Размещено на http://www.allbest.ru/ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГАОУ ВПО Уральский Федеральный Университет Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра теоритических основ радиотехники КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы» ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА АНАЛИЗ РАДИОСИГНАЛОВ И РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ОПТИМАЛЬНЫХ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ Подпись Дата Ф.И.О. Руководитель: Лучинин А.С. Студент Стругов С. А. Группа: РИ 310601 Екатеринбург 2013 Размещено на http://www.allbest.ru/ Реферат О временных и спектральных характеристиках сигнала Спектр результат разложения сигнала на систему ортогональных функций. Он есть эквивалент сигнала в частотной области. Мы будем рассматривать в качестве базисов гармонические функции изза их инвариантности преобразований в линейных цепях и относительной простоты генерирования таких сигналов. С такой позиции спектр это набор гармонических волн, которые, будучи надлежащим образом скомбинированы, дают изучаемы нами сигнал во временной области. Для периодического ряда Фурье действительно: 𝑆(𝑡) = 𝑎0 + ∑∞ 𝑛=1(𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡 + 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜔𝑡), 2 2 𝑇 2 −𝑇 2 2 𝑇 2 −𝑇 2 где 𝑎𝑛 = ∫ 𝑆(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡, 𝑏𝑛 = ∫ 𝑆(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡. 𝑇 𝑇 Следует это из обобщенного ряда Фурье. Напомню, обобщенный ряд Фурье представляет собой сумму (ряда) ортогональных функций с определенными коэффициентами. Представленные выше соотношения можно распространить на непериодические сигналы. В результате мы придем к прямому и обратному преобразованию Фурье: ∞ 𝑆(𝜔) = ∫−∞ 𝑆(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 прямое преобразование Фурье. 1 ∞ 𝑆(𝜔) = ∫ 𝑆(𝑡)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡обратное преобразования Фурье. 2𝜋 −∞ 𝑆(𝜔) спектральная плотность (спектральная характеристика) сигнала𝑆(𝑡). Спектральная плотность есть величина комплексная, ее можно представить в виде: Размещено на http://www.allbest.ru/ 𝑆(𝜔) = |𝑆(𝜔)|е𝜃(𝜔) где|𝑆(𝜔)|АЧХ, 𝜃(𝜔) ФЧХ спектра. Для определения спектральной плотности энергии сигнала воспользуемся равенством Парсеваля: ∞ 1 ∞ 𝐸 = ∫ 𝑆 (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ |𝑆(𝜔)|2 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ −∞ 2 Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходима характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие. В качестве такой временной характеристики используется автокорреляционная функция (АКФ) сигнала: ∞ 𝐵𝑠 (𝜏) = ∫ 𝑆(𝑡) ∗ 𝑆 ∗ (𝑡 + 𝜏) 𝑑𝑡 −∞ АКФ характеризует степень связи сигнала со своей копией, сдвинутой на 𝜏 . При этом максимальное значение АКФ равно энергии сигнала. АКФ является четной, ее максимум достигает при 𝜏 = 0. Для оценки степени связи между двумя различными сигналами используется взаимная корреляционная функция: ∞ 𝐵𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 (𝜏) = ∫ 𝑆1 (𝑡) ∗ 𝑆2 ∗ (𝑡 + 𝜏) 𝑑𝑡 −∞ Размещено на http://www.allbest.ru/ ВКФ не обязательно является четной, она не обязательно достигает максимума при 𝜏 = 0. О функции неопределённости сигнала и ее свойствах Функция неопределенности 𝑋(𝜏, 𝜔) двумерная функция, представляющая собой зависимости величины отклика согласованного фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на𝜏, и по частоте на 𝜔 относительно сигнала, согласованного с фильтром. Она характеризует степень различия откликов фильтра на сигналы с различной временной задержкой и частотой. ∞ 𝑋(𝜏, 𝜔) = ∫ 𝑆(𝑡) ∗ 𝑆 ∗ (𝑡 + 𝜏)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 −∞ Свойства функции неопределённости: 1)Максимальное значение функции неопределенности находится в нуле и равняется энергии сигнала. 2)Функции неопределённости четная. ∞ ∞ 3)∫−∞ ∫−∞ 𝑋(𝜏, 𝜔)𝑑𝜏𝑑𝜔 = Е2 4) Согласно неравенству Парсеваля: 1 ∞ ∗ 𝑋(𝜏, 𝜔) = ∫ 𝑆 (𝜔) ∗ 𝑆(𝜔 + ∆𝜔)𝑒 𝑗∆𝜔𝑡 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ О понятии сложных сигналов Для начала введем понятия базы сигнала. База сигнала это произведения эффективной ширины спектра на эффективную длительность. Простым называют сигнал , внутри которого отсутствует внутриимпульсная модуляция. База такого сигнала примерно равна единице. Сложным называется сигнал, у которого имеется внутриимпульсная модуляция. База сложного сигнала существенно больше единицы. Размещено на http://www.allbest.ru/ Наличие у сложных сигналов внутриимпульсной модуляции приводит к тому, что их генерация и обработка при приеме сложнее, чем для простых сигналов. Но также сложные сигналы позволяют разрешить некоторые недостатки простых сигналов. Укажем некоторые недостатки на примере РЛС. Разрешающая способность РЛС характеризует возможность раздельного наблюдения целей, которые отличаются либо значением одной из координат либо скоростью движения. Первой из недостатков: при применении простых сигналов невозможность одновременно получить высокую разрешающую способность по дальности и скорости. Другим недостатком простых сигналов (при одноканальным передающем тракте) является то, что при их использовании нельзя получить одновременно высокую разрешающую способность по дальности и большую дальность действия радиотехнической системы при ограничении пиковой мощности излучения передатчика. Сложные сигналы имеют обычно достаточно большую длительность , и в то же время спектр во много раз шире, чем спектр простого сигнала такой же длительности. Несоответствие ширины спектра сложных сигналов их длительности достигается введением внутриимпульсной модуляции. Причина расширения спектра сложного сигнала, состоит в том, что функция, модулирующая сигнал, является не прямоугольной, как у простого сигнала более изрезанной, как, например, у фазоманипулированного сигнала с дискретной бинарной модуляцией фазы. Чем более изрезана комплексная огибающая, тем шире спектр сигнала. Таким образом, разрешающая способность по дальности у сложного сигнала больше, чем у простого сигнала той же длительности. В то же время, демодулируя сложный сигнал, т.е. устраняя внутриимпульсную модуляцию при приеме, можно получить из сложного сигнала простой , равный сложному сигналу по длительности. Этот простой сигнал, полученный из Размещено на http://www.allbest.ru/ сложного, на выходе демодулятора будет иметь большую длительностью а значит узкий спектр и, следовательно, большую разрешающую способность по скорости. О принципе оптимальной фильтрации сигнала известной формы на фоне помех типа белого шума Оптимальный приемник это такой приемник , который наилучшим образом принимает заданный сигнал. Должен быть задан критерий оптимальности, то есть приемник оптимален по критерию. В зависимости от решаемой задачи критерии оптимальности могут быть разными. Для задачи обнаружения сигнала в шумах наибольшее применение получил критерий максимума отношения сигнал помеха на выходе фильтра. Требования к такому фильтру можно сформулировать следующим образом. На вход линейного четырехполюсника подается аддитивная смесь из сигнала S(t) и шумаn(t). Сигнал полностью известен, шум представляет собой случайный процесс , заданный статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий на выходе наибольшее отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, поскольку для обнаружения его в шумах форма не имеет значения. О импульсной и комплексной характеристиках будет рассказано в основной части, также там будет и о сигнале и помехе на выходе согласованного фильтра. Размещено на http://www.allbest.ru/ О путях построения согласованных фильтров для различных сигналов Можно выделить некоторый алгоритм к построению согласованного фильтра: Запись математической модели сигнала. Определения спектра плотности, корреляционной функции сигнала. Определения импульсной характеристики и передаточной цепи, обладающей функции цепи. Отыскание определёнными ранее структуры физической импульсной характеристикой и передаточной функцией. Ниже приведем структурную схему согласованного фильтра, рассчитанного в данной работе. На входе размещен согласованный фильтр для одной посылки радиоимпульса. Основой устройства служит многоотводная линия задержки, обеспечивающая запаздывание сигналов на отрезки времени T,2T,…(N−1)T. Сигналы со всех отводов поступают в сумматор. Максимальный отклик на выходе сумматора будет наблюдаться тогда, когда полетные сигналы от всех посылок почти одновременно окажутся на всех его входах. Эффективность Размещено на http://www.allbest.ru/ работы устройства тем выше, чем длиннее пачка. Размещено на http://www.allbest.ru/ Содержание Перечень условных обозначений Введение Основная часть 1. Математическая модель сигнала и его комплексной огибающей 2. Автокорреляционная функция комплексной огибающей 3. Взаимная корреляционная функция комплексных огибающих 4. Автокорреляционная функция кода Баркера 5. Автокорреляционная функция сигнала 6. Спектр комплексной огибающей 7. Эффективная ширина спектра комплексной огибающей 8. Интервал корреляции комплексной огибающей 9. Произведения эффективной ширины спектра на длительность сигнала и произведение эффективной ширины спектра на интервал корреляции 10. Спектра сигнала 11. Характеристика согласованного фильтра 12. Отклик на выходе согласованного фильтра 13. Спектральная плотность белого шума на выходе фильтра 14. Отношение мощности сигнала к мощности на шума на выходе Заключение Список использованной литературы Размещено на http://www.allbest.ru/ Перечень условных обозначений 𝑓0 частота несущей; 𝜏0 длительность элементарной посылки; 𝑈𝑚 амплитуда радиоимпульса; 𝑅вх входное сопротивления приемника; 𝑖 = √−1 мнимая единица; 𝜔0 = 2𝜋𝑓0 циклическая частота; АКФ автокорреляционная функция; ВКФ взаимно корреляционная функция; КЧХ комплексная частотная характеристика; АЧХ амплитудная частотная характеристика; ФЧХ фазовая частотная характеристика; S(t) сигнал; 𝑆𝑒𝑛𝑣 (𝑡)комплексная огибающая сигнала; 𝐵𝑒𝑛𝑣 (𝜏) АКФ комплексной огибающей; 𝐵𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 (𝜏) ВКФ; 𝐵𝑏𝑎𝑟𝑘 (𝜏) АКФ кода Баркера; 𝐵𝑠 (𝜏) АКФ сигнала; 𝐵𝑧 (𝜏) АКФ аналитического сигнала; 𝑍𝑎 (𝜏) аналитический сигнал; 𝑆𝑒𝑛𝑣 (𝜔) спектр комплексной огибающей; 𝑆(𝜔) спектр сигнала; ∆𝜔𝑒𝑓.𝑒𝑛𝑣 эффективная ширина спектра комплексной огибающей; 𝜏𝑐.𝑒𝑛𝑣 интервал корреляции комплексной огибающей; ∆𝜔𝑒𝑓.𝑠 эффективная ширина спектра сигнала; 𝐾(𝑗𝜔) КЧХ согласованного фильтра; 𝐾(𝜔) АЧХ согласованного фильтра; 𝜑𝑘 ФЧХ согласованного фильтра; Размещено на http://www.allbest.ru/ 𝑆вых (𝑡) сигнал на выходе согласованного фильтра; 𝑔(𝑡) импульсная характеристика согласованного фильтра; 𝑘 произвольный коэффициент; 𝑡0 момент времени, соответствующий максимуму сигнала на выходе согласованного фильтра; 𝑊0 спектральная плотность белого шума; 𝑃𝑠 мощность сигнала на выходе согласованного фильтра; 𝑃𝑛 мощность шума на выходе согласованного фильтра; Размещено на http://www.allbest.ru/ Введение Курсовая работа охватывает спектральный и корреляционный анализ детерминированных сигналов, модуляцию сигналов (в данном случае фазовую манипуляцию), а также принципы оптимальной линейной фильтрации сигнала на фоне помех. Исходя из изложенного выше, можно выделить следующие цели: Изучение характеристик сигнала, как во временной, так и в частотной областях. Изучение принципов оптимальной линейной фильтрации сигнала на фоне помех. Приобретения навыков по расчету характеристик детерминированного сигнала и построению согласованного фильтра на основе этих характеристик. Задание на курсовую работу 1. Составить и записать математическую модель сигнала и его комплексной огибающей. 2. Рассчитать и построить автокорреляционную функцию комплексной огибающей сигнала. 3. Рассчитать и построить взаимную корреляционную функцию комплексной огибающей заданного сигнала и сигнала из соседнего варианта. 4. Рассчитать и построить автокорреляционную функцию комплексной огибающей сигнала, образованного кодом Баркера. Сравнить с автокорреляционной функцией заданного сигнала. 5. Рассчитать и построить автокорреляционную функцию заданного сигнала. 6. Рассчитать и построить спектр комплексной огибающей сигнала. 7. Рассчитать эффективную ширину спектра комплексной огибающей заданного сигнала. 8. Рассчитать интервал корреляции комплексной огибающей. Размещено на http://www.allbest.ru/ 9. Рассчитать и сравнить произведения эффективной ширины спектра на длительность сигнала и произведение эффективной ширины спектра на интервал корреляции. 10. Рассчитать и построить спектр сигнала. 11. Рассчитать характеристики согласованного фильтра для заданного сигнала. 12. Рассчитать и построить отклик на выходе согласованного фильтра при воздействии на вход заданного сигнала. 13. Определить спектральную плотность белого шума на входе фильтра, при которой отношение квадрата максимального значения выходного сигнала к дисперсии шума равно единице. 14. Определить отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе фильтра, согласованного по полосе пропускания с входным сигналом, при спектральной плотности входного шума определенной в предыдущем пункте. Полосу пропускания фильтра выбрать равной ширине основного «лепестка» спектра сигнала. Заданный сигнал представляет собой радиоимпульс с внутриимпульсной фазовой манипуляцией. Код сигнала задается в виде последовательности чисел. Код сигнала и частотно временные характеристики задаются индивидуально для каждого варианта. Амплитуда радиоимпульсов задается в таблице. сопротивление приемника (согласованного фильтра) равна 50 Ом. Код: (11)(−1−1)(11)( −1−1)(1−1)(11)(1−1) Частота несущей: 100 МГц Длительность элементарной посылки: 15 мкс Амплитуда радиоимпульсов: 2мВ Входное Размещено на http://www.allbest.ru/ Основная часть 1. Математическая модель сигнала и его комплексной огибающей Фазовая манипуляция вид фазовой модуляции, при которой фаза несущего колебания меняется скачкообразно в зависимости от передаваемого сообщения. В нашем случае сообщение задано в виде двоичного кода, следовательно, фаза принимает два значения: 0 и 𝜋. Тогда математическая модель сигнала будет представлена системой: S( t) Um Um Um Um Um Um Um 2 cos w t 2 cos w t 2 cos w t 2 cos w t 2 cos w t 2 cos w t 2 cos w t if 0 t 4 5 if t 2 if 2 t 3 4 5 if 3 t 4 4 7 if 4 t 5 4 if 5 t 6 4 7 if 6 t 7 4 4 0 otherwise Для построения комплексной огибающей математическая модель будет иметь вид: Размещено на http://www.allbest.ru/ Рисунок 1.Математическая модель сигнала и его комплексной огибающей 2. Автокорреляционная функция комплексной огибающей Автокорреляционная функция (далее АКФ) сигнала характеризует степень связи сигнала со своей копией, сдвинутой на величину 𝜏 во времяни. Она дает представления о некоторых свойствах сигнала, в частности, о скорости изменения во времени, о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие. Для детерминированного сигнала: Размещено на http://www.allbest.ru/ ∞ 𝐵𝑠 (𝜏) = ∫ 𝑆(𝑡) ∗ 𝑆 ∗ (𝑡 + 𝜏) 𝑑𝑡 −∞ Т.к. данный сигнал вещественная функция времени, то обозначение комплексного сопряжения можно опустить. Изучение АКФ играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации. Комплексная огибающая полностью описывается кодом (11)(−1−1)(11)( −1−1)(1−1)(11)(1−1), потому мы будем рассматривать ее как дискретную функцию времени и соответственно вычислить ее АКФ. Так как огибающая все же непрерывная, то и ее АКФ будет непрерывной. График ниже наглядно демонстрирует, что АКФ четная функция, которая достигает максимума в нуле. Рисунок 2 АКФ комплексной огибающей Размещено на http://www.allbest.ru/ 3. Взаимная корреляционная функция комплексных огибающих Для оценки связи между двумя различными сигналами𝑆1 (𝑡) и 𝑆2 (𝑡) используется взаимная корреляционная функция, определяемая выражением: ∞ 𝐵𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 (𝜏) = ∫ 𝑆1 (𝑡) ∗ 𝑆2 ∗ (𝑡 + 𝜏) 𝑑𝑡 −∞ Сравним огибающую заданного сигнала (11)(−1−1)(11)( −1−1)(1−1)(11) (1−1) с огибающей другого сигнала, представленную в виде (−11)(11)(11)( −1−1)(− 1−1)( −11)(1−1). Из графика можно увидеть , что ВКФ не обязательно является четной относительно 𝜏, ВКФ не обязательно достигает максимума в нуле (как в данном случае). Размещено на http://www.allbest.ru/ Рисунок 3. ВКФ 4. Автокорреляционная функция кода Баркера Коды Баркера обладают уникальным свойством: не зависимо от числа позиций в коде боковые лепестки АКФ не превышают единицы. Это свойства обеспечивает быструю синхронизацию кода (сигнала) с приемником и исключает ложное срабатывание системы. Т.к. АКФ кодов Баркера известны, не будем приводить полную процедуру ее вычисления, ограничимся лишь частью, построим график и Размещено на http://www.allbest.ru/ сравним его с АКФ комплексной огибающей сигнала. Можем заметить, что боковые лепестки АКФ огибающей значительно больше, следовательно, появляется вероятность ложной синхронизации и увеличивается время синхронизации. Рисунок 4. АКФ кода Баркера и комплексная огибающей сигнала 5. Автокорреляционная функция сигнала Для заданного сигнала справедлива формула: ∞ 𝐵𝑠 (𝜏) = ∫ 𝑆(𝑡) ∗ 𝑆(𝑡 + 𝜏) 𝑑𝑡 −∞ Но поскольку вычисления в таком виде заданного сигнала будет весьма трудоемким, то воспользуемся свойствами аналитического сигнала и следовательно из них. математический сигнал корреляция шум Аналитический сигнал это математическое представления аналогового сигнала в виде комплексной аналитической функции времени. Свойства аналитического сигнала: 1) Произведение аналитического сигнала 𝑍𝑠 (𝑡) на сопряженный ему сигнал равно квадрату огибающей исходного сигнала. 2) Спектральная плотность комплексной огибающей совпадает со Размещено на http://www.allbest.ru/ смещенной на 𝜔0 влево спектральной плотностью аналитического сигнала. 3) Корреляционная функция аналитического сигнала является комплексной функцией и определяется выражением: ∞ 𝐵𝑧 (𝜏) = ∫ 𝑍𝑎 (𝑡) ∗ 𝑍𝑎 ∗ (𝑡 + 𝜏) 𝑑𝑡 −∞ 4) Корреляционные функции аналитического сигнала и комплексной огибающей этого сигнала связаны: 𝐵𝑧 (𝜏) = 𝐵𝑒𝑛𝑣 (𝜏) ∗ 𝑒 −𝑗𝜔0𝑡 1 Следствие из третьего свойства: 𝐵𝑠 (𝜏) = ∗ 𝑅𝑒[𝐵𝑧 (𝜏)](выводится путем 2 выражения 𝐵𝑧 (𝜏)через модуль спектральной плотности сигнала и дальнейшего упрощения). Подставим в формулу из следствия 𝐵𝑧 (𝜏), определенную четвертым свойством. В результате получаем: 𝐵𝑠 (𝜏) = 1 1 ∗ 𝑅𝑒[𝐵𝑒𝑛𝑣 (𝜏) ∗ 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑡 ] = ∗ 𝐵𝑒𝑛𝑣 (𝜏) ∗ cos(𝜔0 𝑡). 2 2 Рисунок 5. АКФ Сигнала Размещено на http://www.allbest.ru/ 6. Спектр комплексной огибающей Спектр это результат разложения сигнала на систему ортогональных функций, т.е. представление сложного сигнала в виде суммы элементарных колебаний. Спектр характеризует сигнал в частотной области. Воспользуемся прямым преобразованием Фурье: 𝑡1 𝑆(𝜔) = ∫ 𝑆(𝑡) ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑡2 j U( t ) 4 Um 2 e j if 0 t 5 4 Um 2 e j if t 2 4 Um 2 e j if 2 t 3 5 4 Um 2 e j if 3 t 4 7 4 Um 2 e j if 4 t 5 4 Um 2 e j Um 2 e if 5 t 6 7 4 if 6 t 7 0 otherwise S2( ) 2 S1( ) S3( ) 3 j 5 4 Um 2 e e j t dt j 4 Um 2 e e j t dt 0 2 j Um 2 e 4 e j t dt Размещено на http://www.allbest.ru/ S5( ) 5 S4( ) 4 S6( ) 6 S7( ) 7 j 7 4 Um 2 e e j t dt 4 j 5 4 Um 2 e e j t dt 3 j 4 Um 2 e e j t dt 5 j Um 2 e 7 4 e j t dt 6 𝑆𝑐𝑜𝑚(𝜔) = 𝑆1(𝜔) + 𝑆2(𝜔) + 𝑆3(𝜔) + 𝑆4(𝜔) + 𝑆5(𝜔) + 𝑆6(𝜔) + 𝑆7(𝜔) Рисунок 6. Спектр комплексной огибающей. 7. Эффективная ширина спектра комплексной огибающей Эффективная ширина спектра комплексной огибающей равна ∆𝜔𝑒𝑓.𝑒𝑛𝑣. ∞ 1 = ∗ ∫ 𝑆 (𝜔)𝑑𝜔 = 1.099 ∗ 105 Гц 𝑆𝑒𝑛𝑣 (0) −∞ 𝑒𝑛𝑣 Размещено на http://www.allbest.ru/ 8. Интервал корреляции комплексной огибающей Интервал корреляции комплексной огибающей определяется аналогично 𝜏с.𝑒𝑛𝑣. 7𝜏0 1 = ∗ ∫ 𝐵𝑒𝑛𝑣 (𝜏)𝑑𝜏 = 3.245 ∗ 10−6 𝐵𝑒𝑛𝑣 (0) 0 9. Произведения эффективной ширины спектра на длительность сигнала и произведение эффективной ширины спектра на интервал корреляции Эффективную ширину спектра и интервал корреляции сигнала определяем аналогично предыдущим: ∆𝜔𝑒𝑓.𝑠. 𝜏с.𝑠. ∞ 1 = ∗ ∫ 𝑆(𝜔)𝑑𝜔 𝑆(0) −∞ 7𝜏0 1 = ∗ ∫ 𝐵𝑠 (𝜏)𝑑𝜏 𝐵𝑠 (0) 0 𝑇𝑠. = 7𝜏0 = 105 мкс Произведение эффективной ширины спектра на длительность сигнала: ∆𝜔𝑒𝑓.𝑠. ∗ 𝑇𝑠. = 0.357 Произведение эффективной ширины спектра на интервал корреляции: ∆𝜔𝑒𝑓.𝑠. ∗ 𝜏с.𝑠. = 11.538 Размещено на http://www.allbest.ru/ 10. Спектра сигнала Предполагается, что заданный сигнал представляет собой узкополосный процесс, т.е. все спектральные составляющие группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой полосе. В таком случае справедливо: ∞ 𝑆(𝜔) = ∫ 𝑅𝑒[𝑆𝑒𝑛𝑣 (𝑡) ∗ 𝑒 −𝑗𝜔0𝑡 ] ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 −∞ ∞ = ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑣 (𝑡) ∗ 𝑒 −𝑗(𝜔−𝜔0)𝑡 −∞ 𝑆(𝜔) = 1 ∞ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑣 (𝑡) ∗ 𝑒 −𝑗(𝜔+𝜔0)𝑡 𝑑𝑡, 2 −∞ 1 1 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝑣 (𝜔 − 𝜔0) + ∗ 𝑆𝑒𝑛𝑣 (−𝜔 − 𝜔0), 2 2 Из спектра заданного сигнала действительно видно, что этот радиосигнал узкополосное колебание. Рисунок 7 Спектр сигнала 11. Характеристика согласованного фильтра Согласованный фильтр это линейный оптимальный фильтр исходя из известных спектральных характеристик полезного сигнала и шума. Такой Размещено на http://www.allbest.ru/ фильтр предназначен для выделения сигналов известной формы на фоне шумов. Будем исходить из критерия максимума отношения сигнала помеха на выходе фильтра. Требования к такому фильтра можно сформулировать следующим образом. На входе линейного четырехполюсника подается аддитивная смесь из сигнала S(t) и шума n(t). Сигнал полностью известен , шум представляет собой случайный процесс, заданный статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий на выходе наибольшее отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, поскольку для обнаружения его в шумах форма не имеет значения. Передаточная функция (комплексной частотной характеристики КЧХ): 𝐾(𝑗𝜔) = 𝐾(𝑗𝜔)е𝑗𝜑𝑘 Для отыскания 𝐾(𝑗𝜔)составим выражения для сигнала и для шума. 1 ∞ 𝑆вых (𝑡) = ∫ 𝑆(𝜔)𝐾(𝜔) ∗ 𝑒 −𝑗(𝜗𝑠(𝜔)+𝜑𝑘(𝜔)+𝜔𝑡0) 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ 1 𝜎вых 2 1 ∞ 2 (𝜔)𝑑𝜔 = [ ∫ 𝑊(𝜔)𝐾 ] 2𝜋 −∞ Размещено на http://www.allbest.ru/ Т.к. мы рассматриваем сигнал, действующий на фоне белого шума с равномерным спектром 𝑊(𝜔) = 𝑊0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то 𝜎вых принимает вид: 1 2 ∞ 𝜎вых = [ 𝑊0 ∫ 𝐾 2 (𝜔)𝑑𝜔] 2𝜋 −∞ ∞ 1 −𝑗(𝜗 (𝜔)+𝜑 (𝜔)+𝜔𝑡0) 𝑠 𝑘 𝑆вых (𝑡) 2𝜋 ∫−∞ 𝑆(𝜔)𝐾(𝜔) ∗ 𝑒 = 𝑊0 ∞ 𝜎вых [ ∫ 𝐾 2 (𝜔)𝑑𝜔] 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ Воспользуемся неравенствам Шварца: 2 𝑏 𝑏 𝑏 |∫ 𝐹1 (𝑥)𝐹2 (𝑥)𝑑𝑥 | ≤ ∫ |𝐹1 𝑎 (𝑥)|2 𝑑𝑥 ∗ ∫ |𝐹2 (𝑥)|2 𝑑𝑥 , 𝑎 𝑎 где 𝐹1 (𝑥) и 𝐹2 (𝑥) в общем случае комплексные функции. Это неравенство обращается в равенства, когда 𝐹2 (𝑥) = 𝑘 ∗ 𝐹1 (𝑥) Пусть 𝐹1 (𝑥) = 𝑆(𝜔) ∗ е𝑗𝜃𝑠(𝜔) , 𝐹2 (𝑥) = 𝐾(𝜔) ∗ е𝑗(𝜑𝑘(𝜔)+𝜔𝑡0) ∞ 1 −𝑗(𝜗 (𝜔)+𝜑 (𝜔)+𝜔𝑡0) 𝑠 𝑘 𝑆вых (𝑡) 2𝜋 ∫−∞ 𝑆(щ)𝐾(𝜔) ∗ 𝑒 = 𝑊0 ∞ 𝜎вых [ ∫ 𝐾 2 (𝜔)𝑑𝜔] 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ 1 ≤√ = ∞ ∞ ∫ 𝑆 2 (𝜔)𝑑𝜔 ∫−∞ 𝐾 2 (𝜔)𝑑𝜔 2𝜋 −∞ 𝑊0 ∞ ∫ 𝐾 2 (𝜔)𝑑𝜔 2𝜋 −∞ 1 √𝑊0 ∞ ∗[ 1 ∫ 𝑆 2 (𝜔)𝑑𝜔] 2𝜋 −∞ 1 2 Выражение в квадратных скобках в правой части неравенства есть полная энергия входного сигнала, следовательно: Размещено на http://www.allbest.ru/ 𝑆вых (𝑡) 𝐸 ≤√ 𝜎вых 𝑊0 Из выражения следует: 𝐾(𝑗𝜔) = 𝐾(𝜔) ∗ е𝑗𝜑𝑘 = 𝑘 𝑆(𝜔) ∗ е−𝑗(𝜗𝑠(𝜔)+𝜔𝑡0) Отсюда следует два важных условия. 1) 𝜑𝑘 (𝜔) = −[𝜗𝑠 (𝜔) + 𝜔𝑡0] 2) 𝐾(𝜔) = 𝑘 𝑆(𝜔) Рисунок 8 ФЧХ фильтр Размещено на http://www.allbest.ru/ Рисунок 9 Тот факт, что КЧХ согласованного фильтра является функцией, сопряженной по отношению к спектру сигнала, указывает на существование тесной связи также между временными характеристиками. импульсную характеристику согласованного фильтра 𝟏 ∞ 𝒈(𝒕) = ∫ 𝑲(𝒋𝝎) 𝒆𝒋𝝎𝒕 𝒅𝝎 𝟐𝝅 −∞ Учтем формулы выше: 𝟏 ∞ ∗ 𝒈(𝒕) = 𝒌 ∫ 𝑺 (𝝎) 𝒆𝒋𝝎(𝒕−𝒕𝟎) 𝒅𝝎 где 𝑺(𝝎) = 𝑺(𝝎)е𝒋𝝑𝒔(𝝎) 𝟐𝝅 −∞ Учтем, что 𝑺∗ (𝝎) = 𝑆(−𝜔). Пусть −𝜔 = 𝜔1, Тогда Найдем Размещено на http://www.allbest.ru/ 1 ∞ 1 ∞ −𝑗𝜔2(𝑡−𝑡0) 𝑔(𝑡) = −𝑘 ∫ 𝑆(𝜔1) 𝑒 𝑑𝜔1 = 𝑘 ∫ 𝑆(𝜔1) 𝑒 𝑗𝜔1(𝑡−𝑡0) 𝑑𝜔1 2𝜋 −∞ 2𝜋 −∞ 𝑔(𝑡) = 𝑘𝑆(𝑡0 − 𝑡) Таким образом, импульсная характеристика по своей форме должна совпадать с зеркальным отражением сигнала. Из последнего выражения также следует условие𝑡0 ≥ 𝑇𝑐 (т.к. импульсная характеристика физической цепи не может начинать при 𝑡 < 0, отклик фильтра не может опережать воздействие 𝛿(𝑡)). Исходя из последнего условия, положим, что 𝑡0 = 13𝜏0 Рисунок 10 12. Отклик на выходе согласованного фильтра Для определения формы сигнала на выходе используем выражение 1 ∞ 𝑆вых (𝑡) = ∫ 𝑆(𝜔)𝐾(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ Размещено на http://www.allbest.ru/ Подставим в него выражение, получим 1 ∞ 2 𝑆вых (𝑡) = 𝑘 ∫ 𝑆 (𝜔)𝑒 𝑗𝜔(𝑡−𝑡0) 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ Учтем, что 1 ∞ 2 𝐵𝑠 (𝜏) = ∫ 𝑆 (𝜔)𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ т.е. интеграл в правой части выражения 𝑆вых (𝑡) есть корреляционная функция входного сигнала, в которой аргумент 𝜏 заменим на (𝑡 − 𝑡0) 𝐵𝑠 (𝜏) = 𝑘𝐵𝑠 (𝑡 − 𝑡0) Сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до коэффициента k совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала. 13. Спектральная плотность белого шума на выходе фильтра Определим спектральную плотность белого шума на входе фильтра, при которой отношение квадрата максимального значения выходного сигнала к дисперсии шума равно единицы. При расчете КЧХ согласованного фильтра мы вывели полезное соотношение: 𝑆вых (𝑡) 𝐸 ≤√ 𝜎вых 𝑊0 Размещено на http://www.allbest.ru/ Берем во внимание то, что речь идет о отношении квадрата максимального значения выходного сигнала к дисперсии шума равно единицы. Следовательно, неравенство преобразуется в равенстве: 𝑆вых 2 (𝑡) 𝐸 = =1 𝜎вых 2 𝑊0 То есть 𝐸𝑠 = 𝑊0. 𝑈 2 𝑚 𝑇𝑠 𝐸𝑠 = = 𝑊0 𝑅𝑖𝑛 𝑊0 = 0,0084 ∗ 10−9 Дж 14. Отношение мощности сигнала к мощности на шума на выходе Определим отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе фильтра, согласованного по полосе пропускания с входным сигналом, при спектральной плотности входного шума определенной в предыдущем пункте. ∆𝜔𝑒𝑓.𝑠 𝑈2𝑚 1 𝑃𝑠 = , 𝑃𝑛 = ∫ 𝑅𝑖𝑛 𝜋 0 𝑃𝑠 𝑃𝑛 = 2𝜋 ∆𝜔𝑒𝑓.𝑠 ∗𝑇𝑠 =17,64 2 𝑊0 𝑑𝜔 = 𝑊0 ∗ ∆𝜔𝑒𝑓.𝑠 2𝜋 Размещено на http://www.allbest.ru/ Заключение В результате: Составили и построили математическую модель сигнала и его комплексной огибающей. Мы получили наглядную демонстрацию фазоманипулированного сигнала в виде графика. Рассчитали и построили АКФ комплексной огибающей сигнала и АКФ комплексной огибающей кода Баркера. Мы провели сравнение их с точки зрения синхронизации (точнее, ее скорости и истинности) с источником. Заданный сигнал неустойчив во времени. Рассчитали и построили ВКФ комплексных огибающих заданного сигнала и сигнала из соседнего варианта. Рассчитали и построили АКФ сигнала, использовав ее связь с АКФ комплексной огибающей. Эту связь мы установили из свойств аналитического сигнала. Рассчитали и построили спектр комплексной огибающей сигнала. Спектр сигнал получили, установив связь между спектром сигнала и его комплексной огибающей, т.к. радиосигнал представляет собой узкополосный сигнал. Рассчитали эффективную ширину спектра комплексной огибающей и интервал корреляции комплексной огибающей. Рассчитали произведение эффективной ширины спектра на длительность сигнала и произведение эффективной ширины спектра на интервал корреляции. Результат в первом случае получился на порядок выше результата во втором. Рассчитали КЧХ, построили АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра, импульсную характеристику фильтра, рассчитали и построили и построили отклик на выходе этого фильтра. Определили спектральную плотность белого шума на выходе Размещено на http://www.allbest.ru/ фильтра, при котором отношение квадрата максимального значения выходного сигнала к дисперсии шума равно единицы. Определили при этой спектральной плотности отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе фильтра. Таким образом, мы получили представление и практическое знание о расчете согласованного фильтра, представили приблизительный алгоритм по расчету такого фильтра. На основе приобретенных знаний можно пробовать искать новые критерии оптимальности фильтров и рассчитывать их. Размещено на http://www.allbest.ru/ Список использованной литературы 1) Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие для вузов. 5е изд., испр. и доп. М,:Дрофа,2006 719с. 2) Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие для вузов. 3е изд., перераб. и доп. М,:Высшая школа,2000 462с. 3) П.В. Маковецкий, Охонский А.Г., Поддубный С.С., Сложные сигналы: учебно методическое пособие, Спб,: ГУАП 65с. Размещено на Allbest.ru