХ строим по точкам:
ω =0
⇒
ω = 1T ⇒
ω =∞
⇒
ϕ (0) = 0 ;
ϕ (ωсп ) = − π 2 ;
ϕ (∞ ) = − π .
Таким образом, из анализа ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что с увеличением
частоты входных колебаний амплитуда выходных колебаний до частоты ωсп
не изменяется, а при ω > ωсп - уменьшается, т.е. звено является фильтром
высоких частот.
124
Сдвиг фаз отрицателен и с ростом
ϕ ( ∞ ) = -π
частоты стремится к значению
.
4. Временные характеристики.
Переходная характеристика.
Исходя из уравнения звена, его характеристическое уравнение имеет
вид:
T 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0 .
Его корни
p1, 2
ξ2 −1
1- ξ2
ξ
ξ
=− ±
=− ± j
T
T
T
T
являются комплексно-сопряженными.
Обозначим p1, 2 = −α ± jβ и определим свободную составляющую
hc ( t ) :
hc (t ) = C1 ( −α + j β )t + C2 ( −α − j β )t = C1 −α t
e e j β t + C2e−α t e− j β t =
e
e
= e−α t [C1e j β t + C2e− j β t ]
.
Представим h c ( t ) в тригонометрической форме. Для этого воспользуемся формулами Эйлера:
⎧⎪ e ja = c o s a + j sin a ;
⎨ − ja
= c o s a − j sin a .
⎪⎩ e
Тогда:
e
e
hc (t ) = − α t [C1 (cos β t + j sin β t ) + C 2 (cos β t − j sin β t )] =
.
= − α t [(C1 + C 2 ) cos β t + j (C1 − C 2 ) sin β t )]
Так как hс (t ) является решением уравнения при любых значениях C1 и
C 2 , то:
e
⎧ при C = C = 1 ⇒ h * ( t ) = − α t cos β t ;
⎪
1
2
с
2
⎨
j
j
**
− α t sin β t .
⎪⎩ при C1 = − 2 ; C 2 = 2 ⇒ hc ( t ) =
125
e
**
*
Поскольку hc (t ) и hc (t ) линейно независимы, то можем записать:
hc ( t ) = C 3 hc * ( t ) + C 4 hc ** ( t ) =
e − α t ( C 3 cos β t + C 4 sin β t ) .
Введем обозначения: C 3 = A sin ϕ 0 ; C 4 = A cos ϕ 0 .
Тогда:
A sin ϕ 0 co s β t + A c o s ϕ 0 sin β t = A sin ( β t + ϕ 0 ) ,
и, следовательно, h c ( t ) = A
e − α t sin (β t + ϕ 0 ) .
Вынужденную составляющую решения будем искать в виде hв (t ) = С 5 .
Подставив это решение в исходное уравнение при x(t ) = 1(t ) , получим
С5 = k .
Далее можем записать:
h (t ) = hс (t ) + hв (t ) = A −α t sin( β t + ϕ 0 ) + k .
e
Импульсная переходная характеристика:
ω (t ) = h′(t ) = Ae −α t [ β cos( β t + ϕ 0 ) − α sin( β t + ϕ 0 )] .
Далее, воспользовавшись нулевыми начальными условиями, определим значения постоянных интегрирования A и
ϕ0 :
⎧ 0 = A sin ϕ 0 + k
β sin ϕ0
=
= tgϕ0 ;
; ⇒
⎨
α cos ϕ0
⎩ 0 = A β cos ϕ 0 − α sin ϕ 0 )
(
ϕ0 = arctg β
α
A=−
k
1- ξ 2
= arctg
1- ξ 2
ξ
; A=−
sin ϕ0
k
;
sin ϕ0
1- sin 2 ϕ0
=
β
; sin ϕ0 = 1- ξ 2 ;
α
.
Окончательно получим:
⎡
1
h(t ) = k ⎢1 −
⎢
1- ξ 2
⎣
w(t ) = h′(t ) =
⎤
e−α t sin(β t + ϕ0 ) ⎥⎥ ;
⎦
k
T 1- ξ
126
−α t ⋅ sin β t
e
.
2
Вид этих характеристик представлен на рис. 4.10.
Рис.4.10
Характеристика h(t) представляет собой синусоиду, амплитуда которой убывает по экспоненциальным огибающим:
⎧ h (0 + T n ) = k (1 − e − α t ) - сверху и
к
⎪
,
⎨ TK
+ Tк n = k (1 − e − α t ) − снизу
⎪h
⎩
2
(
)
где Tк - период колебаний; n - номер точки, общей и для соответствующей
экспоненты и для переходной характеристики.
Определим период колебаний Tк . Для этого составим систему уравнений:
⎧t = 0 ⇒ γ 1 = ϕ 0
⎨t = T ⇒ γ = ϕ
к
2
0
⎩
Откуда γ 2 − γ 1 = 2 π = ϕ 0
+
+
β Tк ,
β Tк − ϕ 0 = β Tк и, следовательно:
Tк =
2π
β
=
2π T
T 1- ξ 2
.
Следовательно, с ростом ξ увеличивается и период Tк .
Определим зависимость максимального значения переходной характеристики от ξ :
127
ω (t ) = h′(t ) = 0 ⇒
1- ξ 2
sin
tm = 0 ⇒
T
ξ
− t
k
T 1- ξ
2
e
T
1- ξ 2
tm = π
T
1- ξ 2
tm = 0
⋅ sin
T
⇒
tm =
⇒
πT
1- ξ 2
.
Тогда:
⎡
⎢
⎢
1
hm = k ⎢1 −
⎢
1- ξ 2
⎢
⎣⎢
e
⎤
⎥
⎡
2
⎥
2
⎢
1- ξ ⋅ π T
1-ξ
+ ϕ 0 ⎥ = k ⎢1 +
sin
⎥
⎢
T 1- ξ 2
144424443 ⎥
⎣⎢
− sin ϕ 0 =− 1-ξ 2
⎦⎥
ξπ T
−
T
(
)
e
−
ξπ
1-ξ 2
Из последнего соотношения следует, что с ростом ξ значение
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
hm
уменьшается (т.к. 1 - ξ 2 уменьшается быстрее, чем растет ξπ ).
Скорость затухания колебательных процессов принято оценивать степенью затухания:
Ψ=
A1 − A 2
,
A1
представляющей собой отношение разности двух соседних амплитуд к первой из них.
Очевидно, что чем ближе Ψ к единице, тем быстрее затухают колебания, и, наоборот, чем ближе Ψ к нулю, тем затухание медленнее. Покажем,
что Ψ зависит от соотношения действительной и мнимой частей корней
характеристического уравнения.
Для этого, воспользовавшись уравнением верхней экспоненциальной
огибающей, запишем:
[ e −α t1 ] ;
h1, m = k 1 +
[ e − α ( t1 + Tк ) ] .
h2, m = k 1 +
Тогда
128
Ψ=
(h1,m − k ) - (h2,m − k )
h1,m − k
−α t
−α t −α T
1 -e
1e
K
e
=
e−α t1
h1,m − h2,m
=
= 1−
=
h1,m − k
e
−α t
1
= 1−
e
−
( e−α t1 ) - k (1 + e−α (t1+Tк ) ) =
−α t
k (1 + e 1 ) − k
k 1+
α 2π
β
.
Отношение μ = β α называют степенью колебательности.
e
− 2π μ
Таким образом Ψ = 1 −
.
Из последнего выражения видно, что чем меньше действительная часть
α , тем затухание медленнее ( α = 0 ⇒ μ = β α = ∞ ⇒ Ψ = 0 ), и наоборот, чем меньше мнимая часть β , тем затухание быстрее ( β = 0 ⇒ μ = 0
⇒ Ψ = 1 ).
Степень колебательности связана с коэффициентом демпфирования ξ
соотношением:
1- ξ 2 T
1- ξ 2
β
⋅ =
μ= =
.
T
α
ξ
ξ
Взаимосвязь коэффициентов μ , Ψ и ξ представим в виде следующей таблицы:
Степень колебательности μ
Степень
Коэффициент
затухания демпфирования
Ψ
ξ
∞
0
0
0
1
1
Анализ приведенных данных показывает, что смысл коэффициента μ
является противоположным смыслу коэффициентов Ψ и ξ .
Как отмечалось выше, при ξ = 0 звено второго порядка называется
консервативным. В этом случае:
W (s) =
k
k
= P (ω ) ; Q (ω ) = 0 ; p1,2 = ± j β ; β = 1 ;
; W ( jω ) =
2
2 2
T s +1
T
1- T ω
2
129
1
π
π ⎤
⎡
h(t ) = k ⎡1 − sin(β t + ϕ0 )⎤ = ϕ0 = arctg = arctg∞ = = k ⎢1 − sin(β t + )⎥ = k (1 − cos β t ) ;
⎣
⎦
0
2
2 ⎦
⎣
w ( t ) = h ′( t ) =
k
sin β t .
T
Следовательно временные характеристики консервативного звена
имеют вид незатухающих колебаний частотой β .
При ξ ≥ 1 колебательное звено вырождается в апериодическое звено
второго порядка. При этом:
W ( s) =
k
k
1
=
⋅
,
T 2 s 2 + 2ξTs + 1 1 + T1 s 1 + T2 s
2
где T1T2 = T и T1 + T2 = 2ξT .
Таким образом в этом случае имеем два последовательно соединенных
апериодических звена первого порядка. Можно показать, что корни характеристического уравнения p1,2
-ξ ± ξ 2 − 1
=
здесь являются вещественными
T
отрицательными и
⎡
T1
h ( t ) = k ⎢1 ⎣ T1 - T2
e -t T
1
+
T2
T1 - T2
e -t T ⎤⎥ .
2
⎦
( )e
t
⎡
Если же ξ = 1 то T1 = T2 = T и h(t ) = k ⎢1 − 1 +
T
⎣
-t T ⎤
⎥.
⎦
4.7. Запаздывающее звено
1. Уравнение звена:
y (t ) = x(t − τ ) ,
где τ - время запаздывания, является трансцендентным.
В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение
имеет вид:
Y ( s ) = X ( s )e− sτ .
130
2. Передаточная функция:
W ( s) =
Y (s)
= e− sτ .
X ( s)
3. Частотные характеристики:
Частотная передаточная функция:
W ( jω ) = P (ω ) + jQ (ω ) = A(ω )e jϕ (ω ) = cos
ωτ − j sin
123
12ωτ
3.
P (ω )
Откуда: A(ω ) = 1 ; ϕ (ω ) = arctg −
Q (ω )
Q (ω )
sin ωτ
= arctg −
= −ωτ ;
P (ω )
cos ωτ
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg1 = 0 .
На рис. 4.11 представлены соответствующие графики.
Рис.4.11
Таким образом, соотношение амплитуд входного и выходного сигналов
не зависит от частоты, а отставание по фазе выходного сигнала тем больше,
чем больше частота.
4. Временные характеристики:
- переходная характеристика
h(t ) = 1(t − τ ) ;
- импульсная переходная характеристика
w(t ) = h′(t ) = δ (t − τ ) .
Вид этих характеристик представлен на рис. 4.12.
131
Рис.4.12
Следует отметить, что запаздывающее звено в большинстве случаев
ухудшает устойчивость системы, в которую входит, и делает ее трудно
управляемой. Кроме того, анализ и синтез таких систем связан с большими
трудностями.
В практических расчетах передаточную функцию запаздывающего звена W (s ) обычно приближенно заменяют дробно-рациональными функциями:
1 − 0,5 ⋅τ s
W ( s) =
1 + 0,5 ⋅τ s
1 − 0,5 ⋅τ s + 0,83 ⋅τ 2 s 2
или W ( s ) =
.
1 + 0,5 ⋅τ s + 0,83 ⋅τ 2 s 2
В заключение раздела введем новое понятие – минимально-фазовое
звено. Под таким звеном будем подразумевать звено, у которого при одной и
той же частоте сдвиг фазы по модулю меньше, чем у любого другого звена,
имеющего одинаковую с ним АЧХ.
Для минимально-фазовых звеньев характерно наличие однозначной
связи между АЧХ и ФЧХ, т.е. для него по известной АЧХ можно построить
ФЧХ.
Звено является минимально-фазовым, если все нули и полюса его передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные
части. Таким образом, все рассмотренные выше типовые звенья, кроме запаздывающего, являются минимально-фазовыми.
132
Контрольные вопросы
1. Как будет изменяться выходной сигнал безинерционного звена, если
на его вход подать линейное воздействие? Постройте график
2. Как влияет безинерционное звено на амплитуду и фазу синусоидального входного сигнала?
3. Напишите передаточную функцию инерционного звена первого порядка.
4. Как проходят через инерционное звено первого порядка гармонические сигналы низкой и высокой частоты?
5. При каком значении коэффициента демпфирования инерционное
звено второго порядка имеет апериодический переходный процесс и при каком - колебательный?
6. В чем сходство и отличие частотных свойств интегрирующих и
инерционных статических звеньев?
7. Почему дифференцирующие звенья плохо пропускают медленно меняющиеся входные сигналы?
8. Постройте график выходного сигнала звена запаздывания при подаче
на его вход линейного воздействия.
9. Напишите передаточную функцию звена запаздывания.
10. Назовите параметры колебательного звена, характеризующие его
динамические свойства.
133
Глава 5. Устойчивость САУ
5.1. Понятие, виды и общее условие устойчивости
Одной из важнейших характеристик автоматической системы управления является устойчивость. Этим понятием характеризуется работоспособность системы. Система, не обладающая устойчивостью, не способна выполнять функции управления и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность (т. е. система вредна). Неустойчивая система может привести
управляемый объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости
систем является одной из центральных в теории автоматического управления.
Устойчивость автоматической системы - это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния.
Неустойчивость автоматических систем управления возникает, как
правило, из-за очень сильного действия обратной связи. Причиной динамической неустойчивости обычно является значительная инерционность элементов замкнутого контура, из-за которой в режиме колебаний системы сигнал
обратной связи значительно отстает от входного сигнала и оказывается с ним
в фазе. Это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная, проявляется как положительная.
Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустойчивости. Согласно данному выше физическому определению устойчивость
зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным
дифференциальным уравнением:
a0 y ( n ) (t ) + a1 y ( n −1) (t ) + K + an y (t ) = 0 ,
(5.1)
где y (t ) = yс (t ) - свободная составляющая управляемой величины системы.
134
Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида
внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения, на устойчивость системы не влияет.
Система является устойчивой, если свободная составляющая yс (t ) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т. е. если
lim y с ( t ) = 0 .
(5.2)
t→∞
Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стремиться
к вынужденной составляющей, определяемой внешним воздействием и правой частью уравнения (5.1). Устойчивость в смысле условия (5.2) принято
называть асимптотической.
Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т. е. если
lim y с ( t ) = ∞ .
(5.3)
t→∞
то система неустойчива.
Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к
бесконечности, то система находится на границе устойчивости.
Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением
(5.1), устойчива. Решение уравнения (5.1) равно сумме
yс (t ) =
n
n
∑ C i yi (t ) = ∑ C i e p t ,
i
i =1
i =1
(5.4)
где C i - постоянные, зависящие от начальных условий; p i - корни характеристического уравнения
a0 p n + a1 p n −1 + K + a n = 0 .
(5.5)
Корни характеристического уравнения могут быть действительными
( pi = α i ), мнимыми ( pi = j β i ) и комплексными ( pi = α i ± j β i ). При этом
комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обязательно существует корень с
такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.
135
Составляющая (5.4) при t → ∞ стремится к нулю лишь в том случае, есpt
ли каждое слагаемое вида C i e i → 0 . Характер последней функции зави-
сит от вида корня. Рассмотрим все возможные случаи расположения корней
pi на комплексной плоскости (рис. 5.1) и соответствующие им функpt
ции y с,i ( t ) = C i e i , которые показаны внутри элипсов.
Рис. 5.1. Влияние корней характеристического уравнения системы на
составляющие ее свободного движения
1. Каждому действительному корню pi = α i в решении (5.4) соответствует слагаемое вида:
y с ,i ( t ) = C i e α it
(5.6)
Если α i < 0 (корень p1 ), то функция (5.6) при t → ∞ стремится к нулю.
Если α i > 0 (корень p 3 ), то функция (5.6) неограниченно возрастает. Если
α i = 0 (корень p 2 ), то эта функция остается постоянной.
2. Каждой паре сопряженных комплексных корней pi ,i +1 = α i ± j β i в
решении (5.4) соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены
в одно слагаемое:
y с , i , i + 1 ( t ) = Ai
e α i t s in ( β i t + ϕ i ) .
136
(5.7)
Функция (5.7) представляет собой синусоиду с частотой β i и амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действительная
часть двух комплексных корней α i (см. рис. 5.1, корни p 4 и p5 ), то колебательная составляющая (5.7) будет затухать. Если α i > 0 (корни p8 и p9 ), то
амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если α i = 0
(корни p 6 и p 7 ) т. е. если оба сопряженных корня - мнимые, то y с,i ( t )
представляет собой незатухающую синусоиду с частотой β i . Если среди
корней характеристического уравнения (5.5) имеются r равных между собой
pt
корней pi , то в решении (5.4) вместо r слагаемых вида C i e i появится
одна составляющая:
(C 0 + C1t + C 2 t 2 +
K + C r −1t r −1
)e p t .
i
(5.8)
Учитывая, что функция вида e−bt при любом b убывает быстрее, чем
возрастают слагаемые вида t r , можно доказать, что и в случае кратности
корней решение (5.4) будет стремиться к нулю лишь при отрицательности
действительной части кратных корней.
На основании проведенного анализа можно сформулировать общее условие устойчивости: для устойчивости линейной автоматической системы
управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех
корней характеристического уравнения системы были отрицательными.
При этом действительные корни рассматриваются как частный случай
комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулю. Если хотя бы
один корень имеет положительную действительную часть, то система будет
неустойчивой.
Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на
систему. Устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне
зависимости от внешних условий.
137
Используя геометрическое представление корней (5.5) на комплексной
плоскости (см. рис. 5.1) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной): для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни
характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.
Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой.
Мнимая ось j β является границей устойчивости в плоскости корней.
Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней
pi ,i +1 = ± j β i , а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в
системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой ω = β i . В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости.
Точка β = 0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому
корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на
апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.
Применяя сформулированное выше условие для оценки устойчивости
реальных систем, не следует забывать, что линейные уравнения типа (5.1),
как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных
нелинейных уравнений. Возникает вопрос: в какой мере оценка устойчивости
по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы,
не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при
линеаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один
нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости
реальной системы по линеаризованному уравнению нельзя. Отброшенные
138
при линеаризации малые члены могут сделать систему устойчивой или неустойчивой, и поэтому устойчивость реальной системы необходимо оценивать
по исходному нелинейному уравнению.
Таким образом, для суждения об устойчивости линейной системы достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.
В теории автоматического управления разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая характеристическое
уравнение и не находя числовые значения самих корней. Эти правила называются критериями устойчивости. Простейшим критерием устойчивости
является условие положительности коэффициентов характеристического
уравнения. Положительность коэффициентов уравнения (5.5) является необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы. Это означает, что если все коэффициенты положительны, то система может быть устойчивой или неустойчивой. Но если хотя бы один коэффициент сравнения отрицателен или равен нулю, то система неустойчива. Критерии устойчивости
могут быть алгебраическими и частотными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней в
форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения. Частотные критерии определяют
связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик
системы.
При анализе устойчивости систем управления обычно решают одну
или несколько задач: 1) оценивают, устойчива или нет система при заданных
параметрах; 2) определяют допустимый по условию устойчивости диапазон
изменения некоторых незаданных параметров системы; 3) выясняют, может
ли система при заданной структуре быть в принципе устойчивой.
5.2. Алгебраические критерии устойчивости
139
Наиболее распространенным в инженерной практике является критерий Гурвица. Этот был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу - задачу исследования устойчивости решений линейного
дифференциального уравнения. Применительно к задачам теории управления
критерий Гурвица можно сформулировать так: система, описываемая характеристическим уравнением
a0 p n + a1 p n−1 + K + an = 0 .
устойчива, если при
(5.9)
a0 > 0 положительны все определители Гурвица
Δ1, Δ 2 ,K, Δ n .
Эти определители составляются по следующим правилам:
1) по главной диагонали выписывают все коэффициенты от a1 до a n в
порядке возрастания индекса;
2) дополняют
столбцы
определителя
вверх
от
диагона-
ли коэффициентами с последовательно возрастающими, а вниз – с последовательно убывающими индексами;
3) на место коэффициентов, индексы которых больше n и меньше 0,
ставят нули.
В соответствии с этими правилами, определитель Гурвица
n -го по-
рядка для уравнения (5.9) имеет вид:
a1
a0
Δn = 0
M
a3
a2
a1
M
a5
a4
a3
M
0
0
0
K
K
K
M
K
0
0
0
M
(5.10)
an
Определители Гурвица более низкого порядка являются диагональными минорами Δ n . Например, при n = 3
140
a1
a3
0
Δ 3 = a0
0
a2
a1
0
;
a3
Δ2 =
a1
a0
a3
a2
;
Δ1 = a1 .
Поскольку в последнем столбце определителя Δ n стоят нули, за исключением an , то Δ n = an Δ n −1 .
Пример 5.1.
САУ описывается уравнением второго порядка, характеристическое
2
уравнение которого имеет вид: a0 p + a1 p + a2 = 0 . Определить условие ус-
тойчивости САУ по Гурвицу.
Решение.
Составим в соответствии с (5.10) главный определитель Гурвица:
Δ2 =
a1
0
a0
a2 ,
Тогда условия устойчивости системы запишутся в виде:
Δ 2 = a2 Δ1 = a2 a1 > 0 ; Δ1 = a1 > 0 ; a0 > 0 .
Поскольку a1 > 0 , то для выполнения условия Δ 2 > 0 , коэффициент
a2 также должен быть больше нуля. Таким образом, для устойчивости системы второго порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты
характеристического уравнения были положительными.
***
Пример 5.2.
САУ описывается уравнением третьего порядка, характеристическое
3
2
уравнение которого имеет вид: a0 p + a1 p + a2 p + a3 = 0 . Определить условие
устойчивости САУ по Гурвицу.
141
Решение.
Составим главный определитель Гурвица:
a1 a3
0
Δ3 = a0 a2
0
0 = a3Δ 2
a1 a3
.
Тогда для устойчивой системы имеем:
Δ 3 = a3Δ 2 > 0 ; Δ 2 = a1a2 − a0 a3 > 0 ; Δ1 = a1 > 0 ; a0 > 0 .
Анализ приведенных неравенств показывает, что для выполнения условия положительности всех определителей Гурвица, все коэффициенты уравнения должны быть также положительны, но, кроме того, должно выполняться неравенство: a1a2 > a0 a3 .
***
Таким образом, условие положительности коэффициентов является необходимым, но не достаточным условием устойчивости рассматриваемой
системы. Это утверждение остается справедливым для всех систем при порядке дифференциального уравнения выше третьего ( n > 3 ).
Пример 5.3.
Структурная схема САУ имеет вид, представленной на рис. 5.2.
Рис. 5.2
Здесь передаточные функции элементов:
kр
k
Wо ( s ) = 2 2 o
; Wр ( s ) = ; To = 0,1 c; ξ = 0, 45; kо = 0, 26
s
To s + 2Toξ s + 1
Определить диапазон значений коэффициента передачи управляющего
устройства k удовлетворяющих требованиям устойчивости системы.
р
142
Решение.
Определим передаточную функцию замкнутой системы по каналу
Yз → Δ :
(
)
To2 s 2 + 2Toξ s + 1 s
To2 s3 + 2Toξ s 2 + s
1
WYз Δ ( s ) =
=
= 2 3
1 + Wр ( s )Wо ( s ) T 2 s 2 + 2T ξ s + 1 s + k k
To s + 2Toξ s 2 + s + kр ko
o
o
р o
(
)
Тогда характеристическое уравнение системы принимает вид:
a0 p 3 + a1 p 2 + a2 p + a3 = 0 ,
2
где: a0 = Tо = 0,01 ; a1 = 2ξ Tо = 0, 09 ; a2 = 1 ; a3 = 0, 26kр .
Согласно критерию Гурвица для устойчивой системы третьего порядка
должно выполняться неравенство a1a2 > a0 a3 (см. пример 5.2).
Имеем:
a1a2 = 0, 09 ⋅1 > 0, 01 ⋅ 0, 26kр = a0 a3 .
Откуда:
0 < kр < 34, 62 .
***
5.3. Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости
САУ по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и имеют широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высоких порядков, а также
имеют простую геометрическую интерпретацию. К этой группе относятся
критерии Михайлова и Найквиста.
Перейдем к их рассмотрению.
5.3.1.Критерий Михайлова
143
Этот критерий был сформулирован в 1938 г. русским ученым Михайловым А.В. Он позволяет судить об устойчивости САУ произвольной структуры на основании рассмотрения некоторой геометрической фигуры – годографа Михайлова. В основу критерия Михайлова положен принцип аргумента - произведение комплексных чисел имеет аргумент, равный сумме аргументов всех его сомножителей.
Приведем доказательство этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:
A( p ) = a0 p n + a1 p n −1 + K + an = 0 ,
(5.11)
В соответствии с теоремой Безу характеристический полином
A( p )
можно представить в виде:
A( p) = a0 ( p − p1 ) ⋅ ( p − p2 )K ( p − pn ) ,
(5.12)
где pi = αi + j βi - корни уравнения A( p ) = 0 .
На комплексной плоскости каждый корень изображается вектором pi ,
проведенным из начала координат к точке pi (см. рис. 5.3), модуль которого
2
2
равняется pi = α i + βi а аргумент - Arg p i = arctg( β i α i ) .
Рис. 5.3
144
Тогда каждая скобка ( p − pi ) в (5.12) геометрически может быть изображена вектором, проведенным из точки с координатами [α i ; βi ] к произвольной точке с координатами [Re( p ); Im( p )] (см. рис.5.3).
Если положить p = jω , то получим:
A( jω ) = a0 ( jω − p1 ) ⋅ ( jω − p2 )K ( jω − pn ) =
= a 0 ( jω ) n + a1 ( jω ) n −1 + K + a n = A0 (ω ) + jA1 (ω ) ,
(5.13)
где
A0 (ω ) = Re A ( jω ) = an − an − 2ω 2 + an − 4ω 4 − K ;
A1 (ω ) = Im A( jω ) = an−1ω − an−3ω 3 + an−5ω 5 − K .
Вершины векторов ( jω - pi ) при любом конкретном значении ω сходятся в точке [0; jω ] .
Аргумент результирующего вектора A ( jω ) , исходя из (5.13), равняется сумме аргументов векторов ( jω - pi ) , т.е.:
Arg A ( jω ) = Arg ( jω - p1 ) + Arg ( jω - p 2 ) + K + Arg ( jω - p n ) .
При изменении частоты ω вектор A ( jω ) , изменяясь по величине и
направлению, будет описывать своим концом на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой или годографом Михайлова.
Условимся вращение против часовой стрелки считать положительным.
Тогда при изменении ω от − ∞ до + ∞ каждый элементарный вектор в (5.13)
повернется на угол π , если его начало (корень pi ) расположено слева от
мнимой оси, и на угол − π , если корень расположен справа.
Предположим, что A( p ) имеет m правых корней и (n − m) - левых.
Тогда, при изменении ω от − ∞ до + ∞ приращение аргумента вектора
A ( jω ) будет:
ω =+∞
ΔArg A ( jω⏐
)
ω =−∞
= π ( n − m) − π m = π ( n − 2m) .
(5.14)
Отсюда число правых корней полинома A( p ) может быть определено
145
в виде:
ω =+∞
m=
π n − ΔArg A( jω⏐
)
ω =−∞
2
.
(5.15)
Из (5.15) видно, что число правых корней системы m равно нулю
только в случае, если:
ω =+∞
ΔArg A ( jω⏐
)
ω =−∞
= π n.
(5.16)
Из уравнения (5.13) видно, что Im A ( jω ) является нечетной функцией
частоты, а Re A( jω ) - четной. Следовательно, годограф вектора A ( jω )
состоит из двух ветвей, симметричных относительно действительной оси.
Это свойство годографа позволяет ограничиться изменением частоты только
в пределах от 0 до + ∞ .
Тогда условие (5.16) можно записать в виде:
ω =+∞
ΔArg A( jω⏐
)
ω =0
=
πт.
(5.17)
2
Условие (5.17) является необходимым, но не достаточным условием
устойчивости. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы
среди корней характеристического уравнения не было корней, лежащих на
мнимой оси и обращающих в нуль комплексный полином A ( jω ) , т.е. должно выполняться еще одно условие:
A ( jω ) ≠ 0 .
(5.18)
Для устойчивых систем кривая Михайлова начинается при ω = 0 на
вещественной положительной полуоси, поскольку при a 0 > 0 все коэффициенты характеристического уравнения положительны и A(0) = a n > 0 . Кроме
того, для устойчивых систем Arg A( jω ) с ростом частоты ω должен возрастать монотонно, т.е. вектор A ( jω ) должен поворачиваться только против
часовой стрелки. Это объясняется тем, что с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые (положительные) знаки, аргументы элементарных векторов ( jω - pi ) , являющиеся слагаемыми Arg A( jω ) .
146
Учитывая сказанное выше, критерий устойчивости Михайлова можно
сформулировать так: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты ω от 0
до ∞ , начинался при ω = 0 на вещественной положительной полуоси и обходил против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной
плоскости, где n - порядок характеристического уравнения, не обращаясь
при этом в нуль.
Годографы кривой Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ для устойчивых систем при различных значениях n приведены на рис. 5.4.
Рис. 5.4
Расположение годографов на комплексной плоскости для различных
неустойчивых систем иллюстрируется рис.5.5.
Рис. 5.5
147
5.3.2. Критерий Найквиста
Этот критерий сформулирован в 1932 г. американским физиком Найквистом. В отличие от ранее рассмотренных критериев, которые основаны на
использовании характеристического уравнения системы, критерий Найквиста
позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутого контура.
Рассмотрим замкнутую САУ с отрицательной обратной связью, представленную на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Здесь: Bп ( jω ) , Aп ( jω ) - полиномы числителя и знаменателя частотной передаточной функции прямой цепи; Bос ( jω ) , Aос ( jω ) - то же, для цепи
обратной связи.
Определим частотную передаточную функцию разомкнутого контура
Wрк ( jω ) :
Wрк ( jω ) =
Bп ( jω ) Bос ( jω ) B ( jω )
=
Aп ( jω ) Aос ( jω ) A( jω )
Определим также частотную передаточную функцию замкнутой САУ:
Bп ( jω )
B ( jω ) Aос (jω ) C ( jω )
A ( jω )
Bп ( jω ) A( jω )
Wз ( jω ) = п
=
= п
=
B ( jω ) Aп ( jω )( A( jω ) + B ( jω )) A( jω ) + B( jω ) D( jω )
1+
A( jω )
Рассмотрим вспомогательную функцию:
Ψ ( jω ) = 1 + Wрк ( jω ) = 1 +
B ( jω ) A( jω ) + B ( jω ) D ( jω )
=
=
A( jω )
A( jω )
A( jω )
148
Из сравнения последнего соотношения с предыдущими двумя следует,
что
D ( jω ) - это уравнение кривой Михайлова для замкнутой системы, а
A( jω ) - то же, для разомкнутой системы.
Так как в реальных системах степень n полинома B ( jω ) не превышает степени полинома A( jω ) , то степени полиномов
D ( jω ) и A( jω ) оди-
наковы и равны n .
Выясним, как изменяется угол поворота вектора Ψ ( jω ) при изменении
ω от 0 до ∞ .
Согласно правилу деления комплексных чисел этот угол определяется
выражением:
ω =+∞
ΔArg Ψ ( jω ⏐
)
ω =0
ω =+∞
= ΔArg D ( jω ⏐
)
ω =0
ω =+∞ .
− ΔArg A( jω ⏐
)
(5.19)
ω =0
Условие устойчивости замкнутой системы согласно критерию Михайлова, выражается соотношением:
ω =+∞
ΔArg D ( jω⏐
)
ω =0
=
πn .
(5.20)
2
В разомкнутом состоянии система может быть и неустойчивой. Поэтому примем, что характеристическое уравнение разомкнутой системы
A( p ) = 0 имеет m правых корней.
Тогда:
ω =+∞
)
ΔArg A( jω⏐
ω =0
=
π ( n − 2m) .
(5.21)
2
Подставим (5.20) и (5.21) в (5.19):
ω =+∞
)
ΔArg Ψ ( jω⏐
ω =0
=
π n π ( n − 2m)
2
−
2
= mπ
(5.22)
Выражение (5.22) обозначает отсутствие правых корней характеристического уравнения замкнутой системы и поэтому является необходимым и
достаточным условием устойчивости замкнутой системы.
Годограф вектора Ψ ( jω ) представлен на рис.5.7, а.
149
а)
б)
Рис. 5.7
Если сместить ось ординат вправо на +1, то начало координат в новой
системе совпадет с началом вектора Wрк ( jω ) , а начало в старой системе
совпадет с точкой [ −1 ; j 0 ] (рис.5.7, б).
Тогда критерий Найквиста можно сформулировать в виде: замкнутая
система будет устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы, имеющей m
правых корней, при увеличении ω от 0 до ∞ охватит точку [ −1 ; j 0 ] m / 2
раз в положительном направлении.
В случае, если m = 0 , т.е. разомкнутая система устойчива, критерий
Найквиста формулируется в более простом виде: если разомкнутая система
устойчива, то для обеспечения ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку [ −1 ; j 0 ].
Критерию Найквиста при m = 0 можно дать наглядную физическую
интерпретацию. Предположим, что на входе системы действует гармонический сигнал y з ( t ) = y з,max sin ω t , частота которого ω равна частоте ω π ,
при которой фазовый сдвиг, создаваемый Wрк ( jω ) , равен − π .
В этом случае сигнал обратной отрицательной связи оказывается в фазе с сигналом y з ( t ) и мгновенные значения этих сигналов суммируются.
150
Если на частоте
ω = ωπ модуль Wрк ( jωπ ) = 1, то в контуре системы
будут поддерживаться незатухающие колебания даже после исчезновения
внешнего воздействия y з ( t ) , т.е. система будет находиться на границе устойчивости. Характеристика Wрк ( jω ) при этом проходит через точку
[ −1 ; j 0 ].
Если на частоте
ω = ωπ модуль Wрк ( jωπ ) < 1, то после исчезнове-
ния внешнего воздействия колебания в контуре затухнут, т.е. система будет
устойчивой и характеристика Wр ( jω ) не охватывает точку [ −1 ; j 0 ].
Если же при
ω = ωπ модуль Wрк ( jωπ ) > 1, то амплитуда сигналов в
контуре будет неограниченно возрастать, т.е. система будет неустойчивой.
Характеристика Wрк ( jω ) в этом случае охватывает точку [ −1 ; j 0 ].
Таким образом, особая роль точки [ −1 ; j 0 ] заключается в том, что она
соответствует превращению отрицательной обратной связи в положительную, и во-вторых, является граничной между режимами усиления и ослабления сигналов системой c Wрк ( jω ) .
Пример 5.4.
Используем критерий Найквиста для определения устойчивости САУ
различной конфигурации.
Решение.
1. Пусть разомкнутая система состоит из двух апериодических звеньев
первого порядка. Тогда частотную передаточную функцию системы можно
представить в виде:
Wр1 ( jω ) =
k
.
(T1 jω + 1)(T2 jω + 1)
151
Если T1 = 0 , то АФЧХ имеет вид, показанный на рис.5.8, а, если же
T1 ≠ 0 , то АФЧХ имеет вид, показанный на рис.5.8, б.
Рис. 5.8
Поскольку АФЧХ разомкнутой системы с частотной функцией
Wр1( jω ) при любых T1 и T2 не пересекает отрицательную полуось абсцисс,
то эта система всегда устойчива.
2. Пусть частотная передаточная функция разомкнутой системы определяется выражением вида:
Wр2 ( jω) =
k
(T1 jω +1)(T2 jω +1)(T3 jω +1)
Годограф вектора Wр2 ( jω) представлен на рис. 5.8, в, и при определенных значениях параметров может охватить точку [ −1 ; j 0 ]. При этом система
потеряет устойчивость.
3. Если последовательно с инерционными звеньями включить интегрирующее звено с частотной характеристикой Wи ( jω) = kи (jω) , то умножение вектора АФЧХ, представленного, например, частотной функцией
152
Wр2 ( jω) , на вектор Wи ( jω) = − j (kи ω) с аргументом, равным − π / 2 , означает
поворот всех векторов Wр2 ( jω) на угол – π /2 с одновременным делением на
ω (рис. 5.8, г). Таким образом, АФЧХ приближается к точке [ −1 ; j 0 ] и, следовательно, включение интегрирующего звена в разомкнутую цепь системы
уменьшает степень ее устойчивости и увеличивает склонность системы к колебаниям.
***
5.3.3.Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой системы не только по АФЧХ, но и по ЛФЧХ разомкнутой системы. Эту возможность используют весьма широко из-за простоты построения таких характеристик.
Условие нахождения замкнутой системы на границе устойчивости в
соответствии с критерием Найквиста выражается соотношениями:
⎧ W ( jω ) = 1;
π
⎪ рк
⎨
⎪⎩ ϕ (ω ) = Arg Wрк ( jω ) = −π
(5.23)
Откуда следует следующая разновидность формулировки этого критерия: если разомкнутая система устойчива, то для обеспечения ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при достижении ФЧХ разомкнутой системы значения − π , ЛАЧХ этой же системы была отрицательной.
Пример. 5.5.
Частотные логарифмические характеристики трех различных систем в
разомкнутом состоянии представлены на рис.5.9. Определить устойчивость
153
этих систем в замкнутом состоянии.
Рис.5.9
Решение.
Исходя из знака ЛАЧХ при ω = ωπ следует, что система 1 является устойчивой, 2 – находится на границе устойчивости, а 3 – неустойчива.
***
Если ЛФЧХ имеет несколько точек пересечения с уровнем − π до частоты ωс , то для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы число
этих пересечений было четным (см. рис.5.10).
Рис.5.10
154
5.4. Сравнительная оценка критериев устойчивости
С точки зрения практического использования рассмотренные критерии не
являются равноценными. Критерии Найквиста и Михайлова применяются,
главным образом, в тех случаях, когда уравнения составляющих звеньев известны не все, но можно получить их экспериментальные частотные характеристики. Этими критериями можно пользоваться также и при теоретических
расчетах. Вычисление АФЧХ для критерия Найквиста сложнее, чем вычисление кривой Михайлова, Кроме того, расположение АФЧХ еще не дает
прямого ответа на вопрос, устойчива или неустойчива система, а требует дополнительных исследований, в частности, выяснения факта устойчивости в
разомкнутом состоянии.
Критерий Михайлова является весьма эффективным и применяется для
систем любого порядка.
Применяя частотные критерии, характеристические кривые можно
строить постепенно с учетом влияния каждого звена, что придает этим критериям наглядность и позволяет успешно решать задачу выбора параметров
системы из условий устойчивости.
Критерий Гурвица позволяет получить только качественные суждения
о характере протекания процесса управления, т.е. установить, устойчив он
или неустойчив. На вопрос, как быстро процесс затухает, он ответа не дает.
Кроме того, критерий Гурвица можно применять только в тех случаях,
когда задано уравнение системы в целом, причем порядок этого уравнения
невелик. При n > 5 анализ влияния коэффициентов на определитель Гурвица
резко усложняется.
Оценка влияния на устойчивость параметров того или иного звена в
этом случае требует дополнительных исследований.
5.6. Запасы устойчивости
155
Определение факта устойчивости по уравнениям первого приближения
не дает полной уверенности в том, что практически созданная система будет
устойчива при всех возможных значениях параметров. Поэтому в ТАУ поступают так же, как в любой другой инженерной дисциплине - выполняют
расчеты по приближенным уравнениям с учетом поправочных коэффициентов (запасов устойчивости).
Необходимость введения запасов устойчивости объясняется следующими обстоятельствами:
1) при составлении исходных уравнений учитываются лишь основные
законы механики, электротехники, теплотехники и отбрасываются второстепенные факторы;
2) исходные уравнения линеаризуются;
3) конструктивные параметры, через которые выражаются постоянные
времени и коэффициенты передачи звеньев, обычно определяются с погрешностями как в теории, так и при эксперименте;
4) расчет ведется при типовых условиях.
В действительности нужно учесть статистический характер изменения
внешних условий и разброс параметров у различных образцов системы.
Запас устойчивости может быть выражен различными способами в зависимости от того, какой критерий принят в основу расчета.
При использовании критерия Найквиста запас устойчивости можно
оценить по степени удаления АФЧХ разомкнутой системы Wрк ( jω ) от точки [ −1 ; j 0 ]. Это удаление характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по модулю и запасом устойчивости по фазе.
Запасом устойчивости по модулю при АФЧХ называют минимальный
отрезок действительной оси h , характеризующий расстояние между критической точкой и ближайшей точкой пересечения
действительной осью (рис. 5.11,а).
156
годографа Wрк ( jω ) с
В случае клювообразной АФЧХ этих запас устойчивости по модулю
определяется величинами двух отрезков действительной оси - h 1 и h 2 , заключенных между критической точкой [ −1 ; j 0 ] и АФЧХ (рис. 5.11,б).
Запасом устойчивости по фазе называют минимальный угол γ , образуемый радиусом, проходящим через точку
пересечения
годографа
Wрк ( jω ) с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат
и отрицательной частью действительной оси.
Рис. 5.11
Чтобы система обладала требуемым запасом устойчивости при заданных величинах h и γ , около критической точки [ −1 ; j 0 ] вычерчивается не157
которая запретная область в виде сектора, ограниченного величинами ± h и
±γ , в которую АФЧХ не должна заходить (рис. 3.20).
Рис. 5.12.
В случае применения для анализа устойчивости логарифмических частотных характеристик запасу устойчивости системы по модулю соответствуют отрезки li = 20lg hi (см. рис. 5.13) при том значении частоты, при котором фазовая характеристика ϕ (ω ) = −π .
Рис. 5.13. Запасы устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
158
Запасу устойчивости системы по фазе соответствует значение угла,
представляющее превышение фазовой характеристики над уровнем −π при
частоте среза ωс .
Пример 5.6.
Проверить устойчивость САУ с помощью критерия Найквиста при следующих
параметрах
объекта
управления
и И-регулятора:
kо = 0, 26 ,
Tо = 0,1 c ,ξ = 0, 45 , kи = 20 .
Решение.
Запишем частотную функцию разомкнутого контура системы Wр ( jω )
в алгебраическом виде:
k
k
Wр ( jω ) = Wо ( s) ⋅Wи ( s) = 2 2 o
⋅ и
To s + 2Toξ s + 1 s
=
−0,47
2
2 2
0.0081ω + (1 − 0,01ω )
−j
s = jω
ko kр
= 2
=
To ( jω )3 + 2Toξ ( jω )2 + jω
5,2(1 − 0,01ω 2 )
3
2 2
0.0081ω + ω (1 − 0,01ω )
= P(ω ) + jQ(ω )
Полученная зависимость позволяет построить годограф Wр ( jω )
(рис.5.13).
Рис. 5.13
159
W=tf(20*0.26, [0.01 0.09 1 0])
nyquist(W)
Как видно из рисунка годограф Wр ( jω ) не охватывает точку [ −1 ; j 0 ],
пересекая ось абсцисс в точке [0,58; j 0 ], что свидетельствует о достаточных
запасах устойчивости: γ = 47 0 и h = 4,76 дБ .
***
5.5. Влияние величины передаточного коэффициента разомкнутого
контура САУ на ее устойчивость в замкнутом состоянии.
Ранее указывалось, что передаточную функцию разомкнутого контура
САУ можно представить в виде:
*
Wрк ( s )
B( s)
Wрк ( s ) =
= kрк
A( s )
sr ,
*
где: lim Wрк ( s ) = 1;
s→0
r - количество нулевых корней полинома
A(s ) .
Заменив s на jω , получим частотную передаточную функцию этого
контура:
Wрк ( jω ) = kрк
*
Wрк
( jω )
( jω ) r
Из последнего соотношения следует, что модуль вектора Wрк ( jω ) , а
значит и его длина, пропорциональны величине коэффициента kрк . Значение
kрк = kкр , при котором АФЧХ проходит через критическую точку [ −1 ; j 0 ],
называют предельным или критическим.
В большинстве систем увеличение передаточного коэффициента kрк
выше его критического значения kкр приводит к нарушению устойчивости, а
160
его уменьшение ниже критического значения - к стабилизации системы. В
системах с клювообразными характеристиками при увеличении передаточного коэффициента выше его критического значения система может превратиться из неустойчивой в устойчивую, а при уменьшении - из устойчивой в неустойчивую.
Значение kкр в свою очередь определяется другими параметрами системы. Рассмотрим, например, статическую систему, состоящую из трех апериодических звеньев 1-го порядка с передаточными коэффициентами k1 , k 2 ,
k 3 и постоянными времени T1 , T2 , T3 .
Характеристическое уравнение этой системы в замкнутом состоянии
имеет вид:
(1 + T1 p )(1 + T2 p )(1 + T3 p ) + k1k 2 k 3 = 0 .
После преобразований получим:
a0 p3 + a1 p 2 + a2 p + a3 = 0 ,
где: a 0 = T1T2T3 ; a1 = T1T2 + T1T3 + T2T3 ; a 2 = T1 + T2 + T3 ; a3 = 1 + k1 k 2 k 3 = 1 + k .
Согласно критерию Гурвица система будет находиться на границе устойчивости при Δ 2 = a1 a 2 − a 0 a3 = 0 .
Решив это уравнение относительно k = kкр , окончательно получим:
kкр = 2 +
T1 T1 T2 T2 T3 T3
+ + + + +
T2 T3 T1 T3 T1 T2
Из последнего выражения следует, что величина kкр тем больше, чем
больше разность между двумя наиболее различающимися постоянными времени.
Приведенное правило справедливо для систем любого порядка и может
быть сформулировано в общем случае в виде: предельное значение передаточного коэффициента разомкнутого контура системы зависит от соотношения постоянных времени отдельных звеньев и не зависит от их абсолютных значений.
161
Контрольные вопросы
1. Объясните понятие "устойчивость САУ".
2. Что значит "устойчивость в малом" и "устойчивость в большом"?
3. Почему при исследовании устойчивости САУ достаточно знать
только однородное дифференциональное уравнение?
4. В чем состоят недостатки анализа устойчивости по корням характеристического уравнения?
5. Перечислите критерии устойчивости и укажите их особенности.
6. Что такое годограф Михайлова?
7. Что такое предельный передаточный коэффициент?
8. Как связано расположение корней характеристического уравнения с
устойчивостью системы?
162
Глава 6. Качество САУ
Целью функционирования любой САУ является изменение выходной
величины y (t ) в определенном соответствии с законом изменения задающего воздействия yз (t ) , которое, чаще всего, определяется соотношением
y (t ) = yз (t ) .
Кроме обеспечения требования устойчивости САУ должна обладать
определенным качеством, под которым понимается точность процесса
управления. Количественной оценкой точности служит величина ошибки
δ (t ) , определяемая разностью между заданным и фактическим значениями
управляемой величины:
δ (t ) = yз (t ) − y (t ) .
(6.1)
При этом различают две функции САУ:
- воспроизведение задающего воздействия;
- подавление (компенсация) возмущений.
Из-за инерционностей системы обе перечисленные функции всегда выполняются с некоторой погрешностью, т.е. обычно δ (t ) ≠ 0 . Мгновенные
значения ошибки не могут быть определены априори на стадии проектирования, так как во время работы САУ задающие и возмущающие воздействия
изменяются случайным, неизвестным заранее образом. Поэтому качество работы САУ приходится оценивать с помощью определенных
показателей
(критериев качества), которые характеризуют точность процесса управления
раздельно в установившихся и переходных типовых режимах и имеют количественную меру.
6.1. Точность работы САУ в установившихся режимах
Рассмотрим обобщенную одноконтурную систему
163
Рис. 6.1
Преобразуем ее к виду с единичной обратной связью
Рис. 6.2
В реальных системах с целью согласования сигналов uз (t ) и uос (t ) передаточные функции WБЗ ( s)
и WБИ ( s ) подбираются одинаковыми, т.е.
WБЗ ( s) = WБИ ( s) . Тогда структурная схема системы принимает вид:
Рис. 6.3
В полученной схеме непосредственно фигурирует ошибка системы
δ (t ) , которая измеряется в тех же единицах, что и величины yз (t ) и y(t ) .
164
Отметим, что в соответствии с последней структурной схемой изображение ошибки Δ(s) связано с изображением сигнала рассогласования ΔU (s)
простым соотношением вида:
ΔU ( s) = Δ( s) ⋅ WБИ ( s) .
Величина δ (t ) , исходя из принципа суперпозиции, может рассматриваться в виде суммы двух составляющих, обусловленных действием задающего и возмущающего воздействий, т.е.:
δ (t ) = δ y (t ) + δ f (t ) .
з
Определим соответствующие передаточные функции:
Wδ , y з ( s ) =
Wδ , f ( s) =
Δ Yз ( s )
Yз ( s )
=
1
1
;
=
1 + WБИ ( s ) ⋅ WБУ ( s ) ⋅ WОУ ( s ) 1 + Wрк ( s )
WF ( s) ⋅ WОУ ( s)
W ( s) ⋅ WОУ ( s) ,
Δ F (s)
=
= F
F ( s) 1 + WБИ ( s) ⋅ WБУ ( s) ⋅ WОУ ( s)
1 + Wрк ( s)
где Wрк ( s ) = WБИ ( s ) ⋅ WБУ ( s ) ⋅ WОУ ( s ) - передаточная функция разомкнутого
контура.
Тогда можем записать:
Δ ( s ) = Yз ( s ) ⋅
W ( s ) ⋅ WОУ ( s ) .
1
+ F (s) ⋅ F
1 + Wрк ( s )
1 + Wрк ( s )
(6.2)
Таким образом, величина ошибки Δ(s) определяется как свойствами
системы, так и видом входных воздействий. Для оценки установившихся
режимов САУ используются следующие типовые законы изменения входных
воздействий:
- неизменность задающего
и возмущающего воздействий, т.е.
yз (t ) = const и f (t ) = const ;
- движение системы с постоянной скоростью,
f (t ) = const ;
165
т.е. yз (t ) = a ⋅ t и
2
t
- движение системы с постоянным ускорением, т.е. y (t ) = b ⋅
и
з
2
f (t ) = const ;
-
движение
системы
по
гармоническому
закону,
т.е.
yз (t ) = y0 ⋅ sin(ω ⋅ t ) и f (t ) = const .
Для первого случая, воспользовавшись теоремой о конечном значении
оригинала
операционного
исчисления
при
yз (t ) = y0 = const
и
f (t ) = f0 = const из (6.2) получим:
lim (WF ( s ) ⋅ WОУ ( s ) )
. (6.3)
1
s
lim δ (t ) = lim ( s ⋅ Δ ( s )) = y0 ⋅
+ f 0 ⋅ →0
1 + lim Wрк ( s )
1 + lim Wрк ( s )
t →∞
s →0
s →0
s →0
В передаточную функцию разомкнутого контура Wрк ( s ) могут входить как статические звенья, имеющие передаточные функции вида
*
Wi ( s) = ki ⋅ Wi* ( s) , где lim Wi ( s) = 1 , так и астатические звенья с передаs →0
точными функциями вида Wi ( s ) =
ki ⋅ Wi* ( s )
sr
. Тогда, составляющая устано-
вившейся ошибки, вызванная действием задающего воздействия в (6.3) будет существовать только в случае наличия в Wрк ( s ) исключительно статических звеньев.
Составляющая же, вызванная действием возмущения, существует как в
случае статических, так и в случае астатических звеньев. Правда при этом все
астатические звенья должны располагаться между точкой приложения возмущения f
и управляемой величиной y (в нашем случае этот участок со-
ответствует WОУ ( s) ).
Тогда (6.3) при наличии обеих составляющих принимает вид:
k f ЧkОУ
1
d (Ґ ) = y0 Ч
+ f0 Ч
1 + k рк
1 + k рк .
166
(6.4)
Поскольку величина δ (∞) при постоянных значениях входных воздействий также является величиной постоянной, ее принято называть статической ошибкой.
Из (6.4) следует, что обе составляющие статической ошибки тем больше, чем больше внешние воздействия, и тем меньше, чем больше знаменатель (1 + kрк ) .
САУ, у которых при постоянных входных воздействиях обе составляющие ошибки, либо только составляющая δ f , не равны нулю, называют
статическими или статическими по возмущающему воздействию. Если же
обе составляющие, либо составляющая δ y , равны нулю, то систему называют астатической, либо астатической по задающему воздействию. В таких системах передаточная функция разомкнутого контура всегда имеет
вид:
Wрк ( s) = kрк
*
где lim Wрк ( s ) = 1;
s→0
r
*
Wрк
( s)
s
r
,
- называется порядком астатизма системы.
Заметим, что система статическая по заданию и астатическая по возмущению невозможна.
Анализ (6.4) показывает, что точность статической системы тем лучше,
чем больше коэффициент передачи разомкнутого контура kрк .
Графически зависимость (6.4) можно изобразить статической характеристикой δ (∞) = f ( f 0 ) при
yз (t ) = y0 = const . Если k f < 0 то она имеет вид,
приведенный на рис 6.4:
167
Рис. 6.4
Точность статических систем в установившемся режиме принято оценивать также величинами статизма и коэффициента статизма.
Статизмом системы называется величина относительной статической
ошибки при изменении возмущения от 0 до номинального значения f0,ном и
y0 = const , определяемая соотношением:
d (y0 , f0,ном )
Ч100 , %.
S=
y0
Коэффициентом статизма называется отношение составляющей статической ошибки δ f ,з , вызванной действием возмущения в замкнутой САУ,
к аналогичной составляющей δ f ,р в разомкнутой САУ при одинаковой величине f = f 0 , т.е.:
s=
d f ,з
d f ,р
Ч100 , %.
(6.5)
Этот коэффициент показывает, во сколько раз отклонение выходной
величины управляемого объекта меньше отклонения этой величины неуправляемого объекта при одном и том же значении возмущающего воздействия.
168
В соответствии со структурной схемой δ f ,р = f0 ⋅ k f ⋅ kОУ , а в соответствии с соотношением (6.4) δ f ,з = f 0 ⋅
k f ⋅ kОУ
.
1 + kрк
Тогда коэффициент статизма:
s=
1
1 + k рк
(6.6)
Точность статической системы считается удовлетворительной, если
коэффициент s = 0,1 ÷ 0,01 . Следовательно, общий передаточный коэффициент разомкнутого контура статической системы должен находиться в диапазоне kрк = 10 ÷ 100 .
Пример 6.1.
Определить ошибку системы, структура которой приведена на рис. 6.2,
при:
yз (t ) = y0 = const ;
W 2 (s) =
k2
.
s (T 2 s + 1 )
f (t ) = f0 = const ;
W1 (s) =
k1
;
T1 s + 1
Рис. 6.5
Решение.
Имеем:
Wδ , yз ( s ) =
Δ yз ( s )
Yз ( s )
1
=
1+
k1
k1
⋅
(T1s + 1) s (T2 s + 1)
169
=
s (T1s + 1)(T2 s + 1)
;
s (T1s + 1)(T2 s + 1) + k1k 2
Wδ , f ( s ) =
k 2 (T1 s + 1 )
Δ F (s)
W2 (s)
.
=
=
F (s)
1 + W1 ( s ) ⋅ W 2 ( s ) s (T1 s + 1 )(T2 s + 1 ) + k1 k 2
Тогда окончательно получим:
δ (∞ ) = y0 ⋅ lim Wδ , y ( s ) + f 0 ⋅ lim Wδ , f ( s ) = y0 ⋅ 0 + f 0 ⋅
s →0
s →0
з
1
1
= f0 ⋅
k1
k1
Следовательно, система является астатической по задающему воздействию и статической по возмущающему.
***
Пример 6.2.
Определить ошибку системы для условий предыдущего примера, но
при W 1 ( s ) =
k2
k1
и W2 (s) =
.
s (T 2 s + 1)
T1 s + 1
Решение.
Имеем:
Wδ , y з ( s ) =
Δ yз ( s )
Yз ( s )
Wδ , f ( s ) =
1
=
1+
k1
k1
⋅
(T1 s + 1 ) s (T2 s + 1 )
=
;
s (T1 s + 1 )(T2 s + 1 )
;
s (T1 s + 1 )(T2 s + 1 ) + k1 k 2
k 2 s (T1 s + 1 )
Δ F (s)
W2 ( s )
.
=
=
F (s)
1 + W1 ( s ) ⋅ W 2 ( s ) s (T1 s + 1 )(T2 s + 1 ) + k1 k 2
Тогда:
δ ( ∞ ) = y 0 ⋅ lim Wδ , y ( s ) + f 0 ⋅ lim Wδ , f ( s ) = y 0 ⋅ 0 + f 0 ⋅ 0 = 0 ,
s→ 0
з
s→ 0
т.е. система является астатической по обоим входным воздействиям.
***
6.1.1. Метод коэффициентов ошибок
Анализ точности работы САУ в более сложных установившихся режимах удобно производить на основе т.н. метода коэффициентов ошибок.
Этот метод основывается на приближенной замене передаточной функции по
170
ошибке, вызванной входным воздействием u (t ) в окрестностях точки s = 0 ,
что в области оригиналов соответствует t = ∞ , рядом Маклорена (частного
случая ряда Тейлора при s0 = 0 ), т.е.:
Wδ ,u (s) ≈ Wδ ,u (s)
s=0
+
dWδ ,u (s)
ds
2
1 d Wδ ,u (s)
s+
2! ds2
s=0
3
1 d Wδ ,u (s)
s +
3! ds3
2
s=0
s3
s=0
Обозначим:
Wδ ,u ( s )
s =0
d W δ ,u ( s )
= C0,u ;
3
1 d Wδ ,u ( s )
3! ds 3
= C3,u
ds
= C 1, u
;
s=0
2
1 d Wδ ,u ( s )
2! ds 2
= C2,u
;
s =0
.
s =0
Тогда изображение составляющей ошибки Δu ( s) можно представить в
виде:
1
1
⎛
⎞
Δu ( s ) = U ( s ) ⋅ Wδ ,u ( s ) = U ( s ) ⎜ C0,u + C1,u s + C2,u + C3,u + ... ⎟
2!
3!
⎝
⎠
,
или, перейдя к оригиналам, в виде:
δ u (∞) = C0,u u(t ) + C1,u
du (t ) 1
d 2u (t ) 1
d 3u (t )
+ C2,u
+ C3,u
+ ... (6.7)
2
3
dt
2!
3!
dt
dt
Подчеркнем, что последнее соотношение
справедливо только при
t →∞.
Коэффициент C 0 ,u называют коэффициентом статической ошибки;
C 1,u - коэффициентом скоростной ошибки; C 2 ,u - коэффициентом ошибки
от ускорения; C 3 ,u - коэффициентом ошибки по первой производной от ускорения и т.д.
Конкретные значения коэффициентов ошибок определяются видом
соответствующих передаточных функций.
Пример 6.3.
171
Определить ошибку системы программного управления, структурная
схема которой приведена на рис. 6.6:
Рис. 6.6
k
2
f (t ) = f0 = const ; W 1 ( s ) = k 1 ; W 2 ( s ) = Ts + 1 ;
Здесь: yз (t ) = at ;
W3 ( s ) = k f .
Решение.
В соответствии со схемой имеем:
Wδ
, yз
Δ
(s) =
yз
(s)
Yз ( s )
Wδ , f (s) =
Δ
f
(s)
F (s)
1
=
1 + k1 ⋅
k2
Ts + 1
=
Ts + 1
;
T s + 1 + k1k 2
k f k2
=
k f k2
Ts + 1
=
k2
T s + 1 + k1 k 2
1 + k1 ⋅
Ts + 1
2
3
Учитывая вид yз (t ) , имеем: dyз (t ) = a ; d yз (t ) = d yз (t ) = ... = 0 .
dt
dt 2
dt 3
Тогда коэффициенты ошибок будут равны∗:
C0, yз = Wδ , yз ( s )
C1, yз =
s =0
dWδ ,u ( s )
ds
=
s =0
=
1
;
1 + k1k 2
T (Ts + 1 + k1k2 ) − T (Ts + 1)
(Ts + 1 + k1k2 )
2
′
⎛ U ⎞ U ′V − V ′U
⎜ ⎟ =
V2
⎝V ⎠
172
=
T (1 + k1k 2 ) − T
(1 + k1k2 )
2
=
Tk1k 2
(1 + k1k2 )
2
;
C0, f = Wδ , f ( s )
s =0
k F k2
1 + k1k 2
=
Воспользовавшись (6.7), окончательно получим:
k f k2
dyз (t)
Tk1k2
1
(
)
+
=
+
+
C
f
t
at
a
f0 = ∞
0, f
2
з
1+ k1k2
1
+
dt
k
k
1 2
(1+ k1k2 )
δ (∞) = C0, y yз (t) + C1, y
з
Следовательно, система не пригодна для программного управления.
***
Пример 6.3.
Определить ошибку системы программного управления для условий
W1 ( s ) =
примера (6.3), но при
k1
.
s
Решение.
Имеем:
Wδ , y з ( s ) =
Wδ , f ( s ) =
Δ yз ( s )
=
Yз ( s )
s (Ts + 1)
Ts 2 + s
=
=
;
s (Ts + 1) + k1k 2 Ts 2 + s + k1k 2
1
1+
k1 k 2
⋅
s Ts + 1
k f k2
Δ f (s)
=
F (s)
k f k2 s
k f k2s
Ts + 1
=
=
k
k2
s (T s + 1 ) + k1 k 2
T s 2 + s + k1 k 2
1+ 1 ⋅
s Ts + 1
Коэффициенты ошибок:
C0, yз = Wδ , y з ( s )
C1, y з =
s =0
= 0;
(Ts
=
dWδ ,u ( s )
ds
C0, f = Wδ , f ( s )
2
) ( 2Ts + 1) − (Ts
(Ts + s + k k )
+ s + k1 k 2
2
s=0
s =0
2
1 2
=0
Тогда:
δ ( ∞ ) = C1, y
з
dy з ( t )
1
a
=
dt
k1k 2
173
2
+s
) ( 2Ts + 1) =
1
;
k1 k 2
Система астатическая и по yз (t ) и по f (t ) , но имеет постоянную установившуюся ошибку по скорости изменения задания (см. рис. 6.7):
а)
б)
Рис. 6.7:
а) характер изменения yз (t ) и y (t ) ;
б) характер изменения ошибки δ ( ∞ )
6.2. Точность работы САУ в переходных режимах.
Точность работы в переходных режимах определяется совокупностью
отдельных мгновенных значений ошибки δ (t ) . С целью стандартизации показателей качества в этом случае принято использовать переходные характеристики по каналу задания h y (t ) и каналу возмущения h f (t ) при подаче на
соответствующие входы типовых сигналов вида 1(t ) , которые в обобщенном
виде характеризуют значения δ (t ) .
Показатели качества, в зависимости от способа их определения, разделяются на прямые и косвенные. В начале рассмотрим прямые показатели,
которые определяются непосредственно по временным характеристикам.
При этом может использоваться как переходная характеристика h(t ) (обычно
по каналу задающего воздействия), так и импульсная переходная характеристика ω (t ) (по каналу возмущения).
174
При самой общей оценке качества, прежде всего, обращают внимание
на форму переходного процесса. Различают следующие типы переходных
процессов (см. рис. 6.8):1
- колебательные (1);
- апериодические (2);
- монотонные (3).
а)
б)
Рис. 6.8:
а) переходные характеристики;
б) импульсные переходные характеристики
Наибольшее количество прямых показателей введено для характеристики качества колебательного процесса по каналу задания. Поэтому определение этих показателей проведем именно для такого процесса (см. рис. 6.9):
1
Стр: 175
Рисунки соответствуют системе третьего порядка с корнями:
1 - p1 = −3,5 , p 2,3 = −1 ± j 4 - (d_ur3p_bezu_k);
2 - p1 = −3,5 ,
3 - p1 = −1 ,
p 2,3 = −1 ± j 0 - (d_ur3p_bezu_a);
p 2,3 = −1 ± j 4 - (d_ur3p_bezu_m)
175
Рис. 6.9
К основным показателям характеристики h(t ) относятся перерегулирование σ и время регулирования tр .
Перерегулирование σ
определяется максимальным
отклонением
управляемой величины от ее установившегося значения h(∞) , выраженном
в % к h(∞) :
σ =
h max − h ( ∞ )
⋅ 100 % .
h (∞ )
(6.8)
Обычно, σ = 10 ÷ 30 %, иногда σ < 10 %, а иногда недопустимо совсем.
Время регулирования tр – время, по истечении которого отклонение
характеристики h(t ) от установившегося значения h(∞) становится и остается меньше зоны нечувствительности системы δ = (0,01 ÷ 0,05)h(∞) . Этот
показатель характеризует скорость протекания переходного процесса. Если
кривая переходного процесса монотонна, то этот показатель является единственным.
176
Кроме основных существует и ряд дополнительных показателей качества. К таким показателям относят:
- время первого согласования переходного процесса tпс – время, по истечении которого управляемая величина первый раз достигает своего установившегося значения (также характеризует скорость протекания процесса в
начальный период);
- частоту колебаний ω = 2π / T , где T - период колебаний;
- число колебаний nк за время регулирования tр (обычно nк = 1 ÷ 2 ,
иногда 3 ÷ 4 , а иногда и вовсе недопустимо);
- степень затухания
ψ =
A1 − A 2
, равная отношению разности
A1
двух смежных амплитуд к первой из них (интенсивность затухания считается
удовлетворительной, если ψ = 0 , 7 5 ÷ 0 , 9 5 ;
- время достижения первого максимума t max .
Система обладает необходимым качеством, если удовлетворяет заданным показателям качества, а переходный процесс не выходит из области допустимых значений(см. рис. 6.10).
Рис. 6.10
В случае оценки качества процессов управления по каналу возмущающего воздействия могут использоваться все перечисленные показатели за ис-
177
ключением перерегулирования. Этот показатель можно заменить непосредственно максимальным значением h f , max :
Косвенные показатели качества определяются без построения переходных процессов и подразделяются на несколько групп:
- корневые показатели;
- частотные показатели;
- интегральные показатели.
Корневые показатели.
Характер переходных процессов САУ по определенному входу полностью определяется соответствующей передаточной функцией W (s ) . Если
числитель этой функции не имеет нулей, т.е. представляет собой постоянную
величину, то в соответствии с формулой разложения Хевисайда особенности
переходной характеристики можно оценить по полюсам W (s ) , т.е. по корням характеристического уравнения системы A(s ) . Для этого на комплексной
плоскости выделяется область, в которой располагаются все корни уравнения
A( s ) = 0 . Обычно эта область имеет форму трапеции (см. рис. 6.11).
Рис. 6.11
При этом на сторонах и основаниях этой трапеции располагается хотя
бы по одному корню.
Основное влияние на длительность переходных процессов оказывают
корни, расположенные ближе других к мнимой оси, т.к. они дают наиболее
178
медленно затухающие составляющие. Действительная часть такого корня называется степенью устойчивости α .
Составляющая, определяемая степенью устойчивости, записывается
для случая вещественного корня pi = −α в виде:
hi = C i e − α t ,
и для случая пары комплексно-сопряженных корней p j , j +1 = −α ± j β в виде:
h j = C j e − α t sin β t .
Тогда, приняв
ε = 0,05 ⋅ h(∞) , можно получить зависимость:
tр ≤
1
α
ln ε ,
(6.9)
где знак равенства относится к случаю вещественного корня.
Основное влияние на колебательные свойства переходных процессов
оказывает пара комплексно сопряженных корней, для которых отношение
β / α = tgϕ = μ является наибольшим. Величину μ называют колебательностью САУ. При увеличении μ возрастает число колебаний nк и возрастает
перерегулирование σ .
По значению колебательности μ
можно определить приближенное
значение перерегулирования переходной характеристики при условии расположения пары комплексно сопряженных корней ближе остальных к мнимой
оси, воспользовавшись соотношением:
σ ≤
e −π / μ .
(6.10)
Последняя оценка является несколько завышенной и реальный процесс
может иметь значительно лучшее качество.
Пример 6.4.
САУ имеет передаточную функцию вида:
179
W (s) =
1
0 , 0 0 0 4 s 4 + 0 , 0 1 2 s 3 + 0 ,1 0 7 s 2 + 0 , 4 6 5 s + 1
Определить приближенные оценки прямых показателей качества.
Решение.
Корни характеристического уравнения САУ имеют вид: p1, 2 = −3 ± j 4 ;
p3 = −8 ; p 4 = −10 .
Следовательно: α = 3 ; μ = 4 / 3 ≈ 1,33 .
Тогда t р ≤
1
α
ln ε =
1
3
−π /1,33
≈ 9, 4% .
ln 0 , 0 5 ≈ = 1 c ; σ ≤ e
3
3
Действительные значения показателей составляет: t р = 1, 2 2 c
и
σ = 6% .
***
В заключение заметим, что можно показать, что в системе любого порядка наиболее быстрый апериодический переходный процесс имеет место,
когда все n корней равны между собой. Максимальное быстродействие системы достигается при небольшой колебательности ( σ ≤ 10% ). Для этого все
комплексные корни (и один действительный при n нечетном) должны располагаться на одинаковом расстоянии
α
от мнимой оси, а мнимые части
должны образовывать арифметическую прогрессию с разностью Δ β = β 1 .
Причем, для каждого порядка уравнения существует оптимальное отношение Δ β / α : для 2-го порядка оно равно 1; для 3-го – 1,45; 4-го – 0,79; 5-го
– 1,5.
Частотные показатели.
Частотные показатели качества, определяемые по частотным характеристикам САУ, получили наибольшее распространение на практике. Это
объясняется тем, что практически любой сигнал, действующий на систему,
может быть представлен в виде суммы гармоник (разложен в ряд Фурье). Поэтому, изучив прохождение гармонических сигналов через САУ в диапазоне
180
частот от 0 до ∞ , можно составить представление о реакции системы на
произвольный входной сигнал.
О качестве САУ можно судить, воспользовавшись действительной частью функции W ( j ω ) . Дело в том, что в случае единичного ступенчатого
воздействия и нулевых начальных условиях между переходной характеристикой и частотной передаточной функцией системы существует однозначная связь при помощи преобразования Фурье:
h (t ) =
2
π
∞
∫ P (ω )
sin ω t
ω
0
dω ,
(6.11)
Таким образом, по свойствам вещественной частотной характеристики
САУ можно судить о переходном процессе. При этом можно обойтись без
построения непосредственно кривой переходного процесса и использовать
частотные характеристики, определенные по данным экспериментов, а не по
соответствующему дифференциальному уравнению.
Используются следующие частотные показатели качества.
1. Показатель колебательности M - отношение максимального значения АЧХ системы к значению этой АЧХ при ω = 0 , т.е.
M =
A max
.
A (0)
(6.12)
Показатель колебательности характеризует склонность системы к колебаниям. Чем выше M , тем сильнее колебательность системы а качество
меньше (а именно, увеличиваются перерегулирование σ и время регулирования tр ). Считается допустимым, если 1,1 ≤ M ≤ 1, 5 .
2. Резонансная частота
ωр - частота, при которой АЧХ системы име-
ет экстремум. Гармонические колебания, имеющие частоту
ω = ωр , прохо-
дят через САУ с наибольшим усилением.
В зависимости от характера АЧХ система может совсем не иметь резонансной частоты, или иметь несколько резонансных частот
181
Резонансная частота, совместно с M , определяет величину времени
регулирования tр .
3. Полоса пропускания ωп - диапазон частот гармонических колебаний, “пропускаемых” системой, т.е. проходящих через систему с практически заметными колебаниями выходной переменной. Гармонические колебания, частоты которых лежат вне полосы пропускания, через систему практически не проходят, т.е. колебания выходной переменной при этих частотах
имеют столь малую амплитуду, что ими можно пренебречь.
Подчеркнем, что понятие полосы пропускания является чисто инженерным понятием и не имеет строгого математического определения. Физически любая система пропускает колебания всех частот.
Обычно полосой пропускания считают диапазон частот, за пределами
которого АЧХ системы меньше 0,05 ÷ 0,1.
Ширина полосы пропускания характеризует быстродействие системы.
4. Частота среза ωc - частота, при которой АЧХ с ростом частоты
уменьшаясь, переходит от значений, больших единицы, к значениям, меньшим единице, и остается в этом диапазоне при дальнейшем увеличении частоты.
Этот показатель характеризует время регулирования tр .
Интегральные показатели.
Каждый из рассмотренных выше прямых и косвенных показателей качества характеризует лишь одно какое-либо свойство системы. При этом
связь этих показателей с параметрами устройства регулирования имеет, как
правило, сложный противоречивый характер: изменение настроек приводит
к улучшению одних показателей и ухудшению других. Поэтому существует
необходимость в выработке некоторых обобщенных показателей качества.
Такими показателями и являются интегральные показатели.
В самом общем виде все интегральные показатели можно представить
интегралом вида:
182
∞
I =
∫
f ( x ) ⋅ dt ,
(6.13)
0
где f ( x ) - некоторая функция переменных системы, характеризующих ее
состояние.
При оценке качества системы по каналу задания простейшим интегральным показателем является линейная интегральная оценка, использующая переходную характеристику h (t ) :
∞
Iл =
∫ [ h ( ∞ ) − h (t ) ] ⋅ dt
,
(6.14)
0
которая равняется площади, заключенной между прямой y = h ( ∞ ) и кривой переходного процесса h (t ) .
Показатель I л учитывает как величину текущих динамических отклонений управляемой координаты, так и длительность их существования. Поэтому можно считать, что чем меньше I л , тем лучше качество процесса
управления.
Обозначим h(∞) = yз − δ (∞) , где
δ (∞) - установившаяся ошибка
системы.
Тогда имеем:
h(∞) − h(t ) = yз − δ (∞) − h(t ) = yз − h(t ) − δ (∞) = δ (t ) − δ (∞) ,
где δ (t ) = yз − h(t ) и оценку (6.14) можно представить в виде (см. рис. 6.12):
∞
Iл =
∫ [δ
( t ) − δ ( ∞ ) ]⋅ d t
0
183
(6.15)
Рис.6.12
При оценке качества системы по каналу возмущения линейная интегральная оценка использует импульсную переходную характеристику w (t ) :
∞
Iл =
∫ [w ( ∞ )
− w ( t ) ]⋅ d t
(6.16)
0
Недостатком линейных интегральных оценок является то, что они годятся только для монотонных процессов. Если же имеют место колебания, то
алгебраическое сложение площадей может привести к ситуации, когда при
больших колебаниях I л = m i n .
В целях устранения этого недостатка на практике чаще всего применяют квадратичный интегральный критерий вида
∞
I кв =
∫δ
2
(t ) d t .
(6.17)
0
Этот критерий не зависит от знака δ (t ) и, следовательно, может быть
применен как для монотонных, так и для колебательных процессов.
Критерии I л и I к в являются функциями параметров системы, изменяя которые можно минимизировать интегральные оценки.
Существуют методы, позволяющие вычислить критерий I к в , не решая
дифференциальное
уравнение
системы.
184
В
частности,
учитывая,
что
∞
2
δ ( jω) = δ ( jω)δ (− jω) ⏐ и δ ( jω ) =
∫ δ (t )e
− jωt
dt , и проинтегрировав
−∞
2
δ ( jω) по ω , получим:
1
2π
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
∞
1
δ ( jω ) d ω =
2π
2
1
δ (t ) dt
2π
∞
∞
∫ δ (− jω )dω ∫ δ (t ) e
−∞
∫ δ ( jω ) e
jω t
dω =
−∞
∞
∫δ
− jω t
dt =
−∞
2
(t ) dt = I кв .
−∞
Здесь δ ( jω ) = δ ( s ) s = jω = (W (0) − W ( jω )) /( jω )
Поскольку частотная функция системы W( jω) зависит от параметров
системы (коэффициентов передачи k i и постоянных времени T
j
динамиче-
ских звеньев), можно записать I кв = f ( k i , T j ) . Исследуя полученную зависимость на экстремум, можно найти значения изменяемых параметров ki и Tj ,
при которых удовлетворяется условие Iкв = min .
Заметим, что минимизация интегральной квадратичной ошибки вида
(1.84) приводит к большим перерегулированиям переходного процесса (до
20 % от установившегося значения y (∞) ). В связи с этим применяют интегральные критерии, учитывающие не только величину ошибки, но и скорость
ее изменения
∞
I ск =
∫ [δ
2
(t ) + γ 2 (δ ′(t )) 2 ]dt ,
(6.18)
−∞
где
γ – весовой коэффициент, который определяет значимость второго сла-
гаемого подинтегральной функции.
185
В данном случае помимо ограничения на величину ошибки
гается ограничение на скорость ее изменения
δ (t ) нала-
δ ′(t ) . В результате чего мы
получаем достаточно быстрые и плавные переходные процессы.
Иногда кроме указанных ограничений учитывают и ограничение на ускорение. Тогда интегральный критерий принимает вид:
∞
I ус =
∫ [δ
2
(t ) + γ 12 (δ ′(t )) 2 + γ 22 (δ ′′(t )) 2 ]dt .
(6.19)
−∞
Подчеркнем, что все рассмотренные интегральные оценки являются
функцией параметров системы, следовательно, их можно минимизировать,
изменяя параметры системы и, прежде всего, устройства управления.
Контрольные вопросы
1. Какие свойства автоматической системы принято рассматривать при
оценке ее качества?
2. Какие вы знаете прямые показатели качества?
3. Что такое перерегулирование? Какую роль играет этот показатель?
4. Как определяется величина времени регулирования?
5. Что таксе частота среза? Что эта частота показывает?
6. Как влияет передаточный коэффициент разомкнутого контура на
статическую и динамическую точность систем?
7.Укажите характерные признаки передаточных функций в статической системе регулирования.
8. Какая система называется астатической? От наличия каких типовых
звеньев в контуре системы зависит ее астатизм?
9. По какой динамической характеристике системы регулирования оценивают прямые показатели качества? Какие из них характеризуют колебательность системы, а какие - ее быстродействие?
186
10. Как связано расположение корней характеристического уравнения с
колебательностью системы?
11. Как связан ближайший действительный корень характеристического уравнения с длительностью переходного процесса?
12. Как влияют параметры разомкнутого контура на динамические
свойства замкнутой системы?
13. Какие параметры графика переходного процесса учитываются интегральными оценками?
14. Какой из двух переходных процессов лучше - с большой интегральной оценкой или малой? Почему?
15. Для каких переходных процессов можно применять линейную интегральную оценку?
16. Почему для колебательных переходных процессов приходится применять модульные или квадратичные оценки?
187
Список литературы
1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления / В.А.
Бесекерский, Е.П. Попов. М.: “Профессия”, 2004. 747с.
2. Власов К.П. Теория автоматического управления / К.П. Власов, А.С.
Анашкин. С.- Пб.: Санкт- Петербургский горный институт, 2003. 103с.
3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. М. – Л.:
Энергия, 1965, Ч.1, 423с. 1966, Ч.2, 372с. 1970, Ч.3, 328с.
4. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. 2-е
издание перераб. и дополн. Киев: Высшая школа, 1988. 430с.
5. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы
систем. М.: Машиностроение, 1973. 606с.
6. Лукас В.А. Теория автоматического управления. М.: Недра, 1990. 416с.
7. Математические основы теории автоматического регулирования / под
ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1971. 807с.
8. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб: “Питер”, 2005. 333с.
9. Михайлов В.С. Теория управления. Учебное пособие для ВУЗов. Киев:
Высшая школа, 1988. 309с.
10. Пантелеев А.В. Теория управления в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский. М., Высшая школа, 2003. 583с.
11. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и
управления. М.: Наука, 1989. 496с.
12. Солодовников В.В. Основы теории и элементы систем автоматического
регулирования / В.В. Солодовников, В.Н. Плотников, А.В. Яковлев. М.:
Машиностроение, 1985. 536с.
13. Теория автоматического управления / под ред. А.В. Нетушила. М.:
Высшая школа, 1972. 432с.
188
14. Теория автоматического управления. Учебное пособие / под ред. А.А.
Воронова. Ч.1. М.: Высшая школа, 1987. 367с.
15. Филипс Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Филипс, Р.
Харбор. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 616с.
189
Учебное издание
И.Г.Абраменко, Д.И. Абраменко
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Редактор Н.З.Алябьев
План 2008, поз. 1л287
Подп. к печати .01.07
Формат 60x84 1⁄16.
Бумага офисная. Печать на ризографе. 10,6 уч.-изд.л. 12,0 усл.-печ. л.
Тираж 200 экз. Зак. №
ХНАГХ, 61002, Харьков, ул. Революции, 12.
Сектор оперативной полиграфии при ВЦ ХГАГХ. 61002, Харьков, ХНАГХ, ул. Революции, 12
190