ИСПЫТАНИЯ, ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ И РАСЧЁТ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ Ч.1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ПГУ)
А. Ю. Муйземнек
ИСПЫТАНИЯ, ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ПАРАМЕТРОВ И РАСЧЁТ
СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Учебное пособие
Часть I
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Пенза ИИЦ ПГУ 2009
УДК 531
М90
Рецензенты:
профессор кафедры ракетного и реактивного вооружения
Пензенского артиллерийского инженерного института,
доктор технических наук, профессор, академик РАРАН
А. И. Богомолов;
профессор кафедры оснований и фундаментов Пензенского
государственного университета архитектуры и строительства,
доктор технических наук, профессор
Г. Г. Болдырев
М90
Муйземнек, А. Ю.
Испытания, идентификация параметров и расчёт слоистых композитов : учебное пособие / А. Ю. Муйземнек. – Пенза :
Информационно-издательский центр ПензГУ, 2009. – 1 ч.: Математическое описание поведения слоистых композитов. – 92 с.
ISBN 978-5-94170-261-9
В учебном пособии рассматриваются методы испытаний, идентификации
параметров математических моделей и расчёта слоистых композитов. Особое внимание уделено описанию таких черт механического поведения слоистых композитов, как сопротивление деформированию, накопление повреждённости и разрушение. Для ограниченного ряда слоистых композитов приводятся параметры их моделей, а также представлены простейшие примеры расчёта слоистых композитов.
Пособие предназначено для обеспечения лабораторных и практических занятий по дисциплине СД 11.10 «Механика сплошной среды» (специальность
190201 «Автомобиле- и тракторостроение»). Может быть использовано научными
и инженерно-техническими работниками, а также аспирантами, использующими
для решения задач механики деформируемого твердого тела программы
AUTODYN и LS-DYNA.
УДК 531
ISBN 978-5-94170-261-9
© ГОУ ВПО «Пензенский государственный
университет», 2009
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………...……. 5
1 Общие представления о композиционных материалах…………...
1.1 Определение композиционного материала…………………………
1.2 Типы композиционных материалов…………………………………
1.2.1 Композиты, армированные волокном .......................................
1.2.2 Композиты с дисперсными частицами......................................
1.3 Определение главных материальных направлений
в программе AUTODYN…………...…………….………………….
1.3.1 AUTODYN 2D.………………………………………………….
1.3.2 AUTODYN 3D…………………………………………………..
1.4 Определение главных материальных
направлений в программе LS-DYNA…………………………..……
8
8
10
10
14
16
16
18
20
2 Ортотропная модель сопротивления
материала деформированию.................................................................
2.1 Ортотропная упругая модель………………………………………...
2.2 Уравнения состояния…………………………………………………
2.2.1 «Ударное» уравнение состояния………………………………..
2.2.2 Полиномиальное уравнение состояния…………………………
2.3 Ортотропная модель пластичности.…………………………………
2.3.1 Ортотропный критерий пластичности.……………….………...
2.3.2 Алгоритм вычисления напряжений……………………………..
22
22
25
28
28
29
30
33
3 Ортотропная модель разрушения материала………………...…….
3.1 Модели хрупкого разрушения…..…………………………………...
3.1.1 Начало разрушения………………….…………………………...
3.1.2 Реакция после начала разрушения ……………………………...
3.2 Ортотропная модель накопления повреждённости………………...
3.2.1 Начало разрушения……………………….……………………...
3.2.2 Накопление повреждённости……………………….…………...
36
36
36
37
42
42
43
4 Испытания слоистых композитов…..……………………………….
4.1 Сопротивление деформированию………………………………..….
4.1.1 Испытания на растяжение в плоскости композита.……………
4.1.2 Испытания на внеплоскостной сдвиг…………………………...
4.2 Сжимаемость слоистых композитов…..…………………………….
4.2.1 Обратный метод торможения……………………………………
4.3 Разрушение слоистых композитов………………….……………….
4.3.1 Испытание соударением.……………………………………..….
4.3.2 Испытание двухконсольной балки……………………………...
4.3.3 Испытание дважды надрезанной балки….……………………..
4.3.4 Испытание гибкой балки с боковым надрезом...………….…...
46
46
46
49
50
50
51
52
53
55
56
3
5 Идентификация параметров моделей слоистых композитов..…..
5.1 Идентификация параметров моделей
сопротивления деформированию…………………….……………..
5.1.1 Ортотропная упругая модель………………….……….………..
5.1.2 Ортотропная модель пластичности……………………………..
5.2 Идентификация параметров уравнения состояния……...…………
5.3 Идентификация параметров моделей разрушения
и разупрочнения……………………………………………………..
5.3.1 Ортотропная модель разрушения…………...…………………..
5.3.2 Ортотропная модель разупрочнения……...…………………….
5.4 Эффективные упругие характеристики слоистых
композитов…………………………………………………………...
58
58
58
60
64
66
66
67
67
Заключение…………………………………………………………….….. 71
Список использованной литературы……………………………..…… 72
Приложение. Модели композитов, реализованные в программе
LS-DYNA……………………………………………..…… 73
4
ВВЕДЕНИЕ
Для повышения технического уровня и конкурентоспособности изделий многих отраслей промышленности существует острая необходимость повышения их эксплуатационных характеристик, совершенствования технологических процессов их производства, сокращения сроков и
стоимости их разработки и испытаний.
Использование современных систем автоматизированного инженерного анализа (Computer Aided Engineering – CAE) является на сегодняшний день наиболее эффективным способом оценки прочности, прогнозирования долговечности и оптимизации изделий машиностроения и
технологических процессов их производства. Наиболее эффективными
CAE-системами, используемыми для проведения нелинейного динамического анализа, являются программы AUTODYN и LS-DYNA.
AUTODYN (ANSYS Inc) – это многоцелевая программа, предназначенная для решения двух- и трехмерных задач нелинейной динамики систем
деформируемых тел. Она включает в себя встроенные средства для пре- и
постпроцессинга, а также решатели, основанные на методе конечных элементов, бессеточном методе частиц, методе конечных объёмов и др.
В программе реализованы средства импорта конечно-элементных
моделей из различных систем (в том числе и из программы LS-DYNA).
Программа AUTODYN имеет широкие возможности для моделирования композиционных материалов, подвергнутых широкому ряду нагрузок. Простая линейно-упругая ортотропная модель сопротивления деформированию, включающая линейное уравнение состояния, предназначена
для моделирования таких воздействий на конструкцию, как удары. Для
моделирования высокоскоростных ударов, в которых важными являются
волновые эффекты, ортотропная модель может использоваться вместе с
нелинейным уравнением состояния. Нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями может также учитываться посредством использования квадратичной поверхности текучести, а также повреждённости, вызывающей разупрочнение материала, учитываемой посредством
ортотропной модели накопления повреждённости.
Программа AUTODYN с 1985 г. разрабатывается компанией
Century Dynamics, которая с января 2005 г. является «дочерней» компанией ANSYS Inc.
LS-DYNA (LSTC) – многоцелевая программа, предназначенная для
решения двух- и трехмёрных динамических нелинейных задач механики
деформируемого твёрдого тела, механики жидкости и газа, теплопереноса, а также связанных задач механики деформированного твёрдого тела и
теплопереноса, механики деформируемого твердого тела и механики
жидкости и газа. Программа была первой в своей области и послужила
основой для большинства современных пакетов высоконелинейного динамического анализа. В настоящее время LS-DYNA является самой кон-
5
курентоспособной коммерческой программой для решения задач соударения, взрыва, разрушения, обработки металлов давлением и ряда других
задач. В программе LS-DYNA реализованы эффективные методы решения перечисленных задач, в том числе метод конечных элементов, методы
многокомпонентной гидродинамики и гидродинамики несжимаемых потоков, бессеточный метод гладких частиц, бессеточный метод Галёркина.
В LS-DYNA реализованы процедуры автоматической перестройки и
сглаживания конечно-элементной сетки при вырождении элементов –
произвольные лагранжево-эйлеровы сетки, высокоэффективные алгоритмы решения контактных задач, широкий набор моделей материалов, возможности пользовательского программирования, а также процедуры лагранжево-эйлерового связывания и расчёта многокомпонентных течений
сжимаемых сред на подвижных эйлеровых сетках. Программный код
LS-DYNA оптимизирован под основные платформы и операционные системы, векторизован, распараллелен для систем с общей (SMP) и распределенной памятью (МРР).
Более широкое применение CAE-систем, в первую очередь на промышленных предприятиях, сдерживает краткость изложения в технических описаниях этих систем вопросов выбора адекватных деформационным процессам моделей материалов, моделей накопления повреждённости и критериев разрушения. Недостаточно информации о параметрах
этих моделей и критериев. Практически полностью отсутствует описание
необходимых для экспериментального определения параметров моделей
материалов базовых экспериментов. Недостаточно подробно рассматриваются необходимые идентификационные процедуры. Целью данной работы является устранение этих пробелов для одного типа композиционных материалов – слоистых композитов.
Учебное пособие состоит из трех частей.
В первой части рассматриваются методы математического описания
таких черт механического поведения слоистых композитов, как сопротивление деформированию, накопление повреждённости и разрушение.
Во второй части содержится описание лабораторных работ, посвященных испытаниям слоистых композитов и идентификации параметров
их моделей.
Третья часть представляет собой вычислительный практикум по
расчёту деталей из слоистых композитов.
Целью первой части учебного пособия является описание моделей
сопротивления деформированию, накопления повреждённости и разрушения слоистых композитов, а также базовых экспериментов и идентификационных процедур, необходимых для определения их параметров.
Представленный в учебном пособии материал должен способствовать правильному применению реализованных в программах AUTODYN
и LS-DYNA моделей для решения практических задач по расчёту изделий, имеющих детали или элементы из слоистых композитов.
6
Первая часть учебного пособия состоит из введения, пяти разделов,
заключения, списка используемой литературы и приложения.
В первом разделе рассматриваются общие понятия и классификация
композиционных материалов, а также способы определения главных материальных направлений для слоистых композитов в программах
AUTODYN и LS-DYNA.
Во втором и третьем разделах представлено описание моделей сопротивления деформированию слоистых композитов при упрочнении и
разупрочнении, которое обусловлено накоплением повреждённости, а
также разрушения. Наиболее общей проблемой использования таких моделей является отсутствие информации о поведении слоистых композитов
в условиях их динамического нагружения.
В четвертом разделе даётся описание базовых экспериментов, которые проводятся с целью определения параметров моделей сопротивления
деформированию, накопления повреждённости и разрушения слоистых
композитов при динамическом нагружении.
В пятом разделе описываются процедуры идентификации параметров моделей сопротивления деформированию, моделей накопления повреждённости и моделей разрушения слоистых композитов на основе результатов базовых экспериментов.
7
1 ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
О КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ
1.1 Определение композиционного материала
Композиционными материалами (композитами) называются материалы, состоящие из двух и более разнородных материалов и обладающие
свойствами, которых не имели исходные материалы. Кроме этого, композит является сочетанием, по крайней мере, двух различных химических
веществ, в котором можно установить отчетливые границы, отделяющие
исходные материалы [1].
В строении композита обычно выделяют наполнитель – дисперсную
фазу и связующее – матрицу. Определяющее влияние на свойства композита оказывает наполнитель, распределенный в связующем. В зависимости от наполнителя можно выделить (рис. 1.1):
1) композиты с дисперсными частицами;
2) волокнистые композиты.
Для волокнистых композитов можно предложить более мелкую
классификацию в зависимости от того, дискретны или непрерывны волокна, а также от их ориентации (рис. 1.1). Тогда можно выделить:
1) однонаправленные композиты с непрерывными волокнами;
2) композиты с дискретными волокнами;
3) композиты с непрерывными волокнами, ориентированными во
многих направлениях.
б
а
в
д
г
Рис. 1.1 Различные композиты: а – композит с дисперсными частицами;
б, в, г – волокнистые композиты: композит, армированный короткими
волокнами; композит, армированный непрерывными волокнами;
композит, армированный волокнами во многих направлениях;
е – слоистый композит
На практике часто используются слоистые композиты, которые
представляют собой набор соединенных между собой слоев из однона-
8
правленных или разнонаправленных, например тканых, композитов.
В табл. 1.1 приведены сочетания исходных материалов, из которых образуются композиты, и даны общепринятые наименования для соответствующих композитов. В учебном пособии рассматриваются в основном
слоистые композиты.
Таблица 1.1
Сочетания материалов в композитах
Дисперсная
фаза
Частицы,
порошок
Волокна
Непрерывные
волокна
Дискретные
волокна
Чешуйки
Матричная фаза
(связующее)
Каучук
Пластмасса
Металл
Керамика
Наименование
композита
Каучук, армированный частицами,
(PRR)
Пластмасса, армированная волокном,
(FRR)
Металл, армированный волокнами,
(FRM)
Металл, армированный частицами,
(PRM)
Керамика, армированная частицами,
(FRC)
На рис. 1.2 для нескольких материалов приведены кривые изменения за последние десятилетия удельной прочности, представляющей собой отношение предела прочности к удельному весу [1]. Приведённые
данные позволяют считать, что в настоящее время у таких материалов,
как сталь, алюминий, титан и бериллий, повышение удельной прочности
находится в стадии насыщения. Создание композитов, основанных на использовании стекловолокна, борволокна, углеродного волокна, позволяет
получить такие удельные прочности, которые в значительной степени
превосходят удельные прочности указанных выше материалов.
Рис. 1.2 Изменения удельной прочности σ/ρ материалов:
1 – сталь; 2 – алюминий; 3 – стекло – смола; 4 – титан; 5 – композиты,
армированные волокнами: бор – смола, углерод – смола
9
Следует отметить, что для композитов характерна тенденция к
дальнейшему повышению удельной прочности. На рис. 1.3 показаны соотношения между удельной прочностью и удельным модулем упругости
для различных материалов. Из приведенных данных можно видеть, что
область расположения композитов значительно удалена от начала координат в сравнении с обычными материалами. Это свидетельствует о лучших механических характеристиках композитов.
Рис. 1.3 Сопоставление удельных прочностей σ/ρ
и удельных модулей упругости Е/ρ различных материалов:
1 – сталь, титан; 2 – стекло S – смола; 3 – бор – смола; 4 – углерод – смола
1.2 Типы композиционных материалов
1.2.1 Композиты, армированные волокном
Среди волокнистых композитов широкое распространение получили пластмассы, армированные стекловолокном. С уменьшением диаметра
стекловолокна уменьшается вероятность появления внутренних дефектов.
При этом размеры дефектов также уменьшаются. В результате повышается прочность волокна. Например, стеклянная пластина имеет предел
прочности при растяжении, составляющий примерно 70 МПа. У тонкого
же стекловолокна предел прочности при растяжении может составлять
2800–5000 МПа.
10
В табл. 1.2 приводятся различные типы стекловолокна и сопоставляются их свойства. Стекло Е представляет собой бесщелочное алюминоборосиликатное стекло, которое обладает хорошими электроизоляционными свойствами и теплостойкостью. Это стекло широко используется в
различных конструкциях. Стекло С – стекло с повышенной химической
стойкостью. Стекло S – теплостойкое высокопрочное стекло. Известковонатриевым, или щелочным, стеклом является стекло А, которое хорошо
противостоит действию реактивов. На рис. 1.4 показана зависимость предела прочности от диаметра при растяжении стекловолокна. Сплошные
линии, приведенные на рисунке, соответствуют результатам Томаса и
Гриффитса [1]. Результаты Томаса свидетельствуют о том, что, если в
процессе изготовления и испытаний не появляются повреждения, обусловленные внешними причинами, прочность стекла остается без изменения. Согласно Гриффитсу, с уменьшением диаметра уменьшаются дефекты и возрастает прочность. Гриффитс указывал на то, что в действительности с уменьшением диаметра происходит увеличение прочности стекловолокна. На рассматриваемом рисунке пунктирными линиями показаны
результаты, полученные для выпускаемого промышленностью волокна,
диаметр которого составляет примерно 9 мкм. Результаты получены как
для волокна, поперечное сечение которого представляет круг, так и для
пустотелого волокна, имеющего поперечное сечение в виде кольца. Помимо стекловолокон, в композитах используются волокна других материалов, примеры которых приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.2
Физические характеристики и химический состав стекловолокна
Тип
стекловолокна
Химический состав
(весовое содержание, %)
SiO2
Al2O3
B2O3
MgO
CaO
Na2O
K2O
Fe2O3
F
Прочность
одиночного волокна
при растяжении, ГПа
Модуль упругости
при 25°С, ГПа
Плотность, г/см3
Стекло
Е
Стекло
С
Стекло
А
Стекло
S
55,2
14,8
7,3
3,3
18,7
0,3
0,2
0,3
0,3
65
4
5
3
14
8,5
–
310
–
72,0
2,5
0,5
0,9
9,0
12,5
1,5
0,5
–
65,0
25,0
–
10,0
–
–
–
–
–
3,7
3,1
3,1
4,3
77
74
74
88
2,53
2,46
2,46
2,45
11
Рис. 1.4 Зависимость предела прочности на растяжение от диаметра
стекловолокна. Штриховые линии – для промышленного
стекловолокна; вертикальные линии указывают
толщину волокна
Таблица 1.3
3
4
5
6
2,69
4,71
7,81
1,86
0,633
1,968
4,218
1,758
23,6
41,8
54
94,7
74,52
117,4
210
309,3
2,733
2,493
2,689
16,666
2,25
2,49
1,75
3,515
4,920
2,5–3,5
138
197,4
143–200
73,82
87,89
200–250
2,897
3,525
11,4–14,3
1,95
2,58
2–2,5
3,515
103–130
136,4
350–380
421,8
17,9–19,5
15,374
2
1,7–2,25
85–113
133
6,65
Примечание. Удельная прочность –
Удельный
модуль
упругости,
10–3 км
2
Модуль
упругости
при растяжении, ГПа
Удельная
прочность,
км
1
Металлы:
- алюминий;
- титан;
- сталь;
- бериллий
Неорганические
вещества:
- стекло E;
- стекло S;
- углерод;
- высокопрочный
углерод;
- бор;
Органические
вещества:
- квебра (PRD49)
Прочность
при
растяжении,
ГПа
Тип волокна
Плотность,
г/см3
Характеристики волокон

E
; удельный модуль упругости –
.
g
g
12
Особое внимание в последнее время уделяется армирующим волокнам, представляющим собой нитевидные кристаллы, или усы. Внутри таких кристаллов дислокации являются немногочисленными, что позволяет
обеспечить очень высокую прочность.
В 1960 г. американская фирма «Джэнерал Электрик» добилась успехов в опытной разработке усов из окиси алюминия, которые имеют вид
игольчатых кристаллов. Нитевидные кристаллы могут быть получены из
таких керамических материалов, как ВеО, В4С, SiС, Si2N4, углерод и др.
Помимо этого, такие кристаллы могут быть изготовлены и из металлов:
меди, никеля, железа и т.д. Эти кристаллы имеют диаметр 0,2–3 мкм и
длину 2–25 мм. В последнее время удалось опытным путем получать непрерывные нитевидные кристаллы. В табл. 1.4 в качестве примера приведены некоторые свойства нитевидных кристаллов.
Таблица 1.4
Плотность,
г/см3
Теоретическая
прочность, ГПа
Действительная
прочность, ГПа
Удельная
прочность, км
Модуль упругости
при растяжении, ГПа
Удельный модуль
упругости, 10–3 км
Характеристики нитевидных кристаллов
Сталь
8,9
12,65
3,023
33,96
126,54
1,422
Никель
8,9
21,79
3,937
44,23
217,93
2,449
Железо
7,8
20,39
13,357
171,24
203,87
2,614
B4 C
2,5
45,7
6,819
272,76
456,95
18,278
SiC
3,2
84,36
11,248
355
857,66
26,802
Al2O3
3,9
42,18
19,684
504,7
421,8
10,815
C
1,6
99,82
21,09
1318
998,26
62,391
Материал
Примечание. Удельная прочность –

E
; удельный модуль упругости –
.
g
g
В качестве матриц композитов, армированных волокном, могут
быть использованы материалы, указанные в табл. 1.5. По сравнению с наполнителем эти материалы являются мягкими и хорошо формуются.
13
Таблица 1.5
Удельная
прочность,
км
Модуль
упругости
при
растяжении,
ГПа
Удельный
модуль
упругости, км
Термопластические
массы:
– нейлон (66);
– поликарбонат;
– полистирол;
– хлорвинил;
– метакрилат
Термореактивные
пластмассы:
– сложный полиэфир
Металлы:
– алюминий;
– медь
Прочность
при
растяжении,
МПа
Материал
Плотность,
г/см3
Характеристики матриц
1,14
1,20
1,05
1,4
1,4
70,3
66,8
45,7
60
72
6,167
5,567
4,352
4,286
5,143
2,8
2,25
2,8
3
2,8
245,3
187,5
266
214,3
200
1,1
41
3,72
3,8
345,5
2,7
8,65
70
250
2,593
2,89
72
125
2667
1445
1.2.2 Композиты с дисперсными частицами
Обычно наполнитель представляет собой частицы. В специальных
случаях наполнитель может иметь вид чешуек. Композиты таких типов
носят название композитов с дисперсными частицами.
Когда размеры частиц являются небольшими и составляют примерно 0,1–0,01 мкм, рассматриваемые материалы называются дисперсноупрочненными. При диаметре частиц порядка 1–50 мкм композит уже
можно рассматривать как материал, упрочненный частицами.
При создании композитов с указанными частицами могут быть использованы различные матрицы. Ниже в качестве примера рассмотрены
сочетания частиц и матриц.
Неметаллические частицы – неметаллические матрицы
В рассматриваемых сочетаниях частицы и матрицы могут представлять собой как органические, так и неорганические вещества. Примером
сочетания неорганической матрицы и неорганических частиц может служить бетон, который получается из смеси песка или щебня с цементом и
водой. Затвердевание смеси происходит в результате химической реакции, которая протекает между цементом и водой. Примерами, в котором
матрица является органическим веществом, являются полимерный раствор и полимерный бетон. В полимерном растворе дисперсной фазой слу-
14
жит песок, а в полимерном бетоне – песок и щебень. В обоих случаях
матрицей является смола.
В рассматриваемых композициях частицы имеют нерегулярное распределение. В последнее время в качестве частиц используют сплошные и
полые шары, которые могут быть изготовлены из стекла, полимеров, углерода и других материалов.
Металлические частицы – неметаллическая матрица
Композиты могут быть получены из полимерной матрицы и металлических частиц или чешуек, заключенных в этой матрице. Обычно такие
композиты обладают хорошей теплопроводностью и небольшим тепловым расширением, а также малым износом. Часто в качестве матрицы используют эпоксидную смолу, в которой рассеяны серебро или медь, что
позволяет получить материал с хорошей тепло- и электропроводностью.
Полиуретан с рассеянными в нем алюминиевыми частицами используется
в качестве ракетного топлива.
Металлические частицы – металлическая матрица
В рассматриваемых композициях могут быть использованы самые
различные металлы. Классификации композиций можно исходят из характера наполнителя. При этом можно выделить два случая:
1) металлические частицы наполнителя тверже матрицы;
2) металлические частицы наполнителя мягче матрицы.
В первом случае в качестве наполнителя могут быть использованы,
например, вольфрам, хром, молибден. Эти материалы являются хрупкими, но обладают хорошей теплостойкостью. Если в качестве матричной
фазы воспользоваться материалами, которые обладают высокой вязкостью, можно получить жаростойкие композиты с хорошей вязкостью.
Второму случаю соответствует пример композита, у которого частицы свинца рассеяны в железе или медном сплаве. Такой композит обладает хорошей обрабатываемостью.
Неметаллические частицы – металлическая матрица
Композиты, у которых матрица является металлической, часто изготавливаются при высоких температурах. При этом в качестве наполнителя используются керамические материалы. Такие композиты носят название керметов.
Обычно в качестве наполнителя используют карбиды и окислы.
Дисперсной фазой может быть, например, карбид вольфрама. Эта фаза
может находиться в кобальтовой матрице, что позволяет получить композит, обладающий очень высокой твердостью. Такой материал идет на изготовление клапанов и фильер, предназначенных для волочения проволоки. При использовании карбида хрома получаются материалы, имеющие
15
хорошую коррозионную стойкость и износостойкость, у которых коэффициент теплового расширения близок к коэффициенту теплового расширения железа. Поэтому композит с карбидом хрома используется для
изготовления клапанов. Помимо указанных карбидов, используют также
карбид титана, что позволяет получить композиты с хорошей теплостойкостью. Такие материалы идут на изготовление деталей турбин, предназначенных для работы при высоких температурах.
1.3 Определение главных материальных
направлений в программе AUTODYN
Ортотропные материалы имеют свойства, которые различаются в
трех взаимно перпендикулярных направлениях, и имеют три взаимно
перпендикулярные плоскости материальной симметрии. Эти свойства материала являются функциями ориентации материала в глобальной системе координат. Ортотропные модели описываются во втором разделе в
терминах главных направлений материала. Это требует определения начальной ориентации этих главных направлений в глобальной системе координат. Определение главных направлений материала в глобальной системе координат для AUTODYN-2D рассматривается в разделе 1.3.1, для
AUTODYN-3D – в разделе 1.3.2.
1.3.1 AUTODYN-2D
Порядок определения главных материальных направлений слоистых композитов в программе AUTODYN регламентируется руководством [2].
Для лагранжевых и ALE-сеток два главных направления лежат в
плоскости XY. Для плоской симметрии третье главное направление перпендикулярно плоскости XY и для осевой симметрии лежит в тангенциальном направлении.
Первое главное направление определяется углом в градусах между
главным направлением и главными XY осями. Этот угол может быть проверен и выведен как историческая переменная, называемая «P.ST.ANG».
Второе главное направление перпендикулярно первому в плоскости XY.
Пользователю позволено определить начальную ориентацию главных материальных осей в одном из трёх случаев. Во всех случаях угол
вращения β может быть специфицирован. Если этот угол не нулевой, первая и вторая главные оси дополнительно поворачиваются против часовой
стрелки на этот угол.
16
XY-пространство
Первая главная ось вращается относительно оси X, как показано на
рис. 1.5.
Y
X
Рис. 1.5 Направления материальных осей в XY-пространстве
Полярное пространство
Первая главная ось для каждой ячейки направлена вдоль прямой,
соединяющей центр полярной системы координат и центр ячейки, как показано на рис. 1.6.
Y
X
Рис. 1.6 Направления материальных осей в полярном пространстве
IJ-пространство
Первая главная ось каждой ячейки направлена в сторону увеличения I-индекса ячейки, как показано на рис. 1.7.
Рис. 1.7 Направления материальных осей в IJ-пространстве
17
Тангенс угла наклона первой главной оси материала к оси X определён следующим образом:
tg    
Yij  Yijm  Yimj  Yimjm
X ij  X ijm  X imj  X imjm
.
1.3.2 AUTODYN-3D
Для 3D лагранжевых и ALE подсеток главные направления ориентированы в пространстве XYZ и взаимно перпендикулярны. Эти три направления определяются с использованием четырёх параметров, как показано ниже.
Первое главное направление есть вектор в пространстве XYZ и определяется компонентами x, y, z. Второе и третье главные направления
определяются двумя векторами, которые лежат в плоскости, имеющей
нормаль, совпадающую с первым главным направлением. Положение
второго и третьего главных направлений в AUTODYN определяется одним углом α, расположенным между вторым главным направлением и
вектором (2’), который определяется векторным произведением оси X и
первым главным направлением. На рис. 1.8, в качестве примера, первое
главное направление показано как вектор, который поворачивается в
плоскости XY на угол θ. Следовательно, направление 2’ совпадает с направлением Z. Направление 2 может изменяться от –90 до 90°. Третье направление перпендикулярно первому и второму направлениям.
Y
X
Z
Рис. 1.8 Направления материальных осей в AUTODYN,
определённых в XYZ-пространстве
18
Пользователю позволено определять начальную ориентацию главных материальных осей одним из двух путей, как показано ниже.
XYZ-пространство
Первое главное направление определяется относительно осей XYZ при
использовании x-, y- и z- компонентов вектора. Второе и третье направления
определяются при использовании угла α, как показано на рис. 1.9.
Y
X
Z and 2’
Рис. 1.9 Направления материальных осей
в AUTODYN, определённых в XYZ-пространстве
I-J-K-пространство
Первое главное направление каждой ячейки направлено в сторону
увеличения I-индекса каждой ячейки, как показано на рис. 1.10. Направление вычисляется индивидуально для каждой ячейки. Тогда направления
сохраняются с помощью четырёх переменных, так же как и в предыдущем
случае:
– первое направление есть вектор, идущий из центра (I–1)-й фаски в
центр I-фаски;
– далее определяются средние точки в K-линиях [I–1, J–1] и [I, J],
которые обозначены точками p и q, соответственно;
– третье направление определяется векторным произведением первого направления и вектора, проходящего через точки p и q;
– второе направление определяется векторным произведением первого и третьего направлений.
19
Рис. 1.10 Направления материальных осей в IJ-пространстве
1.4 Определение главных материальных
направлений в программе LS-DYNA
Порядок определения главных материальных направлений слоистых
композитов в программе LS-DYNA регламентируется руководством [3].
В программе LS-DYNA реализованы четыре способа определения
главных материальных направлений. Выбор способа определения материальных направлений осуществляется с помощью параметра модели материала АОРТ. Способы определения материальных направлений иллюстрирует рис. 1.11. Подробное описание моделей композитов, реализованных в программе LS-DYNA, находится в Приложении.
Так, при значении параметра АОРТ < 0 направление материальных
осей определяется положением локальной системы координат, которая
задается
ключевыми
словами
*DEFINE_COORDINATE_NODES,
*DEFINE_COORDINATE_SYSTEM
или
*DEFINE_COORDINATE_
_VECTOR). Значение –АОРТ соответствует номеру используемой для определения материальных направлений локальной системы координат.
При значении параметра АОРТ = 0 направление материальных осей
определяется положение первого, второго и четвертого узлов элемента,
как показано на рис. 1.11,а.
При значении параметра АОРТ = 1 положение осей материала определяется точкой в пространстве и глобальным положением центра элемента – это направление а. Эта опция предназначена только для объёмных элементов.
20
а)
в)
г)
б)
д)
Рис. 1.11 Способы определения направлений материальных осей:
а – OPT = 0,0; б – OPT = 1,0; в – OPT = 2,0; г – OPT = 3,0; д – OPT = 4,0
При значении параметра АОРТ = 2 положение осей материала определяется векторами, заданными ниже, как для ключевого слова
*DEFINE_COORDINATE_VECTOR.
При значении параметра АОРТ = 3 положение осей материала определяется вращением осей материала вокруг нормали к элементу на угол
ВЕТА, от линии в плоскости элемента, заданной векторным произведением вектора v и нормали к элементу.
При значении параметра АОРТ = 4 положение осей материала в цилиндрической системе координат определяется вектором v и исходной
точкой Р, задающей центральную ось. Данная опция предназначена только для объёмных элементов.
21
2 ОРТОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ СОПРОТИВЛЕНИЯ
МАТЕРИАЛА ДЕФОРМИРОВАНИЮ
Общее поведение слоистых композитов может быть описано с помощью ортотропных определяющих соотношений. В разделе 2.1 такие
соотношения устанавливаются в предположении о том, что деформация,
связанная с изменением объёма, является упругой. Для более точного
описания реакции материала на динамическое нагружение ортотропная
упругая модель сопротивления деформированию может использоваться
совместно с нелинейным уравнением состояния, описание которого дается в разделе 2.2.2. Использование нелинейного уравнения состояния является важным при моделировании высокоскоростного соударения.
Некоторые композиты, такие как kevlar-epoxy, кроме ортотропии
упругих свойств проявляют существенно нелинейную зависимость между
напряжениями и деформациями, пример которой показан на рис. 2.1. Для
описания такого нелинейного поведения может быть использована модель пластичности, учитывающая ортотропное упрочнение материала.
При этом учёт анизотропии пластических свойств может основываться на
использовании ортотропного критерия пластичности, описание которого
приводится в разделе 2.3.
Рис. 2.1 Типовая диаграмма деформирования kevlar-epoxy
2.1 Ортотропная упругая модель
Для обычных материалов определяющие соотношения, называемые
также моделями материалов, определяют зависимость между девиатором
22
тензора напряжений и девиатором тензора деформаций, девиатором тензора скорости деформаций, температурой, давлением и накопленной повреждённостью:
Cij  f  ,  , T , p, D  .
(2.1)
Для других материалов, включая слоистые композиты, макроскопические свойства которых не одинаковы во всех направлениях, механическое поведение описывается с помощью ортотропных определяющих соотношений. Ортотропные определяющие соотношения базируются на
формулировке в полных напряжениях в противоположность разделению
полных напряжений на гидростатические (шаровые) и девиаторные компоненты. Так, ортотропные определяющие соотношения, связывающие
приращения напряжений и деформаций, могут быть записаны в следующем виде:
 
n 1
    C     t ,
n
(2.2)
где C  – матрица жесткости;    – тензор скорости деформации;  t –
шаг по времени.
Линейное упругое определяющее соотношение в декартовой системе координат для анизотропного материала может быть записано следующим образом:
 11   C11
   C
 22   12
 33  C13
 
  23  C14
 31  C15
  
 12  C16
C15 C16   11 
C25 C26   22 
 
C35 C36   33 
(2.3)
  .
C45 C46    23 
C55 C56   31 
 
C56 C66   12 
В определяющем соотношении (2.3) имеется 21 независимая упругая константа. Эти константы являются параметрами определяющегося
соотношения.
Если имеется одна плоскость материальной симметрии, то соотношение (2.3) упрощается до следующего вида:
C12 C13
C22 C23
C23 C33
C24 C34
C25 C35
C26 C36
C14
C24
C34
C44
C45
C46
 11   C11 C12 C13 0
   C
C22 C23 0
 22   12
 33  C13 C23 C33 0
 
0
0 C44
  23   0
 31   0
0
0 C45
  
 12  C16 C26 C36 0
где плоскость симметрии X33 = 0.
23
0
0
0
C45
C55
0
C16   11 
C26   22 
 
C36   33 
  ,
0    23 
0   31 
 
C66   12 
(2.4)
Такой материал называется моноклиник (monoclinic) и, соответственно, имеет 13 независимых упругих констант. Это определяющее соотношение является основой для описания тканей и слоистых композитов,
которые имеют плоскость симметрии, расположенную по толщине, и отличаются тем, что слой ткани или нити лежит в этой плоскости.
Если в плоскости нитевого композита присутствует вторая плоскость симметрии, то симметрия должна быть введена также и в третьей
взаимно ортогональной плоскости. Такой материал становится ортотропным, и его соответствующее определяющее соотношение записывается в
следующем виде:
 11   C11 C12 C13 0
   C
C22 C23 0
 22   12
 33  C13 C23 C33 0
 
0
0 C44
  23   0
 31   0
0
0
0
  
0
0
0
 12   0
0
0   11 
0
0   22 
 
0
0   33 
(2.5)
  .
0
0    23 
C55 0   31 
 
0 C66   12 
Обращение матрицы жесткости, которая входит в определяющее
соотношение (2.5), позволяет определить матрицу податливости ортотропного материала:
12 13
 1

0
0
0 
 E
E11
E11
 11

1
 23
  21

0
0
0
E

E22
E22
 22

1
  31  32

0
0
0
E

E33
E33
33

 ,
(2.6)
S   

1
0
0
0
0 
 0
2
G
23




1
0
0
0
0 
 0
2G31



1 
0
0
0
0
 0

2G12 

где Eii – модули Юнга в главных материальных направлениях; Gij – модули сдвига; νij – коэффициенты Пуассона.
Коэффициенты Пуассона νij определяются как отношение с обратным знаком поперечной деформации в j-направлении к продольной деформации в i-направлении, когда напряжение приложено в i-направлении,

E
так что  ij   j . Заметим, что  ij   ji ii .
Eii
i
24
Также заметим, что в программе AUTODYN-2D направления 23 и
31 не применяются, так что G23 и G31 не требуются, и  23   31  0 ,
 23  31  0 .
Определяющее соотношение может быть обобщено для армированных композитов, в которых нити лежат в матрице. Модель будет описывать объёмный упругий отклик при воздействии на материал. Это может
не соответствовать действительной реакции материала на высокое давление при высокоскоростном ударе.
Ограничения на упругие константы, которые используются для ортотропных материалов, более жёсткие, чем те, которые используются для
изотропных материалов. Эти ограничения следуют из требования того,
что сумма работ внешних сил при всех условиях нагружения должна быть
положительной. Первое ограничение заключается в том, чтобы упругие
константы были положительными:
E11, E22, E33, G12, G23, G31 > 0.
(2.7)
Второе ограничение требует положительности определителя матрицы жёсткости:
  1  12 21  3113   2332  2 213213  0 .
(2.8)
Третье ограничение требует выполнения неравенств
 21 
E22
,  32 
E11
E33
, 13 
E22
E11
.
E33
(2.9)
Всякий раз, когда упругие константы в моделях AUTODYN определяются или переопределяются, эти три условия проверяются, и пользователь информируется, если некоторые из этих условий не выполняются.
2.2 Уравнения состояния
Модель ортотропного материала, развитая в работе [4], предлагает
механизм вычисления:
– давления по гидростатическим (шаровым) и девиаторным компонентам деформаций;
– девиатора напряжений по девиатору деформаций.
Эта модель даёт возможность учесть нелинейные эффекты, которые
вызваны объёмной деформацией ортотропного материала, например при
высокоскоростном ударе. При использовании этой модели для учёта объёмной деформации выбирается одно из двух уравнений состояния – ударное или полиномиальное.
Линейное упругое определяющее соотношение, записанное в приращениях, для ортотропного материала с использованием принятых обозначений может быть записано в следующем виде:
25
 11   C11 C12 C13 0
   C
C22 C23 0
 22   12
 33  C13 C23 C33 0


0
0 C44

23

  0
 31   0
0
0
0

 
0
0
0
 12   0
0
0   11 
0
0    22 


0
0   33 

.
0
0    23 
C55 0   31 


0 C66   12 
(2.10)
Для учёта нелинейных ударных эффектов необходимо отделить
объёмную (термодинамическую) реакцию материала от его способности
сопротивляться сдвиговым нагрузкам. Для этого следует разделить приращение деформации на приращение средней деформации  ave и приращение девиатора деформаций ijd :
ij  ijd   ave .
(2.11)
Приращение средней деформации может быть определено как след
тензора приращения деформаций:
 ave 
1
 11  22  33  .
3
(2.12)
Малое приращение объёмной деформации определяется как
vol  11   22  33 .
(2.13)
Для ортотропного материала приращение деформации может быть
записано в виде суммы приращения объёмной деформации и приращения
девиатора деформаций в виде следующего определяющего соотношения:
 d 1

 11  3 vol 
0
0 
 11   C11 C12 C13 0

1

   C
d


0
0
C22 C23 0
   22  3 vol 
 22   12
 33  C13 C23 C33 0
0
0 


   d  1   . (2.14)

 
vol
33
0
0 C44 0
0 
  23   0
3


 31   0
0
0
0 C55 0  

 23


 

0
0
0
0 C66  
 12   0
31



12


Если представленное выше определяющее соотношение записать в
развёрнутом виде и сгруппировать слагаемые, в которые входит приращение объёмной деформации vol , то получим
11 
1
 C11  C12  C13  vol  C1111d  C1222d  C1333d ;
3
26
22 
1
 C21  C22  C23  vol  C2111d  C22 22d  C2333d ;
3
33 
1
 C31  C32  C33  vol  C3111d  C32 22d  C3333d .
3
(2.15)
Для того чтобы найти приращение давления, определим давление
как след приращения тензора напряжений:
P  
1
 11  22  33  .
3
(2.16)
Подставляя (2.15) в (2.16), получим выражение для приращения
давления:
1
P   C11  C22  C33  2  C12  C23  C31   vol 
9
1
d
  C11  C21  C31  11

3
(2.17)
1
d
  C12  C22  C32   22 
3
1
d
.
  C13  C23  C33  33
3
Из этого выражения следует, что вклад приращения объёмной деформации и приращения девиатора деформаций в приращение давления
может быть различным.
Для изотропного материала коэффициенты матрицы жесткости связаны с модулем объёмной упругости K и модулем сдвига G следующим
образом:
4
C11  C22  C33  K  G ,
3
2
C12  C21  C23  C32  C13  C31  K  G .
3
(2.18)
Подстановка выражения (2.18) в (2.16) даёт
d
d
d
P   K vol  K  11
  22
 33
,
(2.19)
далее
d
d
11
  d22  33
 0.
(2.20)
Выражение (2.19) упрощается до зависимости
P   K vol ,
(2.21)
которое совпадает с обычным соотношением (законом Гука) между давлением и объёмной деформацией при малом сжатии.
27
Первое слагаемое в (2.17) может быть использовано для определения объёмного модуля материала, который равен
1
K '   C11  C22  C33  2  C12  C23  C31   .
9
(2.22)
Для учёта нелинейных ударных эффектов, в части влияния на приращение давления, приращение объёмной деформации в выражении (2.17)
может быть изменено путём включения нелинейных слагаемых. В окончательном виде приращение давления может быть записано следующим
образом:
1
 C11  C21  C31  11d 
3
1
1
d
  C12  C22  C32   d22   C13  C23  C33  33
,
3
3
P  PEOS  vol , e  
(2.23)
где вклад в приращение давления объёмной деформации учтён включением нелинейного уравнения состояния PEOS  vol , e  , описывающего нелинейные ударные эффекты и внутреннюю энергию материала.
Одна из форм уравнения состояния, которая часто используется для
изотропных тел, известна как уравнение Ми–Грюнайзена:
p  pГ  v  
Гv
e  eГ  v   ,
v 
(2.24)
где Г  v  – постоянная Грюнайзена, которая определяется как
 p 
Гv  v  .
 e v
(2.25)
Используемые функции p  v  и e  v  должны быть известными
функциями относительного объёма v.
Два уравнения состояния могут быть использованы совместно с ортотропным определяющим соотношением (2.14). Они рассматриваются
ниже.
2.2.1 «Ударное» уравнение состояния
Для определения давления и внутренней энергии в точке Гюгонио с
помощью уравнения состояния требуется зависимость между скоростью
распространения ударной волны и скоростью материальных частиц на
фронте ударной волны. В программе AUTODYN эту зависимость определяют как
28
U s  C0  Su p ,
(2.26)
где Us – скорость распространения ударной волны; up – скорость материальных частиц на фронте ударной волны; S – коэффициент наклона в зависимости Us – up; C0 – объёмная скорость звука.
Для ортотропного материала объёмная скорость звука C0 вычисляется через эффективный модуль объёмного сжатия K ' (выражение (2.22))
и плотность  :
C0 
K'
.

(2.27)
2.2.2 Полиномиальное уравнение состояния
Полиномиальное уравнение состояния имееет вид
p  K ' vol  A2  vol   A3  vol    B0  B1vol  0e ,
2
3
(2.28)
где первое слагаемое эквивалентно линейному уравнению состояния с
объёмным модулем K′, определяемому с помощью выражения (2.22).
2.3 Ортотропная модель пластичности
В этом разделе рассматривается ортотропная модель пластичности,
используемая для описания упругопластических процессов в ортотропных
композитах с учётом наблюдаемого у некоторых композитов упрочнения.
При рассмотрении процессов деформирования, упрочнения, разупрочнения и разрушения композитов могут быть использованы два определения разрушения, различие которых иллюстрирует типовая диаграмма
деформирования композитов, представленная на рис. 2.1.
При проектировании конструкции в качестве начала разрушения на
диаграмме деформирования может быть принята точка, в которой материал начинает проявлять нелинейные свойства (обусловленные пластичностью, микроразрушением и т.п.). Однако при моделировании экстремальных нагрузок, возникающих, например, при высокоскоростном соударении, для обозначения разрушения на диаграмме деформирования может
использоваться точка, в которой материал действительно разрушается,
т.е. становится несплошным. В этой точке материал резко теряет способность сопротивляться деформированию, переходит из стадии упругопластического в стадию полностью неупругого деформирования, которое
обусловлено образованием микротрещин, пластичностью в матрице или
разориентацией нитей, и, в конечном счёте, полностью разрушается.
В дальнейшем будет использоваться последнее определение разрушения,
а для обозначения процессов, происходящих в материале, начиная от появления первых признаков нелинейного поведения до момента резкой потери, способность сопротивляться деформированию будем использовать
29
термин «упрочнение». Стадию деформирования, которая начинается в
момент резкой потери способности сопротивляться деформированию и
заканчивается в момент полной потери способности сопротивляться деформированию, будем называть разупрочнением.
Известный анизотропный критерий пластичности Тая–Хилла может
быть использован для описания потенциально различных пределов текучести в трёх материальных направлениях ортотропного материала. Этот критерий часто используется в анизотропных пластических моделях для материалов с изотропными упругими свойствами, такими как металлы и полимеры. Этот критерий, тем не менее, имеет ряд ограничений для материалов с
ортотропной жёсткостью. Одно из них заключается в том, что все неупругие
деформации происходят в постоянном объёме, т.е. связаны с девиатором
деформаций. Однако для анизотропных материалов девиатор деформаций
связан с объёмным давлением. Отсюда может возникнуть несовместимость
между изменением объёма и давления, когда имеет место неупругая деформация. Модель также не учитывает какое-либо упрочнение, возникающее
при нагружении и остающееся после снятия нагрузки.
В программе AUTODYN применяется девятипараметрический критерий текучести, который был предложен Ченом. Этот критерий включает
константы давления, применяемые в теории Хилла как частный случай, и,
следовательно, более общим образом описывает материал с ортотропной
жёсткостью. При правильном выборе параметров можно добиться того,
что пластические деформации будут происходить при постоянном объёме. В критерий также входит параметр упрочнения. Разупрочнение и накопление повреждённости не учитываются этим критерием, но могут
быть учтены для однонаправленных или слоистых композитов так, как
это будет показано ниже. Являясь более общим, девятипараметрический
критерий текучести может быть применен и для других изотропных и
анизотропных материалов. Кроме этого, девятипараметрический критерий текучести может использоваться совместно с ортотропным уравнением состояния, описание которого дается в разделе 2.2.
2.3.1 Ортотропный критерий пластичности
Ортотропный критерий пластичности, используемый для описания
нелинейных эффектов упрочнения, имеет вид
2
2
f  ij   a1111
 a22222  a3333
 2a1211 22  2a23 2233 
2
2
2
2a131133  2a44 23
 2a5531
 2a6612
 k.
(2.29)
Критерий представляет собой квадратичную функцию в пространстве, определённом главными осями материала, и включает девять констант aij, которые учитывают степень анизотропии в поведении материа-
30
ла. Параметр k является функцией эффективности неупругой деформации
материала (пластической деформации) и может быть использован для
описания упрочнения материала.
Эта функция текучести достаточна общая и при надлежащем выборе коэффициентов она может быть преобразована в другие хорошо известные функции текучести. При следующих условиях функция (3.29)
может быть преобразована в ортотропную функцию пластичности Хилла:
a12  a33   a11  a22  a33  / 2 ;
a13  a22   a11  a22  a33  / 2 ;
(2.30)
a23  a11   a11  a22  a33  / 2 .
При выполнении приведённых ниже условий может быть получена
функция текучести Мизеса:
2
a11  a22  a33  ;
3
1
a12  a23  a13   ;
(2.31)
3
a44  a55  a66  1 .
Параметры пластичности aij могут быть определены из диаграмм
деформирования, полученных при трёх испытаниях на одноосное растяжение и при трёх испытаниях на чистый сдвиг в трёх материальных плоскостях. Шесть параметров, связанных с нормальными напряжениями,
также могут быть определены по кривым «эффективность напряжения –
эффективность пластических деформаций» с использованием пластических коэффициентов Пуассона (PPR). Три константы, связанные со сдвиговыми напряжениями, получаются обработкой соответствующих кривых
«эффективное напряжение – пластическая деформация» при чистом сдвиге. В практике все требуемые диаграммы деформирования обычно неизвестны. В таком случае, как, например, в работе [6], требуемые диаграммы деформирования могут быть получены в результате трёхмерного микромеханического моделирования.
После выхода за начальную поверхность текучести поведение материала становится упругопластическим. Приращение пластических деформаций определяется как
f
d ijp  d 
.
(2.32)
ij
Это уравнение Прандля–Райса, которое часто называют законом
пластического течения, устанавливает, что приращение пластической деформации пропорционально градиенту от функции текучести. Константа
d известна как множитель скорости пластической деформации. Записанное в явном виде, приращение пластической деформации имеет вид
31
 d 11p 
 2a1111  2a1222  2a1333 
 p 
 2a   2a   2a  
22 22
23 33 
 d  22 
 12 11
p
 d 331 
 2a1311  2a2322  2a3333 
(2.33)
 p   d 
.

4
a

d
44 23
 23 


 d p 


4a5531
 31p 


4a6612
 d 13 


Пластические коэффициенты Пуассона (PPR) определяются как
d  pjj
p
ij  p (по повторяющимся индексам не суммировать). (2.34)
d ii
Зависимости (2.33) и (2.34) определяют следующие связи, облегчающие вычисления параметров квадратичной поверхность текучести:
p
p
 21
 23
31p
a11  a22 p ; a33  a22 p ; a11  a33 p ;
12
 32
13
p
p
a12  a22 21
; a23  a22 23
; a13  a33 31p .
(2.35)
Приращение эффективноcти пластической деформации может быть
вычислено, если использовать понятие пластической работы:
dW p  ij d ijp  d  p .
(2.36)
Выражение (2.36) можно переписать как
T d  p  d  p .
(2.37)
Умножение транспонированного тензора напряжений на приращение пластической деформации, определённое выражением (2.32), с учётом
выражения
2
f  k  2 .
3
(2.38)
позволяет получить явное определение приращения эффективности пластической деформации:
2
(2.39)
 d  p   83 fd  2 .
Следующее явное выражение получается подстановкой выражения
(2.29) в (2.39) и использования выражения (2.33):

2
2
2
p 2
p
A11  d 11p   A22  d  22
A33  d 33p   2 A12 d 11p d  22


3
  d  p 2  d  p 2  d  p 2  (2.40)
4
p
p
 2 A12 d 11p d  22
 2 A12 d 11p d  22
  3  a 23  a 31  a12  ,
55
66
 44

d  
p 2

32
a11
a12
a13
где   a12
a13
a22
a23 ; параметры Aij , соответственно, равны
a23
a33
2
A11  a22 a33  a23
; A22  a11a33  a132 ; A33  a11a22  a132 ;
A12  a13a23  a12 a33 ; A13  a12 a23  a13a22 ; A23  a12 a13  a11a23 .
2.3.2 Алгоритм вычисления напряжений
Обычная последовательность вычислений, которая сопровождает
каждый шаг интегрирования, схематично показана на рис. 2.2. Начало
петли интегрирования находится внизу рисунка и обозначено стрелкой.
Согласно этой схеме сначала вычисляются силы для узлов, которые расположены на границах рассматриваемых объемов и контактных поверхностей, затем для узлов внутри объёмов. Для этого используются результаты вычислений, выполненных на предыдущем шаге. После этого для
всех внутренних узлов путем интегрирования уравнений изменения количества движения вычисляются их ускорения, а затем их скорости. После
этого определяются новые положения рассматриваемых объёмов и вычисляются скорости деформации в элементах. С использованием моделей
материалов, с учётом результатов интегрирования уравнения сохранения
энергии, определяются напряжения, давление и внутренняя энергия в
элементах, а затем и внутренние силы, действующие на внутренние узлы
в рассматриваемых объёмах.
Рис. 2.2 Вычислительный цикл
33
По известным скоростям деформации и относительному изменению
V
объёма вычисляются напряжения. Изначально напряжения вычисляютV
ся по упругому определяющему соотношению. Вычисленные напряжения
подставляются в ортотропный критерий текучести (2.29). Если оказывается, что вычисленные по упругому определяющему соотношению напряжения выходят за поверхность текучести, то выполняется корректирующая операция, возвращающая напряжения на поверхность текучести по
нормали к этой поверхности, как это показано на рис. 2.3.
В
x
σх
σс
f=0
Рис. 2.3 Поверхность текучести
Приведение напряжения на поверхности текучести осуществляется
с использованием возвращающего алгоритма Эйлера:
C   B  C d  p ,
(2.41)
где C – матрица жёсткости; d  p – приращение пластических деформаций, вычисляемое по закону пластического течения:
d p 
f
d   aC d  ,
ij
(2.42)
C
в который входит вектор aC , направление которого совпадает с направлением нормали к поверхности текучести в точке С (см. рис. 2.3).
За исключением специальных случаев вектор aC не может быть определён в произвольной точке B пространства напряжений. Поэтому для
его определения используется итерационная процедура.
34
На первом шаге итерационной процедуры вычисляется пробное
напряжения C в точке C пространства напряжений:
C   B  d  CaB ,
(2.42)
fB
определяется так, чтобы значение функции текучести обa CaB
ращалось в ноль при её расширении до точки B. Полученное напряжение
остаётся снаружи поверхности текучести. Это происходит потому, что
нормаль к пробной поверхности текучести в точке B не совпадает с конечной нормалью в точке D (рис. 2.4). Для нахождения действительного
напряжения требуется несколько итераций.
где d  
T
B
В
C
D
x
fв > 0
f=0
Рис. 2.4 Схематичное представление алгоритма Эйлера
Итерационная процедура заканчивается тогда, когда расхождение
между вычисленным напряжением и поверхностью текучести не будет
превышать одного процента от предела текучести.
Как только итерационная процедура вычисления напряжений, основанная на возвращающем алгоритме Эйлера, закончена, пластическая
часть приращения деформации может быть вычислена по следующему
выражению:
2
(2.43)
 d  p   83 fd  2 .
35
3 ОРТОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛА
3.1 Модели хрупкого разрушения
Для описания разрушения хрупких материалов в программе
AUTODYN доступны три ортотропные модели начала разрушения:
– предельных напряжений;
– предельных деформаций;
– предельных напряжений и деформаций.
Эти модели позволяют различать напряжения и (или) деформации
растяжения и сдвига для каждого главного материального направления,
что особенно важно для моделирования ортотропного разрушения.
Данные ортотропные модели начала разрушения могут быть использованы вместе с упругим ортотропным определяющим соотношением или ортотропной моделью пластичности, линейным или нелинейным
уравнением состояния, описание которых дано во втором разделе. Во всех
описанных выше моделях разрушение начинается в главном материальном направлении, когда напряжения или деформации достигают заданного пользователем предельного значения. Описание трёх хрупких ортотропных моделей начала разрушения, реализованных в программах
AUTODYN-2D и AUTODYN-3D, приводится ниже.
3.1.1 Начало разрушения
Модель предельных напряжений
Эта модель используется для материалов, которые разрушаются
вдоль предпочтительных материальных плоскостей. Например, разрушение расщеплением, которое обнаруживается между слоями в плоскости
композита. Модель использует следующие предельные характеристики
напряженного состояния:
– предельное напряжение при растяжении вдоль направления 11;
– предельное напряжение при растяжении вдоль направления 22;
– предельное напряжение при растяжении вдоль направления 33;
– предельное напряжение при сдвиге в плоскости 12;
– предельное напряжение при сдвиге в плоскости 23 (3D только);
– предельное напряжение при сдвиге в плоскости 31 (3D только).
Считается, что разрушение начинается, если напряжение вдоль главного материального направления превышает соответствующее предельное
растягивающее напряжение. Также разрушение в плоскости, параллельной
главному материальному направлению, происходит, если напряжение сдвига достигает соответствующего предельного напряжения при сдвиге.
36
Модель предельных деформаций
Эта модель обычно используется для материалов, которые разрушаются вдоль предпочтительных материальных плоскостей. Например,
разрушение, которое обнаруживается между двумя слоями в плоскости
композита. Модель использует следующие предельные характеристики
деформированного состояния:
– предельную деформацию при растяжении вдоль направления 11;
– предельную деформацию при растяжении вдоль направления 22;
– предельную деформацию при растяжении вдоль направления 33;
– предельную деформацию при сдвиге в плоскости 12;
– предельную деформацию при сдвиге в плоскости 23 (3D только);
– предельную деформацию при сдвиге в плоскости 31 (3D только).
Считается, что разрушение начинается, если деформация вдоль главного материального направления превышает соответствующую предельную
растягивающую деформацию. Также разрушение в плоскости, параллельной
главному материальному направлению, происходит, если деформация сдвига достигает соответствующей предельной деформации при сдвиге.
Модель предельных напряжений и деформаций
Эта модель также обычно используется для материалов, которые разрушаются вдоль предпочтительных материальных плоскостей. Модель использует следующие предельные характеристики напряженно-деформированного состояния:
– предельное напряжение при растяжении вдоль направления 11;
– предельное напряжение при растяжении вдоль направления 22;
– предельное напряжение при растяжении вдоль направления 33;
– предельное напряжение при сдвиге в плоскости 12;
– предельное напряжение при сдвиге в плоскости 23 (3D только);
– предельное напряжение при сдвиге в плоскости 31 (3D только);
– предельную деформацию при растяжении вдоль направления 11;
– предельную деформацию при растяжении вдоль направления 33;
– предельную деформацию при сдвиге в плоскости 12;
– предельную деформацию при сдвиге в плоскости 23 (3D только);
– предельную деформацию при сдвиге в плоскости 31 (3D только).
Считается, что разрушение начинается, если напряжение или деформация вдоль главного материального направления превышают соответствующее предельное значение. Также разрушение в плоскости, параллельной главному материальному направлению, происходит, если напряжение или деформация сдвига достигают соответствующего предельного напряжения или предельной деформации при сдвиге.
3.1.2 Реакция после начала разрушения
Когда используется ортотропное уравнение состояния совместно с
одним из описанных выше критериев начала разрушения, то дополни-
37
тельно одним из двух способов может быть учтено поведение материала
после начала разрушения. Поведение материала после начала разрушения
может быть изотропным или ортотропным. Последовательность развития
разрушения, изменения жёсткости элементов и их способности сопротивляться деформированию зависят от используемых моделей развития разрушения и описываются ниже.
Изотропное поведение после разрушения
Модели разрушения, описанные в разделе 3.1.1, различают напряжения и деформации для каждого главного материального направления.
Если рассматривается изотропное развитие разрушения, то разрушившийся элемент может сопротивляться только объёмным сжимающим напряжениям, и после начала разрушения в элементе происходит следующее:
– напряжение в главном материальном направлении, в котором
произошло разрушение, становится равным нулю;
– все модули сдвига становятся равными нулю;
– все напряжения сдвига становятся равными нулю;
– среднее напряжение и давление пересчитываются с использованием
нормальных напряжений:
P
1
 11  22  33  .
3
Особенностями моделирования изотропного поведения после разрушения являются:
– применение ортотропного соотношения между напряжениями и
деформациями в приращениях;
– вычисление средних напряжений и давления с использованием
приведённого выше выражения;
– учёт того, что при сжатии элемента главные напряжения становятся равными среднему напряжению, т.е. давлению:
ii   P ;
– учёт того, что при растяжении элемента все главные напряжения
и, следовательно, среднее напряжение становятся равными нулю:
ii   P  0 .
Ортотропное поведение после разрушения
Поведению слоистых композитов после разрушения в большей мере
соответствует ортотропная модель поведения после разрушения. Она была разработана специально для моделирования процессов развития разрушения в композитах, включая расщепление однонаправленных и слоистых композитов.
При использовании ортотропной модели поведения материала после разрушения необходимо определить её опции и параметры, которые
38
представлены в табл. 3.1. Опции модели определяют поведение материала
после разрушения в каждом материальном направлении, параметры – остаточные сдвиговые жёсткости и максимальное сопротивление сдвигу
после разрушения.
Таблица 3.1
Опции и параметры ортотропной модели
Направление
разрушения
Направление
11
Направление
22
Направление
33
Направление
12
Остаточная
часть
сдвиговой
жесткости
Максимальные
остаточные
напряжения
сдвига
Опция после
разрушения
Отклик после разрушения
Опции
Нулевые напряжения растяжения
Только
направление 11 в направлении 11
Только объёмное Нулевые напряжения растяжения во всех
разрушение
направлениях
Только
Нулевые напряжения растяжения
направление 22 в направлении 22
Только
Нулевые напряжения растяжения
объёмное
во всех направлениях
разрушение
Только
Нулевые напряжения растяжения
направление 33 в направлении 33
Только
Нулевые напряжения растяжения
объёмное
во всех направлениях
разрушение
Только
Нулевые напряжения растяжения
направление
в направлении 11
11и 12
Только
Нулевые напряжения растяжения
направление
в направлении 22
12 и 22
Только
Нулевые напряжения растяжения
объёмное
во всех направлениях
разрушение
Параметры модели
от 0 до 1
от 0 до 1,0·1020
Остаточный модуль сдвига
устанавливается в заданное значение.
По умолчанию в 0,2.
Максимальное напряжение сдвига,
позволенное в элементах. Рекомендуется
значение, равное или меньше предельному
напряжению при сдвиге
Для всех форм разрушения в начале разрушения напряжения в материальных направлениях, по которым произошло разрушение, обращаются в ноль. В дополнение к этому напряжения в материальных направлениях, ортогональных направлению разрушения, ослабляются за счёт
39
уменьшения эффекта Пуассона в направлении разрушения. В дальнейшем
элементы сопротивляются растяжению только в неразрушившихся направлениях.
Если элемент разрушается в двух или более направлениях, происходит объёмное разрушение.
Последовательность развития разрушения, изменение жесткости
элементов и их способности сопротивляться разрушению зависят от формы разрушения и описываются ниже.
Расщепление
В осесимметричной постановке направление 11 расположено вдоль
толщины слоистого композита, направление 33 – в окружном направлении. Расщепление может произойти в результате чрезмерных растягивающих напряжений или деформаций в направлении, перпендикулярном
композиту, или чрезмерных напряжений или деформаций сдвига в плоскости 12. Если разрушение происходит по одной из этих двух форм разрушения, то в направлении 11 немедленно обращается в нуль напряжение, а деформация в направлении 11 сохраняется. Далее, если деформация
растяжения в направлении 11 превышает предельную деформацию разрушения, то матрица жёсткости модифицируется:
0
 0  0 0
   0 C
C23
22
 22  
 33  0 C23 C33


0

 23  0 0
 31  0 0
0

 
0
 12  0 0
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
C55
0
  11 
   
  22 
  33 

.
0    23 
0   31 


C66   12 
0
0
0
(3.1)
Эта модификация матрицы жёсткости не позволяет напряжениям,
действующим по толщине, вызывать растяжение в плоскости композита.
Заметим, что расщепление в практике приводит к уменьшению
сдвиговой жесткости. Часто, при отсутствии экспериментальных данных,
значение коэффициента уменьшения модуля сдвига α принимается равным 20 %.
Разрушение в плоскости
В осесимметричном случае направления 22 и 33 расположены в
плоскости композита, т.е. в направлении волокон. Если разрушение начинается в этих двух направлениях, напряжения в разрушившихся направлениях немедленно обращаются в нуль, а деформации в направлениях
разрушения сохраняются. Далее, если деформация растяжения в направлении разрушения достигает предельного значения, то матрица жёсткости
материала модифицируется:
40
– при разрушении в направлении 22:
 11  C11 0 C13
 0  0
0
0

 
 33  C13 C23 C33


0
0

23

 0
 31   0
0
0

 
0
0
 12   0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
C55
0
0   11 
0    22 


0   33 

;
0    23 
0   31 


C66   12 
(3.2)
  11 
   
  22 
  33 

.
0    23 
0   31 


C66   12 
(3.3)
– при разрушении в направлении 33:
 11   C11 C12
   C
C22
 22   12
 0   0
0


0
 23   0
 31   0
0

 
0
 12   0
0
0
0
0
0
0
0 C44
0
0
0
0
0
0
0
0
C55
0
0
0
0
Это изменение матрицы жёсткости ограничивает возникновение
чрезмерных растягивающих напряжения в направлении разрушения. Также заметим, что эти формы разрушения в практике приводят к изменению
сдвиговой жесткости. Часто, при отсутствии экспериментальных данных,
значение коэффициента уменьшения модуля сдвига α принимается равным 20 %.
Комбинированное разрушение
Комбинация эффектов разрушения во всех трех материальных направлениях приводит к таким изменениям в жёсткости материала и его
сопротивлении деформированию, при которых имеет место нулевое значение девиатора напряжений и отсутствие напряжений растяжения, т.е.
материал не сопротивляется напряжениям растяжения.
Плавление и декомпозиция
Плавление/возгонка в эпоксидной смоле и декомпозиция в нитях
материала наблюдаются в композитах с эпоксидной матрицей, например в
kevlar-epoxy [4]. Это обнаруживается в коническом объёме прямо под
точкой удара в условиях одноосной деформации и скорости около или
свыше 1000 м/с.
Математическое описание этого явления с помощью гидродинамических моделей в приближённом варианте возможно в ближайшем будущем. Температура плавления эпоксидной смолы может быть определена.
41
Считается, что это даёт очень малый эффект в расщеплении материала.
Процедуры, описанные в разделе 2, подходят для описания этой формы
разрушения.
Температура декомпозиции нити тоже может быть определена. Декомпозиция нити может приводить к образованию негомогенных материалов с неизвестными свойствами. Модель предполагает, что декомпозированный материал, имеет свойства целого материала находящегося
под действием объёмного сжатия. При объёмном растяжении давление,
девиатор напряжений и напряжения растяжения образовавшегося материала равны нулю.
3.2 Ортотропная модель накопления повреждённости
Композиционные материалы не являются идеально хрупкими. Они
не разрушаются во всех или некоторых направлениях мгновенно. Ортотропные модели разрушения, представленные в разделе 3.1 и основывающиеся на предельных напряжениях или деформациях, мгновенно приравнивают напряжения нулю при возникновении разрушения.
В этом разделе рассматривается ортотропная модель поведения
композита после разрушения, учитывающая его разупрочнение, т.е. снижение способности сопротивляться деформированию после разрушения
(см. рис. 2.1). Рассматриваемая модель является развитием модели, представленной в работе [5], где показаны модели разупрочнения в некоторых
композитах.
Ортотропная модель накопления повреждённости предполагает, что
максимальные растягивающие напряжения и напряжения сдвига ограничены поверхностью разрушения, используемой для определения начала
разрушения. Различные формы разрушения рассматриваются так, что
каждая описывается своей уникальной поверхностью. В модели используется постепенное уменьшение способности слоистого композита сопротивляться напряжениям, т.е. разупрочнение, вызванное трещинообразованием. Уменьшение максимального растягивающего напряжения, которое
может быть в элементе, является некоторой функцией меры деформации,
вызванной трещинообразованием cr .
3.2.1 Начало разрушения
Критерий разрушения Хашина интенсивно используется при моделировании для предсказания накопленной повреждённости в композитах
при ударном взаимодействии. Однако в этом критерии разрушение нитей
42
и матрицы рассматривалось только в плоскости композита и учитывались
только растягивающие напряжения 22 , 23 и 33 . Применимость этого
критерия при ударах, выходящих из плоскости композита, остаётся под
вопросом.
Различные варианты этого критерия вместе с критериями для расщепления, представленными в работе [4], применяются в программе
AUTODYN. Для описания разрушения нитей и трещинообразования в
матрице в дополнение к оригинальным добавлены критерии, учитывающие напряжения, выходящие из плоскости слоистого композита. Эти критерии начала разрушения представлены ниже:
– в плоскости 11:
e112 f
 
  11

 11 fail
2
  
   12
  12 fail
2
  
   31
  31 fail
2

  1 ;

(3.4)
– в плоскости 22:
2
e22
f
 
  22

 22 fail
2
  12
  
  12 fail
2
   23
  
  23 fail
2

  1 ;

(3.5)
– в плоскости 33:
2
33 f
e
 
  33

 33 fail
2
  13
  
   23 fail
2
  31
  
  31 fail
2

  1 .

(3.6)
3.2.2 Накопление повреждённости
Критерий начала разрушения может рассматриваться как поверхность, ограничивающая область существования напряжений. Если напряжения выходят за эту поверхность, то с использованием алгоритма Эйлера напряжение возвращается на поверхность разрушения. Результирующее неупругое приращение деформации, которое суммируется с накопленной пластической деформацией, называется деформацией трещинообразования cr . Максимальное напряжение, которое может возникнуть в
элементе, уменьшается как функция некоторой меры деформации трещинообразования.
При этом допущении площадь под «разупрочняющейся» частью
кривой «напряжение–деформация» связывается с энергией разрушения
Gf, являющейся характеристикой механических свойств материала. Это
схематично иллюстрируется на рис. 3.1.
43
σ
σfail
εcr = 0
εcr = εu
ε
Рис. 3.1 Схема разупрочнения при образовании трещин
Энергия разрушения может быть определена следующим образом:
ct  u
Gf 

L d cr ,
(3.7)
ct
  0
где L – характерный размер элемента в направлении разрушения, который
используется для повышения объективности описания.
Разрушение начинается, когда напряжение достигает значения, требуемого для разрушения  fail . В этой точке деформация трещинообразования равна нулю cr  0 . Считается, что напряжение при разупрочнении
зависит от деформации трещинообразования и, следовательно, предельной деформации трещинообразования u , при котором максимальное напряжение становится равным нулю. Предельная деформация трещинообразования определяется как
2G f
.
(3.8)
u 
 fail L
Градиент разупрочнения определяется как
h
L fail2
Gf
.
(3.9)
После начала разупрочнения для описания уменьшения максимальных напряжений используется линейная зависимость между накопленной
повреждённостью и деформацией трещинообразования:
h cr
.
Dam 
 fail
(3.10)
В начале разрушения cr  0 , следовательно, Dam = 0. В произвольный момент времени максимальное напряжение растяжения, которое может выдержать материал, определяется как
max   fail 1  Dam  .
44
(3.11)
Предпочтительнее определить эффективность деформации трещинообразования аналогично эффективности пластической деформации. Тогда накопление повреждённости будет представлять тензор со следующими компонентами:
cr
 11

 c 
 22 
cr
 33

cr
   cr  .
(3.12)

 23 
 cr 
 31

cr

 12 
Каждый компонент в выражении (3.12) будет независимой переменной повреждённости, ассоциированной с её результатом в общей ортотропной повреждённости. Например, предельная поверхность в плоскости 11, с учётом накопленной повреждённости для каждого компонента
напряжений, будет иметь вид
2
2
2

 
 

11
12
31
e112 f  




  1. (3.13)

 
 
1
1
1

D

D

D






11
11
12
12
31
31
fail
fail
fail

 
 

Как и при упрочнении, рассматриваемом в разделе 3.3, используется ассоциированный закон течения, что позволяет по известной предельной поверхности и напряжениям вычислить приращения деформации
трещинообразования:
e
.
(3.14)
d ijcr  d 
ij
При рассмотрении закона течения (3.14) приращения компонентов
деформации трещинообразования для предельной поверхности в плоскости 11 могут быть вычислены следующим образом:
 11

2
 

11 fail 1  Dam11 
cr


 d 11 
0


 c 

d


22


0
cr


 d 33 
1
cr

.
.15)
d    cr  
0

d



eff
 23 
 31

 d cr 
2
31
 31 fail 1  Dam31  
 cr 



d
 12 

 12

2
 12 fail 1  Dam12  
Похожие уравнения тривиально записываются для других поверхностей разупрочнения.
45
4 ИСПЫТАНИЯ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Для исследования поведения композиционных материалов, определения их характеристик механических свойств и идентификации параметров определяющих соотношений требуется проведение сложных и многочисленных экспериментов. Характер и объём испытаний могут меняться в
зависимости от целей исследования и дальнейшего использования результатов испытаний. Этот раздел содержит описание экспериментов, предназначенных для дальнейшей идентификации параметров моделей слоистых
композитов, описание которых даётся во втором и третьем разделах. В
основу методологии проведения испытаний были положены работы, выполненные в Институте Эрнста Маха (EMI) совместно с Centery
Dynamics.
4.1 Сопротивление деформированию
Обычные испытания слоистых композитов на сжатие и растяжение
в плоскости композита стандартизованы, пример–стандарт EN ISO 527-4.
Испытания на растяжение и сдвиг используются для определения модуля
Юнга, коэффициента Пуассона, пределов текучести и прочности, характеристик нелинейного упрочнения и других характеристик. Определение
некоторых их них рассматривается ниже.
4.1.1 Испытания на растяжение в плоскости композита
Испытания на растяжение под углом 0°
Испытания на растяжение обычно выполняются для построения диаграммы деформирования композита. В результате испытания определяются упругие постоянные композита и его сопротивление деформированию.
При испытаниях используется образец, который вырезается из листа в
плоскости слоистого композита. Форма образца показана на рис. 4.1.
Для однонаправленных волокнистых композитов образец должен
быть изготовлен так, чтобы нити были ориентированы вдоль образца
(испытание материала на растяжение под углом 0°) или поперёк образца (испытание на растяжение под углом 90°). На концах образца делаются утолщения. Образец растягивается в вертикальном направлении с
использованием таких машин, как Instron. В процессе испытаний записывается диаграмма деформирования в координатах «напряжение – деформация», которая содержит информацию о поведении испытываемого материала.
46
Рис. 4.1 Схема испытательного образца для испытаний на растяжение
Деформация образца может быть определена по перемещению
верхнего захвата испытательной машины, а также с использованием экстензометров или других измерителей деформации. Также в процессе испытания может быть определена деформация образца одновременно в
двух главных материальных направлениях. Для измерения деформаций
могут быть использованы датчики, размещённые на боковой и фронтальной поверхности образца. Это позволит определить коэффициенты Пуассона в плоскости и вне плоскости композита.
Типовые результаты испытаний композитов на растяжение показаны на рис. 4.2 и 4.3.
Рис. 4.2 Типовая диаграмма деформирования композита
47
а)
б)
Рис. 4.3 Определение коэффициента Пуассона в плоскости (а)
и вне плоскости композита (б)
Испытания под углом 45°
При проведении данного испытания используются образцы, вырезанные таким образом, что нити композита размещаются под углом 45° к
48
направлению приложения нагрузки. Целью таких испытаний является определение модуля сдвига в плоскости композита. Аппаратура, включающая датчики измерения деформаций в продольном и трансверсальном направлениях, применяется такая же, как и при испытаниях на растяжение
под углом 0°. Модуль сдвига в плоскости композита вычисляется по следующей зависимости [10]:
G23 
1
 4
1
1 2 23 





E
E
E
E22 
22
33
 Y
,
(4.1)
где EY – модуль, вычисленный по наклону начальной линейной части диаграммы деформирования, внешний вид которой представлен на рис. 4.3.
4.1.2 Испытания на внеплоскостной сдвиг
Поведение композита при внеплоскостном сдвиге определяется при
испытаниях коротких балок на внеплоскостной сдвиг. Такие испытания
проводят с помощью установок трёх-, четырёх- или пятиточечного изгиба. При проведении испытаний и обработке их результатов учитывается,
что рабочая часть образца вместе с напряжениями сдвига испытывает напряжения изгиба. Величину последних желательно минимизировать.
Схема испытательной установки, при работе которой эффекты изгиба испытательного образца минимальны, а деформация сдвига максимальна, показана на рис. 4.4. Напряжение сдвига прикладывается при вертикальном перемещении нижней части установки с помощью испытательной машины. Напряжение сдвига τ и угол сдвига γ могут быть измерены с помощью силоизмерителя испытательной машины и внешнего измерителя перемещений.
Рис. 4.4 Схема установки для испытаний слоистых
композитов на внеплоскостной сдвиг [5]
49
На рис. 4.5 показана типовая зависимость между напряжением и
деформацией сдвига. Внеплоскостной модуль сдвига G13 и предел прочности при сдвиге определяется по шкалам экстензометра.
Рис. 4.5 Типовая диаграмма деформирования
«напряжение сдвига – деформация сдвига»
4.2 Сжимаемость слоистых композитов
4.2.1 Обратный метод торможения
Обратный метод торможения (в зарубежных источниках часто называется Inverse Flyer Plate Tests [4, 5]) используется для исследования
поведения материалов при одноосном сжатии при скоростях деформации
до 104 с–1. Этот метод разработан на основе хорошо известного метода
торможения и специально адаптирован для получения характеристик
ударного сжатия полимерных композитов. Метод используется для определения параметров уравнения состояния, необходимого для точного моделирования поведения слоистых и других композитов, повергнутых высокоскоростному удару.
Схема проведения испытания представлена на рис. 4.6. Составной
ударник, состоящий из цилиндрического образца из композита, который
подвергается испытанию, и закреплённой с тыльной стороны цилиндрической алюминиевой подкладки, разгоняется газовой пушкой свыше 1000 м/с.
Ударник ударяет в стационарную преграду из стали, свойства которой известны. Скорость тыльной поверхности преграды записывается с высоким
разрешением лазерным интерферометром.
50
Рис. 4.6 Схема эксперимента и типовой график зависимости
тыльной поверхности преграды
На рис. 4.6 показана типовая зависимость скорости тыльной поверхности преграды, полученная в результате эксперимента по соударению составного ударника со стальной неподвижной преградой. После соударения ударника с преградой от поверхности их контакта, состояние
материалов на которой соответствует состоянию материалов в точке Гюгонио, волны напряжений движутся через ударник и преграду. Волны напряжений внутри преграды превращаются в волны разгрузки на свободной поверхности и распространяются обратно в сталь. Благодаря различию волнового сопротивления между сталью и материалом образца эта
волна только частично переходит через поверхность соударения в образец. В основном она переходит обратно в волну давления, которая приводит к увеличению скорости при достижении волной свободной поверхности плиты свидетеля. Повторное отражение волны от поверхности приводит к ступенчатому увеличению скорости свободной поверхности.
Параметры состояния материала образца в момент удара могут быть
определены без предположений относительно уравнения состояния материала. Параметры состояния материала образца определяются при помощи уравнений Ранкина–Гюгонио. При этом используется измеренная скорость свободной поверхности преграды в состоянии первого удара ufc, которая приближённо равна скорости материальных частиц up. Проведение
испытаний при различных скоростях соударения обеспечивает определение параметров уравнения состояния исследуемого слоистого композита.
4.3 Разрушение слоистых композитов
В этом разделе содержится описание экспериментов, предназначенных для определения предельного напряжения и энергии разрушения при
51
расщеплении слоистого композита. Далее рассматриваются три известные
формы расщепления слоистых композитов, схематичное изображение которых представлено на рис. 4.7.
б)
в)
а)
Рис. 4.7 Формы расщепления: а – форма I – разрушение отрывом;
б – форма II – разрушение поперечным сдвигом;
в – форма III – разрушение продольным сдвигом
4.3.1 Испытание соударением
Целью испытания соударением является определение предельного
напряжения при разрушении по форме I при высокой скорости деформации. Схема испытания показана на рис. 4.8. Цилиндрический алюминиевый ударник, разгоняемый газовой пушкой, соударяется по нормали с неподвижной преградой из слоистого композита.
Рис. 4.8 Схема эксперимента по прямому удару пластины
При этом испытании ударник и образец сконструированы так, что
ударная волна, возникающая при соударении, дойдя до свободной поверхности образца, в результате суперпозиции становится волной растя-
52
жения. Если растягивающее напряжение превысит несущую способность
слоистого композита по толщине, то произойдёт разрушение образца по
форме I (разрушение отрывом), и растягивающие напряжения, приводящие к разрушению образца, могут быть определены по регистрируемому
графику зависимости скорости свободной поверхности от времени.
Напряжение разрушения может быть вычислено по следующему
выражению:
1
 sp  0c p usp ,
(4.1)
2
где c p – скорость звука; usp – разность скоростей, показанная на рис. 4.9.
Рис. 4.9 Типовой график зависимости скорости свободной
поверхности от времени
4.3.2 Испытание двухконсольной балки
Целью испытания двухконсольной балки является определение
энергии разрушения по форме I. Испытания двухконсольной балки в ряде
литературных источников называется DCB-испытанием [5]. При проведении испытания используется испытательный образец, имеющий искусственно созданную в нём при изготовлении краевую трещину. Трещина
раскрывается под действием нагрузок, приложенных к верхней и нижней
поверхности трещины (рис. 4.10). В процессе испытаний производится
регистрация приложенного к поверхностям трещины усилия и относительного перемещения верхней и нижней поверхностей трещины.
53
Рис. 4.10 Схема испытания двухконсольной балки (DCB-испытание)
Типовая диаграмма деформирования двухконсольной балки, полученная при DCB-испытании, показана на рис. 4.11. До начала роста трещины наклон кривой линеен. Последовательное увеличение значения нагрузки на образец вызвано действием испытательной машины.
Рис. 4.11 Типовая диаграмма деформирования двухконсольной
балки при DCB-испытании
График зависимости приложенного усилия от относительного перемещения поверхностей трещин в балке с краевой трещиной используется для определения энергии, расходуемой на распространение трещины.
Энергия разрушения GIc определяется нормализацией площади под соответствующей кривой.
Для получения более полной информации о деталях эксперимента
следует обратиться к работе [5].
54
4.3.3 Испытание дважды надрезанной балки
Целью испытания дважды надрезанной балки является определение
предельного сопротивления сдвигу по форме II. Испытание дважды надрезанной балки в ряде литературных источников называется DNSиспытанием. Проведение этого испытания регламентировано стандартом
ASTM D 3846-79 [13].
На рис. 4.12 показана схема испытаний дважды надрезанной балки.
Испытанию подвергается образец с двумя механическими надрезами.
Один надрез может быть выполнен с любой стороны, второй должен быть
выполнен с противоположной стороны испытываемого образца. Образец
сжимается в осевом направлении испытательной машиной, которая позволяет измерить нагрузку, приходящуюся на образец. В процессе проведения испытания регистрируются измеренная нагрузка и перемещение захвата испытательной машины.
Рис. 4.12 Схема испытания дважды надрезанной балки
На рис. 4.13 показана типовая диаграмма деформирования дважды
надрезанной балки, получаемая в DNS-испытаниях. Напряжение расщепления вычисляется как отношение максимальной нагрузки к площади сечения между двумя надрезами. Предельное сопротивление сдвигу по
форме II является максимальным напряжением, которое предшествует
межслойному разрушению.
55
Рис. 4.13 Типовая диаграмма деформирования дважды надрезанной
балки при DNS-испытании
4.3.4 Испытание гибкой балки с боковым надрезом
Целью испытания гибкой балки с боковым надрезом является определение энергии разрушения по форме II. Разрушение по форме II обнаруживается под действием напряжений сдвига. Испытание гибкой балки с
боковым надрезом позволяет определить предельную энергию, требуемую для роста предварительно созданной трещины.
Порядок проведения этого испытания регламентирован стандартом
EN 6034 [14]. На рис. 4.14 показана схема гибкой балки с боковым надрезом (ENF). Образец имеет предварительно созданную трещину. Испытание осуществляется путём нагружения испытываемой балки по схеме
трехточечного изгиба. В процессе испытаний непрерывно регистрируются перемещение верхнего захвата испытательной машины и прикладываемая к образцу нагрузка.
Рис. 4.14 Схема ENF-испытания
56
При нагружении балки у вершины трещины возникает напряжённое
состояние сдвига, приводящее к тому, что предварительно созданная
трещина растёт в результате расщепления по форме II. Энергия разрушения GIIc вычисляется по значению начальной длины трещины l, значению
нагрузки в момент страгивания трещины P и значению перемещения
верхнего захвата испытательной машины d [14]:
9000 Pa 2 d
,
GIIc 
1 3
3
2 w  l  3a 
4

(4.3)
где l – начальная длина трещины; P – нагрузки в момент страгивания
трещины; d – перемещение верхнего захвата испытательной машины;
w – ширина образца; a – расстояние между опорами.
Энергия межслойного разрушения определяется как энергия разрушения, приходящаяся на единицу ширины образца, которая необходима
для роста межслойной трещины. Типовая диаграмма деформирования
балки, полученная при ENF-испытании, показана на рис. 4.15. Она позволяет определить момент страгивания трещины по изменению наклона
кривой.
Рис. 4.15 Типовая диаграмма деформирования гибкой балки
с боковым надрезом при ENF-испытании
57
5 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
МОДЕЛЕЙ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
В этом разделе обсуждаются вопросы идентификации параметров
моделей сопротивления деформированию, накопления повреждённости и
разрушения слоистых композитов, описание которых приведено во втором и третьем разделах, по результатам экспериментальных исследований, рассмотрению которых посвящён четвертый раздел 4 настоящего
учебного пособия.
5.1 Идентификация параметров
моделей сопротивления деформированию
5.1.1 Ортотропная упругая модель
Ортотропная упругая модель сопротивления деформированию, рассмотренная в разделе 2.1, имеет девять независимых упругих констант
С11, С22, С33, С12, С13, С23, С44, С55 и С66, являющихся параметрами определяющего соотношения (2.5). Эти параметры могут быть определены через
девять характеристик механических свойств слоистого композита – модулей Юнга E11, E22, E33, модулей сдвига G23, G31, G12 и коэффициентов Пуассона, υ12 , υ13 и υ23. Поэтому во входном потоке рассматриваемых программ параметры ортотропной упругой модели сопротивления деформированию могут быть определены двумя способами.
Первый способ предполагает определение и дальнейшее использование непосредственно коэффициентов матрицы жёсткости Сij , входящих
в определяющее соотношение (2.5). Этот способ используется тогда, когда коэффициенты матрицы жёсткости непосредственно определяются из
эксперимента. Например, коэффициент C11 может быть вычислен напрямую
из эксперимента по соударению, описание которого даётся в разделе 4.2.1.
Для ввода коэффициентов матрицы жёсткости Сij в графическом интерфейсе пользователя программы AUTODYN должна быть выбрана опция
«Matrix Coefficiеnts».
Второй способ предполагает определение и дальнейшее использование не коэффициентов матрицы жёсткости Сij , а характеристик механических свойств ортотропного материала – модулей Юнга, модулей сдвига
и коэффициентов Пуассона. Для задания параметров модели этим способом в графическом интерфейсе пользователя программы AUTODYN
должна быть выбрана опция «Engineering». После этого коэффициенты
матрицы жёсткости Сij будут вычислены по следующим выражениям, полученным обращением матрицы податливости (2.6):
58
C11 
1   23 23
;
E22 E33
C12 
 21   31 23 12   3213
;

E22 E33
E11E33
C13 
 31   2132 13  12 23
;

E22 E33
E11E22 
C22 
C23 
1  13 31
;
E11E33
 32  12 31  23   2113
;

E11E33
E11E22 
C33 
(5.1)
1  12 21
;
E11E33
C44  G23 ;
C55  G31 ;
C66  G12 ,
1  12 21   2332   3132  2 21 3213
.
E11E22 E33
В табл. 5.1 приведены эксперименты, используемые для определения значений параметров ортотропной упругой модели.
где  
Таблица 5.1
Эксперименты, используемые для определения параметров
ортотропной упругой модели сопротивления деформации
Параметр
модели
1
E11
E22
E33
ν23
Наименование параметра,
используемый для определения её значения эксперимент
2
Модуль Юнга по толщине композита.
Может быть определён из эксперимента по соударению
Модуль Юнга в плоскости композита вдоль направления 22.
Определяется при испытаниях на растяжение в плоскости
композита под углом 0° к направлению волокон
Модуль Юнга в плоскости композита вдоль направления 33.
Определяется при испытаниях на растяжение в плоскости
композита под углом 90° к направлению волокон
Коэффициент Пуассона в плоскости композита.
Определяется при испытаниях на растяжение в плоскости
композита под углом 0° к направлению волокон, в которых
деформация регистрируется в направлениях 22 и 33
59
Окончание табл. 5.1
1
ν21
ν 32
ν31
ν12 и ν13
G23
G12
G31
2
Коэффициент Пуассона в плоскости 12.
Определяется при испытаниях на растяжение в плоскости
композита под углом 0° к направлению волокон, в которых
деформация регистрируется в направлениях 22 и 11
Коэффициент Пуассона в плоскости 23.
Определяется при испытаниях на растяжение в плоскости
композита под углом 90° к направлению волокон, в которых
деформация регистрируется в направлениях 33 и 22
Коэффициент Пуассона вне плоскости композита.
Определяется при испытаниях на растяжение под углом 90°,
в которых деформация определяется в направлениях 11 и 33
Коэффициенты Пуассона в плоскостях 12 и 13, соответственно.
Могут быть найдены из выражений
12  21 13  31
,


E11 E22 E11 E33
если ν21 и ν31 определены, как описано выше, а модуль E11
известен или оценен
Модуль сдвига в плоскости композита.
Определяется при испытаниях на растяжение под углом 45°
с использованием выражения (5.2)
Модуль сдвига вне плоскости композита.
Среднее значение определяется при испытании коротких балок
на внеплоскостной сдвиг
Модуль сдвига вне плоскости композита.
Часто принимается равным G12
В плоскости композита модуль сдвига определяется по следующему
ниже выражению, в котором модуль EY определяется из эксперимента по
растяжению образца под углом 45° к направлению волокон [10]:
G23 
1
 4
1
1 2 23 





E
E
E
E22 
22
33
 Y
.
(5.2)
5.1.2 Ортотропная модель пластичности
Идентификация параметров ортотропной модели пластичности
предполагает определение параметров a11, a22, a33, a12, a23, a13, a44, a55, a66 и
k, входящих в ортотропный критерий пластичности (2.29). Параметр k,
входящий в ортотропный критерий пластичности (2.29), является функцией эффективности пластических деформаций, которая может быть определена по единой кривой деформирования. Единая кривая деформирования может быть получена в результате испытаний на растяжение или
60
сдвиг. Таким образом, идентификация параметров ортотропной модели
пластичности предполагает определение девяти параметров и одной
функции.
Так же как и для изотропной модели пластичности, в которой упрочнение зависит от работы пластической деформации, в рассматриваемой ортотропной модели пластичности для получения единой кривой деформирования «    p » можно использовать результаты одноосных испытаний.
В случае одноосного напряжённого состояния ортотропный критерий пластичности (2.29) упрощается до вида
f  ij   a22222 ,
(5.3)
и используемое для определения эффективности напряжений выражение
(2.38), связывающее эффективность напряжений  и напряжение σ22,, будет иметь вид
3
a22 22 .
2

(5.4)
Действительно, общим для всех одноосных напряжённых состояний
является соотношение
3

aii ii (не суммировать по повторяющимся индексам) (5.5)
2
и форма (2.33) для приращения пластической деформации, которая имеет
вид
d  pjj 
a ji
aii
d  pjj ; d  kkp 
aik p
d  kk ; dijp  0 (i ≠ j ).
aii
(5.6)
Подставляя выражение (5.6) в выражение для приращения пластической деформации (2.40), находим, что для одноосного нагружения
dp 
2
d iip (не суммировать по повторяющимся индексам). (5.7)
3aii
Для чистого сдвига результатом аналогичной подстановки являются
выражения для эффективности напряжений и эффективности пластической деформации:
  3arr ij ;
d 
p
2d ijp
2arr
(5.8)
,
где rr = 44, 55, 66 в зависимости от компонентов напряжения сдвига.
61
(5.7)
Определение параметров пластичности иллюстрирует пример, который приведен ниже [5]. В нём для определения параметров пластичности тканого композита kevlar-epoxy используются результаты его испытания на растяжение в плоскости композита под углом 0° к направлению волокон, т.е. в направлении 22. В рассматриваемом случае поведение материала в направлении под углом 0° позволяет определить
единую кривую деформирования «    p ». Параметр пластичности a22
является свободным параметром, и его можно принять равным 1. Выражения (5.5) и (5.6) используются для преобразования измеренных
значений 22 и  22 в эффективность напряжений и эффективность пластических деформаций, которые требуются для построения единой кривой деформирования. Построенная единая кривая деформирования показана на рис. 5.1.
Рис. 5.1 Производная от диаграммы деформирования
при одноосном растяжении
Kevlar-epoxy является тканым материалом с направлением волокон
0 и 90°. Данный материал считается трансверсально изотропным, т.е.
a22  a33  1 . По результатам измерения продольной и поперечной деформаций в плоскости образца при испытаниях на растяжение под углом 0°
p
пластический коэффициент Пуассона  23
был получен равным 0,26. Он
вычислен как средний наклон диаграммы деформирования за пределом
текучести (рис. 5.2).
62
Рис. 5.2 Логарифмическая трансверсальная деформация
против логарифмической продольной деформации
при растяжении под углом 0°
Следовательно, из выражения (2.35) значение параметра a23 может
быть вычислено следующим образом:
p
a23  a22 23
 1  0,26  0,26 .
(5.10)
По результатам испытаний на растяжение под углом 0°, при которых деформация измерялась по толщине, пластический коэффициент Пуp
ассона  21
был определён равным 0,698. Следовательно, из выражения
(2.35) параметры a12 и a13 могут быть вычислены следующим образом:
p
a12  a22 21
 1  0,698  0,698 ;
(5.11)
a13  a33 31p  1  0,698  0,698 .
(5.12)
Пластический коэффициент a44 может быть прокалиброван путём
моделирования испытаний на растяжение под углом ±45° к направлению
волокон (рис. 5.3). При использовании определённых ранее пластических
коэффициентов и задании a44 функция текучести будет полностью определена, что позволит для подбора соответствующего значения параметра
a44 проводить моделирование испытаний на растяжение под углом 45° к
направлению волокон. Наилучшее согласие с экспериментом достигнуто
при a44  4 . Это видно на рис. 5.4.
63
Рис. 5.3 Результаты моделирования испытания
на растяжение под углом 45°
Рис. 5.4 Kevlar-epoxy IFPT, влияние ударных эффектов [4]
При отсутствии дополнительных экспериментальных данных о пластических свойствах композита оставшиеся неопределёнными параметры
a55 и a66 могут быть приняты равными ранее определённому параметру
a44, т.е.
a55  a66  a44  4 .
(5.13)
5.2 Идентификация параметров уравнения состояния
На рис. 5.4 приведёно сопоставление результатов моделирования
эксперимента по соударению алюминиевых ударников с преградами из
64
kevlar-epoxy с результатами эксперимента, представлены графики скорости тыльной поверхности, полученной в результате моделирования процесса соударения с использованием ортотропной модели сопротивления
деформированию с линейным уравнением состояния. Очевидно, что начальные состояния материала в точке Гюгонио, полученные в результате
моделирования и в эксперименте, согласуются. Однако лучшая согласованность с экспериментом достигается, когда используется полиномиальное уравнение состояния.
При использовании результатов, показанных на рис. 5.4, построен
график зависимости скорости удара от скорости материальных частиц,
который представлен на рис. 5.5. Kevlar-epoxy показывает обычное поведение твёрдого тела, заключающееся в приблизительно линейном увеличении скорости материальных частиц от скорости соударения.
Рис. 5.5 График зависимости скорости удара
от скорости материальных частиц
Если для моделирования процесса соударения требуется использование нелинейного уравнения состояния вместе с ортотропной моделью
сопротивления деформированию, тогда тангенс угла наклона и ордината
точки пересечения линии на рис. 5.5 могут быть использованы как параметры ударного уравнения состояния S и C0 , соответственно.
В качестве альтернативы может быть использовано полиномиальное уравнение состояния. В этом случае константы A2 и A3 могут быть откалиброваны путём сопоставления с результатами моделирования, обеспечивающими наилучшую согласованность с результатами эксперимента.
Этот способ получения параметров использовался для получения A2 и A3
по результатам экспериментальных исследований, показанных на рис. 5.4.
Поскольку направление 11 определено как проходящее по толщине
композита, результаты экспериментов по соударению могут быть использованы для вычисления параметра уравнения состояния С11. Поскольку в
65
этих экспериментах деформация приближённо одноосная, то может использоваться следующее выражение:
C11  Co2 .
(5.14)
5.3 Идентификация параметров моделей
разрушения и разупрочнения
5.3.1 Ортотропная модель разрушения
Идентификация параметров модели разрушения предполагает определение предельных напряжений (пределов прочности материала) при
растяжении вдоль главных материальных направлений и сдвиге в главных
материальных плоскостях. Параметры, входящие в модель начала разрушения, могут быть определены из экспериментов, перечень которых содержится в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Эксперименты, используемые для определения параметров
модели начала разрушения слоистого композита
Параметр
модели
σ11fail
σ22fail
σ33fail
σ23fail
σ31fail
σ12fail
Наименование параметра,
используемый для определения его значения эксперимент
Предельное напряжение при растяжении вдоль главного
материального направления 11 (по толщине композита).
Эксперименты по соударению. Калибруется путём сопоставления
результатов математического моделирования и эксперимента
в части согласованности межслойного разрушения.
DBC-испытание
Предельное напряжение при растяжении вдоль главного
материального направления 22.
Испытания на растяжение в плоскости композита под углом 0°
к направлению волокон
Предельное напряжение при растяжении вдоль
главного материального направления 33.
Испытания на растяжение в плоскости композита под углом 90°
к направлению волокон
Предельное напряжение при сдвиге в плоскости 23
(в плоскости композита).
Испытания на растяжение под углом 45° , калибровка путём
сопоставления результатов моделирования и эксперимента
в части согласованности разрушения в плоскости
Предельное напряжение при сдвиге в плоскости 13
(вне плоскости композита).
Испытания на межслойный сдвиг
Предельное напряжение при сдвиге в плоскости 12
(вне плоскости композита).
Испытания на межслойный сдвиг. Часто принимается равным σ31fail
66
5.3.2 Ортотропная модель разупрочнения
Идентификация параметров ортотропной модели разупрочнения
предполагает определение энергий разрушения.
Энергии разрушения, которые используются в ортотропной модели
разупрочнения, могут быть определены из экспериментов, перечень которых содержится в табл. 5.3
Таблица 5.3
Эксперименты, используемые для определения параметров
модели разупрочнения слоистого композита после разрушения
Параметр
модели
Gf11
Gf22
Gf33
Gf13
Gf12
Gf23
Наименование параметра,
используемый для определения его значения эксперимент
Энергия разрушения в плоскости 23, при первой форме разрушения.
DCB-испытание
Энергия разрушения в плоскости 12, при первой форме разрушения.
Испытания на растяжение под углом 0°. Калибровка путём
сопоставления результатов математического моделирования
Энергия разрушения в плоскости 23, при первой форме разрушения
Испытания на растяжение под углом 90°. Калибровка путём
сопоставления результатов математического моделирования
Энергия разрушения в плоскости 23, при второй форме разрушения.
ENF-испытание
Энергия разрушения в плоскости 23, при второй форме разрушения.
ENF-испытание
Энергия разрушения в плоскости 12, при второй форме разрушения.
Обычно неизвестна. Приравнивается к значению, определённому
в другом направлении
5.4 Эффективные упругие характеристики
слоистых композитов
Слоистые композиты часто состоят из некоторого числа повторяющихся слоёв или индивидуальных волокон. Результаты испытаний отдельных волокон обычно доступны и могут быть использованы для вычисления эффективных характеристик всего композита.
Использование эффективных характеристик всего композита вместо
характеристик составляющих композит частей является предпочтительным, т.к. в рассматриваемых программах каждый слой слоистого композита не явно моделируется каким-то непрерывным элементом, а представляется эквивалентным гомогенным анизотропным телом, используемым для
представления толстых, содержащих некоторое число слоёв, слоистых тел.
Далее рассматривается подход, предложенный в работе Sun и Li [7], успеш-
67
но использованный для вычисления свойств композитов в программе
AUTODYN.
Рассмотрим волокнистый композит, состоящий из N ортотропных
нитей с произвольной ориентацией нитей в пространстве. В рассматриваемом случае направление координатных осей x и y совпадает с плоскостью
композита, а ось z направлена по толщине композита. Эффективное напряжение и эффективная деформация определяются следующим образом:
N
ij    k ij  ;
k
(5.15)
k 1
N
ij    k ij  ,
k
(5.16)
k 1
где ij  , ij  – напряжения и деформации в k-м волокне;  k – относительk
k
ный объём k-го волокна в композите.
Если tk является толщиной слоя, а h – общей толщиной композита,
то относительный объём k-го волокна в композите может быть определён
как
k 
tk
.
h
(5.17)
Эффективные упругие свойства композита определяются следующим выражением:
  xx 
 xx 
 
 
yy


 yy 
  zz 
 zz 

  C    .
  yz 
 yz 
  xz 
 xz 


 

 xy 
 xy 
(5.18)
Плоскость xy для волокна является плоскостью симметрии и также
плоскостью симметрии и для всего композита. Следовательно, эффективная матрица жесткости упрощается до следующего выражения:
 c11 c12
c
c11
 12
c
c23
C    13
0
0
0
0

c16 c236
c13
c23
c33
0
0
0
0
0
0
0
c44
c45
0
c45
c55
0
0
c36
68
c16 
c26 

c26 
,
0
0

c66 
(5.19)
и эффективная матрица податливости определяется как
1
 S   C  .
(6.20)
Эффективные упругие константы, входящие в матрицу податливости, определяются следующим образом:
Exx 
 yz  
1
1
1
; E yy 
; Ezz 
;
S11
S 22
S33
S23
S
S
;  xz   31 ;  xy   21 ;
S22
S11
S11
G yz 
(5.21)
1
1
1
; Gxz 
; Gxy 
.
S 44
S55
S66
После алгебраических преобразований могут быть получены следующие выражения для коэффициентов эффективной матрицы жёсткости:
N

k

k

k

k
N
 
1
 
1
 
1
 
1

k

k

k

k
 
c11    k c11   c13   c13  k c13   c13  / c33
;
k 
k 1
N
k 2
N
1


 
c12    k c12   c13   c13  k c23
 c23
/ c33
;
k 
k 1
N
k 2
N
1
 
 
c13    k c13   c33
 c13  k c13   c13  / c33
;
k 
k 1
N
k 2
N
1
 


 
c22    k c22   c23
 c23  k c23
 c23
/ c33
;
k 
k 1
N
k 2
N

 
1

 


 
c23    k c23   c33
 c33  k c23
 c23
/ c33
;
k 
k 1
k 2
k
1
1
k
 N
k  
c33  1/    k / c33
;
 k 1

N
N

k

k

k

k
(5.21)
 
1
 
1
 
1
 
1

k

k

k

k


 
c16    k c16   c13   c13  k c36
 c36
/ c33
;
k 
k 1
N
k 2
N
1
 


 
c26    k c26   c23
 c23  k c36
 c36
/ c33
;
k 
k 1
N
k 2
N
1
 


 
c36    k c36   c33
 c33  k c36
 c36
/ c33
;
k 
k 1
N
k 2
N
1
 


 
c66    k c66   c36
 c36  k c36
 c36
/ c33
;
k 1
k 
k 2
69
1
 N

k 
c44     k c44
/ k  / 
 k 1

c45    k c16 k    c13 k   c13  k c371  c361  / c33 k 
N
N
k 1
k 2
 N

k 
c55     k c55
/ k  /  ;
 k 1

где
 N
  N
  N

k 
k 
k 
/  k      k c55
/  k      k c45
/ k  ,
     k c44
 k 1
  k 1
  k 1

 
2
   
 
 k  c44
c55  c45
.
k
k
k
Главные материальные направления для всех волокон, входящих в
композит, не обязательно располагать параллельно глобальным осям координат. Матрицу жёсткости индивидуального волокна можно задать в
удобной локальной системе координат, а перед выполнением приведенной выше операции суммирования выполнить следующую трансформацию матрицы жесткости каждого волокна:
1
C  k    T  k   C  k   C  k   T ,

 
 


(5.23)
где T – матрица трансформации, которая имеет следующий вид:
 cos 2 

2
 sin 
 0
k

T    0

 
 0

  sin 2

2
sin 2 
cos 2 
0
0
0
sin 2
2
0
0
0
sin 2 

0
0
0
 sin 2
1
0
0
0 

0 cos 2  sin 2
0  . (5.24)
0 sin 2 cos 2
0 

0
0
0
cos 2 

70
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В учебном пособии рассмотрены методы математического описания
поведения, испытаний и идентификации параметров математических моделей сопротивления деформированию, накопления повреждённости и
разрушения слоистых композитов. Для закрепления знаний и развития
умений применять изученный материал для решения практических задач
предназначены вторая и третья части учебного пособия – лабораторный и
вычислительные практикумы, соответственно.
Лабораторный практикум включает пять лабораторных работ:
1. Идентификация параметров ортотропной упругой модели сопротивления деформированию по результатам испытаний на растяжение и
сдвиг.
2. Идентификация параметров уравнения состояния по результатам
соударения составных ударников с преградами.
3. Идентификация параметров ортотропной модели пластичности
по результатам испытаний на одноосное растяжение и сдвиг.
4. Определение пределов прочности слоистого композита в главных
материальных направлениях.
5. Определение вязкости межслойного разрушения слоистого композита.
Вычислительный практикум содержит пять практических работ:
1. Моделирование испытаний слоистых композитов на растяжение в
плоскости композита.
2. Моделирование процессов соударения составных ударников с
преградами.
3. Моделирование процесса соударения алюминиевого ударника с
преградой из слоистого композита.
4. Моделирование испытаний дважды надрезанных балок на растяжение и сжатие.
5. Расчёт напряжённо-деформированного состояния слоистых композитов с трещинами.
Выполнение лабораторных и практических работ будет способствовать формированию у обучаемых навыков самостоятельного выполнения
научно-исследовательских работ и расчётов конструкций из слоистых
композитов.
71
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фудзии, Т. Механика разрушения композиционных материалов : пер. с
япон. / Т. Фудзии, М. Дзако. – М. : Мир, 1982. – 232 с.
2. AUTODYN. Explicit Software for Nonlinear Dynamics. Composite
Modeling in AUTODYN. – Century Dynamics, 2005. – 57 p.
3. LS-DYNA Keyword User’s Manual. Volume I, II. – Livermore : LSТС,
2007. – 2206 p.
4. Hiermaier S., Riedel W., Hayhurst C. J., Clegg R. A., Wentzel C. M.
Advanced Material Models for Hypervelocity Impact Simulations: EMIReport No. E43/99, 1999.
5. Riedel W., Hai-wick W., White D. M., Clegg R. A. Advanced Material
Damage Models for Numerical Simulation Codes: EMI-Report No. 75/03,
2003.
6. Chen, J. K. A Quadratic Yield Function for Fiber-Reinforced Composites /
J. K. Chen, F. A. Allahdadi, C. T. Sun // Journal of Composite Materials. –
1997. – V. 31. – № 8.
7. Sun, C. T. Three-Dimensional Effective Elastic Constants for Thick
Laminates / C. T. Sun, S. Li // Journal of Composite Materials. – 1988. – V.
22.
8. Anderson, C. E. A Constitutive Formulation for Anisotropic Materials
Suitable for Wave Propagation Computer programme / C. E. Anderson,
P. A. Cox et al. // Comp. Mech. – 1994. – V. 15. – P. 201–223.
9. Hou, J. P. Prediction of Impact Damage in Composite Plates / J. P. Hou,
N. Petrinic, C. Ruiz // Comp. In Sc. and Tech. – 2000. – № 60. – Р. 273–281.
10. Jones, R. M. Mechanics of Composite Materials / R. M. Jones. – McGrawНill, 1975.
11. Meyers, M. A. Dynamic Behaviour of Materials / M. A. Meyers. – John
Wiley & Sons, 1994.
12. Kirn, W. C. Analysis of five-point bending for determination of the
interlaminar shear strength of unidirectional composite materials / W. C.
Kirn,
C. K. H. Dharan // Composite Structures. – 1995. – V. 30. – Р. 241–251.
13. ASTM standard D3846-79, ASTM Standards and Literature References for
Composite Materials. – 2nd Ed. – American Society for Testing and
Materials, Philadelphia, PA, 1990.
14. Bestimmung der interlaminaren Energiefreisetzungsrate, Mode II, G/HC,
DIN EN 6034, April 1996.
15. Chang, F. K. A Progressive Damage Model for Laminated Composites
Containing Stress Concentration / F. K. Chang, K. Y. Chang // Journal of
Composite Materials. – 1987. – № 21. – Р. 834–855.
72
16. Chang, F.K. Post-Failure Analysis of Bolted Composite Joints in Tension
or Shear-OutMode Failure / F. K. Chang, K. Y. Chang // Journal of
Composite Materials. – 1987. – № 21. – Р. 809–833.
73
ПРИЛОЖЕНИЕ
Модели композитов, реализованные
в программе LS-DYNA
Для описания поведения композитов в программе LS-DYNA реализованы следующие модели материалов:
– тип (идентификационный номер модели материала) 2 – упругий
ортотропный/анизотропный материал;
– тип 22 – композит Чанга с накоплением повреждённости;
– тип 23 – термоупругий ортотропный композит с зависимостью
свойств от температуры;
– тип 26 – упругопластический анизотропный сотообразный композит;
– тип 32 – ламинированное стекло;
– типы 54 и 55 – усовершенствованный композит Чанга, учитывающий накопление повреждённости и разрушение;
– тип 58 – пластичный композит с разрушением;
– тип 59 – пластичный композит с разрушением;
– тип 161 – композит MSC.
Для использования модели материала #161 необходимо иметь дополнительную лицензию от Корпорации материаловедения (Material
Sciences Corporation), что несколько ограничивает возможности её использования.
1. *MAT_СОМРOSIТЕ_DAMAGE (модель материала 22)
Модель можно использовать для моделирования композитных материалов с однонаправленными слоями. Она позволяет задать ортотропный материал с необязательным хрупким разрушением для композитов.
Описание модели можно найти в работах Chang and Chang [15, 16]. Модель используется совместно с оболочечными и объёмными элементами.
Параметры модели материала:
MID
RO
EA
EB
ЕС
PRBA
PRСA
РRСВ
GAВ
GВС
– идентификационный номер материала;
– массовая плотность материала;
– Еа, модуль Юнга в направлении а;
– Еb, модуль Юнга в направлении b;
– Ес, модуль Юнга в направлении с;
– νbа, коэффициент Пуассона в плоскости bа;
– νса, коэффициент Пуассона в плоскости са;
– νсb, коэффициент Пуассона в плоскости сb;
– Gab, модуль сдвига в плоскости ab;
– Gbс, модуль сдвига в плоскости bс;
74
– Gca, модуль сдвига в плоскости са;
– объёмный модуль разрушенного материала. Он необходим
для описания разрушения при сжатии;
– выбор осей материала (рис. 1.11):
АОРТ
EQ.0.0: локально ортотропный, оси материала определяются узлами первого, второго и четвертого элементов, как для
ключевого слова *DEFINE_COORDINATE_NODES;
EQ.1.0: локально ортотропный, оси материала определяются точкой в пространстве и глобальным положением центра элемента – это направление а. Эта опция предназначена только для объёмных элементов;
EQ.2.0: глобально ортотропный, оси материала определяются векторами, заданными ниже, как для ключевого слова
*DEFINE_COORDINATE_VECTOR;
EQ.3.0: локально ортотропный, оси материала определяются вращением осей материала вокруг нормали к элементу
на угол ВЕТА, от линии в плоскости элемента, заданной
векторным произведением вектора v и нормали к элементу;
EQ.4.0: локально ортотропный в цилиндрической системе
координат, оси материала определяются вектором v и исходной точкой Р, задающей центральную ось. Данная опция предназначена только для объёмных элементов;
LT.0.0: абсолютное значение числа указывает номер локальной
системы
координат
(CID
в
*DEFINE_COORDINATE_NODES,
*DEFINE_COORDINATE_SYSTEM
или
*DEFINE_COORDINATE_VECTOR);
– флаг-признак изменения материальных осей для элеменMACF
тов-брусков:
EQ.1.0: по умолчанию;
EQ.2.0: поменять оси а и b;
EQ.3.0: поменять оси а и с;
ХР, YР, ZР – координаты точки р для опции АОРТ = 1;
А1, А2, АЗ – компоненты вектора а для опции АОРТ = 2;
V1, V2, VЗ – компоненты вектора v для опции АОРТ = 3;
D1, D2, D3 – компоненты вектора d для опции АОРТ = 2;
– угол в градусах для опции АОРТ = 3, может быть замещен
ВЕТА
значением на карте элемента (см. *ELEMENT_SНЕLL_ВЕТА
или *ELEMENT_SНЕLL_ORTO).
– сдвиговая прочность в плоскости аb;
SС
– прочность при продольном растяжении по оси а;
XT
– прочность при поперечном растяжении по оси b;
YT
– прочность при поперечном сжатии по оси b;
YС
GСА
KFAIL
75
ALPH
SN
SYZ
SZX
– параметр сдвигового напряжения для нелинейного члена.
Предполагаемый диапазон 0–0,5;
– прочность при растяжении по нормали (только для объёмных элементов);
– прочность при поперечном сдвиге (только для объёмных
элементов);
– прочность при поперечном сдвиге (только для объёмных
элементов).
Ряд дополнительных переменных для точек интегрирования оболочечных элементов, записываемых в базу данных программы LS-DYNA,
вводится с помощью переменной NEIPS необязательной карты
*DATABASE_BINARY. Эти дополнительные переменные представлены в
табл. П.1 (i – точка интегрирования оболочечного элемента).
Таблица П.1
Перечень величин, хранящихся как переменные истории нагружения
Переменная Описание переменной
ef(i)
cm(i)
ed(i)
Растяжение волокна
Растяжение матрицы
Сжатие матрицы
Значение
1 – упругий
0 – разрушенный
Переменная истории
нагружения
LS-PREPOST
1
2
3
В модуле LS-PREPOST эти переменные можно визуализировать как
первую, вторую и третью переменные истории нагружения элемента. Переменные истории нагружения, представленные в табл. П.2, хранятся как
компонент седьмого элемента вместо эффективной пластической деформации.
Таблица П.2
Перечень величин, хранящихся как переменные истории нагружения
Описание
Точка интегрирования
1 nip
 ef  i 
nip i 1
1
1 nip
 cm  i 
nip i 1
2
1 nip
 ed  i 
nip i 1
3
76
В модели материала реализованы три критерия разрушения
(см. LS-DYNA Theory Manual). При использовании введенного пользователем правила интегрирования (см. *INTEGRATION_SHELL) параметры
модели могут изменяться по толщине оболочечных элементов. Для всех
оболочечных элементов, за исключением формулировки DKT, можно активизировать теорию слоистых оболочек, чтобы должным образом смоделировать поперечную сдвиговую деформацию. Эта теория применяется,
чтобы отказаться от предположения о равномерной постоянной сдвиговой
деформации по толщине оболочечных элементов. Если не использовать
такую возможность, то реакция многослойной оболочки, у которой внешние слои гораздо жестче, чем внутренние, будет чрезмерно жесткой. Чтобы активизировать теорию слоистых оболочек, необходимо использовать
ключевое слово *CONTRIOL_SHELL.
В трех критериях разрушения, реализованных в данной модели, используется пять параметров (см. работы Chang and Chang [15, 16]):
S1 – прочность при продольном растяжении;
S2 – прочность при поперечном растяжении;
S12 – сдвиговая прочность;
C2 – прочность при поперечном сжатии;
α – параметр сдвигового напряжения для нелинейного члена.
Значения параметров S1, S2, S12, C2 определяются путём испытаний материала на прочность; значение параметр α – путём построения
диаграммы «напряжение – деформация» при сдвиге.
В плоскости напряжений зависимости напряжений от деформаций
определяются следующими выражениями:
1 
1
 1  12  ;
E1
2 
1
 2  21  ;
E2
212 
(П.1)
1
12  123 .
G12
В третье выражение входит параметр сдвигового напряжения.
В следующих выражениях для расчёта прочности матрицы и нити
присутствует слагаемое
2
12
3 4
 12
2G
4
,
(П.2)
  212
S12
3 4
 S12
2G12 4
которое представляет отношение напряжений сдвига к предельному напряжению сдвига.
77
Критерий образования трещины в матрице при растяжении
2
Fmatrix
 
 2   
 S2 
(П.3)
предполагает, что разрушение матрицы наступает, когда Fmatrix  1 . Если
Fmatrix  1 , то параметры модели Е2, G12, ν1 и ν2 обращаются в ноль.
Критерий разрушения матрицы при сжатии
Fcomp
2
2

  2    C2 
2

  
  1  
 C2
 2 S12   2 S12 
(П.4)
предполагает, что разрушение матрицы наступает, когда Fcomp  1. Если
Fcomp  1, то параметры модели Е2, ν1 и ν2 обращаются в ноль.
Критерий разрушения нити при растяжении
2
Ffiber
 
 1  
 S1 
(П.5)
предполагает, что разрушение матрицы наступает, когда Ffiber  1 . Если
Ffiber  1 , то параметры модели Е1, Е2, G12, ν1 и ν2 обращаются в ноль.
2. *MAT LAMINATED COMPOSITE FABRIC (модель материал 58)
Модель можно использовать для моделирования композитных материалов с однонаправленными слоями, а также слоистых и тканых материалов в зависимости от типа поверхности разрушения. Модель реализована только для оболочечных элементов.
Параметры модели материала:
MID
RO
EA
EB
ЕС
PRBA
TAU1
– идентификационный номер материала;
– массовая плотность материала;
– Еа, модуль Юнга в направлении а;
– Еb, модуль Юнга в направлении b;
– Ес, модуль Юнга в направлении с (не используется);
– νbа, коэффициент Пуассона в плоскости bа;
– τ1, предельное напряжение на начальном, практически линейном, участке кривой, определяющей зависимость между напряжением и деформацией при сдвиге. Значения τ1 и
γl используются для задания кривой «сдвиговое напряжение – сдвиговая деформация». Они вводятся в случае, если
переменная FS, определенная ниже, равна –1.
78
GAMMA1
GAB
GВС
GСА
SLIMT1
SLIMС1
SLIMT2
SLIMС2
SLIMS
АОРТ
TSIZE
– γl, предельная деформация на начальном, практически линейном, участке кривой, определяющей зависимость между напряжением и деформацией при сдвиге;
– Gab, модуль сдвига в плоскости ab;
– Gbс, модуль сдвига в плоскости bс;
– Gca, модуль сдвига в плоскости са;
– коэффициент, который используется для определения минимального предельного напряжения после максимального напряжения (растяжение волокна);
– коэффициент, который используется для определения минимального предельного напряжения после максимального напряжения (сжатие волокна);
– коэффициент, который используется для определения минимального предельного напряжения после максимального напряжения (растяжение матрицы);
– коэффициент, который используется для определения минимального предельного напряжения после максимального напряжения (сжатие матрицы);
– коэффициент, который используется для определения минимального предельного напряжения после максимального напряжения (сдвиг);
– выбор осей материала (см. рис. 1.11):
EQ.0.0: локально ортотропный, оси материала определяются первым, вторым и четвертым узлами элемента, как
для ключевого слова *DEFINE_COORDINATE_NODES;
EQ.2.0: глобально ортотропный, оси материала определяются векторами, заданными ниже, как для ключевого слова *DEFINE_COORDINATE_VECTOR;
EQ.3.0: локально ортотропный, оси материала определяются вращением осей материала вокруг нормали к элементу на угол ВЕТА от линии в плоскости элемента, заданной векторным произведением вектора v и нормали к
элементу;
EQ.4.0: локально ортотропный в цилиндрической системе
координат, оси материала определяются вектором v и исходной точкой Р, задающей центральную ось. Данная опция предназначена только для объёмных элементов;
LT.0.0: абсолютное значение числа указывает номер локальной
системы
координат
(CID
в
*DEFINE_COORDINATE_NODES,
*DEFINE_COORDINATE_SYSTEM
или
*DEFINE_COORDINATE_VECTOR);
– шаг по времени для автоматического удаления элемента;
79
ERODS
SOFT
FS
ХР, YР, ZР
A1, А2, А3
V1, V2, V3
D1, D2, D3
ВЕТА
E11C
E11T
E22C
E22T
GMS
XС
XT
YС
YT
SС
– максимальная эффективная деформация, определяющая
разрушение слоя в элементе; значение, равное 1, означает
100 % деформации;
– коэффициент уменьшения прочности в элементах, относящихся к фронту разрушения;
– тип поверхности разрушения:
EQ.1.0: гладкая поверхность с квадратичным критерием
разрушения и в направлении волокна (а), и в поперечном
направлении (b). Этот тип можно использовать для слоистых и тканых материалов;
EQ.0.0: гладкая поверхность разрушения в поперечном
направлении (b) с предельным значением для разрушения в направлении волокна (а). Этот тип используется
только для композитных материалов с однонаправленными слоями;
EQ.–1.0: многогранная поверхность разрушения. При достижении пределов прочности повреждение развивается
при растяжении и сжатии как в направлении волокна, так
и в поперечном направлении. Сдвиг также учитывается.
Этот тип можно использовать для слоистых и тканых материалов;
– координаты точки р для опции АОРТ = 1;
– компоненты вектора а для опции АОРТ = 2;
– компоненты вектора v для опции АОРТ = 3;
– компоненты вектора d для опции АОРТ = 2;
– угол в градусах для опции АОРТ = 3, может быть замещен
значением
на
карте
элемента
(см.
*ELEMENT_SНЕLL_ВЕТА
или
*ELEMENT_SНЕLL_ORTO);
– деформация, соответствующая пределу прочности при
продольном сжатии, ось а;
– деформация, соответствующая пределу прочности при
продольном растяжении, ось а;
– деформация, соответствующая пределу прочности при поперечном сжатии, ось b;
– деформация, соответствующая пределу прочности при поперечном растяжении, ось b;
– деформация, соответствующая пределу прочности при
сдвиге, плоскость аb;
– прочность при продольном сжатии по оси а;
– прочность при продольном растяжении по оси а;
– прочность при поперечном сжатии по оси b;
– прочность при поперечном растяжении по оси b;
– сдвиговая прочность в плоскости аb.
80
Разрушение слоя в элементе определяется параметром ERODS, который задает максимальное значение эффективной деформации, т.e. максимальное значение, равное 1, означает 100 % деформации. После достижения этого значения (сжатие/растяжение, включая сдвиг) слой удаляется
из элемента.
Предельные напряжения используются для ограничения напряжения на участке разупрочнения:
σmin = SLIMxx · предел_прочности.
Таким образом, значение напряжения изменяется после разрушения,
чтобы получить поведение, подобное упругопластическому, при наличии
порогового напряжения. В качестве множителя при переменных SLIMxx
можно использовать числа от 0,0 до 1,0. Если множитель равен 1,0, значение напряжения остается максимальным и равным пределу прочности,
который характеризует идеально упругопластическое поведение. Для разрушения при растяжении логично использовать небольшое значение
SLIMxx, однако при сжатии предпочтительно SLIMCx = 1,0. Это справедливо и для соответствующего значения сдвига. Если SLLMxx < 1,0, может
наблюдаться локализация в зависимости от общего поведения наслоения.
Если пользователь намеренно использует SLIMxx < 1,0, то рекомендуется
все-таки не уменьшать значение до нуля, а остановиться на каком-то значении от 0,05 до 0,10. В этом случае в пределе достигается упругопластическое поведение, что часто помогает избежать многих численных проблем. По умолчанию SLIMxx = 1.0E-8.
Алгоритм фронта разрушения запускается тогда и только тогда, когда вводится значение переменной TSIZE (размер шага по времени, при
достижении которого элемент удаляется).
Параметры разрушения можно записать в базу данных постпроцессора для каждой точки интегрирования как первые три дополнительные
переменные для элемента и выдать на печать или на график.
Модели материала с FS = 1 или FS = –1 подходят для слоистых и
тканых материалов, поскольку все направления обрабатываются в одинаковой манере.
В модели с FS = 1 для развития повреждения в направлениях а и b
предполагается взаимодействие нормальных и касательных напряжений.
Для повреждения при сдвиге всегда берется максимальное значение повреждения по критерию в направлении а или b.
В модели с FS = –1 предполагается, что развитие повреждений не
зависит ни от каких других напряжений. Есть только связь через упругие
параметры и полную конструкцию.
В направлении растяжения и сжатия, в направлениях а и b можно
задавать разные поверхности разрушения, однако значения повреждения
увеличиваются только при смене направления нагружения.
81
Специальный контроль сдвига в тканом материале
Для тканых материалов можно задать нелинейную зависимость
между напряжением и деформацией для сдвиговой части поверхности
разрушения FS = –1, как показано ниже. Для других значений FS это невозможно.
Кривая, показанная на рис. П.1, задана тремя точками:
а) началом координат (0, 0);
б) точкой, которая соответствует предельным значениям напряжения (TAU1) и деформации (GAMMA1) на начальном, практически линейном, участке кривой (эти значения должны быть введены);
в) точкой, соответствующей силе сопротивления сдвигу при разрушении и деформации сдвига при разрушении.
Рис. П.1 Диаграмма напряжений при сдвиге
Кроме того, задав соответствующее значение параметра SLIMS, можно ограничить напряжение так, чтобы оно оставалось постоянным. Значение
этого параметра должно быть меньшим или равным 1,0, но положительным.
Это обеспечивает упругопластическое поведение на участке сдвига. По
умолчанию его значение равно 1.0E-8, что предполагает практически хрупкое разрушение после достижения предела прочности SC.
3. *MAT COMPOSITE FAILURE_OPTION_MODEL
(модель материала типа 59)
Здесь OPTION – это либо SHELL, либо SOLID в зависимости от типа элементов, которые будут использоваться при расчете.
82
Параметры модели материала:
MID
RO
EA
EB
ЕС
PRBA
PRСA
PRСB
GAB
GВС
GСА
KF
АОРТ
ХР, YР, ZР
А1, А2, А3
V1, V2, V3
D1, D2, D3
– идентификационный номер материала;
– массовая плотность материала;
– Еа, модуль Юнга в направлении а;
– Еb, модуль Юнга в направлении b;
– Ес, модуль Юнга в направлении с;
– νbа, коэффициент Пуассона в плоскости bа;
– νса, коэффициент Пуассона в плоскости са;
– νсb, коэффициент Пуассона в плоскости сb;
– Gab, модуль сдвига в плоскости ab;
– Gbс, модуль сдвига в плоскости bс;
– Gca, модуль сдвига в плоскости са;
– объёмный модуль разрушенного материала. Он необходим
для описания разрушения при сжатии;
– выбор осей материала (см. рис. 1.1):
EQ.0.0: локально ортотропный, оси материала определяются первым, вторым и четвертым узлами элемента, как для
ключевого слова *DEFINE_COORDINATE_NODES;
EQ.1.0: локально ортотропный, оси материала определяются точкой в пространстве и глобальным положением центра элемента, это направление а. Эта опция предназначена
только для объёмных элементов;
EQ.2.0: глобально ортотропный, оси материала определяются векторами, заданными ниже, как для ключевого слова
*DEFINE_COORDINATE_VECTOR;
EQ.3.0: локально ортотропный, оси материала определяются вращением осей материала вокруг нормали к элементу
на угол ВЕТА, от линии в плоскости элемента, заданной
векторным произведением вектора v и нормали к элементу;
EQ.4.0: локально ортотропный в цилиндрической системе
координат, оси материала определяются вектором v и исходной точкой Р, задающей центральную ось. Данная опция предназначена только для объёмных элементов;
LT.0.0: абсолютное значение числа указывает номер локальной
системы
координат
(CID
в
*DEFINE_COORDINATE_NODES,
*DEFINE_COORDINATE_SYSTEM
или
*DEFINE_COORDINATE_VECTOR);
– координаты точки р для опции АОРТ = 1;
– компоненты вектора а для опции АОРТ = 2;
– компоненты вектора v для опции АОРТ = 3;
– компоненты вектора d для опции АОРТ = 2;
83
ВЕТА
MACF
TSIZE
ALP
SOFT
FBRT
SR
SF
XС
XT
YС
YT
SС
SBA
SCA
SCB
XXС
YYС
ZZС
XXT
YYT
ZZT
– угол в градусах для опции АОРТ = 3, может быть замещен
значением на карте элемента (см.
*ELEMENT_SНЕLL_ВЕТА или
*ELEMENT_SНЕLL_ORTO).
– флаг-признак изменения материальных осей для элементов-брусков:
EQ.1.0: по умолчанию;
EQ.2.0: поменять оси а и b;
EQ.3.0: поменять оси а и с;
– шаг по времени для автоматического удаления элемента;
– параметр сдвигового напряжения для нелинейного члена.
Предполагаемый диапазон 0–0,5;
– коэффициент уменьшения прочности в элементах, относящихся к фронту разрушения;
– коэффициент уменьшения прочности волокна в элементах,
относящихся к фронту разрушения;
– Sr – коэффициент уменьшения прочности
(по умолчанию = 0,447);
– Sf – коэффициент уменьшения прочности
(по умолчанию равен 0,0);
– прочность при продольном сжатии по оси а;
– прочность при продольном растяжении по оси а;
– прочность при поперечном сжатии по оси b;
– прочность при поперечном растяжении по оси b;
– сдвиговая прочность в плоскости аb;
> 0,0: теория многогранной поверхности разрушения;
< 0,0: теория эллипсоидной поверхности разрушения;
– предел прочности при плоском сдвиге;
– предел прочности при поперечном сдвиге в плоскости ac;
– предел прочности при поперечном сдвиге в плоскости bc;
– прочность при продольном сжатии по оси а;
– прочность при поперечном сжатии по оси b;
– прочность при поперечном сжатии по оси c;
– прочность при продольном растяжении по оси а;
– прочность при поперечном растяжении по оси b;
– прочность при поперечном растяжении по оси c.
84
4. *MAT COMPOSITE MSC (модель материала 161)
Модель можно использовать для анализа прогрессирующего разрушения в композитных материалах, состоящих из однонаправленных и переплетённых слоев ткани. Критерий прогрессирующего разрушения слоя
был установлен на основе критерия, разработанного Хашиным (Hashin)
(1980) с обобщением, включающим влияние давления на разрушение
композита. Эта модель разрушения может быть использована для эффективного моделирования разрушения волокна, повреждения матрицы и
расслоения материала при всех условиях, учитывающих открытие, закрытие и скольжение поверхностей матрицы. Более того, этот подход к моделированию прогрессирующего расслоения имеет преимущество – возможность предсказывать расслоение, когда места расположения участков
расслоения не быть могут предсказаны. Для применения этой модели необходимо иметь дополнительную лицензию от Корпорации материаловедения (Material Sciences Corporation), которая разработала эту модель и
поддерживает её данными по различным материалам.
Параметры модели материала:
MID
RO
EA
EB
ЕС
PRBA
PRСA
РRСВ
GAB
GВС
GСА
АОРТ
ХР, YР, ZР
А1, А2, АЗ
– идентификационный номер материала;
– массовая плотность материала;
– Еа, модуль Юнга в направлении а;
– Еb, модуль Юнга в направлении b;
– Ес, модуль Юнга в направлении с;
– νbа, коэффициент Пуассона в плоскости bа;
– νса, коэффициент Пуассона в плоскости са;
– νсb, коэффициент Пуассона в плоскости сb;
– Gab, модуль сдвига в плоскости ab;
– Gbс, модуль сдвига в плоскости bс;
– Gca, модуль сдвига в плоскости са;
– выбор осей материала (см. рис. 1.11):
EQ.0.0: локально ортотропный, оси материала определяются первым, вторым и четвертым узлами элемента, как для
ключевого слова *DEFINE_COORDINATE_NODES;
EQ.1.0: локально ортотропный, оси материала определяются точкой в пространстве и глобальным положением центра
элемента, это направление а. Эта опция предназначена
только для объёмных элементов;
EQ.2.0: глобально ортотропный, оси материала определяются векторами, заданными ниже, как для ключевого слова
*DEFINE_COORDINATE_VECTOR;
– координаты точки р для опции АОРТ = 1;
– компоненты вектора а для опции АОРТ = 2;
85
V1, V2, VЗ
D1, D2, D3
ВЕТА
SAT
SAC
SBT
SBC
SCT
SFC
SFS
SFC
SBC
SCA
SFFC
AMODEL
PHIC
E_LIMT
S_DELM
OMGMX
ECRSH
EEXPN
CERATE
– компоненты вектора v для опции АОРТ = 3;
– компоненты вектора d для опции АОРТ = 2;
– угол в градусах для опции АОРТ = 3, может быть замещен
значением на карте элемента (*ELEMENT_SНЕLL_ВЕТА
или *ELEMENT_SНЕLL_ORTO);
– прочность при продольном растяжении;
– прочность при продольном сжатии;
– прочность при поперечном растяжении;
– прочность при поперечном сжатии;
– прочность на растяжение по толщине;
– прочность при разрушении давлением;
– сдвиговая прочность волокна;
– cдвиговая прочность матрицы в плоскость ab;
– сдвиговая прочность матрицы в плоскости bc;
– cдвиговая прочность матрицы в плоскости са;
– коэффициент пересчета остаточной прочности на сжатие;
– модели материалов:
EQ.1: однонаправленная модель слоя;
EQ.2: модель слоя ткани;
– угол трения Кулона для матрицы;
– осевая деформация, при достижении которой уничтожается элемент;
– коэффициент пересчета для критерия расслоения;
– предельный параметр для уменьшения упругого модуля
при разрушении;
– предельная объёмная деформация сжатия для удаления
элементов;
– предельная объёмная деформация растяжения для удаления элементов;
– коэффициент для прочностных свойств, зависящих от скорости деформации.
Критерии однонаправленного разрушения слоев и связанные с этим
модели снижения свойств материала описываются следующим образом.
Заметим, что все критерии разрушения выражаются через компоненты
напряжения, относящиеся к одному слою материала (σa, σb, σc, τab, τbc, τca,),
где вектор а соответствует направлению волокна, вектор b – направлению, перпендикулярному волокну, и с – направлению нормали к плоскости, в которой расположены векторы а и b.
Модель однонаправленного слоистого материала
Для предсказания разрушения волокна используются несколько
критериев. Один из них – для условий растяжения/сдвига, второй – при
86
сжатии, третий определяет разрушение под действием давления. Критерии записываются через квадратичные формы напряжения следующим
образом:
– для растяжения/сдвига волокна:
2
2
2
 a   ab

 ca
f1  
 
 1  0 ;
 SaT   S FS 
(П.6)
– для сжатия волокна:
2
  
  c
f 2   a   1  0 , a   a   b
;
2
 SaC 
(П.7)
– для случая разрушения давлением:
2
 p 
 a  b   c
,
f3  
 1  0 , p  
3
 S FC 
(П.8)
где
– скобки Macaulay; SaT и SaC – пределы прочности на растяжение и
сжатие в направлении волокна; SFS и SFC – предел прочности слоя, связанный со сдвигом и разрушением волокна давлением, соответственно.
Разрушение матрицы должно происходить без разрушения волокон,
и, следовательно, оно будет происходить в плоскостях, параллельных волокнам. Для простоты рассматриваются только две плоскости разрушения: одна перпендикулярна плоскостям расположения слоев, а вторая –
им параллельна. Критерии разрушения матрицы имеют следующий вид:
– для плоскости, перпендикулярной слоям волокон:
2
2
 a   bc
  2ab 
f4  
   
 1  0;
S
S
S
 bT   bc   ab 
(П.9)
– для плоскости, параллельной слоям волокон (расслоение):
   2   2    2  
f 5  S 2  c    bc    ca    1  0 ,
 SbT   Sbc   Sca  
(П.10)
где SbT – прочность при растяжении в поперечном направлении. На основе
теории Кулона–Мора пределы сдвиговой прочности для разрушения при
поперечном сдвиге и для разрушения при двухосном осевом сдвиге принимаются в следующем виде:
 
S ab  S ab
 tg    b ;
0
Sbc  Sbc   tg    b ;
0
Sca  Sca   tg    c ;
0
87
Sbc  Sbc   tg    c ,
0
где φ – постоянная материала, параметр tg    аналогичен коэффициенту
 
, Sca  и Sbc  – пределы сдвиговой прочности для соответсттрения, a S ab
вующих направлений растяжения.
Разрушение, предсказываемое критерием f4, можно рассматривать
как разрушение матрицы в поперечном к волокнам направлении, а разрушение матрицы в соответствии с критерием f5, параллельное волокнам,
можно рассматривать как расслоение, когда оно происходит внутри элементов, которые примыкают к границе раздела слоев. Заметим, что коэффициент S вводится для обеспечения лучшей корреляции значений площади расслоения с экспериментальными данными. Коэффициент S может
быть определён при подборе аналитического описания экспериментальных данных для области расслоения.
Когда разрушение волокна в слое предсказывается для растяжения/сдвига критерием f1, способность этого слоя нести нагрузку полностью исчерпывается. Все компоненты напряжения обращаются в нуль (за
100 шагов по времени для избежания численной неустойчивости). В случае разрушения волокна при сжатии считается, что слой несет остаточную
осевую нагрузку, в то время как способность нести нагрузку в поперечном направлении исчерпывается. Когда достигается определяемое критерием f2 разрешение волокна под действием сжатия, предел прочности на
сжатие слоя принимается равным остаточному значению SRC = SFFC*SAC.
Напряжение в продольном направлении принимается постоянным, т.е.
a   S RC – для непрерывности сжимающей нагрузки, а кривая разгрузки,
соответствующая пониженному значению модуля в осевом направлении,
переводит материал в состояние нулевых напряжений и деформаций. Когда происходит разрушение волокна при действии давления, принимается,
что материал ведет себя упруго при давлении сжатия р > 0 и не несет никакой нагрузки под действием давления противоположного знака, р < 0.
Когда оценивается разрушение (расслоение) матрицы в плоскости
0
0
аb, значения пределов прочности Sca  и Sbc  задаются равными нулю.
В этом случае компоненты напряжения σc, τbc и τca оказываются на предельной поверхности, соответствующей прочности разрушенного материала. При растяжении σc > 0 эти компоненты напряжения становятся нулевыми. При сжатии σc < 0 нормальное напряжение σc остается упругим
для закрытых трещин. В случае нагружения, соответствующего огибающей разрушения, напряжения сдвига рассматриваются «скользящими» по
поверхности прочности (напряжения сдвига при трении) – как принято
для идеально пластического материала. При разгрузке соотношение «напряжения сдвига – деформации» соответствует уменьшенному модулю
сдвига и переводит материал в состояние нулевых напряжений сдвига и
деформаций для компонентов τbc и τсa.
0
0
0
88
Поведение трещины в материале матрицы после разрушения в
плоскости ас, которое определяется критерием f4, моделируется таким же
образом, как и для плоскости аb. В этом случае, как только происходит
0
0
разрушение, параметры Sab
и Sbc  сразу же обращаются в нуль. После образования трещины поведение материала управляется критерием разру0
0
шения f5 при Sab
 0 и Sbc   0 . При растяжении переменная σb больше нуля, параметры τab и τbc равны нулю. При сжатии, σb < 0, параметр σb остается упругим, а значения τab и τbc «скользят» по поверхности прочности –
как принято для идеально пластического материала. При разгрузке соотношение «напряжения сдвига–деформации» соответствует уменьшенному
модулю сдвига и переводит материал в состояние нулевых напряжений
сдвига и деформаций. Надо заметить, что параметр τbc управляется обеими функциями разрушениями и должен лежать внутри этих двух поверхностей прочности или на каждой из них.
Модель слоистого тканого материала
Критерии разрушения с улучшенными возможностями моделирования прогрессирующего разрушения, учитывающие объёмные напряжения
в плоском тканом композите, также устанавливаются по образцу однонаправленной модели. Заметим, что критерии разрушения выражаются через компоненты напряжения, относящиеся к одному слою материала
(σa, σb, σc, τab, τbc, τca), где вектор а соответствует направлению волокна,
вектор b – направлению, перпендикулярному волокну, и с – направлению
нормали к плоскости, в которой расположены векторы а и b.
Критерии разрушения утка и основы ткани при растяжении/сдвиге
задаются квадратичными формами продольных напряжений и напряжений сдвига:
2
2
2
  a   ab

 ca
f5  
 
 1  0 ;
 S aT   S aFS 
(П.11)
2
    2  2 
f 7   b    ab bc   1  0 ,
 SbT   SbFS 
(П.12)
где SaT и SbT – значения пределов прочности на растяжение для материала
утка и основы, соответственно, a SaFS и SbFS – значения пределов прочности на сдвиг для утка и основы ткани. Эти критерии разрушения применимы, когда значения напряжений σa или σb являются положительными.
Предполагается, что
SaFS = SFS и SbFS = SFS*SbT / SaT.
89
Когда σa или σb оказываются сжимающими, считается, что разрушение утка и основы при сжатии определяется критерием максимального
напряжения:
2
  
f8   a   1  0 , a  a  c ;
 SaC 
(П.13)
2
  
f 9   b   1  0 , b  b  c ,
 SbC 
(П.14)
где SaC и SbC – значения пределов прочности на сжатие для материала утка
и основы, соответственно.
Разрушение под действием давления сжатия определяется условием
2
 p 
 a  b   c
.
f10  
 1  0, p  
3
S
 FC 
(П.15)
Плоский тканый слой может разрушиться под действием напряжения сдвига без разрыва волокон. Этот режим разрушения матрицы определяется соотношением
2
 
f11   ab   1  0 ,
 S ab 
(П.16)
где Sab – предел прочности тканого слоя на сдвиг вследствие разрушения
матрицы при сдвиге.
Еще один режим разрушения, обусловленный напряжениями по
толщине, связанными квадратичной формой, рассматривается в основном
как разрушение матрицы. Этот критерий разрушения матрицы по толщине записывается следующим образом:
   2    2    2 
f12   c    bc    ca    1  0 ,
 ScT   Sbc   Sca  
(П.17)
где ScT – значение предела прочности на растяжение по толщине, а Sbc и
Sca – пределы прочности на сдвиг, которые принимаются зависящими от
нормального напряжения сжатия σc:
0
 Sca   Sca 
     0   tg    c .
 Sbc   Sbc 
(П.18)
Когда разрушение, предсказываемое этим критерием, происходит
внутри элементов, которые примыкают к данному слою, предполагается,
что плоскость разрушения параллельна плоскостям укладки слоев и, таким образом, может рассматриваться как расслоение материала. Заметим,
что для обеспечения лучшей корреляции значений площади расслоения с
90
экспериментальными данными вводится коэффициент пересчета S. Коэффициент S может быть определен при аналитическом описании экспериментальных данных для области расслоения.
Подобно однонаправленной модели, когда разрушение волокна в
слое при растяжении/сдвиге предсказывается критериями f6 или f7, способность поврежденного слоя нести нагрузку в соответствующем направлении полностью исчерпывается. Для разрушения при сжатии слоя в соответствии с критериями f8 или f9 принимается, что слой несет остаточную осевую нагрузку в направлении разрушения, а способность нести нагрузку в направлении, поперечном к направлению разрушения, сохраняется неизменной. Когда продольное напряжение сжатия в слое достигает
предела осевой прочности на сжатие, SaC или SbC, осевое напряжение слоя
уменьшается до остаточной прочности SaRC, или SbRC, где SaRC = SFFC*SaC,
и SbRC = SFFC*SbC. Осевое напряжение принимается постоянным, т.е.
σa = –SaRC или σb = –SbRC – для непрерывности сжимающей нагрузки, а
кривая разгрузки соответствует пониженному значению модуля в осевом
направлении. Когда происходит разрушение волокна при действии давления, принимается, что материал ведет себя упруго при давлении сжатия
р > 0 и не несет никакой нагрузки под действием давления противоположного знака, р < 0.
Когда происходит разрушение за счет сдвига в соответствии с критерием f11, способность нести осевую нагрузку в пределах разрушившегося элемента принимается неизменной, а напряжения сдвига в плоскости
разрушения полагаются равными нулю.
Для разрушения матрицы по толщине (расслоения), задаваемого
уравнениями f12, способность нести нагрузку в плоскости внутри элемента соответствует упругому материалу, а значения прочности для режима
0
0
растяжения Sca  и Sbc  принимаются равными нулю. При растяжении,
σc > 0, эти компоненты напряжения по толщине становятся нулевыми.
При сжатии, σc < 0, напряжение σc остается упругим. В случае нагружения, соответствующего огибающей разрушения, напряжения τbc и τсa рассматриваются «скользящими» по поверхности прочности – как принято
для идеально пластического материала. При разгрузке соотношение «напряжения сдвига – деформации» соответствует уменьшенному модулю
сдвига и переводит материал в состояние нулевых напряжений сдвига и
деформаций.
Влияние скорости деформации на значения пределов прочности волокна учитывается умножением их значений на коэффициент пересчета
SRT:

  

S RT   S0  1  Crate1 ln   ;
0 

91
 a


 S aT 


S 
 a


 aC 


 b
 SbT 



S RT     и    
,


b
S
bC


 
 c


 ScT 
 2

 
2 1/ 2
S





 cC 
 ca
bc 

где Crate1 – константа скорости деформации;    – эффективная скорость
деформации;  0 – отчетная скорость деформации.
Удаление элементов
Разрушившийся элемент удаляется при выполнении одного из следующих условий:
1) если в элементе однонаправленного слоя предсказывается разрушение при растяжении волокон и продольная деформация растяжения
превосходит E_LIMIT;
2) если объёмная деформация при сжатии в разрушившемся элементе меньше, чем ECRSH;
3) если объёмная деформация при растяжении в разрушившемся
элементе больше, чем EEXPN.
Параметры разрушения хранятся как переменные истории нагружения. Информация о переменных истории нагружения для связанных режимов разрушения может графически отображаться в модуле LSPOST.
Соответствие между переменными истории и их порядковыми номерами
даётся в табл. П.3. Это необязательные переменные.
Таблица П.3
Переменные истории
Переменная
истории
efa(i)
efb(i)
efp(i)
em(i)
ed(i)
Значение
Переменная истории
в LS-POST
0 – упругий;
1 – разрушенный
8
–
9
–
10
–
11
–
12
Описание
Разрушение волокна
в направлении а
Разрушение волокна
в направлени b
Разрушение волокна
давлением
«Перпендикулярное»
разрушение матрицы
«Параллельное»
разрушение матрицы
92
Учебное издание
МУЙЗЕМНЕК Александр Юрьевич
ИСПЫТАНИЯ, ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
И РАСЧЁТ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Часть I
Математическое описание поведения
слоистых композитов
Редактор Ю. В. Коломиец
Компьютерная верстка А. А. Стаценко
Подписано в печать 20.3.09. Формат 60×841/16.
Усл. печ. л. 5,34.
Заказ № 64. Тираж 50.
Информационно-издательский центр ПГУ
Пенза, Красная, 40, т.: 56-47-33
93
94
А. Ю. МУЙЗЕМНЕК
Учебное пособие
ЧАСТЬ I
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
95