Лекция 4. Определенный интеграл

Математика 2
Определенный интеграл
Основные понятия
Лектор:
доцент отделения математики и информатики
Имас Ольга Николаевна
a
1.
 f ( x)dx  0
Основные свойства определенного интеграла.
a
2.
3.
4.
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
b
b
a
b
a
 k f ( x)dx  k  f ( x)dx
b
b
a
a
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
5.
b
c
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
c
каково бы ни было расположение точек
a,b,c.
6. Если функция y=f(x) интегрируема
и неотрицательна на [a, b] и a<b, то
b
 f ( x)dx  0
a
7. Если
f(x) ≤ g(x) ∀ x∈ [a, b], то
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
8.
b
b
a
a
 f ( x)dx   f ( x) dx
10. Если
f ( x ) непрерывна на [a, b],
то ∃ с ∈ [a, b]
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a)
a
f (с) – среднее значение функции на [a,b].
Геометрически:
Площадь под кривой
f (x) – площадь
криволинейной трапеции – равна площади прямоугольника с
тем же основанием и высотой, равной среднему значению
функции на этом отрезке.
b
1
f (c ) 
f ( x)dx

baa
11. Интегралы по симметричному промежутку от четной и нечетной функции.
a) Пусть y=f(x) непрерывная четная на [- a,
a
a
a
0
a]
функция, тогда
 f ( x)dx  2 f ( x)dx
б) Пусть y=f(x) непрерывная нечетная на [- a,
a
 f ( x)dx  0
a
a] функция, тогда
Достаточные условия интегрируемости (классы интегрируемых функций)
Теорема 2. Если функция
y=f(x) определена и непрерывна на [a,b], то она
интегрируема на [a,b].
Теорема 3. Если функция
y=f(x)
монотонна и ограничена на [a,b], то она
интегрируема на [a,b].
Теорема 4. Если функция
y=f(x)
имеет конечное число точек разрыва
первого рода на [a,b], то она интегрируема на [a,b].