ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Декан ЕНМФ
«
»
Ю.И. Тюрин
2010 г.
ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-33
по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Составитель Ю.А. Сивов
Издательство
Томского политехнического университета
2010
УДК 53.01
Изучение вынужденных электромагнитных колебаний в колебательном контуре: методические указания к выполнению лабораторной работы Э-33 по курсу «Общей физики» для студентов всех специальностей / сост. Ю.А. Сивов; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. – 12 с.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы
к изданию методическим семинаром кафедры
теоретической и экспериментальной физики ЕНМФ
«___» ____________ 2010 г.
Зав. кафедрой ТиЭФ
доктор физ.-мат. наук,
профессор
___________
В.Ф. Пичугин
Председатель
учебно-методической комиссии
___________
Г.В. Ерофеева
Рецензент
Кандидат физ.– мат. наук,
доцент кафедры ТиЭФ ТПУ
Н.С. Кравченко
© Составление. ГОУ ВПО «Национальный
исследовательский Томский политехнический
университет», 2010
© Коваленок Г.В., составление, 2010
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2010
2
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением.
Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание. Поэтому свободные электромагнитные колебания(колебания заряда конденсатора, напряжения между обкладками
конденсатора, силы тока в цепи) в контуре постепенно затухают. Для
получения незатухающих колебаний в колебательном контуре необходимо извне подводить энергию, компенсирующую потери на ленц–
джоулево тепло. Для этого колебательный контур соединяют с источником переменного напряжения. Под действием периодически изменяющейся ЭДС в контуре устанавливаются электромагнитные колебания с
частотой ω, равной частоте колебаний переменного напряжения, подведенного к контуру, называемые вынужденными электромагнитными колебаниями.
В настоящей работе исследуется колебательный контур при последовательном соединении источника переменного напряжения с элементами контура. Такая схема подключения источники ЭДС к колебательному контуру называется последовательным колебательным контуром
(рис.1).
R
C
L
Риc.l. Последовательный колебательный контур.
Пусть в контур включен источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону,
U  U m cos t ,
(1)
где Um – амплитуда напряжения, ω – циклическая (круговая) частота переменного напряжения, подведенного к контуру.
Используя второй закон Кирхгофа, можно получить уравнение вынужденных колебаний заряда конденсатора в контуре, которое имеет
вид
3
 2q
q
(2)
 2
  02 q  U m cos  t ,
2
t
t
где β – коэффициент затухания, q – заряд конденсатора, ω0 – циклическая частота свободных незатухающих электромагнитных колебаний в
контуре.
Полное решение неоднородного дифференциального уравнения (2),
как следует из теории дифференциальных уравнений, равно сумме полного решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения без правой части и частного решения неоднородного
уравнения. Величина первого слагаемого этой суммы очень быстро
убивает с течением времени, так как оно описывает свободные затухающие колебания в контуре.
Частное решение уравнения (2), описывающее установившиеся вынужденные колебания амплитуды силы тока в контуре, имеет вид:
q
(З)
I
 I m sin  t    ,
t
где Im – амплитуда силы тока, α – сдвиг фаз между приложенным напряжением и током.
Можно показать, что
Um
(4)
Im 
2
2
R   X L  XC 
tg 
R
,
X L  XC
(5)
1
; X L   L ; R – соответственно: реактивное емкостное, реC
активное индуктивное и активное сопротивления контура.
Поскольку все элементы контура соединены последовательно, то
через них протекает один и тот же ток.
Отсюда амплитуды напряжения на конденсаторе UCm, активном
URm и индуктивном ULm сопротивлениях контура описываются следующими функциями:
Um
(6)
U C m    I m X C 
2

1 
C R2   L 

 C 

где X C 
4
U Rm    I m R 
U Lm    I m X L 
UmR

1 
R2    L 
 C 

U m L
(7)
2
2
(8)

1 
R2    L 
 C 

Амплитуды вынужденных электромагнитных колебаний UCm, URm и
ULm зависят от частоты переменного напряжения источника таким образом, что при определенных значениях частоты, называемой резонансной, достигают максимума, причем каждая амплитуда имеет максимум
при своем значении частоты.
Значения резонансных частот для UCm, ULm и URm можно получить,
исследовав функции (6–8) на экстремум. Продифференцировав подкоренные выражения по ω, приравняв нулю и решив получившиеся уравнения относительно ω, получим:
а) для резонансной циклической частоты для амплитуды напряжения на конденсаторе (заряда конденсатора):
Cрез  02  2 2 ,
(9)
б) для резонансной циклической частоты амплитуды падения напряжения на активном сопротивлении (силы тока в контуре):
(10)
Rрез  0 ,
в) для резонансной циклической частоты амплитуды напряжения
на индуктивности.
0
Lрез  0
.
(11)
  2
Графики зависимостей UCm, URm и ULm от циклической частоты ω
внешнего источника называются резонансными кривыми и показаны
графически на рис.2. Само явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденных колебаний к резонансной ωрез называется резонансом.
Из рис.2 видно, что резонансные кривые для UCm (кривая 1), ULm
(кривая 2) и URm (кривая 3) имеют максимум при разных частотах ω.
Резонансные частоты, как видно из (9–11), будут отличаться друг
от друга тем больше, чем больше коэффициент затухания β.
2
0
5
2
Поскольку величина емкостного сопротивления определяется фор1
мулой X C 
, то при постоянном напряжении (ω = 0) ток в цепи с
C
конденсатором не протекает. Поэтому при ω = 0, Im = 0, URm = Im R = 0, а
напряжение на конденсаторе равно Um, то есть напряжению на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения, величина которого равна амплитуде внешнего переменного напряжения.
U
Um
1
2
3
ω
O
Рис.2. Резонансные кривые
Если проводить аналогию с механическими вынужденными колебаниями, то резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе UCm сходны с резонансными кривыми для амплитуды смещения от положения равновесия, резонансные кривые для амплитуды напряжения на активном сопротивлении URm с резонансными кривыми для
амплитуды скорости, а резонансные кривые для амплитуды напряжения
на индуктивности ULm соответствуют резонансным кривым для амплитуды ускорения.
Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем
R
меньше постоянная затухания  
, то есть чем меньше активное со2L
противление контура и больше его индуктивность.
На рис.3 в качестве примера, иллюстрирующего влияние на резонансную кривую постоянной затухания β, представлены резонансные
кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе UCm при различных
значениях активного сопротивления.
При малом затухании (β2<< ω20) значения резонансных частот для
UCm, URm, ULm близки между собой так, что можно принять
(12)
C рез  L рез  R рез  0 ,
6
β1 > β2 > β3
R1 > R2 > R3
UCm
U Cm
2
ω1
ωр
ω2
ω
0
Рис.3.Резонансные кривые для напряжения на конденсаторе.
то есть в этом случае резонансные циклические частоты вынужденных
электромагнитных колебаний совпадают с собственной частотой ω0
свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре.
Из (4) и (7) максимальная сила тока (падение напряжения на активном сопротивлении) достигается, если
1
 рез L 
 0,
(13)
 резC
то есть сдвиг фаз между приложенным напряжением и током равен
нулю и контур действует как активное сопротивление. При этом напряжение на активном сопротивлении равно напряжению источника питания.
По определению добротность Q колебательного контура

,
(14)

где θ - логарифмический декремент затухания.
θ = βT,`
(15)
где T – период колебания.
При малом затухании период и циклическая частота вынужденных
колебаний могут быть найдены по соответствующим формулам для
свободных незатухающих электромагнитных колебаний
T  2 LC ,
Q
1
.
(16)
LC
Тогда из выражений (14–16) получим для добротности контура
0 
7
1 L
.
(17)
R C
Отсюда, учитывая соотношения (6) и (8), получим (при β2 << ω20):
U Cm
1
1 L


Q,
(18)
U m  рез RC R C
Q
U Lm  рез L 1 L
(19)


 Q.
Um
Um
R C
Таким образом, добротность контура при малом затухании (β2 <<
ω20) показывает во сколько раз амплитуда напряжения на конденсаторе
или на индуктивном сопротивлении при резонансе превышает амплитуду переменного напряжения источника, подключенного к контуру, в
связи с чем резонанс в последовательном колебательном контуре часто
называют резонансом напряжений.
Добротность контура связана и с другой важной характеристикой
резонансной кривой – ее полушириной ∆ω, равной разности значений
ω2 и ω1, значений циклической частоты, соответствующих половинному
значению энергии, то есть на «высоте», равной 0,7 от максимальной амплитуды (рис.3).
При β2 << ω20 добротность и полуширина резонансной кривой связаны соотношением:
0
,
(20)

то есть добротность контура определяет «остроту» резонансной кривой.
Электрический резонанс находит широкое применение в радиотехнике для выделения электромагнитных колебаний нужной частоты. На
этом основана вся техника радиоприема. Для того, чтобы радиоприемник принимал нужную радиостанцию, колебательный контур его входного устройства настраивают обычно изменением C конденсатора переменной емкости так, чтобы его собственная частота колебаний совпала с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией. Естественно, имеет смысл применение контуров с высокой добротностью
(слабым затуханием). В противном случае сигнал при резонансе незначительно отличается от напряжений и токов на других частотах и избирательность контура оказывается недостаточной для надежного выделения полезного сигнала.
Q
8
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
В настоящей работе исследуется колебательный контур, затухание
в котором можно считать малым.
К
ЗГ
вход
R
КК
L
UL
С
UC
ОС
Рис.4. Структурная схема установки
Для выполнения, работы используется установка, состоящая из генератора электромагнитных колебаний ГЗ –12, осциллографа С1–112А
и колебательного контура КК, установленного на панели лабораторного
макета изменением С конденсатора переменной емкости, включенного в
контур (рис.4).
При разомкнутом ключе К в контур включено активное сопротивление R. При замыкании ключа К это сопротивление шунтируется. Поэтому при замкнутом ключе К активное сопротивление контура складывается из активного сопротивления соединительных проводников, активного сопротивления катушки индуктивности, выходного сопротивления генератора и входного сопротивления осциллографа. Это сопротивление в дальнейшем будем называть собственным сопротивлением
контура Rk. Емкость конденсатора, включенного в контур, С = 2800 пФ.
Для увеличения добротности контура в катушку индуктивности контура
вставляется ферритовый сердечник, прилагаемый к установке.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Собрать электрическую цепь (рис.4). Установить переключатель
ГЗ – 112 «Частота» в положение 103. Подключить выход ГЗ к клеммам
«Вход» на панели макета. Переключатель осциллографа С1 – 112А
Time/Div (синхронизация) установить в положение 0,5; переключатель
V/Div (усиление) установить в положение 0,5.
9
2. Измерение зависимости амплитуды напряжения на конденсаторе
от частоты при R = 0.
Замкнуть ключ К и подключить вход осциллографа к клеммам UC
на панели. Включить осциллограф в сеть. Вращая лимб ЗГ, найти частоту, при которой выходной сигнал минимален. Изменяя частоту через 5
делений по шкале лимба ЗГ, снять зависимость амплитуды сигнала на
экране осциллографа от частоты генератора. Вблизи резонанса, когда
сигнал на экране осциллографа начинает резко расти, частоту изменять
через 1 деление. В процессе проведения опыта перейти на диапазон 103,
установив при этом такое же по величине выходное напряжение ЗГ, что
и на диапазоне 102. Измерения выполнить до частоты, при которой сигнал на экране осциллографа вновь окажется минимальным.
При выполнении работы необходимо все время следить за показанием вольтметра и поддерживать постоянным напряжение ЗГ.
Результаты измерения занести в таблицу 1. По полученным данным
построить резонансную кривую UCm(ω).
3. Измерение зависимости амплитуды напряжения на индуктивности от частоты генератора при R = 0.
По аналогичной методике, что и в пункте 2, измерить зависимость
UIm(ω), переключив «Вход» осциллографа на клеммы UL на панели макета. Результаты измерения занести в таблицу 1. По полученным данным построить резонансную кривую ULm(ω).
№
f, Гц
R = 0; Rk =
UСm
ULm
отн.ед.
отн.ед.
f, Гц
Таблица
R=
; R + Rk =
UСm
ULm
отн.ед.
отн.ед.
1
2
3
4
5
…
Q
4. Сравнивая полученные результаты, обосновать что затухание
слабое и потому применение для расчетов формул (16–20) допустимо.
Затем найти полуширины резонансных кривых UCm(ω) и ULm(ω) и по
формуле (20) вычислить добротность контура. Результаты расчета добротности контура занести в таблицу.
10
5. Разомкнув ключ К, включить в контур дополнительное активное
сопротивление R, величина которого неизвестна. По аналогичной методике, что и в пункте 2, измерить зависимости UCm и ULm. По полученным данным построить резонансные кривые UCm(ω) и ULm(ω). Найти
полуширины резонансных кривых, резонансную частоту и добротность
контура. Результаты измерений и расчета добротности контура занести
в таблицу.
6. По формуле (16) рассчитать индуктивность L контура.
7. Из соотношения (17) и найденных значений добротности Q контура вычислить;
а) величину собственного активного сопротивления контура Rk;
б) величину дополнительного активного сопротивления R, включенного в контур.
Результаты расчетов занести в таблицу.
8. Проверить соотношения (18–19). Для этого при резонансных
частотах ωLрез и ωCрез, подключив осциллограф к клеммам «Вход» на панели, измерить выходное напряжение генератора. Затем, измерив,
ULm(ωрез) и UCm(ωрез), найти величины добротности контура Q при R = 0
и при R ≠ 0. Результаты вычислений сравнить с полученными при выполнении в п.4 значениями добротности контура.
Примечание: все расчеты, проведенные согласно заданиям в
п.п. 4 – 8, привести в отчете о выполнении лабораторной работы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие электромагнитные колебания называют свободными? вынужденными?
2. Чему равна частота свободных и вынужденных электромагнитных колебаний в колебательном контуре?
3. Постройте резонансные кривые зависимостей амплитуд напряжений при резонансе в последовательном колебательном контуре от
частоты: ULm(ω), UCm(ω) и URm(ω) при коэффициенте затухания β, соизмеримом по величине с собственной частотой ω0 колебаний, и при β <<
ω0.
4. В чем отличие явлений: резонанс токов и резонанс напряжений?
Получите выражения при β << ω0: UCm/Um и ULm/Um (при резонансе напряжений), где UCm и ULm – амплитуды напряжений на индуктивности и
конденсаторе при резонансе, Um – амплитуда напряжения источника
внешней ЭДС.
5. Каков физический смысл добротности колебательного контура?
От каких параметров зависит добротность колебательного контура?
11
Учебное издание
ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛРНОМ КОНТУРЕ
Методические указания к выполнению лабораторной работы О-04
по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей
Составитель
СИВОВ Юрий Александрович
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати _____ ___ 2010. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать XEROX. Усл.печ.л. 9,01. Уч.-изд.л. 8,16.
Заказ . Тираж ____ экз.
Национальный исследовательский Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30
Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru
12