МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова» (БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова») Факультет Е «Оружие и системы вооружения» Кафедра Е4 «Высокоэнергетические устройства автоматических систем» Дисциплина «Планирование и обработка результатов эксперимента» ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 4 Дисперсионный анализ Вариант №_____ Выполнил студент группы ____ ____________________________ Преподаватель ___________________________ Оценка ____________________ Дата ______________________ САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2023 1 Цель работы Заключается в закреплении, углублении и расширении знаний студентов о дисперсионном анализе, а также практическое овладение методикой значимости влияния исследуемого фактора на функцию отклика. Дисперсионный анализ – метод математической статистики, определяющий влияние независимых факторов на функцию отклика путем разбиения дисперсии функции отклика на части. Целью дисперсионного анализа является получение качественных оценок воздействия факторов при минимальном числе экспериментов. Дисперсионный анализ позволяет оценить значимость влияния фактора на функцию отклика. Если оказывается, что влияние фактора не значимо, то фактор отбрасывается и последующий регрессионный анализ выполняется с меньшим числом факторов. Так называемый «шум» характеризует влияние на функцию отклика неучтенных факторов. 2 Порядок выполнения работы Используя экспериментальные данные, рассчитать характеристики в дисперсионном анализе параметров по формулам и внести данные в таблицу. Анализ результатов работы, выводы о значимости влияния исследуемого фактора х на функцию отклика у. 3 Исходные данные Результаты эксперимента по исследованию зависимости силы вырубки круглой заготовки у от сопротивления срезу материала заготовки х. Исходные данные приведены в таблице 1. Проведено 10 опытов. 2 Таблица 1 – Исходные данные yi,j, кН i xi, МПа yi,1 1 250 2 yi,2 yi,3 yi,4 yi,5 14,92 16,24 15,05 15,77 13,97 260 17,32 14,58 16,67 15,87 17,10 3 280 18,74 17,69 17,74 16,41 15,82 4 300 19,23 18,58 19,85 16,93 19,87 5 320 19,66 20,08 21,07 18,09 19,25 6 350 22,07 21,36 22,72 19,57 23,44 7 380 22,27 25,45 22,82 24,60 22,34 8 420 26,03 27,87 27,54 25,54 27,93 9 460 28,88 30,95 27,91 27,79 27,42 10 500 28,95 32,52 32,09 33,20 32,15 4 Выполнение задания Определяем 𝑦̅𝑖 – среднее значение наблюдений в i-м опыте плана: 𝑚 1 𝑦̅̅𝑖 = ∑ 𝑦̅𝑗 , 𝑚 𝑗=1 (1) где m – число параллельных опытов (объем выборки в каждом i-м опыте). Результаты расчета средних значений наблюдений в i-ом опыте приведены в таблице 2. Таблица 2 – Среднее значение наблюдений в i-ом опыте i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑦̅̅, 𝑖 кН 15,19 16,31 17,28 18,89 19,63 21,83 23,50 26,98 28,59 31,78 Вычисляем 𝑓𝑦̅ – число степеней свободы, которое при одинаковых объемах m выборок в каждом i-м опыте: 3 𝑓𝑦 = 𝑛(𝑚 − 1), (2) где n – количество опытов, m – количество повторных наблюдений в каждом i-м опыте. 𝑓𝑦̅ = 10* (5 – 1) = 40. Вычисляем дисперсию наблюдения: 2 ∑𝑛𝑖=1∗ ∑𝑚 ̅) 𝑖 𝑗=1(𝑦̅𝑖𝑗 − 𝑦̅ 2 𝑆𝑦 = , 𝑓𝑦 (3) где yij – величина j-го наблюдения в i-м опыте экспериментального плана. 2 2 (−0,27) 2 2 2 + 1,05 + (−0,14) + 0,58 + (−1,22) + 2 2 2 1,01 + (−1,73) + 0,362 + (−0,44) + 0,792 + 2 2 1,462 + 0,412 + 0,462 + (−0,87) + (−1,46) + 2 2 2 2 0,342 + (−0,31) + 0,962 + (−1,96) + 0,982 + 2 2 2 0,032 + 0,45 + 1,442 + (−1,54) + (−0,38) + 0,242 + (−0,47) + 0,892 + (−2,26) + 1,612 + 2 2 2 2 2 (−1,23) + 1,95 + (−0,68) + 1,10 + (−1,16) + 2 2 2 2 + 0,892 + 0,56 + (−1,44) + 0,95 + 2 2 2 0,292 + 2,362 + (−0,68) + (−0,80) + (−1,17) + (−0,95) 2 𝑆2𝑦 + 0,742 + 0,312 + 1,422 + 0,372 = 40 Рассчитываем сумму квадратов 𝑆𝑥2 : (−2,83) 𝑆𝑥2 = 65,13 = 1,63 . 40 ∑𝑛𝑖=1(𝑦̅̅𝑖 𝜉1 − 𝑦̅̅)2 = , 𝑓𝑥 (4) где 𝑦̅ – среднее значение наблюдений по всем точкам плана; ξ𝑖 – нормированное значение фактора х в i-м опыте; 𝑓𝑥 – число степеней свободы фактора. Среднее значение наблюдений по всем точкам плана: 𝑛 1 𝑦̅̅ = ∑ 𝑦̅̅𝑖 , 𝑛 𝑖=1 Нормированное значение фактора х в i-м опыте: 4 (5) (𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥0 ) , Δ𝑥 (𝑥𝑚𝑎𝑥 + 𝑥𝑚𝑖𝑛 ) 𝑥0 = , 2 (𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ) Δ𝑥 = , 2 𝜉𝑖 = (6) (7) (8) где 𝑥0 – основной уровень нормированного фактора х, представляющий собой середину интервала; хmах; хmin – максимальное и минимальное значения фактора х соответственно; Δх – интервал варьирования экспериментального плана. Число степеней свободы фактора: 𝑓𝑥 = 𝑛 − 1, Проведем расчеты перечисленных характеристик. 500 − 250 = 125. 2 500 + 250 𝑥0 = = 375. 2 250 − 375 𝜉1 = = −1; 125 260 − 375 𝜉2 = = −0,92; 125 280 − 375 𝜉3 = = −0,76; 125 300 − 375 𝜉4 = = −0,6; 125 320 − 375 𝜉5 = = −0,44; 125 350 − 375 𝜉6 = = −0,2; 125 380 − 375 𝜉7 = = 0,04; 125 420 − 375 𝜉8 = = 0,36; 125 ∆𝑥 = 5 (9) 𝜉9 = 𝜉10 460 − 375 = 0,68; 125 500 − 375 = = 1. 125 𝑓𝑥 = 10 − 1 = 9. 𝑦̅̅ = 1 ∗ (15,19 + 16,31 + 17,28 + 18,89 + 19,63 + 21,83 + 23,50 + 26,98 10 + 28,59 + 31,78) = 21,99 . ((−15,19 − 21,99)2 + (−15,0052 − 21,99)2 + (−13,1328 − 21,99)2 (−11,334 − 21,99)2 + (−4,2372 − 21,99)2 + (−4,366 − 21,99)2 +(0,94 − 21,99)2 + (9,7128 − 21,99)2 + (19,4412 − 21,99)2 +(31,78 − 21,99)2 2 𝑆𝑥 = = 9 (−37,18)2 + (−36,99)2 + (−35,12)2 + (−33,32)2 + (−26,23)2 + (−26,36)2 + +(−21,05)2 + (−12,28)2 + (−2,55)2 + +9,792 = 9 1382,35 + 1368,26 + 1233,41 + 1110,22 + 688,01 + 694,85 + 443,10 + +150,79 + 6,50 + 95,84 = 9 7173,33 = = 797,04 . 9 Устанавливаем значимость фактора х при помощи критерия Фишера F: 𝑆𝑥2 𝐹 = 2 > 𝐹КР , 𝑆𝑦 (10) где Fкр – критическое значение критерия Фишера, равное для доверительной вероятности 0,95 – 2,12. (таблица П.3, [1]). 𝐹= 797,04 1,63 = 488,9, что намного больше критического значения, следовательно, фактор х с доверительной вероятностью 0,95 статистически значим и его необходимо учитывать в последующем регрессионном анализе. Результаты всех расчетов приведены в таблице 3. Таблица 3 – Результаты однофакторного и дисперсионного анализа 6 𝑆𝑦2 i 𝑦̅̅𝑖 1 15,19 -1 2 16,31 -0,92 3 17,28 -0,76 4 18,89 -0,6 5 19,63 -0,44 6 21,83 7 23,50 0,04 8 26,98 0,36 9 28,59 0,68 10 31,78 1 1,63 𝑓𝑦 40 𝑥0 𝑦̅̅ 𝑓𝑥 𝑆𝑥2 𝐹 𝐹КР 21,99 9 797,04 488,9 2,18 𝜉𝑖 375 -0,2 ВЫВОД Получили качественные оценки воздействия факторов при минимальном числе экспериментов. С использованием критерия Фишера, определили, что сопротивление срезу материала заготовки с заданной доверительной вероятностью р статистически значимо влияет на силу вырубки круглой заготовки. 7 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Нестеров Н.И. Планирование и обработка результатов эксперимента: учебное пособие; Балт. гос. техн. ун-т., СПб., 2017. – 142 с. 8