ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Филиал в г. Самаре КАФЕДРА ЭКОНОМИКОУПРАВЛЕЧЕСКИХ И ПРАВОВЫХ ДИСЦИПЛИН ЭКОНОМЕТРИКА Методические указания по выполнению и задания контрольной работы для студентов очной и заочной форм обучения специальности (060400) 080105 ‘‘Финансы и кредит’’ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Филиал в г.Самаре КАФЕДРА ЭКОНОМИКОУПРАВЛЕНЧЕСКИХ И ПРАВОВЫХ ДИСЦИПЛИН ЭКОНОМЕТРИКА Методические указания по выполнению и задания контрольной работы для студентов очной и заочной форм обучения специальности (060400) 080105 ‘‘Финансы и кредит’’ Самара 2007 ББК ? Э ? Эконометрика: методические указания по выполнению и задания контрольной работы для студентов очной и заочной форм обучения специальности (060400) 080105 ''Финансы и кредит'' / составитель Герасимова Е.А. – Самара: РГГУ, 2007. – 33 с. Данное издание содержит методические указания по выполнению и задания контрольной работы для студентов очной и заочной форм обучения специальности (060400) 080105 «Финансы и кредит» по разделам ‘‘Парная регрессия и корреляция’’ и ‘‘Динамические ряды’’. Составитель: кандидат экономических наук, доцент, заведующая кафедрой экономико-управленческих и правовых дисциплин филиала РГГУ в г. Самара Е.А. Герасимова Ответственный редактор: кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учёта ГОУ ВПО ‘‘Самарский государственный университет путей сообщения’’ Л.П.Синяева Рецензенты: Кандидат технических наук, профессор кафедры высшей математики ГОУ ВПО ‘‘Самарский государственный университет путей сообщения’’ В.А.Герасимов Кандидат экономических наук, доцент кафедры экономики и логистики на транспорте. ГОУ ВПО ‘‘Самарский государственный университет путей сообщения’’ Е.И.Плисова Методические указания и задания рекомендованы к публикации кафедрой экономико-управленческих и правовых дисциплин филиала РГГУ в г.Самаре 17.10.2007, протокол № 03 Герасимова Е.А., 2007 СОДЕРЖАНИЕ 1. Парная регрессия и корреляция….………………………………….….5 1.1. Методически указания по выполнению задания № 1 контрольной работы……………………………………………………………………………...5 1.2. Пример выполнения задания № 1 ……………………………………9 1.3. Задание № 1 ……………………………………….………………...14 2.Прогнозирование по рядам динамики ………………………………..16 2.1. Методически указания по выполнению заданий № 2-4 контрольной работы…………………………………………………………………………….16 2.2. Примеры выполнения заданий № 2-4 ……………………………...19 2.3. Задание № 2……………………………………………………….….27 2.4. Задание № 3…………………………………………………………..28 2.5. Задание № 4…………………………………………………………..30 Приложения …………………………………..…………………………..30 Список литературы ……..………………………………………………...32 1. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ 1.1. Методические указания контрольной работы по выполнению задания № 1 Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x: , где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор). Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия: . Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным: - полиномы разных степеней ; - равносторонняя гипербола . Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: - степенная ; - показательная ; - экспоненциальная Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонения фактически значений результативного признака y от теоретических минимальна, то есть . Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b: Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции rxy для линейной регрессии (-1 ≤ rxy ≤ 1): и индекс корреляции xy - для нелинейной регрессии (0 ≤ ) Оценку качества построенной модели дает коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических: Допустимый предел значений - не более 8 – 10 %. Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменяется результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1 % от своего среднего значения: Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, в таблице приведены формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии. Таблица 1 Коэффициенты эластичности для ряда математических функций Вид функции, Первая производная, Коэффициент эластичности, 2 3 y 1 Линейная b Парабола второго порядка Гипербола 1 2 3 Показательная Степенная Полулогарифмическая Логическая Обратная Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной: где - общая сумма квадратов отклонений; - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»); - остаточная сумма квадратов отклонений. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии y характеризует коэффициент (индекс) результативного признака детерминацииR2: Коэффициент детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента или индекса корреляции. F– тест – оценивает качество уравнения регрессии – состоит в проверке нулевой гипотезы H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического FФАКТ и критического (табличного) FТАБЛ значений F– критерия Фишера. Фактическое значение определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы: где n - число единиц совокупности; m- число парметров при переменных x . FТАБЛ – это максимальное возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотизу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01. Если , то H0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если , то гипотиза H0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции расчитывается t - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H0 о случайной природе показателей, то есть о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t - критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки: . Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяется по формулам: Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значение t статистики - tТАБЛ и tФАКТ - принимаем или отвергаем гипотезу H0. Связь между F - критерием Фишера и t - статистикой Стьюдента выражается равенством Если , то H0 отклоняется, то есть a, b и rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если > , то гипотеза H0 не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b и rxy. Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя: Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид Если в границы доверительного интервала попадает ноль, то есть нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значение. Прогнозное значение yp определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения xp. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза и строится доверительный интервал прогноза: 1.2. Пример выполнения задания № 1 По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек: , где y - издержки производства (тыс. д. е.); x- объем выпуска продукции (тыс. ед.). Требуется: 1. Построить линейное уравнение парной регрессии y от x. 2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации. Сделать выводы. 3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом. 4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции. 5. Выполнить прогноз затрат на производство при прогнозном выпуске продукции, составляющем 195 % от среднего уровня. 6. Оценить точность прогноза, рассчитать ошибку прогноза и его доверительный интервал. 7. Оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации. Исходные данные и вспомогательные вычисления для расчета оценок параметров a и b приведены в табл. 2. Таблица 2 № пред прия тия Выпуск продукции, тыс. ед. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 3 5 3 4 22 Ср. значение 3,14 x Затраты на производство, тыс. д.е. xy x2 30 70 150 100 170 100 150 770 30 140 600 300 850 300 600 2820 1 4 16 9 25 9 16 80 4,58 1,30 0,74 0,02 3,46 0,02 0,74 10,86 6400 1600 1600 100 3600 100 1600 15000 31,68 68,28 141,48 104,88 178,08 104,88 141,48 770,76 110 402,86 11,43 1,55 2142,86 110,11 y Система нормальных уравнений МНК будет иметь вид . Решая ее, получим: Тогда, уравнение регрессии Подставив в уравнение значения x, получим теоретические значения (последний столбец табл. 1). Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении выпуска продукции на 1 тыс. единиц, затраты на производство по группе предприятий возрастут в среднем на 36,6 тыс. д. е. То, что ˂ 0, соответствует опережению изменения результата над изменением фактора. В рассматриваемом примере имеем . Величина линейного коэффициента корреляции что достаточно близко к 1 и означает наличие очень тесной зависимости затрат на производство от величины объема выпущенной продукции. Для оценки качества линейной функции рассчитаем коэффициент детерминации Следовательно, уравнением регрессии объясняется 97,6 % дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 2,4 % его дисперсии (то есть остаточная дисперсия). Так как близок к 1, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ее можно использовать для прогноза значений результативного признака. Для оценки существенности линейной регрессии рассчитаем: 1. Общую сумму квадратов отклонений результативного признака 2. Факторную сумму квадратов отклонений результативного признака 3. Остаточную сумму квадратов отклонений результативного признака 4. Факторную дисперсию 5. Остаточную дисперсию 6. F- критерий Табличное значение F - критерия для числа степеней свободы и уровня значимости = 0,05 равно Поскольку (161,64 > 6,61), то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана). Оценка значимости уравнения регрессии обычно делается в виде таблицы дисперсного анализа. Таблица 3 Дисперсный анализ результатов регрессии Источники вариации Число степеней свободы Сумма квадратов отклонений Дисперсия Общая Объясненная Остаточная 7-1=6 1 7-2=5 15000 14548 452 14548 90 F- критерий Фактический Табличный 161,64 6,61 Так как в линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров, рассчитаем по каждому параметру стандартные ошибки: и корреляции Фактическое значение t- критерия Стьюдента: Проверим справедливость равенства: =161,54 (расхождения за счет округления). При числе степеней свободы и уровне значимости 0,05 табличное значение Так как (2,57 <1 2,71), то, следовательно, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить. Доверительный интервал для коэффициента регрессии b определяется как 95 % - ные границы доверительного интервала составят: Так как то случайно отличным от нуля, поэтому интервал не строится. принимаем и считаем параметр a для параметра a доверительный (14,11 > 2,57), следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной. Для определения интервала прогноза по линейному уравнению регрессии рассчитаем: 1. Точечный прогноз при прогнозном , составляющем 195 % от среднего уровня. 2. Средняя стандартная ошибка прогноза . Для прогнозируемого 95%-ный доверительный интервал при заданном определяется выражением: или Чтобы иметь общее суждение о качестве модели, определим среднюю ошибку аппроксимации: что говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, так как ошибка в пределах 5 – 7 % свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным. 1.3. Задание № 1 По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек: , где y - издержки производства (тыс. д. е.); x- объем выпуска продукции (тыс. ед.). Требуется: 1. Построить линейное уравнение парной регрессии y от x . 2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации. Сделать выводы. 3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом. 4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции. 5. Выполнить прогноз затрат на производство при прогнозном выпуске продукции, составляющем 195 % от среднего уровня. 6. Оценить точность прогноза, рассчитать ошибку прогноза и его доверительный интервал. 7. Оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации. Исходные данные по вариантам, которые принимаются по последней цифре студенческого билета, сведены в табл.4. Таблица 4 Вариант 1 № x y 1 9 69 2 12 73 3 13 95 4 14 87 5 15 96 6 17 98 7 18 105 8 19 111 9 21 107 10 23 129 Вариант 6 № x y 1 9 67 2 11 71 3 13 97 4 14 85 5 14 89 6 16 98 7 18 112 8 20 101 9 21 107 10 23 123 Вариант 2 № x y 1 9 68 2 11 72 3 12 93 4 14 98 5 16 87 6 16 92 7 18 99 8 19 111 9 20 100 10 23 125 Вариант 7 № x y 1 9 68 2 12 72 3 13 93 4 14 98 5 15 87 6 17 92 7 18 99 8 19 111 9 21 100 10 23 125 Вариант 3 № x y 1 8 67 2 10 70 3 11 87 4 15 92 5 15 98 6 16 90 7 18 96 8 19 113 9 21 105 10 23 125 Вариант 8 № x y 1 8 69 2 10 73 3 11 99 4 14 96 5 15 88 6 16 100 7 18 114 8 19 103 9 21 109 10 23 125 Вариант 4 № x y 1 8 65 2 10 70 3 12 87 4 14 98 5 14 90 6 15 96 7 16 99 8 19 106 9 21 100 10 23 120 Вариант 9 № x y 1 8 69 2 10 73 3 12 95 4 14 05 5 15 12 6 15 98 7 16 105 8 19 111 9 21 107 10 23 125 Вариант 5 № x y 1 9 69 2 11 73 3 12 99 4 13 88 5 14 91 6 15 100 7 17 114 8 18 103 9 20 109 10 22 125 Вариант 10 № x y 1 9 67 2 11 71 3 13 97 4 15 04 5 15 89 6 16 98 7 18 112 8 19 101 9 21 107 10 23 123 2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПО РЯДАМ ДИНАМИКИ 2.1. Методические указания контрольной работы по выполнению заданий № 2-4 Наряду с корреляционными моделями для предсказания будущего хода экономических процессов используются методы прогнозирования на основе динамических рядов. Динамическим (временным) рядом называется последовательность численных значений, характеризующих изменение экономического явления или процесса во времени. В зависимости от способа регистрации наблюдений ряды динамики подразделяются на дискретные и непрерывные. Дискретные ряды получаются при регистрации данных через определенные промежутки времени – месяц, квартал и год и т.д. Различают следующие виды дискретных динамических рядов: моментные, интервальные и ряды средних. Моментные ряды представляют собой последовательность величин, относящихся к определенным датам, моментам времени. Интервальными называются ряды, характеризующие размеры исследуемого явления за определенные промежутки времени – интервалы, периоды. Ряды средних величин характеризуют изменение средних уровней исследуемого явления или процесса во времени. Непрерывные ряды получаются в том случае, если ведется непрерывная запись изменения процесса с помощью различных приборов. При анализе рядов динамики пользуются статистическими показателями, определяющими характер, направление и интенсивность качественных изменений экономических явлений или процессов. К ним относятся уровень ряда, средний уровень, абсолютные приросты или конечные разности, темпы роста и прироста, тренд. Уровень ряда – это каждый член ряда динамики. Средний уровень может определяться в зависимости от характера ряда как средняя арифметическая или геометрическая. Абсолютный прирост характеризует изменение исследуемого явления и определяется разностью двух уровней. Различают базисные и ценные показатели прироста. Базисные приросты – это разности между любым членом ряда и одним и тем же первоначальным уровнем: где - уровень ряда в период i; - уровень ряда в базисный (первый) период. Цепные абсолютные приросты получаются как разности текущего i и предыдущего i-1 уровней: Темп роста представляет собой отношение двух уровней ряда динамики. Он может быть базисным и ценным: Темп прироста – это отношение абсолютного прироста к базисному или предыдущему уровню. Трендом называется основная тенденция изменения явления. Обычно считают, что основная тенденция есть результат влияния комплекса факторов, действующих постоянно на изучаемые явления или процессы в течение длительного периода, то есть она характеризуется детерминированной компонентой динамического ряда. Для установления общей тенденции изменения экономических явлений в течение изучаемого периода времени проводят сглаживание (выравнивание) ряда динамики. Необходимость сглаживания обусловлена тем, что помимо влияния на уровни ряда главных факторов, которые и формируют конкретный вид неслучайной компоненты (тренда), на них действуют случайные факторы, которые в свою очередь вызывают отклонения фактических уровней от тренда. Результат этого суммарного воздействия может быть выражен моделью вида где - функция времени, называемая трендом; - случайная компонента. Тенденция определяется различными методами: конечных разностей, наименьших квадратов, полиномов Лагранжа, авторегрессии, логистической кривой. Модель логистической кривой дает хорошие результаты прогнозирования для динамического ряда с уровнями, которые изменяются с уменьшающимися к концу ряда приращениями. Один из ее вариантов имеет вид где t - номер уровня ряда динамики (t = 0,1,…,n); a, b, c - параметры модели для данного ряда. Алгоритм выравнивания по этому методу заключается в следующем. Весь динамический ряд разбивается на три равных отрезка, для которых вычисляются итоги: где m - число членов каждого отрезка ряда. Находятся первые разности между итогами: Параметры кривой рассчитываются по формулам: К числу наиболее распространенных методов прогнозирования по одному ряду динамики, легко реализуемых с вычислительной точки зрения, относятся методы экспоненциального сглаживания, гармонического анализа и авторегрессии. В основе метода экспоненциального сглаживания лежит расчет экспоненциальных средних. Алгоритм его базируется на рекуррентной формуле где - значение экспоненциальной средней в момент t; - параметр сглаживания, Выражение () можно записать в следующем виде где n - число членов ряда; - некоторая величина, характеризующая начальные условия при t=1. Значение оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса падают экспоненциально в зависимости от давности уровня ряда. Если, например, то текущее наблюдение будет иметь вес 0,3, а веса предыдущих уровней ряда составят соответственно 0,21; 0,147; 0,1029 и т.д. Прогнозная модель имеет вид где - прогноз, сделанный в момент t, в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. Экспоненциальное сглаживание временных рядов это модификация метода наименьших квадратов для анализа временных рядов, при котором более поздним наблюдениям придается больший вес. Иными словами, веса уровней ряда убывают по мере удаления в прошлое. Метод гармоничного анализа применяется для прогнозирования динамики экономических процессов, основная тенденция которых содержит периодическую компоненту ряда. Он позволяет выделить данную составляющую и оценить ее параметры. Одной из модификаций этого метода является метод гармонических весов. Больший вес приписывается более поздним наблюдениям динамики. Весь временной ряд разбивается на несколько равных, последовательно перекрывающих друг друга отрезков. В отрезок обычно входит пять уровней. Для их выравнивания используется модель прямой линии. Таким образом, непрерывные изменения исследуемого процесса описываются семейством прямых. Если данный год ряда динамики перекрыт несколькими отрезками, то для него находится несколько расчетных значений и из них определяется среднее значение уровня. Затем находится прирост расчетной величины. Каждому приросту присваивается свой вес, обратно пропорциональный месту, занимаемому во временном ряду. Каждый год ряда динамики получает свою поправку. Поправка для второго года определяется по формуле: где n - число уровней ряда. Остальные поправки: где t=2,3,…,n-1. Поправки позволяют рассчитать вес каждого значения прироста: Необходимым условием метода гармонических весов, как и метода экспоненциального сглаживания, является равенство суммы весов единице: Суммированием произведений прироста на его вес определяется средний гармонический прирост. Он добавляется к расчетной величине уровня последнего года динамики, в результате чего получается прогнозная величина на год вперед. Таким образом, метод гармонических весов отражает, прежде всего, тенденцию ближайшего прошлого. 2.2. Примеры выполнения заданий № 2-4 контрольной работы Модель логической кривой Определить параметры модели прогноза, соответствующей типу логической кривой, экстраполировать значение выпуска продукции одним из цехов предприятия в тыс.т. Динамический ряд изменения величин этого показателя yi приведен в таблице 5. Таблица 5 Динамический ряд изменения величин этого показателя yi Год ti yi 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 0 1 2 3 4 5 6 7 8 43,8 44,9 45,2 46,2 46,4 46,6 46,7 46,9 47,0 Частные итоги 2,283 2,227 2,212 2,164 2,155 2,146 2,141 2,132 2,128 Первые разности S1=6,722 d1= - 0,257 S2=6,465 d2= - 0,064 S3=6,401 Указания к решению: Логистическая кривая соответствует уравнению . Для определения параметров a, b, c этой модели разбиваем динамический ряд на три равные части. Затем вычисляем частные итоги и первые разности между ними: Если число членов временного ряда в каждой из частей равно n, то параметры равны: Для удобства вычислений зависимая переменная берется в виде В ходе вычислений получаем: Искомая модель будет иметь вид Прогнозная величина на 2008 год составит Метод экспоненциального сглаживания Определить прогноз пассажирооборота yt на основе ряда динамики за 25 лет. Исходные данные и вспомогательные вычисления экспоненциальных средних сведем в таблицу 6. Таблица 6 Исходные данные и экспоненциальные средние Год 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Пассажирооборот, млрд. пассажиро-км 2 141,4 142,4 153,4 158,4 164,4 170,8 176,3 189,3 192,0 195,1 201,6 219,4 234,4 254,1 261,3 265,4 274,6 285,8 296,6 306,3 312,5 315,1 322,2 α=0,1 3 226,8 218,4 211,9 206,6 202,4 199,2 196,9 196,1 195,7 195,6 196,2 198,5 202,1 207,3 212,7 218,0 223,7 229,9 236,6 243,6 250,5 257,0 263,5 Значение St при α=0,3 4 207,6 188,0 177,6 171,8 169,6 170,0 171,9 177,1 181,6 185,7 190,5 199,2 209,8 223,1 234,6 243,8 253,0 262,8 272,9 282,9 291,8 298,8 305,8 α=0,5 5 188,7 165,6 159,5 159,0 161,7 166,3 171,3 180,3 186,2 190,7 196,2 207,8 221,1 237,6 249,5 257,5 266,1 276,0 286,3 296,3 304,4 309,8 316,0 1 24 25 ∑ 2 332,1 335,3 5900,2 3 270,4 276,9 - 4 313,7 320,2 - 5 324,1 329,7 - Начальные условия определим из равенства S0 среднему значению показателя Произведем дальнейшие вычисления При α=0,1 ..................................................... При α=0,3 ..................................................... При α=0,5 ..................................................... Результаты расчетов всех экспоненциальных средних при разных α сводим в таблицу 6. На график наносим временной ряд и экспоненциальные средние. На графике наглядно видно влияние α на величину и подвижность St. При краткосрочном прогнозировании (на 1 – 3 года) желательно как можно быстрее отразить изменение экспоненциальной средней и в то же время как можно лучше очистить ряд от случайных колебаний. Значит, с одной стороны, следует увеличить вес более поздних уровней ряда динамики, что может быть достигнуто повышением параметра α, с другой стороны, для выравнивания случайных отклонений величину α нужно уменьшить. Таким образом, эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения α составляет задачу оптимизации. Рассчитаем прогноз пассажирооборота на 26 год при параметре сглаживания α=0,5 млрд. пассажиро - километров. Метод гармонических рядов На ремонтном заводе, много внимания уделяется повышению надежности тяговых двигателей, выпускаемых из ремонта. В результате принятых прогрессивных организационных и технологических мер повысилось качество ремонта. На основе статистических данных из табл. 6 определить на 2008 год общее количество повреждений тяговых двигателей. Таблица 7 Годы t yt 2001 1 950 2002 2 900 2003 3 840 2004 4 770 2005 5 740 2006 6 650 2007 7 570 Указания к решению: Весь динамический ряд, состоящий из семи точек, разбиваем на три равных отрезка по пять точек в каждом. Первый отрезок k1 включает годы 2001 – 2005. Для этого отрезка средний год Данный отрезок делим на две части k11 и k12 . К первой части относятся все точки отрезка k1, меньше или равные а ко второму – большие Для всего отрезка k1 и его частей находим средние величины. Параметры линейной регрессии для отрезка k1 определяем по формулам: Уравнение регрессии для отрезка k1 будет иметь вид По этому уравнению определим расчетные значения показателя для всех точек отрезка k1 ........................... Аналогичные действия производим для отрезка k2 , включающего годы 2002 – 2006, и отрезка k3, включающего годы 2003 – 2007. Для отрезка k2 : средний год Уравнение регрессии для отрезка k2 будет иметь вид Расчетные значения показателя для всех точек отрезка k2 .......................... Для отрезка k3 : средний год Уравнение регрессии для отрезка k3 будет иметь вид Расчетные значения показателя для всех точек отрезка k3 .......................... Расчетные значения по каждому из отрезков сводим в таблицу 8. Таблица 8 t y 1 953,4 953,4 - 2 896,7 893,4 895,1 -58,3 0,167 0,028 3 840,0 836,7 852,6 843,1 -52,0 0,367 0,061 4 783,3 780,0 783,3 782,2 -60,9 0,617 0,103 5 726,6 723,3 714,0 721,3 -60,9 0,950 0,158 6 7 666,6 644,7 655,7 -65,6 1,450 0,242 575,4 575,4 -80,3 2,450 0,408 По данным таблицы определим средние расчетные значения каждого года для где - число отрезков, перекрывающих рассматриваемую точку заданного динамического ряда. Расчетный прирост определим по формуле Рассчитаем поправки. Поправка для второго года ряда динамики поправки для последующих лет ........................................ Поправки позволяют рассчитать вес каждого значения прироста .................................................... Проверка ∑ Средний гармонический прирост составит Прогнозируемая величина равна Таким образом, прогнозируемая величина повреждений тяговых двигателей на 2008 год составит 506. 2.3. Задание № 2 Рассчитать модель типа логистической кривой и определить прогнозируемую величину экономических показателей региона. Таблица 9 № ва ри ан та 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Показатели y 1999 0 2000 1 2001 2 2002 3 Год 2003 4 2004 5 2005 6 2006 7 2007 8 2 3 2520 4 2560 5 2595 6 2630 7 2663 8 2693 9 2732 10 2757 11 2775 38,0 40,3 42,6 43,6 44,4 45,1 45,7 46,3 46,8 410 455 490 504 517 527 532 536 539 42,0 44,0 45,7 47,2 48,7 49,5 50,1 50,4 50,6 78,0 80,0 82,0 83,5 84,8 85,9 86,4 86,7 86,8 18,6 20,3 21,7 22,1 22,5 23,0 23,3 23,2 23,4 13,6 13,9 14,4 14,9 15,3 15,0 14,8 15,3 15,3 16,3 17,1 17,7 18,5 19,5 20,4 21,7 22,6 23,5 Объем промышлен ной продукции, млн.руб. Производство продукта А, тыс.шт. Среднегодовой уровень цен на продукт А, тыс.руб. Производс тво продукта Б, тыс.шт Среднегодовой уровень цен на продукт Б, тыс.руб. Производс тво молока, тыс. т Динамика средней заработной платы, тыс.руб. Динамика среднедушего дохода, тыс.руб. 2,0 2,0 Производство яиц, тыс.шт 9 2,1 2,2 2,24 2,27 3236, 5 2,0 11 3097, 7 8 1,9 10 2958, 0 7 2760, 8 6 2637, 3 5 2494, 7 4 2367, 1 10 3 2274, 8 9 2 Инвестиции в основной 1,8 капитал, млн.руб 2160, 5 1 2.4. Задание № 3 По данным экономических показателей работы предприятия определить с помощью метода экспоненциального сглаживания величину прогноза на восьмой год временного ряда. Таблица 10 № ва р. 1 1 Показатель 2 Объем производства всего, млн. руб 2 Объем производства основного цеха, тыс. т 3 Объем производства вспомогательного цеха, тыс.т 4 Объем внутреннего потребления, тыс.руб 5 Основные производ-ственные фонды, тыс. руб. 6 Контингент, чел. 7 Фондовооруженнос ть, тыс. руб/чел 8 Фондоотдача, тыс. руб/руб 9 Производительност ь труда 1 работника, тыс. руб 10 Средняя заработная плата 1 работника основного цеха, тыс. руб. 1 2 3 3 13,5 4 14,3 5 16,0 5120 4800 1400 Год 4 5 6 7 6 16,6 7 16,4 8 17,0 9 17,8 5300 6600 7100 8020 9280 1510 1680 1780 1950 1995 2120 2180 2480 2710 3895 3921 4150 4417 7100 7900 8100 8700 11400 11900 12500 614 11,6 621 12,9 690 13,2 723 15,1 746 15,4 750 16,5 720 17,6 91,0 93,5 102,0 140,5 149,0 151,5 161,5 12200 13450 14700 20200 21800 22500 24600 17,2 17,3 17,6 18∮ 0 18,5 19,2 21,5 2.5. Задание № 4 Рост производительности труда на заводе, выпускающем из ремонта двигатели, достигнут за счет постоянного совершенствования управления производством и механизации трудоемких процессов. По отчетным данным рассчитать рост производительности труда (в %) на восьмой год периода. Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 2 101 102 103 102 101 102 98 99 101 103 3 112 108 109 110 108 112 109 106 111 107 Год 4 115 112 114 112 113 116 114 108 106 110 5 120 119 118 117 118 120 119 115 111 115 6 122 122 121 121 120 122 121 119 116 119 7 125 124 125 124 123 126 125 123 122 124 Приложение 1 Таблица 12 Значения F- критерия Фишера при уровне значимости 0,05 k1 k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161,45 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 2 199,50 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3 215,72 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 4 234,57 19,25 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 5 230,17 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 6 233,97 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 7 238,89 19,37 8,84 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 Приложение 2 Таблица 13 Критические значения t - критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10; 0,05; 0,01 Число степеней свободы d.f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 α 0,10 0,05 0,01 6,3138 2,9200 2,3534 2,1318 2,0150 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 12,706 4,3027 3,1825 2,7764 2,5706 2,4469 2,3646 2,3060 2,2622 2,2281 63,657 9,9248 5,8409 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Обязательная 1.Эконометрика: учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 344 с. 2.Практикум по эконометрике: учебное. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Горденко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 192 с. Дополнительная 1. Доугерти, К. введение в эконометрику: учебник / К. Доугерти. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 136 с. 2. Катышев, П.К. Сборник задач к начальному курсу эконометрики / П.К. Катышев.- М.: Финансы и статистика, 2002 – 98 с. 3. Кремер, Н.Ш. Эконометрика: учебник / Н.Ш.Кремер. – М.: Проспект, 2005. – 124 с. 4. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: учебник / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев. – 5 – е изд. испр. – М. : Дело, 2001. – 400 с. Эконометрика: методические указания по выполнению и задания контрольной работы для студентов очной и заочной форм обучения специальности (060400) 080105 ''Финансы и кредит''. – Самара: РГГУ, 2007. – 33 с. Подписано в печать 18.12.2007. Тираж 100 экз. Компьютерная верстка