Кинематический расчет траектории при наведении на цель по методу пропорционального сближения

Кинематический расчет траектории при наведении на цель по методу
пропорционального сближения
Иванов В.Н.
Суть наведения ракеты на цель по методу пропорционального сближения
заключается в том, что угловая скорость ракеты пропорциональна угловой
скорости линии визирования на цель:
𝜔𝑝 = 𝑘𝜔𝑐
(1)
где
𝜔𝑝 , 𝜔𝑐 – угловые скорости ракеты и линии визирования соответственно;
k – коэффициент пропорциональности.
Этот метод наведения является в настоящее время основным для
самонаводящихся ракет.
Задачу будем рассматривать в рамках плоской системы координат x, y (рис. 1).
Цель (точка С) движется с постоянной скоростью VC прямолинейно на высоте
h. Ракета (точка Р) движется с постоянной скоростью VP. Запишем систему
уравнений движения для цели и ракеты и решим её численно.
Рис. 1. Расчетная схема
Система уравнений имеет следующий вид:
𝑡𝑔𝜃с =
ℎ − 𝑦𝑝
𝑥𝑐 − 𝑥𝑝
𝑑𝜃𝑐
= 𝜔𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝜃𝑝
= 𝑘 ∙ 𝜔𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑐
= 𝑣𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝑥𝑝
= 𝑣𝑝 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑝
𝑑𝑡
𝑑𝑦𝑝
= 𝑣𝑝 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑝
𝑑𝑡
{
(2)
где 𝑥𝑐 – координата точки С,
𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 – координаты точки Р,
𝜃𝑐 – угол наклона линии визирования,
𝜃𝑝 – угол наклона вектора скорости ракеты.
Третье уравнение системы (2) записано с учетом условия (1).
Конечно-разностная аппроксимация уравнений (2) имеет вид:
𝜃𝑐,𝑖 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔((ℎ − 𝑦𝑝,𝑖 )/(𝑥𝑐,𝑖 − 𝑥𝑝,𝑖 ))
𝜃𝑐,𝑖 − 𝜃𝑐,𝑖−1
𝜔𝑐,𝑖−1 =
∆𝑡
𝜃𝑝,𝑖 = 𝜃𝑝,𝑖−1 + 𝑘 ∙ 𝜔𝑐,𝑖−1
𝑥𝑐,𝑖+1 = 𝑥𝑐,𝑖 + 𝑣𝑐 ∗ ∆𝑡
𝑥𝑝,𝑖+1 = 𝑥𝑝,𝑖 + 𝑣𝑝 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑝,𝑖 ∗ ∆𝑡
𝑦𝑝,𝑖+1 = 𝑦𝑝,𝑖 + 𝑣𝑝 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑝,𝑖 ∗ ∆𝑡
{
(3)
Расчет заканчивается, если промах ε становится меньше наперед заданного
числа 𝜀 ≤ 𝜀𝑚𝑖𝑛 :
√(ℎ − 𝑦𝑝,𝑖 )2 + (𝑥𝑐,𝑖 − 𝑥𝑝,𝑖 )2 ≤ 𝜀𝑚𝑖𝑛
Исходные данные:
ракета стартует вертикально: 𝜃0 = 90℃;
𝑥𝑐,0 = 𝑥𝑝,0 = 𝑦𝑝,0 = 0;
h = 500 м.
Запрограммируем уравнения системы (3) и построим график траектории
ракеты.
Листинг программы на Python имеет вид:
Результаты расчетов.
Воспроизведем вначале траекторию, которая была получена по методу погони в
предыдущей статье: "Кинематический расчет траектории при наведении на цель
по методу погони". Траектория по методу погони получается, как частный
случай из приведенной здесь программы, если положить k=1.
Рис. 2. Траектория полета ракеты (h=500 м, vс = 230 м/с, vp = 250 м/с, k=1)
Из рисунка видно, что ракета заходит в хвост цели и догоняет её сзади.
А теперь зададим k=8, а остальные исходные данные оставим без изменений.
Результаты расчета для этого случая представлены на рис. 3.
Рис. 3. Траектория полета ракеты (h=500 м, vс = 230 м/с, vp = 250 м/с, k=8)
Из рис. 3 видно, что после начального участка траектории, в дальнейшем,
ракета движется к цели по прямой и подходит к ней с нижней полусферы.
Кроме того, сокращается подлетное время ракеты к цели. Таким образом,
траектория по методу пропорционального сближения кардинальным образом
отличается от траектории по методу погони. Очевидно, что в этом случае
улучшаются также вероятностные характеристики поражения цели.
Давайте зададим в программе исходные данные, примерно соответствующие
реальным скоростям полета цели и ракеты:
vc = 320 м/с – скорость цели (самолета);
vp = 560 м/с – скорость ракеты от ПЗРК.
График траектории для этих исходных данных приведен на рис. 4.
Рис. 4. Траектория полета ракеты (h=500 м, vс = 320 м/с, vp = 560 м/с, k=8)
Углы наклона линии визирования (обозначен в программе, как tetac) и
наклона ракеты (обозначен в программе, как tetap) для траектории полета,
представленной на рис. 4, показаны на рис. 5. На графике (рис. 5) по оси
ординат отложен угол в радианах, по оси абсцисс – координата Х ракеты. Из
рис. 5 видно, что углы на большей части траектории сохраняют постоянные
значения.
Рис. 5. Угол наклона линии визирования (черная кривая) и угол наклона ракеты
(красная кривая).
Параметры в конце траектории ракеты, когда выполняется условие 𝜀 ≤ 𝜀𝑚𝑖𝑛 ,
следующие:
t= 1.1 сек – время подлета ракеты;
xp= 352 м – координата Х ракеты;
yp= 497 м – координата Y ракеты;
tetac= 85º – угол наклона линии визирования;
tetap= 50º – угол наклона ракеты
(Статья опубликована на сайте www.simpleprogramming.ru )