Лекция 3. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл

Математика 2
Определенный интеграл
Основные понятия
Лектор:
доцент отделения математики и информатики
Имас Ольга Николаевна
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть задана функция y = f (x) на [a,b].
Задача: найти площадь S криволинейной трапеции под кривой f (x) между a и b.
Рассмотрим криволинейную трапецию aABb
y
y=f(x)
B
Выберем
i  [ xi 1 , xi ]
Вычислим
f (i ), i  1, n
xi  xi  xi 1
Обозначим
A
произвольно
Si  f (i )xi
n
a
b
x
   f (i )xi
i 1
Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников,
приближенно заменяет криволинейную трапецию и называется интегральной
суммой Римана   (T , i )  S
Точное значение площади:
S  lim
max xi 0
n
 f ( )x
i 1
i
i
Определение определенного интеграла
Пусть функция y=f(x) определена на [a, b].
1) Разобьем [a, b] на n частей точками x1 < x2
< … < xk <…< xn-1.
T={a=x0, x1, x2, …, xn=b} называется разбиением на
отрезке [a, b], каждый отрезок [xk-1, xk] называется элементарным,
xk = xk – xk-1 – их длина.
2) На каждом элементарном отрезке [xk-1, xk] выберем точку k произвольно!!!
(k ∈  xk).
3) Вычислим f(k) ∀ k.
4) Составим произведение f (. k) xk , k  1, n
Множество
5) Запишем интегральную сумму
 (T ,  ) 
n
 f ( x ) x
k
k
k 1
6) Перейдем к пределу так, что   max x k  0
– интегральная сумма
Римана
Определенным интегралом или интегралом Римана на отрезке [a, b] называется предел
интегральной суммы при →0, не зависящий от выбора точки k и способа разбиения
b
n
 f ( x)dx  lim (T , )  lim  f ( )x
a
0
0
k 1
k
k
(продолжили на следующей лекции)
Геометрический смысл:
Площадь s криволинейной трапеции под кривой f(x) на отрезке [a,b]
b
s   f ( x)dx
a
Физический смысл:
а) путь, пройденный точкой за время от t1 до t2 со скоростью v=v(t).
b
S   v(t )dt
б) масса неоднородного стержня длиной от x1 до x2 с линейной плотностью r=r(x).
a
x2
M   r( x)dx
x1
в) работа по перемещению точки под действием переменной силы
b
из точки a в точку b.
F =F(x)
A   F ( x)dx
a
г) количество вещества, образовавшегося в процессе хим. реакции:
скорость реакции, t1 – время начала, t2 – время окончания реакции
t2
Q   q (t )dt
t1
q =q(t) –
Из определения: функция, для которой существует
называется интегрируемой на отрезке [a, b].
lim (T , )
max x0
Теорема 1. Необходимый признак интегрируемости
(Ограниченность интегрируемой функции)
Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на
этом отрезке.
Следствие: если функция не ограничена на отрезке [a, b], то она не
интегрируема на [a, b].
Функция Дирихле
1 , x  Q
f ( x)  
0 , x  J
(множеству рациональных чисел)
(множеству иррациональных чисел)