ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
А. А. Монаков
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
СанктПетербург
2005
1
УДК 621.396.9(ГУАП)
ББК 3284(ГУАП)
М77
Монаков, А. А.
М77 Основы математического моделирования радиотехнических сис
тем: учеб. пособие / А. А. Монаков; ГУАП. СПб., 2005. 100 с.: ил.
Рассматриваются принципы математического моделирования радиотех
нических систем. Приводятся алгоритмы моделирования на ЭВМ детерми
нированных и случайных радиосигналов, линейных и нелинейных систем.
Излагаются основные методы обработки результатов математического моде
лирования. Приведены примеры математических моделей различных ра
диотехнических систем.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специ
альности «Радиотехника».
Рецензенты:
кафедра радиоэлектронных средств разведки и артиллерии
Михайловского артиллерийского университета;
кандидат технических наук, старший научный сотрудник
А. А. Филиппов
Утверждено
редакционноиздательским советом университета
в качестве учебного пособия
© ГОУ ВПО «СанктПетербургский
государственный университет
аэрокосмического приборостроения», 2005
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
С момента появления первых цифровых электронных вычислитель
ных машин (ЦЭВМ) прошло более 40 лет. Значимость ЦЭВМ в жизни
общества на протяжении этого периода постоянно росла. Если в начале
своего существования ЦЭВМ рассматривались лишь как помощники
инженеров и ученых в решении сложных вычислительных задач, то в
настоящий момент прогресс в области электронных и информацион
ных технологий способствовал превращению цифровых вычислитель
ных устройств в универсальный инструмент, используемый во всех сфе
рах деятельности современного общества.
Революционные изменения коснулись и радиотехники. Если еще не
давно радиоинженер представлялся «магом» с паяльником в одной руке
и логарифмической линейкой – в другой, то теперь – это специалист,
проводящий большую часть своего рабочего времени перед экраном пер
сонального компьютера. Благодаря современным цифровым техноло
гиям в радиотехнике стали возможными такие технические решения, о
которых раньше невозможно было и мечтать.
С момента своего появления вычислительные средства в радиотех
нике стали использоваться в двух направлениях: при проектировании
и моделировании радиотехнических устройств, причем вначале эти на
правления в определенном смысле были независимыми. Существовали
программные пакеты, предназначенные отдельно для расчета радиотех
нических устройств и моделирования их работы. Однако достаточно
скоро разработчики электронных компонентов и программного обеспе
чения пришли к заключению об общности решаемых в рамках указан
ных направлений задач. Это привело к тому, что средства разработки
стали дополняться инструментарием проверки полученных техничес
ких решений путем моделирования их работы. Примером таких про
граммных продуктов являются системы проектирования цифровых ус
тройств на основе сигнальных процессоров. Наблюдался и обратный
процесс: имитационные средства превращались в средства разработки.
Так, например, язык разработки цифровых устройств на основе про
граммируемых логических матриц VHDL (VHSIC Hardware Description
Language) первоначально предназначался для моделирования работы
цифровых устройств на уровне микросхем. Теперь VHDL – один из са
мых мощных языков разработки, возможности которого используются
в таких известных пакетах математического моделирования систем,
как MATLAB, Simulink и SystemView.
3
В настоящее время уже трудно провести границу между системами
проектирования и моделирования радиоэлектронных систем. Матема
тическое моделирование прочно вошло в практику разработки. Это обус
ловлено не только общностью используемого математического аппара
та и программных средств, но и финансовыми соображениями. Разра
батываемые радиоэлектронные устройства и системы дороги. Изготов
ление опытных образцов и их натурные испытания – долгий и экономи
чески сложный процесс. В этих условиях эффективность разработки
значительно повышается при использовании математического модели
рования.
Настоящее учебное пособие посвящено изложению основных мето
дов математического моделирования радиотехнических систем. Автор
не ставил своей целью изложение общей теории моделирования. Основ
ное внимание уделено тем практическим приемам, которые чаще всего
встречаются при решении задач моделирования с использованием ЦЭВМ.
В основу пособия положены лекционные курсы «Компьютерные сред
ства моделирования РЭС» и «Основы цифровой обработки сигналов»,
которые читаются студентам радиотехнического факультета.
4
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
АРУ
АХ
АЧХ
БПФ
ДН
ДПФ
КС
КФ
ЛЗ
МАСРП
ПД
РСН
РТС
РХ
СЗ
СПМ
ФЧХ
– автоматическая регулировка усиления
– амплитудная характеристика
– амплитудночастотная характеристика
– быстрое преобразование Фурье
– диаграмма направленности
– дискретное преобразование Фурье
– контур самонаведения
– корреляционная функция
– линейное звено
– моноимпульсный амплитудный суммарноразностный
пеленгатор
– период дискретизации
– равносигнальное направление
– радиотехническая система
– регулировочная характеристика
– сглаживающее звено
– спектральная плотность мощности
– фазочастотная характеристика
5
ВВЕДЕНИЕ
В процессе разработки и испытаний радиоэлектронной аппаратуры
часто возникают задачи по оценке качества функционирования проек
тируемых систем и устройств. К сожалению, лишь немногие из этих
задач могут быть решены точными аналитическими методами. Однако
даже в случае удачи разработчик не может быть уверен в высоком каче
стве полученных технических решений. Причина этого заключается в
том, что аналитические методы оценки дают достоверные результаты
лишь при точном соответствии реальных условий функционирования
разрабатываемой аппаратуры и математической модели этих условий.
Это соответствие – скорее исключение, чем правило, когда речь идет о
радиотехнических системах, работающих в условиях высокой априор
ной неопределенности относительно статистики входных радиосигна
лов и помех, условий их распространения.
Безусловно, проведение натурных испытаний проектируемой аппа
ратуры позволяет адекватно оценить ее качество. Однако на этапе раз
работки и отладки вряд ли возможно говорить о качественном натур
ном эксперименте, поскольку его цена высока, и реализация широко
масштабных экспериментальных исследований экономически не вы
годна. В этих условиях единственный выход для разработчика – прове
дение математического эксперимента. Такой эксперимент является эко
номически выгодным способом проверить качество функционирования
радиоэлектронной аппаратуры на этапе ее проектирования и отладки.
Проведение математического моделирования целесообразно еще и по
тому, что позволяет облегчить синтез и анализ алгоритмов обработки
сигналов, реализация которых предполагает использование цифровых
вычислительных устройств.
В основе проведения любого математического эксперимента лежит
создание математической модели разрабатываемого или тестируемого
устройства. При этом под математической моделью понимается фор
мальное описание объекта или явления при помощи математических
уравнений, которые могут быть представлены в замкнутой (решенной)
или незамкнутой (нерешенной) форме. Соответственно, математичес
кое моделирование – исследование объекта или явления на основе ис
пользования математической модели.
Исторически первым видом математического моделирования явилось
моделирование аналитическое, в ходе которого разработчик произво
дил расчет характеристик объекта по готовым формулам. Возможности
6
данного метода, как уже было сказано выше, весьма ограничены, так
как аналитические расчеты возможны лишь при простых по своей при
роде объектах. В настоящее время для исследования используется ими
тационное моделирование, при котором с максимальной степенью адек
ватности воспроизводится временная и логическая связь происходя
щих в объекте моделирования процессов.
В нашем случае объектом моделирования является радиотехничес
кая система (РТС) – совокупность технических средств обработки ра
диосигналов, предназначенная для передачи информации и ее извлече
ния. Именно использование радиосигналов как носителей информации
позволяет выделить радиосистемы из общего количества информаци
онных систем в отдельную категорию. Информационная сущность РТС
позволяет выделить следующие типы:
– РТС передачи информации (системы связи);
– РТС извлечения информации (радиолокационные системы, радио
навигационные системы, системы радиоразведки);
– РТС разрушения информации (системы радиопротиводействия).
Любая РТС может быть укрупненно представлена в виде структур
ной схемы, изображенной на рисунке.
! 52 2
Устройство
2"5"2 4
обработки
4 25 44
информации
1
244 информации
4 25 44
Источники
1 234567 8 99
Кодирующее
6 52 2
устройство
236 25
(модулятор)
Формирователь
25 452 9
5342 4
радиосигнала
9234567 8 99
Декодирующее
6 52 2
устройство
39 236 25
(демодулятор)
Канал
1 распростра
5
52 594
нения
1
244 2
9
Источники
помех
Здесь формирователь сигнала генерирует радиосигнал, который по
ступает на кодирующее устройство (модулятор), функцией которого
является наполнение сигнала информационным содержанием путем из
менения его параметров (амплитуды, фазы, частоты, поляризации).
Модулирующий сигнал на кодирующее устройство поступает от источ
ника информации. Данный способ информационного наполнения наи
более характерен для связных РТС. Однако возможен и другой способ.
Информационное содержание радиосигнал приобретает в канале рас
пространения вследствие воздействия на его параметры физических
свойств среды. Такой способ характерен для радиолокационных и ав
тономных радионавигационных систем. В канале распространения сиг
7
нал подвергается воздействию помех. Это воздействие может происхо
дить различно. Выделяют аддитивные и мультипликативные помехи.
Воздействие последних приводит к таким изменениям радиосигнала,
которые, в отличие от аддитивных помех, нельзя представить в виде
простой суперпозиции сигнала и помехи. Однако помехи, действующие
в канале распространения, не являются единственным источником не
гативного влияния на информационное содержание сигнала. Источни
ком помех являются внутренние шумы декодирующего устройства, за
дачей которого является демодуляция принимаемого сигнала. Демоду
лированный сигнал затем поступает на устройство обработки, где осу
ществляется извлечение необходимой информации.
Анализ приведенной схемы свидетельствует о том, что РТС имеют
следующие особенности, которые необходимо учитывать при формиро
вания их математических моделей:
– РТС – многомерные системы с большим количеством элементов и
сложными функциональными связями между ними;
– РТС постоянно находятся под воздействием случайных факторов;
– РТС – быстродействующие системы, в которых сочетается высо
кая скорость изменения радиосигналов и относительно низкая скорость
информационных потоков.
Перечисленные особенности делают задачу моделирования РТС чрез
вычайно сложной. Ее решение с достаточной степенью адекватности
возможно лишь при использовании современных цифровых ЭВМ и при
менении специальных математических методов, уменьшающих вычис
лительные затраты.
8
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РАДИОСИГНАЛОВ И ПОМЕХ
1.1. Моделирование непрерывных детерминированных сигналов
Использование ЦЭВМ в качестве основного инструмента математи
ческого моделирования приводит к необходимости реализации моделей
сигналов и помех в дискретном времени. Поэтому задачу моделирова
ния непрерывных детерминированных сигналов сформулируем, как
задачу отыскания алгоритмов, позволяющих формировать на ЭВМ их
дискретные реализации без потери информации об исходном сигнале.
Здесь слова «без потери информации» означают, что модель сохраняет
все свойства непрерывного сигнала, и этот сигнал может быть одно
значно восстановлен по своей модели.
Пусть требуется смоделировать детерминированный (неслучайный)
радиосигнал
s 1 t 2 5 a 1 t 2 cos 36 0t 7 8 1 t 2 7 80 4 , 9
t
,
(1.1)
где a 1 t 2 – закон амплитудной модуляции; 3 1 t 2 – закон фазовой моду
ляции; 1 0 2 23f0 – круговая несущая частота; 10 – начальная фаза. Фор
ма представления сигнала (1.1) называется временной. Альтернатив
ной ей является частотная форма
S132 4
1
5 s1t2 e
2i3 tdt,
21
(1.2)
где S 1 3 2 – спектральная функция сигнала. Между функциями s 1 t 2 и
S 1 3 2 существует взаимно однозначное соответствие
s1t 2 3
1
1
S 1 4 2 ei2 tdt.
25 31
6
(1.3)
Равенства (1.2) и (1.3) составляют пару (прямое и обратное) преоб
разований Фурье. Оба представления сигнала в силу взаимной одно
значности полностью эквивалентны. Выбор между ними осуществля
ется, исходя из специфики конкретной задачи. На рис. 1.1, а и б в каче
стве примера приведены временная и частотная формы представления
радиоимпульса с трапециевидной спектральной функцией.
9
6
а)
2112
237
238
2
1238
1237
1234
1235
1236 2 236
235
234
1
б)
1215
S(w)
1214
1213
1
WB
–WB
1234
134
4
34
234
w
Рис. 1.1
Цифровой (дискретной) моделью сигнала s 1 t 2 можно считать сово
купность отсчетов, взятых с некоторым интервалом T
s1n2 5 s 3 nT 4, n 5 0, 61, 62, 1
(1.4)
Интервал T называется периодом дискретизации (ПД). При этом
на некотором интервале наблюдения 10,Tн 2 сигнал будет представлять
ся в виде вектора конечной длины s 5 3 s102,1, s1 N 6 124 , где 1 32 – опера
тор транспонирования; N 3 1Tн T 2 4 1 – длина вектора. Увеличивая
ПД T , можно уменьшить длину N . Однако увеличивать T сверх неко
торого предела нельзя, так как при этом будет утрачена возможность
восстановления непрерывного сигнала s 1 t 2 по вектору отсчетов s . Дей
ствительно, согласно теореме Котельникова, сигнал с ограниченным
на интервале 1 34В, 4В 2 спектром может быть представлен в виде следу
ющего ряда:
T
10
T
s1t 2 9
5ВT 1
s 1 nT 2
sin 375В 1 t 6 nT 2 48
.
(1.5)
375В 1 t 6 nT 2 48
Зная отсчеты сигнала s 1 nT 2, n 3 0, 41, 42, 1 , на основе (1.5) можно
восстановить значение сигнала в произвольный момент времени, если
ПД удовлетворяет критерию Найквиста–Котельникова
n 231
T1
1
,
2FВ
(1.6)
где FВ 1 2В 23 – верхняя частота спектра сигнала. При нарушении кри
терия (1.6) восстановление сигнала по его дискретным отсчетам стано
вится невозможным. Причиной этому является эффект наложения.
Дело в том, что спектральная функция последовательности отсчетов
сигнала s 1 nT 2, n 3 0, 41, 42, 1 может быть записана
1
1
23
S1 1 6 2 7
S 49 6 8 n 5
T n 231
T
(1.7)
и является периодической функцией с периодом 1 2 23 T .
На рис. 1.2, а и б показан дискретизированный во времени радиоим
пульс с трапециевидной спектральной функцией (см. рис. 1.1) и его
спектр при 1В 2 1 3 1В .
Из рис. 1.2 видно, что в областях частот 1 34В, 34 5 4В 2 и 1 3В, 3 4 3В 2
верхняя боковая полоса одного периода накладывается на нижнюю бо
ковую полосу другого периода функции S 1 3 2 . Происходит явление на
ложения, вследствие которого S1 1 3 2 4 S 1 3 2 при 1 2 3В . Спектр диск
ретной последовательности отсчетов сигнала S1 1 3 2 искажается по срав
нению со спектральной функцией непрерывного сигнала. В то же время
при выполнении условия 1В 2 1 3 1В явление наложения не возни
кает, S1 1 3 2 4 S 1 3 2 при 1 2 3В , и восстановление оказывается возмож
ным. Условие 1В 2 1 3 1В и приводит к критерию (1.6).
Таким образом, модель сигнала s 1 t 2 может быть образована из от
счетов сигнала, взятых с периодом дискретизации, удовлетворяющим
условию Найквиста–Котельникова (1.6). Такой метод моделирования
сигналов называется методом несущей. Достоинство метода – его про
стота. Однако методу присущ серьезный недостаток – он требует выде
ления большого объема памяти ЭВМ для представления сигналов.
Действительно, при высокой несущей частоте 10 ( 1 0 22 34 , 12 –
ширина спектра сигнала) 1В 2 3 0 4 51 2 , и ПД должен быть меньше
половины периода несущей частоты. Столь малый ПД делает необхо
димым генерацию и запоминание большого числа отсчетов сигнала N .
Поэтому при моделировании ВЧ и СВЧсигналов на интервалах време
11
ни значительно больших периода колебаний используют другой метод
представления – метод огибающей.
6
а)
237
2
21
1
238
2
1
1238
1237
1234
1235
1236 2 236
235
234
1
б)
1
1
1
1
1
1
1215
S(w)
1214
1213
1
–WB
–WB+WB
7361
761
1
w
W–WB
61
WB
361
Рис. 1.2
Запишем сигнал (1.1) в виде
s 1 t 2 3 u 1 t 2 cos 40t 5 v 1 t 2 sin 40t,
где
(1.8)
u 1 t 2 5 a 1 t 2 cos 386 1 t 2 7 60 49 ,
v 1 t 2 5 a 1 t 2 sin 38 6 1 t 2 7 60 49 .
(1.9)
Процессы u 1 t 2 и v 1 t 2 называются квадратурами сигнала s 1 t 2 , а комп
лексный сигнал
w 1 t 2 5 u 1 t 2 6 iv 1 t 2 5 a 1 t 2 exp{i 38 7 1 t 2 6 70 49}
12
(1.10)
называется комплексной огибающей сигнала. Сигнал s 1 t 2 может быть
восстановлен по своей комплексной огибающей w 1 t 2 на основании сле
дующего соотношения:
3
4
3
4
s 1 t 2 5 Re w 1 t 2 ei10t 5 0,5 w 1 t 2 ei10t 6 w* 1 t 2 e 2i10t ,
(1.11)
3 – оператор взятия действительной части комплексного чис
где Re 12
ла; w* 1 t 2 3 u 1 t 2 4 iv 1 t 2 .
Возьмем преобразование Фурье от правой и левой частей уравнения
(1.11). Получим
3
4
S 1 5 2 6 0,5 W 1 5 7 5 0 2 8 W * 1 75 7 5 0 2 ,
где W 1 3 2 4
1
5 w1t2 e
(1.12)
2i3tdt – спектральная функция комплексной огибающей.
21
а)
4547
S(w)
4546
4542
4
б)
1234
134
1234
134
4
34
234
4
34
234
w
4543
W(w)
4546
4542
4
w
Рис. 1.3
13
Допустим, что скорость изменения процессов a 1 t 2 и 3 1 t 2 значитель
но меньше, чем скорость изменения во времени гармонического сигнала
e 1i20t . Тогда, очевидно, ширина спектра сигналов u 1 t 2 , v 1 t 2 и w 1 t 2 бу
дет значительно меньше несущей частоты 10 . При этом функции
W 1 3 4 30 2 и W * 1 34 3 4 0 2 , разнесенные друг от друга по частоте на рас
стояние 210 , не пересекаются. Тогда функция W 1 3 4 30 2 может быть
ассоциирована с частью спектра сигнала S 1 3 2 , сконцентрированной в
окрестности частоты 10 в области положительных частот, а функция
W 1 34 3 4 0 2 – с частью спектра S 1 3 2 , сконцентрированной в окрестнос
ти частоты 12 0 в области отрицательных частот (см. рис. 1.1). При
мерный вид спектров S 1 3 2 и W 1 3 2 представлен на рис. 1.3, а и б.
Поскольку между s 1 t 2 и w 1 t 2 существует связь (1.11), а верхняя
частота 1В спектра W 1 3 2 значительно ниже несущей 10 ( 1В 22 3 0 ),
сигнал s 1 t 2 может быть представлен отсчетами своей комплексной оги
бающей w 1n2 5 w 3 nT 4, n 5 0, 61, 62, 1 . В данном случае ПД выбирается
также на основании соотношения (1.6), однако участвующая в этом
неравенстве частота FВ 1 2В 23 соответствует верхней частоте спектра
комплексной огибающей W 1 3 2 . Поэтому при одинаковом времени на
блюдения Tн количество отсчетов, необходимых для представления в
дискретном времени сигнала w 1 t 2 , значительно меньше количества
отсчетов сигнала s 1 t 2 по методу несущей. Метод представления сигна
ла s 1 t 2 с помощью процесса w 1 t 2 называется методом огибающей. Дан
ный метод позволяет значительно сократить объем памяти ЭВМ, ис
пользуемой для хранения сигнала s 1 t 2 по сравнению с методом несу
щей. Однако данный метод имеет и недостаток: огибающая w 1 t 2 явля
ется комплексным процессом, что делает необходимым хранение
N 3 21Tн T 4 12 отсчетов и использование при моделировании комплек
сной арифметики.
1.2. Моделирование радиосигналов со случайными параметрами
Сигнал s 1 t, 3 2 называется сигналом со случайными параметрами,
если 1 – случайная величина (вектор), а закон изменения s 1 t, 3 2 во вре
мени известен, если известно значение случайного параметра 1 . По
скольку параметры сигнала не изменяются во времени (изменения про
исходят лишь от реализации к реализации) методы моделирования сиг
нала s 1 t, 3 2 принципиально ничем не отличаются от случая полностью
детерминированного сигнала за исключением того, что при создании
модели необходимо случайным образом изменять 1 от опыта к опыту.
Целью настоящего раздела является изложение методов генерации слу
чайных величин с заданными законами распределения вероятностей.
14
1.2.1. Методы генерации случайных величин с равномерным
на интервале [0,1] законом распределения
Получение случайных величин с равномерным на интервале 10, 12
законом распределения является базовой операцией для генерации слу
чайных величин с произвольным законом распределения. Случайная
величина 1 распределена равномерно на интервале 10, 12 , если ее плот
ность вероятности равна
f1 1 x 2 6
3
1, 0 4 x 5 1,
0, при других x.
(1.13)
Интегральная функция распределения 1 при этом имеет вид
F1 1 x 2 Pr 3 7 x4
80, 56 7 x 7 0,
9
x, 0 x 7 1,
91 , 1 x 7 6,
(1.14)
3 – вероятность соответствующего события.
где Pr 12
Графики функций f1 1 x 2 и F1 1 x 2 приведены на рис. 1.4, а и б.
а)
fx(x)
124
123
1
1
125
123
1
125
123
1
126
124
7
126
124
7
б)
Fx(x)
124
123
1
1
Рис. 1.4
Отметим, что математическое ожидание и дисперсия случайной ве
личины 1 равны
15
1
1
E132 4 , D132 4
.
(1.15)
2
12
До появления ЭВМ для получения случайных чисел с равномерным
законом распределения использовались специальные математические
таблицы или генераторы шума. В настоящее время созданы надежные
способы генерации случайных чисел на ЭВМ.
Пусть даны два числа m и M, причем m 1 p, p – разрядность процес
сора. Для получения последовательности случайных чисел 11, 12, 1
используется следующий алгоритм:
1й шаг. Задается некоторое целое число u0 , 0 1 u0 1 2m .
2й шаг. По рекуррентному правилу
1 2
un 3 1 Mun 11 2 mod 2m , n 3 1,2,1
(1.16)
вычисляется случайное число un , 0 1 un 1 2m .
3й шаг. Вычисляется
1n 2 un 21m, n 2 1,2,1
(1.17)
В силу ограниченности разрядности процессора ЭВМ количество раз
личных чисел 1un 2 также ограничено и не может превысить величины
2 p 1 1 . Поэтому числа 11, 12, 1 правильнее было бы называть псевдо
случайными, поскольку, как следует из анализа (1.16), эта последова
тельность будет периодической с периодом меньшим или равным 2m.
Более того, изза конечности разрядной сетки процессора получающие
ся числа будут представлять реализации дискретной, а не непрерывной
случайной величины. Однако при больших p и m этими обстоятель
ствами можно пренебречь. Числа M и m выбирают заранее таким обра
зом, чтобы получить последовательность псевдослучайных чисел мак
симальной длины и минимальной коррелированности соседних значе
ний.
Очевидно, что получающаяся последовательность целиком опреде
ляется числом u0 , которое называется зерном (seed). В ЭВМ это число
может быть задано явно, или для его задания по умолчанию может ис
пользоваться внутренний таймер компьютера.
В связи с вышесказанным алгоритм генерации псевдослучайных чи
сел с равномерным в интервале 10, 12 распределением может быть пред
ставлен в более простой рекуррентной форме
30 4 u0 5 21m, 3n 4 1M3n 112, n 4 1,2,1 ,
(1.18)
3 означают взятие дробной части произведения.
где фигурные скобки 12
16
1.2.2. Методы генерации случайных величин с произвольным
законом распределения
Метод обратных функций (метод нелинейного преобразования,
обратного функции распределения)
Этот метод основан на следующей теореме теории вероятностей: если
имеется случайная величина 1 с плотностью распределения вероятно
сти f1 1 y 2 , то случайная величина 1
1
12
3 f1(y)dy
23
(1.19)
имеет равномерный закон распределения на интервале [0,1]. Действи
тельно, найдем вероятность Pr 15 6 x2 7 F1 3 x 4 , где x – некоторое дей
ствительное число из интервала [0,1]; F1 1 x 2 – интегральная функция
распределения случайной величины 1 . Для этого заметим, что интег
рал, стоящий в правой части (1.19), равен интегральной функции рас
пределения случайной величины 1
F1 1 y 2 3
y
4 f1(y)dy
23
(1.20)
и в силу того, что f1 1 y 2 3 0 является возрастающей функцией верхнего
предела y. Тогда справедлива следующая цепочка равенств:
F2 1 x 2 5 Pr 3 6 7 x
4 5 Pr 3
F3 1 8 2 7 x
4 5 Pr3 8 7 F311 1 x 2 4 5 F3 1 F311 1 x 2 2 5 x,
где F211 1 x 2 – функция, обратная интегральной функции распределе
ния F1 1 y 2 . Если x<0, то поскольку интеграл в правой части (1.19) не
может быть отрицательным, Pr 13 4 x2 5 0 . Аналогично, если x >1,
то Pr 13 4 x2 5 1 , так как значение этого интеграла не может быть боль
ше единицы. Таким образом,
60, 34 5 x 5 0,
7
F1 1 x 2 8 x, 0 9 x 5 1,
(1.21)
71 , 1 5 x 5 4.
Следовательно, случайная величина 1 имеет равномерное распреде
ление в интервале [0,1]. Это дает возможность предложить следующий
алгоритм генерации случайной величины с произвольным законом рас
пределения:
1й шаг. Генерируется случайная величина 1 с равномерным в ин
тервале [0,1] законом распределения.
17
2й шаг. Искомая случайная величина 1 получается в результате
следующих вычислений:
3 4 F211 1 5 2,
(1.22)
где F211 1 x 2 – функция обратная интегральной функции распределе
ния F1 1 y 2 .
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Необходимо получить случайные числа 1i с плотностью
распределения вероятности f3 (y) 1 2e 12y , y 1 0 и интегральной функци
ей вероятности F3 (y) 1 1 2 e 12 y , y 1 0 .
1i
23y
Согласно теореме, 1i 2 3 4 e dy . Тогда 1i 2 F3 (yi ) 2 1 3 e 123i . Находим
0
1
обратную функцию: 1i 2 3 ln(1 3 4i ) . Число 1i распределено равномер
5
но на интервале [0,1]. Тогда и разность 1 1 2i распределена равномерно
на том же интервале. Поэтому последнее выражение можно упрос
1
тить: 1i 2 3 ln 4i .
5
Пример 2. Необходимо получить случайные числа 1i с равномер
3i 4 a
ным в интервале 1 a,b2 распределением. В этом случае F1 1 3i 2 5
.
b4a
Обратная функция 3i 4 a 5 1 b 6 a 2 7i .
Пример 3. Необходимо получить случайные числа 1i , распределен
ные по закону Релея. У такого случайного числа плотность распределе
ния вероятности и интегральная функция вероятности имеют, соответ
ственно, вид
y2
2
y
1
y 1 2
f3 (y) 1 2 e 22 , y 1 0 , F (y) 1 1 2 e 222 , y 1 0 .
3
2
Случайные числа 1i можно получить путем следующего преобразо
вания равномерно распределенных в интервале [0,1] случайных чисел
1i : 2i 3 4 52ln(1 5 1i ) или 1i 2 3 42ln(5i ) .
Недостатки рассмотренного метода заключаются в том, что
– иногда трудно найти обратную функцию [не берется интеграл в
(1.19)];
– требуется достаточный расход машинного времени на вычисление
обратной функции F211 , которая, как правило, является сложной.
18
Метод кусочной аппроксимации плотности распределения
вероятности (метод Н. П. Бусленко)
Будем считать, что плотность распределения вероятности – финит
ная функция, т. е. функция, отличная от нуля только на конечном
интервале 1 a,b2 : f1 1 y 2 5 0 при y 6 3 a,b4. Если это условие не выполнено,
то нужно принимать специальные меры, о которых будет сказано ниже.
Суть метода Бусленко состоит в замене плотности распределения
вероятности ступенчатой функцией – набором K прямоугольников, впи
санных в нее и имеющих одинаковые площади. Площади K прямоу
гольников должны быть одинаковыми и равными 1/K. Выделим пря
моугольник с основанием 1 ak, ak 11 2 , его площадь
ak11
2
ak
f1 (y)dy 1
1
.
K
(1.23)
fh(y)
а
аkаk+1
b
y
Рис. 1.5
На основании (1.23) последовательно вычисляются значе
ния a1 1 a, a2,..., ak, ak 11,..., aK 11 2 b , начиная с точки a и заканчивая точ
кой b.
Алгоритм моделирования заключается в последовательности следу
ющих действий:
1й шаг. Генерируется равномерно распределенное на интервале [0,1]
случайное число 11 .
2й шаг. С помощью этого числа определяется номер
k 5 931 K 6 12 71 8 14 , где 132 – оператор округления до ближайшего цело
го. Таким образом, выделяется интервал [ak, ak 11] .
3й шаг. Генерируется следующее число 12 , равномерно распределен
ное на интервале [0,1].
19
4й шаг. Вычисляется случайное число 31 4 ak 5 1 ak 11 6 ak 2 72 . Число
11 является реализацией случайной величины с заданным законом рас
пределения.
Рассмотренный метод удобен при небольших K (до 64).
Докажем правильность данного алгоритма. Для этого рассмотрим
интегральную функцию распределения случайной величины 11
F11 1 y1 2 5 Pr 361 7 y14 5
K
k 31
Pr 361 7 y1 ak 8 91 7 ak 214 Pr 3 ak 8 91 7 ak 214.
Учитывая, что Pr 1 ak 3 41 5 ak 112 6 1 K , а
при ak 1 21 3 ak11 , получим
31 4 ak 5 1 ak 11 6 ak 2 72
y1 1 ak
K ak11 1 ak
3
y1 5 ak 4 1
6
f3 1 x 2 dx.
Pr 82 9
7
K k 51
ak 41 5 ak
K k51 0
В силу свойств функции f1 1 x 2 все интегралы под знаком суммы равны
нулю или единице за исключением одного с индексом m, для которого
интервал 1 am, am11 2 содержит точку y1 . Тогда
F21 1 y1 2 7
K
y1 5 am 4
13
F11 1 y1 2 6
, am 8 y1 9 am 21.
1 m 5 12 7
K
am21 5 am
Дифференцируя данное равенство, получим плотность распределе
ния случайной величины 11
1
1
f11 1 y1 2 3
3
K 1 am21 4 am 2 1 am21 4 am 2
am11
5 f1 1 y 2
dy 3 f1 1 y 2,
am
где y – некоторая точка из интервала 1 am, am11 2 , причем в общем слу
чае y1 1 y . Последнее равенство записано на основании теоремы о сред
нем (теоремы Лагранжа). Следовательно, при малой протяженности
интервалов, на которые делился интервал 1 a,b2 , плотности распреде
ления случайных величин 11 и 1 совпадают с высокой точностью. Это
доказывает правильность рассматриваемого алгоритма.
Достоинство метода Бусленко – малое число операций, не зависящее
от K. Недостаток метода – то, что точность аппроксимации плотности
прямоугольниками не одинакова на всем интервале задания плотности
1 a,b2 и зависит от значения плотности f1 1 y 2 . Чем меньше f1 1 y 2 на дан
ном интервале, тем меньше точность, так как основание вписанного
прямоугольника больше.
Рассмотрим теперь вопрос о том, что требуется сделать, если плот
ность распределения вероятности f1 1 y 2 – нефинитная функция, т. е. не
существует такого конечного интервала 1 a,b2 , где функция f1 1 y 2 отлич
20
на от нуля. Про такие распределения вероятности говорят, что они име
ют бесконечные «хвосты». Типичными распределениями, которые име
ют бесконечные «хвосты», являются нормальное распределение и рас
пределение Релея.
К распределениям с бесконечными «хвостами» метод Бусленко, в
том виде, как он изложен выше, непосредственно неприменим. Однако
можно предложить два способа обойти возникшее препятствие.
Самым простым способом является усечение «хвостов» плотности
распределения f1 1 y 2 , т. е. замена заданной плотности на новую
f11 1 y 2 3
f1 1 y 2
b
, a 4 y 4 b.
5 f1 1 y 2 dy
a
Случайная величина 11 при этом будет отличаться от случайной ве
личины 1 . Однако это различие может быть сделано сколь угодно ма
лым путем увеличения интервала 1 a,b2 . Интервал 1 a,b2 при этом ищет
ся путем фиксации вероятности попадания случайной величины за его
пределы: Pr 3 56 1 a,b 24 7 8 , где 1 2 0 – малое число, имеющее смысл веро
ятности различия случайных величин 1 и 11 . На практике достаточно
выбирать 1 2 1014 11018 . Необходимо при этом помнить, что чем мень
ше 1 , тем больше будет интервал 1 a,b2 . Другим способом получения
случайной величины 1 , при котором не возникает необходимость в усе
чении хвостов является замена случайной величины 1 на новую 11 , ко
торая взаимнооднозначно связана с 1 некоторым функциональным
преобразованием: 31 4 5 1 3 2 . Вид этого преобразования выбирается та
ким образом, что плотность распределения 11 – финитная функция. В
качестве таких преобразований можно взять функции вида
1
11 2 arctg 1 или 11 2
.
1 3 12
1
1
В первом случае 2 3 41 3 , во втором – 11 2 31 2 1 .
2
2
Плотность распределения новой случайной величины 11 , которая по
правилам замены переменных связана с заданной плотностью распре
деления вероятности следующим образом:
f11 1 y 2 3 4 1 y 2
–1
f1 1 y 2,
будет при надлежащем выборе функционального преобразования
31 4 5 1 3 2 финитной функцией. Для генерации случайной величины 11
используется вышеизложенный метод. После того как случайная вели
21
чина 11 получена, она может быть пересчитана в 1 : 3 4 5–1 1 31 2, 5–1 1 62 –
функция, обратная к 3 1 42 .
Метод отбора Неймана (метод отказов)
Будем считать, что заданная плотность распределения вероятности:
1) отлична от нуля на конечном интервале 1 a,b2 , т. е. f1 1 y 2 3 0 при
y 3 1 a,b 2 ;
2) ограничена на интервале 1 a,b2 , т. е. f1 1 y 2 3 4 при y 3 1 a,b 2 .
В случае, когда одно или оба данных условия не выполняются, ме
тод Неймана также предполагает применение вышеуказанных спосо
бов (способ усечения «хвостов» или преобразования случайной величи
ны 31 4 5 1 3 2 ) для получения финитной и ограниченной плотности рас
пределения вероятности.
fhmax
fh(y)
x2
x1
а
b
y
Рис. 1.6
Как и при реализации алгоритма Бусленко, в методе Неймана гене
рируются два равномерно распределенных случайных числа: 11 и 12 и
осуществляется проверка, попадает ли точка с координатами
38a 5 1 b 6 a 2 71, f1 max72 49 под кривую плотности вероятности. Здесь f1 max –
максимум плотности f1 1 y 2 . Если это так, то запоминается первое чис
ло 11 , которое и используется для вычисления значения случайной ве
личины 1 2 31 . Если точка 38a 5 1 b 6 a 2 71, f1 max72 49 не попала под кривую
плотности, генерируется новая пара 11 и 12 .
Докажем правильность рассматриваемого алгоритма. Критерием
отбора пары 11 и 12 является очевидное неравенство (см. рис. 1.6)
32 4
22
f1 1 31 2
f1 max
.
(1.24)
Пары случайных чисел, удовлетворяющие этому условию, можно
рассматривать как координаты случайных чисел на плоскости, равно
мерно распределенных вдоль осей y и f1 1 y 2 . Вероятность того, что слу
чайная точка на плоскости, попавшая под кривую f1 1 y 2 , окажется в
элементарной полосе с основанием 1 y, y 3 4y2 равна, очевидно, площа
ди этой полосы, т. е. f1 1 y 2 3y . Это и есть необходимое условие для того,
чтобы случайная величина 3 4 a 5 1 b 6 a 2 71 имела заданную плотность
распределения вероятности f1 1 y 2 .
Таким образом, алгоритм получения последовательности случайных
чисел, обладающих заданной плотностью, может быть сформулирован
следующим образом:
1й шаг. Из исходной совокупности равномерно распределенных на
интервале [0,1] чисел выбираем пары 11 и 12 .
2й шаг. Для этих чисел осуществляется проверка неравенства (1.24).
3й шаг. Если неравенство (1.24) справедливо, то переходим к шагу
4. В противном случае – к шагу 1.
4й шаг. Если неравенство выполняется, то очередное число опреде
ляется, согласно соотношению – 3 4 a 5 1 b 6 a 2 71 .
Описанная выше процедура отбора случайных чисел может потребо
вать существенного числа вычислений, в основном за счет вычисления
правой части неравенства (1.24). Кроме того, не все пары чисел 11 и 12
будут удовлетворять (1.24) и, следовательно, некоторая часть этих пар
будет отброшена. Несложно показать, что вероятность быть отброшен
3
4
1
8 . Очевид
ной для некоторой пары 11 и 12 равна Pотб 5 7 1 6
7
f1 max 1 b 6 a 2 8
9
но, что с увеличением площади прямоугольника, в который вписывает
ся график плотности распределения вероятностей f1 1 y 2 , эта вероятность
быстро стремиться к единице. Большое количество отброшенных пар
приводит к дополнительным затратам машинного времени.
Генерация дискретных случайных величин
Случайная величина 1 называется дискретной, если область ее зна
чений – конечное или счетное множество 1y1, y2,1 2 , т. е. множество,
все элементы которого можно перенумеровать. Закон распределения ве
роятностей задается множеством 1 p1, p2,1 2 , где pm 3 Pr 1 4 3 ym 2 – ве
роятность того, что в ходе эксперимента случайная величина примет
значение ym .Для данного множества вероятностей должно выполнять
ся условие нормировки
2 pm 1 1.
m
(1.25)
23
Алгоритм генерации значений случайной величины 1 включает в
себя следующие шаги:
1й шаг. Интервал [0,1] разбивается точками 0 1 a0, a1, a2,1 на от
резки длиной p1, p2,1 . В силу (1.25) количество таких отрезков будет
равно количеству значений случайной величины, а последний отрезок
своим правым концом будет иметь граничную точку 1.
2й шаг. Генерируется случайная величина 1 с равномерным на ин
тервале [0,1] распределением и определяется номер отрезка m , на кото
рый выпадает 1 .
3й шаг. Значение случайной величины определяется как
1 2 ym.
(1.26)
Докажем, что алгоритм действительно дает нужный результат. Для
этого определим вероятность Pr 1 3 4 ym2
Pr 1 3 4 ym 2 4 Pr 1 am 5 6 7 am112 4 am11 8 am 4 pm.
Полученное равенство доказывает правильность алгоритма. Данный
алгоритм позволяет генерировать дискретные случайные величины,
число состояний которых может быть конечным или счетным бесконеч
ным.
Моделирование случайных величин с нормальным законом распреде
ления вероятностей
Нормальные случайные величины играют особую роль в теории ве
роятностей, математической статистике, физике, радиотехнике. Свя
зано это с тем, что ошибки измерений для многих физических величин
имеют плотность распределения вероятностей, близкую к нормальной
g 1x2 3
2
1 x 12
e 1 2
23 2
, x 4 5,
(1.27)
2672
где 1 – математическое ожидание; 12 – дисперсия. Интегральная фун
кция распределения равна
G 1x2 9
x
5 x 7 8 64
13
1 erf
,
2
2 (1.28)
2
2
e 1t dt – функция ошибок. В связи с тем, что G 1 x 2 не
40
выражается через элементарные функции, метод обратной функции не
может быть использован для генерации нормальных случайных вели
чин. Поэтому в данном случае используются другие методы. Прежде чем
приступить к их изложению, сделаем одно замечание. Назовем стандарт
где erf 1 x 2 3
24
5
ной нормальную случайную величину 1 с нулевым математическим ожи
данием и единичной дисперсией. Ее плотность распределения равна
e 1x 2
, x 4 5.
(1.29)
26
Стандартную случайную величину простым линейным преобразованием
2
g0 1 x 2 3
1 2 34 5 6
(1.30)
можно преобразовать в случайную величину с математическим ожида
нием 1 и дисперсией 12 . Поэтому в дальнейшем будем рассматривать
методы моделирования стандартной нормальной случайной величины.
Первый метод генерации использует установленный в теории веро
ятностей факт, что случайный вектор 1 3 1 4R,4I 2 , компонентами ко
торого являются нормальные независимые случайные величины 1 R и
1 I с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми диспер
T
сиями, имеет длину 1 2 32R 4 32I , распределенную по закону Релея, и
фазу 3 4 arctg 1 5 I 5 R 2 , равномерно распределенную на интервале 10,23 2 .
Тогда случайные величины 1 R и 1 I могут быть получены из случайных
величин 1 и 1 простым переходом из полярной системы координат
1 3,42 в декартову
1 R 2 3 cos 4, 1 I 2 3 sin 4.
(1.31)
Для генерации же 1 и 1 может быть использован метод обратной
функции (примеры 2, 3, с. 18)
1 2 32ln 41 , 5 2 2642 ,
(1.32)
где 11 и 12 – независимые, равномерно распределенные в интервале [0,1]
случайные величины.
Данный метод моделирования часто используется для генерации
комплексных случайных величин, так как позволяет одновременно
получать значения их действительной и мнимой частей. Недостатком
данного метода является необходимость вычислять значения четырех
элементарных функций: sin, cos, ln,
. Это значительно увеличивает
время генерации.
При повышенных требованиях к быстродействию моделирующих про
грамм используют второй метод, основанный на центральной предель
ной теореме теории вероятностей: распределение случайной величины
N
2
N11
34
3n 5 6 8 ,
7
(1.33)
9 7N
8
n 11
25
полученной в результате суммирования независимых случайных вели
чин 11, 12,1, 1 N , которые имеют произвольный закон распределения с
математическим ожиданием 1 и дисперсией 12 , при увеличении N стре
мится к стандартному нормальному распределению g0 1 x 2 . Иными сло
вами, среднее арифметическое N произвольно распределенных случай
N
1
ных величин 1 2 4 3n является при больших N нормальной случай
N n 11
2
ной величиной с математическим ожиданием 1 и дисперсией 1 N .
Основываясь на этом факте, для генерации стандартной нормальной
случайной величины используют N 1 8112 случайных величин с рав
номерным в интервале [0,1] распределением. Удобно выбрать N 1 12 и
получить
12
12
4 1n 3 6.
(1.34)
n 11
Число N можно уменьшить, если ввести специальную поправку
1
2
1 13
3 4 31 5
3 6 331 ,
20N
(1.35)
N
12 1
12
6 3n 5 7 . При использовании (1.35) N можно взять рав
29
N n 11 8
ным 5…7.
Рассмотренный метод генерации значительно лучше по быстродей
ствию, чем первый. Однако при этом величина 1 имеет ограниченную
область значений. При необходимости воспроизведения больших выб
росов 1 предпочтение следует отдать первому методу генерации.
где 31 4
1.2.3. Методы генерации случайных векторов
Вектор 1 3 1 41,1,4M 2 называется случайным, если его компонен
ты – случайные величины. В отсутствие статистической связи между
компонентами генерация вектора 1 сводится к генерации M независи
мых случайных величин, и может быть проведена рассмотренными выше
методами. Однако на практике чаще встречается случай, когда компо
ненты вектора зависимы. При этом задача моделирования значительно
усложняется. Практическое использование при решении данной зада
чи нашли два метода: метод условных вероятностей и обобщенный
метод Неймана.
T
Метод условных вероятностей
Случайный вектор 1 3 1 41,1,4M 2 считается полностью описанным
с вероятностной точки зрения, если известна совместная Mмерная
T
26
плотность распределения вероятностей f1 1 y1,1, yM 2 или соответствую
щая ей интегральная функция распределения
F1 1 y1,1, yM 2 3
y1
4
yM
dy1 1
23
4 dyM f1 1 y1,1,yM 2.
23
Совместную плотность вероятности можно представить в виде
где f11 1 y1 2
f1 1 y1,1, yM 2 3 f 1 y1 2 f1 1 1 y2,1, y1 y1 2,
1
1 1
– безусловная плотность распределения случайной величи
ны 11 ; f11 11 1 y2,1, yM y1 2 – условная плотность распределения случай
ного вектора 11 3 1 42,1,4M 2 при условии, что 11 1 y1 . Эту условную
плотность в свою очередь можно представить в виде произведения
T
f1 1 1 y2,1, yM y1 2 3 f1 1 1 y2 y1 2 f1 1 ,1 1 y3,1, yM y1, y2 2,
1 1
2 1
2 1 2
где f1 2 11 1 y2 y1 2 – условная плотность распределения случайной величи
ны 12 при условии, что 11 1 y1 ; f1 2 11,12 1 y3,1, yM y1, y2 2 – условная плот
ность распределения случайного вектора 12 3 1 43,1,4M 2 при условии,
что 11 1 y1 , 12 1 y2 . Продолжая подобным образом, можно получить сле
дующее представление Mмерной плотности в виде произведения M од
номерных плотностей, M – 1 из которых являются условными
T
f1 1 y1,1, yM 2 3 f1 1 y1 2
1
M
4 f1 1 ,1,1 1 ym y1,1, ym21 2.
m 32
m
1
m 11
(1.36)
Все входящие в правую часть (1.36) одномерные плотности можно
получить интегрированием исходной Mмерной плотности
f1 1 y1 2 3 f1 1 y1, y2,1, yM 2 dy2 1dyM ,
4
1
f1 1 1 y2 y1 2 3
2 1
f
1
f1 1 y1, y2,1, yM 2 dy3 1dyM ,
11 1 y1 2
f1 1 ,1 1 y3 y1, y2 2 3
3 1 2
f
4
1
1
11 1 y1 2 f1 2 11 y2 y1
f 1 y1, y2,1, yM 2 dy4 1dyM
24 1
и т. д.
На основании (1.36) можно предложить следующий алгоритм моде
лирования случайного вектора 1 3 1 41,1,4M 2 :
T
27
1й шаг. По известной плотности f11 1 y1 2 генерируется значение слу
чайной величины 11 .
2й шаг. По известной плотности f1 2 11 1 y2 31 2 генерируется значение
случайной величины 12 .
…
mй шаг. По известной плотности f1 m 11 ,1,1m11 1 ym 31,1, 3m 21 2 генери
руется значение случайной величины 1m и т. д.
На каждом из M шагов моделируется соответствующая компонента
вектора h при использовании любого из рассмотренных выше методов
генерации одномерных случайных величин.
Данный метод является достаточно простым с точки зрения его про
граммной реализации. Однако у него есть существенный недостаток –
необходимость вычислять многомерные интегралы для определения
условных плотностей распределения вероятностей.
Обобщенный метод Неймана
Данный метод, как следует из его названия, является непосредствен
ным обобщением метода Неймана. Впишем плотность f1 1 y1,1, yM 2 в не
который (M+1)мерный параллелепипед { a1 1 y1 2 b1,1, aM 1 yM 2 bM ,
0 1 f1 1 f1 max }, где f1 max – максимальное значение функции f1 1 y1,1, yM 2 .
Если плотность f1 1 y1,1, yM 2 имеет бесконечные хвосты, то их необхо
димо усечь, причем сделать это следует так, чтобы вероятность попада
ния случайного вектора h за пределы (M+1)мерного параллелепипеда
была пренебрежимо малой. Алгоритм моделирования h состоит в вы
полнении следующих шагов:
1й шаг. Генерируется M+1 независимая случайная величина
13m2mM2111 , из которых M первых равномерно распределены в интервалах
1 a1,b1 2,1,1aM,bM 2 , а 1M 11 – равномерно распределена в интерва
ле 230,f1 max 1 , где f1max – максимальное значение плотности f1 1 y1,1, yM 2
в параллелепипеде.
2й шаг. Если выполняется условие 3M 11 4 f1 1 31,1,3M 2 , то очеред
ная реализация случайного вектора получается как
1 3 1 41,1,4M 2 .
T
(1.37)
3й шаг. Если условие 3M 11 4 f1 1 31,1,3M 2 не выполняется, то числа
13m2mM2111 отбрасываются, и необходимо перейти на шаг 1.
Данному методу присущи те же достоинства и недостатки, что имеет
и скалярный метод Неймана. Однако количество отброшенных реали
28
M 11
заций 13m 2m 21 при M 1 2 будет существенно больше. Действительно,
несложно показать, что вероятность быть отброшенной для некоторой
реализации равна Pотб 3 11 4 1 V 2 , где V – объем (M+1)мерного парал
лелепипеда.
Моделирование нормальных случайных векторов
Случайные векторы с нормальным законом распределения
f1 1 y 2 5
1
1 27 2
M2
det R
3
exp 6
4
T
1
11
y 6 1 2 2 R2 1 y 6 1 2 2 ,
1
2
(1.38)
где 1 1 – вектор математических ожиданий, а R 1 – корреляционная
матрица, очень часто встречаются в задачах моделирования РТС. С за
дачей генерации случайных векторов можно встретиться при модели
рования сигналов на выходе антенной решетки, содержащей M элемен
тов, при моделировании обработки сигнальной пачки из M отсчетов и т. п.
Задача моделирования ставится так: пусть заданы 1 1 и R 1 , требует
ся найти алгоритм формирования случайного нормального вектора с
заданным вектором математических ожиданий и корреляционной мат
рицей. В основе алгоритмов моделирования случайных нормальных век
торов лежит следующая теорема теории вероятностей. Случайный вектор
1 1 A2 2 a ,
(1.39)
полученный в результате линейного преобразования нормального слу
чайного вектора 1 , также будет иметь нормальное распределение. Здесь
A и a – неслучайные матрица и вектор соответственно.
Пусть 1 – случайный вектор, составленный из независимых стан
дартных нормальных случайных величин. При этом 1 1 1 0 и R 1 1 I , где
I – единичная матрица. Найдем такую матрицу A и вектор a, чтобы 1
имел заданный вектор математических ожиданий 1 1 и корреляцион
ную матрицу R 1 . Начнем с отыскания вектора a. Для этого найдем ма
тематическое ожидание обеих частей равенства (1.39)
1 1 3 E122 3 AE132 4 a 3 A0 4 a 3 a.
Следовательно, вектор a 1 1 1 .
Найдем теперь матрицу A . Для этого представим 1 1 a 2 A3 и для
корреляционной матрицы R 1 получим
3
R 1 5 E 1 1 6 a 21 1 6 a 2
T
4 5 E3A22 A 4 5 AE322 4A
T
T
T
T
5 AAT .
Следовательно, матрица A должна находиться из условия
AAT 1 R 1 .
(1.40)
29
Причем данная матрица может иметь любой вид. Если допустить, что
матрица A – нижняя треугольная (т. е. матрица и все элементы, нахо
дящиеся выше главной диагонали, равны нулю)
0
1 a11
3a
a
22
A 5 3 21
2
33 2
6 aM1 aM2
1
0 2
1
0 4
4,
2 2 4
1 aMM 47
(1.41)
то наша задача свелась к известному в линейной алгебре представле
нию симметрической матрицы R 1 в виде произведения двух треуголь
ных матриц A иAT. Такое представление называется разложением
Холецкого. При этом элементы матрицы A выражаются через элемен
ты матрицы R 1 следующим образом:
a11 1 r11 , am1 1
rm1
, m 1 2, M,
r11
12
m
2
3
amm 1 5 rmm 4 9 a2mn 6
5
6
n 21
7
8
, amn 1
m 11
3
1 2
55 rmn 4 9 rmkrnk 66,
amm 7
k 21
8
(1.42)
где rmn и amn – элементы матриц R 1 и A, стоящие на пересечении mй
строки и nго столбца. Для выполнения разложения Холецкого суще
ствуют соответствующие библиотечные подпрограммы.
Таким образом, алгоритм генерации нормального случайного векто
ра с заданным вектором математических ожиданий 1 1 и корреляцион
ной матрицей R 1 имеет вид
1 1 A2 2 3 1 ,
(1.43)
где A – матрица из разложения Холецкого для корреляционной матри
цы, а 1 – вектор, составленный из независимых стандартных нормаль
ных случайных величин.
1.3. Моделирование случайный процессов
Как отмечалось выше, радиосигнал, являющийся носителем инфор
мации, весьма часто имеет случайный характер. То же самое можно
сказать про помехи и шумы, на фоне которых в РТС происходит обра
ботка сигналов с целью выделения полезной информации. Поэтому мо
делирование случайных процессов – наиболее важная и часто встреча
ющаяся задача, возникающая при моделировании РТС.
Для генерации случайных процессов хорошо разработаны алгорит
мы получения стационарных гауссовских (нормальных) процессов и
30
марковских процессов. Это объясняется математическими сложностя
ми, возникающими при описании случайных процессов произвольной
природы. Ограниченность методов генерации вышеназванными процес
сами не вызывает серьезных затруднений при моделировании РТС, по
скольку именно гауссовские и марковские процессы являются наибо
лее близкими моделями случайных процессов, встречающихся на прак
тике. Поэтому основное внимание в настоящем разделе будет уделено
моделированию этих двух категорий случайных процессов. Если воз
никает необходимость генерации случайного процесса, который не мо
жет быть отнесен ни к одному из названных типов, то эту задачу реша
ют приближенно. Один из методов приближенного решения рассмотрен
в подразд. 1.3.3.
1.3.1. Моделирование гауссовских случайных процессов
с заданными корреляционными свойствами
Метод дискретного преобразования Фурье
Постановка задачи: требуется создать отрезок реализации комплек
сного гауссовского случайного процесса 3 1 t 2 длительности Tн, если из
вестна его корреляционная функция (КФ) R1 1 3 2 .
В соответствии с теоремой Винера–Хинчина спектральная плотность
мощности (СПМ) случайного стационарного процесса S1 1 3 2 равна
1
S5 1 3 2 4
R 1 5 2 e 2i34d5.
(1.44)
21 5
Предположим, что процесс 3 1 t 2 поступает на вход узкополосного
фильтра с прямоугольной частотной характеристикой, отличной от
нуля в полосе частот 6821 3 42 2 ,21 5 42 279 (рис. 1.7), т. е.
6
H 1 i5 2
491 , 5 6 53 7 85 2,
90 , 5 6 53 85 2,
где 21, 32 – средняя частота и ширина полосы пропускания фильтра.
Тогда средняя мощность сигнала на выходе фильтра будет
1
P 3
25
6
5
6
85
1
S 1 4 2 H 1 i4 2 d4 3
25
2
21 3 42
7
6
218 42
/2
S 1 4 2 d4 .
7
(1.45)
/2
Если функция S1 1 3 2 мало меняется в полосе час
тот 6821 3 42 2 , 21 5 42 279 , то будет выполняться примерное равенство
P1 6 S2 1 45 2
34
,
27
(1.46)
31
причем (1.46) соблюдается тем точнее, чем меньше полоса 12 . После
днее уравнение определяет физический смысл функции S1 1 3 2 : СПМ опи
сывает распределение средней мощности случайного процесса 3 1 t 2 по
частотам гармонических колебаний, входящих в его состав. Такая ин
терпретация СПМ и равенства (1.46) дает возможность предложить
следующий метод генерации процесса 3 1 t 2 .
x(t)
H(iw)
h(t)
H(iw)
1
Dw
w
0
w¢
Рис. 1.7
Разобьем частотную область на соприкасающиеся между собой по
лосы одинаковой ширины 12 . Средняя частота m полосы рав
на 1 m 2 3m 4 567891 . Пусть величина 12 взята настолько малой, что
(1.46) выполняется с высокой точностью. Тогда сумму гармоник слу
чайного процесса 3 1 t 2 , попадающих в m полосу, вследствие малости 12
можно заменить на одно гармоническое колебание частоты 1 m , кото
рое имеет случайную амплитуду Um и фазу 1m . При этом для всего про
цесса будет справедливо следующее представление:
1
1
7 1t2 8
Um exp 5i 3 9mt m 46 8
xmei2mt,
(1.47)
m 341
m 341
i1
где xm 1 Ume m – комплексная амплитуда m й гармоники.
Из теории вероятностей известно, что сумма произвольного числа
гауссовских случайных величин также является гауссовской. Следова
тельно, поскольку процесс 3 1 t 2 – гауссовский, т. е. в любой момент
времени t1 случайная величина 4 1 t3 2 распределена по нормальному за
кону, гармонические составляющие в правой части (1.47) также долж
ны быть гауссовскими случайными процессами. Для этого достаточно,
чтобы случайные величины Um и 1m при различных индексах m были
независимы и имели, соответственно, плотность распределения Релея
Um и равномерную в интервале 10,23 2 плотность 1m . Это требование
эквивалентно тому, что амплитуды xm 1 Umei1m должны быть комплек
32
сными гауссовскими случайными величинами, дисперсии которых Dm
равны средней мощности процесса 3 1 t 2 , приходящейся на m полосу
2
34
Dm 5 xm 5 S1 1 4m 2
,
(1.48)
26
где треугольные скобки означают усреднение по ансамблю.
1
Sx(w)
w
(m +1)Dw
mDw
0
Рис. 1.8
Если процесс 3 1 t 2 имеет ограниченный по частоте спектр, т. е.
S 1 3 2 4 0 при |1| 2 3В , где 1В – верхняя частота спектра, то бесконеч
ный ряд (1.47) можно заменить конечной суммой
3 1t2 4
M /211
5
m 31 M /2
xmei2mt,
(1.49)
где M 1 22В 34 – количество гармоник, необходимое для моделирова
ния случайного процесса. Тогда дискретные отсчеты процесса
5 1n2 6 5 3 nT 4 во времени, взятые в соответствии с теоремой Котельни
кова с периодом дискретизации T 1 2 3B , могут быть получены как
3 1n2 4
M /221
5
m 32 M /2
i
xme
21
nm
N
,
(1.50)
где 12 T 3 24 N . Таким образом, отсчеты случайного процесса представ
ляют собой дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательно
M /2 11
сти 1xm 2m 21 M /2 . Соответствующим выбором 12 и T можно сделать N
равным целой степени числа 2 ( N 1 2l 2 M , где l – целое число). Это дает
возможность использовать для вычисления (1.50) алгоритм быстрого
преобразования Фурье (БПФ).
33
Окончательно алгоритм генерации случайного процесса методом дис
кретного преобразования Фурье может быть представлен последова
тельностью следующих шагов:
1й шаг. На основании заданной КФ (или СПМ) процесса выбирают
ся 12, T, N и M так, чтобы N было целой степенью числа 2 ( N 1 2l 2 M ).
2й шаг. Генерируется массив из M независимых комплексных слу
чайных чисел zm с нулевым математическим ожиданием и единичной
дисперсией.
3й шаг. Вычисляются комплексные амплитуды xm 1 Dm zm , где Dm
определяются в соответствии с (1.48).
4й шаг. На основании (1.50) с использованием алгоритма БПФ вы
числяются дискретные отсчеты случайного процесса 3 1n2 .
Метод ДПФ позволяет моделировать случайные процессы с произ
вольным видом СПМ. Однако данный метод имеет существенный недо
статок – количество генерируемых отчетов моделируемого процесса ог
раничено и должно быть определено заранее.
Метод формирующего фильтра
Генерация нормального случайного процесса методом формирующе
го фильтра основывается на двух положениях теории случайных про
цессов:
– результатом произвольного линейного преобразования гауссовс
кого случайного процесса также является случайный гауссовский про
цесс;
– спектральные плотности мощности случайных и процессов на вхо
де и выходе линейного фильтра с частотной характеристикой H 1 i3 2
связаны соотношением
Sвых 1 3 2 4 H 1 i3 2 Sвх 1 3 2.
2
(1.51)
Если предположить, что на вход фильтра поступает процесс типа
белого шума ( Sвх (1) 2 N0/2, |1| 3 4 ), то СПМ процесса на выходе будет
2
N0
H 1 i3 2 .
(1.52)
2
Следовательно, для формирования гауссовского случайного процес
са с заданной СПМ S1 1 32 необходимо на вход фильтра с частотной ха
рактеристикой, модуль которой будет
S1 1 3 2 4
H 1 i3 2 4 S1 1 32,
34
(1.53)
подать белый шум с единичной спектральной плотностью N0/2 =1. При
этом сигнал на выходе фильтра будет иметь нормальное распределение
в силу первого из вышеназванных положений, так как фильтрация –
операция линейная. Фильтр, амплитудночастотная характеристика
(АЧХ) которого удовлетворяет (1.53), называется формирующим.
Равенство (1.53) дает возможность вычислить лишь АЧХ и не опре
деляет его фазочастотную характеристику (ФЧХ). Поэтому этот вопрос
остается открытым и требует дополнительного исследования.
Допустим, что ФЧХ фильтра 3 1 4 2 5 0, |4| 6 7 . Тогда H 1 i3 2 4 H 1 i3 2
и импульсная характеристика фильтра будет
12
1
h(t) 1
H(i2) ei3 td2 .
23 42
Так как h(t) 1 h(2t) , т. е. h(t) 1 0 при t < 0, фильтр является физичес
ки нереализуемым (в физически реализуемом фильтре h(t) 1 0 при t < 0).
Данный пример свидетельствует о том, что ФЧХ формирующего
фильтра не может быть произвольной, и ее выбор должен быть сделан
таким образом, чтобы фильтр был физически реализуем. Синтез такого
фильтра в общем случае сложен. Однако если СПМ процесса – дробно
рациональная функция вида
4
S2 1 3 2 5
2 M 112
bM 32M 4 bM 113 1
4 1 4 b0
2 N 112
aN 32N 4 aN 113 1
4 1 4 a0
,
(1.54)
где bm , m 1 0, M и an , n 1 0, N – действительные числа ( N 1 M ), то
процедура синтеза формирующего фильтра проста и состоит в следую
щем:
Из теории алгебраических уравнений известно, что неотрицатель
ный полином степени 2K имеет лишь K пар комплексно сопряженных
корней. Пусть 1 n , 1*n, n 2 1, N и 1m ,1*m, m 2 1, M – корни полиномов,
стоящих в знаменателе и числителе (1.54) соответственно. Тогда (1.54)
можно переписать
M
M
8 1 3 4 5m 2 8 1 3 4 5*m 2
S2 1 3 2 6 mN11
m 11
N
n 11
n 11
8 1 3 4 7n 2 8 1 3 4 7*n 2
bM
.
aN
(1.55)
Причем в силу того, что S1 1 3 2 4 0 , aN и bM – положительные числа,
и обозначения корней 1 n , 1*n, n 2 1, N и 1m ,1*m, m 2 1, M можно сделать
такими, что 1 n и 1m будут иметь положительные мнимые части
35
Im 13n2 4 0, Im 15m 2 4 0.
(1.56)
Сделаем в (1.55) замену переменной 1 2 3is в первой дроби и 1 2 is* во
второй (это возможно, так как 1 – действительная переменная). Тогда
S1 1 3is 2 4
1 2 4 F 1 s2
G 1 s2 G 1 s 2 G 1 s2
F 1 s 2 F s*
2
*
2
,
(1.57)
где
F 1 s2 3
bM M
1 s 4 fm 2,
aN m 11
G 1 s2 3
5
(1.58)
N
5 1 s 4 gn 2,
n 11
(1.59)
fm 1 i2m , gn 1 i3 n . Вследствие условия (1.56) полиномы F 1 s 2 и G 1 s 2 име
ют корни в левой полуплоскости комплексной переменной s. Поэтому,
если взять в качестве частотной характеристики формирующего фильтра
H 1 s2 3
F 1 s2
G 1 s2
,
(1.60)
получим устойчивый реализуемый фильтр, АЧХ которого в силу (1.57)
и (1.60) соответствует условию (1.53).
Таким образом, алгоритм моделирования гауссовского случайного
процесса с заданными корреляционными (спектральными) свойствами
состоит в пропускании реализации белого шума с единичной спектраль
ной плотностью через линейный фильтр, частотная характеристика
которого соответствует (1.60). Для успешного решения задачи модели
рования методом формирующего фильтра необходимо, чтобы СПМ слу
чайного процесса описывалась дробнорациональной функцией от пе
ременной 1 вида (1.54). В ходе синтеза формирующего фильтра нахо
дят корни полиномов, стоящих в числителе и знаменателе (1.54), и
приводят выражения для СПМ к виду (1.55). Затем определяют корни
полиномов – 1 n ,n 2 1, N и 1m ,m 2 1, M , которые имеют положительные
мнимые части (1.56), и составляют полиномы F 1 s 2 и G 1 s 2 в соответ
ствии с (1.58) и (1.59). Частотная характеристика формирующего филь
тра получается на основании (1.60). Необходимо заметить, что для по
лучения отрезка случайного процесса с заданными свойствами на выхо
де формирующего фильтра необходимо, чтобы переходные процессы в
фильтре закончились. Поэтому к сохранению выборки случайного про
36
цесса нужно перейти только после того, как модель проработала неко
торое время на «холостом ходу». Обычно это время оценивается
как 1 2..32 /3fэф , где 1fэф – эффективная ширина полосы пропускания
формирующего фильтра.
Полученный в ходе такого синтеза фильтр является аналоговым.
Кроме того, белый шум, который подается на вход формирующего филь
тра, также является «аналоговым» сигналом. Поэтому необходимо со
здать математические модели формирующего фильтра и белого шума.
Первая задача – синтез математической модели формирующего анало
гового фильтра, т.е. цифрового фильтра, рассмотрена в гл. 2. Поэтому
сейчас рассмотрим вопрос о генерации белого шума при цифровом моде
лировании.
Случайный процесс, который в научной литературе называется бе
лым шумом, имеет спектральную плотность мощности N0/2, постоян
ную во всей частотной области. Следовательно, его средняя мощность
(дисперсия) бесконечна. Поэтому белый шум не является физически
реальным процессом, а представляет собой удобную математическую
абстракцию. При создании его цифровой модели необходимо сохранить
два его основных свойства: постоянство СПМ в частотной области и
статистическую независимость временных отсчетов, взятых в произ
вольные моменты времени. Второе свойство реализуется при моделиро
вании весьма просто: за реализацию дискретного белого шума берется
набор независимых случайных чисел, получающихся на выходе гене
ратора случайных величин с нормальным законом распределения, с
нулевым математическим ожиданием и некоторой дисперсией 12 . Оче
видно, что величина этой дисперсии (т. е. средняя мощность процесса)
должна быть какимто образом связана со спектральной плотностью
мощности «аналогового» белого шума N0/2 , дискретную модель кото
рого создаем. Для того чтобы связать эти величины воспользуемся тре
бованием постоянства СПМ в частотной области.
Известно, что при дискретизации непрерывного сигнала с периодом
взятия отсчетов T, спектральная функция дискретизированного сигна
ла становится периодической с периодом 21 T . Поэтому, если СПМ
нашего дискретного белого шума будет постоянна и равна N0/2 на ин
тервале 1 34 /T, 4 / T 2 , то автоматически она будет постоянна и во всей
частотной области. С другой стороны, дисперсия случайного процесса с
равномерной в указанном интервале СПМ равна (1.45)
1 /T
12 2
N0
N
1
d3 2 0 .
24 21 /T 2
2T
5
37
Отсюда при N0/2 = 1 получаем, что дисперсия независимых случай
ных чисел, составляющих реализацию дискретного белого шума долж
на быть
1
12 2 .
(1.61)
T
Следовательно, реализация дискретного белого шума размером в N
отсчетов должна быть вычислена в соответствии со следующим равен
ством:
1
3 1 n2 4
z1n2, n 4 1, N ,
(1.62)
T
где z1n2 – случайные независимые числа с нормальным стандартным
распределением.
1.3.2. Моделирование марковских случайных процессов
Случайный процесс 3 1 t 2 называется марковским, если для любого
M его Mмерная плотность распределения вероятностей может быть
записана в виде
f1 1 x1,t1;1; xM ,tM 2 3 f1 1 x1,t1 2
M
4 fm m21 1 xm,tm xm21,tm21 2,
m 32
(1.63)
где f1 1 x1,t1 2 – безусловная (одномерная) плотность распределения;
fm m11 1 xm,tm xm 11,tm 11 2 – условная плотность распределения отсчета про
цесса в момент времени tm при условии, что 3 1 tm 11 2 4 xm 11 . В теории мар
ковских процессов плотность распределения fm m11 1 xm,tm xm 11,tm 11 2 на
зывается плотностью перехода.
На основании (1.63) можно сказать, что марковский случайный про
цесс задан, если известны безусловная плотность распределения f1 1 x1,t1 2
и плотность перехода fm m11 1 xm,tm xm 11,tm 11 2 . Причем плотность рас
пределения отсчета 3 1 tm 2 зависит лишь от значения процесса в преды
дущий момент времени. Последнее свойство является особенностью мар
ковских процессов, которая выделяет их из общего числа случайных
функций. Сравнение (1.63) с записью многомерной плотности вероят
ности (1.36) дает возможность предложить для моделирования мар
ковских процессов метод условных плотностей, который при извест
ных безусловной плотности и плотности перехода реализуется в дан
ном случае весьма просто.
Среди множества марковских процессов особо выделяют диффузи
онные процессы. Марковский процесс называется диффузионным, если
среди множества коэффициентов
38
3
Kn 1 x,t 2 7 lim8t 11E 59 1 t 8t 2 9 1 t 2 6 9 1 t 2 7 x
2t30
7 lim8t 11
2t30
n
n
1 y x 2 fm m11 1 y,t
47
8t x,t 2 dy, n 7 1,2,3,1
(1.64)
только первые два K1 1 x,t 2 и K2 1 x,t 2 отличны от нуля ( Kn 1 x,t 2 3 0,
n 1 3 ).
Для диффузионного процесса плотность перехода удовлетворяет пря
мому
3
f 1 x,t; x0,t0 2 4
3t
47
3
1 32
5 a 1 x,t 2 f 1 x,t; x0,t0 2 6 8
5b 1 x,t 2 f 1 x,t; x0,t0 2 6
9
3t
2 3 2t 9
(1.65)
и обратному
3
f 1 x,t; x0,t0 2 4
3t0
4 a 1 x0,t0 2
1
3
32
58f 1 x,t; x0,t0 2 69 7 b 1 x0,t0 2 2 58 f 1 x,t; x0,t0 2 69
2
3t0
3 t0
(1.66)
уравнениям Колмогорова. Здесь для плотности перехода введено обо
значение fm m11 1 xm,tm xm 11,tm 11 2 3 f 1 xm,tm; xm11,tm11 2 .
Коэффициенты a 1 x,t 2 3 K1 1 x,t 2 и b 1 x,t 2 3 K2 1 x,t 2 называются, со
ответственно. коэффициентом сноса и коэффициентом диффузии. Ко
эффициент сноса a 1 x,t 2 характеризует, как следует из (1.64), среднее
значение локальной скорости изменения процесса 3 1 t 2 , а коэффициент
диффузии b 1 x,t 2 – локальную скорость изменения дисперсии процесса.
Зная a 1 x,t 2 и b 1 x,t 2 , можно найти f 1 x,t; x0,t0 2 и воспользоваться мето
дом условных вероятностей для моделирования случайного диффузи
онного процесса. Однако даже для диффузионного процесса определить
плотность перехода путем решения прямого или обратного уравнений
Колмогорова бывает весьма сложно. Поэтому используют другой метод –
метод формирующего фильтра.
Из теории марковских процессов известно, что при возбуждении не
линейного нестационарного фильтра, описываемого дифференциаль
ным уравнением вида
dx
3 f 1 x,t 2 4 g 1 x,t 2 n 1 t 2,
dt
(1.67)
39
где f 1 x,t 2 и g 1 x,t 2 – детерминированные, непрерывно дифференцируе
мые функции своих аргументов; n 1 t 2 и x 1 t 2 – сигналы на входе и выхо
де, выходной сигнал x 1 t 2 будет диффузионным процессом, если n 1 t 2 –
процесс типа белого шума. При этом оказывается, что функции f 1 x,t 2 и
g 1 x,t 2 связаны с коэффициентами сноса a 1 x,t 2 и диффузии b 1 x,t 2 сле
дующими соотношениями:
f 1 x,t 2 3 a 1 x,t 2, g 1 x,t 2 3
2
N0
b 1 x,t 2,
(1.68)
где N0/2 – СПМ n 1 t 2 .
Отметим, что связь функций f 1 x,t 2 и g 1 x,t 2 с коэффициентами
a 1 x,t 2 и b 1 x,t 2 , выраженная соотношениями (1.68), справедлива, если
дифференциальное уравнение (1.67) понимается в смысле Ито. Если
уравнение (1.67) понимается в смысле Стратоновича, то связь между
функциями f 1 x,t 2 , g 1 x,t 2 , a 1 x,t 2 и b 1 x,t 2 будет иметь вид
f 1 x,t 2 4 a 1 x,t 2 5
1 3
b 1 x,t 2, g 1 x,t 2 4
4 3x
2
N0
b 1 x,t 2.
(1.69)
Подробнее о свойствах стохастических дифференциальных уравне
ний можно узнать из книги Тихонова В. И., Харисова В. Н. Статисти
ческий анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учеб.
пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1991. Для моделирования урав
нения (1.67) на ЭВМ необходимо перейти к дискретному времени
x 1m 2 5 x 1m 5 12 6 Tf 3 x 1m 5 12,3 m 5 14 T 4 7
7 Tg 3 x 1m 5 12,3 m 5 14T 4 n 1m 2, m 6 1,2,1,
(1.70)
где T – период дискретизации; n1m2 – дискретный белый гауссовский
шум
n1m2 5
1
T
tm 1T
6 n 3t 4 dt
(1.71)
tm
с нулевым математическим ожиданием и дисперсией N0/2T . Процесс
(1.70) по сути является решением дифференциального уравнения (1.67)
методом Эйлера, понимаемого в смысле Ито. При симметризованном
уравнении (1.67) (уравнение Стратоновича) для решения следует ис
пользовать метод Рунге–Кутта. Описание методов Эйлера и Рунге–Кут
та будет дано в разд. 2.
40
1.3.3. Моделирование стационарных негауссовских процессов
В тех случаях, когда необходимо смоделировать стационарный не
гауссовский процесс, используют способ, который заключается в про
пускании белого шума через линейный формирующий фильтр и нели
нейное безынерционное звено (рис. 1.9)
n(t)
45265 6
7 4 46
43
x(t)
1234526572
829 52 475572
9 257
h(t)
Рис. 1.9
При этом для решения задачи достаточно задать одномерную плот
ность распределения вероятности f1 1 y 2 моделируемого случайного про
цесса 31 t 2 и его корреляционную функцию R1 1 3 2 . Поскольку в общем
случае одним и тем же функциям f1 1 y 2 и R1 1 3 2 может соответствовать
бесконечное множество случайных процессов, отличающихся друг от
друга многомерными плотностями распределения, то используемый
метод, позволяющий создать выборку отсчетов с необходимыми свой
ствами, является приближенным.
Рассматриваемая задача решается в два этапа, сначала находится
вид нелинейности безынерционного звена, а затем – частотную харак
теристику линейного формирующего фильтра.
Определим вид нелинейности. Поскольку белый шум подается сна
чала на линейный фильтр, процесс x(t) будет гауссовским. Без потери
общности можно считать, что его математическое ожидание равно нулю,
а дисперсия – единице, т. е. процесс x(t) – стандартный гауссовский, и
его одномерная плотность распределения равна
e 1x 2
, x 4 5.
26
2
f2 1 x 2 3
(1.72)
Допустим, что входной и выходной сигналы нелинейного безынер
ционного звена связаны функциональной зависимостью
3 1 t 2 4 g 1 5 1 t 2 2,
(1.73)
где g 1 x 2 – некоторая функция, которую необходимо найти. Рассмот
рим интегральную функцию распределения вероятностей процесса 3 1 t 2
F1 1 y 2 5 Pr 36 7 y4 5 Pr 3g 1 8 2 7 y4.
41
Допустим, что g 1 x 2 – неубывающая функция. Тогда для нее суще
ствует обратная функция g 11 1 x 2 и последнее равенство может быть за
писано в виде
3
4
1
2
F2 1 y 2 5 Pr 6 7 g 11 1 y 2 5 F3 g 11 1 y 2 ,
(1.74)
5 x 64
13
где F1 1 x 2 7 9 1 8 erf
– интегральная функция стандартного
2
2 нормального распределения. Вводя новую переменную y 3 g 1 x 2 и диф
ференцируя (1.74), получим
e
f2 1 g 1 x 2 2 g 3 1 x 2 4
1x2 2
25
.
(1.75)
Уравнение (1.75) является обыкновенным дифференциальным урав
нением относительно функции y 3 g 1 x 2 , которое может быть решено
если не аналитически, то численно. Таким образом определяется вид
нелинейности безынерционного звена.
Найдем коэффициент передачи формирующего фильтра. В соответ
ствии с определением корреляционная функция процесса 31 t 2 равна
R1 1 3 2 4 5 1 t 2 5 1 t 6 3 2 4
77 g 1 x1 2 g 1 x2 2 f2 1 x1,x2 2 dx1dx2,
где f1 1 x1, x2 2 –двухмерная плотность распределения отсчетов случай
ного процесса 3 1 t 2 в моменты времени t и t 1 2 . Учитывая, что 3 1 t 2 –
стандартный гауссовский процесс
R1 1 8 2 9
g 1 x1 2 g 1 x2 2
1
2 1 5 r2
2
3 2
4
7 x 5 2rx1x2 6 x22 7
dx1dx2,
exp 5 1
2 1 5 r2
7
7
1
2
(1.76)
где r 3 r 1 4 2 – коэффициент корреляции (нормированная корреляцион
ная функция) процесса 3 1 t 2 . Для определения коэффициента передачи
формирующего фильтра необходимо, как это следует из материалов
предыдущих разделов, найти коэффициент корреляции r 1 3 2 , если не
аналитически, то численно. Для этого выбирается момент 1 , вычисля
ется R1 1 3 2 и находится такое число r, которое удовлетворяет (1.76). В
итоге получается последовательность значений r 1 3 2 в заранее выбран
ных точках.
Процедуру нахождения r 1 3 2 можно облегчить, если представить
f1 1 x1, x2 2 в виде обратного преобразования Фурье от характеристичес
кой функции двухмерного нормального распределения
42
f3 1 x1, x2 2 3
1
55
1 24 2
2
e
1
10,5 q12 22rq1q2 2 q22
2ei1 x q 2 x q 2dq dq .
1 1
2 2
1
2
(1.77)
Подставляя (1.77) в (1.76) и раскладывая e 1rq1q2 в ряд Тейлора, по
лучим
2
1
1 1 5r 2k 3
4
1
0,5q2
2
k
R3 1 6 2 7
q G 1q 2e
dq 9 ,
8
9
k 40 k ! 8 2 21
где G 1 q 2 3
1
4 g 1x2e
21
(1.78)
2iqxdx – преобразование Фурье функции g 1 x 2 . С уве
личением k коэффициент
1 3r 2k
убывает очень быстро. Поэтому, заме
k!
няя бесконечный ряд в (1.77) конечной суммой, получим уравнение
K
5 ckr k 1 3 2 4 R1 1 3 2,
(1.79)
k 20
k
512 3 1
1
6
1
2
4
2
q G 1 q 2 e 20,5q dq 8 – независящие от r 1 3 2 коэффици
7
где ck
k ! 7 29 21
8
енты, которые могут быть вычислены заранее после того, как найдена
нелинейная функция g 1 x 2 . При фиксированном 1 (1.79) является ал
гебраическим уравнением Kго порядка относительно неизвестно
го r 1 3 2 .Численные методы решения таких уравнений хорошо извест
ны. Поэтому решить (1.79) и найти функцию r 1 3 2 не представляет тру
да. После нахождения r 1 3 2 можно воспользоваться рассмотренными
методами генерации гауссовских случайных процессов и получить вы
борку отсчетов случайного процесса 3 1 t 2 нужной длины. После этого
искомая выборка отсчетов процесса 31 t 2 получается как результат не
линейного преобразования отсчетов 3 1 t 2 в соответствии с (1.73).
k
43