Теория механизмов и машин

Ю.С. Корнеев
А.Ю. Корнеев
Б.Г. Кобцев
ТЕОРИЯ
МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.С. Корнеев, А.Ю. Корнеев, Б.Г. Кобцев
ТЕОРИЯ
МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
Рекомендовано редакционно-издательским советом ОрелГТУ
в качестве учебного пособия для вузов
Орел 2009
1
УДК 621.01:531.8] (075)
ББК 22.2 Я7
К67
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор кафедры
«Теоретическая и прикладная механика»
Орловского государственного технического университета
А.В. Коробко,
кандидат технических наук, доцент
заведующий кафедрой «Инженерная графика и механика»
Орловского государственного аграрного университета
Г.М. Абрамов
К67 Корнеев, Ю.С. Теория механизмов и машин: учебное пособие
для вузов / Ю.С. Корнеев, А.Ю. Корнеев, Б.Г. Кобцев. –
Изд-е 2-е, доп. − Орел: ОрелГТУ, 2009. − 243 с.
В учебном пособии представлены разделы теории механизмов и
машин, которая наряду с теоретической механикой, сопротивлением материалов и деталями машин вводит студентов в круг общих и специальных дисциплин, обеспечивающих общеинженерную подготовку.
Предназначено студентам машиностроительных и технологических
специальностей очной и очно-заочной форм обучения, изучающим дисциплину «Теория механизмов и машин». Будет полезным при подготовке
к экзаменам, зачетам и защите курсовых проектов и курсовых работ по
вышеуказанной дисциплине.
УДК 621.01:531.8] (075)
ББК 22.2 Я7
© ОрелГТУ, 2009
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………..…………………………………………………………7
1. Структура механизмов………………………………………………...9
1.1. Основные понятия и определения……………………………..9
1.2. Классификация кинематических пар………………………...10
1.3. Классификация кинематических цепей……………………...13
1.4. Кинематические соединения…………………………………15
1.5. Основные виды механизмов………………………………….15
2. Cтруктурный синтез механизмов…………………………………...16
2.1. Число степеней свободы механизма (формула
подвижности для пространственных и плоских
механизмов).………………………………………………………..16
2.2. Механизмы с лишними степенями свободы………………...18
2.3. Механизмы с избыточными связями.………………………..18
2.4. Замена высших пар низшими…….…….……………………..20
2.5. Структурные группы Ассура и их классификация...………..22
2.6. Образование плоских и пространственных механизмов
путем наслоения структурных групп……………………………..24
2.7. Структурный анализ…………………………………………..26
3. Кинематический анализ…………………….………………………..29
3.1. Задачи кинематического анализа...…………………………...29
3.2. Графические методы анализа………………...……………….29
3.3 Построение планов положений, скоростей и ускорений
для структурных групп II класса..………………………………...31
3.4. Метод подобия…..……………….……………………………39
3.5. Особенности нахождения кинематических параметров
для групп III класса………………………………………………..41
3.6. Аналитические методы определения кинематических
параметров……………………...………………………………….43
4. Силовой анализ механизмов………………………….......................49
4.1. Задачи силового анализа механизмов………………………..49
4.2. Силы инерции звеньев механизма и точки
их приложения..................................................................................49
4.3. Условие кинетостатической определимости
кинематических цепей…………………………………………….51
4.4. Планы сил для плоских механизмов…………………………53
4.5. Теорема Жуковского……….………………………………….61
4.6. Учет сил трения при силовом расчете…….……….………...63
4.7. Самоторможение………………………...……………………64
3
4.8. Угол давления………………...…….………………………….64
4.9. Коэффициент полезного действия механизма……...……….65
5. Динамический анализ механизмов..………………………………...70
5.1. Основные задачи динамического исследования…………….70
5.2. Уравнение движения механизма в форме интеграла
энергии (уравнение кинетической энергии).……………………..70
5.3. Приведение сил и масс в плоских механизмах……………...72
5.4. Дифференциальное уравнение движения механизма……….76
5.5. Численное решение уравнений движения………….………78
5.6. Графоаналитический метод Виттенбауэра…………………..81
5.7. Режимы движения механизма………………………………...85
5.8. Периодические и непериодические колебания
хода машины. Способы регулирования…………………………..86
5.9. Определение момента инерции маховика…………………...87
5.10. Графическое дифференцирование и интегрирование……..92
5.11. Определение размеров маховика……………………………96
5.12. Кинематический и динамический эффекты действия
маховика. Энергетический баланс маховика……………………..98
5.13. Понятие об агрегатировании и устойчивости
работы машин……………………………………………………..101
5.14. Регулирование непериодических колебаний
угловой скорости ведущего звена механизма.
Центробежный регулятор. Регулятор с тахогератором………...103
6. Колебания в механизмах…………………………………………...110
6.1. Сведения из теории механических колебаний……………..110
6.2. Фрикционные колебания, вызываемые скачком
силы трения в тормозах…………………………………………..110
6.3. Фрикционные колебания, вызываемые скачком
силы трения в поступательной паре…………………………….113
6.4. Фрикционные колебания при силах трения, зависящих
от скорости скольжения…………………………………………..114
6.5. Автоколебания…………………………………….………….117
6.6. Приведение жесткостей упругих звеньев механизма……...118
6.7. Дифференциальные уравнения движения двухмассовой
динамической модели с упругим линейным звеном….………..120
6.8. Колебания в механизмах с одним линейным
упругим звеном. Коэффициент динамичности. Влияние сил
вязкого трения……………………………………………………...121
4
6.9. Уравнение движения шарнирного четырехзвенника
с упругими звеньями……………………………………………...124
6.10. Динамика кулачкового механизма с упругим
толкателем..........................................................................................127
7. Уравновешивание и виброзащита машин………...……………….130
7.1. Статическое уравновешивание вращающихся звеньев……131
7.2. Динамическое и полное уравновешивание
вращающегося звена……………………………………………...133
7.3. Балансировка жестких роторов (при неизвестном
расположении неуравновешенных масс)………………….........135
7.4. Уравновешивание механизмов и машин
на фундаменте…………………………………………………….139
7.5. Статическое уравновешивание масс плоских
механизмов. Уравновешивание шарнирного
четырехзвенника и кривошипно-ползунного механизма………141
7.6. Приближенное статическое уравновешивание масс
плоских механизмов………………………………………………145
7.7. Виброзащита машин……………………………….………...146
8. Общие методы синтеза механизмов……………………………….151
8.1. Синтез механизмов по методам оптимизации
с применением ЭВМ…...…………………………………………151
8.2. Синтез механизмов по методу приближения
функций……………………………………………………………159
9. Синтез механизмов с низшими парами……………………………163
9.1. Постановка задачи синтеза шарнирного
четырехзвенника...............................................................................163
9.2. Синтез шарнирного четырехзвенника по положениям
шатуна………………………………………………………..........166
9.3. Синтез шарнирного четырехзвенника по положениям
входного и выходного звеньев…………………………………..168
9.4. Синтез шарнирного четырехзвенника по коэффициенту
изменения средней скорости коромысла…………………..........172
9.5. Синтез кривошипно-ползунного механизма.………………174
9.6. Синтез кулисного механизма………………………………..175
9.7. Метод синтеза приближенных направляющих
механизмов...........................................................................................177
9.8. Механизмы Чебышева……………………………………….178
9.9. Шарнирные механизмы с выстоем…….……………………179
9.10. Мальтийские механизмы……………….…………………..179
5
10. Синтез зубчатых механизмов……………………………………..182
10.1. Основные понятия………………………….……………….182
10.2. Основная теорема зацепления……...……………………...184
10.3. Цилиндрическая зубчатая передача………….……………185
10.4. Эвольвента окружности…………………………………….186
10.5. Эвольвентное зацепление…………………………………..188
10.6. Основные размеры зубьев……….…………………………190
10.7. Образование сопряженных поверхностей по Оливье.
Методы и способы изготовления зубчатых колес……………...193
10.8. Кинематика изготовления сопряженных поверхностей
зубьев цилиндрических эвольвентных зубчатых колес………...194
10.9. Геометрический расчет эвольвентных зубчатых
передач при заданных смещениях……………………………….196
10.10. Построение картины внешнего эвольвентного
зацепления…………………………………………………………..200
10.11. Проверка дополнительных условий при синтезе
эвольвентного зацепления……………………………………….202
10.12. Особенности внутреннего зацепления…………….……..204
10.13. Подрезание зубьев…………………………………………204
10.14. Блокирующий контур……………………………………..206
10.15. Синтез планетарных механизмов……….………………..207
10.16. Дифференциальные механизмы. Кинематика
и область применения……………………………………………217
10.17. Замкнутые дифференциальные механизмы...……………219
11. Cинтез кулачковых механизмов………………………………….221
11.1. Виды кулачковых механизмов..……………………………221
11.2. Этапы синтеза кулачковых механизмов.………………….222
11.3. Угол давления на ведомое звено кулачкового
механизма…………………………………………………………...223
11.4. Выбор допускаемого угла давления.………………………225
11.5. Определение основных размеров кулачкового
механизма из условия ограничения угла давления……………..226
11.6. Выбор закона движения выходного звена
кулачкового механизма…………………………………………...229
11.7. Определение профиля кулачка по заданному закону
движения ведомого звена (кинематический синтез
кулачковых механизмов)…………….…………………………...232
11.8. Выбор радиуса ролика. Условие качения ролика..……….239
Литература………………………………….………………………….242
6
ВВЕДЕНИЕ
Ведущей отраслью современной техники является машиностроение, по уровню развития которого судят о развитии производства в
целом. Прогресс машиностроения в свою очередь определяется созданием новых высокопроизводительных и надежных машин. Решение этой важнейшей проблемы основывается на комплексном использовании результатов многих научных дисциплин и, в первую
очередь, теории механизмов и машин (ТММ), под которой понимается наука об общих методах исследования свойств механизмов и машин и проектирования их схем.
В настоящее время наиболее развита теория механизмов, в которой изучаются такие методы исследования свойств механизмов и
проектирования схем, которые являются общими для всех (или для
определения групп) механизмов независимо от конкретного назначения машины, прибора или аппарата.
Другую часть ТММ составляет теория машин. Развитие теории
машин-автоматов связано, главным образом, с совершенствованием
методов построения схемы системы управления, определяющей согласованность движения исполнительных органов. К теории машинавтоматов относится также разработка методов проектирования промышленных роботов, которые применяются во многих отраслях техники.
Обе части теории механизмов и машин неразрывно связаны между собой, так как механизмы составляют основу прочности любой
машины. Качество создаваемых машин и механизмов в значительной
мере определяется полнотой разработки и использования методов
теории механизмов и машин.
Проблемы ТММ могут быть разбиты на три группы: анализ механизмов, синтез механизмов и теория машин-автоматов. Первая группа проблем посвящена исследованию структурных, кинематических,
динамических свойств механизмов по заданной схеме, то есть анализу механизмов. Синтез механизма состоит в проектировании схемы
механизма по его заданным свойствам. Следовательно, всякая задача
синтеза механизма является обратной по отношению к задаче
анализа.
Теория механизмов и машин является первой дисциплиной, вводящей студентов в круг общих и специальных дисциплин. В ее задачу
входит подготовка студентов к слушанию курсов деталей машин,
7
технологии машиностроения и курсов по расчету и конструированию
отдельных видов машин. Вместе с дисциплинами теоретической механики, сопротивления материалов и деталей машин ТММ образует
цикл предметов, обеспечивающих общеинженерную подготовку студентов.
Дисциплина «Теория механизмов и машин» излагает научные основы создания новых машин и механизмов, методы их построения, а
также теоретического и экспериментального исследований. Применение ЭВМ стимулировало развитие методов поиска оптимальных
решений. Одним из важнейших направлений дисциплины ТММ стало
изучение методов проектирования механизмов и оптимизации решений на основе качественных критериев. Результаты исследований позволяют совершенствовать механизмы и создавать рациональные
конструкции машин.
8
1. СТРУКТУРА МЕХАНИЗМОВ
1.1. Основные понятия и определения
Машина есть устройство, выполняющее механические движения
для преобразования энергии, материалов и информации с целью замены или облегчения физического и умственного труда человека. В
этом определении под материалами понимаются обрабатываемые
предметы, перемещаемые грузы и другие объекты труда. В зависимости от основного назначения различают энергетические, технологические, транспортные и информационные машины.
Механизм – это система тел, предназначенная для преобразования
движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения
других тел. Если в преобразовании движения, кроме твердых тел,
участвуют жидкие или газообразные тела, то механизм считается соответственно гидравлическим или пневматическим.
Твердое тело, входящее в состав механизма, называется звеном
механизма. Звенья бывают подвижные и неподвижные. Неподвижным, или стойкой, называется звено, относительно которого изучается движение других звеньев. Из подвижных звеньев выделяют входные и выходные. Входным звеном (входом) является звено, которому
сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения других звеньев. Выходное звено (выход) – это звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм. Остальные подвижные звенья называются соединительными
или промежуточными.
Ведущим звеном (иначе – движущим) считается звено, для которого элементарная работа внешних сил, приложенных к нему, является положительной, а ведомым – звено, для которого элементарная работа внешних сил, приложенных к нему, является отрицательной или
равна нулю. Одно и то же выходное звено на отдельных участках
движения может быть то ведомым, то ведущим.
Подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев представляет собой кинематическую пару, которую можно определить также
как соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение.
9
1.2. Классификация кинематических пар
Кинематические пары классифицируются по следующим признакам:
1. По числу условий связи, налагаемых на относительное движение двух звеньев, образующих пару, или по числу степеней свободы.
Каждое из геометрических, кинематических или динамических
ограничений, налагаемых на свободное твердое тело в абсолютном
или относительном движении, относится к условиям связи. Числом
степеней свободы механической системы называется число независимых возможных перемещений системы. Известно, что свободное
твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: три поступательных движения вдоль осей прямоугольной системы координат ХYZ и три вращательных движения вокруг этих осей. По числу
связей S, наложенных на относительное движение звеньев, входящих
в кинематические пары, последние делятся на пары I, II, III, IV,
V классов (число уравнений связи принимается за номер класса пары). По числу степеней свободы W пары называют: одно-, двух-,
трех-, четырех- и пятиподвижные (W = 6 – S):
а) кинематическая пара V класса (одноподвижная) (рис. 1.1);
б) кинематическая пара IV класса (двухподвижная) (рис. 1.2);
в) кинематическая пара III класса (трехподвижная) (рис. 1.3);
г) кинематическая пара II класса (четырехподвижная) (рис. 1.4);
д) кинематическая пара I класса (пятиподвижная) (рис. 1.5).
z
x
y
а
в
б
Рис. 1.1. Кинематическая пара V класса (W = 1, S = 5):
а – поступательная пара; б – вращательная пара; в – винтовая пара
10
z
x
y
а
б
Рис. 1.2. Кинематическая пара IV класса (W = 2, S = 4):
а – цилиндрическая пара; б – сферическая с пальцем
а
б
Рис. 1.3. Кинематическая пара III класса (W = 3, S = 3):
а – сферическая пара (вращательное движение вокруг трёх осей);
б – плоскостная пара (поступательное движение вдоль трёх осей)
z
x
y
Рис. 1.4. Кинематическая пара II класса (W = 4, S = 2)
«цилиндр – плоскость»
11
z
x
y
Рис. 1.5. Кинематическая пара I класса (W = 5, S = 1) «шар-плоскость»
2. По характеру кинематического замыкания звеньев: силовое и
геометрическое замыкание.
При силовом замыкании постоянный контакт звеньев в кинематической паре осуществляется пружиной, силой веса, давлением жидкости, пара (рис.1.6, а).
Геометрическое замыкание производится особой конструкцией
звеньев, образующих кинематическую пару (рис. 1.6, б).
а
б
Рис. 1.6. Замыкание: а – силовое; б – геометрическое
3. По характеру соприкосновения звеньев: низшие и высшие пары.
Кинематическая пара, в которой требуемое относительное движение звеньев может быть получено постоянным соприкосновением ее
элементов по поверхности, называется низшей парой. К низшим парам принадлежат: вращательная, поступательная, винтовая, цилиндрическая, сферическая и плоскостная.
12
Высшей парой называется кинематическая пара, в которой требуемое относительное движение звеньев может быть получено только
соприкасанием ее элементов по линиям и в точках. Примером служат
такие кинематические пары, как «шар – плоскость» или «цилиндр –
плоскость».
1.3. Классификация кинематических цепей
Кинематическая цепь представляет собой систему звеньев, образующих между собой кинематические пары. Кинематические цепи
бывают простые и сложные (рис. 1.7). Простая кинематическая цепь
– это такая цепь, у которой каждое звено входит не более чем в две
кинематические пары (рис 1.8).
B
А
2
C
B
А
C
D
3
E
4
1
а
б
Рис. 1.7. Схема простой (а) и сложной (б) открытой кинематической цепи
B
2
C
1
3
А
D
5
4
E
Рис. 1.8. Схема простой замкнутой
кинематической цепи
Кинематическая цепь, имеющая хотя бы одно звено, входящее
более чем в две кинематические пары, называется сложной (рис. 1.9).
Простые и сложные кинематические цепи в свою очередь делятся на
замкнутые и незамкнутые (открытые).
13
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
к
Рис. 1.9. Основные виды механизмов
14
Замкнутой кинематической цепью называется цепь, каждое звено
которой входит, по крайней мере, в две кинематические пары, а незамкнутой (открытой) кинематической цепью – цепь, в которой есть
звенья, входящие только в одну кинематическую пару (см. рис. 1.7).
Из замкнутой кинематической цепи можно получить механизм, для
чего одно из звеньев (например, звено ЕД – рис. 1.8) необходимо
превратить в стойку.
1.4. Кинематические соединения
Иногда относительная подвижность звеньев в кинематической
паре обеспечивается введением между звеньями промежуточных тел,
т.е. имеется кинематическое соединение. Кинематическая цепь, конструктивно заменяющая в механизме кинематическую пару, называется кинематическим соединением. Шарикоподшипник представляет
собой пример кинематического соединения, которое по сравнению с
эквивалентной вращательной парой дает уменьшение трения. Аналогично выполняются роликовые направляющие, заменяющие поступательную пару.
1.5. Основные виды механизмов
Различают следующие механизмы:
1) стержневые или рычажные (рис. 1.9, а, б);
2) зубчатые (рис. 1.9, в);
3) фрикционные (рис. 1.9, г);
4) клиновые (рис. 1.9, д);
5) механизмы с гибкими звеньями (ременные, цепные, ленточные
и другие) (рис. 1.9, е);
6) кулачковые (рис. 1.9, ж, з);
7) механизмы с элементами гидравлики и пневматики (рис. 1.9, и);
8) с элементами электротехники и электроники (рис. 1.9, к);
9) винтовые;
10) механизмы с остановками (мальтийские, храповые);
11) комбинированные и прочие механизмы.
15
2. СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ
2.1. Число степеней свободы механизма (формула
подвижности для пространственных и плоских
механизмов)
Числом степеней свободы механизма или степенью подвижности
называется число степеней свободы его подвижных звеньев относительно стойки. Если на движение звена в пространстве не наложено
никаких условий связи, то оно, как известно, обладает шестью степенями свободы. Шесть степеней свободы твердого тела, свободно
движущегося в пространстве, можно рассматривать также как шесть
независимых координат, определяющих его положение, за которые
можно принять три координаты начала подвижной системы координат, связанной с телом, и три угла Эйлера, определяющих расположение осей подвижной системы координат относительно неподвижной. Их принято называть обобщенными, так как они определяют положение всего твердого тела. Аналогично обобщенными координатами механизма называют независимые друг от друга координаты, определяющие положение всех звеньев механизма относительно стойки. Число обобщенных координат механизма равно числу степеней
свободы механизма, если все связи в кинематических парах – геометрические, то есть налагают ограничения только на положения (координаты) точек звеньев.
Тогда, если число звеньев кинематической цепи равно k, общее
число степеней свободы, которым обладают k звеньев до их соединения в кинематические пары, равно 6k. Соединение звеньев в кинематические пары накладывает различное число связей на относительное
движение звеньев, зависящее от класса пар. Пусть при этом образовалось: р1 – число пар I класса; p2 – число пар II класса; р3 – число пар
III класса; р4 – число пар IV класса; р5 – число пар V класса.
Каждая пара I класса накладывает на относительное движение
звеньев одно условие связи – 1р1. Аналогично каждая пара последующего класса накладывает соответствующие условия: 2р2, 3р3,
4р4, 5р5.
Общее условие связей:
S = 1р1 + 2р2 + 3р3 + 4р4 + 5р5.
16
Тогда число степеней свободы кинематической цепи имеет вид
H = 6k – 5р5 – 4р4 – 3р3 – 2р2 – 1р1.
Если одно из звеньев кинематической цепи будет неподвижным,
то общее число степеней свободы цепи уменьшится на 6, и число
степеней свободы кинематической цепи W относительно неподвижного звена будет равно:
W = H – 6;
W = 6(k – 1) – 5р5 – 4р4 – 3р3 – 2р2 – 1р1.
Обозначим: k – 1 = n – число подвижных звеньев.
Тогда W = 6n – 5p5 – 4p4 – 3p3 – 2p2 – p1.
(2.1)
Равенство (2.1) носит название формулы подвижности для пространственных механизмов. Эта формула впервые была дана
П.И. Сомовым в 1887 г. и развита А.П. Малышевым в 1923 г. Она и
называется формулой Сомова–Малышева. Рассмотрим схему пространственного механизма (рис. 2.1).
C
B
D
3
2
A
4
1
1
Рис. 2.1. Схема пространственного механизма:
1 – стойка (неподвижное звено); 2, 3, 4 – подвижные звенья (n = 3)
Стойка 1 и звено 2 образуют пару А пятого класса; звенья 2 и 3 –
пару B пятого класса; звенья 3 и 4 – пару C четвертого класса; звенья
4 и 1 – пару D третьего класса.
Тогда W = 6·3 – 5·2 – 4·1 – 3·1 = 1, то есть рассматриваемая пространственная цепь обладает одной степенью подвижности.
17
На плоский механизм накладываются ограничения: из шести возможных движений три не могут быть осуществлены. Для плоского
механизма число степеней свободы равно:
W = (6 – 3)n – (5 – 3)p5 – (4 – 3)p4 – (3 – 3)p3,
W = 3n – 2p5 – p4.
(2.2)
Эта формула была впервые выведена П.Л. Чебышевым в 1869 году и носит название формулы Чебышева.
2.2. Механизмы с лишними степенями свободы
В механизме могут иметь место лишние степени свободы, не
влияющие на закон движения ведомого звена и однозначность его
перемещения. Лишняя степень свободы вносится вращающимся роликом (рис. 2.2), целесообразность введения которого очевидна, поскольку обеспечивается меньший износ поверхности кулачка.
2
3
2
1
1
O
n= 3
p5 = 3
p4 = 1
W = 3·3 − 2·3 − 1 = 2
O
n= 2
p5 = 2
p4 = 1
W = 3·2 − 2·2 − 1 = 1
Рис. 2.2. Механизм с лишней
степенью свободы
Рис. 2.3. Механизм с устраненной
лишней степенью свободы
Лишние степени свободы вводятся вследствие особой конструкции механизма, необходимой для увеличения прочности, износостойкости, и с точки зрения кинематики могут быть устранены (рис. 2.3).
2.3. Механизмы с избыточными связями
Если по формуле Чебышева или Сомова–Малышева степень подвижности механизма меньше действительной, то механизм называет18
ся механизмом с избыточными или пассивными связями. Избыточные (пассивные) связи появляются вследствие особых различных соотношений между звеньями или особой конструкции механизма.
Если устранить избыточные связи, то его кинематика не меняется.
Избыточные связи иногда умышленно вводят в состав механизма для
повышения его жесткости или для устранения неопределенности
движения звеньев в некоторых положениях (рис. 2.4).
B
C
E
F
A
D
Рис. 2.4. Механизм
с избыточной связью
Избыточные связи существуют при выполнении определенных
геометрических соотношений в механизме. Например, в механизме
сдвоенного параллелограмма (см. рис. 2.4) имеются соотношения
AB = CD, BC = AD (фигура ABCD – параллелограмм) и AE = FD,
EF = AD (AEFD – тоже параллелограмм). По свойству параллелограмма расстояние между точками E и F всегда равно отрезку AD, если эти точки находятся на равных расстояниях от точек A и D. Поэтому введение дополнительного звена EF при условии, что EF = AD,
не вносит новых геометрических связей, и число степеней свободы
остается равным единице, хотя по формуле (2.2)
W = 3·4 – 2·6 = 0.
Если точность выполнения указанных геометрических соотношений окажется недостаточной, например AE ≠ FD, то расстояние
уже не будет равно AD, и движение станет невозможным, т.е. число
степеней свободы действительно будет равно нулю. В основном избыточные связи, а иногда и лишние степени свободы ухудшают работу механизма, и их надо по возможности избегать, поскольку механизм делается статически неопределимым. Это означает, что для определения реакций в кинематических парах необходимо составлять
дополнительные уравнения, пользуясь теорией упругости, что повы19
шает требования к прочности механизма. Поэтому рекомендуется
формулу для определения степени подвижности W для пространственных механизмов приводить к следующему виду:
W = 6n – 5p5 – 4p4 – 3p3 – 2p2 – p1 + q,
где q – число избыточных (пассивных) связей;
а для плоских механизмов:
W = 3n – 2p5 – p4 + q.
Если W известно, тогда
q = W – 6n + 5p5 +4p4 + 3p3 + 2p2 + p1;
(2.3)
q = W – 3n + 2p5 + p4.
(2.4)
Механизм следует конструировать таким образом, чтобы q = 0.
Механизм без избыточных связей называется рациональным механизмом.
2.4. Замена высших пар низшими
При изучении структуры и кинематики плоских механизмов во
многих случаях удобно заменять высшие пары кинематическими цепями или звеньями, входящими только в низшие вращательные и поступательные пары V класса. Такая замена должна производиться с
учетом эквивалентности по структуре и кинематике. С точки зрения
структуры число условий связи, заменяющей кинематические цепи,
должно равняться числу связей заменяемой высшей пары, т.е. каждая
высшая пара эквивалентна одному звену, входящему в две низшие
пары. Кроме того, ведомое звено заменяющего механизма должно
иметь те же перемещения, скорости и ускорения, что и реальный механизм с высшей кинематической парой.
20
С точки зрения кинематической эквивалентности пары V класса
заменяющей цепи следует помещать в центрах кривизны звеньев, образующих высшую пару в точке контакта (рис. 2.5). Для того чтобы
выдержать условие кинематической эквивалентности, замена высшей
пары низшими должна быть выполнена следующим образом
(рис. 2.5). В точке касания профилей (пара IV класса) надо провести
нормаль n–n к профилям, на этой нормали найти центры кривизны
соприкасающихся профилей В и С, установив в них центры шарниров, соединив их фиктивным звеном ВС. Это звено будет входить в
две пары V класса (условие структурной эквивалентности), а механизм ABCD является заменяющим механизмом, причем значения
скоростей и ускорений ведомого звена 2 (DC) будут те же, что и в
действительном механизме. Описанная замена правильна для заданного положения основного механизма. В другом положении схема
заменяющего механизма останется той же, размеры же его звеньев
изменятся либо центры кривизны В и С сместятся.
Если один из соприкасающихся элементов будет представлять
некоторую кривую, а второй – прямую, то центр кривизны второго
профиля будет бесконечно удален. В этом случае замена осуществляется одной вращательной и одной поступательной парами (рис. 2.6).
τ
1
n
n
2
3′
ρ2
ρ1
B
C
n
τ
A
2
1
D
Рис. 2.5. Замена высшей пары
низшей в криволинейных профилях
2′
1′
n
Рис. 2.6. Замена высшей пары
низшей в кулачковом
механизме с качающимся
толкателем
21
На рис. 2.7 и 2.8 представлена замена высших пар низшими в кулачковом механизме с поступательно движущимся толкателем и в
зубчатом механизме соответственно.
2
A
D ρ2
τ
2
3
τ
ρ1
1
E
C
Рис. 2.7. Замена высшей пары низшей
в кулачковом механизме
с поступательно движущимся
толкателем
1
Рис. 2.8. Замена высшей
пары низшей в зубчатом
механизме
2.5. Структурные группы Ассура и их классификация
Любой механизм можно представить состоящим из начального
механизма, имеющего стойку и ведущее звено, и кинематической цепи, степень подвижности которой равна нулю (рис. 2.9). Степень подвижности ведущего звена по отношению к стойке W = 1.
2
B
C
1
O
A
3
D
W = 3n – 2p5 – p4 = 3·3 – 2·4 – 1 = 1
2
B
C
1
3
O
A
W=1
W=0
D
Рис. 2.9. Разложение механизма на начальный механизм
и структурные группы
22
Таким образом, кинематическая цепь, степень подвижности которой равна нулю, называется структурной группой или группой Ассура. Причем группа не должна распадаться на более простые кинематические цепи, удовлетворяющие условию Wгр = 0. Для плоских механизмов, звенья которых входят в пары IV и V классов, это условие
будет выглядеть так:
3n – 2p2 – p4 = 0.
(2.5)
Если в состав механизма входят только пары V класса, то
3n – 2p5 = 0,
откуда
3
p5 = n .
2
(2.6)
Так как числа звеньев n и пар p5 могут быть только целыми, то
условию (2.6) удовлетворяют лишь отдельные сочетания чисел звеньев и кинематических пар, входящих в группу (табл. 2.1). Задаваясь
разными сочетаниями этих чисел, удовлетворяющих условию (2.6),
можно получать различные группы.
Таблица 2.1
№ п/п
n
p5
1
2
3
Взаимосвязь n и p5
2
4
6
3
6
9
4
8
12
5
…
…
…
…
…
Структурные группы принято классифицировать по классам и порядкам. Класс группы устанавливается по наивысшему классу замкнутого контура, входящего в структурную группу. Класс контура определяется числом внутренних кинематических пар, входящих в этот
контур (табл. 2.2). Начиная с IV класса и выше в рассмотрение принимаются подвижные контуры, контуры II и III классов – неподвижные.
Таблица 2.2
Определение класса структурной группы
Класс
контура
II
III
IV
V
…
Контур
…
23
Порядок структурной группы определяется числом свободных
кинематических пар, т.е. таких пар, которые могут быть присоединены к другим звеньям. Группы различных классов и порядков показаны на рис. 2.10.
1
1
1
2
4
2
3
n = 2, p5 = 3
n = 4, p5 = 6
II2 (1, 2)
III3 (1, 2, 3, 4)
2
1
2
4
3
n = 4, p5 = 6
3
6
4
IV2 (1, 2, 3, 4)
5
n = 6, p5 = 9
III4 (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Рис. 2.10. Примеры структурных групп различных классов и порядков
Наиболее распространены структурные группы II класса второго
порядка (II2), поэтому их дополнительно классифицируют по видам
(рис. 2.11). Любой плоский механизм состоит из ведущего звена (ведущих звеньев) и одной или нескольких структурных групп. Класс
механизма определяется классом наивысшей структурной группы,
входящей в него.
I вид
II вид
IV вид
III вид
V вид
Рис. 2.11. Виды структурных групп II класса второго порядка
2.6. Образование плоских и пространственных механизмов
путем наслоения структурных групп
Любой механизм можно образовать путем наслоения структурных групп, при этом группы могут соединяться последовательно, параллельно, смешанно. Основной принцип образования механизмов
24
состоит в последовательном присоединении к ведущим звеньям и
стойке структурных групп, степень подвижности Wгр которых равна
нулю. Ведущее звено, соединенное кинематической парой со стойкой, принято называть основным или начальным механизмом (это
механизм I класса). При образовании механизма с одной степенью
подвижности первая группа присоединяется свободными элементами
звеньев к ведущему звену и стойке. Последующие группы могут присоединяться к любым звеньям полученного механизма таким образом, чтобы звенья группы обладали подвижностью друг относительно
друга.
В механизме с одной степенью свободы положения всех звеньев
определяются заданием одной обобщенной координаты или положением одного начального звена. На рис. 2.12, а показано начальное звено 1,
которое входит во вращательную пару со стойкой 0 и имеет число степеней свободы относительно стойки W = 1 (одна обобщенная координата ϕ1), в целом механизм тоже должен иметь W = 1. Поэтому можно
присоединять (наслаивать) только такие кинематические цепи, которые
имеют W = 0. На рис. 2.12, б показана двухповодковая группа (2, 3), т.е.
простейшая кинематическая цепь, удовлетворяющая условию (2.6) при
n = 2, р5 = 3, присоединение которой одной внешней парой к начальному звену, а другой – к стойке не изменяет числа степеней свободы
(W = 1). Далее можно присоединить к звену 2 и к стойке 0 вторую
двухповодковую группу, состоящую из звеньев 4 и 5 (рис. 2.12, в), в результате получается шестизвенный шарнирный механизм с W = 1
(рис. 2.12, г).
4
2
1
+
+
3
ϕ1
5
в) W=0
0
б) W=0
а) W=1
=
4
=
2
1
3
5
г) W=1
Рис. 2.12. Образование плоского механизма путем наслоения
структурных групп
25
2.7. Структурный анализ
Разложение кинематической цепи механизма на ведущие звенья
(начальные механизмы) и структурные группы называется структурным анализом.
2.7.1. Цель структурного анализа
Структурный анализ механизма позволяет:
– определить строение механизма – какие структурные группы и в
каком порядке входят в механизм;
– упростить кинематический расчет механизма, поскольку определение скоростей и ускорений звеньев одинаково для всех структурных групп одного класса и порядка;
– выполнить силовой расчет механизма для последующего прочностного расчета звеньев, поскольку структурные группы статически
определимы.
2.7.2. Порядок структурного анализа
Для выполнения структурного анализа необходимо:
1. Определить степень подвижности механизма и выявить лишние
степени свободы и избыточные (пассивные) связи.
2. Устранить лишние степени свободы и избыточные связи.
3. Заменить высшие кинематические пары низшими.
4. Разбить механизм на структурные группы:
а) отсоединить структурные группы от звеньев, наиболее удаленных по кинематической цепи от ведущего звена;
б) отсоединить наиболее простую структурную группу, т.е. группу II класса второго порядка;
в) следить за тем, чтобы ошибочно не принять несколько простых
групп за одну структурную группу более высокого класса (например,
две группы II класса имеют число звеньев n = 4 и р5 = 6, так же как
группа III класса третьего порядка или группа IV класса второго порядка);
г) если попытки отсоединения группы II класса не дадут решения,
необходимо переходить к попыткам отсоединения групп
III класса, после группы III класса следует переходить к группам
IV класса и т.д.;
26
д) следить за тем, чтобы отсоединяемая часть механизма действительно представляла собой структурную группу, т.е. соблюдалось ус3
ловие р5 = n ;
2
е) следить за тем, чтобы оставшаяся кинематическая цепь продолжала обладать тем же числом степеней подвижности, что и исходный механизм, т. е. чтобы ни одно из звеньев оставшейся цепи и
ни одна из оставшихся кинематических пар не выключались бы из
работы; при этом надо иметь в виду, что каждая кинематическая пара
и каждое звено могут входить только в одну структурную группу;
ж) выделить в таком же порядке все остальные структурные
группы; в результате разложения должны остаться стойка и ведущее
звено (или ведущие звенья, если механизм имеет несколько степеней
подвижности).
5. Определить класс и порядок структурных групп.
6. Написать формулу строения механизма.
2.7.3. Пример структурного анализа плоского механизма
1. Кинематическая схема механизма:
B
Д
2
4
3
A
C
1
O
E
5
2. Определение числа степеней свободы механизма:
n = 5, p5 = 6, p4 = 1,
W = 3n – 2p5 – p4 = 3·5 – 2·6 – 1 = 2.
Это механизм с лишней степенью свободы.
3. Устранение лишней степени свободы: отбрасывание ролика и
увеличение профиля кулачка до теоретического (показан пунктиром).
Д
В
2ф
A
4
3
2ф – фиктивное звено
E
5
C
1
27
4. Определение степени подвижности полученного механизма:
n = 4, p5 = 5, p4 = 1,
W = 3n – 2p5 – p4 = 3·4 – 2·5 – 1 = 1.
5. Замена пар IV класса парами V класса:
В
2ф
F
Д
1
A
4
3
2ф – фиктивное звено
E
5
C
6. Определение степени подвижности механизма после замены:
n = 5, p5 = 7, p4 = 0,
W = 3n – 2p5 = 3·5 – 2·7 = 1.
7. Разложение механизма на структурные группы и определение
класса и порядка структурных групп:
2ф
В
F
Д
4
3
E
5
C
A
1
n = 4, p5 = 6
n = 1, p5 = 1
III3 (2ф, 3, 4, 5)
I (0, I)
8. Формула строения механизма:
I (0, I) → III3 (2ф, 3, 4, 5).
Следовательно, данный механизм относится к III классу.
28
3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
3.1. Задачи кинематического анализа
Кинематический анализ механизмов состоит в определении движения звеньев механизма по заданному движению начальных
звеньев.
Основными задачами кинематического анализа являются:
1. Определение положений звеньев, включая и нахождение траекторий движения отдельных точек звеньев.
2. Расчёт скоростей и ускорений.
При решении этих задач считаются известными законы движения
начальных звеньев и кинематическая схема механизма, т.е. структурная схема механизма с указанием размеров звеньев, необходимых для
кинематического анализа. В результате анализа устанавливают соответствие кинематических параметров (перемещений, скоростей и ускорений) заданным условиям, а также получают исходные данные
для выполнения динамических расчетов. Знание данных параметров
необходимо для расчета сил инерции и моментов сил инерции, кинетической энергии механизма и мощности.
Кинематическое исследование схем механизмов выполняют графическими и аналитическими методами. Первые отличаются наглядностью и относительной простотой, но не дают точных результатов.
Аналитические методы позволяют получить требуемую точность результатов и установить в аналитической форме функциональную зависимость кинематических параметров механизма от размерных параметров звеньев, но отличаются большой сложностью и трудоемкостью вычислений.
3.2. Графические методы анализа
Графические методы кинематического исследования механизмов,
позволяющие определить положения звеньев, скорости и ускорения
точек и звеньев, получили широкое распространение, поскольку обладают наглядностью и отличаются удобством контроля. В ряде случаев графическое вычисление основано на геометрических построениях, с некоторым приближением заменяющих аналогичные анали29
тические и численные операции. Точность графических методов достаточна для решения многих практических задач. Графические методы становятся затруднительными, если необходим большой объем однообразных построений, и не могут быть использованы непосредственно, если требуется высокая точность расчётов.
Планы механизма. Изображение кинематической схемы механизма в выбранном масштабе, соответствующее определенному положению начального звена, называется планом механизма. План механизма должен быть построен в определенном чертежном масштабе, под
которым в ТММ понимается отношение численного значения физической величины в соответствующих единицах измерения к длине
отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину на чертеже.
Масштаб длины для плана механизма есть отношение какой-либо
длины в метрах к отрезку, изображающему эту длину на чертеже в
миллиметрах, например: µ l = lAB /AB (м/мм). При построении планов
механизма сначала следует найти его крайние положения, ограничивающие траектории движения точек звеньев, совершающих возвратное движение.
Планы скоростей и ускорений. Планами скоростей и ускорений
механизма называют векторное изображение этих кинематических
параметров, соответствующее заданному положению механизма, т.е.
это чертежи, на которых изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и по направлению скоростям или ускорениям соответственно различных точек звеньев механизма в данный момент.
Масштаб скоростей подсчитывается по формуле
µV = VA/pa ( м / с мм );
масштаб ускорений: µ W = WAn (πa) ( м / с 2 мм ).
Векторы абсолютных скоростей или ускорений на каждом плане
откладывают от одной точки – полюса, обозначаемого на плане скоростей p, на плане ускорений – π.
Определение скоростей и ускорений звеньев механизмов методом
планов, предложенным О. Мором в 1870 году, отличается универсальностью и простотой. Преимущество этого векторного метода состоит в том, что в результате построения планов получают не только
величины, но и направления скоростей и ускорений заданных точек
механизма. При кинематическом исследовании механизма расчет и
построение планов скоростей и ускорений начинают от ведущего
звена, угловую скорость которого обычно принимают постоянной, по
структурным группам Ассура в порядке их присоединения.
30
3.3. Построение планов положений, скоростей и ускорений
для структурных групп II класса
Для решения задач кинематического исследования должны быть
заданы структурная (кинематическая) схема механизма с размерами и
закон движения ведущего звена в виде зависимости его перемещения
(линейного или углового) от времени.
3.3.1. Кривошипно-ползунный механизм
План механизма. Заданными считают кинематическую схему механизма, размеры всех звеньев: lOA = r, lAB = l и угловую скорость ведущего звена: ωOA = const. При построении планов кривошипноползунного механизма в масштабе µl (рис. 3.1, а) сначала следует
найти его крайние положения, которые определяют ход ползуна Н.
ω
OA
A2
2
A3
A1
A4
r
1
A5
B0 B1B2
A6
O
B3
A7
B4 B5 B6
B8 B7
H
A8
A9
)
AB = l
3
B12 B11 B10 B9
A11
A10
мм
OA = r
ε2 ω
2
l
A0
A12
(
µl м
a
π4
b
P4
b
τ ΒΑ
⎛ м с⎞
µV ⎜
⎟
⎝ мм ⎠
a
n BA
б
a
⎛ м с2 ⎞
⎟
µW ⎜
⎜ мм ⎟
⎝
⎠ в
Рис. 3.1. Схема кривошипно-ползунного механизма
Для этого из точки О делают «засечки» радиусами (l + r) и (l – r)
на прямой линии, по которой движется точка В. Прямые, соединяющие точки В0 и В6 с точкой O, пересекают окружность, описываемую
31
точкой А, в точках А0 и А6 соответственно. За начальное (нулевое) положение механизма обычно принимается одно из крайних – положение А0 кривошипа ОА. При ωΟΑ = const кривошип перемещается от
начального положения через равные промежутки времени на равные
углы поворота, а точка А занимает равноотстоящие положения А1, А2,
... , А11, А12.
Если требуется построить 12 планов механизма, то окружность,
описываемую точкой А, следует разделить на двенадцать равных частей начиная от положения А0 (то же, что А12). Соответствующие
12 положений шарнира В поршня определяют, делая «засечки» радиусом АВ из каждого положения Аi на траектории движения точки В
(см. рис. 3.1, а). Соединяя последовательно точки А0, А1, …, А11 с точкой О и с соответствующими точками В0, В1, …, В11, получают кинематическую схему механизма в 12 положениях.
План скоростей. Задача об определении скоростей, которая решается путем построения плана скоростей, формулируется следующим
образом: заданы план механизма с указанием всех размеров и угловая
скорость начального звена. Требуется найти скорость и ускорение
звена 3 (точки В поршня) и угловые скорость и ускорение звена 2
(шатуна). Решение задачи начинаем с определения величины скорости точки А начального звена 1:
VA = lOAω1.
Если задана частота вращения n начального звена, то используется следующая формула перехода:
ω1 = πn/30.
Скорость VA представим в виде вектора, отложенного из некоторой точки р, называемой полюсом плана скоростей (рис. 3.1, б). Этот
вектор, длина отрезка которого (ра) может быть выбрана произвольно, направлен перпендикулярно к звену ОА в сторону, соответствующую направлению угловой скорости ω1. Масштаб плана скоростей
подсчитывается по формуле
µV = VA/(pa) ( м / с мм ).
32
Затем находим скорость точки В ползуна 3, которая является общей для звеньев 2 и 3. Воспользовавшись теоремой о сложении скоростей в переносном и относительном движениях, напишем уравнение, связывающее скорости точек А и В. Переносным движением
считаем поступательное движение звена 2 со скоростью точки А, а
относительным – вращательное движение звена 2 вокруг точки А.
Обозначим через VBA скорость точки В во вращательном движении
звена 2 относительно точки А. Тогда на основании указанной теоремы получаем:
r
VB
r
r
= V A + VBA
.
|| X − X ⊥ OA ⊥ BA
Здесь и далее вектор, известный по величине и направлению,
подчеркнут двумя линиями, а вектор, известный только по направлению, подчеркнут одной линией, под которой указано это направление. Из последнего уравнения можно найти две неизвестные величины VB и VBA графическим построением треугольника векторов. Для
этого из точки а плана скоростей проводим линию, перпендикулярную к звену ВА, а из полюса р – линию, параллельную оси, по которой перемещается ползун. В пересечении этих направлений находится точка b – конец вектора VB искомой скорости точки В. Вектор скорости VBA изображается отрезком (bа), причем стрелка вектора направлена к точке b, соответствующей первой букве индекса.
Угловую скорость звена 2 находим по формуле
ω 2 = V BA l BA ,
где VBA = (ba ) µV .
Для определения направления угловой скорости звена 2 переносим вектор скорости VBA в точку В и рассматриваем движение точки В
относительно точки А в направлении скорости VBA. В данном примере
это движение соответствует вращению отрезка ВА против часовой
стрелки, следовательно, угловая скорость ω2 направлена против хода
часовой стрелки.
План ускорений. Уравнения, которые используются при построении плана ускорений механизма, отличаются от уравнений для построения плана скоростей только разложением полных ускорений на
отдельные составляющие. Полное ускорение точки А складывается из
33
n
двух составляющих – нормального ускорения W AO и касательного
τ
ускорения W AO :
τ
n
W A = W AO + W AO ,
где модули векторов соответственно равны:
n
τ
W AO
= ω12 l AB и W AO
= ε 1l AB .
Вектор нормального ускорения направлен вдоль звена ОА от точки А к центру О, вектор тангенциального ускорения – перпендикулярно к звену ОА. При ω1 = const угловое ускорение кривошипа
τ
ε1 = 0 и тангенциальная составляющая W AO
ускорения кривошипа
также равна нулю. Приняв некоторую точку π за полюс плана ускорений (см. рис. 3.1, в), отложим вектор, изображающий нормальное ускорение точки А, в виде отрезка (πа). Тогда масштаб плана ускорений определяется следующим образом:
n
µW = W AO
(πa ) ( м / с2 мм ).
Ускорение точки В находим из уравнения, аналогичного уравнению для определения скорости точки В, с разделением каждого ускорения на нормальную и касательную составляющие:
n
τ
W B = W A + W BA + W BA
,
| | X − X A → O B → A ⊥ BA
rn
rτ
где W BA и W BA – векторы нормального и тангенциального ускорений
точки В в ее относительном вращательном движении вокруг точки А.
Нормальное ускорение вычисляется по формуле
n
2
WBA
= VBA
l BA .
rn
Вектор W BA должен быть направлен по звену ВА от точки В к точτ
ке А. Векторы W В и тангенциального ускорения W BA известны только по направлению, причем вектор WB направлен параллельно линии
τ
перемещения ползуна, а вектор W BA – перпендикулярно к звену АВ.
Через точку а ( см. рис. 3.1, в) ранее построенного отрезка (πа) плана
34
ускорений проводим линию, параллельную звену АВ, и откладываем
n
на ней отрезок n BA = WBA
µW , направленный от точки В к точке А и
n
.
являющийся вектором относительного нормального ускорения WBA
n
Через конец вектора WBA
перпендикулярно к звену АВ проводим
τ
направление вектора W BA (на плане ускорений – τВА), а через полюс π
– параллельно направление вектора W B , пересечение которых отмечается точкой b. Отрезок (πb) изображает полное ускорение WВ, модуль
которого равен: WВ = (πb)µW.
τ
Величина вектора W BA находится через отрезок плана ускорений:
τ
W BA = τ BA µW , а угловое ускорение звена 2 определяется формулой
τ
ε 2 = W BA
l AB , направление которого находится переносом ускорения
τ
W BA
в точку В звена АВ (см. рис. 3.1, а) и рассмотрением движения
точки В относительно точки А. Угловое ускорение ε2 направлено против часовой стрелки.
3.3.2. Кулисный механизм
Планы механизма. Заданными считают кинематическую схему
механизма (рис. 3.2, а), размеры всех звеньев и угловую скорость ведущего звена ω1.
B9 B8
B12 B11 B10
B0 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7
3
2
A3 A4
A2
1
A1 ω1 A5A
6
A0
A7
A12
A8
A11
A10A
9
k
W A2 A3
V A2 A3
ω3
ε3
(
µl м
π5
⎛ м с⎞
µV ⎜
⎟
⎝ мм ⎠
р5
a3
a1, 2
k A2 A3
b
a1, 2
)
мм
С
a
б
n A3C
⎛ м с 2 ⎞τ A3C a3
⎟
µW ⎜⎜
⎟
мм
⎝
⎠
в
Рис. 3.2. Схема кулисного механизма
35
rA2 A3
b
В масштабе µl строим планы механизма начиная с построения положений ведущего звена – кривошипа ОА. Кривошип изображаем в
12 положениях через каждые 30° начиная с положения, соответствующего крайнему левому положению точки В (OA0 ⊥ СВ0). Затем
изображаем все остальные звенья механизма в положениях, соответствующих указанным положениям кривошипа.
План скоростей. Построение плана скоростей (для 5-го положения) начинаем от ведущего звена, закон движения которого задан.
Скорость точки А, принадлежащей кривошипу 1, равна: V A1 = ω1lOA .
Вектор этой скорости направлен перпендикулярно к звену ОА в направлении вращения кривошипа. Поскольку звенья 1 и 2 (кривошип и
камень кулисы) механизма соединяются между собой вращательной
парой, то скорости точек А1 и А2, лежащих на оси этой пары, равны:
V A1 = V A2 .
Скорость точки А3, принадлежащей кулисе 3 и совпадающей с
точкой А2 камня, определяется по уравнению
VA2 = VA3 + VA2 A3 .
Это уравнение основано на том, что движение звена 2 (абсолютное) представляется как составное из переносного движения вместе
со звеном 3 и относительного движения по отношению к этому звену.
Скорость относительного движения ползуна 2 вдоль кулисы 3 VA2 A3
направлена параллельно звену ВС, так как поступательная пара, соединяющая звенья 2 и 3, допускает относительное движение только в
этом направлении. Скорость точки V A3 направлена перпендикулярно
к звену ВС. Вместо последнего уравнения можно применять равносильное уравнение:
ur
ur
ur
V A3 = V A2 + V A3 A2
,
⊥ BC ⊥ OA || BC
в котором неизвестный вектор стоит в левой части. Скорость точки В
кулисы определяется на основании теоремы подобия:
V B CB
CB
; тогда VB = V A3
.
=
CA
V A3 CA
36
Построение плана скоростей проводим в следующей последовательности. От точки р (см. рис. 3.2, б) перпендикулярно к звену ОА с
учетом направления вращения кривошипа 1 откладывается отрезок
(ра1,2), длина которого выбрана произвольно, а масштаб µV определяется как
µV =
V A1, 2
( ра1, 2 )
.
rИз точки а1,2 параллельно звену ВС проводим направление вектора V A3 A2 , а через точку р перпендикулярно к звену ВС – направление
вектора V A3 . На пересечении этих направлений получается точка а3 –
конец вектора скорости точки А3 звена 3, точка b – конец вектора
скорости точки В – лежит на продолжении прямой (pa3) плана скоростей:
( pb) = ( pa3 ) CB CA .
Величина угловой скорости кулисы 3 в данном положении находится из условия:
ω 3 = V A3 l CA = V B l CB ,
где V A3 = ( ра3 )µV , VB = ( pb )µV .
План ускорений. Принимая, что кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью, точка А1 кривошипа будет иметь только
нормальное ускорение W An1 , величина которого определяется по формуле
W An = ω12lOA .
1
От произвольной точки π5 полюса плана ускорений (см.
рис. 3.2, в) по направлению от точки А к точке О откладываем параллельно звену АО отрезок (πa1, 2 ) , представляющий собой ускорение WA точки А1 кривошипа. Масштаб плана ускорений:
µW = W A (πа1, 2 ) ( м / с 2 мм ).
37
Ускорения точек А1 и А2, как и их скорости, будут равны. Движение точки А2 камня кулисы рассматриваем как сложное: вместе с кулисой (переносное) и относительно неё. Поэтому
τ
n
r
k
W A2 = W A3C + W A3C + W A2 A3 + W A2 A3
.
A → O A → C ⊥ AC || AC ⊥ AC
Это уравнение можно записать несколько иначе:
uur n
uur τ
uur
uur k
uur r
W A3C + W A3C = W A2 + W A2 A3 + W A2 A3 .
r
В последнем уравнении, кроме относительного ускорения W A2 A3 ,
имеющего направление относительного перемещения звеньев 2 и 3
(параллельно ВС), появилось кориолисово (поворотное) ускорение,
величина которого находится по формуле
WAk2 A3 = 2ω3VA2 A3 ,
его направление определяется поворотом вектора относительной
скорости V A2 A3 на 90° по направлению переносной угловой скорости
ω3 (см. рис. 3.2, а).
Далее вычисляется величина нормального ускорения точки А3:
W An3C = V A23 l A3C ,
направление которого от точки А к точке С параллельно прямой АС.
τ
r
Векторы W A3C , W A2 A3 известны только по направлению: векτ
r
тор W A3C перпендикулярен к направлению АС, а вектор W A2 A3 параллелен этому направлению. От точки а1,2 плана ускорений (см.
рис. 3.2, в) перпендикулярно к звену АС отложим отрезок k A2 A3 вектоk
ра W A2 A3 кориолисова ускорения по направлению так, чтобы конечные точки отрезков ( πа1, 2 ) и k A2 A3 совпадали (см. рис. 3.2, а, в). Теперь
через начальную точку отрезка k А2 А3 проводим параллельно звену АС
r
направление вектора W A2 A3 . Из полюса π отложим параллельно звену
АС в направлении от точки А к точке С отрезок n A3C , изображающий
38
n
вектор W A3C . Через конец этого вектора проведем перпендикулярно к
τ
звену АС направление вектора W A3C до пересечения в точке а3 с наr
правлением вектора W A2 A3 . Соединив точку а3 с полюсом π, получим
отрезок (πа3) абсолютного ускорения W A3 точки А3. Отрезки k A2 A3 и
n A3C находятся следующим образом:
k A2 A3 = W Ak2 A3 µW , n A3C = W An3C µW ,
отрезок (πb) определяется по правилу подобия:
CB
(πb)
CB
, тогда (πb) = (πa3 )
.
=
CA3
(πa3 ) CA3
Величина углового ускорения звена 3 находится по формуле
где W Aτ3C = (τ A3C )µW .
ε 3 = W Aτ3C l CA3 ,
τ
Для определения направления этого ускорения вектор W A3C переносим в точку А3 и устанавливаем, в какую сторону этот вектор вращает кулису ВС.
3.4. Метод подобия
В предыдущем разделе были приведены основные уравнения для
определения скоростей и ускорений отдельных точек кривошипношатунного механизма. Рассмотрим геометрический способ определения скорости и ускорения произвольной точки D, жестко связанной с шатуном 2 (рис. 3.3, а). В результате построения плана скоростей известны скорости двух точек звена 2: В и С. Зная скорости
этих двух точек звена, можно определить скорость любой его третьей
точки, например, точки D.
ur
ur
Скорость V D точки D связана со скоростями V B и V C точек В и С
зависимостями:
⎧⎪V D = V B + V DB ,
⎨
⎪⎩V D = V C + V DC ,
откуда V B + V DB = V C + V DC
.
⊥ DB
⊥ DC
39
Из точки b (см. рис. 3.3, б) проводится линия, перпендикулярная к
звену DB, а из точки С – линия, перпендикулярная к звену DC. Точка
пересечения этих линий есть искомая точка d конца вектора искомой
скорости VD , величина которой определяется как VD = ( pd )µV .
D
α
B
β
1
А
C
2
ω1
а
р,а
c
c
π
β
τСB
d
d
б
3
nСB
b
α
b
в
Рис. 3.3. Метод подобия для определения
скорости и ускорения точки D
в кривошипно-шатунном механизме
Следует обратить внимание на то, что треугольник ∆bcd на плане
скоростей звена 2 подобен ∆BCD на плане механизма по взаимной
перпендикулярности сторон. Кроме того, вершины этих треугольников расположены сходственно, т.е. буквы обоих контуров читаются в
одной и той же последовательности при определенном направлении
обхода контура. В рассматриваемом примере правильное расположение треугольника ∆bcd определяется тем, что, обходя контур этого
треугольника против хода часовой стрелки, получаем последовательность вершин b, с и d. В треугольнике на плане механизма при обходе
против хода часовой стрелки получается та же последовательность
вершин. Если треугольник ∆bcd показать в другом положении, симметричном относительно отрезка bc, то сходственности (подобности)
расположения треугольников ∆bcd и ∆BCD уже не будет.
Указанное свойство подобия справедливо для любого числа точек
на звене механизма. Поэтому можно сформулировать следующую
40
теорему, известную под названием теоремы подобия для плана скоростей звена: отрезки прямых линий, соединяющих точки одного и
того же звена на плане механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей,
образуют подобные и сходственно расположенные фигуры.
Фигура на плане скоростей повернута относительно фигуры на
плане механизма на 90°. Теорема подобия дает возможность определить скорость любой точки звена, если известны скорости двух точек
этого звена. Определим по правилу подобия ускорение точки D
звена 2. На отрезке (bc) плана ускорений (рис. 3.3, в) строим треугольник ∆bcd, подобный треугольнику ∆BCD на звене 2. Для этого
от точки b плана ускорений под углом α к отрезку (bc) с учетом правила «обхода букв» проводим линию, которая пересекается в точке d
с линией, проведенной от точки С плана ускорений под углом β к отрезку (bc) также с учетом правила обхода. Величина ускорения W D
точки D равна: WD = (πd )µW .
3.5. Особенности нахождения кинематических параметров
для групп III класса
При построении планов скоростей и ускорений плоских механизмов, в состав которых входят структурные группы выше II класса,
используются особые точки звеньев, называемые точками Ассура.
Рассмотрим, например, структурную группу III класса, состоящую из
четырех звеньев и шести вращательных пар (рис. 3.4, а). Звено CDE
называется базисным, а звенья CB, DG и EF – поводками, поэтому
иначе эта группа называется трехповодковой. Точки Ассура (S, S1, S2),
которые находятся на пересечении направлений любых двух поводков, считаются принадлежащими базисному звену.
Заданными принимаются скорости и ускорения центров крайних
пар: VB, VG, VF, WB, WG, WF. Определяется вектор скорости (ускорения) точки Ассура S базисного звена, после чего находится скорость
другой точки этого звена – точки Е. После нахождения точек S, E на
плане скоростей (ускорений) строится четырехугольник sedc, подобный четырехугольнику SEDC на плане группы и повернутый по отношению к нему на 90°.
41
VF
f
F
S
C
S2
S1
VB
B
b
c
E
D
s
d
VG
a
q
⊥ CB
e
⊥ ES
G
⊥ DG
P
⊥ EF
б
Рис. 3.4. Построение особых точек Ассура
Вектор скорости точки Ассура S определяется по уравнениям:
r
r
r
VSC
VS = VC +
;
⊥ SC
r
r
r
VSD
VS = VD +
;
⊥ SD
r
r
r
V
VC = VB + CB ;
⊥ СB
r
r
r
V
VD = VG + DG ;
⊥ DG
Первые два уравнения этой системы написаны для точек, принадлежащих базисному звену, третье – для точек звена CB, и четвертое –
для точек звена GD. Подставляя в первые два уравнения значения
скоростей V C и V D и приравнивая правые части этих уравнений, получаем:
V B + V CB + V SC = V G + V DG +V SD .
⊥ CB
⊥ DG
В этом уравнении векторы V CB и V SC подчеркнуты одной чертой,
так как их направления совпадают, векторы V DG и V SD также подчеркнуты одной чертой, поэтому уравнение допускает непосредственное графическое решение. Искомая точка S – конец вектора скорости точки Ассура – находится на пересечении линий, проведенных
перпендикулярно к отрезкам CВ и DG из точек b и q соответственно
42
(см. рис. 3.4, б). После определения скорости точки S базисного звена
находится скорость другой точки этого звена – точки Е из уравнений:
r
r
r
VES
VE = VS +
;
⊥ ES
r
r
r
VEF
;
VE = VF +
⊥ EF
Искомая точка е – конец вектора скорости точки Е – находится на
пересечении линий, проведенных перпендикулярно к отрезкам ES и
EF из точек s и f соответственно (см. рис. 3.4, б). Аналогично строится план ускорений.
3.6. Аналитические методы определения кинематических
параметров
Графические приёмы кинематического исследования плоских механизмов, изложенные в предыдущих разделах, применимы к механизмам любой сложности. Однако в некоторых случаях точность
графических методов оказывается недостаточной для практического
использования полученных результатов, и поэтому задача может
быть решена аналитически.
Аналитические формулы позволяют выяснить влияние различных
параметров на характер движения механизма, установить вид кривых,
описываемых отдельными точками механизма, и подобрать размеры
механизма по заданным условиям. В последнее время аналитическое
решение, которое является значительно сложнее графического, находит всё большее применение в связи с широким использованием
ЭВМ.
3.6.1. Метод преобразования координат при определении
положений звеньев механизмов с замкнутыми
контурами
Если механизм образован из незамкнутой кинематической цепи,
то положения звеньев всегда могут быть найдены из системы линейных уравнений. Если же механизм образован из замкнутой цепи, то,
размыкая одну или несколько кинематических пар, разделяют его на
несколько незамкнутых цепей, для каждой из которых находят поло43
жения элементов (точек, линий, поверхностей) разомкнутой кинематической пары. Приравнивая затем координаты, определяющие положения элементов одной и той же разомкнутой кинематической пары, получают уже нелинейную систему уравнений для определения
неизвестных величин. Указанный метод определения положений
звеньев механизма, называемый методом преобразования координат,
впервые с достаточной полнотой был развит в работах Ю.Ф. Морошкина.
3.6.2. Последовательность определения положения звеньев
плоских механизмов с низшими парами
Если в механизме имеется несколько структурных групп, то кинематический анализ выполняется в последовательности присоединения этих групп. В этом случае, кроме систем координат, связанных
с отдельными звеньями механизма, для каждой структурной группы
должна быть определена система координат, относительно которой
звенья группы образуют ферму, т.е. имеют число степеней свободы,
равное нулю. Например, плоский шестизвенный рычажный механизм
(рис. 3.5) состоит из одного начального звена 1, шарнирно соединенного со стойкой 0, и двух структурных групп (звенья 2, 3 и 4, 5). Для
определения положений всех звеньев механизма достаточно задать
значение обобщенной координаты φ1 и постоянные параметры механизма: длины звеньев lAB, lCD, lBM, lBC, lEF, lCM, lME и координаты центра F: xF, yF. Координаты точки В в неподвижной системе координат Axy находятся из соотношений: x B = l AB cosϕ1 ; y B = l AB sin ϕ1 .
Точка D имеет координаты: xD = lAD, yD = 0.
y
A
y2
y1
1 B
ϕ1
2
M
C
3
D
4
E
5
F
x
x1
x2
Рис. 3.5. Схема механизма для определения
положений звеньев
44
Следовательно, для первой структурной группы, состоящей из
звеньев 2 и 3, оказываются известными координаты точек B и D, т.е.
центров элементов внешних пар, что дает возможность найти положение координатных осей Bx1 y1 , связанных с первой двухповодковой
группой, и координаты точек С и М как в системе x1 y1, так и в системе xy. Затем по известным координатам точек М, F второй двухповодковой группы находятся положение координатных осей Mx2 y 2 и
координаты точки Е.
3.6.3. Определение положений звеньев механизмов с низшими
парами
Пусть, например, в механизме шарнирного четырехзвенника
ABCD (рис. 3.6) для определения положений звеньев заданы значения
обобщенной координаты φ1 и постоянные параметры кинематической
схемы – длины звеньев l0, l1, l2, l3. Разомкнем вращательную пару, образованную звеньями 2 и 3, и получим две незамкнутые кинематические цепи: первая цепь состоит из звеньев 0, 1 и 2, вторая – из звеньев
0 и 3. Находим координаты точки С в неподвижной системе координат для первой цепи и приравниваем их к значениям для второй цепи
(положительное направление углов поворота – против хода часовой
стрелки):
l1 cos ϕ1 + l 2 cos ϕ 2 = l 0 + l 3 cos ϕ 3 ⎫
⎬
l1 cos ϕ1 + l 2 cos ϕ 2 = l 3 sin ϕ 3
⎭
(3.1)
Исключив угол φ2, получим
cos ϕ 3 = A + B sin ϕ 3 ,
(3.2)
l22 − l02 − l12 − l32 + 2l0 l1 cos ϕ1
l1 sin ϕ1
=
;
=
A
B
где
.
2l3 ( l0 − l1 cos ϕ1 )
l0 − l cos ϕ1
Из уравнения (3.2) имеем
− AB ± 1 + B 2 − A 2
.
sin ϕ 3 =
2
1+ B
45
(3.3)
Угол ϕ3 находится по значениям его тригонометрических функций (3.2) и (3.3), причем двойной знак перед радикалом в формуле (3.3) соответствует двум возможным положениям звеньев 2 и 3,
симметричным относительно отрезка BD. Выбор варианта BCD или
BC′D производится в зависимости от предшествующего ближайшего
положения звеньев. После вычисления угла ϕ3 находится угол ϕ2 по
формуле (3.1).
y
C
ϕ2 2
l2
3
E
B
1
l1
A
O
|| Ax
l3
ϕ3
ϕ1
D
l0
x
C?
Рис. 3.6. Схема механизма для определения
положений звеньев
Если в механизме имеется несколько структурных групп, то уравнения для определения положений звеньев составляются в последовательности присоединения этих групп к начальным званьям. Такой
прием позволяет разделить всю систему уравнений на отдельные
подсистемы. Система уравнений для определения положения звеньев
каждой структурной группы при заданных положениях элементов ее
внешних пар составляется путем размыкания одной или нескольких
внутренних пар.
3.6.4. Система линейных уравнений для определения скоростей
и ускорений
В отличие от задачи аналитического определения положений
звеньев, которая сводится к решению системы нелинейных уравне46
ний, задача определения скоростей и ускорений любых точек на
звеньях плоских и пространственных механизмов всегда может быть
приведена к решению системы линейных уравнений и потому не
представляет особой сложности. Составление этих уравнений поясняется на примере шарнирного четырехзвенника (см. рис. 3.6). Для
определения угловых скоростей звеньев 2 и 3 при заданной угловой
~ – производная от угла поворота по времени,
~ звена 1 ( ω
скорости ω
1
которая может быть как положительной, так и отрицательной) дифференцируем по времени левые и правые части уравнений (3.1) и по~ иω
~ :
лучаем систему двух уравнений, линейных относительно ω
2
3
~ sin ϕ + l ω
~
~
l1ω
1
1
2 2 sin ϕ 2 = l 3 ω3 sin ϕ 3 ⎫
~ cos ϕ + l ω
~ cos ϕ = l ω
~ cos ϕ ⎬ .
l1ω
1
1
2 2
2
3 3
3⎭
(3.4)
Отсюда
~ = l1 sin(ϕ1 − ϕ 2 ) ω
~ ;
ω
2
1
l 2 sin(ϕ 3 − ϕ 2 )
~ .
~ = l1 sin(ϕ1 − ϕ 2 ) ω
ω
3
1
l 3 sin(ϕ 3 − ϕ 2 )
(3.5)
(3.6)
Для определения угловых ускорений звеньев 2 и 3 при заданном
угловом ускорении ~ε1 звена 1 дифференцируем по времени левые и
правые части уравнений (3.4) и получаем систему двух уравнений,
линейных относительно ~ε2 и ~ε3 ( ~ε – производная от угловой скорости по времени).
3.6.5. Аналоги скоростей и ускорений
Аналогом скорости точки называется первая производная радиуса-вектора точки по обобщенной координате механизма. Пусть, например, за обобщенную координату выбран угол ϕ1 поворота звена 1,
а звено i, на котором расположена рассматриваемая точка, совершает
прямолинейно-поступательное движение. Радиус-вектор этой точки
можно выбрать так, что он станет равным перемещению S1. Тогда
47
аналог скорости S i′ = dS i dϕ1 (производные по обобщенной коорди~
нате обозначены штрихами) связан со скоростью Vi = dsi dt соотношением
dS i dS i dϕ1
~
~ ,
=
, или Vi = S i′ω
(3.7)
1
dt
dϕ1 dt
~ – угловая скорость начального звена.
где ω
1
Аналогом ускорения точки называется вторая производная радиуса-вектора точки по обобщенной координате механизма. В рассмат~
риваемом примере ускорение Wi = d 2 Si dt 2 связано с аналогом ускорения Si′′ = d 2 Si dϕ12 соотношением, которое получается после дифференцирования уравнения (3.7):
~
~ 2 + S ′~ε ,
Wi = S i′′ω
1
i 1
~
где ε1 – угловое ускорение начального звена.
48
(3.8)
4. СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
4.1. Задачи силового анализа механизмов
Силовой анализ механизмов основывается на решении первой задачи динамики − по заданному движению определить действующие
силы. Поэтому законы движения начальных звеньев при силовом
анализе считаются заданными. Внешние силы, приложенные к звеньям механизма, обычно тоже считаются заданными, и, следовательно,
подлежат определению только реакции в кинематических парах.
При решении данной задачи используется принцип Даламбера
(кинетостатический принцип), согласно которому звено механизма
может рассматриваться как находящееся в равновесии, если ко всем
внешним силам, действующим на него, добавить силы инерции.
Уравнения равновесия в этом случае называются уравнениями кинетостатики, чтобы отличить их от обычных уравнений статики, т.е.
уравнений равновесия без учета сил инерции. Кинетостатический
расчет механизмов дает возможность определить реакции в кинематических парах, уравновешивающий момент или уравновешивающую
силу на ведущем звене и усилия, действующие на отдельные звенья
механизма. Эти усилия необходимы при расчете на прочность и определении их рациональных конструктивных форм.
4.2. Силы инерции звеньев механизма и точки их приложения
Как известно из теоретической механики, все силы инерции какого-либо звена, совершающего плоскопараллельное движение и
имеющего плоскость симметрии, параллельную плоскости движения,
могут быть сведены к силе инерции Fи, приложенной в центре масс S
звена, и к паре сил инерции, момент которой равен Ми. Сила Fи и
момент Ми определяются по формулам:
r
r
Fи = −mWS ;
(4.1)
r
r
M и = −J S ε ,
(4.2)
r
где m – масса звена; WS – вектор ускорения центра масс; JS – момент
инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения; ε – угловое ускорение звена.
49
Сила инерции звена Fи направлена противоположно ускорению WS точки S. Момент Ми пары сил инерции направлен противоположно ускорению ε. В общем случае плоского движения силу инерции и пару сил инерции можно заменить одной силой, которая должна быть смещена параллельно силе инерции на плечо h (рис. 4.1, а):
h = M и Fи ,
(4.3)
причем момент силы Fи относительно центра масс должен иметь то
же направление, что и момент пары сил инерции.
Fи
Fи
Fи
Fи
h
ε
ε
K
S
S
h
Ми
Ми
-Fи
-Fи
Ws
а
б
Рис. 4.1. Приведение силы и пары сил инерции к одной силе
При вращательном движении эта сила проходит через центр качания K (см. рис. 4.1, б). Расстояние между центром масс и центром
качания находится по формуле
l SK
r
JS
=
− mWS .
mlOS
(4.4)
Эту задачу об определении сил инерции звена, совершающего
сложное движение, можно решить несколько иначе, не приводя всех
сил инерции к одной результирующей силе, а вводя в рассмотрение
силу и пару сил, создающую добавочный момент. Этот метод основан на разложении сложного движения звена на поступательное с ускорением, равным ускорению центра масс S, и на вращательное вокруг оси, проходящей через центр масс звена, с угловым ускорением
ε.
r
В этом случае полная сила инерции Fи звена, равная Fи′ = – mWS , может
50
быть приложена в его центре масс S (рис. 4.2). Кроме того, на звено
действует пара сил инерции, момент которой Mи определяется по
формуле
r
r
М и = –JS ε .
Если динамические давления от пары сил с моментом Mи воспринимаются элементами кинематических пар В и С, то удобно этот момент представить как момент пары сил Fи′ и – Fи′ , приложенных в точках В и С и направленных перпендикулярно к оси звена ВС (рис. 4.2).
Fи'
Ми
ε
B
Fи
C
-Fи'
Рис. 4.2. Приведение силы материальных
точек звена к силе, приложенной
в центре масс, и к паре сил, приложенных
к концам звена
Величина сил Fи′ находится из формулы
Fи′ = M и lBC .
Полученная пара сил с плечом lBC должна иметь момент, по знаку
противоположный угловому ускорению ε. Таким образом, силы инерции звена ВС представляются в виде трех сил: силы Fи, приложенной к
центру тяжести S, и двух сил Fи′ и – Fи′ , приложенных в точках В и С.
4.3. Условие кинетостатической определимости
кинематических цепей
При решении задач силового расчета механизмов закон движения
ведущего звена предполагается заданным; также предполагаются известными массы и моменты инерции звеньев механизма. Вопрос о
силовом расчете механизмов начинается с рассмотрения вопроса об
определении реакций в кинематических парах. Силы взаимодействия
звеньев, возникающие в местах их соприкосновения, называют реак51
циями в кинематических парах.
Чтобы задачу определения реакций в кинематических парах сделать статически определимой, следует предположить, что давление в
парах распределяется равномерно по прилегающим поверхностям,
которые в первом приближении считаются абсолютно гладкими, т.е.
расчет ведется без учета сил трения.
Прежде чем решать задачу об определении реакций в кинематических парах, необходимо выяснить, для каких кинематических цепей
соблюдаются условия равенства числа уравнений кинетостатики и
числа неизвестных составляющих реакций в кинематических парах
(условие кинетостатической определимости). Для плоских кинематических цепей число уравнений кинетостатики при n звеньев равно
3n (равенство нулю суммы проекций сил на координатные оси и моментов сил относительно этих осей).
Следовательно, условие кинетостатической определимости для
плоской кинематической цепи имеет вид
3n = 2p5 + p4.
(4.5)
Это условие совпадает с условием равенства нулю числа степеней
свободы, т.е. кинетостатически определимыми группами являются
структурные группы Ассура.
Таким образом, кинетостатический расчет механизмов сводится к
расчету отдельных групп Ассура, причем силовой расчет начинается с
последней, считая от ведущего звена, присоединенной группы и кончается силовым расчетом ведущего звена.
Число неизвестных для каждой одноподвижной пары равно двум:
модуль реакции Fij звена i на звено j и угол αij (величина и направление реакции Fij) – для вращательной пары (рис. 4.3, а); модуль реакции Fij и координата хij (величина и точка приложения реакции Fij) –
для поступательной пары (рис. 4.3, б).
n
F ij = -F j i
i
F ij = -F j i
n
j
αij
i
i
j
n
F ij = -F j i
j
x ij
а
б
52
n
в
Рис. 4.3. Неизвестные реакции низших и высших пар плоского механизма
Высшая двухподвижная пара в плоском механизме дает одну неизвестную – модуль реакции Fij, так как направление этой реакции и
точка её приложения известны (рис. 4.3, в) (реакция Fij приложена в
точке соприкасания звеньев i и j и направлена по общей нормали n–n,
проведенной к соприкасающимся профилям звеньев i и j).
4.4. Планы сил для плоских механизмов
Графическое определение реакций в кинематических парах плоских механизмов путем построения планов сил применяется не только вследствие наглядности, но и потому, что внешние силы, действующие на звенья механизма, обычно известны лишь очень приближенно и точность простейших графических построений часто оказывается вполне достаточной.
4.4.1. Силовой расчет шарнирного четырехзвенника
Считается, что по заданному закону движения начального звена 1
(рис. 4.4, а) выполнен кинематический анализ и определены силы
инерции, которые, складываясь с внешними силами, дают для каждого звена одну результирующую силу F1′ , F2′ , F3′ и одну пару сил с моментом M1, M2, M3. Решение задачи начинается с рассмотрения условий равновесия двухзвенной группы, образованной звеньями 2 и 3
(рис. 4.4, б), отброшенные связи заменяются их реакциями: R12 в
паре B и R03 в паре Д, причем обе реакции неизвестны ни по величине,
r ни rпо направлению. Подлежит определению также реакция
R23 = − R32 . Здесь R12 – реакция, действующая на звено 2 со стороны
звена 1; R03 – реакция действия опоры 0 на звено 3; R23 – реакция действия звена 2 на звено 3; R32 – реакция действия звена 3 на звено 2.
Все решение состоит из трех этапов.
Первый
r
rэтап – определение тангенциальных составляющих реакций R12 и R03 . Каждая реакция раскладывается на две составляющие:
r
rn
направлены вдоль отрезков ВС
нормальные составляющие R12n и R03
53
r
rt
и СД, а тангенциальные составляющие R12t и R03
– перпендикулярно к
ним, при этом направление векторов выбирается произвольно.
Составляется уравнение моментов относительно точки С всех
сил, действующих на звено 2:
r
R t 12 l BC − M 2 − F2 h2 µ l = 0 ,
где h2 – плечо силы F2 относительно точки С (мм).
rt
Из этого уравнения определяется реакция R12 . Далее составляется
уравнение моментов относительно точки С всех сил, действующих на
звено 3:
rt
R 03 l CD − M 3 − F3 h3 µ 3 = 0 ,
точки С (мм),
где h3 − плечо силы F3 относительно
rt
и определяется реакция R03 .
Если после решения уравнений какая-либо составляющая получилась со знаком минус, то направление этой составляющей необходимо изменить на противоположное.
F2
F2
h2
µl(м/мм)
2
B
B
3
M2
R12
h3
M2
M3
t
M3
M1
1
S2
n
S2
F1
S1
C
C
R12
S3
S3
F3
F3
t
R03
D
A
D
0
n
R03
а
б
b
F1
R21
F3
B
R23
c
t
R03
F2
n
R03
R03
M1
h21
d
f
n
R12
e
R12
A
My
h1
R01
µF (Н/мм)
t
R12
F1
a
R01
R21
54
г
в
д
Рис. 4.4. Силовой расчет шарнирного четырехзвенника
r
rn
Второй этап – определение нормальных составляющих R12n и R03
– выполняется на основании графического решения векторного уравнения суммы сил, действующих на всю структурную группу:
r
r
r
r
r
R n12 + R t 12 + F2 + F3 + R t 03 + R n 03 = 0 .
||BC
||CД
Сумма указанных векторов образует замкнутый векторный контур, называемый планом сил. После выбора масштабного коэффициента (масштаба) µF (H/мм) на планеrсил (см. рис.r 4.4, в) откладываютt
, модули которых
ся векторы, изображающие силы R12t , F2 , F3 , R03
равны: ( fa ) = R t 12 µ F , (ab) = F2 µ F , (bc) = F3 µ F , (cd ) = R t 03 µ F ,
при этом стрелки векторов должны соответствовать одному и тому
же направлению обхода контура.
r
rn
проводятся из
Направления нормальных составляющих R12n и R03
rt
rt
начала вектора R12 (точка f) и конца вектора R03 (точка d). Точка e
пересечения этих направлений определит
de и ef, соответстrn
r n отрезки
вующие нормальным составляющим R03 и R12 . Сумма нормальных и
r
r
тангенциальных составляющих определяет полные реакции R12 и R03 .
r
r
r
Третий этап – определение реакции R23 ( R23 = − R32 ). Эта реакция находится из уравнения суммы сил, действующих на звено 3 (или
на звено
r r2): r
F3 + R03 + R23 = 0 .
Для решения уравнения
достаточно соединить точки rb и e плана
r
сил, стрелка вектора R23 направлена к точке b, вектора R32 – к точке e.
Далее выполняется силовой расчет ведущего звена (см.
рис. 4.4, д). Из формулы (4.5) следует, что под действием произвольно приложенных сил, в том числе и сил инерции, ведущее звено не
находится в равновесии, так как при числе подвижных звеньев n = 1 и
числе пар V класса p5 = 1 число уравнений равновесия, которые можно составить, на единицу больше числа неизвестных, подлежащих
определению: 3n – 2p5 = 3 – 2 = 1. Для сохранения равновесия необходимо дополнительно ввести силу или пару, уравновешивающую
55
все силы, приложенные к ведущему звену. Эта сила и момент пары
носят название уравновешивающей силы Fy и уравновешивающего
момента My.
После силового расчета структурной группы 2–3 r(см. рис. 4.4, б)
определяется реакция звена 2 на кривошип 1 – сила R21 . Кроме того,
r
кривошип находится под действием силы F1 и пары сил с моментом
M1, представляющих собой результирующие от внешних
нагрузок и
r
сил инерции. Под воздействием этих сил и реакции R01 стойки кривошип в общем случае не будет находиться в равновесии.r Для равновесия необходимо приложить уравновешивающую силу Fy или уравновешивающий момент My. Этими уравновешивающими силой и моментом являются реактивные силы или момент от той рабочей машины, которая приводится в движение рассматриваемым двигателем.
Практически возможны два случая:
1. Если кривошипный вал соединен с валом двигателя посредством муфты, то в этом случае к валу приложен уравновешивающий
момент, последним является реактивный момент сил сопротивления
рабочей машины.
1) Для начального звена 1 можно составить одно векторное уравнение суммы сил и одно скалярное уравнение суммы моментов сил
относительно точки A (см. рис. 4.4, г):
r
r
r
F1 + R21 + R01 = 0 ,
− F1 h1µ l + R21 h12 µ l − M 1 − M y = 0 .
Из первого уравнения
построением плана сил (см. рис. 4.4, д) наr
ходится реакция R01 , а второе уравнение позволяет определить My.
2) Если при расчете ведущего звена F1 и M1 отсутствуют
(рис. 4.5, а), то в этом случае
M y = R21 h21µ l ,
а реакция
r в опоре
r вала будет равна действию второго звена на кривошип: R01 = − R21 .
2. Если кривошипный вал соединен с двигателем посредством
зубчатой передачи (рис. 4.5, б), то в этом случае на звено АВ действует уравновешивающая сила (реактивная сила рабочей машины) со
стороны сопряженного колеса под углом ( 90° − α ) к линии центров
56
колес (α − угол зацепления). Величина Fy определяется из равенства
F y h y − R12 h21 = 0 ,
h
F y = R21 21 ,
hy
откуда
r
а реакция R01 – из векторного уравнения
r
r
r
R21 + F y + R01 = 0 ,
r
в котором один неизвестный вектор R01 .
R21
B
My
h21
A
R01 = -R21
а
α
Fy
R21
B
h21
hy
A
R21
R01
Fy
R01
(90 - α)
б
в
Рис. 4.5. Определение реакции в опоре ведущего звена
Графическим решением этого уравнения является треугольник
сил (см. рис. 4.5, в).
57
4.4.2. Силовой расчет кривошипно-ползунного механизма
Кривошипно-ползунный механизм (рис. 4.6, а) состоит из двухповодковой группы (звенья 2 и 3) и ведущего звена 1.
Пусть на двухповодковую группу действует ряд заданных сил F2,
F3 и момент M2, а на ведущее звено 1 – уравновешивающий момент My. Структурная группа 2–3 (рис. 4.6, бr) освобождается от связей, и вместо них прикладываются реакция R12 в шарнире В и реакr
r
ция R03 в поступательной паре. Реакция R12 неизвестна ни по величине, ни по направлению,
r но линия ее действия проходит через центр
шарнира В. Реакция R03 перпендикулярна к направляющей ползуна
х−х и проходит через точку С.
B
2
М2
1
S2
Мy
ω1
F2
С
А
3
F3
а
R12
B
2
h2
h3
h03
М2
S2
F2
3
С
x
F3
x
R03
б
R21
F3
R23
F2
R03
R32
1
А
R12
R21
58
Мy
h21
R01
R01
в
г
Рис. 4.6. Силовой расчет кривошипно-шатунного механизма
Составляется уравнение моментов всех сил, действующих на
структурную группу 2–3 относительно точки А:
M 2 − F2 h2 − F3 h3 + R03 h03 = 0 ,
F h + F3 h3 − M 2
.
R03 = 2 2
откуда
h03
Далее строится план сил для всей
группы
(см. рис. 4.6, в)
r
r
r в целом
r
согласно векторному уравнению R03 + F3 + F2 + R12 = 0 .
r
r
Для определения реакций R23 и R32 необходимо на плане сил
геометрически
r
r
rсложить все силы, действующие на звено 2:
R12 + F2 + R32 = 0 ,
или rвсе силы,
действующие
на звено 3:
r
r
R03 + F3 + R23 = 0 ,
r
r
причем R23 = − R32 .
Далее осуществляется силовой расчет
r
r ведущего звена 1
(рис. 4.6, г), на которое действуют силы R21 , R01 и момент My. Для
этого составляется уравнение моментов всех сил, действующих на
звено 1, относительно точки А:
R21 h21 − M y = 0 ,
откуда M y = R21 h21 .
r
r
Условие равновесия сил R21 и R01 представляет собой пару сил с
плечом h21 [15].
4.4.3. Силовой расчет кулисного механизма
Кулисный механизм (рис. 4.7, а) состоит из двухповодковой
группы (звенья 2 и 3) с двумя шарнирами В и С (поступательная пара)
и ведущего звена 1. Пусть на двухповодковую группу действует заMy .
данная сила F3, а на ведущее звено – уравновешивающий момент
r
На звенья группы, состоящей из звеньев 2 и 3, кроме сил F3 действуr
ют еще реакции R03 и R12 (рис. 4.7, б). Реакция R03 проходит через
центр шарнира С и неизвестна ни по величине, ни по направлению,
реакция R12 прикладывается в центре вращательной пары В, направ59
ление которой определяется из условия равновесия камня кулисы В:
r
r
R12 + R32 = 0 ,
r
где R32 – реакция (давление) со стороны кулисы 3 на камень 2.
Так rкак кулиса 3 и камень 2 образуют поступательную пару, то
вектор R32 будет направлен перпендикулярно к оси кулисы (перпендикулярно к звену СД), если не учитывать силы трения. СледовательRr12 тоже
но, вектор
r
r будет направлен перпендикулярно к звену СД,
R12 = − R32 = R23 .
r
Величина силы R12 определяется из уравнения моментов всех сил,
действующих на группу 2–3, относительно точки С:
∑ M C ( F1 ) = F3 h3 − R12 l CB = 0 ,
h
откуда R12 = F3 3 .
l CB
Строится план сил (см. рис. 4.7, в), действующих на всю группу 2–3, согласно векторномуrуравнению
r
r
R21 + F3 + R03 = 0 ,
отсюда определяется реакция R03.
Затем производится силовой расчет ведущего звена (рис. 4.7, г),
для чего составляется уравнение моментов относительно точки А:
R21 h21µ l − M y = 0 ,
r
r
и находится момент My. Сила R21 = − R12 , где R12 определена из силоr
r
вого расчета группы 2–3. Реакция R01 равна по величине реакции R21
и направлена в противоположную сторону [15].
D
F3
R1
D
3
2=
1
A
Мy
С
R3
h3
B
ω1
R2
3
B
2
2
2
3
С
3
а
60
R03
б
R 21
A
R12
R03
h21 1
В
М
y
R 01
F3
в
г
Рис. 4.7. Силовой расчет кулисного механизма
4.5. Теорема Жуковского
Если силу, приложенную к какой-либо точке звена плоского механизма, перенести параллельно самой себе в одноименную точку
повернутого плана скоростей, то момент этой силы относительно полюса плана скоростей будет пропорционален ее мощности.
Пусть, например, сила Fi, приложенная в точке Di механизма, перенесена без изменения ее направления в точку di повернутого на 90°
плана скоростей (рис. 4.8, а, б). Тогда момент силы Fi относительно
полюса равен:
M p ( Fi ) = Fi hi = FiVi cos α i = 0 ,
(4.6)
так как угол αi на плане скоростей между отрезком PK i , изображающим скорость Vi точки приложения
r силы Fi и плечом hi равен углу αi
на плане механизма между силой Fi и скоростью Vi по взаимной перпендикулярности сторон.
P
αi
Fi
hi
Ki
Vi
Vi
а
61
αi
Fi
Ki
б
h2'' p h2
h2'
2
B
1
A
My
ω1
С
S2
F2
M2
3
F 2'
c
s2
b
D
в
F2
Fy
F 2''
г
Рис. 4.8. К теореме Н.Е. Жуковского
Таким образом, условие равновесия повернутого плана скоростей
как жесткого рычага, нагруженного перенесенными силами, будет
выражаться уравнением (4.6), которое означает, что сумма моментов
всех сил, действующих на жесткий рычаг, относительно полюса P
плана скоростей должна равняться нулю (теорема Жуковского о
рычаге).
Если на звено действует пара сил, то на повернутый план скоростей необходимо переносить каждую составляющую этой пары отдельно. Теорему Жуковского можно использовать для определения
уравновешивающей силы, не устанавливая всех реакций в кинематических парах механизма.
Можно применить метод Жуковского для нахождения уравновешивающей силы Fy. Пусть на звено 2 (см. рис. 4.8, в) шарнирного четырехзвенника действуют сила F2 и момент M2, приложенные в точке S2. В общем случае под действием произвольно выбранных силы и
момента механизм не будет находиться в равновесии. Для приведения механизма в равновесное состояние необходимо в какой-либо
точке механизма приложить уравновешивающую силу Fy, задаваясь
ее линией действия, или уравновешивающий момент My пары сил. За
точку приложения Fy принимаем точку b ведущего звена, направляя
ее перпендикулярно к звену АВ.
В произвольном масштабе строится повернутый наr90° план скоростей (рис. 4.8, г) механизма, и переносятся вектор F2 и уравновешивающая сила Fy параллельно самим себе в точки S2 и b, одноименные с точками приложения этих сил в механизме. Момент M2 удобно
представить в виде пары сил F2′ и F2′′ c плечом ВС, которые перпендикулярны к отрезку ВС:
62
F2′ = F2′′ = M 2 l BC .
За точки приложения сил F2′ и F2′′ пары выбираются центры В и С
вращательных пар. Далее силы F2′ и F2′′ переносятся на повернутый
план скоростей. Принимая план скоростей за рычаг, нагруженный силами F2, F2′ , F2′′ и Fy, составляется уравнение моментов этих сил относительно полюса p плана скоростей:
Fy ( pb) + F2′′h2′′ − F2 h2 − F2′h2′ = 0 .
Из этого уравнения определяется величина уравновешивающей
силы:
F h + F2′h2′ − F2′′h2′′
,
Fy = 2 2
pb
а уравновешивающий момент, приложенный к звену АВ, равен:
M y = F y l AB .
4.6. Учет сил трения при силовом расчете
При рассмотрении кинетостатического расчета механизмов предполагалось, что силы трения вr кинематических парах отсутствуют.
Для учета сил трения реакцию R12 в поступательной паре следует направлять, как известно, под углом
r трения φ к нормали (рис. 4.9, а), а
во вращательной паре реакция R12 должна быть направлена по касательной к кругу трения (рис. 4.9, б). Эта касательная должна быть
проведена так, чтобы реакция R12 препятствовала вращению тела 2 с
угловой скоростью ω21. Радиус ρ круга трения будет приближенно равен: ρ = r sin ϕ ≈ rtgϕ ≈ rf , где r – радиус цилиндрического элемента
пары, а f – коэффициент трения во вращательной паре.
Полный учет сил трения в механизмах усложняет все силовые
расчеты и графические построения. Поэтому на практике часто пользуются приближенным методом, по которому первый расчет делается
без учета сил трения. Найдя давления в шарнирах без учета сил трения (например, нормальная реакция на поверхности трения N12 во
вращательной паре без учета сил трения) и задаваясь величиной коэффициента трения f, определяют соответствующие силы трения F12
в шарнирах (например, F12 = f N12), после чего весь расчет повторяют
снова, вводя найденные силы трения в число внешних сил, приложенных к рассматриваемым звеньям.
63
N 12
N 12
R12
αi
2
2
r
ω21
ρ
ϕ
V 21
1
Fi
x
x
1
R12
ϕ
F 12
F 12
а
б
Рис. 4.9. Учет сил трения
Тогда коэффициент трения f определяется как f = tgϕ = F12 N12 .
Угол φ, который полная реакция R12 составляет с нормальной составляющей N12, называется углом трения.
Угловая скорость ω21 звена 2 относительно звена 1 (относительная угловая скорость) равна: ω21 = ω2 – ω1.
Сила трения F12 звена 1 на звено 2 направляется против относительной угловой скорости ω21 [10, 13].
4.7. Самоторможение
При действии сил трения в кинематической паре возможен случай, когда относительное движение звена в требуемом направлении
не может начаться независимо от значения движущей силы. Этот
случай называют самоторможением.
Пусть, например, на звено 2,
r движущееся по неподвижной направляющей 1, действует сила Fi , которая составляет со скоростью
r
V21 угол ( 90° − αi ) (см. рис. 4.9, а). При αi > φ звено 2 движется ускоr
ренно в направлении, указанном вектором V21 , так как проекция силы
r
Fi на ось x−x больше силы трения F12. При αi < φ звено 2 движется
r
замедленно, если в начальный момент двигалось со скоростью V21 .
Если же начальная скорость равна нулю, то движение звена не
может начаться независимо от значения движущей силы. rПри αi = φ
возможно равномерное движение звена 2 со скоростью V21 . Однако
64
при начальной скорости, равной нулю, движение также не может начаться. Отсюда следует, что условие самоторможения выражается
неравенством αi ≤ φ, т.е. при самоторможении направление движущей
силы проходит внутри угла трения.
4.8. Угол давления
Углом давления на звено j со стороны звена i называется угол между направлением силы давления (нормальной реакции) на звено j со
стороны звена i и скоростью точки приложения этой силы. Угол давления на звено j со стороны звена i обозначается через βij. Если рассматривается лишь один угол давления, индексы в обозначениях
опускаются. Например, при синтезе кулачкового механизма
(рис. 4.10) имеет значение лишь угол давления β12, который обозначен через β.
rb
rb
С увеличением угла β увеличиваются составляющие R02 и R02 , и
соответственно увеличиваются потери на трение.
в
R02
B
V2
С
с
R02
β
R12
2
R21
ω1
1
Рис. 4.10. Угол давления
в кулачковом механизме
При больших значениях угла давления возможно даже самоторможение, поэтому параметры механизма выбираются так, чтобы угол
давления β не превосходил допускаемого значения βдоп, выбор которо65
го зависит от типа механизма.
4.9. Коэффициент полезного действия механизма
Силы, приложенные к звеньям механизма, можно разделить на
силы движущие, работа которых Адв положительна, и силы сопротивления, работа которых отрицательна. Силы сопротивления в свою
очередь можно разделить на силы полезного сопротивления, для преодоления которых механизм предназначен, и силы вредного сопротивления. К последним относятся силы трения в кинематических парах, силы сопротивления масла при работе зубчатых колес в масляной ванне и т.п.
При неравномерном движении (в период пуска) звеньев механизма работа движущих сил расходуется на преодоление полезных и
вредных сопротивлений и на изменение кинетической энергии звеньев механизма. При периодическом (установившемся) движении механизма все звенья имеют одинаковые скорости в начале и в конце
периода. Таким образом, кинетическая энергия каждого звена в начале и в конце периода одинакова. Поэтому при установившемся движении работа движущих сил Адв за период расходуется только на преодоление полезных и вредных сопротивлений. Часть работы движущих сил, расходуемая за период на преодоление только полезных сопротивлений, называется Апс, другая часть работы движущих сил,
идущая на преодоление вредных сопротивлений, обозначается Авс.
Следовательно,
Адв = Апс + Авс,
где Апс – работа сил полезного сопротивления за цикл движения механизма (машинного агрегата); Авс – работа сил вредных сопротивлений.
При установившемся движении агрегата в качестве критерия, характеризующего степень механического совершенства машины или
механизма, пользуются понятием средней величины механического
коэффициента полезного действия (КПД).
КПД механизма η называется отношение работы Апс, затраченной
на преодоление сил полезного сопротивления, к работе всех движущих сил Адв за время установившегося движения:
66
Anc Адв − Авс
А
(4.7)
=
= 1 − вс = 1 − ϕ ,
Aдв
Адв
Адв
где ϕ = Авс Адв – коэффициент потерь в механизме.
Чем меньше потери работы на вредные сопротивления, тем больше Апс приближается к Адв и тем выше КПД, а следовательно, совершеннее механизм в энергетическом отношении.
η=
4.9.1. Коэффициент полезного действия ряда механизмов,
соединенных последовательно
Если n механизмов соединены последовательно (рис. 4.11) и известны КПД каждого механизма η1, η2, η3 ..., то общий КПД можно
определить следующим образом. Допустим, движущая сила приложена к первому механизму, а сила полезного сопротивления – к последнему. Часть работы движущей силы Адв пойдет на преодоление
вредных сопротивлений в первом механизме, а оставшаяся часть согласно формуле (4.7), равная А1 = η1Адв, может рассматриваться как
работа движущих сил второго механизма (полезная работа А1 первого
механизма, затрачиваемая на производственные сопротивления, является работой движущих сил для второго механизма). Часть этой оставшейся работы пойдет на преодоление вредных сопротивлений во
втором механизме, и работой движущих сил третьего механизма будет: А2 = η2А1 = η1η2Адв.
А дв
η1
А1
η2
А2
η3
А3
А n-1
ηn
Аn
Рис. 4.11. Схема последовательного соединения механизмов
Для преодоления полезных сопротивлений, приложенных к n-му
механизму, может быть использована работа Аn = η1η2η3...ηnАдв, откуда КПД всей цепи механизмов при их последовательном соединении
равен:
А
η = п = η1η 2η 3 ...η п .
(4.8)
Адв
Формула (4.8) показывает, что чем больше механизмов в цепи,
тем ниже их общий КПД. Отсюда стремление к конструкциям с малым числом механизмов.
4.9.2. Коэффициент полезного действия ряда механизмов,
67
соединенных параллельно
При параллельном соединении n механизмов (рис. 4.12) считается, что движущая сила приложена к общему приводу всех механизмов, а силы полезного сопротивления – к каждому отдельному механизму. Если движущая сила, передаваемая от общего привода i-му
механизму, совершает работу Аi, то для преодоления полезного сопротивления этого механизма может быть использована работа Аi′,
связанная с работой Аi формулой (4.7): Аi′ = η1Аi.
А дв
1
η1
А 1'
А2
η2
А 2'
А3
η3
А 3'
Аn
ηn
А n'
Рис. 4.12. Схема параллельного
соединения механизмов
Общая работа, идущая на преодоление полезных сопротивлений
всех механизмов, равна:
Апс = ∑ Аi′ = A1′ + A2′ + A3′ + ... + An′ = η1 А1 + η 2 А2 + η 3 А3 + ... + η п Ап ,
а общая работа движущей силы:
Адв = ∑ Аi = A1 + A2 + A3 + ... + An =
A′
A1′ A2′ A3′
+
+
+ ... + n .
η1 η 2 η 3
ηn
Поэтому КПД всей цепи механизмов при параллельном их соединении:
η=
Апс η1 А1 + η 2 А2 + η 3 А3 + ... + η п Ап
А′ + А2′ + А3′ + ... + Ап′
. (4.9)
=
= 1
Ап′
А1′ А2′ А3′
Адв
А1 + А2 + А3 + ... + Ап
+
+
+ ... +
η1 η 2 η 3
ηп
При параллельном соединении низкое качество одного механизма
68
меньше влияет на величину КПД всей цепи, чем при последовательном соединении механизмов.
4.9.3. Коэффициент полезного действия механизмов
при смешанном соединении
Смешанное соединение (рис. 4.13) распадается на отдельные участки цепей, имеющих последовательный или параллельный характер
соединения.
А дв
А1
1
А2
2
А3
3
Аn
А' 1
1'
А' 2
2'
А' 3
3'
А n'
А" 1
1" А" 2
2" А" 3
3"
А n"
Рис. 4.13. Схема смешанного соединения механизмов
КПД каждого из участков рассчитывается отдельно по ранее приведенным формулам, после чего в зависимости от структуры смешанного соединения определяется и общий КПД:
Апс = Ап + Ап′ + Ап′′ ;
Ап Ап′ Ап′′
+
+
,
η п η′п η′п′
где ηn, ηn′, ηn′′ – общие КПД каждого из потоков; η п = η1η 2 η 3 ,
η′п = η1′ η′2 η′3 , η′п′ = η1′′η′2′ η′3′ .
Адв = А1 + А1′ + А1′′ =
Общий КПД всей системы механизмов равен:
η=
Ап + Ап′ + Ап′′
.
Ап Ап′ Ап′′
+
+
′
η п η п η′п′
69
(4.10)
5. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА
5.1. Основные задачи динамического исследования
Изучение закона движения механизма под действием заданных
сил является одной из основных задач динамики машин. При решении задач кинематики и кинетостатики механизмов в первом приближении предполагают, что закон движения ведущего звена известен, и принимают его скорость постоянной. В действительности кинематические параметры являются функцией действующих внешних
сил и масс подвижных звеньев, и определение истинного закона движения механизма (машины) требует эксперимента или специального
расчета. При конструировании машины знание истинного закона
движения необходимо для учета динамических нагрузок.
Следовательно, точное определение действительных перемещений, скоростей, ускорений и времени движения механизма требует
рассмотрения второй основной задачи динамики – установления закона движения по заданным внешним силам и массам. Для решения
этой задачи необходимо составить уравнение движения системы и
решить его относительно неизвестного кинематического параметра.
При определении закона движения механизма (машины) задача
может быть упрощена, если массы всех подвижных звеньев, перемещающихся каждое по своему закону, заменить динамически эквивалентной расчетной массой звена приведения, к которому привести
также все внешние силы и моменты сил. В качестве звена приведения
в большинстве случаев оказывается удобным принять входное звено
механизма. После определения истинного закона движения звена
приведения движение остальных звеньев механизма находится методами кинематического анализа.
5.2. Уравнение движения механизма в форме интеграла
энергии (уравнение кинетической энергии)
Уравнения движения механизма могут быть представлены в раз70
личных формах. Для механизмов с одной степенью свободы одна из
наиболее простых форм получается на основании теоремы об изменении кинетической энергии. Уравнение движения механизма в этом
случае имеет вид
mVi 2 i =n mV02 i =n
(5.1)
−∑
= ∑ Ai = Aд − Ac ,
∑ Ti − ∑ Ti 0 = ∑
i =1
i =1
i =1 2
i =1 2
i =1
где Ti, Ti0 – кинетическая энергия звена i в конце и начале рассматриваемого промежутка времени; n – число подвижных звеньев механизма; Vi, V0 – скорости в конце и начале рассматриваемого перемещения; Аi – работа внешних (по отношению к механизму) сил и моментов, действующих на звено i; Aд – работа всех движущих сил;
Ac – работа всех сил сопротивления.
Уравнение (5.1) можно получить из дифференциальных уравнений движения звеньев механизма путём их интегрирования. На этом
основании данное уравнение называют уравнением движения механизма в форме интеграла энергии.
В плоском механизме каждое звено совершает либо поступательное, либо вращательное, либо плоскопараллельное движение. Если
звено совершает плоскопараллельное движение, то кинетическую
энергию Ti звена определяют по формуле
i =n
i =n
i =n
J si ωi2 miV si2
Ti =
+
= 0,5 J si ωi2 + miV si2 ,
(5.2)
2
2
где Jsi – момент инерции звена i относительно оси, проходящей через
центр S масс звена перпендикулярно к плоскости движения; ωi – угловая скорость звена i; mi – масса звена i; Vsi – скорость центра масс S
звена i.
Первое слагаемое правой части формулы (5.2) представляет собой
кинетическую энергию во вращательном движении звена, а второе –
кинетическую энергию в поступательном движении вместе с центром
масс того же звена.
При вращательном движении звена вокруг неподвижной оси О
кинетическую энергию подсчитывают по формуле
(
J 0 ωi2
Ti =
,
2
)
где J0 – момент инерции звена относительно неподвижной оси О вра71
вращения.
Если звено движется поступательно, то его угловая скорость ωi
равна нулю, и для вычисления кинетической энергии этого звена достаточно использовать второй член правой части равенства (5.2):
miVsi2
.
Ti =
2
Кинетическая энергия Т всего механизма равна сумме кинетических энергий ΣTi всех его звеньев и в общем виде может быть представлена формулой
⎛ J si ωi2 miVsi2 ⎞
⎟.
T = ∑ Ti = ∑ ⎜⎜
+
2
2 ⎟⎠
i =1 ⎝
i =n
(5.3)
5.3. Приведение сил и масс в плоских механизмах
Уравнение движения механизма (5.1) представляется довольно
громоздким даже для плоских механизмов с небольшим числом
звеньев вследствие необходимости производить суммирование по
n звеньям. Для механизмов с одной степенью свободы можно получить более простую запись этого уравнения. С этой целью уравнение (5.1) заменяется тождественным ему уравнением движения одного звена (или одной точки звена), которое движется так, что его
обобщенная координата совпадает в любой момент времени с обобщенной координатой механизма.
Пусть, например, начальное звено механизма совершает вращательное движение. Тогда уравнение (5.1) можно заменить тождественным ему уравнением движения одного вращающегося звена –
звена приведения (рис. 5.1, а).
Fп
B
Mп
ω
A
V
S
ϕ
Iп
Fп
mп
а
72
B
б
Рис. 5.1. Приведение сил и масс в плоских механизмах
Момент инерции этого звена относительно оси вращения, обозначенный через Jn, называется приведенным моментом инерции. Примем также, что на звено приведения действует пара сил с моментом Mn, который называется приведенным моментом сил. Полученная
расчётная схема представляет собой одномассовую динамическую
модель механизма.
Напишем уравнение движения звена приведения в форме интеграла энергии для некоторого конечного промежутка времени, за который обобщенная координата изменяется от φ0 до φ, а приведенный
момент инерции (в общем случае величина переменная) – от Jn до Jn0:
ϕ
J n ω2 J n 0 ω0
∫ϕ M n d ϕ = 2 − 2 ,
0
(5.4)
где ω – угловая скорость звена приведения, которая по условию
должна совпадать с угловой скоростью начального звена; ω0 – значение угловой скорости ω при φ = φ0.
Для того чтобы уравнения (5.1) и (5.4) были тождественными, необходимо (и достаточно) выполнение двух условий:
ϕ
∫M
ϕ0
i =n
n
d ϕ = ∑ Ai ;
(5.5)
i =1
J n ω2 i = n
= ∑ Ti ,
(5.6)
2
i =1
причем если удовлетворяется уравнение (5.6), справедливое для любого момента времени, то удовлетворяется и уравнение
J n 0 ω 02 i = n
= ∑ Ti 0 .
2
i =1
Из уравнения (5.5) можно найти приведенный момент силы Mn, а
из (5.6) – приведенный момент инерции Jn.
В основу приведения сил и моментов пар сил для систем с одной
степенью свободы на основании принципа возможных перемещений
должно быть положено условие равенства элементарных работ или
мощностей (Nn), развиваемых приведенными силами или приведен73
n
ными моментами, и элементарных работ или мощностей ( ∑ N i ), раз1
виваемых силами и моментами, приложенными к звеньям исследуемого механизма. Для определения приведенных сил или их моментов
может быть использовано равенство
i =n
Nn = ∑ Ni .
(5.7)
i =1
Мощность Nn может быть представлена как
N n = M n ω = FnV ,
(5.8)
где Fn – величина силы, приведенной к точке В звена приведения
(см. рис. 5.1, б); V – скорость точки B звена приведения; Mn – приведенный момент; ω – угловая скорость звена приведения.
Величины приведенного момента Mn и приведенной силы Fn
можно представить в следующем виде:
i =n
Mn =
∑ Ni
i =1
ω
;
(5.9)
.
(5.10)
i=n
Fn =
∑ Ni
i =1
V
r
Пусть на звено I действует сила Fi , для которой скорость точки её
r
приложения равна Vi , и пара сил с моментом Mi, который считается
положительным, если его направление совпадает с направлением угловой скорости звена ωi, и отрицательным, если эти направления –
i =n
противоположные. Тогда сумма ∑ N i в развернутом виде может быть
i =1
представлена как
i=n
i=n
i=n
i =1
i =1
i =1
∑ N i = ∑ FiVi cos α i + ∑ M i ω i ,
(5.11)
где Fi и Mi – сила и момент, приложенные к звену I; Vi – скорость точ74
точки приложения силы Fi; ωi – угловая скорость звена I; αi – угол,
образованный силой Fi и вектором скорости Vi.
n
Подставляя выражение для ∑ N i из уравнения (5.11) в уравнение
1
(5.9), получаем
i =n
M n = ∑ Fi
i =1
Vi cos α i i = n
ω
+ ∑Mi i .
ω
ω
i =1
(5.12)
Приведенным моментом Mn называется приложенный к ведущему
звену момент, элементарная работа которого равна сумме элементарных работ всех сил, приложенных к разным звеньям механизма. Из
уравнения (5.6) следует, что приведенным моментом инерции называется момент инерции такого условного звена, для которого кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех движущихся
звеньев механизма.
Подставляя значения Ti из уравнения (5.2) в уравнение (5.6) и
производя преобразования, получаем
2
⎡ ⎛ ωi ⎞ 2
⎛ V si ⎞ ⎤
J n = ∑ ⎢ J si ⎜ ⎟ + mi ⎜ ⎟ ⎥ .
i =1 ⎢
⎝ ω ⎠ ⎥⎦
⎣ ⎝ω⎠
i =n
(5.13)
Если начальное звено совершает прямолинейно-поступательное
движение (см. рис. 5.1, б), то динамическая модель механизма представляет собой материальную точку с массой mn (приведенной массой), которая движется под действием силы Fn, называемой приведенной силой, так что обобщенная координата S этой точки совпадает
с обобщенной координатой механизма в любой момент времени.
n
Подставляя выражение для ∑ N i из уравнения (5.11) в уравнение
1
(5.8), получаем
i =n ⎡
V cos α i
ω ⎤
Fn = ∑ ⎢ Fi i
+ Mi i ⎥.
V
V ⎦
i =1 ⎣
(5.14)
Выражение (5.6) представляет собой кинетическую энергию звена
приведения, а для точки приведения кинетическая энергия имеет вид
75
m nV 2
.
∑ Ti =
2
i =1
Подставляя (5.2) в (5.15), получаем выражение для mn:
i=n
(5.15)
2
⎡ ⎛ ωi ⎞ 2
⎛ V si ⎞ ⎤
m n = ∑ ⎢ J si ⎜ ⎟ + mi ⎜ ⎟ ⎥ ,
(5.16)
V
V
i =1 ⎢
⎝ ⎠ ⎥⎦
⎣ ⎝ ⎠
где V – величина скорости прямолинейно движущегося начального
звена. Формулы (5.14) и (5.16) имеют вид, аналогичный формулам
(5.12) и (5.13).
Для построения динамической модели механизма за точку приведения, т.е. точку, в которой сосредотачивается приведенная масса,
можно выбрать любую точку механизма. Тогда приведенной массой
механизма называют массу, которую необходимо сосредоточить в
данной точке механизма (точка приведения), чтобы кинетическая
энергия этой материальной точки равнялась сумме кинетических
энергий всех звеньев механизма.
Соответственно, приведенной силой называют силу, условно приложенную к точке приведения и определяемую из равенства элементарной работы этой силы сумме элементарных работ сил и пар
сил, действующих на звенья механизма. Приведенные сила и масса
(соответственно приведенные моменты сил и инерции) не зависят от
величины скорости точки приведения V (или ω), так как в формулы (5.14) и (5.16) входят только отношения скоростей, которые не
изменяются с изменением V(ω). Если V(ω) изменяется в k раз, то во
столько же раз изменяются величины Vi, Vsi и ωi. Отсюда следует, что
определение приведенных сил и масс можно выполнить, не зная ещё
скорости точки приведения, т.е. до решения уравнения движения. В
этом заключается основное достоинство приведения сил и масс.
Приведенные силы Fn или моменты Mn характеризуют собой реальное действие сил сопротивления на входное звено механизма и
равны по величине уравновешивающим силам или моментам, но направлены в обратную сторону.
i=n
5.4. Дифференциальное уравнение движения механизма
Уравнение движения механизма в форме интеграла энергии используется преимущественно в случаях, когда приведенные силы за76
висят от положений звеньев. В других случаях используется дифференциальное уравнение движения механизма, которое можно получить из уравнения кинетической энергии в дифференциальной форме.
В соответствии с приведенным законом изменения кинетической
энергии дифференциал dТ кинетической энергии массы равен элементарной работе dА приложенных к ней сил:
dT = dA.
(5.17)
Так как после приведения сил и масс к звену приведения мехаJ n ω2
низма, который обладает одной степенью свободы: T =
;
2
ϕ
A = ∫ M n dϕ , в дифференциальной форме уравнение (5.17) можно
ϕ0
записать:
ϕ
⎛ J n ω2 ⎞
⎟ = d ∫ M n dϕ = M n dϕ ,
d ⎜⎜
⎟
ϕ0
⎝ 2 ⎠
или
d ⎛ J n ω2 ⎞
⎜
⎟ = Mn.
(5.18)
⎜
⎟
dϕ ⎝ 2 ⎠
Jn и ω являются функциями углового перемещения φ звена приведения, поэтому уравнение (5.18) дифференцируют как функцию двух
независимых переменных Jn и ω:
d ⎛ ω 2 ⎞ dJ n ω 2
⎜
⎟+
.
Mn = Jn
dϕ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ dϕ 2
Производная сложной функции
d ⎛ ω 2 ⎞ d ⎛ ω 2 ⎞ dt d ⎛ ω 2 ⎞ 1 dω
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ =
= ⎜⎜
= ε,
dϕ ⎝ 2 ⎠ dt ⎝ 2 ⎠ dϕ dt ⎝ 2 ⎠ ω dt
или
d ⎛ ω2
⎜
dϕ ⎜⎝ 2
⎞ 2ωdω
dtdω
1 dω dω
⎟⎟ =
=ω
=ω
=
= ε.
2
d
d
dt
dt
dt
ϕ
ϕ
ω
⎠
Дифференциальное уравнение движения механизма принимает
вид
M n = M nд − M nc
77
dω dJ n ω 2
,
= Jn
+
dt
dϕ 2
(5.19)
где Мп – приведенный момент всех заданных сил, т.е. движущих сил
и сил сопротивления; Mnд и Мnc – приведенные моменты движущих
сил и сил сопротивления; φ – угол поворота звена приведения.
Если силы и массы приводятся не к звену, то аналогичным уравнением движения в дифференциальной форме будет следующее:
&2
dm
dV dm n V 2
S
n
+
= m n S&& +
,
(5.20)
Fn = m n
dt
dS 2
dS 2
где Fn – приведенная сила от движущих сил и сил сопротивления; S и
V – перемещение и скорость звена приведения (прямолинейно движущегося начального звена); тп – приведенная масса.
Уравнение движения можно решать численными и графочисленными методами, а также с помощью ЭВМ.
5.5. Численное решение уравнений движения
В дифференциальное уравнение движения механизма в форме
уравнения (5.19) в левую часть входят приведенные моменты движущих сил Mnд и сил сопротивления Mnc, которые могут быть функциями φ или ω, или, наконец, времени t. Причем Mnд и Mnc могут быть
функциями одной и той же переменной или являться функциями различных переменных. Пусть Mnд = Mnд(φ), Mnc = Mnc(φ), тогда согласно
уравнению (5.4) или (5.18) уравнение (5.19) может быть представлено
в следующей форме (в форме интеграла энергии):
(M nд
откуда
⎛ J n ω2 ⎞
⎟,
− M nc )dϕ = d ⎜⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
ϕ
∫ ( M nд − M nc ) d ϕ =
ϕ0
1
J n ω2 − J n0 ω02 ,
2
(
)
(5.21)
где Jn и ω – приведенный момент инерции и угловая скорость звена
приведения в конечном положении соответственно; Jn0 и ω0 – приведенный момент инерции и угловая скорость звена приведения в начальном положении.
Из уравнения (5.21) определяется угловая скорость ω начального
звена как функция обобщенной координаты φ:
78
ω=
2
Jn
ϕ
∫ ( M nд − M nc )d ϕ +
ϕ0
J n0 2
ω0 .
Jn
(5.22)
Из формулы (5.22) следует: если заданы функции Mnд = Mnд(φ),
Mnс = Mnc(φ) и Jn = Jn(φ), то для определения угловой скорости ω необходимо задать величину угловой скорости ω0. Если исследование
механизма начинается с момента пуска его в ход, то ω0 = 0, и формула (5.22) принимает вид
ω=
2
Jn
ϕ
∫ (M
nд
− M nc )d ϕ .
(5.23)
ϕ0
Из формул (5.22) и (5.23) можно найти значения угловой скорости ω звена приведения в функции его угла поворота, т.е. ω = ω(φ).
Для определения времени t движения механизма можно воспользоваться условием
ω=
dϕ
.
dt
(5.24)
Из соотношения (5.24) получаем:
t
∫ dt =
t0
ϕ
dϕ
∫ϕ ω ( ϕ) ,
0
ϕ
или
t − t0 =
dϕ
∫ϕ ω ( ϕ ) .
0
ϕ
t = t0 +
dϕ
∫ ω ( ϕ) .
(5.25)
(5.26)
ϕ0
Если исследование движения механизма ведется с момента пуска
его в ход, то t0 = 0, и уравнение (5.25) принимает следующий вид:
ϕ
t=
dϕ
∫ϕ ω ( ϕ) .
0
79
(5.27)
Из формул (5.26) и (5.27) можно определить время t движения
механизма в функции угла поворота φ звена приведения, т.е. t = t(φ),
зная которую, можно найти искомую функцию φ = φ(t). Таким образом, имея две функции ω = ω(φ) и t = t(φ) и исключая из них угол φ,
можно получить функцию ω = ω(t) – зависимость угловой скорости ω от времени t. Угловое ускорение ε звена приведения определяется из соотношения
ε=
dω dω dϕ
dω
dω
или ε =
=
=ω
,
dt dϕ dt
dϕ
dt
т.е. дифференцированием функции ω = ω(t) или ω = ω(φ).
В случае если приведенный момент инерции Jn = const, формулы
(5.21) и (5.22) записываются таким образом:
ϕ
Jn 2
ω − ω02 ) ;
(
2
(5.28)
− M nc ) d ϕ + ω02 .
(5.29)
∫ ( M nд − M nc )d ϕ =
ϕ0
ω=
2
Jn
ϕ
∫ (M
nд
ϕ0
Если Mnд = Mnд (ω), Mnc = Mnc(ω), а Jn = const, то уравнение движения имеет вид
dω
M nд (ω) − M nc (ω) = J n
.
(5.30)
dt
Так как моменты Mnд = Mnд(ω) и Mnc = Mnc(ω) заданы и известен
постоянный момент инерции Jn, то уравнение (5.30) приводится к
виду
t
ω
dω
.
(5.31)
dt
=
J
n ∫
∫t
ω
−
ω
M
M
(
)
(
)
nд
nc
ω0
0
Из уравнения (5.31) определяется время t движения механизма в
функции угловой скорости ω, т.е. t = t(ω). Производя интегрирование
левой части, получаем
80
ω
t = t0 +
∫
ω0
dω
.
M nд ( ω) − M nc ( ω)
(5.32)
Если Mnд = Mnд(t) и Mnc = Mnc(t), Jn = const, то уравнение движения
dω
записывается так: M nд (t ) − M nc (t ) = J n
, откуда
dt
ω
t
1
⎡⎣ M nд ( t ) − M nc ( t ) ⎤⎦ dt .
ω
=
d
∫ω
∫
J
n t0
0
Из последнего уравнения определяется угловая скорость ω движения звена приведения в функции времени t:
t
1
⎡ M nд ( t ) − M nc ( t ) ⎤⎦ dt .
ω = ω0 +
J n t∫0 ⎣
(5.33)
Уравнения движения в общем случае могут быть проинтегрированы приближенными методами. В качестве такого метода может
быть применен, в частности, метод, разработанный Г.Г. Барановым и
заключающийся в том, что угол поворота φ звена приведения разбивается на достаточно малые интервалы ∆φ, принимаемые за шаг интегрирования. В каждом интервале ∆φ заданные функции приведенных моментов движущих сил Mnд = Mnд(φ, ω, t) и сил сопротивления
Mnc = Mnc(φ, ω, t) считаются постоянными, а приведенный момент
инерции Jn(φ) принимается изменяющимся линейно [1, 8].
5.6. Графоаналитический метод Виттенбауэра
В большинстве технических задач приведенные моменты движущих сил, сил сопротивления и инерции задаются в виде графиков.
Поэтому наряду с численными методами интегрирования уравнений
движения механизма применяются также графические и графоаналитические (графочисленные) методы. Так, метод Виттенбауэра позволяет в наглядной форме показать, как изменяются угловая скорость
начального звена и кинетическая энергия механизма при изменении
приведенного момента инерции.
81
Рассмотрим, например, установившееся движение с периодом,
равным 2π. Движущий момент сил, действующих на вращающееся
звено, имеет постоянную величину Mд. Приведенный к этому звену
момент всех других внешних сил Мс есть заданная функция угла поворота начального звена φ. Требуется определить закон движения начального звена, если значение угловой скорости этого звена ω = ω0
при φ = 0.
Решение задачи начинается с построения графика Mд(φ) и Mc(φ)
(рис. 5.2, а), причем для удобства последующего определения приращений кинетической энергии (расчетов) величина Mс отложена вверх
от оси абсцисс (от оси φ), если Мс есть момент сил сопротивления, и
вниз – если Мс является движущим моментом (рис. 5.2, а). При установившемся движении должно удовлетворяться условие
2π
M д 2π −
∫ M dϕ = 0,
c
0
F
,
2π
где µМ и µφ – масштабы (масштабные коэффициенты) моментов сил и
углов поворота; F – площадь, заключенная между осью абсцисс и
графиком Mc(φ), причем площадь, расположенная ниже оси абсцисс,
должна вычитаться из площади, расположенной выше оси абсцисс.
Уравнение движения (5.1) в данном случае имеет вид
откуда
M д = µ M µϕ
ϕ
∫ϕ ( M
д
− M c ) d ϕ = ∆T ,
(5.34)
0
где ∆T – приращение кинетической энергии по отношению к начальному положению, т.е. разность между значением кинетической энергии при данном значении угла φ и её значением при φ = 0.
По уравнению (5.34) строится график приращения кинетической
энергии ∆T как функция угла φ (рис. 5.2, б). Для этого измеряется
площадь F0i, заключенная между графиками Mд и Мс в пределах от
φ = 0 до текущего значения φ = φi (i = 1,…,12), причем площадь считается положительной при Mд > Mc и отрицательной при Mд < Mc. С
учетом масштабных коэффициентов ∆T = F0iµMµφ.
82
Построение графика рекомендуется начинать с нахождения экстремумов ∆T , которые получаются в точках пересечения графиков
Mд и Мс, т.е. в точках a, b, c и d.
Сначала подсчитываются площади Fbа, Fab, Fbc, Fcd и Fdb, сумма
которых с учетом их знаков должна равняться нулю. Затем находятся
ординаты графика в точках экстремумов:
ya =
Fba µ M µϕ
µT
yd =
; yb =
(Fba − Fab )µ M µϕ
µT
(Fba − Fab + Fbc − Fcd )µ M µϕ
yс =
;
µT
yd =
Mд
O
Mc
Fea
Fab
µM
e a
0
ϕT max
4
6
2π
1
2
Mд
b c
2
µJ
0
Fcd Fde
Fbc
или
− Fdb µ M µ ϕ
;
,
µT
где µT – масштабный коэффициент приращения кинетической энергии.
µT
,
(Fba − Fab + Fbc )µ M µϕ
d
8
10
ϕT min
3
4
e
12
ϕ
11
ϕ
9
8
10
12
а
в
83
7
5
6
Jn
∆T
T
µT
k1
n
ϕO
12 k
0
2
4
6
8
10
∆T
1 2
q
11
l1
N
3
7 6
10 9 8 4
5
Jn
p
б
l
ψ
ф
Ψmax
ОM
Ψmin
ОT
г
m
Рис. 5.2. Определение угловой скорости звена приведения
графоаналитическим методом
После построения экстремумов можно дополнительно вычислить
ординаты графика в других точках по формуле
y 0i =
F0i µ M µϕ
µT
.
Затем по формуле (5.13) для исследуемого механизма строится
график зависимости приведенного момента инерции Jn от угла φ.
Причем с целью упрощения последующего исключения переменной φ из графиков Jn(φ) и ∆T(φ) координатные ocи располагаются, как
показано на рис. 5.2, в. Исключение угла φ выполняется путем нахождения пересечения горизонталей, проведенных из точек графика ∆T
с вертикалями, проведенными из соответствующих точек графика Jn
(см. рис. 5.2, г).
Полученный график зависимости приращения кинетической
энергии ∆T от приведенного момента инерции Jn называется диаграммой Виттенбауэра или диаграммой энергомасс. По ней можно
определить значение угловой скорости ω начального звена в любом
положении механизма, если известно значение ω = ω0 при φ = 0. Для
этого откладывается значение кинетической энергии при φ = 0 от начала координат графика ∆T(Jn) вниз по оси ординат, полученная точка OT определяет начало координат графика T(Jn).
Прямая, соединяющая любую точку N диаграммы Виттенбауэра с
84
началом координат OT, образует с осью абсцисс угол ψ, тангенс которого пропорционален квадрату угловой скорости ω. Для доказательства этого положения найдем из прямоугольного треугольника ОTnN:
T µT
tgψ = y x , но yµ T = T и xµ J = J n , тогда tgψ =
.
J µy
1
Учитывая, что T = J n ω 2 , получим
2
tgψ =
µJ 2
ω .
2µT
(5.35)
Из формулы (5.35) следует:
2µ T
tgψ i .
(5.36)
µJ
Таким образом, можно определить угловую скорость звена приведения для любого положения механизма и построить кривую
ω = ω(φ). Кривая времени t движения t = t(φ) в функции угла φ может
быть построена, если воспользоваться формулой (5.25). Любой промежуток времени от начала движения, соответствующего времени t1,
до рассматриваемого момента времени tk равен:
ωi =
ϕk
t k − t1 = ∫
dϕ
ϕ1 ω (ϕ )
.
(5.37)
Интеграл в правой части формулы (5.37) может быть определен
графически, если построить график величин 1 ω(ϕ) в функции угла φ,
что можно выполнить, поскольку функция ω = ω(φ) известна. По графикам ω = ω(φ) и t = t(ω) может быть построен график ω = ω(t). Угловое ускорение ε звена приведения определяется графическим дифференцированием функции ω = ω(t). Зная ω и ε звена приведения, можно определить скорости, ускорения и силы инерции отдельных звеньев, а также провести полный силовой расчет механизма в условиях
неравномерно вращающегося звена приведения.
Таким образом, с помощью диаграммы T = T(Jn) и последующих
графочисленных расчетов может быть полностью исследовано движение механизма, нагруженного силами, зависящими от положений
звена приведения [1, 10, 15].
85
5.7. Режимы движения механизма
В механизмах с одной степенью свободы различают три режима
движения: разбег, установившееся движение и выбег. Установившимся (или периодическим) называется движение механизма, при
котором его кинетическая энергия и обобщенная скорость (производная обобщенной координаты по времени) являются периодическими
функциями времени. Режим движения механизма от начала движения
до установившегося движения называется разбегом, а от установившегося движения до конца движения – выбегом. Режимы разбега и
выбега, а также режимы перехода от установившегося движения с
одной средней скоростью к движению с другой средней скоростью
называются переходными режимами.
В период разбега (пуска) происходит постепенное возрастание
скорости входного звена от нулевого значения до некоторого среднего значения, соответствующего нормальной рабочей скорости ведущего звена механизма. Для времени разбега механизма необходимым
является условие, в соответствии с которым конечная скорость ω
должна быть больше по величине начальной скорости ω0, что влечет
за собой требование, чтобы работа сил движущих за все это время
была больше сил сопротивления: Aд > Ac.
При установившемся движении скорость входного звена, периодически повторяясь, колеблется около одного и того же среднего значения. Кинематическая характеристика отражает постоянство средних скоростей за каждый цикл: ω = ω0, и, следовательно, за тот же
цикл работа движущих сил должна быть равна работе сил сопротивления: Aд = Ac. Период выбега (останова) характеризуется постепенным убыванием скорости входного звена до его нулевого значения,
для этого режима ω < ω0, и потому должно быть Aд < Ac [10, 15].
5.8. Периодические и непериодические колебания хода
машины. Способы регулирования
Угловая скорость ведущего звена механизма (принимаемого
обычно в качестве звена приведения) при установившемся движении
является величиной переменной. Колебания угловой скорости ведущего звена вызывают в кинематических парах дополнительные (динамические) давления, понижающие общий КПД машины и надеж86
ность ее работы. Кроме того, колебания скоростей ведущего звена
ухудшают рабочий процесс машин. Различают два типа колебаний
скоростей ведущего звена за время установившегося движения механизма – периодические и непериодические.
При установившемся периодическом режиме движения машины
угловая скорость ведущего звена изменяется периодически вследствие двух факторов – периодического изменения приведенного момента инерции механизма и периодического характера действия сил и
моментов, приложенных к механизму. У большей части механизмов
только за полный цикл установившегося движения работа всех движущих сил равна работе сил сопротивления. Внутри же этого цикла
не наблюдается равенства этих работ, и, следовательно, ведущее звено механизма движется внутри этого цикла неравномерно и колеблется между значениями ωmax и ωmin около среднего значения, соответствующего нормальной рабочей скорости. При этом в течение каждого цикла движение происходит по одному закону с периодически
повторяющейся скоростью.
Кроме периодических колебаний скоростей, в механизме могут
происходить и непериодические колебания, т.е. неповторяющиеся
изменения скоростей, вызываемые различными причинами. Например, внезапное изменение нагрузки на механизм (внезапное изменение полезных или вредных сопротивлений), включение в механизм
добавочных масс и другие вызывают изменения угловой скорости
главного вала в установившемся движении машины.
Оба типа колебаний скоростей регулируются различным образом.
Задачу ограничения периодических колебаний угловой скорости ведущего звена в пределах допускаемой неравномерности движения
машины решают посредством установки дополнительной, так называемой маховой массы. Последнюю конструктивно оформляют в виде
маховика – массивного диска или колеса со спицами, который устанавливают на вращающемся звене. В случае значительных непериодических колебаний скоростей используют специальный механизм,
называемый регулятором, который регулирует закон изменения или
движущих сил, или сил сопротивления.
Маховик применяют для сохранения заданных пределов изменения величины угловой скорости звена приведения в установившемся движении машины (для ограничения периодических колебаний угловой скорости входного звена в пределах допускаемой неравномерности хода машины) и в аккумулировании им кинетической
87
энергии и использовании её для преодоления повышенных полезных
нагрузок без повышения мощности двигателя. Регулятор устанавливают для поддержания постоянства скорости при изменении внешних
условий работы агрегата, вызывающих непериодические колебания ω, которые выходят за пределы, определяемые коэффициентом
неравномерности хода δ.
5.9. Определение момента инерции маховика
Одной из кинематических характеристик установившегося движения является коэффициент неравномерности движения механизма δ, под которым понимается отношение разности максимального и
минимального значений угловой скорости начального звена к её
среднему значению за один период установившегося движения:
δ=
где
ω max − ω min
,
ω ср
ω max + ω min
ωср =
(5.38)
.
(5.39)
2
Неравномерность движения вредно сказывается на работе машин
и передаточных механизмов. Так, например, при неравномерном
движении привода токарного станка уменьшается точность обработки изделия; при неравномерном вращении зубчатых колес возникают
дополнительные инерционные силы, которые способствуют увеличению износа и могут привести к поломке зубьев; при неравномерном
вращении веретен возможны обрывы нитей; неравномерное вращение генераторов, служащих для освещения, вызывает колебание силы
света, вредно действующее на глаза человека. Практикой установлены интервалы допустимых значений коэффициента δ для различных
типов машин, например: для металлообрабатывающих станков – от
1/20 до 1/50, для генераторов переменного тока – от 1/200 до 1/300.
Следует, однако, подчеркнуть, что коэффициент δ характеризует
собой лишь амплитуду изменения угловой скорости при данном её
среднем значении, но вовсе не характеризует угловых ускорений (не
характеризует динамики движения звена приведения внутри одного
полного цикла периода установившегося движения).
Циклы изменения угловой скорости для двух разных машин пока88
заны на рис. 5.3, причем ωср и δ для них одинаковы. Однако в первом
случае угловая скорость изменяется плавно (рис. 5.3, а), а во втором –
скачкообразно (рис. 5.3, б).
ω
ωmax
ωср .
а)
ωmin
б)
ϕ
Рис. 5.3. Законы изменения угловой скорости при одинаковом δ
и при различных формах кривых ω
Следовательно, угловые ускорения ведущего звена второй машины будут значительно больше, чем первой, и поэтому эти два движения не являются равноценными.
Для электрического освещения существенное значение имеет частота колебаний угловой скорости, так как утомляемость глаза больше
зависит от частоты колебаний, чем от амплитуды колебаний. Поэтому
коэффициент δ совершенно непригоден для оценки истинной плавности хода с точки зрения возникновения инерционных сил, определяемых угловыми ускорениями ведущего звена. Для этого существуют
другие оценочные параметры, например, коэффициент динамичности.
Для определения максимального и минимального значений угловой скорости ω необходимо провести из точки ОТ (см. рис. 5.2, г) касательные к диаграмме Виттенбауэра и найти углы ψmax и ψmin. С учетом формулы (5.36) получаем:
ω max =
2µT
µJ
tgψ max ; ω min =
2µT
µJ
tgψ min .
(5.40)
Если коэффициент неравномерности δ, подсчитанный по формуле
(5.38), оказался больше допустимого, то его можно уменьшить путем
увеличения массы одного из вращающихся звеньев. Добавочная масса
вращающегося звена, предназначенная для обеспечения заданного коэффициента неравномерности δ, называется маховой массой. Конструктивно эта масса выполняется как маховик, под которым обычно
понимается деталь в виде сплошного диска или шкива с тяжелым ободом и спицами. Маховик накапливает кинетическую энергию на уча89
стках цикла, имеющих приведенный момент движущих сил больший,
чем приведенный момент сил сопротивления, когда скорость входного
звена возрастает.
На участках с обратным соотношением этих моментов скорость
снижается, маховик отдаёт накопленную кинетическую энергию, выполняя роль механического аккумулятора энергии, и способствует
снижению требуемой мощности двигателя.
При определении необходимого момента инерции маховика на
основании формул (5.38) и (5.39) значения максимальной и минимальной угловой скорости начального звена связаны с величинами δ
и ωср соотношениями:
ω max − ω min = δωср ; ω max + ω min = 2ωср ,
откуда ω max = (1 + 0,5δ )ω cр ; ω min = (1 − 0,5δ )ω cр .
Пренебрегая малой величиной 0,25δ2, получаем
2
2
2
ω max
= (1 + δ )ω cр2 ; ω min
= (1 − δ )ω cр
.
Подставляя значения ω 2max и ω 2min в формулу (5.35), находим ψmax
и ψmin из соотношений:
tgψ max =
µJ
µ
(1 + δ )ωср2 ; tgψ min = J (1 − δ )ωср2 .
2µT
2µT
(5.41)
При проектировании машины задаются заранее значением коэффициента неравномерности движения δ и средней угловой скоростью
вращения главного (ведущего) вала: ωср = πпср 30 . Далее проводятся
касательные к диаграмме Виттенбауэра под углами ψmax и ψmin к
оси Jn (см. рис. 5.2, г), пересечение которых определяет новое положение начала координат ОМ графика T = T(Jn), при котором коэффициент неравномерности движения механизма δ и средняя угловая
скорость ωcр имеют заданные значения. Расстояние от нового начала
координат до прежней оси ординат определит искомое значение момента инерции маховика:
J M = (ОM m )µ J .
(5.42)
Если точка ОМ выходит за пределы чертежа, то находится отре90
зок (kl), отсекаемый касательными на пересечении с прежней осью
ординат. При рассмотрении треугольников ∆OMmk и ∆OMml получают:
(kl ) = (OM m )(tgψ max − tgψ min ) ,
откуда с учетом формул (5.41) и (5.42)
JM =
(kl )µT
δω
2
ср
.
(5.43)
Из формулы (5.43) следует, что чем меньше заданное значение δ,
т.е. чем равномернее вращается звено приведения, тем больше должна быть величина момента инерции JM, и тем массивнее должен быть
маховик. При углах ψmax и ψmin, близких к 90°, касательные могут не
пересекать ось ординат в пределах чертежа, тогда отрезок (kl) определяется из соотношения
(kl ) = (Op )tgψ min − (Oq )tgψ max ,
где (Оp) и (Оq) – расстояния от центра О до точек р и q пересечения
касательных с осью абсцисс, проведенных под углами ψmin и ψmax.
Расчет момента инерции маховика несложен, когда допустимо
пренебречь влиянием переменной приведенной массы выходных
звеньев механизма, полагая Jn = const и считая, что экстремальные
значения кинетической энергии соответствуют положениям механизма со скоростями ωmax и ωmin звена приведения. При постоянном приведенном моменте инерции Jn диаграмма Виттенбауэра преобразуется в отрезок прямой, параллельной оси Т, экстремумы кинетической
энергии и угловой скорости совпадают. В этом случае принимается
уравнение движения машины в форме кинетической энергии:
(
)
1
2
2
J n ω max
− ω min
= J nδωcр ,
2
откуда вытекает расчетная формула для определения момента инерции JM маховика:
∆Amax = Tmax − Tmin =
(
)
2
J M = J n = ∆Amax δωср
,
где ∆Amax – избыточная работа, под которой понимается сумма работ
сил движущих и сил сопротивления на интервале ( ϕ Tmin , ϕ Tmax ), соот91
ветствующем изменению кинетической энергии от наименьшего минимума до наибольшего максимума.
Для определения ∆Amax, а следовательно, и для расчета маховика
можно ограничиться построением только одного графика (см.
рис. 5.2, а), необходимо правильно при этом определить интервал
( ϕ Tmin , ϕ Tmax ). Например, если минимум кинетической энергии достигается в точках b и d, т.е. в тех положениях, где приращение кинетической энергии перестает убывать, то для выбора наименьшего минимума надо найти знак суммы работ сил движущих и сил сопротивления при переходе от точки b к точке d. В данном примере знак этой
суммы отрицательный (Fbc < Fcd), и поэтому наименьший минимум
получается в точке d.
Аналогично выясняется положение наибольшего максимума, который достигается в точке а, так как Fab > Fbc. Следовательно, избыточная работа ∆Amax = µ M µ ϕ (Fdb + Fba ) . Для контроля вычислений необходимо использовать соотношение Fba + Fbc + Fdb – Fab – Fcd = 0.
Величину ∆Amax можно найти и графически. Избыточная работа
равна:
ϕk
ϕk
ϕi
ϕi
∆A = ∫ M nд (ϕ )dϕ − ∫ M nc (ϕ )dϕ ,
причем разность определенных интегралов устанавливается площадями, ограниченными кривыми Mпд(φ) и Mnc(φ). В случае сложных
кривых Mпд(φ) и Mnc(φ) их целесообразно для наглядности определения ∆Amax графически проинтегрировать и получить графики Aд(φ) и
Ac(φ). По разности ординат этих кривых можно построить зависимость ∆A(ϕ)[∆T (ϕ)] за цикл установившегося движения и определить
∆Amax (∆Tmax), замеряя её на чертеже (рис. 5.2, б). Способы профессора Н.И. Мерцалова и профессора Е.М. Гутьяра рассмотрены в следующих работах [1, 6, 12, 15].
5.10. Графическое дифференцирование и интегрирование
Графическое дифференцирование позволяет определить кривую
ускорения по заданной кривой скорости или кривую момента по заданной кривой работ. Графическое интегрирование является задачей,
обратной дифференцированию, и позволяет определить кривую ско92
рости по заданному графику ускорения или кривую работ по заданной диаграмме моментов.
5.10.1. Графическое дифференцирование методом хорд
Этот метод может быть применен для построения дифференциальной кривой, например, W = W(t) по заданной кривой V = V(t)
(рис. 5.4, а), на которой берут точки 0, 1, 2, 3 и т.д., разбивающие кривую на ряд участков. Если участки невелики, то с достаточной
степенью точности кривую изменения скорости можно заменить ломаной линией (0-1), (1-2), (2-3), (3-4) и т.д. Следовательно, движение
с непрерывно изменяющимся ускорением заменяется движением с
различными, но постоянными для каждого участка ускорениями. Ускорение на каждом участке считается равным среднему ускорению
истинного движения. Из полюса π, взятого на расстоянии H (мм) от
начала координат, проводят ряд лучей, параллельных хордам.
V
µV
3
2
2′
1
1′
π
H
4
0 0′
3′
0
t1
5
4′
5
µt
t2
t3
t4
t5
t
а
W,
µW
µt
W0
0
t1
t2
б
93
t3
t4
t5
t
Рис. 5.4. Графическое дифференцирование
Тогда отрезки, отсекаемые этими лучами на оси ординат, представляют в некотором масштабе средние ускорения для каждого участка:
'
(0 - 1) ' = Wср.1 , (0 - 2 ) = Wср.2 ,…
Откладывая эти отрезки в виде ординат посередине соответствующих промежутков, получают в осях W − t ступенчатую линию
графика ускорения (рис. 5.4, б). 3аменяя ступенчатый график плавной
кривой, получают график изменения истинного ускорения. Кривую
следует проводить так, чтобы заштрихованные площадки выступающих и входящих углов были одинаковыми. Построенная таким образом кривая с достаточной точностью отражает закон изменения ускорения исследуемой точки.
График ускорения, построенный путем графического дифференцирования кривой графика скорости, отображает закон изменения
лишь касательного (тангенциального) ускорения Wt. Только в случае
прямолинейного движения точки или звена, когда ускорение Wn = 0,
построенный график отображает закон изменения полного ускорения.
Для уточнения начальной ординаты графика ускорений удобно
график скорости продолжить влево на один интервал (на рис. 5.4, б
показано пунктиром). Начальная ордината графика ускорений определяется из соотношения: W0 ≈ 0,5 (0 - 1) ' + (0 - 0) ' (мм). Начальная и
конечная точки графика за период цикла движения механизма должны иметь одинаковые ординаты.
Для проверки правильности построений графиков служат следующие зависимости между графиком функции (скорости) и графиком её производной (ускорения):
а) максимальной или минимальной ординате графика скорости
соответствует нулевая ордината ускорений;
б) точке перегиба графика скорости соответствует максимум или
минимум графика ускорений.
При графическом дифференцировании масштаб графика ускорений рассчитывается по формуле
[
µ
µW = V
Hµ t
]
⎛ м c2 ⎞
⎟⎟ ,
⎜⎜
(5.44)
мм
⎝
⎠
где µt – масштаб времени (с/мм); H – полюсное расстояние (мм);
94
µV – масштаб скорости ( м/с мм ).
Так как µφ = ωµt, то µt = µφ/ω, где µφ – масштаб угла поворота
(рад/мм); ω = πn 30 – угловая скорость ведущего звена (с-1); n – частота вращения ведущего звена.
Чем больше полюсное расстояние, тем большие ординаты имеет
график ускорений.
5.10.2. Графическое интегрирование
Пусть движение точки задано графиком ускорений W = W(t)
(рис. 5.5, а), и требуется построить график скорости V = V(t). Разбивая
ось времени на ряд участков, заменяют внутри каждого участка переменное ускорение постоянным средним ускорением, проводя горизонтальный отрезок с ординатой, изображающей это среднее ускоренно так, чтобы площади выступающих и входящих углов были
одинаковыми (рис. 5.5, а).
µW
W
2′ 1′ 4′3′
µt
0
n
1
2
3
4
5
6
t
H
5′ 6′
а
95
V
µV
4′
3′
5′
6′
2′
µt
1′
0
1
2
3
4
5
6
t
б
Рис. 5.5. Графическое интегрирование
Ординаты полученных средних ускорений сносят на ось ускорений и соединяют лучами 1', 2', 3', ... с полюсом π, взятым на расстоянии Н (мм) от начала координат. На том же чертеже, ниже системы
осей W−t строят систему осей V−t (рис. 5.5, б) и из точки 0 начала
этих осей проводят отрезки, параллельные лучам 1', 2', 3' и т.д. Затем
строят кривую линию, которая приближенно представляет искомый
график V = V(t). Масштаб полученного графика связан с масштабом
графика ускорений и полюсным расстоянием формулой
µV = µW µ t H (м/с мм) .
(5.45)
5.11. Определение размеров маховика
Если маховые массы звеньев привода не обеспечивают колебаний
скорости входного звена в пределах, определяемых заданным коэффициентом δ, то приходится ставить дополнительно маховик, который конструктивно оформляют в виде диска или колеса со спицами,
устанавливаемого на одном из валов привода машины. Маховики отливают из чугуна или изготавливают из стали. Для маховика, выполненного в виде колеса со спицами (рис. 5.6), приближенно принимают массу m равномерно распределенной по окружности диаметром D,
равным среднему диаметру обода. Тогда момент инерции маховика
определяется равенством
JM
D2 G D2
= mR = m
=
.
4
g 4
2
Произведение массы (веса) маховика на квадрат его диаметра на96
зывают маховым моментом или характеристикой маховика. Характеристика маховика равна:
mD 2 = 4 J M , или GD 2 = 4 gJ M .
(5.46)
Чтобы получить формулу для расчёта диаметра D, следует выразить массу обода маховика через его объём:
V=
m
γ
=
G
γ
= πDbh ,
где γ – плотность материала, из которого изготовлен маховик;
b – ширина обода; h – высота сечения обода.
Тогда
D2
D2
= πDbhγ
,
JM = m
4
4
или при относительных метрических параметрах: β = b D и ξ = h D
J M = πβξγ D 5 4 .
Расчётная формула для D имеет вид
D = 5 4 J M πβξγ .
Диаметр D можно определить и по другой формуле:
(5.47)
3,6 gJ M
,
(5.48)
πk1k 2γ
где g − ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с2); γ − удельный вес
материала обода (γ = 78000 Н/м3 – для стали; γ = 72000 Н/м3 – для чугуна); k1 = 0,15...0,20; k2 = 0,1...0,15; h =k1D; b = k2D.
D=5
97
b
1
h
D
2
3
Рис. 5.6. Эскиз маховика:
1 – обод; 2 – спица; 3 – ступица
Из уравнения (5.46) следует, что при заданной величине JM вес
маховика обратно пропорционален квадрату его диаметра, и для
уменьшения металлоемкости целесообразно выбирать большой диаметр. Однако это противоречит требованию малых габаритов и лимитируется критической окружной скоростью. Для чугунных цельнолитых колес со спицами допускают V ≤ 40 м/с; при окружных скоростях порядка 100 м/с маховики изготавливают из стального литья;
хромоникелевые маховики допускают окружную скорость до 150 м/с.
Так как V = ωD 2 = (πn 30)(D 2 ) , то диаметр, определяемый по
параметру скорости, равен: D ≤ 60V (πn max ) , где nmax – максимальная
частота вращения маховика (стальные маховики применяют при
n > 300 об/мин). При несоблюдении последнего условия возможен
разрыв маховика центробежными силами инерции. Для предотвращения разрыва предельную окружную скорость V находят по формуле
Vmax =
gσ p
,
γ
где σp – допускаемое напряжение растяжения для материала обода
маховика, МПа.
98
Место установки маховика в машине может быть различным: в
случае посадки на кривошипном валу момент инерции, масса и габариты маховика получаются наибольшими, что нецелесообразно; при
посадке маховика на другом валу i, имеющем ωi > ω кривошипа,
должно соблюдаться условие равенства кинетических энергий:
J Mi ωi2 / 2 = J M ω 2 / 2 .
Из этого равенства следует, что момент инерции маховика на
валу I равен:
(5.49)
J Mi = J M (ω ωi ) ,
где JMi – момент инерции маховика, установленного на звене i;
ωi – величина угловой скорости этого звена, т.е. чем больше угловая
скорость звена i, тем меньше должен быть момент инерции устанавливаемого маховика.
Следовательно, при установке маховика на быстроходном валу
его момент инерции уменьшается обратно пропорционально квадрату
передаточного отношения. Соответственно, меньше будут масса и габариты махового колеса.
2
5.12. Кинематический и динамический эффекты действия
маховика. Энергетический баланс маховика
Кинематический эффект действия маховика состоит в том, что
чем больше момент инерции маховика, тем меньше амплитуда колебаний угловой скорости ведущего звена в стадии установившегося
движения. Период этих колебаний маховик принципиально изменить
не может, так как период должен всегда соответствовать циклу движения механизма, если Mnд и Mnc являются функциями φ. Маховик
уменьшает угловые ускорения ведущего звена, что видно для случая,
когда Jn = const и
dω
,
M nд − M nc = ( J n + J M )
dt
dω M nд − M nc
откуда
,
=
dt
Jn + JM
99
т.е. чем больше JM, тем меньше dω dt .
Важно понимать динамический эффект действия маховика, который нагляднее рассмотреть на примере машин ударного действия,
пренебрегая значениями J n = J n (ϕ) в сравнении с величиной JM.
Предположим, что даны графики Mnд = Mnд(φ) и Mnc = Mnc(φ) для цикла установившегося движения штамповочной машины (рис. 5.7).
Mn
Mnc-Mnд
F2
Mnд
F1
0
1
Mnc
F3
Mnд
Mnc
ϕ
2 2π
Mnc
dω
=ε
dt
JМ
Mи
+ ∆E
ω Mnд
2π
0
ϕ
Рис. 5.7. Энергетический и динамический эффект действия маховика
Во время действия пуансона на штампуемый материал (интервал 1-2) приведенный к ведущему звену момент сил сопротивления
больше момента сил движущих, однако машина способна преодолеть
недостающий момент, численно равный (Mnc − Mnд). Этот недостающий момент преодолевается инерционным моментом, численно равным M и = M nc − M nд = J M dω dt и возникающим вследствие наличия
100
углового ускорения dω dt ведущего звена, причиной которого является разность моментов Mnc и Mnд (рис. 5.7).
Энергетический баланс маховика. В рассматриваемом примере
(рис. 5.7) видно, что на интервале цикла 0-1 развиваемая двигателем
работа нагрузкой не поглощается. Следовательно, эта работа, пропорциональная площади F1, расходуется на увеличение кинетической
энергии маховика (значениями Jn = Jn(φ) в сравнении с величиной JM
пренебрегаем). На интервале 1-2 требуемая для преодоления нагрузки
работа, пропорциональная площади F2+F3, меньше развиваемой на
этом же интервале работы двигателя, пропорциональной площади F2.
На всем этом интервале Mnc > Mnд, поэтому угловое ускорение ε по
знаку противоположно скорости. Следовательно, ω уменьшается,
вследствие чего освобождается кинетическая энергия, накопленная
маховиком на интервале 0-1. На интервале 1-2 эта кинетическая энергия маховика расходуется на преодоление недостающей работы (пропорциональной площади F3).
Таким образом, маховик представляет собой механический аккумулятор кинетической энергии, периодически накапливающий её
(энергию) за счет положительной избыточной работы на участках
цикла, имеющих приведенный момент движущих сил больше, чем
приведенный момент сил сопротивления, т.е. Mnд > Mnc, когда скорость ведущего звена возрастает, и отдающий её для преодоления недостающей работы на участках цикла, где Mnд < Mnc, когда скорость
ведущего звена снижается, т.е. ∆E = Aизб . = 0,5 J M ω 2max − ω2min .
Такая аккумулирующая роль маховика позволяет использовать
накопленную им энергию для преодоления повышенных полезных
нагрузок без увеличения мощности двигателя.
5.13. Понятие об агрегатировании и устойчивости работы
машин
(
)
Для большинства машин силы движущие и силы сопротивления
зависят от скоростей точек их приложения, а не от положения механизма. Зависимость момента Mд движущих сил электродвигателя от
угловой скорости ω его ротора называют механической характери101
стикой Mд(ω).
Рабочая машина, предназначенная для выполнения какого-либо
технологического процесса, в соединении с электродвигателем называется машинным агрегатом. Поскольку к рабочей машине не подходит любой двигатель, необходимо, чтобы механическая характеристика двигателя соответствовала механической характеристике рабочей машины. Например, если задана механическая характеристика
машины Mс(ω) и требуется, чтобы она работала с номинальной угловой скоростью ωН (рис. 5.8), то необходимо подобрать такой двигатель, который способен при заданной скорости ωН развивать момент
Mд = Mc. Рассматриваемый случай относится к приводу вентилятора
при помощи электродвигателя, вал которого соединен непосредственно (с помощью глухой муфты) с валом вентилятора.
С точки зрения уменьшения габаритов и веса двигателей выгодно
проектировать быстроходные двигатели, так как мощность двигателя N выражается произведением Mдωд. В большинстве машинных
агрегатов непосредственное соединение двигателя с рабочей машиной невозможно, так как Mд < Mc, а ωд > ωН (Mc и ωН относятся к рабочей машине).
Поэтому необходимо между двигателем и рабочей машиной ставить редуктор, повышающий крутящий момент и соответственно
уменьшающий угловую скорость. Механическая характеристика
асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором, часто
применяемого в машинных агрегатах (рис. 5.9), сначала возрастает до
точки М, а затем уменьшается.
Работа двигателя на восходящей ветви характеристики неустойчива, так как при увеличении момента внешних сил и соответствующем уменьшении скорости ω движущий момент также уменьшается,
и через некоторое время двигатель останавливается. Правая часть характеристики (после точки М) называется рабочей или устойчивой
частью. Она отличается тем, что колебания внешней нагрузки не вызывают значительных изменений угловой скорости ротора, так как
при увеличении момента внешних сил, приложенных к валу двигателя, его скорость падает и вместе с тем в соответствии с характеристикой на этом участке растет движущий момент Mд, обеспечивая новое
установившееся значение скорости ω.
102
Mд
M
Mд M
∆ Mc
Mс
Mc
Mд
0
ωН
ω
0
Рис. 5.8. Совмещение
механических характеристик
двигателя и рабочей машины
ω1
ω′′ ω′ ω
ω
Рис. 5.9. Механическая
характеристика синхронного
электродвигателя
Если двигатель нагружен моментом Мс и работает с угловой скоростью ω1 (см. рис. 5.9), то при случайном незначительном увеличении нагрузки на величину ∆Мс угловая скорость двигателя начнет
значительно снижаться, так как величина ∆Мс будет возрастать, в результате чего двигатель остановится. Двигатели с такой характеристикой могут устойчиво работать только на правой ниспадающей
части характеристики, в области устойчивой работы, т.е. преодолевать заданный момент Мс при угловой скорости ω > ω˝.
К таким двигателям относятся также автомобильные двигатели
внутреннего сгорания. Подключение нагрузки к этим двигателям
осуществляется с помощью специальных устройств – фрикционных
муфт сцепления, позволяющих к уже вращающемуся валу двигателя
(в области устойчивой работы) подключать ещё неподвижный ведомый вал рабочей машины (например, карданный вал) и плавно, за
cчет проскальзывания ведущего диска муфты по ведомому, сообщать
угловую скорость этому валу (рис. 5.10).
Постепенное увеличение скорости ведомого вала необходимо
для уменьшения угловых ускорений, т.е. для уменьшения инерционных нагрузок в трансмиссии. Фрикционные муфты, оказывая существенное влияние на динамические качества агрегатов, позволяют
обеспечивать плавный разгон рабочей машины, особенно в случаях
больших инерционных масс, предохранять машину и электродвигатель от перегрузок при пуске, остановке или изменении режима работы агрегата, повышая тем самым долговечность и надежность привода в целом.
103
ω
ωд
а
ωc
t
Рис. 5.10. Изменение скоростей ротора
электродвигателя и вала рабочей машины
Благодаря фрикционной муфте можно, например, с помощью
асинхронного короткозамкнутого электродвигателя небольшой мощностью легко разгонять тяжелую центрифугу, экстрактор или другой
инерционный агрегат [3, 5, 15].
5.14. Регулирование непериодических колебаний угловой
скорости ведущего звена механизма.
Центробежный регулятор. Регулятор с тахогенератором
При установившемся движении угловая скорость начального звена постоянна или колеблется относительно среднего значения, причем эти колебания скорости являются периодическими и могут быть
уменьшены путем установки маховика. Условием установившегося
движения является равенство работ сил движущих и сил сопротивления (по модулю) за каждый цикл движения. Если это условие нарушается вследствие уменьшения или увеличения сил сопротивления,
то скорость движения соответственно увеличивается или уменьшается. Возникают непериодические колебания скорости, характерные
для переходных процессов. В машинах такие процессы возникают
при внезапных скачках или сбросе нагрузки, изменении количества
подводимой энергии, при пуске, торможении и реверсировании хода
машины. Для многих машин это изменение скорости недопустимо, и
тогда возникает задача поддержания величины скорости на заданном
уровне. С этой целью применяют регуляторы скорости, основанные
на том, что при изменении скорости автоматически изменяется величина движущей силы, и условие установившегося движения сохраня104
ется для любого значения силы сопротивления.
Конструкции регуляторов и схемы регулирования разнообразны.
На рис. 5.11, а показана схема регулирования угловой скорости вала
теплового двигателя с помощью центробежного регулятора. Он состоит из двух тяжелых шаров 1, соединенных посредством рычагов с
валом регулятора 2 и его муфтой 3, на которую действует пружина 4.
Вал регулятора, а следовательно, и шары получают вращение от
вала двигателя (обычно через зубчатую передачу). При увеличении
скорости вращения шары расходятся, и муфта регулятора поднимается, при уменьшении – опускается, воздействуя через рычажную систему 5 на заслонку 6. При вращении вала регулятора со скоростью ω
массы m шаров находятся под воздействием центробежных сил:
F = mxω2,
где x – расстояние от оси вала до центра шара.
(5.50)
b
A
1
F
B
ωβ
5
(α + β)
C
D m
GM
2 2
m D
3
G
а
h
α
Fy
4
B
A
F
G
x
6
Fp
Ψma
Ψmax
Ψmin
б
Ψ
0
Рис. 5.11. Схема центробежного регулятора
и его характеристика
105
В идеальном (без сил трения), ненагруженном (без технологической нагрузки) регуляторе на его механизм, кроме центробежных сил
F и сил тяжести шаров G, действуют сила тяжести муфты GM и упругая сила Fy пружины. Силами инерции и тяжести рычагов в первом
приближении можно пренебречь. Условия равновесия одной симметричной половины механизма выражаются суммой моментов указанных сил ∑ M A = 0 относительно оси А вращения рычага. В развернутом виде это равенство (см. рис. 5.11, а) имеет вид
GM
l AB sin (α + β ) − F y l AB cos α = 0 , (5.51)
2 cos β
где l AB sin (α + β ) = h – плечо силы GM (2 cos β ) , действующей вдоль
рычага BD.
Из равенства (5.51) вытекает формула равновесной силы инерции Fp, необходимой в данном положении регулятора для равновесия
системы:
Fl AC cos α − Gl AC sin α −
F p = Gtgα + G M
l AB sin (α + β )
l
+ Fy AB .
l AC 2 cos α cos β
l AC
(5.52)
Так как β = f (α ) и Fy = f (α), то зависимость (5.52) представляет
собой функцию Fp(α) или, принимая во внимание равенство
x = b + l AC sin α , – функцию переменной x. График этой функции
Fp(x), называемый характеристикой регулятора (см. рис. 5.11, б), позволяет определять качественные показатели регулятора. Согласно
равенству (5.50) и характеристике регулятора:
ω2 =
или
где
Fp
⎛1⎞
= ⎜ ⎟ tgψ ,
(mx ) ⎝ m ⎠
ω = k tgψ ,
k=
(5.53)
g
1
.
=
m
G
Формула (5.53) свидетельствует о том, что равновесную угловую
скорость вала регулятора можно определить по тангенсу угла ψ наклона луча, проведенного из начала координат к рассматриваемой
130
точке кривой Fp(x). Используя этот прием к крайним точкам характеристики (см. рис. 5.11, б), можно найти углы ψmax и ψmin. Далее по
формуле (5.53) можно вычислить значения ψmax и ψmin, при которых
муфта 3 занимает свои крайние положения. Величина
δp =
ω max − ω min
ω cp
(5.54)
называется коэффициентом неравномерности регулятора [ωср определяется по формуле (5.39)].
Из формул (5.39) и (5.54) следует, что величина δ равна:
ω 2max − ω 2min 2(ω max − ω min )
δp =
=
.
2ωcp
(ωmax + ωmin )
(5.55)
При рассмотрении равновесного состояния регулятора не учитывалось влияние сил трения на равновесное положение регулятора. В
кинематических парах реального регулятора действуют силы трения,
поэтому при изменении скорости ω вала звенья механизма регулятора
не изменят относительного положения до тех пор, пока центробежные силы не изменятся на величину сопротивления сил трения.
Таким образом, трение элементов кинематических пар обусловливает сохранение величины угла α рычага регулятора при изменении
скорости в пределах ω ± ∆ω , т.е. чем больше диапазон 2∆ω, тем меньше чувствительность механизма, поэтому отношение
2∆ω
(5.56)
ω
называют коэффициентом нечувствительности регулятора.
Регулятор скорости подбирают с такой чувствительностью, чтобы
он не реагировал на периодические колебания скорости при установившемся движении и регулировал подачу энергии, когда величина ω будет выше ωmax или ниже ωmin скоростей, допускаемых технологическим процессом. Чем чувствительнее регулятор, т.е. чем
меньше εp, тем скорее происходит регулирование скорости машины.
Однако величина εp должна быть ограничена низшим пределом,
так как в противном случае регулятор может реагировать и на допускаемую неравномерность хода δ машины, имеющуюся внутри периода установившегося движения, что привело бы к непрерывному подъεp =
131
ему и опусканию шаров. Поэтому коэффициент нечувствительности
должен быть больше коэффициента неравномерности хода машины,
обычно принимают εр = 1,25δ.
Характеристика регулятора позволяет определить, является ли он
устойчивым или неустойчивым. Для определения устойчивости равновесия статической системы изучают её поведение при малых отклонениях от положения равновесия. Признаком характеристики устойчивого регулятора является увеличение угла ψ при увеличении
абсциссы x, т.е. при увеличении расстояния x, согласно формуле
(5.53), увеличивается и соответствующая равновесная скорость ωp.
Характеристики устойчивого и неустойчивого регуляторов представлены кривыми 1 и 2 соответственно (рис. 5.12).
F
m
i
Fик
Ψ
к
Fиi
Fpi
Fиi
Fpi 1 Fp(x)
i
a
Fpк
Fик
Ψ
Fp(x)
Fpк
к a
2
x
0
Рис. 5.12. Характеристика
центробежного регулятора:
1 – устойчивого;
2 – неустойчивого
Здесь увеличение абсциссы x соответствует уменьшению угла ψ,
т.е. при увеличении расстояния x равновесная скорость ωp уменьшается. Таким образом, равновесие регулятора является устойчивым,
если характеристика регулятора расположена так, что до точки пересечения а она лежит ниже линии Om, а после точки а − выше линии
Om [5]. Статически устойчивый регулятор может оказаться динамически неустойчивым, и устойчивость движения в этом случае проверяется по критерию Гурвица.
Чувствительный элемент системы регулирования угловой скорости вала машины может быть выполнен не только как центробежный
маятник. На рис. 5.13 показана схема регулятора непрямого действия
132
с тахогенератором 1, т.е. электрическим генератором постоянного тока, который дает напряжение U, пропорциональное угловой скорости
вала регулируемой машины. Одна клемма тахогенератора соединена
с усилителем 2, а другая – с щеткой потенциометра 3, находящегося
под действием напряжения постоянного тока электрической сети. В
результате такого соединения в усилитель 2 подается разность напряжений (U – UН). Щетка потенциометра устанавливается так, чтобы
UН = U при заданном значении скорости установившегося движения,
тогда разность напряжений (U – UН) равна нулю, и шток электромагнита 4 остается неподвижным.
8
1
2
5
U
3
UН
4
+
–
6
7
Рис. 5.13. Схема регулятора с тахогенератором
При увеличении или уменьшении угловой скорости вала регулируемой машины соответственно увеличивается или уменьшается напряжение U, на клеммах усилителя появляется напряжение U – UН, и
шток электромагнита 4 поднимается или опускается, воздействуя
через рычажную систему 5 с пружинами 6 на заслонку 7, регулирующую подачу топлива в двигатель. Для гашения колебаний к штоку
электромагнита присоединен демпфер 8.
Динамика регулятора с тахогенератором. Положения звеньев
регулируемой машины и регулятора с тахогенератором определяются
двумя независимыми обобщенными координатами, за которые принимаются угол поворота вала регулируемой машины φ и перемещение
штока электромагнита x, которое отсчитывается от положения, соответствующего номинальной угловой скорости вала машины ω = ωН,
133
при которой напряжение на клеммах тахогенератора U = UН. Кинетическая энергия системы принимается равной:
T = 0,5[Jnω2 + mn x& 2 ],
где ω – угловая скорость вала регулируемой машины; Jn – приведенный к этому валу момент инерции звеньев; mn – приведенная к штоку
электромагнита масса.
Приведенный момент инерции Jn находится по формуле (5.13),
при этом шток электромагнита считается неподвижным, а приведенная масса mn − по формуле (5.16), вал регулируемой машины является
неподвижным. В дальнейшем Jn и mn считаются постоянными. Тогда
уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа имеют
вид
& = M д − M c ; m n &x& = Fд − Fc ,
Jnω
где Mд, Mc – приведенные к валу машины моменты сил движущих и
сил сопротивления; Fд, Fc – приведенные к штоку электромагнита сила движущая и сила сопротивления.
Момент Mд зависит от положения заслонки 6, т.е. от подачи топлива в двигатель, т.е. с достаточной для практики точностью Mд можно считать линейно зависящим от перемещения x:
Mд= MH − kx,
где MН – номинальное значение движущего момента при x = 0;
k – постоянный коэффициент.
Сила Fд зависит от напряжения U – UН, поступающего на клеммы
усилителя 2, которое, в свою очередь, зависит от разности (ω – ωН). В
первом приближении указанные зависимости можно считать линейными, и тогда приведенная движущая сила найдется из соотношения
Fд = b(ω − ω Н ) .
Приведенная сила сопротивления Fс складывается из силы
пружины Fпр = −cx (с – приведенный коэффициент жесткости
пружины) и силы вязкого сопротивления в демпфере
FT = −βx& , т.е. Fc = −cx − βx& . Тогда система уравнений движения
принимает вид
⎧⎪ I nω& = M Н − kx − M c ;
⎨
x = b (ω − ωН ) − cx − β x&
⎪⎩mn &&
Решение данной системы уравнений производится относительно
переменной x дифференцированием по времени.
134
6. КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ
6.1. Сведения из теории механических колебаний
Механическими колебаниями называют движение механической
системы, при котором хотя бы одна из обобщенных координат или их
производных поочередно возрастает и убывает во времени. Различают свободные колебания, происходящие без переменного внешнего
воздействия и поступления энергии извне, и вынужденные, вызванные и поддерживаемые переменной во времени внешней силой.
Колебания называются периодическими, если состояние механической системы, определяемое значениями обобщенных координат и
их производных, повторяется через равные промежутки времени.
Наименьший промежуток времени, через который повторяется состояние механической системы, называется периодом колебаний.
Число периодов в единицу времени называется частотой; единица
частоты – герц (1 Гц = 1/с). При свободных колебаниях частота зависит только от собственных свойств системы (но не от сил) и потому
называется собственной частотой.
Простейшим видом периодических колебаний являются гармонические колебания, при которых обобщенная координата механической системы q прямо пропорциональна синусу от аргумента, линейно зависящего от времени:
q = Asin(ωt + Ө),
где А – амплитуда; ω – собственная частота системы; (ωt + Ө) – фаза;
Ө – начальная фаза.
Собственная частота гармонических колебаний связана с периодом колебаний tk соотношением
ω = 2π t k , или ω = 2πf ,
где f = 1 t k − частота, Гц.
6.2. Фрикционные колебания, вызываемые скачком силы
трения в тормозах
Замечено, что при торможении вращающегося или прямолинейно
движущегося звена прижатием тормозной колодки, которая может
135
иметь малые упругие перемещения, возникают колебания колодки
относительно положения статического равновесия. В первом приближении возникновение этих колебаний можно объяснить скачком
силы трения при переходе от покоя к движению.
Пусть, например, ползун с массой m (рис. 6.1) лежит на шероховатой поверхности, движущейся с постоянной скоростью V0, x – смещение тела (ползуна) от положения, при котором пружины не натянуты и не сжаты, c – коэффициент жесткости (суммарный для двух
пружин). Наличие силы трения приводит к тому, что поверхность при
движении сначала увлекает за собой ползун, и как только величина
упругой силы пружины Fnp = cx становится равной максимальной силе трения покоя Fтп, происходит срыв ползуна, а сила трения скачком
уменьшается до значения силы трения скольжения Fт. Скачок силы
трения ∆F = Fтп − Fт вызывает упругие колебания ползуна, до срыва
ползун движется равномерно со скоростью x& = V0 . Сила трения покоя
возрастает от нуля до Fтп = f тп mg , где fтп – коэффициент трения
покоя.
x
m
V0
Рис. 6.1. Фрикционные колебания в тормозах
Сила пружины возрастает от нуля до значения cxn, где xn – смещение ползуна в момент срыва. Из условия равенства величин силы
упругости пружины и силы трения в момент срыва имеем
Fтп = cx n ,
откуда
xn =
Fтп
.
c
136
Время движения до срыва t n = x n V0 . Если принять силу трения
скольжения равной постоянной величине Fт, то после срыва движение ползуна описывается линейным дифференциальным уравнением
второго порядка:
(6.1)
m&x& + cx − Fт = 0 ,
&x& + ω2 x = xc ω2 ,
или
F
c
– собственная частота системы; x c = т – статическое
где ω =
c
m
перемещение пружины под действием силы Fт.
Решая уравнение (6.1), получаем закон движения ползуна после
момента срыва:
2
⎛V ⎞
2
x = xc + ⎜ 0 ⎟ + ( xn − xc ) sin (ωt + θ) ,
⎝ω⎠
( x − xc )ω
θ = arctg n
.
где
V0
Отсюда скорость и ускорение ползуна равны:
(6.2)
2
x& = V02 + ( x n − x c ) ω 2 cos(ωt + θ) ;
(6.3)
&x& = −ω V02 + ( x n − x c )2 ω 2 sin (ωt + θ).
(6.4)
На рис. 6.2 показаны графики изменения x, x& , &x& в зависимости от
времени t, причем график x(t) представляет также в другом масштабе
график изменения упругой силы пружины Fnp (штрихпунктирной линией показано значение x в положении статического равновесия).
x
z&
x&
z
x&
x
xn
xc
t
t
&x&
а
б
&x&
&z&
t
в
Рис. 6.2. Графики изменения перемещения, скорости
и ускорения ползуна
137
6.3. Фрикционные колебания, вызываемые скачком силы
трения в поступательной паре
Фрикционные колебания, вызываемые скачком силы трения, наблюдаются не только в тормозах и фрикционных передачах, но и при
медленных движениях ползунов в направляющих, например, металлорежущих станков и некоторых приборов. На схеме динамической
модели (рис. 6.3) приводится движение ползуна в направляющих с
учетом силы трения в направляющих F и силы упругости пружины Fnp, которая имитирует влияние упругости звеньев. Предполагается, что левый конец пружины движется с постоянной скоростью V0,
а её правый конец получает перемещение z, отсчитываемое от положения, соответствующего началу движения ползуна массой m, коэффициент жесткости пружины обозначен через c.
z
V0
m
Рис. 6.3. Фрикционные колебания
в поступательной паре
Как и в предыдущем примере, считается, что сила трения покоя Fтп больше силы трения скольжения Fт, постоянной по величине.
Начало движения ползуна (срыв) произойдет, когда сила упругости
пружины станет равной Fтп. В момент времени t сила упругости пружины, которая является движущей силой, имеет значение:
Fnр = Fтп − c( z − V0 t ) ,
а сила трения Fт является силой сопротивления. Поэтому дифференциальное уравнение движения ползуна имеет вид
m&z& = Fтп − c( z − V0 t ) − Fт ,
или
m&z& + cz = cv0 t + ∆F ,
где
∆F = Fтп − Fт .
138
(6.5)
Решения уравнения (6.5) будут следующие:
z = V0 t −
V0
∆F
(1 − cos ωt ) ;
sin ωt +
ω
c
z& = V0 t − V0 cos ωt +
&z& = ωV0 sin ωt +
∆F
ω sin ωt ;
c
∆F 2
ω cos ωt .
c
(6.6)
(6.7)
(6.8)
Графики z, z& , &z& показаны на рис. 6.2 пунктирными линиями.
Сравнивая движение ползуна в двух рассмотренных случаях, видно,
что участку совместного движения ползуна (колодки тормоза) и плоскости с постоянной скоростью V0 соответствует выстой ползуна в
направляющих, а моменту срыва колодки – момент начала движения
ползуна после выстоя и т.д.
6.4. Фрикционные колебания при силах трения, зависящих
от скорости скольжения
При исследовании движения ползуна или колодки предполагалось, что сила трения не зависит от скорости скольжения. Учет зависимости силы трения от скорости скольжения позволяет выявить такие режимы движения, которые не обнаруживаются при постоянной
силе трения.
Рассмотрим, например, возможные режимы колебания ползуна,
прижатого к поверхности, движущейся с постоянной скоростью
(см. рис. 6.1) при условии, что характеристика силы трения скольжения линейно зависит от скорости скольжения: VС = V0 − x& . Если сила
трения уменьшается с увеличением скорости скольжения, то характеристика силы трения на этом участке называется падающей, если
увеличивается − возрастающей (рис. 6.4).
Предположим, что колебания ползуна отсутствуют и он находится в положении статического равновесия, определяемого координатой x0 = F0 с , где с – коэффициент жесткости пружины, F0 – значение силы трения при скорости скольжения V0. Если ползун вывести
139
из положения статического равновесия, то он будет совершать колебания, характер которых зависит от соотношения между скоростью V0 и скоростью Vk, определяющей границу между падающей и
возрастающей характеристикой силы трения.
F
Fk
Vc
O
Vk
Рис. 6.4. Фрикционные колебания
с учетом скорости скольжения
Уравнение движения ползуна имеет вид
m&x& = F − cx ,
(6.9)
где x – координата ползуна, отсчитываемая от положения, при котором сила упругости пружины равна нулю; F – сила трения, зависящая
от скорости скольжения.
Обозначая через Fk значение силы F при скорости скольжения Vk,
получаем для возрастающей характеристики:
F = Fk + K в (V0 − x& − Vk ) ,
(6.10)
где Kв – положительный коэффициент, определяющий наклон возрастающей характеристики.
Соответственно для падающей характеристики:
F = Fk + K n (Vk − V0 + x& ) ,
(6.11)
где Kn – положительный коэффициент, определяющий наклон падающей характеристики.
Следовательно, уравнение движения ползуна при скорости
скольжения Vс > Vk (возрастающая характеристика) получится, если в
уравнение (6.9) подставить выражение (6.10):
m&x& + K в x& + cx = Fk + K в (V0 -Vk ).
140
(6.12)
Для падающей характеристики уравнение движения ползуна имеет вид
m&x& + K n x& + cx = Fk + K n (Vk -V0 ) .
(6.13)
Искомое решение уравнения (6.12) таково:
x = B − Ae − γt sin (ωt + θ ) ,
(6.14)
B − x0
Fk + K в (V0 -Vk )
ξ2
ξ
ω
; A=
; ω = 1−
; θ = arctg ; γ = ;
где B =
c
ωt
γ
T
T
K
c
m
коэффициент демпфирования 2ξ = в
, T=
.
c m
c
Из формулы (6.14) видно, что ползун совершает затухающие колебания, так как показатель степени при числе е имеет знак минус, и
потому коэффициент при sin (ωt + θ) с увеличением времени t стремится к нулю. Скорость ползуна x& получается дифференцированием
соотношения (6.14):
x& = Aγe − γt sin (ωt + θ) − ωAe − γt cos(ωt + θ).
(6.15)
Исключив время t из соотношений (6.14) и (6.15), получаем зависимость x& ( x ) , графическое изображение которой на фазовой плоскости, т.е. в координатах x& и x, представляется спиралью, стремящейся
к точке (x0, 0) статического равновесия (рис. 6.5, а). Указанная спираль называется фазовой траекторией системы, а точка (x0, 0) − особая точка этой траектории, называемая устойчивым фокусом.
Другой характер движения получится при падающей характеристике силы трения. Уравнение движения (6.13) отличается от уравнения движения (6.12) знаком слагаемого, содержащего x& . В решении
уравнения (6.13) показатель степени при числе е имеет знак плюс, и
потому коэффициент при sin (ωt + θ) с увеличением времени t стремится к бесконечности, т.е. амплитуды колебаний будут возрастать
по показательному закону.
Графическое изображение зависимости x& ( x ) на фазовой плоскости представляется спиралью (рис. 6.5, б), выходящей из точки (x0, 0)
статического равновесия, которая в этом случае называется неустойчивым фокусом.
141
Следовательно, при падающей характеристике силы трения система неустойчива, и после любого малого возмущения в системе происходит самовозбуждение колебаний с возрастающими амплитудами.
Однако это возрастание не будет происходить неограниченно, так как
одновременно увеличивается скорость x& , а следовательно, уменьшается скорость скольжения Vс = V0 − x& и в некоторый момент времени
становится равной Vk, т.е. граничному значению, после которого начинается участок возрастающей характеристики.
x&
x&
x
а
x
б
Рис. 6.5. Решение уравнений движения с учетом скорости скольжения
Эффект возрастания амплитуд при падающей характеристике сил
трения (раскачка колебаний) показывает, что не всегда наличие трения способствует демпфированию колебаний.
6.5. Автоколебания
Автоколебаниями называют незатухающие стационарные колебания, поддерживаемые за счет энергии, которая подводится к системе
от источников неколебательного характера, причем силы, подводимые к системе от источников энергии, меняются во времени в зависимости от самого движения системы и при отсутствии системы равны нулю. Примером автоколебаний могут служить незатухающие колебания маятника часов, которые поддерживаются поступлением
энергии от движения гири или пружины. Фрикционные колебания
также являются автоколебаниями, так как они поддерживаются по142
ступлением энергии от неколебательного источника – плоскости,
движущейся с постоянной скоростью V0, а силой, подводимой от источника энергии и меняющейся во времени в зависимости от самого
движения, является сила трения, которая при отсутствии движения
равна нулю. Колебания ползуна не затухают и повторяются независимо от времени. Фазовая траектория x& ( x ) при автоколебаниях, вызываемых скачком силы трения, имеет вид замкнутой кривой, повторяющейся во времени (рис. 6.6).
x
O
x
Рис. 6.6. Фазовая траектория
при автоколебаниях
Итак, при фрикционных колебаниях ползуна, взаимодействующего с движущейся поверхностью, в зависимости от начальных условий
и параметров системы можно наблюдать три режима: автоколебания,
затухающие колебания и колебания с возрастающими амплитудами.
На фазовой плоскости этим режимам соответствуют фазовые траектории в виде замкнутой кривой (см. рис. 6.6), спирали, накручивающейся на особую точку (см. рис. 6.5, а), и спирали, выходящей из
особой точки (см. рис. 6.5, б). Фазовую траекторию при фрикционных
автоколебаниях можно рассматривать как граничный или предельный
случай, соответствующий переходу от режима с затухающими амплитудами колебаний к режиму с возрастающими амплитудами.
6.6. Приведение жесткостей упругих звеньев механизма
Приведенным коэффициентом жесткости кинематической цепи
называется коэффициент жесткости звена приведения, имеющего такую же потенциальную энергию, что и заменяемая кинематическая
цепь. Обратная величина называется коэффициентом податливости:
e = 1 с . При параллельном соединении звеньев или отдельных упругих элементов приведенный коэффициент жесткости сn определяется
143
из условия равенства потенциальной энергии до и после приведения,
причем учитывается, что в этом случае деформации всех звеньев
(элементов) кинематической цепи равны между собой (рис. 6.7, а).
С учетом этого условия получаем:
cn x 2 1 n
= ∑ ci x 2 ,
2
2 i =1
где x – деформация, общая для всех звеньев (элементов); ci – коэффициенты жесткости отдельных звеньев (элементов); n – число звеньев.
Отсюда для параллельного соединения имеем:
n
c n = ∑ ci .
(6.16)
i =1
После приведения жесткостей получается одномассовая динамическая модель (рис. 6.7, б), в которой на звено приведения с массой m
воздействует линейная пружина с приведенным коэффициентом жесткости cn. При последовательном соединении звеньев или отдельных
элементов (рис. 6.7, в) величина деформации звеньев ∆xi и общая деформация ∆x связаны соотношением
n
∆x = ∑ ∆xi .
(6.17)
i =1
x
x
m
m
а
б
x
x1
x2
x3
m
в
Рис. 6.7. Приведение жесткостей при параллельном
и последовательном соединении упругих элементов
144
Кроме того, из условия равенства силы деформации, передаваемой от одного элемента к другому, имеем
F = c i ∆x i = c n ∆x .
(6.18)
С учетом этих условий равенство (6.17) принимает вид
n F
F
=∑ .
c n i =1 ci
Следовательно, при последовательном соединении отдельных элементов (звеньев), передающих одну и ту же силу деформации F, получаем:
n 1
1
(6.19)
=∑ ,
c n i =1 ci
или
n
e n = ∑ ei ,
i =1
(6.20)
где en – приведенный коэффициент податливости [3].
6.7. Дифференциальные уравнения движения двухмассовой
динамической модели с линейным упругим звеном
Линейным упругим звеном называется звено, для которого приведенный коэффициент жесткости имеет постоянную величину. На
рис. 6.8 показана динамическая модель механизма в виде двух вращающихся звеньев с приведенными моментами инерции Jд и Jn, между которыми помещено линейное упругое звено с приведенным коэффициентом жесткости cn. За обобщенные координаты принимаются
угол поворота левого конца упругого звена φд, равный углу поворота
ротора двигателя, и угол поворота правого конца φn. Если считать,
что к левому концу приложен движущий момент Mд, а к правому –
приведенный момент Мn, то при постоянных Jд и Jn уравнения движения имеют следующий вид:
&& д = M д − c n (ϕ д − ϕ n )⎫
J дϕ
⎬.
&& n = M n − c n (ϕ д − ϕ n )⎭
J nϕ
145
(6.21)
При достаточно большой мощности двигателя угловую скорость
его ротора ϕ& 0 = ω можно считать постоянной. Тогда φд = ωt, и второе
уравнение системы (6.21) может быть решено независимо от первого.
ϕ п , Mn
ϕ д , Mд
Jд
сn
Jn
Рис. 6.8. Двухмассовая модель с линейным упругим звеном
Кроме того, учитывая, что угол φn незначительно отличается от
угла φд, удобнее всего взять за обобщенную координату вместо φд
разность φ = φn − φд. Второе уравнение системы (6.21) получает вид
&& +c n ϕ = M n .
J nϕ
(6.22)
Первое уравнение системы (6.21) служит в этом случае только для
определения движущего момента Мд, при котором выполняется заданный закон равномерного движения ротора двигателя. Движение
звена с приведенным моментом инерции Jn в этом случае можно рассматривать как состоящее из основного движения с постоянной угловой скоростью ω и дополнительного движения со скоростью ϕ& , которая обычно имеет колебательный характер. Имея в виду это дополнительное движение, определяемое уравнением (6.22), следует отметить, что рассматриваемая динамическая модель имеет одну колебательную степень свободы, так как вторая степень свободы определяет
движение всех частей модели с одной и той же угловой скоростью.
6.8. Колебания в механизмах с одним линейным упругим звеном.
Коэффициент динамичности. Влияние сил вязкого трения
Предположим, что приведенный момент Mn изменяется по закону
Mn= M0+Hsinωt, т.е. его величина колеблется по гармоническому закону относительно среднего значения, где М0 – среднее значение Mn;
146
H – амплитуда его колебаний относительно среднего значения. После
подстановки Mn в (6.22) и замены переменных:
ϕ= y+
M0
cn
уравнение (6.22) принимает вид
H
(6.23)
sin ωt ,
Jn
где λ2 = cn J n – квадрат собственной частоты системы; λ – частота
собственных колебаний; ω – частота вынужденных колебаний.
При λ ≠ ω решение дифференциального уравнения (6.23) представляет собой сумму четырех слагаемых:
&y& + λ2 y =
y = y 0 cos λt +
y& 0
Hω
H
t
sin λt −
sin
λ
+
sin ωt . (6.24)
2
2
2
2
λ
J nλ λ − ω
Jn λ − ω
(
)
(
)
Первые два слагаемых описывают свободные колебания с частотой λ, при нулевых начальных условиях y 0 = y& 0 = 0 эти слагаемые
равны нулю. Третье слагаемое описывает гармонические колебания,
происходящие с собственной частотой λ, но с амплитудой, зависящей
от вынуждающей (возмущающей) силы. Эти колебания сопровождают вынужденные колебания, и их называют свободными сопровождающими колебаниями. Четвертое слагаемое описывает вынужденные колебания с частотой ω и амплитудой
H
,
(6.25)
J n λ2 − ω 2
которая увеличивается по мере приближения частоты ω вынуждающей силы к собственной частоте λ.
Особое состояние системы при λ = ω называется резонансом. В
этом случае дифференциальное уравнение (6.23) и его решение имеют другой вид. Отношение амплитуды вынужденных колебаний А к
максимальному перемещению Аст, вызываемому статическим дейст&& = 0 ), называется коэффициентом динамичности Кдин.
вием силы ( &y& = ϕ
A=
(
147
)
Максимальное перемещение при статическом действии силы
Aст =
H 2
λ .
Jn
Следовательно,
2
K дин = λ
ω2
λ - ω =1 1− 2 .
λ
2
2
(6.26)
Резонансная кривая (рис. 6.9) выражает зависимость коэффициента динамичности от коэффициента расстройки, равного отношению
частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний.
ω
Коэффициент динамичности Kдин < 1 при > 2 .
λ
Kдин
3
2
1
O
1
2 2
3
ωλ
Рис. 6.9. Резонансная кривая
Коэффициент динамичности Кдин в зарезонансной области
(ω λ > 1) равен единице при ω λ = 2 и стремится к нулю при
ω λ → ∞ (см. рис. 6.9).
Влияние сил вязкого трения. Если в кинематических парах трение приближается к жидкостному, то момент сил трения можно рассчитать по приближенной формуле:
M т = β ϕ& ,
где β – коэффициент вязкого сопротивления.
Тогда уравнение движения принимает вид
&& + βϕ& + cn ϕ = M 0 + H sin ωt .
J nϕ
148
(6.27)
6.9. Уравнения движения шарнирного четырёхзвенника
с упругими звеньями
В механизме шарнирного четырёхзвенника (рис. 6.10) внешние
силы приложены только к звеньям 1 и 3 и представлены парами сил с
моментами Mд и M3. Инерция шатуна 2 не учитывается, и, следовательно, реакции, действующие на него со стороны звеньев 1 и 3, направлены по линии BC. В этом случае шатун испытывает только деформации растяжения-сжатия, и его коэффициент податливости
можно определить по формуле для цилиндрических стержней:
e 2 = l 2 ES ,
где l – длина шатуна; Е – модуль упругости; S – площадь поперечного сечения шатуна.
2
r
vв
B
ϕ2
3
Mд
ϕ1 − ϕ 2
A
1
ϕ1
C
b
M3
D
ϕ1 − ϕ 2
ϕ3
а
ϕ 2 − ϕ1
c
p б
Рис. 6.10. Механизм и план скоростей шарнирного четырехзвенника
Коэффициент податливости вала звена 1 определяется с учетом
только деформации кручения:
e1 = l1 (GJ р1 ) ,
где l1 – длина участка вала звена 1, на котором определяется угол закручивания; G – модуль сдвига; Jp1 – полярный момент инерции вала
звена 1.
Аналогично для вала звена 3:
e3 = l3 (GJ p3 ) .
Уравнения движения шарнирного четырёхзвенника можно получить из рассмотрения двухмассовой динамической модели (см.
рис. 6.8), если принять звено 1 за звено приведения.
149
Если кинематическая цепь состоит из п последовательно соединенных пар зубчатых колес с упругими валами, то приведенный
коэффициент податливости en = 1 cn ;
2
n Un
n
1
i
=∑
, en = ∑ eiU n2i ,
(6.28)
c n i =1 ci
i =1
где ci – коэффициент жесткости звена i; сn – приведенный коэффициент жесткости; U ni – передаточное отношение, U ni = ωп /ωi;
ωп и ωi –угловые скорости звена приведения и звена i.
Приведенный коэффициент податливости eп определяется по
формуле (6.28), которая для шарнирного четырёхзвенника имеет вид
2
eп1 = e1 + e2 x12
+ e3U 132 ,
где x12 – передаточное отношение,r равное отношению угловой скорости звена 1 к проекции скорости VВ на линию ВС; U13 – передаточное
отношение, равное отношению угловой скорости звена 1 к угловой
скорости звена 3.
Для определения отношений x12 и U13 строится план скоростей
шарнирного четырёхзвенника рbс (см. рис. 6.10, б). Из этого плана,
построенного в произвольном масштабе µV, определяется величина
передаточного отношения U13 как отношение угловых скоростей ω1 и
ω3 :
( pb ) µ V l AB ( pb )lCD
.
U 13 =
≡
( pc ) µ V lCD ( pc )l AB
Отношение (pb)/(pc) можно определить по чертежу или вычислить из косоугольного треугольника рbc по теореме синусов:
( pb ) sin (ϕ 3 − ϕ 2 )
=
,
( pc ) sin (ϕ1 − ϕ 2 )
где углы φ2 и φ3 находятся в зависимости от угла φ1 и длин звеньев.
Отсюда
U 13 =
l CD sin (ϕ 3 − ϕ1 )
.
l AB sin (ϕ1 − ϕ 2 )
150
(6.29)
Для определения отношения x12 необходимо также построить
план скоростей, но не механизма шарнирного четырехзвенника, а кулисного механизма, который получается при закреплении звена 3 и
введении дополнительного ползуна, позволяющего изменять длину
шатуна ВС, т.е сообщать ему перемещение ∆l, равное его упругой
деформации (рис. 6.11, а).
C
2
B
ϕ2
b2
b1
1
A
ϕ1 − ϕ 2
ϕ1
p
а
б
Рис. 6.11. Схема кулисного механизма и план скоростей
План скоростей кулисного механизма построен в произвольном
масштабе (см. рис. 6.11, б). Элементарное перемещение звена 1 пропорционально его угловой скорости, а элементарное перемещение
звена 2 в направлении его деформации – скорости перемещения дополнительного ползуна относительно кулисы:
x12 =
( pb1 ) µ V l AB
(b1b2 )µ V
=
( pb1 )
.
l AB (b1b2 )
Отношение (pb1)/(b1b2) можно определить по чертежу или же найти из прямоугольного треугольника рb2b1:
( pb1 )
1
.
=
(b1b2 ) sin (ϕ1 − ϕ 2 )
Следовательно,
x12 =
1
.
l AB sin (ϕ1 − ϕ 2 )
(6.30)
С учетом формул (6.29) и (6.30) имеем:
e n1 = e1 +
e2
2
l AB
sin (ϕ1 − ϕ 2 )
2
151
+
2
sin 2 (ϕ 2 − ϕ 3 )
e3 l CD
2
l AB
sin (ϕ1 − ϕ 2 )
2
.
После определения приведенного коэффициента жесткости
сп1 = 1/eп1 рассматривается двухмассовая динамическая модель
(см. рис. 6.8), но приведенный коэффициент жесткости сп1 является
уже переменной величиной, зависящей от угла поворота φ1. Дифференциальные уравнения движения для этой модели имеют вид:
&& д = M д − с п1 (ϕ д − ϕ1 ) ;
⎧ J дϕ
(6.31)
⎨
,
&
&
(
)
J
с
M
ϕ
=
ϕ
−
ϕ
+
⎩ д д
п1
д
1
п1
где φд – угол поворота левой массы, равный углу поворота вала двигателя; φ1 – угол поворота правой массы, равный углу поворота звена 1; Jд – приведенный момент инерции движущихся (вращающихся)
частей (звеньев) двигателя; Jп1 – приведенный к звену 1 момент инерции звеньев шарнирного четырехзвенника, Jп1 = J1 + J3U312, J1 и J3 –
моменты инерции звеньев 1 и 3; Mд – момент на валу двигателя, равный моменту M1; Mп1 – приведенный к звену 1 момент М3, равный
М3U31.
Коэффициент сп1 в уравнениях (6.31) является нелинейной функцией угла φ1, и потому система этих уравнений, как правило, может
быть решена только численными методами по малым участкам движения. Кроме того, следует иметь в виду, что метод приведения жесткостей является приближенным методом, который не может быть
использован для анализа резонансных режимов.
6.10. Динамика кулачкового механизма с упругим толкателем
В одномассовой динамической модели кулачкового механизма с
упругим толкателем (выходным звеном) (рис. 6.12) упругость кулачкового вала не принимается во внимание, то есть рассматривается
механизм, в котором жесткость вала значительно больше жесткости
толкателя. Масса толкателя m считается сосредоточенной в одной
точке (верхнем конце толкателя), действие сил упругости толкателя
представлено пружиной, помещенной
r между массой m и кулачком, на
массу m действует внешняя сила Fc . Нижний конец толкателя (пружины) движется в контакте с кулачком, т.е. перемещение нижнего
конца толкателя S, отсчитываемое от наинизшего положения, определяется профилем кулачка. Перемещение верхнего конца толкателя y
вследствие упругости толкателя отличается от перемещения S и может быть найдено из дифференциального уравнения движения
152
массы m:
(6.32)
m&y& =c 2 (S − y ) − c1 y − Fc ,
где c1, c2 – коэффициенты жесткости соответственно замыкающей
пружины и толкателя; Fс – модуль силы сопротивления, включая
силу трения и силу предварительной затяжки пружины.
Величина S, входящая в правую часть уравнения движения, полностью определяется профилем кулачка. Зависимость величины S от
времени t называется кинематическим возбуждением, так как оно
оказывает непосредственное влияние на упругие колебания массы m.
Влияние кинематического возбуждения (профиля кулачка) на упругие колебания толкателя оценивается коэффициентом динамичности Кдин, под которым понимается отношение максимального модуля
ускорения выходного звена с учетом упругости звеньев к максимальному модулю ускорения этого же звена без учета упругости звеньев:
K дин = &y&max / S&&max .
(6.33)
Определение коэффициента Кдин показывается на примере кулачкового механизма с чистой инерционной нагрузкой (Fc = 0, с1 = 0), у
которого профиль кулачка найден из условия, что нижний конец толкателя движется по закону косинусоидального ускорения (рис. 6.13).
r
Fc
y
S&&
&y&
S&& &y&
m
t
S
tП
Рис. 6.12. Кулачковый механизм
с упругим толкателем
Рис. 6.13. Закон движения
толкателя
h
h
Тогда S&& = ω 2 cos ωt , S = (1 − cos ωt ), где h – ход толкателя за
2
2
153
время его подъема tП; ω = π t П – частота кинематического возбуждения.
Уравнение (6.32) принимает вид
&y& +
c h
c2
y = 2 (1 − cos ωt ).
m2
m
Решение последнего уравнения:
⎡ ⎛ 1 ⎞2
⎤
⎢ ⎜ ⎟ cos ωt − cos λt ⎥
h ⎢ ⎝ ω⎠
⎥.
y = 1−
2
⎥
2⎢
⎛λ⎞
⎢
⎥
⎜ ⎟ −1
⎝ ω⎠
⎣
⎦
После двукратного дифференцирования по времени
hω 2 λ2
&y& =
(cos ωt − cos λt ).
2 λ2 − ω 2
(
)
На рис. 6.13 показаны графики изменения ускорения толкателя
без учета упругости S&& и с учетом упругости &y& при n = λ ω = 10 . Коэффициент динамичности Кдин, определяемый по формуле (6.33), равен:
λ2
K дин = 2
cos ωt − cos λt max ≅ 2 .
λ − ω2
Аналогичный вывод получается для всех законов, имеющих скачок модуля ускорения. Для законов движения, при которых ускорение в некоторый момент времени изменяет не только величину, но и
направление (например, закон постоянного ускорения), коэффициент
динамичности Кдин с увеличением n стремится к значению Кдин = 3.
Наименьшую величину Кдин при одних и тех же условиях дают законы движения с плавным изменением ускорения, при достаточно
большом n коэффициент динамичности для этих законов равен единице.
Все результаты, полученные при исследовании кулачкового механизма с упругим толкателем, полностью распространяются на кулачковый механизм с упругим коромыслом (упругим вращающимся
ведомым звеном).
154
7. УРАВНОВЕШИВАНИЕ И ВИБРОЗАЩИТА МАШИН
При движении звеньев механизма в кинематических парах возникают дополнительные динамические нагрузки от сил инерции звеньев. Так как всякий механизм имеет неподвижное звено – стойку, то и
она также испытывает вполне определенные динамические нагрузки.
В свою очередь, эти нагрузки через стойку передаются на фундамент
механизма. Динамические нагрузки, возникающие при движении механизма, являются источниками дополнительных сил трения в кинематических парах, вибраций в звеньях и фундаменте и дополнительных напряжений в отдельных звеньях механизма.
Поэтому при проектировании механизма часто ставится задача о
рациональном подборе масс звеньев механизма, обеспечивающем
полное или частичное погашение указанных динамических нагрузок.
Это так называемая задача об уравновешивании масс механизма, или
об уравновешивании сил инерции звеньев механизма, так как влияние
движения масс оценивается силами инерции. Задача уравновешивания сил инерции звеньев механизма может быть разделена на две –
задачу об уравновешивании динамических нагрузок на фундамент и
задачу об уравновешивании динамических нагрузок в кинематических парах.
Динамические давления в кинематических парах являются следствием появления сил инерции звеньев. Следовательно, чтобы устранить или уменьшить динамические давления, необходимо тоже самое
выполнить по отношению к силам инерции. Во вращающихся звеньях
можно так расположить массы по отношению к опоре, чтобы элементарные силы инерции звена попарно были равны и направлены в обратные стороны. Тогда все элементарные силы инерции звена взаимно уравновесятся, и кинематические пары (опоры) не будут испытывать динамические давления. Такое звено называется уравновешенным, и это может быть только вращающееся звено.
Центробежные силы инерции уравновешенного вращающегося
звена взаимно уравновешиваются, и опоры звена динамических давлений не испытывают. Динамические напряжения звена, создаваемые
силами инерции, остаются. Силы инерции звеньев, имеющих поступательное или сложное движение, не могут быть уравновешены в
системе самого звена. Поэтому они создают динамические давления в
кинематических парах и, как результат этого, вызывают колебания
рамы (фундамента) машины. Последние можно уменьшить, устанав155
ливая в механизме (машине) специальные дополнительные массы
(противовесы) или соответствующим образом выбирая массы звеньев. Эта задача называется уравновешиванием механизма (машины) на
фундаменте.
7.1. Статическое уравновешивание вращающихся звеньев
При вращении звена на его опоры действуют динамические реакции, т.е. реакции, зависящие от ускорений (сил инерции). Для полноr
го устранения этих реакций необходимо, чтобы главный вектор Fè и
r
главный момент сил инерции Ì è были равны нулю в любой момент
движения:
r
(7.1)
Fè = mrs ω2 = 0 ;
[
[
]
]
r
M и = Fи z = mrs ω 2 z = 0 ,
(7.2)
где т – неуравновешенная масса; rs – расстояние центра неуравновешенной массы от оси вращения; ω – частота вращения вала (диска) с
неуравновешенной массой; z – расстояние от плоскости, где расположена неуравновешенная масса, до плоскости приведения.
Вращающееся звено считается статически уравновешенным, если
выполняется условие (7.1), которое равносильно условию постоянства положения центра масс звена или условию расположения центра
масс на оси вращения звена. Если условие (7.1) не выполнено, то звено называется статически неуравновешенным, и за меру статической
неуравновешенности, или статического дисбаланса, принимают величину статического момента масс звена относительно оси вращения:
∆с = тrs.
Для статического уравновешивания надо в направлении, противоположном центру масс, установить добавочную массу mn (противовес) на расстоянии rn от оси вращения (рис. 7.1, à ). Если будет выполнено условие mn rn = − mrs , то сила инерции противовеса Fun окаr
жется равной и противоположной силе инерции Fè неуравновешенного звена. Результирующая сила инерции при этом условии будет
равна нулю. Иногда установку противовеса заменяют удалением (на156
пример, высверливанием) массы mn на той стороне, в которую смещен центр масс S (рис. 7.1, а), т.е. центр удаляемой массы и центр
масс звена располагаются в этом случае по одну сторону от оси вращения.
1
I
y
r2
r1
z
α3
α2
z1
mд
z2
x
а
mn
r3
m3
α1
O
z3
zII
r
Fиn
α3
mn
S
α2
rS
Q1r1
α1
Qn rn
m
r
Fи
αn
в
Q3 r3
Q2 r2 z 2
Q3 r3 z3
Q2 r2
QII rII
Q1r1 z1
г
Q2 r2
Q3 r3
rn
б
II
mд
rд
m2
m1
rд
3
2
QII rII z II
QI rI
α II
α II
д
Q1r1
αI
Рис. 7.1. Статическое, динамическое и полное
уравновешивание вращающихся звеньев
157
Рассмотрим общий случай уравновешивания вала с известным
расположением неуравновешенных масс, часто встречающийся в современном машиностроении, например, главный вал машины с деталями несимметричной или даже симметричной формы.
Пусть в плоскостях 1, 2 и 3 ротора (вала) (см. рис. 7.1, à ), которые перпендикулярны к оси вращения, имеются неуравновешенные
массы m1 , m2 , m3 . Положения неуравновешенных масс в плоскостях
заданы радиусами-векторами r1, r2, r3. Положение плоскостей 1, 2 и 3
относительно плоскости приведения 1 определяется соответственно
координатами z1, z2 и z3. Обозначим массу противовеса при статическом уравновешивании через mn, а радиус-вектор, определяющий положение его центра тяжести, через rn. Тогда условием статической
уравновешенности ротора
будет:r
r
r
r
r
∑ Fu = 0 , или Fu 1 + Fu2 + Fu3 + Fun = 0 .
Так как величины сил Fu1 , Fu 2 , Fu3 , Fu n пропорциональны произведениям масс m на соответствующие расстояния r, то
m1r1ω2 + m2 r2 ω2 + m3 r3ω2 + mn rn ω2 = 0 ,
или, сокращая на ω2, получаем
m1r1 + m2 r2 + m3r3 + mn rn = 0 .
Масса тела m пропорциональна его весу Q, значит можно записать:
Q1r1 + Q2 r2 + Q3r3 + Qn rn = 0 .
В соответствии с этим векторным уравнением строится многоугольник статических дисбалансов (см. рис. 7.1, в), откуда находится
последнее слагаемое уравнения Qnrn, которое и определяет величину
уравновешивающей силы Fun. Задавшись возможно большей величиной rn, исходя из конструкции звена, можно рассчитать величину
противовеса Qn. Направление радиуса-вектора противовеса определяется углом αn, измеряемым непосредственно по чертежу. Уравновешивающая масса mn(Qn) может быть установлена при статической балансировке в любой точке по длине вала на расстоянии rn от его оси
вращения.
7.2. Динамическое и полное уравновешивание вращающегося
звена
Вращающееся звено считается динамически уравновешенным,
если выполняется только условие (7.2), и за меру динамической не158
уравновешенности, или динамического дисбаланса, принимают величину ∆д = mrs z II . Для уравновешивания динамических нагрузок от
моментов сил инерции находим моменты M u1 , M u2 , M u3 этих сил относительно точки О (см. рис. 7.1, а):
M u1 = Fu1 z1 = m1r1 z1ω2 ;
M u 2 = Fu 2 z 2 = m2 r2 z 2 ω2 ;
M u3 = Fu3 z3 = m3r3 z3ω2 ; M u ä = mä rä zIIω2 .
Векторное уравнение при уравновешивающем моменте M uä имеет
вид
M u1 + M u 2 + M u 3 + M u ï + M u ä = 0 .
Подставляя выражение для каждого члена и сокращая на ω2, получим
m1r1 z1 + m2 r2 z 2 + m3 r3 z 3 + mп rп z II + mд rд z II = 0 .
Далее строится многоугольник динамических дисбалансов, откуда после выбора радиуса rд определяется величина добавочной
массы mд. В качестве плоскостей установки уравновешивающих грузов с массой mд выбираются плоскости I и II (см. рис. 7.1, а). Тело
считается полностью уравновешенным, если главный вектор и главный момент сил инерции равны нулю, т.е. для полной уравновешенности тела должны быть выполнены условия (7.1) и (7.2).
Таким образом, установкой двух противовесов массой mд и одного противовеса массой mn достигается полное уравновешивание всех
масс, закрепленных по валу. Две уравновешивающие массы mn или
mд, расположенные в плоскости II, могут быть объединены
ur
ur в одну
ur
общую массу mR, которая находится из уравнения F uR = F un + F uд ,
или mR rR = mn rn + mä rä . Полная неуравновешенность звена (тела) характеризуется величинами статического и динамического дисбалансов [1, 5]. Описанный выше план последовательного устранения статического и динамического дисбалансов вращающегося звена может
быть изменен и упрощен при решении задачи одновременного устранения обоих дисбалансов.
Полное уравновешивание можно выполнить установкой противовесов в двух произвольно выбранных плоскостях I и II, называемых
плоскостями коррекции (см. рис. 7.1, а). Условиями полного уравновешивания будут:
(7.3)
∑ Qi ri + QI rI + QII rII = 0 ;
∑ Qi ri zi +QII rII zII = 0 .
159
(7.4)
При полном уравновешивании вначале строится векторный многоугольник моментов пар по уравнению (7.4). Векторы моментов при
этом удобно повернуть на 90° до совпадения их с направлением векторов сил. Модуль вектора, замыкающего многоугольник, будет равен произведению QIIrIIzII (см. рис. 7.1, г), где координата zII известна
и равна расстоянию между плоскостями уравновешивания. Из этого
произведения можно определить вес противовеса QII, если задаваться
радиусом. Угол αII, дающий направление радиуса-вектора противовеса, измеряется по чертежу, и затем строится многоугольник по уравнению (7.3) (см. рис. 7.1, д). В этом многоугольнике неизвестной величиной является замыкающий вектор, модуль которого равен QIrI.
Задаваясь одним из сомножителей в этом произведении, определяют
второй из них. Угол αI, определяющий направление радиуса-вектора
противовеса, находят по чертежу.
7.3. Балансировка жестких роторов (при неизвестном
расположении неуравновешенных масс)
Правильно спроектированная с точки зрения полного уравновешивания вращающаяся деталь всё же может иметь некоторую неуравновешенность вследствие неоднородности материала, неточности изготовления, неточности монтажа и т.п. Практически любая деталь имеет некоторую неуравновешенность, которая при быстром
вращении приводит к недопустимым вибрациям, а иногда и поломкам. Обнаружить и выявить такую неуравновешенность можно только при помощи специальных устройств, которые называются балансировочными установками, машинами или станками.
Конструкции балансировочных машин очень разнообразны, но
большинство из них основано на принципе установки испытуемой
детали на упругое основание и сообщения этой детали скорости,
близкой к резонансной. Тогда неуравновешенные силы создают значительные амплитуды колебаний, которые регистрируются специальными устройствами, позволяющими определить места, в которых
необходимо установить уравновешивающие массы или удалить лишнее количество материала.
В балансировочном станке (система Б.В. Шитикова) рамочного
типа (рис. 7.2, а) ось ротора вместе с рамой может колебаться вокруг
160
оси О под действием неуравновешенных масс. Балансируемый ротор
устанавливается на раме так, чтобы одна из плоскостей (например,
плоскость II) проходила бы через ось вращения рамы – точку 0. Другая плоскость (плоскость I) отстоит от первой на расстоянии l. Если
ротор вращается с угловой скоростью ω, то массы mI и mII создадут
центробежные силы инерции, равные: FuI = m I rI ω 2 ; FuII = m II rII ω 2
(рис. 7.2, б). Сила FuII лежит в плоскости, проходящей через ось вращения рамы, поэтому она будет уравновешиваться реакцией в шарнире О. Силу FuI , вращающуюся с угловой скоростью ω, можно разложить на горизонтальную ( FuI sin ωt ) и вертикальную ( FuI cos ωt ) составляющие.
FиI
II
I
FиI cos ωt
y
FиI
FиII
FиI sin ωt
ω
ϕ
x
O
l
б
а
Рис. 7.2. Схема балансировочного станка
Эти силы, действуя относительно точки О на плече l, создают моменты, передающиеся раме. Момент от горизонтальной составляющей будет уравновешиваться реактивным моментом шарнира О, момент от вертикальной составляющей будет вызывать вынужденные
угловые колебания рамы с ротором относительно оси шарнира – точки О. Возмущающий момент М равен моменту силы инерции FuI относительно оси О:
M = FuI l cos ωt , или M = mI rI lω2 cos ωt ,
где ω – угловая скорость вращения ротора; l – расстояние между
плоскостями коррекции.
161
По мере убывания угловой скорости ω ротора уменьшается и частота изменения возмущающего момента М. Когда частота станет
близкой к собственной частоте колебаний системы, возникает состояние резонанса. В это время амплитуда колебаний рамы с ротором
станет наибольшей. Из теории колебаний известно, что при резонансе
амплитуду вынужденных колебаний рамы A можно считать пропорциональной амплитуде возмущающего момента:
A = µmI rI lω 2 ,
где µ – коэффициент пропорциональности.
Следовательно, зная постоянную µ данной установки и измерив
амплитуду колебаний рамы, можно найти искомую величину дисбаланса в плоскости коррекции I:
A
.
mI rI =
µlω 2
Для определения коэффициента пропорциональности µ и дисбаланса в плоскости I проводят три испытания с измерением амплитуд
вынужденных колебаний рамы. При первом испытании определяется
амплитуда A1 от собственной неуравновешенности ротора, которая на
основании вышеизложенного будет пропорциональна величине дисбаланса mI rI неуравновешенной массы, находящейся в плоскости I, а
также пропорциональна центробежной силе инерции FuI этой неуравновешенной массы: A1 = µFuI (рис. 7.3, а).
(
)
mд
D
D
α
rд
mI
rI
Fид
α
В
R2
FиI
FиI
a
б
A
С
а
mд
Fид
rд
D
D
R3
α
A1
a
FиI
Aд
A3
A
B
A2
A1
Aд
в
г
Рис. 7.3. Балансировка ротора при неизвестном расположении
неуравновешенных масс
162
C
При втором испытании в плоскости коррекции I устанавливается
в произвольном месте на расстоянии rд от оси ротора дополнительная
(корректирующая) масса mд, что соответствует появлению дополниI
тельной силы инерции R2. Суммарная сила инерции R 2 = F u + F uä
дает амплитуду колебаний A2 = µR2 (см. рис. 7.3, б), после измерения
которой корректирующую массу mд перемещают на 180° при том же
значении rд (см. рис. 7,3, в) и проводят третье испытание, которое даI
ет амплитуду A3 = µR3 , соответствующую силе R 3 = F u − F uä . Совмещая заштрихованные треугольники (см. рис. 7.3, б и в) так, чтобы
их равные стороны а совпадали, получаем параллелограмм ADBC
(см. рис. 7.3, г), в котором силы заменены пропорциональными им
величинами амплитуд. В этом параллелограмме известны стороны A1
и диагонали A2 и A3. Сторона Aд = DB неизвестна и равна той максимальной амплитуде, которая получилась бы при резонансе от одной
дополнительной массы mд. В параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:
2 Aд2 + 2 A12 = A22 + A32 ,
A32 + A22 − 2 A12
Aд =
откуда
, но
2
Aд = µFuд = µmд rд .
Из последнего равенства определяется коэффициент µ:
µ=
Aд
.
mд rд
Величина статического момента mIrI уравновешивающего противовеса может быть получена из формулы
mI rI =
A1 A1
=
mд rд .
µ Aд
Угол α (рис. 7.3, а) между направлением, на котором надо установить противовес mI, и направлением установки корректирующей (добавочной) массы mд определяется из косоугольного треугольника
ADB (см. рис. 7.3, г):
A32 = A12 + Aд2 − 2 A1 Aд cos α ,
163
⎛ A12 + Aд2 − A32 ⎞
⎟.
откуда
α = arccos⎜⎜
⎟
2
A
A
1 д
⎝
⎠
Из последнего соотношения определяются два значения угла α:
α1 = α;
α2 = α + π.
Вопрос об использовании того или другого значения решается
испытанием на станке: противовес mI на выбранном расстоянии rI устанавливается сначала под углом α1, затем под углом α2; выбирается
тот угол, при котором вибрации отсутствуют.
Аналогично устраняется дисбаланс в плоскости коррекции II.
Поменяв местами плоскости I и II, т.е. установив ротор на станке так,
чтобы его ось была повернута на 180° относительно первоначального
положения, тем же способом находят статический момент mIIrII уравновешивающего противовеса mII, устанавливаемого в плоскости II.
Практическое устранение неуравновешенности производится или
удалением части массы детали или закреплением дополнительной
массы. Таким образом, установка в плоскостях I и II противовесов mI
и mII полностью уравновешивает силы инерции ротора.
Как правило, полностью уравновешенное тело остается полностью уравновешенным при любой скорости вращения. Однако иногда
вращающиеся тела обладают большой упругостью или включают упругие элементы (например, пружины). При изменении скорости вращения отдельные массы таких тел могут изменять свое положение и
этим нарушать уравновешенность тел. Подобные тела необходимо
балансировать на их рабочих скоростях.
В целях удовлетворения требований массового и крупносерийного производства в настоящее время создан ряд образцов машин,
обеспечивающих балансировку роторов без их перестановки. Машины оснащены сложными системами измерений и отсчетов, включающими электронные устройства; некоторые из машин снабжены вычислительными устройствами. Балансировочные машины не только
определяют дисбалансы и необходимую для уравновешивания ротора
глубину сверлений, но и автоматически настраивают сверлильный
станок, на который ротор автоматически устанавливается после его
балансировки.
7.4. Уравновешивание механизмов и машин на фундаменте
Уравновешенным называется механизм, для которого главный
вектор и главный момент сил давления стойки на фундамент (или
164
опору стойки) остаются постоянными при заданном движении начальных звеньев. При работе механизма силы инерции непрерывно
изменяются по величине и направлению, из-за чего опоры и фундамент расшатываются, а при недостаточной жесткости начинают вибрировать. Последнее особенно опасно в тех случаях, когда частота
вибраций, вызванная силами инерции, совпадает с частотой собственных колебаний станины, т.е. при наличии резонанса.
Цель уравновешивания механизмов – устранение переменных
воздействий на фундамент, вызывающих нежелательные колебания
как самого фундамента, так и здания, в котором он находится. Обозначим: F ф и M ф – главные вектор и момент сил давления фундамента на стойку (станину); F и M – главные вектор и момент всех
других сил, внешних по отношению к механизму; F u и M u – главные вектор и момент сил инерции звеньев механизма. Тогда для механизма в целом имеем:
F + F u + F ф = 0;
M + M u + M ф = 0.
Отсюда условия уравновешивания механизма. т.е. условия постоянства F ô и M ô , принимают вид:
F + F u = const ;
(7.5)
M + M u = const .
(7.6)
ur
uur
Обычно для обеспечения приближенного постоянства F и M
принимают частные условия:
F u = 0;
(7.7)
M u = 0,
(7.8)
которые можно удовлетворить подбором масс звеньев и установкой
противовесов. Эти условия равносильны условиям (7.5) и (7.6) при
постоянных F и M . Распределение масс звеньев, устраняющее давление стойки на фундамент (или опору стойки) от сил инерции звеньев механизма, называется уравновешиванием масс механизма.
165
7.5. Статическое уравновешивание масс плоских механизмов.
Уравновешивание шарнирного четырехзвенника
и кривошипно-ползунного механизма
Полное уравновешивание любого плоского механизма сводится к
такому подбору противовесов, при котором сумма всех сил инерции,
включая и силы инерции противовесов, и сумма моментов этих сил
относительно любой точки окажутся равными нулю. При уравновешивании масс плоских механизмов часто ограничиваются выполнением условия (7.7), при котором равен нулю только главный вектор
сил инерции звеньев механизма. Это условие равносильно требованию постоянства положения центра масс звеньев механизма относительно стойки. Распределение масс звеньев механизма, переводящее
его центр масс в точку, неподвижную относительно стойки, называется статическим уравновешиванием масс механизма [1].
Наиболее наглядное и простое решение задачи статического
уравновешивания масс плоских механизмов получается по методу
заменяющих масс. В плоском движении системой заменяющих масс
называется система сосредоточенных масс m1, …,mn, которая обладает такой же массой m, тем же расположением центра масс и тем же
моментом инерции JS, что и заменяемое твердое тело плоского механизма. Если рассматриваемое звено имеет массу m, определенное положение центра масс, отмеченное точкой S, и момент инерции JS, то и
заменяющие сосредоточенные массы m1, m2, m3,…,mn должны обладать той же общей массой m, тем же положением центра масс S и тем
же моментом инерции JS (рис. 7.4).
y
x1
m1
ρ1
y1
m
x2
ρ2
S
yn
x
ρ3 y3
ρn
xn
m2
y2
x3
m3
mn
Рис. 7.4. Замена массы звена отдельными
сосредоточенными массами
166
Поместим начало системы координат y и x в центре масс звена S и
отметим координаты y1 и x1 всех сосредоточенных масс S. Поставленные условия будут выполнены, если:
(7.9)
(7.10)
(7.11)
⎧m1 + m2 + m3 + ... + mn = m,
⎪
⎨m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ... + mn xn = 0,
⎪
⎩m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 + ... + mn yn = 0,
m1ρ12 + m2 ρ 22 + m3ρ 32 + ... + mn ρ 2n = J n , или
и
(
)
(
)
(
)
(
)
m1 x12 + y12 + m2 x22 + y22 + m3 x32 + y32 + ... + mn xn2 + y n2 = J S . (7.12)
Если выполнены условия (7.9) – (7.11), то размещение заменяющих масс называется статическим; если дополнительно выполнено и
условие (7.12) – динамическим. При статическом размещении масс
главный вектор сил инерции заменяющей системы равен главному
вектору сил инерции звена; при динамическом размещении равны
также и главные моменты сил инерции.
На практике обычно пользуются приближенным способом замены массы звена двумя сосредоточенными массами. Допустим, центр
масс звена находится в точке S (рис. 7.5). Поместим сосредоточенную
массу m1 в точку A, а m2 – в точку В, затем систему координат x – y
выберем так, чтобы начало координат совпало с точкой S, а ось x
прошла через точку A. Тогда координаты массы m1 (точки A) будут
y1 = 0 и x1 = l, вторая масса m2 имеет координаты: y2 = 0, x2 = – l2.
y
l1
l2
S
m1
A
x
l
m2
B
Рис. 7.5. Приближенная замена массы шатуна
двумя сосредоточенными массами
167
При расположении центра масс между массами m1 и m2 из уравнений (7.9) – (7.11) получаем:
m1 + m2 = m ; m1l1 − m2 l 2 = 0 ,
l
l
m1 = m 2 ; m2 = m 1 .
откуда
(7.13)
l1 + l 2
l1 + l 2
m1 l 2
= . Таким образом, массы m1 и
Из формул (7.13) находим
m2 l1
m2, сосредоточенные в точках A и В, обратно пропорциональны расстояниям l1 и l2 этих точек от центра масс S [8].
Воспользуемся формулами (7.13) для статического уравновешивания шарнирного четырехзвенника OABC, у которого центры масс
звеньев S, S1 и S2 лежат на линиях, соединяющих центры шарниров
(рис. 7.6).
l
mA
a
m2
S2
A
r
m1
c
r n1
mb
2
B
m3
S3
b
1
d
S1
3
C
O
r n3
D
E
mn1
m n3
Рис. 7.6. Схема уравновешивания шарнирного
четырехзвенника
Масса m2 заменяется двумя массами, сосредоточенными в
точках A и B. По аналогии с формулой (7.13) находится mA = m2
и mB =
l
a
m2 , и затем уравновешиваются звенья 1 и 3. Из уравнения
l
статических моментов относительно точки С получается
mB b + m3d = mn3rn3 ,
откуда
(l − a )
mn 3 =
1
(mBb + m3d ).
rn3
168
Аналогично из уравнения статических моментов относительно
точки О:
mA r + m1c = mn1rn1 ,
откуда mn1 =
1
(mAr + m1c).
rn1
В кривошипно-ползунном механизме (рис. 7.7, а) массу m3 поршня 3 можно считать сосредоточенной в точке В, массу m2 шатуна 2 – в
центре масс S2 и массу m1 кривошипа 1 – в центре масс S1. Таким образом, в точках B, S2 и S1 сосредоточены известные массы m3, m2 и m1.
m3
R
B
a
3
2
E
m2 S2
r
b
F
r n1 O
mn
A
l
mn
a
B
1
b
L
S2
2
c
3
C
rn
б
A
m1
r n2
S1
1
D
m n2
а
Рис. 7.7. Схема уравновешивания кривошипно-ползунного механизма
Расположим на линии AB в точке D противовес mn2 и подберем
его величину так, чтобы центр масс m3, m2 и mn2 оказался в точке A.
Из уравнения статических моментов относительно точки A находится:
m3 l + m 2 a = mn 2 rn 2 ,
1
(m3 l + m2 a ) .
mn 2 =
откуда
rn 2
Последняя формула показывает, что масса противовеса mn2, а следовательно, и его вес будут тем больше, чем меньше выбранный радиус противовеса rn2. Если шатун 2 нагрузить только что найденным
169
противовесом mn2, то можно считать, что в точке A сосредоточена
масса, равная (m3+m2+mn2). На кривошипе 1 в точке F устанавливается противовес mn1, и подбирается его величина так, чтобы центр масс
m1, тn1 и (m3+m2+mn2) оказался в точке О. Из уравнения статических
моментов относительно точки О находится:
(m3 + m2 + mn 2 )r + m1b = mn1 rn1 ,
1
[(m3 + m2 + mn 2 )r + m1b].
rn1
Радиус противовеса rn1 может быть задан произвольно. После установки обоих противовесов центр масс всего механизма будет во
всех положениях последнего совпадать с точкой О. Таким образом,
при работе механизма его центр масс будет оставаться неподвижным.
Найденные два противовеса, установленные на кривошипе в точке F
и на шатуне в точке D, обеспечивают уравновешивание всех сил
инерции механизма. Однако практически указанный способ находит
применение только в отдельных случаях, так как вес противовесов
mn1 и mn2 при малых радиусах rn1 и rn2 получается весьма значительным.
Если же радиусы rn1 и rn2 задать достаточно большими, то сильно
увеличиваются габариты всего механизма [10].
откуда
m n1 =
7.6. Приближенное статическое уравновешивание масс
плоских механизмов
В рассмотренном выше случае уравновешивание масс кривошипно-ползунного механизма привело к неконструктивному расположению противовесов. Поэтому в современных конструкциях механизмов проводится частичное уравновешивание сил инерции звеньев механизма. Если ограничиться одним противовесом, установленным на
кривошипе (см. рис. 7.7, б), то возникает задача о приближенном статическом уравновешивании масс механизма, которую можно решить
статическим размещением масс звеньев в точках A, B и С. Масса, сосредоточенная в точке А, как неподвижная, не учитывается.
Масса m2 шатуна 2, сосредоточенная в его центре масс S2, статически
разносится на две точки B и С. Массы m2B и m2C, сосредоточенные в точc
b
; m2 C = m 2
.
ках B и C, соответственно равны: m2 B = m2
b+c
b+c
170
Масса m1 кривошипа 1, сосредоточенная в его центре масс S1, статически приводится к точке B. Величина m1B этой массы равна:
m1B = m1
a
.
R
Полная масса mB, условно сосредоточенная в точке В, получающаяся от размещения массы кривошипа и части массы шатуна:
m B = m1B + m 2 B = m1
a
c
+ m2 .
R
L
Масса mC представляет собой массу поступательно движущегося
ползуна 3, сосредоточенную в точке С, и часть массы шатуна 2, отнесенную статически к этой точке:
mC = m3 + m2C , или mC = m3 + m2
b
.
L
Сила инерции массы mB полностью уравновешивается противовесом с центром масс в точке Е при выполнении условия
R ⎞
⎛
m n rn = m B R = ⎜ m1 a + m 2 с ⎟ .
L ⎠
⎝
Таким образом, подбирая массу mn и расстояние rn, можно уравновесить все силы инерции от вращающихся масс звеньев механизма.
Неуравновешенной остается только сила инерции от массы mC, которая направлена вдоль линии движения ползуна. Её можно уменьшить
соответственным увеличением массы mn, но при этом появляется составляющая, перпендикулярная к направлению движения ползуна
[1, 4].
7.7. Виброзащита машин
Вибрация, возникающая при работе машин и механизмов, нарушает законы движения машин, механизмов и систем управления, по171
рождает неустойчивость рабочих процессов и может вызвать отказы
и полную расстройку всей системы. Из-за вибрации увеличиваются
динамические нагрузки в элементах конструкции (кинематических
парах механизмов, стойках и др.). В результате снижается несущая
способность деталей, развиваются трещины, возникают усталостные
разрушения. Действие вибрации может изменить внутреннюю и поверхностную структуру материалов, условия трения и износа на контактных поверхностях деталей машин и привести к нагреву конструкций. Вибрация порождает шум, являющийся важным экологическим показателем среды обитания человека. Вибрация оказывает и
непосредственное влияние на человека, снижая его функциональные
возможности и работоспособность. Поэтому особое значение приобретает виброзащита – совокупность методов и средств уменьшения
уровня вибрации.
7.7.1. Виброзащитные системы
Колебания (вибрации) в машинах чаще всего являются нежелательными, так как снижают надежность машин, вызывают шум и оказывают вредное влияние на организм человека. Характеристики колебательных систем (амплитуды, частоты, силы) можно уменьшить
до допускаемых пределов выбором параметров соответствующей динамической модели. Например, динамические нагрузки в кулачковых
механизмах могут быть уменьшены за счет правильного выбора профиля кулачка. Снизить уровень колебаний иногда удается с помощью
демпферов, т.е. устройств для увеличения сил сопротивления, зависящих от скорости. Удачно применяются демпферы в системах, подверженных ударным воздействиям.
В тех случаях, когда выбором параметров системы или демпфированием не удается снизить уровень колебаний, используют дополнительные устройства для защиты от вибраций – виброзащитные системы. Различают два основных способа виброзащиты: виброгашение
и виброизоляцию. Виброгашение основано на присоединении к машине дополнительных колебательных систем, называемых динамическими виброгасителями, которые создают динамические воздействия,
уменьшающие интенсивность вибраций машины. Виброизоляция основана на разделении исходной системы на две части и соединении
этих частей посредством виброизоляторов или амортизаторов. Одна
из этих частей называется защищаемым объектом, а другая – источником возбуждения.
172
На рис. 7.8, а представлена динамическая модель машины, установленной на фундаменте. Машина с общей массой m является источником возбуждения, а фундамент – защищаемым объектом. Виброизолятор (амортизатор), помещенный между защищаемым объектом и источником возбуждения, имеет приведенные коэффициенты
жесткости с и демпфирования b. Приведенный коэффициент жесткости определяется из условия равенства потенциальной энергии виброизолятора и эквивалентной пружины. Приведенный коэффициент
демпфирования находится из условия равенства работ, затрачиваемых на трение в виброизоляторе и эквивалентном демпфере.
F(t)
m
c
m
b
&z&(t )
c
а
b
б
Рис. 7.8. Динамическая модель машины
Уравнение движения массы m имеет вид
m&y& = F (t ) + Q( y1 y& ) ,
где y – перемещение, отсчитываемое от положения статического равновесия; F(t) – внешняя сила, выражаемая известной функцией времени; Q( y1 y& ) – обобщенная (приведенная) реакция виброизолятора,
которая в общем случае зависит от приведенных коэффициентов жесткости и демпфирования и от перемещения y и скорости y& .
Назначение виброизолятора состоит в уменьшении динамической
(переменной) составляющей – реакции Q, передаваемой на фундамент при заданном воздействии силы F.
На рис. 7.8, б показан случай, при котором динамические воздействия приложены к основанию в виде его колебаний по закону z(t).
173
Задача амортизации состоит в уменьшении динамической составляющей реакции Q( y1 y& ) , передаваемой на защищаемый (амортизируемый) объект. Уравнение движения массы m при колебаниях основания (источника возбуждения):
m[&y& + &z&(t )] = Q( y1 y& ) ,
где z – перемещение основания.
7.7.2. Динамический виброгаситель
Простейший виброгаситель, предназначенный для гашения колебаний массы m1, вызываемых гармонической силой F = F0sinωt, состоит из дополнительной массы m2, соединенной с основной массой m1 упругим элементом с коэффициентом жесткости с2 (рис. 7.9).
Коэффициент жесткости упругого элемента, расположенного между
основанием и массой m1, равен с1. Перемещения масс y1 и y2 отсчитываются от положения статического равновесия.
c1
m1
F0 sin ωt
b2
c2
m2
Рис. 7.9. Динамический виброгаситель
Состояние системы, при котором амплитуда колебаний массы m1
равна нулю (А1 = 0) при определенной частоте ω вынуждающей силы,
174
называется антирезонансом. Явление антирезонанса может быть использовано для виброгашения, для чего достаточно подобрать
массу m2 и коэффициент жесткости c2 так, чтобы удовлетворялось равенство
c2
= ω.
m2
(7.14)
Виброгашение по указанному принципу эффективно только для
одной фиксированной частоты вращения. Уже небольшое отступление от частоты, определяемой соотношением (7.14), может привести
не к уменьшению, а к увеличению амплитуды колебаний. Для расширения диапазона частот, в котором происходит гашение колебаний,
вводится дополнительное сопротивление. С этой же целью применяются виброударные гасители колебаний, в которых дополнительная
масса устанавливается с зазором. Наиболее совершенными являются
регулируемые виброгасители, в которых при изменениях частоты вынуждающей силы автоматически изменяется собственная частота гасителя [14].
175
8. ОБЩИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА МЕХАНИЗМОВ
8.1. Синтез механизмов по методам оптимизации
с применением ЭВМ
8.1.1. Этапы синтеза механизмов
Проектирование схемы механизма по заданным свойствам называется синтезом механизма. Принято различать два этапа синтеза механизма. Первый этап – выбор структурной схемы – выполняется на
основании структурного синтеза (см. разд. 2), с использованием
справочных данных по отдельным видам механизмов. Второй этап –
определение постоянных параметров выбранной схемы механизма по
его заданным свойствам. Этот этап обычно начинается с кинематического синтеза, под которым понимается проектирование кинематической схемы механизма, т.е. определение постоянных параметров
кинематической схемы механизма по заданным кинематическим
свойствам. Если требуется учесть и динамические свойства механизма, то решается более общая задача динамического синтеза, под которым понимается проектирование кинематической схемы механизма с определением параметров, характеризующих распределение
масс звеньев.
8.1.2. Входные и выходные параметры синтеза механизма
Для выполнения второго этапа синтеза механизма необходимо
установить, какие постоянные параметры определяют схему механизма. К этим параметрам относятся длины звеньев, положения точек, описывающих заданные траектории или имеющие заданные значения скоростей и ускорений, массы звеньев, моменты инерции и т.п.
Часть этих параметров может быть задана, а другая – определяется в
процессе его синтеза. Независимые между собой постоянные параметры схемы механизма называются параметрами синтеза механизма. Различают входные и выходные параметры синтеза: входные –
устанавливаются заданием на синтез механизма, а выходные – определяются в процессе его синтеза.
8.1.3. Основные и дополнительные условия синтеза
Для получения заданных свойств механизма необходимо удовлетворять многим, часто противоречивым условиям, связанным с на176
значением механизма, его эксплуатацией, технологией изготовления
и т.п. Но из всех условий можно выбрать одно основное условие. Например, для кинематического синтеза основным условием будет получение заданной траектории; для динамического синтеза – получение минимального времени перемещения какого-то звена на заданную величину. Основными условиями могут быть: получение заданного закона движения какого-либо звена при равномерном движении
начального звена, обеспечение минимального давления на стойку и
т.п. Все остальные условия (кроме основного) называются дополнительными, например: ограничение длин звеньев, минимальные или
заданные габариты, минимальный вес, ограничение углов давления,
наличие одного или двух кривошипов и т.п. Дополнительные условия
в обоих видах синтеза могут быть как кинематическими, так и динамическими, т.е. вид синтеза определяется основным условием.
8.1.4. Целевые функции
Основное условие выражается в виде функции, экстремум которой определяет выходные параметры синтеза. Эта функция называется целевой (по другой терминологии – функция цели, или критерий
оптимизации). Целевая функция может быть представлена в виде
максимального отклонения шатунной кривой точки М от заданной
кривой (рис. 8.1):
∆ max = y M − y max ,
(8.1)
где yM – ордината шатунной кривой точки М при некотором значении
абсциссы х; y – ордината заданной кривой при том же значении абсциссы х.
y
М
b
С
θ
k βα
с
В
е
а ϕδ
D
γ
d
А
o
x
Рис. 8.1. Схема механизма
для определения целевой функции
Выразить целевую функцию (8.1) в явном виде через параметры
синтеза невозможно, однако можно указать алгоритм её вычисления,
т.е. последовательность, в которой необходимо производить вычисле177
ния, чтобы получить величину ∆max для данной комбинации параметров синтеза. Из ∆ABD находится диагональ BD шарнирного четырёхзвенника:
e = a 2 + d 2 − 2ad cos ϕ
и угол наклона диагонали:
⎛a
⎞
δ = arcsin⎜ sin ϕ ⎟ .
(8.2)
⎝e
⎠
Из ∆BCD находится угол θ, т.е. угол давления на коромысло CD
со стороны шатуна BC, если считать, что сила, действующая на коромысло, направлена по оси шатуна:
b2 + c2 − e2
θ = arcsin
,
2bc
и угол наклона шатуна BC к стойке:
⎛c
⎞
α = arcsin⎜ cos θ ⎟ − δ .
⎝e
⎠
(8.3)
(8.4)
Из уравнений проекции контура OABM на координатные оси находятся искомые координаты точки M:
xM = x A + a cos(ϕ + γ ) + k cos(α + β + γ );
y M = y A + a sin (ϕ + γ ) + k sin (α + β + γ ).
(8.5)
После вычисления координат xM и yM шатунной кривой находится
координата y из уравнения заданной кривой (принимается x = хM), и
вычисляется модуль разности ординат шатунной кривой и заданной
кривой: ∆ = y M − y . Максимальное значение ∆, определяемое при
различных углах φ, и есть максимальное отклонение от заданной
кривой, т.е. целевая функция (8.1), являющаяся функцией искомых
(выходных) параметров синтеза.
Целевая функция есть математическое выражение основного условия синтеза. Если выделить одно основное условие синтеза затруднительно, то составляют несколько целевых функций и ищут компромиссное решение, при котором все-таки отдается предпочтение
одной из целевых функций.
178
8.1.5. Ограничения
Дополнительные условия синтеза при решении задач синтеза механизмов также должны быть представлены в математической форме.
Эти условия выражаются обычно неравенствами, устанавливающими
допустимые области существования параметров синтеза. Поэтому
целевая функция вычисляется только для тех комбинаций параметров
синтеза, которые удовлетворяют дополнительным условиям синтеза,
т.е. ограничениям.
В приведенном примере (см. рис. 8.1) выберем три ограничения.
Первое ограничение – ограничение на длины звеньев a, b, c и d. Для
того чтобы в механизме не было слишком больших или слишком малых длин звеньев, выбирают четыре положительных числа, удовлетворяющих условиям:
l1 < l2 < l3 < l4,
l4 / l1 < m .
(8.6)
Из этих чисел можно в любой комбинации выбрать длины звеньев, и во всех этих комбинациях ни одна из длин звеньев не будет превосходить другую более чем в m раз.
Второе ограничение – механизм должен быть кривошипнокоромысловым, т.е. надо выполнить условие существования кривошипа, согласно которому в кривошипно-коромысловом механизме
кривошип есть наименьшее звено и, кроме того, сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше суммы двух других звеньев.
Отсюда следует, что к условиям (8.6) добавляется ещё одно условие:
l1 + l4 < l2 + l3.
(8.7)
Если выполнены условия (8.6) и (8.7), то для получения кривошипно-коромыслового механизма надо принять
a = l1,
(8.8)
а остальные длины звеньев b, c и d можно выбрать в любом порядке
из чисел l2, l3 и l4.
Третье ограничение – угол давления на коромысло со стороны
шатуна должен быть меньше допускаемого значения:
ϑ < ϑдоп .
179
(8.9)
При синтезе направляющих шарнирных механизмов обычно принимают ϑäîï . = 45 − 60° . Значения угла давления при различных φ подсчитываются по формуле (8.3) после выбора длин звеньев, удовлетворяющих условиям (8.6) – (8.8). Если наибольшее значение угла
давления не удовлетворяет условию (8.9), то должна быть выбрана
новая комбинация a, b, c и d.
8.1.6. Методы оптимизации в синтезе механизмов
с применением ЭВМ
Любая задача синтеза механизмов может быть сведена к задаче
нахождения таких параметров синтеза, при которых выполняются
принятые ограничения, а целевая функция имеет минимальное значение. Если оптимальное значение целевой функции соответствует её
максимальному значению, то, используя обратные величины, всегда
можно свести задачу нахождения максимума к задаче нахождения
минимума.
При небольшом числе параметров синтеза условия минимума целевой функции могут быть получены на основании известных условий экстремума функции нескольких переменных. При большом числе параметров эта задача аналитически не решается, и приходится
прибегать к нахождению искомых параметров путём перебора (иногда случайного, иногда упорядоченного) различных вариантов механизма. Возможности такого перебора практически появились только
после создания ЭВМ.
Оптимизацией (в синтезе механизмов) называется определение
выходных параметров синтеза из условия минимума целевой функции при выполнении принятых ограничений. При большом числе параметров оптимизация всегда производится с применением ЭВМ и
сводится к методам поиска комбинаций параметров синтеза. Многочисленные методы оптимизации можно свести в три группы: случайный поиск, направленный поиск и комбинированный поиск.
8.1.7. Случайный поиск
Метод случайного поиска, называемый также методом МонтеКарло, основан на том, что при одном и том же числе испытаний вероятность получения решения, близкого к оптимальному, при случайном поиске больше, чем при последовательном переборе через
180
равные интервалы изменения отдельных параметров. Решение задачи
синтеза (см. рис. 8.1) с применением случайного поиска на ЭВМ выполняется в следующем порядке:
1) произвольно выбираются выходные параметры синтеза из набора случайных чисел, проверяются ограничения (8.6) – (8.9);
2) по значениям параметров синтеза, удовлетворяющим ограничениям, вычисляется величина целевой функции ∆max по формуле (8.1), которая записывается ЭВМ вместе с соответствующими
параметрами синтеза;
3) выбираются другие случайные значения параметров синтеза,
проверяются ограничения, и вычисляется величина целевой функции ∆max. Если новая величина ∆max меньше полученной на предыдущем этапе, то она записывается ЭВМ вместе с соответствующими параметрами синтеза, а прежние значения сбрасываются.
Указанные этапы повторяются до тех пор, пока величина ∆max не
станет равной допустимой величине или же практически перестанет
уменьшаться. Метод случайного поиска достаточно прост, позволяет
рассмотреть всю область возможных значений параметров синтеза,
но требует выполнения очень большого объёма вычислений. Число
просчитываемых вариантов иногда достигает десятков и даже сотен
тысяч.
8.1.8. Направленный поиск
Несмотря на то, что современные ЭВМ позволяют сравнивать десятки и сотни тысяч вариантов механизма, всё же следует стремиться
к уменьшению трудоёмкости вычислений с целью удешевления процесса проектирования механизма. Уменьшение трудоёмкости вычислений может быть достигнуто путём применения направленного поиска, т.е. такого поиска искомых параметров синтеза, при котором
переход от одной комбинации параметров к другой происходит не
случайно, а в направлении, соответствующем уменьшению величины
целевой функции. Многочисленные методы направленного поиска
отличаются между собой способами выбора направления, по которому следует переходить от одних значений параметров к другим.
При решении задач синтеза механизмов иногда достаточно применить самый простейший способ, который даёт следующую последовательность вычислений:
1. Как и при случайном поиске, произвольно выбирается первая
комбинация искомых параметров (a1, b1, c1, …), проверяются ограничения, и вычисляется целевая функция ∆max.
181
2. Изменяется один из параметров синтеза, например, a = a1 на
малую величину ∆a. Оставляя все другие параметры неизменными,
вычисляют величину целевой функции при изменённом значении параметра (a1+∆a). Если величина целевой функции ∆max уменьшилась,
то выбранное направление изменения параметра a правильное, и в
память машины записываются новые значения параметра (a1+∆a) и
целевой функции ∆max. Если же последняя увеличилась, то необходимо изменить знак приращения ∆a на обратный, т.е. вычислить ∆max
при параметре (a1–∆a). Тогда величина ∆max либо уменьшится, либо
останется той же самой, если достигнут минимум по параметру a.
3. Последовательно изменяются все другие параметры. Правильное
направление изменения каждого параметра определяется так же, как
и в п. 2.
4. После изменения всех параметров вновь задаётся приращение
какого-либо параметра (например, a), и эти изменения повторяются
до тех пор, пока не будет достигнут минимум целевой функции ∆max.
Быстрее всего можно достичь искомого минимума целевой функции, если есть возможность определять частные производные целевой
функции по параметрам синтеза и по значениям этих производных находить направления, по которым функция убывает наиболее быстро.
8.1.9. Локальный и глобальный минимумы
В общем случае целевая функция может иметь несколько минимумов, отличающихся по абсолютной величине. Наименьший минимум в теории оптимизации принято называть глобальным минимумом, а все остальные минимумы – локальными. Так, на график изменения величины f = ∆max как функции одного параметра a (рис. 8.2) в
точке 3 находится глобальный минимум, все остальные минимумы (1,
2, 4) – локальные.
max
1
а1
3
2
а2
а3
4
а
Рис. 8.2. График изменения целевой
функции в зависимости от параметра а
182
Если целевая функция зависит от многих параметров, то необходимо рассматривать минимумы многомерной поверхности. Локальный минимум такой поверхности имеет лишь «местное» значение
(отсюда термин «локальный минимум»), и для отыскания глобального минимума надо просматривать всю многомерную область возможных комбинаций искомых параметров (отсюда название «глобальный
минимум»).
8.1.10. Комбинированный поиск
Направленный поиск приводит к отысканию лишь локального
минимума. Случайный поиск более подходит к отысканию глобального минимума, так как при его использовании просматривается вся
область изменения параметров. Однако он даёт слишком большой
объём вычислений, и поэтому применяют комбинированные методы,
при которых случайным поиском просматривают и сравнивают значения целевой функции в отдельных частях (районах) области изменения параметров и затем направленным поиском находят локальные
минимумы для тех частей области, где ожидается получение глобального минимума.
При нахождении локального минимума следует иметь в виду два
возможных случая его расположения. В первом случае он располагается на «дне воронки» (рис. 8.3, а), а для функции параметров a и b –
с линиями уровней f3 > f2 > f1 > fmin. Во втором случае он располагается на линии «дно оврага» (рис. 8.3, б). Достижение линии «дно оврага» д можно ошибочно принять за достижение локального минимума
при малом числе направлений, по которым проверяется величина целевой функции. Для нахождения локального минимума иногда приходится длительное время идти по линии «дно оврага». Если требуется найти глобальный минимум, то обычно предпочитают после достижения линии «дно оврага» сразу переходить к нахождению другого
локального минимума.
После достижения второго локального минимума (или «дна оврага») можно указать направление, где искать следующий локальный
183
минимум. Предположим, например, что для случая, показанного на
рис. 8.2, поиск был начат из некоторой точки а = а1 (случайно выбранной).
д
f3
f2
f1
f3
f2
f1 f min
f min
а
б
Рис. 8.3. Возможные случаи расположения локального минимума
Направленный поиск даст локальный минимум 1. Выбирая в достаточном удалении от точки а = а1 другую случайно выбранную точку а = а2, можно получить второй локальный минимум 2. Третья точка а = а3 выбирается на направлении линии, соединяющей локальные
минимумы 1 и 2, и т.д. Рассмотренные методы являются общими методами синтеза механизмов.
8.2. Синтез механизмов по методу приближения функций
8.2.1. Постановка задачи приближенного синтеза механизмов
по Чебышеву
Методы оптимизации с применением ЭВМ дают возможность
решить практически любую задачу синтеза механизмов. Однако эти
методы довольно трудоёмки и, главное, не позволяют видеть влияние
отдельных параметров синтеза на качественные характеристики механизма. Другими словами, методы оптимизации представляют количественное решение любой задачи синтеза механизмов, но не дают,
как правило, возможности производить качественный анализ ожидаемых решений. Такой анализ допускает метод синтеза механизмов,
основанный на теории приближения функций. Задача приближения
функций состоит в том, что заданная функция y = F(x) приближённо
184
заменяется другой функцией y = P(x), незначительно от неё отличающейся (рис. 8.4, а). Функция y = P(x), называемая приближающей,
содержит m постоянных параметров: r1, r2,…, rm. Например, при синтезе шарнирного четырехзвенника по заданной траектории точки шатуна функция y =F(x) есть уравнение заданной траектории, а y = P(x)
– уравнение шатунной кривой, содержащей девять постоянных параметров. Отклонение ∆ приближающей функции от заданной, выражаемое, например, разностью ординат, является функцией аргумента x и параметров приближающей функции:
y
y
F (x)
Р (х)
о
x0
xm
xа
о
Р (х) F (x)
x0
(8.10)
-∆ ∆
∆ = ∆ (x, r1, r2,…, rm).
xm x б
Рис. 8.4. Функции наилучшего приближения
В отличие от методов оптимизации теория приближения функций
позволяет найти искомые значения выходных параметров синтеза не
путём поиска, а непосредственно из системы уравнений, составляемой на основании условий минимума максимальной величины отклонения (8.10). Синтез механизмов по методу приближения функций называют также приближенным синтезом механизмов. Впервые
он был применён П.Л. Чебышевым. Согласно этому методу, задача
приближённого синтеза механизмов может быть разделена на три
этапа.
Первый этап – выбор основного условия синтеза и дополнительных ограничений. При решении задач синтеза механизмов по методу
приближения функций обязательно надо иметь аналитическое выражение отклонения от заданной функции в явном или неявном виде.
Второй этап – упрощение аналитического выражения основного
условия синтеза в виде отклонения от заданной функции. Одним из
185
наиболее удобных способов упрощения аналитического выражения
отклонения от заданной функции в задачах синтеза механизмов является использование взвешенной разности (взвешенного отклонения).
Этот способ впервые был использован П.Л. Чебышевым.
Третий этап приближённого синтеза – вычисление параметров
синтеза из условий минимума отклонения от заданной функции. Способ вычисления искомых параметров зависит от вида используемого
приближения функций.
8.2.2. Методы приближения функций
Существует три основных метода приближения функций: интерполирование, квадратическое приближение функции, наилучшее приближение функции.
Интерполирование. Простейшим видом приближения функций является интерполирование, при котором значения заданной функции
y = F(x) и приближающей функции y = P(x) на отрезке (x0, xm) совпадают в k точках, называемых узлами интерполирования (см. рис. 8.4).
Искомые параметры приближающей функции определяются из системы уравнений, выражающих равенство нулю отклонений от заданной функции в узлах интерполирования:
P( xi ) − F ( xi ) = 0 , i = 1,..., k .
(8.11)
Необходимо, чтобы внутри интервала [x0, xm] разность ∆ = P(x) −
– F(x) не превышала определённой величины.
Квадратическое приближение функций. Недостаток интерполирования как метода приближения состоит в том, что между узлами
интерполирования отклонение от заданной функции может быть значительным, так как система уравнений (8.11) не накладывает никаких
условий на отклонение от заданной функции между узлами. Этот недостаток в некоторой мере устранён при квадратическом приближении функций, которое основано на обращении в минимум среднего
квадратического отклонения от заданной функции:
xm
2
∫ [P( x) − F ( x)] dx
∆ кв =
x0
,
(8.12)
x m − x0
где x0, xm – значения аргумента в начале и в конце отрезка приближения.
186
Среднее квадратическое отклонение становится минимальным,
если обращается в минимум интеграл:
xm
J = ∫ [P( x) − F ( x)] dx .
2
x0
Наилучшее приближение функций. Квадратическое приближение в
среднем даёт малое отклонение от заданной функции, но на отдельных
участках отклонение может значительно отличаться от среднего значения. От этого недостатка избавлено наилучшее приближение функций,
при котором максимальное отклонение от заданной функции имеет минимально возможную величину. Согласно условиям наилучшего приближения, отклонение от заданной функции должно определённое число
раз достигать своего предельного значения ∆ с последовательно чередующимися знаками.
Геометрически это приближение характеризуется тем, что график
приближающей функции P(x) оказывается заключённым между кривыми, отстоящими от графика заданной функции F(x) на величину ±∆
(см. рис. 8.4, б). В этом случае приближение называют равномерным, так
как отклонение от заданной функции равномерно достигает своих предельных значений. Однако не каждое равномерное приближение оказывается наилучшим. Для того чтобы равномерное приближение было
наилучшим, необходимо, чтобы число предельных отклонений было не
меньше некоторого числа, зависящего от класса приближающей функции. Например, если приближающая функция есть многочлен степени n,
то число предельных отклонений должно быть равно (n +2) [6, 9].
187
9. СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ С НИЗШИМИ ПАРАМИ
Одной из важнейших задач проектирования механизма является
определение основных размеров механизма, так называемая задача
синтеза механизмов. В дальнейшем под синтезом механизмов с низшими парами будет подразумеваться совокупность задач об определении параметров кинематической схемы механизма по заданным
геометрическим, кинематическим и динамическим условиям движения звеньев. Различают следующие виды синтеза: геометрический,
кинематический и динамический. При геометрическом синтезе задаются положения отдельных звеньев, например положение шатуна
или коромысла шарнирного четырехзвенника, или траектории отдельных точек звеньев. При кинематическом синтезе задаются скорости или ускорения отдельных точек или звеньев. В некоторых случаях в результате кинематического синтеза необходимо воспроизвести определенный закон изменения скорости какого-либо звена. При
динамическом синтезе проектирование механизмов ведется по заданным силам для воспроизведения заданного закона движения или динамической точности.
Из обширного круга задач синтеза механизмов с низшими парами
можно выделить две основные – воспроизведение заданного закона
движения и воспроизведение заданной траектории. Задача о воспроизведении заданного закона движения состоит в определении параметров кинематической схемы, которые обеспечивают точное или
приближенное движение ведомого звена по заданному закону при
определённом законе движения ведущего звена. При синтезе механизмов, в которых ведомые звенья совершают сложное движение, в
некоторых случаях можно ограничиться только воспроизведением
траектории одной точки этого звена. Эта задача состоит в определении параметров кинематической схемы механизма, в котором одна из
точек звена, совершающего сложное движение, движется по заданной
траектории.
9.1. Постановка задачи синтеза шарнирного четырёхзвенника
Для синтеза шарнирного четырёхзвенника (рис. 9.1, а) применяется метод приближения функций. Заданная функция имеет вид
ψ = ψ(ϕ) ,
(9.1)
где φ – входная координата, т.е. угол поворота входного звена AB, отсчитываемый от начала отсчета AI; ψ – выходная координата, т.е.
угол поворота звена CD, отсчитываемый от начала отсчета DII.
188
Шарнирный четырёхзвенник может обеспечить точное воспроизведение функции (9.1) только в отдельных случаях. В общем же случае он воспроизводит некоторую другую функцию:
ψ M = ψ M (ϕ, a, b, c, α, β) ,
(9.2)
которая зависит от аргумента φ и от пяти параметров синтеза: относительных длин звеньев a, b, c (за единицу принята длина стойки) и
углов α и β, определяющих начало отсчетов углов φ и ψ.
C
C
b
b
B
a
ϕ
A
B
c
α
ψ
I
D
a
II
β
c
ϕ
α
A
1
ψ
I
D
1
II
β
б
а
C
B
(с∆ψ )
∆b
Cx
A
v
∆ψ
D
С1
в
Рис. 9.1. Синтез шарнирного четырехзвенника
Для наиболее точного воспроизведения механизмом заданной
функции следует выбрать такую комбинацию параметров синтеза,
при которой функция (9.2) мало отличается от заданной функции (9.1) на рассматриваемом отрезке изменения аргумента от φ = 0
до φ = φМ. При этом отклонение от заданной функции измеряется
разностью
∆ψ = ψ M − ψ ,
(9.3)
где ψМ – угол поворота звена CD в механизме при некотором значении угла φ; ψ – заданное значение угла поворота звена при том же
значении угла φ.
189
Аналитическое выражение разности ∆ψ можно получить, используя методы кинематического анализа, но для вычисления неизвестных параметров из условия приближения функций это оказывается
неудобным. Более простое выражение находится в виде взвешенной
разности:
∆q = q∆ψ .
(9.4)
При вычислении неизвестных параметров оно может заменить
отклонение от заданной функции при условии, что вес q мало отличается от постоянной величины. Пусть в шарнирный четырехзвенник
введено дополнительное звено в виде ползуна, перемещающегося по
оси шатуна BС (см. рис. 9.1, б). Полученный пятизвенный механизм
имеет две степени свободы, т.е. двум звеньям этого механизма могут
быть заданы независимые законы движения. Поэтому, в отличие от
шарнирного четырёхзвенника, в рассматриваемом механизме звенья
AB и CD могут в каждый момент времени занимать предписанные
положения под заданными углами φ и ψ, но при этом длина шатуна,
т.е. расстояние между центрами шарниров B и С, будет переменной.
Обозначив переменную (фиктивную) длину шатуна в указанном
пятизвенном механизме через bφ, определим, что чем меньше отклонение bφ от постоянной длины b, тем меньше отклонение угла поворота звена CD в шарнирном четырёхзвеннике от заданного значения ψ.
Следовательно, отклонение от заданной функции можно характеризовать разностью
∆b = b − bϕ
(9.5)
или взвешенной разностью
∆q = b 2 − bϕ2 ,
полученной умножением разности ∆b на сумму (b + bφ).
Если разность ∆b мала, то (b + bϕ ) ≈ 2b и
∆q ≈ 2b∆b .
(9.6)
(9.7)
Для установления связи между величинами ∆b и ∆ψ необходимо в
механизме (см. рис. 9.1, б) закрепить звено AВ и повернуть звено СD
на угол ∆ψ (см. рис 9.1, в). Тогда центр шарнира C переместится в
точку С1 по дуге окружности длиной С∆ψ, а ползун по направляющей
190
получит перемещение ∆b = C x − C1 . При малом угле поворота ∆ψ фигура ССxС1 может быть принята за прямоугольный треугольник с углом ν при вершине С1, тогда
∆b = C∆ψ cos ν .
(9.8)
Из соотношений (9.7) и (9.8) получается приближенная формула,
устанавливающая связь между взвешенной разностью ∆q и отклонением от заданной функции ∆ψ:
∆ψ ≈
∆q
.
2bc cos ν
(9.9)
Угол ν, т.е. угол давления на коромысло со стороны шатуна, вычисляется по формуле (9.3). Из формулы (9.9) видно, что пользоваться взвешенной разностью ∆q вместо отклонения ∆ψ недопустимо при
значениях угла ν, близких к 90°. Это условие, однако, не накладывает
серьёзных ограничений на применение взвешенной разности, так как
при синтезе шарнирного четырехзвённика ставится условие, чтобы
угол давления был не больше νдоп [7].
9.2. Синтез шарнирного четырехзвенника по положениям
шатуна
Задачи синтеза механизмов шарнирного четырехзвенника по двум
и трём заданным положениям его звеньев могут быть решены с помощью элементарных геометрических построений.
1. Пусть заданы два положения B1C1 и B2C2 шатуна шарнирного
четырехзвенника ABCD (см. рис. 9.2, а). Требуется найти положение
точек A и D – центров вращения звеньев шарнирного четырехзвенника, соединённых в кинематические пары со стойкой. Точки B1 и B2
должны лежать на окружности с центром в точке A, а точки C1 и C2 –
на окружности с центром в точке D. Через две точки можно провести
множество окружностей, геометрическим местом центров которых
является прямая 1–1, перпендикулярная к отрезку B1B2 и проходящая
через середину этого отрезка.
Точку A можно поместить в любой точке прямой 1–1. Аналогично
точка D может быть выбрана в любом месте прямой 2–2, перпенди191
кулярной к отрезку C1C2 и проходящей через его середину. Если заданы размеры r и b, то точку A можно найти, проведя окружность радиусом r вокруг точки B1 до пересечения с линией 1–1, точка D находится аналогично.
2. Если заданы углы размаха кривошипа α и коромысла β
(рис. 9.2, б), то точки B1 и B2 соединяются прямой, и откладываются
углы, равные 90 0 − α 2 . Точка пересечения A прямых B1b1 и B2b2 определяет положение оси A вращения звена AB. Аналогично, соединяя
точки C1 и С2 и откладывая углы 90 0 − β 2 , точкой D пересечения
прямых С1с1 и С2с2 определяют положение оси вращения D звена DC.
3. Пусть требуется построить шарнирный четырехзвенник, если
заданы три положения шатуна BC, например, положения B1C1, B2C2,
B3C3 (рис. 9.2, в).
(
)
(
2
С1
1
)
С2
α
(90- )
2
В1
B1
В2
D
b2
а
n1
В2
β
(90- )
2
β
D
c1
c2
2
С1
B2
A
b1
A
1
С2
α
b
r
С1
б
m1 С2
m2
С3
n2
В1
В3
А
n2
D
n1
m2
m1
в
Рис. 9.2. Проектирование схемы шарнирного
четырехзвенника по положениям шатуна
192
Задача сводится к нахождению центра окружности, проходящей
через три заданные точки. Как известно, эта задача имеет только одно
решение. Точки B1 и B2 соединяются прямыми, и через середину отрезка B1B2 проводится перпендикуляр n1–n1. Далее соединяются точки B2 и B3, и через середину отрезка B2B3 проводится перпендикуляр n2–n2. Положение центра A получится на пересечении перпендикуляров n1–n1 и n2–n2. Аналогично на пересечении перпендикуляров m1–m1 и m2–m2 определяется положение центра D.
9.3. Синтез шарнирного четырехзвенника по положениям
входного и выходного звеньев
Существуют четыре основных способа проектирования шарнирного четырехзвенника:
1. Проектирование шарнирного четырёхзвенного механизма по
трём заданным положениям ведущего и ведомого звеньев (рис. 9.3).
B21
M12
α2
A1
M23
α3
1
O1
2
α
α23
α1
B31
B1
B3
B2
3
B0′
B0
A0′
A2 4
β1
β 2 β3
O2
A0
A3
Рис. 9.3. Проектирование шарнирного четырехзвенника
по трем заданным положениям ведущего и ведомого звеньев
Задаваясь длиной l3 ведомого звена 3 и его угловыми координатами β1, β2, β3 в трёх положениях O2B1, O2B2, O2B3, а также углами поворота α2, α3 ведущего кривошипа (звена 1) по отношению к его начальному (первому) положению α1, определяют начальную угловую
координату α1 звена 1, его длину l1, а также длину l2 шатуна (звена 2).
193
Геометрически эта задача решается методом обращения движения: поворотом точки B2 коромысла на угол α2 и точки В3 на угол α3
вокруг оси O1 вала кривошипа в направлении, обратном его вращению, находятся соответствующие относительные положения B21 и B31
точек B2 и B3 по отношению к кривошипу (звено 1).
Искомая точка A1 – центр пальца кривошипа – является центром
окружности, проходящей через точки B1, B21, B31. Точки B21 и B1, а
также B21 и B31 соединяются прямыми линиями, проведя к которым
через середины (точки M12 и M23) перпендикуляры, находят в точке
пересечения последних положение неизвестной точки A1. При этом
определяется и начальная угловая координата α1 ведущего звена 1.
Длина искомого шатуна (звена 2) равна: A1B1 = A1B21 = A1B31.
На рис. 9.3 показаны три положения рассматриваемого механизма:
а) начальное положение O1A1B1O2;
б) положение O1A2B2O2 при повороте кривошипа на угол α2;
в) положение O1A3B3O2 при повороте кривошипа на угол α3.
На рисунке показаны также положения O1A0B0O2 и O1 A0′ B0′ O2 механизма при крайних левом O2B0 и правом O2 B0′ положениях коромысла соответственно [1, 4].
2. Проектирование шарнирного четырехзвенника по трём положениям ведомого коромысла.
Если заданы три положения DC, DC1, DC2 коромысла 3 (рис. 9.4),
то задаются три произвольных положения CB, C1B1, C2B2 шатуна CB
относительно коромысла DC.
C
C1
γ min 3
C2
γ min
2
γ min A
B
n1
D
1
B1
n2
B2
Рис. 9.4. Проектирование схемы
механизма шарнирного четырехзвенника
по трем заданным положениям коромысла
194
Задавая углы передачи γ, γ1, γ2, образуемые шатуном и коромыслом
и удовлетворяющие условию γ = γ1 = γ2 = γ12min = γmin, определяют положение точек B, B1, B2 звена AB. Нахождение точки A и длины
звена AB сводится к построению окружности, проходящей через
точки B, B1, B2.
3. Проектирование шарнирного четырехзвенника по двум заданным положениям ведомого звена (рис. 9.5).
Задано: длина коромысла CD = а; размах коромысла, определяемый углом ψmах; начальное положение коромысла ψ0 и расстояние
AB = b. Найти AB = r и BC = l.
C0
C0′
l
r
Ψ0
B0′
A
Ψmax
b
B0
a
D
Рис. 9.5. Проектирование шарнирного четырехзвенника
по двум заданным положениям ведомого звена
Точки A, D, C0 и Ñ0′ строятся по заданным условиям, тогда
ÀÑ0′ = l + r; AC0 = l – r,
1
1
l = AC0' + AC0 ;
откуда
r = AC 0' − AC 0 ,
2
2
где ÀÑ0′ и AC определяются по теореме косинусов:
(
)
(
(AC ) = b + a − 2ba cos(ψ + ψ
(AC ) = b + a − 2ba cos ψ .
' 2
0
2
2
0
2
)
2
max
);
2
0
4. Проектирование шарнирного четырехзвенника по двум заданным положениям ведущего и ведомого звеньев.
Пусть заданы положения центров вращения ведущего и ведомого
звеньев A и D и по два соответствующих положения ведущего (An1 и
An2) и ведомого (Dm1 и Dm2) звеньев (рис. 9.6, а). Требуется определить длины звеньев механизма l1 = AB; l2 = BC; l3 = СВ при заданном
l4 = AD и углах φ и ψ (рис. 9.6, б).
195
При аналитическом решении для первого положения механизма
(рис. 9.6, б) составляются уравнения (по методу замкнутых контуров):
проекция на ось x : ⎧l4 = l3 cos ψ 0 + l2 cos δ1 − l1 cos ϕ0 ;
⎨
проекция на ось y : ⎩l3 sin ψ 0 = l2 sin δ1 + l1 sin ϕ0 .
В результате преобразования:
⎧l 3 cos ψ 0 − l1 cos ϕ 0 − l 4 = −l1 cos δ1 ,
⎨
⎩l 3 sin ψ 0 − l1 sin ϕ 0 = l 2 sin δ1 .
Возведение левой и правой частей каждого уравнения в квадрат и
их сложение приводит к следующей системе:
⎧⎪(l 3 cos ψ 0 − l1 cos ϕ 0 − l 4 )2 = l 22 cos 2 δ1 ,
⎨
⎪⎩(l 3 sin ψ 0 − l1 sin ϕ 0 )2 = l 22 sin 2 δ1 .
После исключения δ1:
l22 = l42 + l32 + l12 + 2l1l4 cos ϕ0 − 2l3 l4 cos Ψ 0 −
−2l1l3 ( cos ϕ0 cos ψ 0 + sin ϕ0 sin ψ 0 ) = l42 + l32 + l12 +
+ 2l1l4 cos ϕ0 − − 2l3l4 cos ψ 0 − 2l1l3 cos(ϕ0 − ψ 0 ).
(9.10)
y
C1
n1
n2
m1
m2
l2
δ1
l3
l1
ϕ
ψ
D
B1
B1′′
ψ0
l4
A
ϕ0
D
ψ0
ϕ0
l4
C1′
a
A
B1′
б
y
C2
l2
δ2
B2′′
B2
l3
C 2′
l1
D
Ψ0 + Ψ
ϕ0 + ϕ
l4
B2′
A
x
в
Рис. 9.6. Проектирование шарнирного четырехзвенника по двум
заданным положениям ведущего и ведомого звена
196
x
Для второго положения (рис. 9.6, в):
проекция на ось x :
проекция на ось y :
⎧⎪l4 = l1 cos ⎡⎣180 − ( ϕ0 + ϕ ) ⎦⎤ + l2 cos δ 2 − l3 cos ⎣⎡180 − ( ψ 0 + ψ ) ⎦⎤ ,
⎨
⎪⎩l3 sin ⎡⎣180 − ( ψ 0 + ψ ) ⎤⎦ = l2 sin δ 2 + l1 sin ⎡⎣180 − ( ϕ0 + ϕ ) ⎤⎦ ,
⎧l 4 + l1 cos(ϕ 0 + ϕ) − l3 cos(ψ 0 + ψ ) = l 2 cos δ 2 ,
⎨
⎩l3 sin (ψ 0 + ψ ) − l1 sin (ϕ 0 + ϕ) = l 2 sin δ 2 .
или
l22 = l42 + l32 + l12 + 2l1l4 cos(ϕ0 + ϕ) −
− 2l3l4 cos(ψ 0 + ψ ) − 2l1l3 cos(ϕ0 + ϕ − ψ 0 − ψ ) .
Откуда
(9.11)
Из уравнений (9.10) и (9.11), исключая параметр l2, имеем:
l3 =
l1l 4 [cos ϕ 0 − cos(ϕ 0 + ϕ)]
; (9.12)
l 4 [cos ψ 0 − cos(ψ + ψ 0 )] + l1 [cos(ϕ 0 − ψ 0 )− cos(ϕ 0 + ϕ − ψ 0 − ψ )]
l 2 = l 42 + l 32 + l12 + 2l1l 4 cos ϕ 0 − 2l 3 l 4 cos ψ 0 − 2l1l 3 cos(ϕ 0 − ψ 0 ). (9.13)
и l3.
Задаваясь произвольно длиной l1, из последних уравнений находим l2
9.4. Синтез шарнирного четырехзвенника по коэффициенту
изменения средней скорости коромысла
Рассмотрим задачу синтеза шарнирного четырехзвенника по заданному коэффициенту изменения средней скорости ведомого звена.
На рис. 9.7, а показан кривошипно-коромысловый шарнирный четырёхзвенник ABCD в двух положениях, соответствующих крайним положениям коромысла CD. Эти положения получаются при условии,
что отрезки, соответствующие кривошипу AB и шатуну BC, располагаются на одной прямой.
90 − θ
С ′′
С′
ϕp
A
θ
ϕх
B′′
ψ max
A
B′
С′
С ′′
c
θ
b
a B ′′ d
ψ max 90 − β = γ
доп.
доп.
D
θ
m
O
R
θ
D
B′
a
б
Рис. 9.7. Синтез шарнирного четырехзвенника по коэффициенту
изменения средней скорости
197
Коромысло CD при переходе из одного крайнего положения в
другое поворачивается на один и тот же угол размаха ψmax, а кривошип AB – на разные углы φр (рабочий ход) и φх (холостой ход). Поэтому при постоянной скорости вращения кривошипа время перехода
коромысла из одного крайнего положения в другое различно в зависимости от направления движения. Соответственно разной оказывается и средняя угловая скорость коромысла. Отношение средних скоростей выходного звена за время его движения в прямом и обратном
направлениях называют коэффициентом изменения средней скорости
выходного звена.
Пусть, например, прямой ход совпадает с рабочим, а обратный – с
холостым, причем продолжительность рабочего хода больше, чем холостого. Тогда коэффициент изменения средней скорости вращения
кривошипа равен: k = ϕ p ϕ x , или через угол θ между совпадающими
направлениями шатуна и кривошипа при крайних положениях коромысла:
π+θ
k=
.
(9.14)
π−θ
Отсюда
θ=
k −1
π.
k +1
(9.15)
При заданном значении коэффициента k определение искомых
длин звеньев шарнирного четырехзвенника выполняется в следующем порядке (см. рис. 9,7, б). Решение задачи синтеза начинается с
построения крайних положений коромысла C ′D и C ′′D , считая заданными угол размаха коромысла ψmаx и его длину c. На отрезке Ñ ′Ñ ′′ ,
как на хорде, строится окружность m. Центр этой окружности находится на пересечении биссектрисы угла ψmаx с линией, проведенной
через точку Ñ ′ (или Ñ ′′ ) под углом θ к указанной биссектрисе (или
под углом (90°– θ) к отрезку Ñ ′Ñ ′′ ).
Основное условие синтеза, т.е. получение заданного угла θ, а следовательно, и коэффициента k, будет выполнено, если центр вращения кривошипа A выбрать на окружности m. Дополнительные условия синтеза ограничивают выбор участков окружности m, на которых
можно располагать центр А. Например, для получения приемлемых
значений углов давления на коромысло надо выбрать допускаемый
угол давления βдоп и поместить центр А на пересечении окружности m
198
с линией, проведенной под углом γдоп = 90°– βдоп (γдоп – допускаемый
угол передачи) к отрезку Ñ ′′D из точки Ñ ′′ (при ψmах > 0) или к отрезку C ′D из точки C ′ (при ψmах < 0).
При таком способе выбора центра А угол давления на участке рабочего хода всегда меньше допускаемого. На участке холостого хода
угол давления будет немного больше допускаемого. Однако холостой
ход менее нагружен, и небольшое расхождение с βдоп допустимо. Затем из равенств b + a = AC ′′ , b – a = AC ′ находим:
a=
1
( AC ′′ − AC ′) ,
2
b=
1
( AC ′′ + AC ′).
2
9.5. Синтез кривошипно-ползунного механизма
Схема
центрального
кривошипно-ползунного
механизма
(рис. 9.8, а) определяется параметрами r и l. Пусть для проектирования центрального кривошипно-ползунного механизма заданы:
1) ход рабочего звена Н и отношение λ = l 2 . Тогда его параметры определяются из формулы
H = AC // − AC / = (l + r ) − (l − r ),
H
λH
;
откуда
r = ; l = λr =
2
2
2) ход рабочего звена Н и наибольшее расстояние между осью
вращения кривошипа и крайним положением ползуна xmax. Необходимо определить параметры l и r. Из предыдущего примера r = H 2 ,
AC ′′ = xmax = r + l; l = xmax – r.
тогда
xmax
xmax
B
A
B′
а
r
l
B′′ C ′
B
H
C C ′′
a
B′ r
A
B′′
l
H
θ
β max
б
K
C′
C
Рис. 9.8. Проектирование кривошипно-ползунного механизма
199
C ′′
Рассмотрим несколько задач синтеза нецентрального (дезаксиального) кривошипно-ползунного механизма (см. рис. 9.8, б).
1. Пусть задан коэффициент изменения скорости хода k, ход ползуна Н и наибольший допустимый угол давления внутри рабочего
хода:
[β] ≈ 30 0 , λ = l .
r
По заданному значению k определяется θ:
k −1
.
θ=π
k +1
Далее из ∆AC ′C ′′ и ∆KBC:
⎧⎪ H = (l + r )2 + (l − r )2 − 2(l + r )(l − r ) cos θ ,
⎨
⎪⎩(r + a ) = l sin β max .
Из последней системы находятся r, l и a.
2. Даны параметры H, xmax, [β]. Нужно рассчитать размеры механизма.
2
2
⎧a 2 + xmax
//
=
+
l
r
;
(
)
∆AKC : ⎪
2
2
⎪
∆AKC / : ⎨a 2 + ( xmax − H ) = ( l + r ) ;
∆BKC : ⎪r + a = l sin βmax , где βmax = [β].
⎪⎩
Решение системы трёх уравнений позволяет определить r, l и a.
l
3. Даны параметры Н, λ = , βmax ≤ [β]. Необходимо найти r, l и a.
r
Составляются уравнения:
⎧ H = KC ′′ − KC ′ = ( l + r )2 − a 2 −
⎪
⎪
⎨r + a = l sin [β] ( ∆BKC ) ,
⎪l = λr.
⎪⎩
(l − r )
2
− a 2 ( ∆AKC ′′ и ∆AKC ′ ) ,
Решение системы позволяет найти r, l и a.
9.6. Синтез кулисного механизма
При проектировании кулисного механизма задаются следующие
параметры: Н – ход кулисы СК; k – коэффициент изменения средней
200
скорости кулисы. Необходимо определить размеры звеньев: AB = r,
CK = l, AC = b, при этом угол поворота кулисы CK равен углу θ:
θ = 180
H
k −1
; ∆CMK ′′ : CK ′′ = l =
;
k +1
2 sin ( θ 2 )
∆AB ′′C : AB ′′ = AC sin ( θ 2 ) , или r = b sin (θ 2 ).
(9.16)
(9.17)
Чем больше b по сравнению с r, тем меньше износ (r << b), обычно b = (1,5…2,0)r. Треугольник ∆ACB′′ подобен ∆CMK ′′ , откуда
H 2 l
= ,
r
b
следовательно,
2rl
.
(9.18)
H
Задаваясь разными значениями расстояния b в уравнении (9.17),
можно получить различное число вариантов размеров кулисного механизма. Однако чем больше r, тем меньше давление в кинематических парах механизма при заданных H и k. Поэтому рекомендуется
выбирать радиус кривошипа так, чтобы окружность, описываемая
точкой B, располагалась возможно ближе к точке М (с учетом конструктивных соображений) (рис. 9.9).
b=
H
K′
K ′′
M
A
B′
B′′
θ
C
Рис. 9.9. Проектирование схемы кулисного механизма
по коэффициенту изменения скорости кулисы
201
9.7. Метод синтеза приближенных направляющих
механизмов
Точным направляющим механизмом называется механизм, в котором траектория некоторой точки звена, образующего кинематические пары только с подвижными звеньями, точно совпадает с заданной кривой на всём её протяжении или на некотором участке при условии, что погрешности изготовления не принимаются во внимание.
Приближенный направляющий механизм – это механизм, в котором
траектория некоторой точки на звене, образующем кинематические
пары только с подвижными звеньями, мало отличается от заданной
кривой на отдельном участке или на всём её протяжении.
Приближенные направляющие механизмы применяются в тех
случаях, когда они имеют меньшее число звеньев по сравнению с
теоретически точными механизмами. С уменьшением числа звеньев
уменьшаются погрешности изготовления, и потому приближенные
направляющие механизмы часто оказываются практически более
точными, чем теоретические точные. Например, если требуется получить движение по прямой линии с помощью механизма, содержащего
только вращательные пары, то минимальное число звеньев точного
направляющего механизма равно шести.
Используя методы приближенного синтеза направляющих механизмов, можно найти четырехзвенный механизм, в котором теоретические (номинальные) отклонения от прямой линии значительно
меньше отклонений, вызываемых погрешностями изготовления. В
этом случае приближенный четырехзвенный механизм является более точным, чем теоретически точный шестизвенный механизм. Для
использования методов приближения функций по аналогии с решением задачи синтеза шарнирного четырехзвенника надо составить
аналитическое выражение взвешенной разности:
∆q = c 2 − cϕ2 ,
где с – длина звена CD; cϕ – переменное расстояние от точки С до
точки D при разомкнутом шарнире и точном перемещении точки М
по заданной кривой (см. рис. 8.1). Искомые параметры синтеза находят затем с использованием одного из видов приближения функций.
202
9.8. Механизмы Чебышева
Из направляющих механизмов наибольшее практическое значение имеют механизмы, направляющие по дугам окружностей (круговые направляющие механизмы) и по отрезкам прямой линии (прямолинейно направляющие механизмы). Задачи синтеза этих механизмов
были решены Чебышевым по методу наилучшего приближения функций (функций, наименее уклоняющихся от нуля) (рис. 9.10).
Точное воспроизведение заданных условий синтеза плоских механизмов с низшими парами, как это указывалось выше, не всегда
необходимо. Во многих случаях приближенный синтез может дать
значительно лучшие результаты. Приближенный синтез развивался
сначала применительно к так называемым направляющим механизмам, одна из точек звеньев которых на некотором участке траектории
перемещается по дуге, мало отличающейся от прямой линии, а затем
получил более общее значение благодаря использованию в других
областях и при усложнении условий синтеза.
y
B
C
b
a
A
b
K
b
Д
d
x
x1
x2
Рис. 9.10. Синтез прямолинейно
направленного (лямбдаобразного)
механизма с использованием наилучшего
приближения функций
Метод наилучшего приближения функций Чебышева заключается
в следующем. Пусть в системе координат yAx точка K описывает траекторию y(x). Требуется, чтобы эта траектория на участке x1< x < x2
как можно ближе приближалась к прямой линии. Допустим, что задана алгебраическая кривая f(x), изображенная в той же системе коор203
динат, причем так, чтобы функции y(x) и f(x) совпадали наилучшим
образом. Согласно теореме Чебышева, функция y(x) будет наименее
уклоняться от заданной f(x) в интервале x1 < x < x2, в случае если разность F ( x ) = y ( x ) − f ( x ) = ± ∆ будет минимальной (наибольшее уклонение ∆ от заданной функции будет минимальным).
Механизм Чебышева (см. рис. 9.10) определяется тремя независимыми параметрами: a, b и d. Для того чтобы траектория точки K
имела наименьшее отклонение от прямой, необходимо и достаточно
выполнение соотношения: 3d – a = 2b (доказательство этого соотношения было дано Чебышевым из условий наилучшего приближения).
При этом соотношении симметричная шатунная кривая точки K имеет с прямой шесть точек пересечения, а предельное отклонение достигается семь раз с последовательно чередующимися знаками. Длина
стойки d может изменяться в пределах от 1,55a до 3a. При d = 2,22a
отношение максимального отклонения от прямой линии к длине прямолинейного участка не превосходит 0,001, т.е. на длине l = 100 мм
отклонение будет не более 0,1 мм. Такое отклонение нельзя обнаружить обычными графическими построениями.
9.9. Шарнирные механизмы с выстоем
Выстоем называется длительная остановка выходного звена при
непрерывном движении входного звена. Практическое применение
шарнирные механизмы с выстоями получили в связи с развитием машин-автоматов, где они используются в тех случаях, когда исполнительный орган, связанный с выходным звеном механизма, должен после рабочего хода оставаться некоторое время неподвижным. Синтез
шарнирного механизма с выстоем сводится к синтезу кругового направляющего механизма методами оптимизаций или приближения
функций.
9.10. Мальтийские механизмы
В машинах-автоматах иногда требуется иметь одностороннее
прерывистое движение, т.е. движение в одном направлении с периодическими выстоями. Механизм с односторонним прерывистым движением называют шаговым механизмом. На типовом графике движе204
ния выходного звена (рис. 9.11, а) ψд – угол поворота выходного звена между выстоями; tд – время движения; tn – время покоя; Т – время
цикла, по истечении которого повторяются фазы движения и покоя.
Отношение времени движения к времени цикла называют коэффициентом движения: τ д = t д T .
α
t
O1
1
A
ψд
ϕд
β
ψд
ψд
tд
t
tn
T
2
O2
T
а
б
Рис. 9.11. График движения выходного звена шагового
механизма (а) и схема мальтийского механизма с внешним зацеплением (б)
Наиболее просто одностороннее прерывистое движение воспроизводится с помощью мальтийского механизма (рис. 9.11, б), который
представляет собой одну из разновидностей кулисного механизма.
Звено 1 (кривошип) имеет одну цевку (ролик), которая входит в прорезь звена 2, называемого крестом, и поворачивает его на угол
ψ д = 2π z , где z – число прорезей. Угол поворота кривошипа за время
движения креста, называемый углом движения, находится из прямоугольного треугольника O1AO2: ϕ д = π − ψ д . Подставляя в это соотношение значение угла ψд, получаем угол ϕ д = π( z − 2 ) z .
После поворота на угол ψд крест остается в покое, пока цевка
кривошипа не войдёт в следующий паз. Для фиксации креста в неподвижном положении служат запирающие дуги α и β. Угол поворота
кривошипа за время покоя креста, называемый углом покоя, находится из условия φn = 2π – φд, которое с учетом φд приводит к соотношению
π( z + 2 )
ϕn =
.
(9.19)
z
205
Коэффициент движения при равномерном вращении кривошипа
рассчитывается как отношение угла движения φд к углу полного оборота кривошипа 2π:
( z − 2)
τд =
.
(9.20)
2z
Итак, коэффициент движения полностью определяется числом
пазов, т.е. мальтийский механизм представляет мало возможностей
для воспроизведения заданного графика движения. Из формулы (9.20) следует, что минимальное число пазов равно трём и коэффициент движения изменяется от 1/6 до 1/2 при числе пазов, стремящихся к бесконечности. Обычно число пазов не превосходит 24, и,
следовательно, коэффициент движения не превосходит величины
τд ≈ 0,458. Чтобы получить время движения больше времени покоя,
применяют мальтийские механизмы с внутренним зацеплением.
206
10. СИНТЕЗ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ
10.1. Основные понятия
Высшая кинематическая пара, образуемая последовательно взаимодействующими поверхностями зубьев, называется зубчатым зацеплением. Основное назначение зубчатого зацепления состоит в передаче вращательного движения с одного вала (ведущего) на другой
(ведомый) с заданным отношением угловых скоростей. Отношение
угловых скоростей ведущего вала к ведомому называется передаточным отношением U:
U 12 =
ω1
.
ω2
Наиболее простым механизмом, служащим для передачи вращательного движения, является фрикционная передача, которую целесообразно рассматривать как кинематическую основу зубчатой передачи (рис. 10.1).
N
O1
r1
ω1
V1 =V2
ω2
O2
r2
Рис. 10.1. Схема фрикционной передачи
207
В фрикционных передачах вращение передается силами трения,
создаваемыми в зоне контакта двух соприкасающихся звеньев высшей пары. Относительное скольжение в высшей паре здесь не гарантирует постоянства отношения угловых скоростей вращающихся
звеньев фрикционной пары. Окружные скорости точки касания на
катках:
V1 = ω1r1; V2 = ω2r2.
При достаточном нажимном усилии N катки вращаются без проскальзывания, и, следовательно, их окружные скорости равны:
V1 = V2 и ω1r1 = ω2r2.
Следовательно, передаточное отношение U12 равно:
ω1
r
=± 2 ,
ω2
r1
1
причем
.
U 21 =
U 12
Если соприкасающиеся колеса при внешнем касании (см.
рис. 10.1) вращаются в разные стороны, т. е. направления угловых
скоростей противоположны, то передаточное отношение считается
отрицательным, и условно ставится знак минус; при внутреннем касании колес и вращении в одну и ту же сторону ставится знак плюс.
Недостатки фрикционных передач:
а) вследствие проскальзывания передаточное отношение U12 не
постоянно;
б) наблюдается большой износ профилей;
в) передача значительно усложняется, так как для нормальной работы необходимо большое усилие N.
Если на рабочих поверхностях катков фрикционной передачи
расположить ряд выступов (зубьев) и впадин так, чтобы зубья одного
тела качения могли входить во впадины другого, то движение с одного вала на другой будет передаваться посредством давления в точках
касания боковых поверхностей зубьев. При этом обеспечивается передача движения с постоянным передаточным отношением. Катки, на
рабочих поверхностях которых расположены зубья и впадины, называются зубчатыми колесами. Два сцепленных зубчатых колеса образуют зубчатую передачу.
U 12 =
208
10.2. Основная теорема зацепления
Эта теорема устанавливает требования к кривым, применяющимся для профилирования зубьев, с помощью которых должно передаваться вращение с заданным отношением угловых скоростей. Ведущий профиль 1 (рис. 10.2) вращается с угловой скоростью ω1.
t
B
D
R2
K
P
N
C
F
n
R1
M
ρ1
A
E
ω1
1
n
ω2
ρ2
Vk1
2
Vk 2
t
Рис. 10.2. Схема к выводу основной теоремы зацепления
Нажимая на ведомый профиль 2, ведущий профиль должен сообщить вращение звену 2, обеспечив заданное отношение угловых скоростей. В точке К касания кривых 1 и 2 проводятся нормаль n–n и касательная t–t к этим кривым, а также векторы окружных скоростей
точек К1 и К2, которыми профили в данный момент соприкасаются в
точке К:
V k1 ⊥ AK ; V k2 ⊥ BK ;
Vk1 = ω1 R1 ; Vk2 = ω 2 R2 ,
где R1 = AK, R2 = BK.
Спроектируем векторы скоростей на нормаль n–n, обозначив проекции через U1 и U2: KC = U 1 , KC = U 2 . Из подобия треугольников
KEC и AMK, KFD и BNK следует:
ρ
U 1 ρ1
U
и 2 = 2,
=
Vk1 R1
Vk 2 R2
где
Откуда
Аналогично
ρ1 = AM и ρ2 = BN.
ρ
ρ
U 1 = Vk1 1 = ω1 R1 1 = ω1ρ1 .
R1
R1
U2 = ω2ρ2.
209
Из условия непрерывности и последовательности соприкосновения профилей следует, что должно быть соблюдено условие U1 = U2.
В противном случае колеса будут или внедряться в друг друга (U1 > U2),
или не касаться друг друга (U1 < U2). Следовательно,
ω1ρ1 = ω1ρ1 или
ω1 ρ1
.
=
ω2 ρ 2
Из подобия треугольников AMP и BNP следует:
ρ 2 BP
=
.
ρ1 AP
Объединяя полученные соотношения, имеем
ω1 ρ 2 BP
=
=
= U 12 .
ω 2 ρ1 AP
Отсюда формулируется основная теорема зацепления: для осуществления передачи вращения между двумя сопряженными профилями
с заданным передаточным отношением U12 необходимо, чтобы общая
нормаль к сопряженным профилям в точке контакта делила межосевое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям, т.е. чтобы общая нормаль проходила через заданный полюс зацепления. Взаимодействующие профили звеньев высшей пары, обеспечивающие заданный закон их относительного движения, называются сопряженными профилями. Точка пересечения нормали с межцентровым расстоянием называется полюсом зацепления P.
10.3. Цилиндрическая зубчатая передача
Зубчатые механизмы получили очень широкое применение как в
машиностроении, так и в приборостроении благодаря большой надежности и точности в воспроизведении заданного закона движения.
Если оси вращения валов параллельны, то используется цилиндрическая зубчатая передача. Зубчатая передача с параллельными осями
вращения звеньев называется цилиндрической, так как мгновенная
210
ось вращения в относительном движении звеньев образует на каждом
из звеньев цилиндрические поверхности. Цилиндрические зубчатые
передачи могут быть внешнего и внутреннего зацеплений. Следует
также указать реечное зацепление, профили зубьев этой передачи
должны удовлетворять основной теореме плоского зацепления. При
постоянном передаточном отношении наиболее часто профили зубьев очерчиваются по эвольвентам окружностей, и тогда передача считается эвольвентной.
10.4. Эвольвента окружности
Эвольвентой называется кривая, описываемая точкой прямой линии при перекатывании её без скольжения по так называемой основной окружности. На рис. 10.3 показано построение эвольвенты основной окружности b при перекатывании по ней прямой n–n, называемой производящей прямой.
n
6
6
rв
t
5
5
A
α
O
θ
4
3
3
α
2
1
2
R
M
1
M0
B
n
t
Рис. 10.3. Эвольвента окружности
Пусть производящая прямая показана в положении, когда она касается основной окружности в точке A, и надо построить эвольвенту,
описываемую точкой М. Отрезок AM делится на одинаковые части
(например, на четыре части), и на основной окружности откладыва= 32 ;
ются дуги, равные соответствующим частям отрезка AM:
= 21 и т.д. (при малых центральных углах дуги можно заменить
хордами).
211
Через полученные точки деления окружности проводятся к ней
касательные и откладываются на них отрезки, при этом длина каждого отрезка последовательно уменьшается на одну часть. Например, из
точки 2 откладывается отрезок, содержащий две части, из точки 1 –
одну часть и так далее. Соединяя концы отложенных отрезков, получаем эвольвенту.
Эвольвенту можно представить как траекторию точки М конца
нити, которая в натянутом положении наматывается на барабан с
диаметром, равным диаметру основной окружности. Уравнение
эвольвенты в параметрической форме получается из условия перекатывания производящей прямой по основной окружности:
AM0 = AM .
(10.1)
Острый угол между касательной t–t к эвольвенте и радиусомвектором эвольвенты ОМ обозначается через α и в теории эвольвентного зацепления называется углом профиля. Угол, образованный начальным радиусом-вектором эвольвенты ОМ0 и её текущим радиусом ОМ, называется эвольвентным углом и обозначается через θ.
Кроме того, радиус основной окружности обозначается через rb. Тогда условие (10.1) принимает вид
rb = (α + θ) = rb tgα ,
откуда
θ = tgα – α.
(10.2)
Тригонометрическая функция tg(α–α) называется инволютой и обозначается inv α, т.е. уравнение (10.2) может быть записано в виде
θ = inv α. Радиус-вектор эвольвенты R находится из ∆OAМ:
R=
rb
.
cos α
(10.3)
Уравнения (10.2) и (10.3) определяют уравнения эвольвенты в параметрическом виде (в полярных координатах R и θ), выраженные
через параметр α.
Эвольвента обладает следующими свойствами:
1) единственной характеристикой эвольвенты является радиус основной окружности и положение начала отсчета эвольвентного угла;
2) поскольку производящая прямая катится без скольжения по основной окружности, то отрезки прямой будут равны соответствующим дугам основной окружности: AM0 = AM ; A2 = A2 ;
212
3) нормаль к любой точке эвольвенты направлена по касательной
к основной окружности;
4) центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали
(производящей прямой) с основной окружностью, ρM = AM – радиус
кривизны эвольвенты в точке М;
5) основная окружность представляет собой геометрическое место центров кривизны эвольвенты и является её эволютой;
6) расстояние между одноименными эвольвентами к одной и той
же основной окружности по нормали будет одним и тем же, т.е.
эвольвенты являются эквидистантными (равноотстоящими) кривыми;
7) при rb → ∞ эвольвента превращается в прямую линию.
10.5. Эвольвентное зацепление
Эвольвентные цилиндрические передачи имеют наибольшее распространение среди цилиндрических передач. Объясняется это тем,
что они имеют значительные преимущества перед другими известными передачами:
а) передача нечувствительна к изменению межосевого расстояния;
б) инструмент для нарезания колеса и шестерни один и тот же,
поэтому изготовление эвольвентных колес наиболее простое;
в) прямолинейный профиль инструмента упрощает его контроль;
г) силы, действующие в зацеплении между зубьями, не меняют
своего направления, что снижает динамические нагрузки (шум, вибрацию и т.д.).
Недостатком эвольвентной передачи является неполная нагрузочная способность, особенно по контактной прочности. При вращении
зубчатых колес находящиеся в зацеплении зубья касаются друг друга
различными точками своих профилей.
Рассмотрим, как перемещается по неподвижной плоскости точка
касания эвольвентных профилей зубьев в процессе вращения колес.
Пусть профиль зуба звена 1 (рис. 10.4) очерчен по эвольвенте основной окружности с радиусом rb1, а профиль зуба звена 2 – по эвольвенте основной окружности с радиусом rb2. Эвольвенты Э1 и Э2 касаются
друг друга в точке К. Нормаль к эвольвенте Э1 в точке К должна быть
касательной к основной окружности звена 1, а нормаль к эвольвенте Э2 – касательной к основной окружности звена 2. Согласно основной теореме зацепления, общая нормаль к профилям в точке их
касания должна проходить через полюс зацепления.
213
Следовательно, касание профилей должно происходить в такой
точке К, в которой обе касательные к основным окружностям вытянутся в одну прямую линию АB, являющуюся общей нормалью к
профилям, т.е. в точке касания нормаль должна быть общей к обоим
профилям, и, следовательно, точка К лежит на общей касательной к
основным окружностям.
n
1
ω1
rв1
A K
αω
2
ω2
rв 2
P
αω
O1
rω1
O2
B
Э2
rω 2
αω
n
Рис. 10.4. Схема для определения линии и угла зацепления
При вращении звеньев 1 и 2 точка касания эвольвент перемещается по отрезку AB этой касательной, так как вне отрезка AB эвольвенты не могут касаться, т.е. иметь общую нормаль. Эта линия AB, касательная к обеим основным окружностям и являющаяся геометрическим местом точек касания сопряженных профилей, называется линией зацепления. При вращении колес линия зацепления занимает
постоянное (неизменное) положение и проходит через полюс зацепления P, т.е. через точку, в которой соприкасаются начальные окружности с радиусами rω1 и rω 2 .
Следовательно, согласно основной теореме зацепления передаточное отношение U21 имеет постоянную величину:
U 21 =
rω
ω 2 O1 P
=
=± 1 .
rω2
ω1 O2 P
(10.4)
Знак «+» относится к внутреннему зацеплению, знак «–» – к внешнему.
214
Давление одного зуба на другой передается по нормали к их профилям, т.е. по линии зацепления. Прямолинейность линии зацепления, свойственная только эвольвентному зацеплению, обусловливает
постоянное направление передаваемого давления, что является одним
из достоинств эвольвентных профилей. Угол между линией зацепления и прямой, перпендикулярной к межосевой линии, называется углом зацепления и обозначается через αω.
Из треугольников О1AР и O2BP следует:
rb1 = rω1 сosα ω ; rb2 = rω2 сosα ω .
(10.5)
Следовательно, при эвольвентном зацеплении передаточное отношение может быть также выражено через отношение радиусов основных окружностей:
rb
(10.6)
U 21 = ± 1 .
rb2
Из формулы (10.6) видно, что при эвольвентном зацеплении изменение межосевого расстояния не влияет на передаточное отношение вследствие неизменности радиусов основных окружностей. При
изменении межосевого расстояния изменяются лишь радиусы начальных окружностей и угол зацепления.
10.6. Основные размеры зубьев
Эвольвентные профили зубьев удовлетворяют основному условию синтеза зубчатого зацепления – получению заданного передаточного отношения. Выполнение дополнительных условий синтеза
зависит, в первую очередь, от размеров зубьев. Окружности, которые
при зацеплении зубчатых колес перекатываются друг по другу без
скольжения, называются начальными (dω – диаметр начальной окружности). При относительном перемещении колес зубчатого механизма начальная окружность одного колеса будет без скольжения катиться по начальной окружности другого колеса. Мгновенным центром в этом вращении является точка касания начальных окружностей P, называемая полюсом зацепления. Полюс зацепления делит
межцентровое расстояние аω на части, обратно пропорциональные
угловым скоростям.
215
Таким образом, начальная окружность представляет собой геометрическое место мгновенных центров вращения в относительном
движении, т.е. является центроидой в относительном движении колес. Начальная окружность изготовляемого зубчатого колеса, по которой производится деление цилиндрической заготовки на z равных
частей, называется делительной окружностью. Обозначим число
зубьев колеса через z, тогда длина делительной окружности:
2πr = pz ,
(10.7)
где р – окружной шаг (шаг по делительной окружности), т.е. расстояние, измеренное по дуге окружности диаметром d между двумя соответствующими точками соседних зубьев (рис. 10.5).
Как видно из формулы (10.7), диаметр делительной окружности
равен:
⎛P⎞
d = 2r = ⎜ ⎟ z = mz ,
(10.8)
⎝π⎠
где m – отношение окружного шага по делительной окружности к
числу π, называемое модулем зубьев.
P
S
df
dω
dв
d
hf
ha
da
Рис. 10.5. Основные параметры зубьев
Делительную окружность можно определить так же, как и окружность, для которой модуль имеет стандартную величину, или же как
216
окружность, которая является базовой для определения размеров
зубьев. Иногда начальные и делительные окружности совпадают, но
при этом надо иметь в виду их принципиальное различие. Делительная окружность есть характеристика одного зубчатого колеса, с которым она неизменно связана, и диаметр этой окружности имеет постоянную величину. Начальные окружности дают характеристику зацепления двух зубчатых колес, и диаметры этих окружностей зависят от
межосевого расстояния.
Для того чтобы зубья одного колеса могли войти во впадины другого, а их начальные окружности катились без скольжения, шаги по
начальным окружностям обоих колес должны быть равны: Pω1 = Pω2.
Но так как согласно формуле (10.7)
2πrω1
2πrω2
2πrω1 2πrω2
Pω1 =
=
; Pω2 =
, то
,
z1
z2
z1
z2
rω2
z
ω
(10.9)
окончательно
±
= ± 2 = U 12 = 1 .
rω1
z1
ω2
Делительная окружность в торцевом сечении, т.е. в сечении, перпендикулярном к оси вращения звена, делит зуб на две части: головку
и ножку. Головкой называется часть зуба, расположенная между делительной окружностью и окружностью вершин, диаметр которой
обозначается через da (см. рис. 10.5). Ножка зуба – это его часть, расположенная между делительной окружностью и окружностью впадин, диаметр которой обозначается через df. Различают внешние и
внутренние зубья. Высота головки обозначается через ha, высота
ножки – через hf, общая высота зуба – h.
Высота ножки больше высоты головки, так как между окружностью вершин одного зуба и окружностью впадин другого зуба должен
быть зазор, называемый радиальным зазором с:
ha = ha* m = m ; h f = ha* m + c = ha* m + c * m = 1,25m ,
где ha* – коэффициент высоты головки зуба, обычно ha* = 1; с* – коэффициент радиального зазора, c* = 0,25.
Каждый зуб очерчен двумя симметрично расположенными профилями, расстояние между которыми, измеренное по какой-либо окружности, называется толщиной зуба. Толщина зуба по делительной
окружности обозначается через S. Варьируя величины ha, hf и S, можно удовлетворить дополнительным условиям синтеза.
217
10.7. Образование сопряженных поверхностей по Оливье.
Методы и способы изготовления зубчатых колес
Движение режущих кромок зуборезного инструмента в общем
случае состоит из трех независимых движений. Первое движение –
движение резания – совершается относительно основания, на котором
укреплен инструмент, и может быть прямолинейно-поступательным
или вращательным. Поверхность, образуемая режущими кромками
инструмента при движении резания, называется производящей (иногда – инструментальной) поверхностью. Второе движение – движение
огибания (иногда – обкатки) – совершается относительно обрабатываемой заготовки. При этом движении боковая поверхность зуба получается как огибающая положений производящей поверхности.
Третье движение – движение подачи – состоит в постепенном приближении инструмента к заготовке с целью уменьшения силы резания. В дальнейшем движение подачи не рассматривается, и считается, что инструмент входит в заготовку на полную высоту зуба.
Различают два способа образования сопряженных профилей: способ копирования и способ огибания. При способе копирования движение огибания отсутствует, и боковая поверхность зуба получается
как копия производящей поверхности. Этот способ применяется редко, так как требуется большой комплект зуборезного инструмента.
При способе огибания вид боковой поверхности зуба зависит не
только от вида производящей поверхности, но и от движения огибания. Теоретическое обоснование способа огибания было дано Оливье,
который предложил два варианта этого способа. В первом – обе сопряженные поверхности зубьев нарезаются одной производящей поверхностью, отличающейся от требуемых сопряженных поверхностей. Во втором – производящая поверхность совпадает с одной из
требуемых сопряженных поверхностей, причем относительное движение производящей поверхности и заготовки должно быть таким
же, какое имеют требуемые сопряженные поверхности.
Методы изготовления колес с эвольвентным профилем зубьев.
Зубчатые колеса с эвольвентным профилем зубьев нарезаются на специальных зуборезных станках двумя методами: методом копирования;
методом обкатки (огибания). При методе копирования фреза в поперечном сечении очерчена по профилю впадины между зубьями. Вращаясь, фреза перемещается вдоль боковой поверхности образующей
зуба, т.е. за один ход прорезает одну впадину между двумя соседними
218
зубьями. Затем она возвращается в исходное положение, и заготовка
поворачивается на угол τ = 2π z . Эта величина называется угловым
шагом зубчатого колеса. Данный метод изготовления профилей сравнительно малопроизводителен.
При более прогрессивном методе обкатки (огибании) режущему
инструменту и заготовке сообщают такое относительное движение, какое имели бы зубчатые колеса в зацеплении. Следовательно, геометрия
и кинематика процесса изготовления зубчатого профиля по методу обкатки аналогична процессу зацепления двух поверхностей – производящей и нарезаемой. Если при методе копирования необходим набор
одномодульных фрез, то при методе обкатки одним и тем же режущим
инструментом можно нарезать колеса с различным числом зубьев.
В зависимости от формы режущего инструмента и конструкции
станков различают три способа нарезания колес по методу огибания:
1) режущей шестерней на зубодолбежных станках;
2) режущей зубчатой гребенкой (инструментальной рейкой) на
строгальных станках;
3) червячной фрезой на зубофрезерных станках.
10.8. Кинематика изготовления сопряженных поверхностей
зубьев цилиндрических эвольвентных зубчатых колес
В основе любого зуборезного инструмента лежит стандартная
зубчатая рейка (гребёнка), которую можно рассматривать как предельную форму зубчатого колеса при стремлении числа зубьев к бесконечности. Контур зубьев рейки, называемый исходным (рис. 10.6),
служит основой для определения форм и расположения режущих
кромок (исходный контур рейки заштрихован). Эвольвентную часть
зуба нарезаемого колеса нарезает только исходный контур, а часть
зуба рейки выше исходного контура образует галтель зуба колеса.
Прямая СС, проходящая посередине общей высоты зуба, называется
делительной прямой. По делительной прямой толщина зуба равна
ширине впадины. Модуль m, в долях которого определяются размеры
исходного контура, выбирают из стандартного ряда модулей.
Исходный контур имеет следующие параметры: угол профиля
α = 200, коэффициент высоты головки ha* = 1, коэффициент радиального зазора С* = 0,25, радиус закругления rf = 0,38m. Закруглённая
часть на головке зуба рейки обеспечивает радиальный зазор между
219
головкой и ножкой введенных в зацепление колёс и в образовании
эвольвентной части профиля зуба участия не принимает. Этот контур
называется производящим, так как при движении режущих кромок он
образует производящую поверхность.
P = πm
P 2
ha*m
c*m
P 2
С
rf
α
α
c*m
ha*m
С
Рис. 10.6. Инструментальная рейка
Существует три варианта нарезания зубьев реечным инструментом, различающихся расположением производящего контура и заготовки.
В первом варианте (рис. 10.7, а) делительная прямая производящего контура С–С касается делительной окружности заготовки. Инструменту и заготовке сообщаются такие движения, при которых делительная прямая катится без скольжения по делительной окружности.
rв
С
H
mz
а
С
С
α
H
rв
H
α H
С
mz
mz
x=0
S = πm 2
б
rв
H
С
x>0
S > πm 2
в
x<0
S < πm 2
Рис. 10.7. Различные варианты нарезания зубьев реечным
инструментом
220
xm
С α
H
S
xm
S
S
Толщина зуба по делительной окружности в первом варианте
равна ширине впадины рейки по делительной прямой:
S = 0,5πm.
(10.10)
Колесо с полученными при этом варианте нарезания размерами зуба называется нулевым колесом или колесом с равноделенным шагом.
Во втором варианте (см. рис. 10.7, б) делительная прямая СС смещена от центра заготовки на величину абсолютного смещения (сдвига) xm, где x – коэффициент смещения (относительный сдвиг). По
делительной окружности катится без скольжения начальная прямая
Н–Н, отстоящая от делительной прямой на величину смещения xm.
Толщина зуба по делительной окружности во втором варианте равна
ширине впадины рейки по начальной прямой Н–Н:
(10.11)
S = 0,5πm + 2 xmtgα ,
т.е. толщина зуба по делительной окружности при x > 0 оказывается
больше, чем у колеса, нарезаемого без смещения.
Коэффициент смещения в этом варианте считается положительным, и соответственно зубчатое колесо тоже называется положительным.
В третьем варианте (см. рис. 10.7, в) делительная прямая С–С
смещена к центру заготовки на величину xm, причём коэффициент
смещения считается отрицательной величиной, и соответственно
зубчатое колесо называется отрицательным. Толщина зуба по делительной окружности этого колеса определяется по формуле (10.11) и,
вследствие того что x < 0, оказывается меньше, чем у нулевого
колеса.
Зубчатые колеса, нарезанные со смещением (сдвигом) рейки, называют корригированными (исправленными). Независимо от смещения радиус основной окружности связан с радиусом делительной окружности соотношением
rb = r cos α = 0,5mz cos α ,
(10.12)
т.е. смещение влияет только на толщину зуба по делительной окружности, а эвольвента при том же модуле m и числе зубьев z остается
неизменной.
10.9. Геометрический расчет эвольвентных зубчатых передач
при заданных смещениях
В зависимости от величин смещения каждого колеса можно получить три типа передач, отличающихся расположением начальных и
221
делительных окружностей. В нулевой передаче (рис. 10.8, а) начальные и делительные окружности совпадают, межосевое расстояние a определяется по формуле
(10.13)
a = 0,5m(z1 + z2),
а угол зацепления α равен углу профиля производящего контура.
Начальные и делительные окружности совпадают в тех передачах,
у которых по делительным окружностям толщина зуба одного колеса
равна ширине впадины другого. Указанному условию удовлетворяют
передачи при x1 + x2 = 0, т.е. передачи, составленные из колёс без смещения, и передачи, в которых отрицательное смещение одного колеса
равно по абсолютной величине положительному смещению другого
колеса.
mz2
α
αω
P
P a
aω
αω
P
aω
mz1
б
aω > a , α ω > α
положительное
а
нулевое
в
aω < a , α ω < α
отрицательное
Рис. 10.8. Различные типы передач в зависимости от величины смещения
В положительной передаче (см. рис. 10.8, б), у которой по делительным окружностям толщина зуба одного из колес больше ширины
впадины другого, для зацепления без бокового зазора межосевое расстояние aω и угол зацепления αω должны быть увеличены, так как основные окружности не изменяются. Эти передачи получаются при
x1 + x2 > 0. В отрицательной передаче (см. рис. 10.8, в) по делительным
окружностям толщина зуба одного колеса меньше ширины впадины
другого. Для получения зацепления без бокового зазора межосевое расстояние должно быть уменьшено, и соответственно уменьшается угол
зацепления, т.е. aω < a и αω < α. Эти передачи получаются при
x1 + x2 < 0.
222
Для вычисления значений aω и αω сначала определяется толщина
зуба по начальной окружности, известной считается толщина зуба по
делительной окружности. Толщина зуба Sω, измеренная по начальной
окружности радиусом rω (рис. 10.9), находится из условия
θω + βω = θ + β.
Sω
βω
αω
θω
θ
S
α
rв
r
rω
β
Рис. 10.9. Определение толщины зуба
по начальной окружности
Проведя из точек пересечения соответствующих окружностей с
эвольвентой зуба касательные к основной окружности и отметив углы αω и α, имеем с учетом уравнения эвольвенты (10.2): θ ω = invα ω ;
θ = invα . Дуги S ω 2 = rωβ ω , S 2 = rβ , откуда β ω = S ω 2rω , β = S 2r .
S
S
Тогда
invα ω + ω = invα + .
2rω
2r
Искомая толщина зуба по начальной окружности радиусом rω
равна:
⎛S
⎞
S ω = rω ⎜ + 2invα − 2invα ω ⎟ .
(10.14)
⎝r
⎠
Подставив значение толщины зуба по делительной окружности из
формулы (10.11) и учитывая, что r =
P z
mz
и rω = ω , где Pω – шаг по
2π
2
начальной окружности, получаем
Sω =
Pω
π
⎡π
⎤
2
x
tg
z
(
inv
inv
)
+
α
+
α
−
α
ω
⎢⎣ 2
⎥⎦ .
223
(10.15)
При зацеплении двух колес без боковых зазоров толщина зуба по
начальной окружности одного колеса должна быть равна ширине
впадины другого колеса по его начальной окружности, т.е. для начальных окружностей сумма толщин зубьев равна шагу:
2πrω1
S ω1 + S ω2 = Pω =
z1
=
2πrω2
z2
.
Отсюда с учётом формулы (10.14)
2πrω1
2πrω1 ⎡ π
⎤
+
2
x
tg
α
+
z
(
inv
α
−
inv
α
)
1
1
ω
⎥⎦ +
z1
z1π ⎢⎣ 2
2πrω2 ⎡ π
⎤
+
2
x
tg
z
(
inv
inv
)
+
α
+
α
−
α
2
2
ω
⎥⎦.
z 2 π ⎢⎣ 2
=
Принимая во внимание, что rω2 = rω1
z2
, получим
z1
⎡π
⎤ ⎡π
⎤
π = ⎢ + 2 x1 tgα + z1 (invα − invα ω )⎥ + ⎢ + 2 x 2 tgα + (invα − invα ω )⎥ ,
⎦ ⎣2
⎣2
⎦
2( x1 + x 2 )tgα
откуда
.
(10.16)
invα ω = invα +
z1 + z 2
После вычисления invαω по таблицам инволют находится угол αω.
Радиусы начальных округлостей определяются из формул (10.5):
rω1 =
rb1
cos α ω
;
rω2 =
rb2
cos α ω
.
Подставляя значения радиусов основных окружностей из формулы (10.12), получаем
0,5mz1 cos α
0,5mz2 cos α
,
; rω 2 =
cos α ω
cos α ω
откуда межосевое расстояние равно:
rω1 =
aω = rω1 + rω2 =
224
0,5( z1 + z 2 ) cos α
.
cos α ω
(10.17)
(10.18)
Радиусы впадин rf получаются из условия, что делительная головка зуба режущего инструмента, равная по высоте ha∗ + c ∗ m , при обработке проходит внутрь делительной окружности на величину
ha∗ + c ∗ − x m (см. рис. 10.7).
Отсюда
r f1 = 0,5mz1 − ha∗ + c ∗ − x1 m, r f 2 = 0,5mz 2 − ha∗ + c ∗ − x 2 m. (10.19)
Радиусы вершин ra (радиусы заготовок) определяются из условия
получения радиального зазора c*m:
ra1 = aω − rf2 − c∗m; ra2 = aω − rf1 − c∗ m.
(10.20)
(
(
)
)
(
)
(
)
10.10. Построение картины внешнего эвольвентного
зацепления
Свойства внешнего эвольвентного зацепления наиболее наглядно
можно пояснить на примере построения картины зацепления, т.е.
графического изображения зубьев, находящихся в зацеплении. Пусть,
например, заданы числа зубьев z1 и z2, модуль m и коэффициенты
смещения x1 и x2. Требуется построить картину зацепления, считая,
что угол профиля реечного инструмента α = 200, коэффициент высоты головки ha∗ = 1 и коэффициент радиального зазора с* = 0,25.
Сначала вычисляется инволюта угла зацепления αω по формуле
(10.16):
2( x1 + x 2 )
invα ω = inv 20 0 +
tg 20 0 ,
z1 + z 2
и находится угол зацепления αω по таблице инволют.
Радиусы начальных окружностей вычисляются по формуле
(10.17):
0,5mz1 cos 20 0
0,5mz 2 cos 20 0
; rω2 =
.
rω1 =
cos α ω
cos α ω
Межосевое расстояние равно сумме радиусов начальных окружностей (10.18):
0,5m( z1 + z 2 ) cos 20 0
.
aω =
cos α ω
225
По результатам вычислений строятся начальные окружности с
центрами в точках О1 и О2, и через точку их касания, т.е. через полюс
зацепления p, проводится линия n–n, составляющая угол αω с перпендикуляром к межосевой линии О1О2 (рис. 10.10). Радиусы основных
окружностей можно найти, опустив на эту линию перпендикуляры из
точек О1 и О2. Для контроля вычислений и построений используется
формула (10.12): rb1 = 0,5mz1 cos 20 0 ; rb2 = 0,5mz 2 cos 20 0 . Далее, применяя построение эвольвенты (см. рис. 10.3), строят эвольвентные
профили зубьев перекатыванием линии n–n по одной основной окружности, а затем по другой. Эвольвентные профили продолжаются
до окружностей вершин, радиусы которых находят по формуле (10.20) после вычисления радиусов окружностей впадин по
формуле (10.19):
ra1 = aω − 0,5mz 2 + (1 − x 2 )m , ra2 = aω − 0,5mz1 + (1 − x1 )m .
Радиусы окружностей впадин равны:
r f1 = 0,5mz1 − (1,25 − x1 )m , r f 2 = 0,5mz 2 − (1,25 − x 2 )m .
Контроль построений – следующий: между окружностью вершин
одного зуба и окружностью впадин другого зуба должен быть радиальный зазор, равный 0,25m.
n
O1
rω1
rв1
rf 1
r1
ra1
A
a
P
b rf 2
aω
rв2
r2
rω2
αω
B
ra2
O2
Рис. 10.10. Картина внешнего
эвольвентного зацепления
226
n
Точки а и b пересечения окружностей вершин зубьев с линией зацепления AB определяют активную линию зацепления, т.е. ту часть
линии зацепления, по которой при выбранных размерах зубьев перемещается точка контакта профилей зубьев. Активный (рабочий) участок профиля зуба колеса 1 (на рис. 10.10 отмечен двойной линией со
штриховкой) располагается от вершины зуба до точки пересечения
профиля с окружностью, проведенной из центра О1 через точку а.
Соответственно для колеса 2 надо провести окружность из центра O2
через точку b.
Переходные (нерабочие) участки профиля скругляются у окружности впадин радиусом rf = 0,38m ≈ 0,4m. Причем, если радиус основной окружности больше радиуса окружности впадин на величину,
превышающую 0,4m, то дополнительно вводится участок, очерченный по радиусу к центру колеса. После построения одной пары профилей строятся симметричные профили каждого зуба с учетом, что
толщина зуба по делительной окружности S = (0,5π + 2 xtgα )m .
Для определения оси симметрии зуба колеса 1 проводится делительная окружность, радиус которой равен 0,5mz1, и от точки пересечения профиля зуба с этой окружностью откладывается дуга 0,5S.
Аналогично находится ось симметрии зуба колеса 2. Далее путем копирования строятся еще несколько зубьев, отстоящих на расстояниях,
равных угловым шагам: τ1 = 2π z1 и τ 2 = 2π z 2 .
В зависимости от заданных условий последовательность использования формул (10.16) – (10.20) может быть иной, чем указано при
построении картины зацеплений. Например, если задано межосевое
расстояние aω, числа зубьев z1, z2 и модуль m, то вначале по формуле (10.18) вычисляется угол зацепления αω, и затем по формуле (10.16) находится требуемая сумма коэффициентов смещения
(x1 + x2).
10.11. Проверка дополнительных условий при синтезе
эвольвентного зацепления
Из многих дополнительных условий синтеза (ограничений), которые можно проверить по картине зацеплений, рассмотрим три условия: отсутствие заострения зубьев, отсутствие интерференции зубьев
и обеспечение непрерывности взаимодействия зубьев. Заострение зуба получается, если точка T (см. рис. 10.10) пересечения двух сим227
метричных профилей располагается вблизи окружности вершин зубьев, и толщина зуба по этой окружности получается менее некоторой
величины, например (0,1÷0,15)m, в то время как техническими условиями допускается, чтобы Sa ≥ 0,3m÷4m. Для устранения заострения
зуба можно уменьшить радиус окружности вершин или изменить величины коэффициентов смещения.
Интерференцией (наложением) зубьев называется явление, состоящее в том, что профиль головки зуба одного из колес может пересекать (накладываться) или касаться профиля ножки зуба второго
колеса за пределами нормально использованного участка линии зацепления (за пределами теоретической линии зацепления AB). Для
внешнего эвольвентного зацепления условие отсутствия интерференции состоит в том, что взаимодействие зубьев должно происходить
только на участке AB, где обеспечивается касание зубьев. Иными
словами, чтобы не было интерференции (заклинивания), необходимо
выполнение условия: ra1 ≤ O1 B ; ra2 ≤ O2 A .
Для плавной и безударной работы зубчатой передачи должно
быть выполнено условие непрерывности смены пар зубчатых профилей, т.е. вторая пара зубчатых профилей должна начать зацепление
раньше, чем первая пара выйдет из зацепления. Отношение пути,
пройденного точкой контакта профилей зубьев по активной линии
зацепления (ab), к шагу по основной окружности pb, измеренному по
нормали, называется коэффициентом перекрытия:
εα =
(ab )
pb
=
(ab )
πm cos α
.
Условие непрерывности взаимодействия зубьев выражается ограничением εα > 1.
Отрезок ab может быть вычислен из условия:
ab = ap + pb = (aB − BP ) + (bA − AP ) = aB + bA − (BP + PA) ;
∆aBO2 : aB = ra22 − rb22 ; ∆bAO1 : bA = ra21 − rb21 ;
∆PBO2 : BP = PO2 sin α ω ; ∆PAO1 : PA = PO1 sin α ω .
Тогда
BP + PA = (PO2 + PO1 ) sin α ω = a ω sin α ω ,
откуда
εα =
ra22 − rb22 + ra21 − rb21 − a ω sin α ω
πm cos α
228
.
(10.21)
10.12. Особенности внутреннего зацепления
На рис. 10.11 показано расположение основных окружностей при
внутреннем зацеплении.
n
αω
b
P
n′ Э
2
a
Э1
A
B
n′
n
O1
O2
Рис. 10.11. Внутреннее эвольвентное зацепление
Касание эвольвент Э1 и Э2 может быть только на продолжении
линии BA левее точки A. В этом случае весь участок головки зуба колеса 2 получается рабочим. На участке AB эвольвенты пересекаются
(чего не должно быть), так как нормаль к эвольвенте Э1 направлена
по касательной n′–n′, не совпадающей с нормалью n–n к эвольвенте Э2.
Интерференция зубьев на участке AB аналогична интерференции
при внешнем зацеплении, т.е. головка зуба одного колеса накладывается на переходный профиль зуба другого колеса. При малой разности между числами зубьев может быть еще второй вид интерференции, когда накладываются профили зубьев у их вершин (головка зуба
малого колеса вдавливается в головку зуба большего колеса).
10.13. Подрезание зубьев
При малых числах зубьев обрабатываемого колеса может быть
интерференция зубьев инструмента и обрабатываемого колеса. В
229
этом случае режущие кромки инструмента срежут часть обрабатываемого зуба, на которую накладывается зуб инструмента. Если интерференция происходит между головкой инструмента и ножкой обрабатываемого зуба, то она называется подрезанием. Значительное
подрезание ослабляет ножку зуба и потому является недопустимым,
небольшое подрезание полезно для улучшения условий контакта
зубьев в начале (или в конце) зацепления. При анализе внешнего зацепления было показано, что интерференция происходит тогда, когда
активная линия зацепления (ab) выходит за пределы теоретической
линии зацепления. При реечном зацеплении, как и при внутреннем,
эта линия ограничена только точкой А (рис. 10.12).
α
P
T
O
a A
α
0,5mz
ha*m
xm
n
n
Рис. 10.12. Схема для определения
подрезания зубьев
Предельный случай, когда подрезания нет, характеризуется прохождением через эту точку прямой, ограничивающей прямолинейную
часть производящего контура, т.е. совпадением точек А и а. Тогда из
треугольника ATO имеем:
OT = OP − PT = 0,5mz − ha* m − xm ;
OT = OA cos α , но OA = 0,5mz cos α .
Тогда
0,5mz + xm − h * m = 0,5mz cos 2 α ,
откуда
x = ha* − 0,5 z 1 − cos 2 α .
(10.22)
(
)
(
)
Наименьшее число зубьев колеса, которое можно нарезать без
подрезания, получается при x = 0, т.е. ha* − 0,5 z sin 2 α = 0 , или
z min =
230
2ha*
sin 2 α
.
(10.23)
При ha* = 1 и α = 200 zmin = 17; при ha* = 0,8 и α = 200 zmin = 14.
Следовательно, применяя рейку с укороченными зубьями ( ha* = 0,8 ),
можно нарезать без подрезания колеса с меньшим числом зубьев.
Из формулы (10.23) sin 2 α = 2ha2 z min .
Подставим последнее выражение в формулу (10.22):
x=
ha*
zha*
⎛
⎛z − z⎞
z ⎞
⎟⎟ = ha* ⎜⎜ min
⎟⎟ .
−
= ha* ⎜⎜1 −
z min
z min ⎠
⎝
⎝ z min ⎠
(10.24)
Пользуясь формулой (10.24), можно определить, при каком минимальном значении коэффициента сдвига можно нарезать без подреза колесо с числом зубьев z, меньшим zmin. При ha* = 1 , α =20°
и zmin = 17
x≈
17 − z
.
17
(10.25)
Чем меньше число зубьев нарезаемого колеса, тем больше возможность того, что прямая головки рейки пересечет линию n–n вне
предельной линии зацепления (за точкой А). Следовательно, если
число зубьев обрабатываемого колеса меньше 17, то при нарезании
зубьев реечным инструментом с углом α0 = 200 и ha* = 1 надо применять положительное смещение, определяя его величину по формуле (10.25). С увеличением угла профиля α минимальное число зубьев
колес, нарезаемых без смещения (x = 0), уменьшается. Так же влияет
уменьшение коэффициента головки зуба рейки ha* .
10.14. Блокирующий контур
Все дополнительные ограничения, которым надо удовлетворить
при синтезе зубчатых зацеплений (отсутствие подрезания и заострения зуба, обеспечение минимального значения коэффициента перекрытия, равнопрочность зубьев, отсутствие интерференции и т.п.) в
той или иной мере зависят от коэффициентов смещения. Для выбора
последних составляются справочные карты в виде графиков зависимости между коэффициентами x1 и x2 при заданной величине какого231
либо качественного показателя зацепления (коэффициента перекрытия, отсутствия интерференции и т.п.). Каждый график рассчитывается для определенного сочетания чисел зубьев z1 и z2.
Совокупность графиков, построенных по граничным (предельным)
значениям показателей зацепления, выделяет на плоскости коэффициентов смещений x1 и x2 область их допустимых значений. Контур, выделяющий эту область, называется блокирующим контуром.
10.15. Синтез планетарных механизмов
Планетарным механизмом называется механизм, составленный из
зубчатых колес и вращающихся звеньев, на которых располагаются
подвижные оси зубчатых колес. Звено, на котором располагаются эти
оси, называется водилом, а колеса с подвижными осями вращения –
планетарными колесами, или сателлитами. Колеса с неподвижными
осями вращения называются солнечными или центральными; неподвижное колесо – опорным.
10.15.1. Выбор схемы планетарной передачи.
Коэффициент полезного действия планетарного
механизма
Одно и то же заданное передаточное отношение можно получить,
применяя разные по схеме механизмы, которые в некоторых случаях
могут сильно различаться весом, габаритами, по КПД и другим дополнительным условиям синтеза. В общем случае выбор схемы может быть выполнен только путем детального сравнения различных
вариантов. Однако некоторые общие рекомендации по выбору схемы
планетарной передачи могут быть показаны на примере четырех простейших схем.
Редуктор Джемса (рис. 10.13, а). Механизмы типа редуктора
Джемса, имеющие один сателлит, при ведущем колесе 1 и ведомом
водиле Н имеют достаточно высокий КПД, а возможность установки
нескольких сателлитов уменьшает нагрузки на зубья и приводит к
уменьшению габаритов передачи по сравнению с обычной передачей,
имеющей только неподвижные оси вращения колес. Поэтому их широко применяют в качестве силовых редукторов.
232
От других планетарных механизмов они выгодно отличаются своей компактностью и относительно малыми габаритами, так как весь
механизм монтируется внутри корончатого колеса 3. Их также используют в электродвигателях со встроенными редукторами, что позволило широко применять в современной технике высокооборотные электродвигатели (приводы управления в самолетах, в установках дистанционного управления и т.д.). Практический диапазон передаточных
отношений U1H = 2,29…10.
Редуктор Давида с внешним зацеплением (рис. 10.13, б). Несмотря на возможность получения очень малых (или очень больших) передаточных отношений, данные редукторы применяются только в
маломощных передачах. Обычно ведущим звеном является водило, а
передаточное отношение UH1 выбирается в пределах от 30 до 100 (в
редких случаях до 1500).
Редуктор Давида с внутренним зацеплением (рис. 10.13, в). Более
компактный редуктор имеет несколько больший КПД по сравнению с
предыдущей схемой, используется в механизмах управления самолетами, в механизме подачи буровой и в других машинах. Ведущее звено – водило Н, ведомое – колесо 1. Редуктор приведенного типа может осуществлять очень большие передаточные отношения, но при
этом КПД передачи оказывается низким. Передаточное отношение
UH1 = 30...1500 (10 000).
Планетарный механизм с одним внешним и одним внутренним
зацеплениями (рис. 10.13, г). КПД этих передач достаточно высок, а
передаточное отношение U1H = 2...15.
Планетарные передачи применяются:
1) для получения больших передаточных отношений в силовых
передачах при меньших габаритах и весе по сравнению со ступенчатыми редукторами, что особенно важно в авиации, для космических
целей, в горном деле и других областях.
Значительное уменьшение габаритов и веса достигается тем, что
планетарные редукторы выполняются с несколькими сателлитами,
что уменьшает нагрузку на каждую пару зубьев и позволяет применять колеса с меньшим модулем. Так как сателлиты планетарных передач одновременно входят в зацепление с двумя колесами и имеют
подвижную ось, то изготовление и сборка таких передач требуют
сравнительно большей точности и соответственно больших затрат,
чем для ступенчатых;
2) для получения очень больших передаточных отношений в несиловых передачах. Проектирование планетарных передач начинает233
ся с выбора схемы, при этом очень важно выбрать оптимальную схему механизма, так как для одной и той же цели одно и то же заданное
передаточное отношение можно обеспечить различными схемами
механизмов, которые будут резко различаться по КПД, габаритам,
весу.
3
2
2′
2
3
H
H
1
1
а
б
2′
2 2′
3
2
2′
3
H
1
H
1
в
г
Рис. 10.13. Основные схемы планетарных механизмов
Как известно, КПД планетарных передач резко уменьшается с
ростом передаточного отношения (рис. 10.14). Для получения механизма с повышенным КПД иногда целесообразно соединять планетарную передачу с непланетарной; для осуществления больших пере234
даточных отношений следует последовательно соединять несколько
планетарных передач. Использование внутреннего зацепления в планетарных механизмах позволяет уменьшить их габариты и вес.
η
0,8
0,6
0,4
0,2
0
200
400 600 800
1000
U
Рис. 10.14. Зависимость КПД от передаточного
отношения в планетарных механизмах
Поэтому правильный выбор схемы при проектировании планетарных зубчатых механизмов имеет гораздо большее значение, чем
при проектировании простых передач, причем этот выбор следует начинать с простейших механизмов, учитывая их особенности. После
выбора схемы механизма определяют число зубьев колес, для того
чтобы обеспечить заданное передаточное отношение (с допустимой
точностью) и следующие условия: соосности, соседства (размещение
нескольких сателлитов), сборки и отсутствия заклинивания колес
передачи (условие правильного зацепления).
КПД планетарного механизма. Если ведущим звеном является
колесо 1, то
(H )
(H ) 1 − η
при U1H > 1 и U1H < 0;
η1H = η +
U1H
U 1H − 1 + η (H )
при 0 < U1H < 1.
η1H =
η (H ) U 1H
При ведущем водиле
U 1H
η H1 = η (H )
(H ) при U1H > 1 и U1H < 0;
U 1H − 1 + η
235
U 1H
η H1 =
где η(H)
ле H):
при 0 < U1H < 1,
U 1H η (H ) + 1 − η (H )
– КПД в обращенном механизме (при остановленном води-
η(H) = η1 η2 ...,
где η1, η2 – КПД 1-й, 2-й … ступеней, из которых состоит планетарный механизм.
10.15.2. Аналитические методы определения передаточных
отношений планетарного механизма (кинематика
планетарных механизмов)
Аналитическое определение передаточных отношений планетарного механизма (рис. 10.15) может быть выполнено на основе метода
обращения движения (метода Виллиса).
2
ω2
2′
− ωH
ω1
1
3
ωH
Рис. 10.15. Схема планетарного механизма
для определения передаточного отношения
Сообщим всем звеньям механизма угловую скорость, равную по
величине и противоположную по направлению угловой скорости водила ωH. Тогда водило становится неподвижным, и механизм из планетарного превращается в так называемый обращённый механизм,
состоящий из двух последовательно соединенных пар зубчатых колес
1-2 и 2'-3 с неподвижными осями вращения. Для него передаточное
отношение от колеса 1 к колесу 3, выраженное через числа зубьев,
находится как для обычных зубчатых передач с неподвижными осями
вращения колёс:
ω1 ω2/ ⎛ z 2 ⎞⎛ z3 ⎞ z 2 z3
(H )
= ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ =
. (10.26)
U 13 = U IU II =
ω2 ω3 ⎜⎝ z1 ⎟⎠⎜⎝ z 2/ ⎟⎠ z1 z 2/
236
С другой стороны, то же передаточное отношение есть отношение
угловых скоростей в обращенном движении:
(H )
U 13
ω1/ ω1 − ω H
= / =
.
ω3 ω3 − ω H
(10.27)
Принимая во внимание, что ω3 = 0, из соотношения (10.27) находят передаточное отношение планетарной передачи:
U 1(H3) = 1 − U 13( H ) .
(10.28)
Эта формула справедлива для всех планетарных передач при условии, что колесо 3 – опорное (неподвижное). Для механизма
(см. рис. 10.15) передаточное отношение U1(H3 ) , выраженное через числа зубьев, получается после подстановки в формулу (10.28) значения U1(H3) из формулы (10.26):
(3 )
U 1H
z 2 z3 z1 z 2/ − z 2 z3
= 1−
=
.
/
/
z1 z 2
z1 z 2
10.15.3. Геометрический синтез планетарных передач
При проектировании планетарного редуктора с заданным передаточным отношением U необходимо соблюдать условия соосности,
соседства и сборки.
Условие соосности. Оно заключается в том, что оси солнечного колеса, водила и опорного колеса (см. рис. 10.13, б) должны лежать на одной линии, т.е. должны быть равны межцентровые расстояния:
но
для
нулевых
колёс
a12 = 0,5m( z1 + z 2 ) ,
а
a12 = a 2/3 ,
(
)
a 2 /3 = 0,5m z 2 / + z 3 , откуда z1 + z 2 = z 2/ + z3 . Последнее равенство вы-
ражает условие соосности планетарного механизма, составленного из
нулевых колёс. Для механизма (см. рис. 10.13, а) условие соосности
имеет вид: z1 + z 2 = z 3 − z 2 , или z1 + 2 z 2 = z 3 .
Выбор числа сателлитов из условия соседства. Это условие устанавливает возможность размещения сателлитов в одной плоскости и
237
выполняется, если диаметр окружности вершин зубьев сателлита
меньше расстояния между осями соседних сателлитов (рис. 10.16):
π
2ra < AC , или 2ra < 2 R sin ,
(10.29)
k
где R – радиус окружности, на которой располагаются центры сателлитов; k – число сателлитов.
Например, для однорядной планетарной передачи (см.
рис. 10.13, а) при колесах без смещения (нулевое зацепление) подстановкой формул (10.18) и (10.19) в (10.20) определяется
2ra = m( z 2 + 2) . Радиус R представляет собой межцентровое расстоя1
ние a12, тогда R = m( z1 + z 2 ) , т.е. 2 R = m( z1 + z 2 ) .
2
Откуда условие соседства имеет вид
π
π z +2
m( z 2 + 2) < m( z1 + z 2 ) sin или sin > 2
. (10.30)
k
k z1 + z 2
A
B
2π
k
C
R
O
Рис. 10.16. Условие соседства сателлитов
Выбор числа сателлитов из условия сборки (собираемости) или
условия равных углов между сателлитами. Сателлиты должны располагаться равномерно, т.е. угол между двумя соседними сателлитами принимается постоянным. В этом случае первый установленный
сателлит при сборке передачи полностью определяет взаимное расположение центральных колес, и остальные сателлиты могут быть
введены в зацепление только при выполнении определенного соот238
ношения между числами зубьев. Вывод этого соотношения показывается на примере однорядной планетарной передачи. Принимается,
что сателлит имеет четное число зубьев, ось симметрии какой-либо
впадины центрального колеса 1 располагается на линии О-I, проходящей через ось симметрии впадины неподвижного колеса 3
(рис. 10.17). При таком расположении впадин можно установить первый сателлит.
(3)
I ϕ H II
3
1
ϕ1
O
Рис. 10.17. Условие сборки
После поворота колеса 1 на угол φ1, равный угловому шагу:
2π
,
(10.31)
z1
ось симметрии впадины колеса 1 вновь расположится на линии О-I, и
тогда можно устанавливать второй сателлит. Угол между осями первого и второго сателлитов, т.е. угол между осями О-I и О-II, равен
углу поворота водила: ϕ (H3) = ϕ1U H(31) , или
ϕ1 =
ϕ (H3) =
2π
.
z1U 1(H3)
(10.32)
Если считать, что сателлиты располагаются в параллельных плоскостях, то можно не принимать во внимание условие соседства. Тогда
максимальное число сателлитов: k max = 2π ϕ (H3) , или с учетом (10.32):
k max = z1U 1(H3) .
239
Подставляя значение U 1(H3) = ( z1 + z 3 ) z1 для однородной планетарной передачи, получаем
(10.33)
k max = z1 + z 3 .
Если колесо 1 поворачивать не на один зуб, а на число зубьев Ε,
то число устанавливаемых сателлитов уменьшается:
k=
( z1 + z 2 )
,
(10.34)
Ε
где Ε – любой множитель максимального числа сателлитов.
Условие (10.34) носит название условия сборки, которое действительно и для случая, когда число зубьев сателлитов нечетное. Для передач с двойными сателлитами (см. рис. 10.15) в формуле (10.33) kmax
принимается по условию
z1 z 2/ − z 2 z 3
k max =
,
(10.34)
n
где n – общий наибольший делитель чисел z2 и z2/ .
Число устанавливаемых сателлитов определяется по формуле
(
)
k=
k max
,
Ε
(10.35)
где Е – любой множитель числа kmax.
Выбор чисел зубьев в планетарных передачах. Основным условием синтеза планетарной передачи является воспроизведение заданного передаточного отношения. В качестве примера рассмотрим однорядную планетарную передачу (см. рис. 10.13, а), для которой передаточное отношение зависит только от чисел зубьев центральных колес: U 1(H3) = 1 − z 3 z1 .
Определение чисел зубьев планетарной передачи рекомендуется
вести в следующем порядке:
1) задание наименьшего рекомендуемого числа зубьев z1 (обычно
z1 ≥ 17) и определение z3 по формуле z3 = z1 U 1(H3) − 1 , где U1H предполагается заданным. Если полученное значение z3 окажется не целым,
то округляется до ближайшего целого, причем для отсутствия подрезания зубьев необходимо иметь z3 > 60;
2) нахождение z2 из условия соосности z 2 = ( z 3 − z1 ) 2 . Если полученное значение z2 окажется не целым, то определение z3 и z2 следует повторить, увеличив z1 на единицу;
(
240
)
3) определение наибольшего возможного числа сателлитов, которое должно одновременно удовлетворять условиям сборки:
z1 + z 3 = kΕ
π z +2
,
и соседства:
sin > 2
k z1 + z 2
где k – число сателлитов; Ε – целое число.
Для планетарной передачи с двухрядным расположением сателлитов (см. рис. 10.13, г) передаточное отношение выражается формулой
z z
U 1(H3) = 1 + 2 3/ .
(10.37)
z1 z 2
Для данной передачи следует брать z 2 > z 2/ , так как в этом случае
её габариты будут меньше, чем габариты передачи по схеме на
рис. 10.13, а для одного и того же значения U1(H3) (предполагается, что
модули колес в обеих передачах одинаковые).
Подбор чисел зубьев для передачи (см. рис. 10.13, г) можно вести
в такой последовательности:
1) задание чисел зубьев z1 и z3 (рекомендуется выбирать z1 не
меньше 16, а z3 выбирается из габаритных условий);
2) определение z2 и z2/ с использованием соотношения (10.37):
z1 + z 2 = z 3 − z 2/ .
(10.38)
Уравнение (10.38) выражает условие соосности при условии равенства модулей колес z2 и z2/ . После преобразования:
z2
z 2/
=
z1 (U 1H − 1)
;
z3
откуда
z2 =
z 2/ = z 3 − z 2 − z1 ,
z1 ( z 3 − z1 )(U 1H − 1)
.
z 3 + z1 (U 1H − 1)
Величина U1H задается, a z1 и z3 предполагаются известными;
3) определение z 2/ из соотношения z 2/ = z3 − z 2 − z1 . Если окажется,
что z 2 ≤ z 2/ , то следует изменить z1 и z3 таким образом, чтобы полу241
чить z 2 > z 2/ . Если найденное значение z2 окажется не целым, то необходимо его округлить до целого значения, соблюдая при этом условия (10.37) и (10.38). В случае невыполнения этих условий нужно повторить весь расчет, изменив на единицу взятые числа z1 и z3 или одно из них; при этом z1 изменяют в сторону увеличения.
После определения чисел зубьев находится наибольшее возможное число блоков сателлитов k. При этом необходимо руководствоваться условиями соседства каждого ряда сателлитов:
π z 2/ + 2
.
sin >
k z 3 − z 2/
π z +2
,
sin > 2
k z1 + z 2
В результате использования этих формул следует принять большее, получившееся целым значение k, одновременно удовлетворяющее каждому ряду. Если при монтаже передачи в каждом блоке сателлитов возможно смещение (поворот) колеса z2/ по отношению к
колесу z2, то условия сборки можно не учитывать [1].
10.16. Дифференциальные механизмы.
Кинематика и область применения
Из любого планетарного механизма можно получить дифференциальный, если раскрепить неподвижное или опорное колесо (рис. 10.18).
2
2′
ω2
ω1
H
1
3
ω3
− ωH
ωH
Рис. 10.18. Схема дифференциального механизма
Дифференциальные механизмы имеют две и более степени подвижности:
W = 3n − 2 p 5 − p 4 = 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 4 − 2 = 2 .
242
Для определения передаточного отношения дифференциального
механизма пользуются методом обращения движения (методом Виллиса). Всей системе дается дополнительное вращение с общей угловой скоростью (–ωH), тогда звенья механизма будут иметь следующие
угловые скорости:
первое звено: ω1( H ) = ω1 − ω H ;
второе звено: ω (2H ) = ω 2 − ω H ;
третье звено: ω 3( H ) = ω 3 − ω H ;
водило: ω H − ω H = 0 .
Следовательно, после сообщения звеньям механизма дополнительного вращения с угловой скоростью (–ωH) водило H будет неподвижным, и дифференциальный механизм превратится в обыкновенный зубчатый механизм с неподвижными осями. Передаточное отношение полученного (обращенного) механизма равно:
ω1( H )
ω − ωH
U 13 = ( H ) = 1
.
ω3 − ω H
ω3
(H )
(10.39)
Выражение (10.39) представляет собой формулу Виллиса для
дифференциальных механизмов. Эту формулу можно использовать
для дифференциала с любым числом колес до k:
ω1( H )
ω − ωH
U 1k = ( H ) = 1
.
ωk − ω H
ωk
(H )
(10.40)
С другой стороны,
⎛ z ⎞⎛ z ⎞
U 13H = ⎜⎜ − 2 ⎟⎟⎜⎜ − 3/ ⎟⎟ .
⎝ z1 ⎠⎝ z 2 ⎠
Тогда
ω1 − ω H z 2 z 3
=
.
(10.41)
ω 3 − ω H z1 z z/
Дифференциальные передачи применяются:
1) для привода одного рабочего органа от двух двигателей (например, в механизмах управления самолетом для большей гарантии
ведомое звено (рули) приводится в движение двумя двигателями, так
что при выходе из строя одного из приводов управление самолетом
не нарушается);
243
2) для привода двух рабочих органов с независимыми скоростями
от одного двигателя (например, в автомобиле вращение от двигателя
передается на два ведущих колеса);
3) в счетных и астрономических приборах.
10.17. Замкнутые дифференциальные механизмы
Дифференциальный механизм, у которого ведущие звенья связаны дополнительной зубчатой передачей, называется замкнутым дифференциальным механизмом. Эта передача (4–5–5') (на рис. 10.19
обозначена пунктиром) накладывает дополнительное условие связи, и
дифференциальный механизм превращается в сложный планетарный
механизм с одной степенью подвижности:
W = 3n – 2р5 – p4 = 3·5 – 2·5 – 4 = 1.
Для такого механизма сначала составляется уравнение кинематики для основного дифференциального механизма. Дополнительная
связь (дополнительная зубчатая передача) при этом не принимается
во внимание. Затем составляется уравнение кинематики только для
дополнительной связи. Система этих уравнений позволяет решать
любые задачи по кинематике для таких механизмов.
2
2′
4
1
3
5′
5
Рис. 10.19. Схема замкнутого дифференциального механизма
Для основного дифференциального механизма
ω − ω H ⎛ z 3 ⎞⎛ z 2 ⎞ z 3 z 2
= ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ =
U 13( H ) = 1
= a,
ω3 − ω H ⎜⎝ z 2/ ⎟⎠⎜⎝ z1 ⎟⎠ z 2/ z1
ω1 − ω H
т.е.
= a.
ω3 − ω H
244
(10.42)
В уравнении (10.42) ω1, ω3, ωH неизвестны, но ωH = ω4. Для дополнительной зубчатой передачи 4-5-5/
ω3 ω3 ⎛ z 4 ⎞⎛ z 5/ ⎞ z 4 z 5/
= ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ =
U 34 =
=
= b,
ω 4 ω H ⎜⎝ z 5 ⎟⎠⎜⎝ z 3 ⎟⎠ z 5 z 3
ω3
= b.
(10.43)
т.е.
ωH
Из формулы (10.43) ω 3 = bω H .
Подстановка в (10.42) дает:
ω1 − ω H
(ω1 ω H ) − 1
= a;
= a,
b −1
bω H − ω H
U 1H − 1
или
= a,
b −1
откуда
U 1H = a(b − 1) + 1 .
(10.44)
Замкнутые дифференциальные механизмы применяются в современных грузоподъемных, транспортных и других машинах.
245
11. СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ
Кулачковым называется механизм, в состав которого входит кулачок – звено с элементом высшей пары, выполненным в виде поверхности переменной кривизны. Выходное звено кулачковых механизмов, как правило, совершает возвратное движение. Прямолинейно-движущееся выходное звено кулачкового механизма называется
толкателем, а вращающееся (качающееся) – коромыслом. Для уменьшение трения о поверхность кулачка выходное звено часто снабжается роликом.
К достоинствам кулачковых механизмов относятся простота устройства и возможность получения любого заранее заданного закона
движения ведомого звена, в том числе движения с остановками толкателя заданной продолжительности. Недостатки состоят в наличии
высшей пары и, как следствие, больших удельных давлениях, это влечет за собой увеличение износа от сил трения и уменьшение КПД; в
трудности изготовления сложного профиля кулачка.
Применяются кулачковые механизмы в клапанных распределительных устройствах двигателей внутреннего сгорания и компрессоров, в станках, машинах-автоматах.
11.1. Виды кулачковых механизмов
Существуют различные классификации кулачковых механизмов:
1. По характеру движения точек звеньев:
а) плоские,
б) пространственные.
Кулачковый механизм может быть плоским, если различные точки его звеньев движутся в параллельных плоскостях; у пространственных механизмов – в разных плоскостях. Пространственные кулачковые механизмы сложнее плоских, поэтому их используют только в
тех случаях, когда требуемое движение ведомого звена и компоновка
исполнительного механизма и распределительного вала таковы, что
механизм с плоским толкателем применить нельзя.
2. По характеру движения кулачка:
а) с вращающимся кулачком;
б) с поступательно движущимся кулачком: используется в механизмах с приводом от якоря соленоида, от штока гидро- или пневмоцилиндра.
246
3. По характеру движения толкателя:
а) с поступательно движущимся толкателем;
б) с качающимся (вращающимся) толкателем;
в) со сложным движением толкателя.
4. По характеру кинематического замыкания звеньев, образующих высшую пару:
а) с геометрическим замыканием;
б) с силовым замыканием.
В механизмах первой группы прямой и обратный ход толкателя
осуществляется профилем кулачка. В механизмах второй группы
контакт толкателя с кулачком обеспечивается, как правило, специальной пружиной или в исключительных случаях силами веса и
внешней нагрузкой на толкатель.
Преимуществом механизмов с силовым замыканием является то,
что углы давления следует выдерживать в допустимых пределах
только на интервале удаления толкателя. Приближение толкателя
происходит под действием пружины, и механизм, независимо от профиля кулачка, заклиниться не может. К недостаткам механизмов с
силовым замыканием кинематической цепи относятся: наличие пружины и, как следствие, большие реакции в парах и больший расход
энергии; возможность отрыва толкателя от кулачка.
Механизмы с геометрическим замыканием цепи не имеют пружины, и в этом их преимущество. Их недостатками являются: наличие зазора между роликом и одной стороной паза, необходимого для
вращения ролика; удар и реверс ролика при переходе с одного профиля паза на другой; сложность конструкции и большие габаритные
размеры механизма.
5. По конструкции толкателя:
а) с игольчатым толкателем;
б) с роликовым толкателем;
в) с плоским (тарельчатым) толкателем;
г) со сферическим (грибовидным) толкателем;
д) с толкателем сложной формы.
11.2. Этапы синтеза кулачковых механизмов
Первый этап синтеза состоит в определении основных размеров
механизма (минимальный радиус-вектор кулачка, длина коромысла и
247
прочее), а второй – в определении элемента высшей пары на кулачке
(профиль плоского кулачка) по заданной зависимости между перемещениями входного и выходного звеньев. Для машин-автоматов типична зависимость между перемещением толкателя S и углом поворота кулачка φ (рис. 11.1).
h
S
0
ϕn
ϕв.в.
ϕ0
ϕн.в.
ϕ
2π
Рис. 11.1. График перемещения толкателя
от угла поворота кулачка
В соответствии с видом графика S(φ) участок на угле φп называется фазой подъема (удаления), а на угле φ0 – фазой опускания (приближения), между ними могут быть фазы выстоя: верхнего φв.в.и нижнего φн.в..
11.3. Угол давления на ведомое звено кулачкового механизма
Основные размеры кулачкового механизма выбираются из условий выполнения заданных ограничений. Из последних в первую очередь надо отметить ограничение по углу давления. Определим, например, угол давления на ведомый толкатель 2 для механизма
(рис. 11.2), в котором центр ролика В движется по прямой, смещённой относительно центра вращения кулачка 1 на величину е. Это
смещение считается положительным, если направление скорости
толкателя при его подъёме составляет острый угол с направлением
скорости точки контакта на кулачке.
Перемещение толкателя S и угол поворота кулачка φ отсчитываются от положения начала фазы подъёма, т.е. от наинизшего положения центра ролика, находящегося на расстоянии R0 от центра О вращения кулачка. Это расстояние, называемое начальным радиусом,
совпадает с минимальным радиусом-вектором центрового профиля
кулачка, под которым понимается траектория движения центра ролика относительно кулачка.
248
Угол давления на ведомый толкатель равен углу между нормалью
n–n к центровому профилю (к профилю кулачка) и скоростью центра
ролика, величину которого можно найти из повёрнутого на 90° плана
скоростей, построенного по уравнению
r
r
r
VB2 = VB1 + VB2 B1 .
(11.1)
Полюс плана скоростей p совмещается с центром ролика, а точка b1 плана – с центром вращения кулачка. Так как V = rω, то масштабный коэффициент плана скоростей равен:
(11.2)
µV = µ l ω,
где µl – масштабный коэффициент длин; ω – угловая скорость кулачка.
F
ϕ
β
l
n
F 21
s' k
2
z
b2
B
P
s
r
β
n
1
R0
b1
0
ω
e
Рис. 11.2. Угол давления в кулачковом механизме
r
Из точки b1 проводится направление вектора VB2 B1 (в повёрнутом
плане скоростей параллельно нормали n–n) до пересечения с прове249
r
дённым из полюса p перпендикуляром к скорости толкателя VB2 . Поr
лученный отрезок pb2 является модулем скорости VB2 :
VB2 = ( pb2 )µV .
(11.3)
Подставляя в эту формулу масштабный коэффициент из формулы (11.2) и учитывая, что
dS dS dϕ dS
VB2 =
=
ω = S ′ω ,
=
dt dϕ dt dϕ
где S ′ = dS dϕ – аналог скорости толкателя,
получаем
( pb2 ) = S ′ µ l ,
( pb2 )µ l = S ′ ,
(11.4)
т.е. отрезок pb2 в масштабе схемы µl является аналогом скорости толкателя.
Из треугольника b1kb2 с учётом формулы (11.4) находим
tgβ =
S′ − e
S+
R02
−e
2
.
(11.5)
Для кулачкового механизма с центральным толкателем, т.е. для
механизма без смещения (e = 0), имеем
tgβ =
S′
.
S + R0
(11.6)
Для кулачково-коромыслового механизма угол давления можно
приближённо определять по формуле (11.5), если траектория центра
ролика мало отличается от прямой, проходящей на расстоянии e от
центра вращения кулачка.
11.4. Выбор допускаемого угла давления
Различают два основных случая выбора допускаемого угла давления в кулачковых механизмах:
1) требуется получить малые габариты механизма;
2) требуется получить высокий КПД.
250
Для получения малых габаритов надо уменьшать начальный радиус R0, но при этом согласно формуле (11.5) увеличивается угол
давления и возрастают реакции в кинематических парах. В этом случае (наименьшие габариты) можно принимать довольно большие значения допускаемого угла давления βдоп. = 45° ÷ 60° , которые, однако,
значительно меньше угла, соответствующего самоторможению.
Для получения достаточно высокого КПД при небольших габаритах β доп. ≈ 30° . Это значение угла давления, удовлетворяющее и первому и второму случаю, считается допустимым. В кулачковокоромысловом механизме потери на трение меньше, и соответственно можно допускать большие значения угла давления, обычно принимают β доп. = 45° [1, 5, 15].
11.5. Определение основных размеров кулачкового механизма
из условия ограничения угла давления
Допускаемый угол давления выбирают в широких пределах, поэтому определение основных размеров кулачкового механизма из условий ограничения угла давления часто выполняют посредством простейших графических построений. При силовом замыкании угол давления кулачка на толкатель учитывают только на фазе подъёма, так
как при опускании толкатель движется под действием замыкающей
силы и угол давления в этом случае роли не играет.
Для определения начального радиуса в кулачковом механизме с
центральным толкателем дифференцируется перемещение толкателя S по углу поворота кулачка φ и строится график зависимости аналога скорости толкателя S ′ = dS dϕ от перемещения S (рис. 11.3, а).
Оси этого графика располагаются в соответствии с повёрнутым
планом скоростей (см. рис. 11.2), т.е. ось S направляется вверх, значения S´ при вращении кулачка против хода часовой стрелки откладываются влево на фазе подъёма. Масштабные коэффициенты по координатным осям графика должны быть равны масштабному коэффициенту длин µl:
⎛ dS ⎞ µ dS dϕ
S i′ = ⎜ ⎟
,
Si = (Si ) µ S µ l ;
µ
ϕ
d
⎝ ⎠i
l
где (Si) – отрезок (мм), взятый с графика S = S(φ); µS – масштабный
коэффициент графика S = S(φ); µl – масштабный коэффициент диа251
dS dS
⎛ dS ⎞
=
(S ) ; ⎜ ⎟ = ( S i′ ) – отрезок (мм), взятый с графика
dϕ dϕ
⎝ dϕ ⎠ i
dS dS
dS dS
=
(ϕ) ; µ dS dϕ – масштабный коэффициент графика
=
(ϕ) .
dϕ dϕ
dϕ dϕ
граммы
b2
S'
βдо
п
ω
р
β
τ
ω
0
τ
τ
βдоп
S'
B0
R0
τ
S'
βдоп
R0
0
β
доп
β
доп
0
b1
ω
0'
τ
а
е
τ
е
б
τ'
τ
в
Рис. 11.3. Графическое определение минимального радиуса кулачка
Проводится касательная τ–τ к построенному графику под
углом βäîï . к оси S, тогда расстояние OB0 даёт искомое значение R0 в
принятом масштабе длин. Центр вращения кулачка выбирается в точке O, так как угол между осью S и прямой ob2 для любой точки графика S´(S) равен углу давления β, который меньше допускаемого βäîï . . Начальный радиус R0 можно уменьшить при том же значении βäîï . , если применить смещённый толкатель. Тогда центр вращения кулачка O находится на пересечении касательной τ–τ с линией,
проведённой под углом βäîï . к оси S через точку B0 (см. рис. 11.3, б).
Положение точки O определяет смещение e и начальный радиус R0.
При геометрическом замыкании (например, при пазовом кулачке)
выходное звено является ведомым как на фазе подъёма, так и на фазе
опускания. Поэтому график S´(S) строится для обеих фаз, и центр
вращения кулачка выбирается в заштрихованной области, определяемой пересечением касательных τ–τ и τ´–τ´ (см. рис. 11.3, в). Минимальное значение R0 при смещённом толкателе получается при расположении центра вращения кулачка в точке O, а при центральном –
в точке O´.
252
На рис. 11.4 показано определение положения центра вращения
кулачка O для кулачково-коромыслового механизма при геометрическом замыкании, при этом длина коромысла l считается известной.
Сначала находится аналог скорости центра ролика: так как S B = lψ ,
dS B
dψ
dψ
=l
= lψ ′ , где ψ ′ =
– аналог угловой скорости корото
dϕ
dϕ
dϕ
мысла.
Затем по зависимости ψ(φ) в пределах заданного угла размаха ψmax строятся несколько положений коромысла BC и откладываются от точки B вдоль этих положений значения lψ´, масштабный
коэффициент для lψ´ принимается равным масштабному коэффициенту длин µl.
о
90 - βдоп
о
90 - βдоп
ψmax
b2
р1
C
l
B
0'
0
о
Рис. 11.4. Определение центра вращения кулачка
для кулачково-коромыслового механизма
Вдоль коромысла BC и на его продолжении откладываются отрезки:
l
⎛ dψ ⎞
zi = ⎜
⎟ µ dψ dϕ 1 .
µl
⎝ dϕ ⎠ i
⎛ dψ ⎞
При µ dψ dϕ = µ l z i = l ⎜
⎟ = l (ψ ′i ) ,
ϕ
d
⎝
⎠i
dψ dψ
⎛ dψ ⎞
=
(ϕ) в соответствующем
где ⎜ ⎟ – отрезок с диаграммы
dϕ dϕ
⎝ dϕ ⎠ i
dψ dψ
=
(ϕ) .
положении i; µ d ψ d ϕ – масштаб диаграммы
dϕ dϕ
253
Значения lψ´ откладываются на фазе подъёма от точки B влево,
если кулачок и коромысло вращаются в противоположных направлениях, и от точки B вправо (к центру C), если вращение в одну сторону.
Указанные построения дают геометрическое место точек b2 повёрнутых планов скоростей. На основании свойств этих планов допускаемая зона для центра вращения кулачка O располагается между
огибающими прямыми, проведёнными из каждой точки b2 под углом
γ доп. = 90° − β доп. к отрезку pb2. Вследствие приближённости всех расчётов, связанных с допускаемым углом давления, практически эта зона располагается между прямыми, имеющими наинизшую точку пересечения O´ (заштрихованная область). Выбранное в допускаемой
зоне положение центра O определяет искомый начальный радиус и
расстояние между центрами вращения кулачка и коромысла.
11.6. Выбор закона движения выходного звена
кулачкового механизма
Кулачковые механизмы имеют преимущественное распространение в машинах-автоматах, где главным условием является выполнение заданной последовательности перемещений обрабатываемых изделий и инструментов. Это условие определяют обычно только фазовые углы поворота кулачка (см. рис. 11.1). Внутри же каждой фазы
подъёма и опускания зависимость перемещения выходного звена от
угла поворота кулачка или от времени может выбираться различной в
соответствии с дополнительными условиями. Из всех возможных законов движения (зависимость перемещения выходного звена от угла
поворота кулачка) конструктор должен выбрать такой оптимальный
закон, который обеспечит лучшие условия работы механизма. Чаще
всего оптимален будет закон с наименьшим значением максимального ускорения, так как снижение ускорения при прочих равных условиях приводит к уменьшению сил инерции, реакций в кинематических парах и расхода энергии при работе механизма. Кроме того,
уменьшение трения увеличивает срок службы механизма.
При проектировании кулачковых механизмов используют следующие типовые законы движения выходных звеньев:
1. Закон движения с постоянной скоростью (рис. 11.5, а).
254
S
S
S
S
Т
V
Т
t
V = S/T
t
V
V max = 2S/T
t
W
t
8
W
W = 4S/T
t
t
8
-
а
S
S
Т
V
Т
t
V
V max = 1.75S/T
W
б
S
S
W max = 4,93S/T
t
2
W
t
t
V max = 2S/T
W max = 6,28S/T
t
2
t
S
г
S
в
2
0,2Т
V
W
t
0,6Т
0,2Т
V max = 1,25S/T
t
Т
W max = 10S/T
2
t
д
Рис. 11.5. Законы движения выходных звеньев кулачковых механизмов
255
Простейшим законом движения является закон постоянной скорости (равномерное движение, при котором максимальная скорость
толкателя Vmax имеет наименьшее значение). Толкатель будет перемещаться на всём интервале движения с постоянной скоростью, а на
границах интервала движения скорость толкателя будет мгновенно
изменять своё значение, при этом ускорение теоретически неограниченно возрастает (Wmax → ∞). Практически за счёт упругости и деформации звеньев ускорения инерционные нагрузки, действующие
на толкатель, имеют конечную, но значительную величину. Поэтому
в начале и в конце движения происходят жёсткие удары, которые
крайне нежелательны, так как приводят к быстрому износу механизмов, вследствие чего не рекомендуется применять законы движения с
мгновенным изменением скорости (с точками излома на профиле кулачка); для быстроходных механизмов жёсткие удары вообще недопустимы.
2. Закон движения с постоянным ускорением (рис. 11.5, б).
Можно избежать жёстких ударов, используя закон постоянного
ускорения, при котором толкатель сначала движется равноускоренно
с ускорением W1, а потом равнозамедленно с ускорением W2. Однако
при переходе от равноускоренного к равнозамедленному движению
мгновенно изменяется направление ускорения, а следовательно, и силы инерции, что проявляется в виде удара и приводит к упругим колебаниям и увеличению динамических нагрузок. Однако эти удары
гораздо менее опасны и поэтому получили название мягких ударов. За
счёт упругости звеньев мгновенного изменения ускорения практически не произойдёт, вследствие чего мягкий удар ещё более ослабится.
На практике очень многие кулачковые механизмы работают при наличии мягких ударов.
3. Косинусоидальный закон движения (рис. 11.5, в).
Избежать мгновенного изменения ускорения по направлению
можно, применяя закон косинусоидального ускорения, при котором в
начале и в конце движения, если далее следует выстой, происходит
изменение ускорения по величине, что также даёт мягкий удар.
4. Синусоидальный закон движения (рис. 11.5, г).
Наконец, можно найти законы изменения ускорения, называемые
безударными, в которых нет скачков изменений скоростей и ускорений, поэтому движение происходит без ударов. Это такие как закон
движения с ускорением, изменяющимся по синусоиде, и один из законов движения, в котором зависимость перемещения от времени
представлена в виде степенного многочлена (например, для полинома
пятой степени Vmax = 1,88 S T , Wmax = 5,77 S T 2 ).
256
В быстроходных механизмах движение толкателя должно быть
безударным, в тихоходных допустимо движение с мягкими ударами
(особенно при геометрическом замыкании, где удар неизбежен при
переходе точки касания ролика с одного профиля на другой). Жёсткие удары вообще недопустимы, поэтому даже для заданного закона
движения с постоянной скоростью (например, в автомате продольного точения) на участках подвода и перебега инструмента лучше ввести переходные кривые, выполненные по закону безударного движения, например, синусоидальному.
По мере увеличения скорости кулачкового вала к законам движения предъявляются более жёсткие требования. Для уменьшения усилия пружины, нагрузок на звенья и расхода энергии стремятся выбрать закон движения с возможным максимальным ускорением, а для
уменьшения угла давления, реакций в кинематических парах, максимального момента на кулачке, неравномерности вращения кулачкового вала и кинетической энергии ведомых звеньев, которая большей
частью расходуется на трение, стараются уменьшить максимальную
скорость толкателя. Лучшие результаты достигаются при использовании трёхпериодных законов движения (рис. 11.5, д), т.е. вводятся
переходные участки профиля кулачка для обеспечения плавного разгона и торможения ведомых звеньев. На участках ускоренного и замедленного движения осуществляется синусоидальный закон, а на
среднем участке – движение с постоянной скоростью. Так, например,
при продолжительности разгона и торможения по 0,2Т максимальная
скорость уменьшается до 1, 25 S T , а максимальное ускорение будет
равно 10 S T 2 .
11.7. Определение профиля кулачка по заданному закону
движения ведомого звена (кинематический синтез
кулачковых механизмов)
При решении этой задачи считаются заданными: зависимость перемещения толкателя от угла поворота кулачка S = S(φ), смещение e,
начальный радиус R0 и радиус ролика r.
11.7.1. Кулачковый механизм с поступательно движущимся
толкателем
Различают два вида кулачковых механизмов – с центральным и
смещённым толкателем.
257
С центральным толкателем (e = 0). Предполагается, что кулачок вращается в направлении, противоположном вращению часовой
стрелки. Все построения ведутся в масштабе µS, в котором отложены
ординаты на графике S = S(φ). Через произвольную точку A0
(рис. 11.6), лежащую на продолжении оси абсцисс графика S = S(φ),
проводится вертикаль A0F – траектория точки A толкателя – и размечается в соответствии с диаграммой S = S(φ). Для этого через точки
a1, a2,… диаграммы S = S(φ) проводятся горизонтальные прямые до
пересечения в точках A1, A2, ... с прямой A0F. От точки A0 вниз откладывается отрезок A0O, изображающий в масштабе µS минимальный
радиус кулачка R0. Точка O – центр вращения кулачка. Применяется
метод обращения движения, для чего на прямой A0F выбирается произвольная точка B0, выделяется из плоскости отрезок OB0, и сообщается ему по отношению к неподвижной плоскости вращательное
движение вокруг точки O с угловой скоростью ω в сторону, противоположную вращению кулачка. При этом по отношению к этому отрезку сохраняются заданные движения кулачка и толкателя.
В результате сложения относительного поступательного движения толкателя вдоль отрезка OB0 и переносного вращательного движения вместе с отрезком OB0 кулачок будет представляться неподвижным, и, соответственно, получается относительное движение толкателя по отношению к кулачку, которое будет восприниматься как
абсолютное.
Для построения ряда последовательных положений точки A толкателя в обращённом движении поступают следующим образом:
а) строят окружность радиусом OB0;
б) откладывают от прямой OB0 в направлении, противоположном
вращению кулачка, заданные фазовые углы φn, φв.в., φ0, φн.в. и получают точки B4, B5, B9 пересечения сторон этих углов с окружностью радиусом OB0;
в) дуги B0B4 и B5B9, соответствующие углам φn, φ0, делят на части
в соответствии с делениями оси абсцисс диаграммы S = S(φ) (точки
B1, B2, B3, B6, B7, B8);
г) засекают радиусы OB1, OB2,.. дугами окружностей радиусами
OA1, OA2,.. в точках A1´, A2´ и т.д. Соединяя плавной кривой точки A0,
A1´, A2´,.., получают теоретический профиль кулачка. Участки теоретического профиля (дуги A4´A5´, A9´A0), соответствующие фазовым
углам φв.в, φн.в, описывают дугами окружностей радиусами OA4´ и
OA0.
258
F B0
−ω
B1
A4
A5
A
6
A3
A 2 A7
A 9'
С ϕ
A 3'
R0
ϕо
A 7'
ϕn
0
A 8'
B8
a2
A 1'
D
н.в.
ϕв.в.
ω
L
A 6'
B6
B3
K
A 4'
B7
a4 a5
a6
a7
a1
a8
a0
4 5 6 7 89 a9
B2 01 ϕ23
ϕо
n
A 2'
ϕв.в.
a3
A1 A8
A0 A9
B9
S2
B4
A 5'
B5
Рис. 11.6. Построение профиля кулачка с центральным толкателем
259
ϕ
Для получения практического профиля кулачка нужно построить
огибающую дуг радиусом r ролика, имеющих центры на теоретическом профиле. На участках KL и DC практический профиль описывают дугами радиусами (OA4´– r) и (OA0 – r).
Со смещённым толкателем (e ≠ 0). Все построения выполняются
в масштабе µS, и предполагается, что кулачок вращается в направлении, противоположном вращению часовой стрелки. Через произвольную точку A0 (рис. 11.7), лежащую на продолжении оси абсцисс диаграммы S = S(φ), проводится вертикаль A0F – траектория движения
точки A толкателя – и размечается в соответствии с диаграммой
S = S(φ), для чего через точки a1, a2,.. диаграммы S = S(φ) проводятся
горизонтальные прямые до пересечения с прямой A0 в точках A1, A2,..
Слева от прямой A0F на расстоянии эксцентриситета e проводится
прямая EO и засекается из точки A0 дугой A0O, равной (в масштабе µS) заданному радиусу R0 теоретического профиля кулачка. Точка O является центром вращения кулачка. При заданном вращении
кулачка против часовой стрелки эксцентриситет откладывается влево
от траектории точки A0, а при вращении кулачка по направлению
вращения часовой стрелки – вправо. Из точки O опускается перпендикуляр OD0 на прямую A0F.
Для построения профиля кулачка пользуются методом обращения движения, для чего кулачку и толкателю сообщают общую угловую скорость (– ω), равную и обратно направленную угловой скорости ω кулачка. Тогда кулачок будет представляться неподвижным.
Траектория абсолютного движения точки A толкателя (прямая D0B0) в
её обращённом движении всё время будет касаться окружности радиусом e в точках D1, D2, D3,..
Для построения последовательных положений (A1´, A2´,..) точки A
толкателя в обращённом движении поступают следующим образом:
а) строят окружность радиусом OB0;
б) откладывают от прямой OB0 в направлении, противоположном
вращению кулачка, заданные фазовые углы φn, φв.в., φ0, φн.в. и получают точки B4, B5, B9 пересечения сторон этих углов с окружностью радиусом OB0;
в) дуги B0B4 и B5B9, соответствующие углам φn, φ0, делят на части
в соответствии с делениями оси абсцисс диаграммы S = S(φ) (точки
B1, B2, B3, B6, B7, B8);
г) из точек B1, B2, . . проводят касательные к окружности радиусом e (B1D1, B2D2 и т.д.);
д) засекают касательные дугами окружностей радиусами OA1,
OA2,.. в точках A1´, A2´,..
Соединяя плавной кривой точки A0, A1´, A2´,…, получают теоретический профиль кулачка. Построение практического профиля кулачка производится так же, как и для механизма с центральным толкателем.
260
0
−ω
A4
A3
B9
A 8'
A 7'
B7
A5
A6
A2 A7
A1 A8
A0 A9
A 9'
B8
S2
ϕн.в.
a3
a2
B1
D 7 D8 D9 ϕn
D6
0 D0
ω
R0
D5
D1
D4 D2
D3
ϕо
ϕв.в.
a1
a0
A 1'
a4 a5 a6
B2
a8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a9 ϕ
ϕn ϕв.в. ϕо
A 2'
A 3'
B3
A 6'
B6
A 4'
A 5'
B5
Е
B4
е
Рис. 11.7. Построение кулачка со смещённым толкателем
261
a7
11.7.2. Кулачковый механизм с качающимся толкателем
(с коромыслом)
Построение профиля кулачка по заданному закону движения толкателя β = β(φ) или S = S(φ) производится после определения или выбора параметров данного механизма (рис. 11.8): минимального радиуса профиля кулачка R0, длины толкателя l, расстояния d между
центрами вращения толкателя и кулачка. Предполагается, что кулачок вращается против часовой стрелки. Все построения ведутся в
масштабе µS = lµβ, в котором отложены ординаты на диаграмме
S = S(φ). На произвольной прямой OF откладывается отрезок OB0,
изображающий расстояние d в масштабе µS. Из точек O и B0 соответственно дугами радиусами R0 и l засекают точку A0 – положение точки A толкателя, ближайшее к центру кулачка. Oт прямой B0A0 откладывается (по направлению вращения часовой стрелки) угол βmax, и засекается его сторона B0A4 в точке A4 дугой A0E радиусом l. Очевидно,
что дуга A0A4 является траекторией точки A, а её длина – ходом h толкателя. Далее размечается траектория движения точки A (точки A1,
A2,..) в соответствии с законом изменения ординат диаграммы
S = S(φ), для чего откладываются от точки A0 дуги, равные ординатам
этой диаграммы ( ∪ A0 A1 = 1a1 , ∪ A0 A2 = 2a2 и т.д.).
Метод разметки траектории точки A приводится в работе [12].
Для решения поставленной задачи пользуются методом обращения
движения механизма. В результате сложения движений кулачок будет представляться неподвижным, а точки A и B – перемещающимися
соответственно по профилю кулачка и окружности радиусом OB с
центром в точке O.
Для построения последовательных положений (A1´, A2´,..) точки A толкателя в обращённом движении поступают следующим образом:
а) строят окружность радиусом OB0;
б) откладывают от прямой OB0 в направлении, противоположном
вращению кулачка, заданные фазовые углы φn, φв.в., φ0, φн.в. и получают точки B4, B5, B9 пересечения сторон этих углов с окружностью радиусом OB0;
в) дуги B0B4 и B5B9, соответствующие углам φn, φ0, делят
на части в соответствии с делениями оси абсцисс диаграммы S = S(φ)
(точки B1, B2, B3, B6, B7, B8);
262
B9
−ω
S2
Е
B8
A4 A5
A3 A6
A2 A7
A1
A 9'
B7
βmax
A 7'
B6
B5
ω
0
ϕв.в.
a2
a1
a0
A 1'
A0 A9
ϕо
a3
A8
ϕн.в.
A 8'
B0
F
0
ϕn
A 3'
B2
A 4'
A 6'
B3
A 5'
B4
Рис. 11.8. Построение профиля кулачка с качающимся толкателем
263
a7
a8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a9
ϕn ϕв.в. ϕо
B1
A 2'
R
a4 a5 a6
ϕ
г) проводят из точек B1, B2,.. дуги радиусом l и засекают в точках
A1´, A2´,.. дугами радиусами OA1, OA2,.. Соединяя плавной кривой
точки A0, A1´, A2´,.., получают теоретический профиль кулачка. Построение практического профиля производится так же, как и для кулачка с поступательно движущимся толкателем.
11.8. Выбор радиуса ролика. Условие качения ролика
В кулачковых механизмах с роликовым толкателем от радиуса ролика зависят размер практического профиля кулачка, контактные напряжения и, следовательно, прочность и долговечность конструкции.
Выход звеньев из строя может произойти либо из-за больших контактных напряжений, либо как следствие абразивного износа при проскальзывании ролика относительно кулачка, которое происходит, в
случае если момент от сил трения в высшей паре относительно оси
ролика окажется меньше момента от сил инерции ролика. Для уменьшения износа и контактных напряжений радиус ролика rp следует выбирать как можно большим, но из конструктивных требований (требования наименьших габаритов) радиус ролика ограничивают и принимают равным:
r p ≤ 0,4 R0 .
(11.7)
В кинематических передачах геометрическим ограничением является отсутствие самопересечения практического профиля, когда радиус ролика ошибочно назначают больше, чем минимальный радиус
кривизны ρmin на каком-либо участке центрового профиля. Подобное
самопересечение профиля показано на рис. 11.9 для профиля 4 при
rp3 > ρmin. При rp2 = ρmin на конструктивном профиле имеет место теоретическое заострение профиля. При выполнении условия rp1 < ρmin
кривизна конструктивного (практического) профиля во всех точках
не достигает предельного значения. На практике принимают
r p ≤ 0,7ρ min ,
(11.8)
назначая конкретные значения в соответствии со стандартным
рядом диаметров и длин в машиностроении. При построении профиля кулачка принимают в качестве радиуса ролика меньшее из значений, вычисленных по равенствам (11.7) и (11.8).
264
После определения радиуса ролика производится проверка на отсутствие проскальзывания ролика относительно профиля кулачка.
Для предотвращения скольжения ролика по поверхности кулачка необходимо выполнить условие
Fсц < fF21 ,
(11.9)
где Fсц – величина силы сцепления, приводящая ролик в движение;
f – коэффициент трения скольжения ролика по кулачку; F21 – величина нормальной реакции на ролик со стороны кулачка.
rp
1
ρ min
1
rp
2
2
3
4
rp
3
Рис. 11.9. Определение радиуса ролика
Уравнение моментов сил, действующих на ролик (включая и момент пары сил инерции), имеет вид
Fсц r p − kF21 − f ц F21rц − J p ε p = 0 ,
(11.10)
где k – коэффициент трения качения ролика по кулачку; rц – радиус
цапфы ролика; fц – коэффициент трения цапфы ролика в подшипнике;
265
Jp – момент инерции ролика относительно его оси; εp – угловое ускорение ролика, которое считается положительным при ускоренном
движении и отрицательным – при замедленном.
С учётом уравнения (11.10) условие качения ролика (11.9) принимает следующий вид:
J pε p
k rц
+ fц +
< f.
rp rp
F21rp
(11.11)
Для тихоходных механизмов εp ≈ 0, и при малых значениях коэффициента трения качения k условие качения ролика упрощается:
rц
rp
r p > ry
fц < f ,
fy
f
.
(11.12)
Для быстроходных механизмов наибольшее значение в условии
качения (11.11) имеет слагаемое, зависящее от углового ускорения:
J pε p
rp F21
< f,
rp >
J pε p
fF21
.
(11.13)
При силовом замыкании это условие может быть обеспечено подбором пружины, которая должна не только устранять возможность
отрыва ролика от кулачка (сила пружины должна быть больше силы
инерции при выбеге), но и создавать достаточную силу нажатия во
фрикционной паре «ролик – кулачок».
266
ЛИТЕРАТУРА
1. Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин / И.И. Артоболевский. – М.: Наука, 1975. – 640 с.
2. Левитская, О.Н. Курс теории механизмов и машин / О.Н. Левитская, Н.И. Левитский. – М.: Высшая школа, 1975. – 270 с.
3. Артоболевский, И.И. Сборник задач по теории механизмов и
машин / И.И. Артоболевский, Б.В. Эдельштейн. – М.: Наука, 1975. –
256 с.
4. Кожевников, С.Н. Теория механизмов и машин / С.Н. Кожевников. – М.: Машиностроение, 1973. – 592 с.
5. Левитский, Н.И. Теория механизмов и машин / Н.И. Левитский. –
М.: Наука, 1979.– 576 с.
6. Юдин, В.А. Теория механизмов и машин / В.А. Юдин,
Л.В. Петрокас. – М.: Высшая школа, 1977. – 527 с.
7. Артоболевский, И.И. Теория механизмов / И.И. Артоболевский.
– М.: Наука, 1987. – 720 с.
8. Баранов, Г.Г. Курс теории механизмов и машин / Г.Г. Баранов.
– М.: Машиностроение, 1967. – 508 с.
9. Зиновьев, В.А. Курс теории механизмов и машин / В.А. Зиновьев. – М.: Физматиздат, 1974.
10. Кореняко, А.С. Теория механизмов и машин / А.С. Кореняко.
– Киев: Высшая школа, 1976. – 444 с.
11. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин /
под ред. проф. С.И. Артоболевского. – М.: Высшая школа, 1960. –
248 с.
12. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин /
под ред. А.С. Кореняко. – Киев: Высшая школа, 1970. – 332 с.
13. Левитская, О.Н. Курс теории механизмов и машин / О.Н. Левитская, Н.И. Левитский. – М.: Высшая школа, 1985. – 279 с.
14. Теория механизмов и машин / под ред. К.В. Фролова. – М.:
Высшая школа, 1987. – 496 с.
15. Теория плоских механизмов и машин / под ред. А.В. Желиговского. – М.: Высшая школа, 1961. – 336 с.
16. Юдин, В.А. Сборник задач по теории механизмов и машин /
В.А. Юдин, Г.А. Барсов, Ю.Н. Чупин; под ред. Л.В. Петрокаса. – М.:
Высшая школа, 1982. – 216 с.
17. Юденич, В.В. Лабораторные работы по теории механизмов и
машин / В.В. Юденич. – М.: Высшая школа, 1962. – 288 с.
267
Учебное издание
Корнеев Юрий Степанович
Корнеев Андрей Юрьевич
Кобцев Борис Георгиевич
ТЕОРИЯ
МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
Учебное пособие
Редактор Т.Д. Васильева
Технический редактор Н.А. Соловьева
Орловский государственный технический университет
Лицензия ИД № 00670 от 05.01.2000 г.
Подписано к печати 18.06. 2009 г. Формат 60х84 1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,2. Тираж 100 экз.
Заказ №____
Отпечатано с готового оригинал-макета
на полиграфической базе ОрелГТУ,
302030, г. Орел, ул. Московская, 65.
268