Открытый урок по алгебре в 11 классе. Тема урока: «Сфера и шар» Подготовила и провела учитель математики первой квалификационной категории Т.И. Полякова Цели урока: Обучающая: ввести понятие сферы, шара и их элементов; вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат; исследовать взаимное расположение сферы и плоскости. Развивающая: развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию; интерес к предмету; творческие способности учащихся. Воспитывающая: воспитывать взаимопомощь у учащихся через работу в группах; уважение к мнению других. Оборудование: раздаточный материал: карточки с заданиями, заготовки для вывода уравнения сферы, шкалы для оценки урока на этапе рефлексия, маркеры, магниты, чистые листы, номера групп; глобус, разминка для глаз в виде полушарий земной поверхности; мультимедийные обеспечение; отрывок из электронного учебника. Ход урока Структура урока: 1) Организационный момент – 1 минута. 2) Проверка домашнего задания - 1 минуты. 3) “Открытие” новых знаний – 19 минут. 4) Первичное осмысление и закрепление новых знаний – 15 минут. 5) Постановка домашнего задания – 1 минута. 6) Подведение итогов урока – 2 минуты. 7) Рефлексия - 1 минута. 1. Организационный момент. Приветствие учеников. Сообщение учащимся краткого плана урока. Ребята, работа предстоит большая, поэтому, прошу всех настроиться на серьёзную работу. 2. Проверка домашнего задания. 1. В цилиндре радиуса 5 см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от неё на расстояние 3см. Найдите высоту цилиндра, если площадь указанного сечения равна 64см2. 2. Угол при вершине осевого сечения конуса с высотой 1м равен 60 . Чему равна площадь сечения конуса, проведённого через две образующие, угол между которыми равен 45 ? 3. В усечённом конусе диагональ осевого сечения равна 10м, радиус меньшего основания 3м, высота 6м. Найдите радиус большего основания. Ответы заданий домашней работы: 1 2 3 8 см √2/3 м2 5м Ребята, к сегодняшнему уроку я просила повторить вас определение окружности, круга и всех понятий, связанных с ними. Все точки круга и окружности, обладая определённым свойством, лежат в одной плоскости, А теперь давайте представим, что точки не лежат в одной плоскости, а находятся в пространстве. Получили два геометрических тела: шар и сферу. Ребята, тема нашего урока: «Шар и сфера». Сегодня на уроке мы должны с вами изучить определения шара, сферы, всех связанных с ними понятий; рассмотреть сечение шара плоскостью. Сформулируйте определение шара (шар-это геометрическое тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки, эта точка называется центром шара, а данное расстояние - радиусом шара). Сформулируйте определение сферы (сфера-это геометрическое тело, которое состоит из всех точек пространства, равноудалённых от данной точки, эта точка называется центром сферы, а данное расстояние - радиусом сферы). Ребята, а ещё сферой или шаровой поверхностью называют границу шара. Шар и сфера являются телами вращения. Попытайтесь сформулировать определение шара и сферы, как тел вращения (шар-это геометрическое тело, которое получается при вращении полукруга или круга вокруг его диаметра как оси) (сфера - это геометрическое тело, которое получается при вращении полуокружности или окружности вокруг её диаметра как оси) Слова “шар” и “сфера” происходят от одного и того же греческого слова “сфайра” - мяч. Сообщения: 1. Из истории. На протяжении веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области наук. Множество ученых геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его “оболочкой”, носящей название сфера. Поэтому вопросам изучения свойств шара отводилась в различные исторические эпохи и отводится в наше время значительная роль. Полученные знания нужны не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, архитекторам, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность, в повседневной жизни. В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и техники. 2. Нахождение сферы и шара в природе Загадки природы — Шарыпослания. Эти загадочные каменные образования идеально круглой формы были обнаружены в конце 1940-х годов в джунглях центрально американской Республики Коста-Рика. Шары имеют размеры от 10 см до 34 метров в диаметре. При аэросъемке выяснилось, что они разбросаны по поверхности земли не случайно, а составляют геометрические фигуры. Возможно даже, что шары не разбросаны, а разложены в виде огромной звездной карты; каждый шар — это звезда с соответствующим описанием. Среди гипотез происхождения шаров есть только экзотические версии: от пришельцев до скульпторов Атлантиды. Естественными причинами объяснить обилие шаров и странные рисунки на них пока не удается. В Казахстане при разработке песчаного карьера на достаточно большой глубине также были обнаружены несколько крупных экземпляров таких валунов… Об этой находке сообщала комиссия «Феномен»; увы, фотографий находок не сохранилось. Рассмотрим следующие понятия, связанные с шаром и сферой. Это: радиус, хорда, диаметр, ось, полюса, диаметрально противоположные точки, диаметральная плоскость, большой круг и большая окружность. Элементы шара О – центр шара, R – радиус шара, МК – хорда шара, Р, Р1 – полюсы шара, АВ – диаметр шара, А и В – диаметрально противоположные точки, РР1 – ось шара. Ребята, а сколько общих точек у шара и плоскости? Как вы думаете, какая фигура является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара? (Круг) или - всякое сечение шара плоскостью есть круг. Приведите примеры из окружающего нас мира тел, имеющих шарообразную форму. В жизни человека шар (сфера) имеет огромное значение. Об этом можно говорить очень много и мы с ними будем встречаться на последующих уроках. Я хочу только дополнить, что свойства шара и сферы продолжают изучать и в наши дни физики, химики, биологи, астрономы, геодезисты, медики, так как уж очень часто их объекты наблюдения и исследования имеют шарообразную форму. В математике есть такой раздел, который изучает фигуры на поверхности сферы - это сферическая геометрия. Роль прямых в ней выполняют большие окружности. Примером фигуры сферической геометрии является сферический треугольник. Сумма его углов больше 180◦: Продолжи предложения: Сечением шара плоскостью является ... Сечение сферы плоскостью есть ... Линия пересечения двух сфер является … Сфера может быть получена вращением … Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется … 6. Можно ли развернуть сферу на плоскость? 1. 2. 3. 4. 5. Сфера это: футбольный мяч апельсин коробка банка кружка арбуз Укажите утверждения, которые являются неверными: Все точки шара удалены от его центра на расстояние равное радиусу шара. Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность. Всякое сечение шара плоскостью есть окружность. Если точка удалена от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара, то она не принадлежит шару. Если точка удалена от центра сферы на расстояние меньшее радиуса сферы, то она не принадлежит сфере. Вписанные и описанные сферы Если каждая точка многогранника лежит на поверхности сферы, то говорят, что многогранник вписан в сферу. Тогда сферу именуют описанной, а многогранник – вписанным. Если же сфера касается каждой грани многогранника, то уже наоборот, сфера вписана в многогранник. Тогда уже сфера будет вписанной фигурой, а многогранник – описанной. Заметим, что не в каждый многогранник может быть вписанным или описанным. Например, в куб вписать сферу можно, а в прямоугольный параллелепипед, измерения которого отличаются, уже вписать сферу не получится. Надо отметить, что в сферу можно вписать не только в многогранник, но и другие геометрические фигуры, в частности конус и цилиндр. Здесь нужно уточнить (без доказательства), что если касание плоскости и сферы происходит только в одной точке, то цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы уже по окружности. Определения: Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром. Уравнение сферы Пусть сфера имеет центром точку С (x0; y0; z0) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле: МС= Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС2=R2, то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению: . Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0). Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов: S=4πR2 – площадь сферы. S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h Пример: Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: а) А (2; 4; -3) R=4 (х-2)2 +(у-4)2+(z+3)2 = 16 б) А (0; 0; 2) R=3 (х-0)2+ (у-0)2+(z-2)2 = 9 на «3» Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: а) А (-2; -1; 3) R=2 б) А (0; 0; 0) R=3 на «4» Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку К, если: а) А (-3; -1; 5) К (6; 1; 8) б) А (0; 0; -2) К (-1; 2; 0) на «5» Найдите координаты центра C и радиус сферы R, заданной уравнением: а) (х-2)2+(у+4)2+z2=4 б) (х+3)2+у2+(z-3)2=9 ДЗ: № 576, 577 Вывод: Сегодня на уроке мы узнали много нового о сфере и шаре. И что в нашей жизни можно найти большое разнообразие сфер и шаров, а так же в царстве растений и животных, в химии, физике, архитектуре и т.д. На этом наш урок закончен Спасибо за работу!