1
0
1. Чему равен ранг матрицы 0
0
(0
2 2
3 −1
0 2
0 1
0 0
Тест №2
3
1
4 ?
2
0)
2. Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений
3𝑥 − 𝑦 = 2
{
?
2𝑥 + 3𝑦 = 5
1) х = 1, у = 1 ; 2) х = 1, у = –1 ; 3) х = –3, у = 3 ; 4) х = 0, у = 1 .
3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 1
3. Запишите расширенную матрицу системы уравнений {
.
𝑥 − 3𝑧 = 2𝑤 = 3
4.Приведите пример ступенчатой матрицы с двумя ненулевыми строками и пятью столбцами.
5. Какие определители надо вычислить для того, чтобы найти значение переменной х при решении
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1
системы {𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 3 по формулам Крамера?
𝑥+𝑧=1
6. Матрица В получена из матрицы А вычитанием из второго столбца первого. Как
получить решение системы Вy = b, если известно решение системы Ах = b?
1) от второй переменной отнять первую;
2) от первой переменной отнять вторую
3) переставить переменные с номерами 1 и 2 4) прибавить к первой переменной вторую
7 . Какие из следующих преобразований системы АХ = В могут изменить множество ее решений?
1) Удаление одного из уравнений;
2) удаление из системы уравнений, которые являются линейными комбинациями оставшихся;
3) замена одного из уравнений линейной комбинацией оставшихся;
4) присоединение к системе суммы всех ее уравнений .
1 2 −2 0
8. Применяя к матрице (1 2 1 1) первый шаг метода Гаусса, получим матрицу:
0 2 1 −2
1 3 2 −1
1 2 −2 0
1 2 −2 0
1 2 −2 0
1 2 −2 0
0
0
3
1
0
2
1
1
0
2
1
1
1) (
) ; 2) (
) ; 3) (
) ; 4) (0 0 0 1) .
0 2 1 −2
0 2 1 −2
0 0 1 −2
0 2 1 −2
0 1 4 −1
0 3 2 −1
0 0 2 −1
0 3 2 −1
9. Расширенная матрица системы линейных уравнений с пятью неизвестными имеет ранг 3. Какая
из следующих матриц может получиться из нее в результате применения метода Гаусса?
1 1
1)( 0 2
0 0
0 0
3
1
0
0
1
0
1
0
2 2
1 1 3
0 | 3 ) ; 2) ( 0 2 1
2 −1
0 0 0
0 1
0 0 0
1
0
1
0
2 2
1 1 3
0 | 3 ); 3) ( 0 2 1
2 −1
0 0 0
0 0
0 0 0
1
0
0
0
2 2
1 1
0 |3) ; 4) ( 0 2
0 0
0 0
0 0
0 0
3
1
0
0
1
0
1
0
2 2
0 | 3 ).
2 −1
0 1
10. Расширенная матрица системы линейных уравнений имеет вид
1 0 3 1 0 0
( 0 2 1 0 0 | 3 ). Тогда эта система:
0 0 0 1 2 −1
0 0 0 0 0 0
1) несовместна;
2) имеет бесконечное множество решений с двумя параметрами ;
3) имеет единственное решение; 4) имеет бесконечное множество решений с одним параметром
11. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы линейных уравнений с шестью неизвестными имеют ранг 4. Тогда эта система:
1) несовместна ;
2) имеет множество решений, зависящее от четырех параметров
3) имеет единственное решение 4) имеет множество решений, зависящее от двух параметров .
1 2 0 −1 1 2
12. (0 0 1 2 0 |0)– расширенная матрица системы линейных уравнений. Тогда общее ре0 0 0 1 −1 2
шение этой системы задается выражением:
−2
0
0
−2
0
−2
1
2
2
1
2
1
−2 ; 3) −2 + 𝑎 −2 + b 0 ; 4) −2 + a −2 .
1
1
1
0
1
1
(−1)
(−1)
(1)
(0)
(−1)
(1)
13. Однородная система линейных уравнений с семью неизвестными имеет 2 линейно независимых решения, а любые 3 ее решения линейно зависимы, чему равен ранг ее матрицы коэффициентов?
14. Общее решение системы линейных уравнений АХ=В задается выражением
2
1) (0) ; 2)
2
−2
1
3
1
2
1
−2 + 𝑢 0 + v 0
, запишите фундаментальную систему решений системы
0
1
1
(1)
(1)
(0)
АХ=0.
15. Однородная система линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А имеет
ненулевое решение. Какие из следующих утверждений верны?
1) строки матрицы А линейно зависимы ; 2) система имеет бесконечно много решений ;
3) определитель матрицы А не равен 0 ; 4) система имеет единственное решение .
16. Даны два вектора a и b. При каком условии длина вектора a – b больше длины векто-
ра a + b?
17. Дан вектор а(3, – 2, 3). Укажите любой вектор, ортогональный вектору а.
18.Вектора a, b, c удовлетворяют равенствам a=b×c, b=c×a, c=a×b. Определите углы между векторами и их длину.
19. a ( 1, 2, 0), b (3, 1,1), c (1, 0, ). Подберите параметр так, чтобы вектора a, b, c были
компланарны.
20. В какой из следующих пар вектора ортогональны?
1) (-2, 3, 2), (0,2,-3) 2) (–1,3, 0 ), (-3,-2,0); 3) (4, -1, 5), (4, -1, –5), 4) (3,0,-2), (2, 1, – 4)
21. Для каких из ниже перечисленных пар векторов верно равенство (a, b ) a b ?
1) а(-1,4,0), b(3,0,2);
2) а(1,3,0), b(3,9,0);
3) а(1,5,2), b(1,-3,2);
4) а (3,1,7), b(3,2,2).
22. Пусть a b c 0 . Что можно утверждать о векторах a×b, b×c, c×a?
1) они равны 2) они коллинеарны 3) они попарно ортогональны 4) среди них есть и коллинеарные, и
ортогональные.
23. Дана прямая
x 1 y 2 z 1
=
.
l
m
p
l , m, p
так, чтобы прямая
x
y 3
z.
2
4
была ортогональна прямой
24. При каких значениях параметра
25. Дана прямая
Выберите значения чисел
плоскости 3х+2у –z +2=0 и 6х+ у –2z +1=0 параллельны?
3x y 2 z 6 0,
2 x 2 y 2 z 4 0.
Пересекает ли эта прямая ось
OX ? Если пересека-
ет, укажите точку пересечения.
26. Прямая задана уравнениями: x 2t 1, y t 1, z 3t 3 . Приведите пример плоскости,
параллельной данной прямой.
27. В уравнении плоскости Ax By Cz D 0 подберите коэффициенты так, чтобы прямая из
предыдущего пункта была ей перпендикулярна.
28. Какую кривую описывает уравнение
𝑥2
32
𝑦2
+ 52 = 2?
(А) эллипс (B) гиперболу (C) параболу (D) пару параллельных прямых
29. Какая из следующих кривых имеет асимптоты?
(А)
𝑥2
22
−
𝑦2
42
= 1 (B)
𝑥2
32
+
𝑦2
42
= 1 (C)
𝑥2
22
=
𝑦2
62
(D) 𝑥 2 = 4𝑦
30. Как называются поверхности, заданные этими уравнениями? Изобразите эскизы этих поверхностей.
А)
x2 y2 z 2
1
a 2 b2 c2
В)
x2 y2
1
a2 b2