Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции

Практикум абитуриента
Колегаева Елена Михайловна
Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции, предлагаемые
на выпускных и вступительных экзаменах
Анализ выпускных экзаменационных работ по математике, в том числе,
предлагаемых в рамках ЕГЭ, показывает, что большую трудность для школьников
представляют собой задачи на исследование функций. Мы рассмотрим класс задач на
нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Наиболее часто встречаются
задачи двух типов – либо требуется найти множество значений функции, либо
содержательная задача сводится к построению и исследованию некоторой функции на
наибольшее и наименьшее значение.
Напомним, что если функция задана графиком, то множество ее значений есть
промежуток, который получается проектированием графика этой функции на ось Оу. В
случае, если функция задана аналитически, то для нахождения ее множества значений
приходится проводить исследование функции на непрерывность и ограниченность. Это
делается либо с помощью известных теорем дифференциального исчисления, либо с
использованием свойств функций – монотонности, ограниченности, непрерывности и т.д.
Вспомним основные определения и теоремы.
Определение 1. Функция y  f x  называется непрерывной на множестве Х, если для
любого x X бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно
малое приращение функции  y .
Замечание. Непрерывность функции означает, что ее график можно изобразить, не отрывая
карандаша от бумаги. Все изучаемые в школьном курсе функции являются непрерывными в
своей области определения.
Определение 2. Функция y  f x  называется ограниченной сверху, если существует такое
число M, которое называется верхней гранью функции, что для любого x X выполняется
неравенство f x  M . В противном случае говорят, что функция неограниченна сверху.
Определение 3. Функция y  f x  называется ограниченной снизу, если существует такое
число m, которое называется нижней гранью функции, что для любого x X выполняется
неравенство f x  m . В противном случае говорят, что функция неограниченна снизу.
Определение 4. Функция y  f x  называется ограниченной, если она ограничена сверху и
снизу.
Определение 5. Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью
функции. Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью функции.
Замечание. Можно доказать, что у ограниченной функции существует точная нижняя и
точная верхняя грани. Говорят, что точная верхняя (нижняя) грань достигается, если
существует точка x из области определения функции, значение функции в этой точке равно
точной верхней (нижней) грани.
Теорема 1. Если функция y  f x  непрерывна на замкнутом отрезке a, b и
дифференцируема в каждой точке интервала a, b , то она достигает на отрезке своего
наибольшего и наименьшего значения.
Замечание. В этом случае наименьшее и наибольшее значения достигаются либо в точках
экстремума, либо на концах отрезка.
Теорема 2. Если функция непрерывна на множестве Х и имеет на этом множестве
единственную точку минимума, то она достигает в этой точке своего наименьшего
значения на множестве Х. Если функция непрерывна на множестве Х и имеет на этом
множестве единственную точку максимума, то она достигает в этой точке своего
наибольшего значения на множестве Х.
Теорема 3. Если функция непрерывна и периодична на R, то она достигает своего
наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума, и достигает своего
наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума.
Покажем, как применять эти факты к решению задач.
Задача 1. Найти множество значений функции y 
2  sin x  cos x
.
3 2
Решение. Попробуем решить эту задачу, применяя свойства входящих в правую часть
функций. Заданная функция является непрерывной, как композиция непрерывных функций
поэтому множество ее значений – непрерывный промежуток, левый конец которого –
наименьшее значение этой функции, а правый конец – наибольшее значение. Т.к. функция
y  x является возрастающей, то большему значению аргумента соответствует большее
значение функции, поэтому найдем наибольшее и наименьшее значение подкоренного
выражения и подставим эти значения в функцию y  x .
1). Преобразуем подкоренное выражение:
2  sin x  cos x 1
1
1
1

 (1 
sin x 
cos x)  (1  sin( x  )) .
3
3
4
3 2
2
2
Найдем точную верхнюю и нижнюю грани этого выражения. Имеем последовательно:


1

2
 1  sin( x  )  1, 0  1  sin( x  )  2, 0  (1  sin( x  ))  .
4
4
3
4
3
2). Так как функция y  x является возрастающей, то большему значению функции
соответствует большее значение аргумента, то есть
0
2  sin x  cos x

3 2
2
. Делаем
3

2
вывод, что множество значений функции – отрезок Y  0,
.
3


2
Ответ. Множество значений функции – отрезок Y  0,
.
3

2x
x
Задача 2. Найти множество значений функции y 
 3 , если x  1 .
x
x

1
 2    ,  1  x  0,
Решение. Преобразуем функцию, раскрыв знак модуля: y  
 3

2  3x , x  0

x
1
1). Функция y1    является непрерывной и убывающей как показательная функция с
 3
основанием, меньшим единицы, поэтому из того, что  1  x  0 следует, что
y1 0  y1  y1  1 , то есть 1  y1  3 . Далее, используя свойства неравенств, получим:
x
1
 1  2     1 . Таким образом, при  1  x  0 множество значений функции y   1, 1 .
 3
2). Функция y 2  3x является непрерывной и возрастающей как показательная функция с
основанием, большим единицы, поэтому из того, что x  0 следует, что y 2  3o  1 . Далее,
используя свойства неравенств, получим: 2  3 x  3 . Таким образом, при x  0 множество
значений функции y  3,  .
Объединяя оба случая, получим, что множество значений функции есть объединение
промежутков Y   1, 1  3,   .
Ответ. Множество значений функции Y   1, 1  3,   .
Задача 3. Найти наибольшее значение площади прямоугольника со сторонами,
параллельными осям координат и диагональю ОР, где О – начало координат, Р – точка на
6
графике функции y  30 x 2 e 36 x  , 0,3  x  2 .
x
Решение. Обозначим через х и у координаты точки Р. Так как x  0 по условию и y  0 (как
сумма двух положительных слагаемых), то точка Р лежит в первой четверти, то функция
площади прямоугольника имеет вид S  xy . Подставим вместо у значение функции и
6
получим функцию площади: S  x   x (30 x 2 e 36 x  ) , x  0,3; 2 .
x
Задача свелась к нахождению наибольшего значения непрерывной функции на
замкнутом отрезке.
1). Найдем производную S x   (30 x 3e 36 x  6)  303x 2 e 36 x  6 x 3e 36 x   90 x 2 e 36 x 1  2 x .
2). Найдем точки возможного экстремума, приравняв производную к нулю: S x   0 ; x  0
или x  0,5 .
3). Выберем точки возможного экстремума, принадлежащие промежутку x  0,3; 2 . Такая
точка – единственная x  0,5 .
4). Далее можно применять либо теорему 1, либо теорему 2, приведенные выше. Если
применить теорему 1, то необходимо сравнить значения S 0,5, S 0,3, S 2 и выбрать среди
них наибольшее. Это – достаточно трудоемко для данной функции, поэтому применим
теорему 2. Исследуем функцию на экстремум на заданном отрезке. Так как на заданном
промежутке x 2  0, e 36 x  0 , то знак производной зависит от знака множителя 1  2 x .
а). Если x  0.3; 0,5 , то 1  2 x  0 и S x   0 ,
б). Если x  0,5; 2, то 1  2 x  0 и S x   0 .
Делаем вывод, что точка x  0,5 - единственная точка максимума на отрезке
x  0,3; 2 , значит, в этой точке функция принимает наибольшее значение,
3
S наиб  S 0,5  0,5(30  0,52 e 30,56 
)  9,75 .
0,5
Ответ. Наибольшее значение площади прямоугольника равно 9,75.
Задача
4.
При
каком
значении
максимум
функции

4
3
2
на отрезке  cos ; sin   принимает
f x   9 x  12 x cos   sin    9 x sin 2
  
наибольшее значение на отрезке  ; 0 ?
 2 
Решение. Исследуем функцию на экстремум при x   cos ; sin   . Найдем производную.
После преобразований получим:
f x   18 x2 x 2  2 xcos   sin    sin 2  . Найдем точки возможного экстремума.
 x  0,
 x  0,
f x   0   2
  x   sin  ,

2 x  2 x cos   sin    sin 2  0
 x   cos 
Запишем производную в виде f x   36xx  sin  x  cos   . Так как x   cos ; sin   ,
cos   0,
то 
. Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума:
 sin   0
x
f x 
 1, cos  )
+
 cos 
0
(  cos  , 0)
-
0
0
(0, sin  )
+
 sin 
0
( sin  , 1
_
f x 

max

min

max

Таким образом, нашли x1max   cos  , x2 max   sin  на промежутке x   cos ; sin   .
Найдем максимумы функции f x1max   f1   и f x2 max   f 2   .
f1    f  cos    3 sin 4   6 sin  cos 2  . Задача
  
свелась к нахождению наибольшего значения этой функции на отрезке     ; 0 .
 2 
Функция непрерывна на замкнутом отрезке, поэтому наибольшее значение она может
принимать либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Найдем точки возможного
экстремума функции на заданном отрезке, значения функции в точках экстремума и сравним
со значениями функции на концах отрезка.

Найдем f1    6 cos 2  (3 sin 2   2 sin  cos   cos 2  ) .


  2  n, n  Z ,
 cos   0,

f1    0  
  tg  1,
2
2

3
sin


2
sin

cos


cos


0

1
 tg  
3


  
 1
Выберем значения  из промежутка    ; 0 :   
или   arctg    . Для
2
 2 
 3
cos   0,

 1 
нахождения f1  arctg     будем учитывать, что 
и воспользуемся формулами:
 3 

 sin   0
1). После преобразований получим

1
3

,
 cos  

1
1
10
,

1

 cos  
1  tg 2 . Получим: 
9

sin    1  cos 2 

9
1


.
sin    1 
10
10


81
1
27
81
 
 1 
Тогда f1  arctg      3 
. Найдем f1     0 , f1 0  3 .
 6


100
10 10 10 20
 2
 3 

81
.
Выбирая наибольшее из этих значений, получим, что f1наиб 
20
2). Осталось проделать аналогичные вычисления для функции f x2 max   f 2   . Ответ в этом
случае будет тот же самый.
81
.
Ответ. Максимум функции принимает наибольшее значение, равное f наиб 
20
Задача 5. При каких значениях параметра а множество значений функции
y  a 2  1 x 2  a  1x  2 содержит отрезок 0, 1 ?
Решение. 1). Если a 2  1  0 , то
а) при а =1 функция примет вид y = 2, и множество ее значений состоит из
единственной точки 2 и не содержит отрезок 0, 1 ;
б) при а = -1 функция примет вид y = -2x+2. Ее множество значений Y  R содержит
отрезок 0, 1 , значит а = -1 является решением задачи.
2). Если a 2  1  0 , то ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция
принимает в вершине параболы y0  f x0  :


x0 


a2  1
a 1
3a  5
1 a
1
,
.
y


2


0
2
2
4a  1
2 a 1
2a  1
4a  1 2a  1


Множество значений функции есть промежуток
 3a  5

Y 
,    , который
 4a  1

 3x  5
 0,

содержит отрезок 0, 1 , если выполняются условия:  4a  1
2

 a 1  0
 5

Решая эту систему неравенств, получим a    ,  1 .
3


2
3). Если a  1  0 , то ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция
3a  5
принимает в вершине параболы y0 
. Множество значений функции есть
4a  1

3a  5 
промежуток Y    ,
, который содержит отрезок 0, 1 , если выполняются условия:
4a  1

 3x  5
 1,

 4a  1
 a 2  1  0
Решая эту систему неравенств, получим a   1, 1 .
 5 
Объединяя решения, получим a    , 1 .
 3 
 5 
Ответ. При a    , 1 множество значений функции y  a 2  1 x 2  a  1x  2
 3 


содержит отрезок
0, 1.
Задачи для самостоятельного решения
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием №3 для учащихся 11
классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000,
г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ.
М.11.3.1.
Найти множество значений функции
3  sin 2007 x  cos 2007 x
  
1.1. y  arcsin
(ответ: Y   ,  ),
4
 6 6
1.2. y  21  4 cos x  cos 2 x (ответ: Y  4,5 ),
1.3. y  log 2 ( x 2  4 x  12) (ответ: Y  3, ),
1.4. f ( x )  sin 2 ( x 
1  7 1  7 
)  cos 2 x (ответ: Y  
,
 ).
6
2
2



М.11.3.2.
Точка А лежит на графике функции y  f (x ) , точка В – на оси Ox, и ее
абсцисса в четыре раза больше ординаты точки А. Найти наибольшее значение площади
треугольника ОАВ, где О - начало координат, и f ( x)  7  3sin x  (3x  1) cos x , где
3
9
x
(ответ: 16  6 ).
4
8
М.11.3.3.
Найти наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами,
параллельными осям координат, и с диагональю ОМ, где О - начало координат, а точка М –
точка на графике функции y  1  3 ln( 0,25 x  2), 9  x  11,5 (ответ: 24  6 ln 0,75 ).
М.11.3.4.
При каких значениях параметра a наименьшее значение квадратного трехчлена
2
4 x  4ax  (a 2  2a  2) на отрезке 0,2 равно 3? (ответ: a  1  2 , a  5  10 ).