Фурманов_ КМ_1МАГ - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Государственный университет Высшая школа экономики»
Факультет экономики
Программа дисциплины
Количественные методы
для специальности 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
Автор к.э.н.
Фурманов К.К. ([email protected])
Рекомендована секцией УМС
«Математические и статистические
методы в экономике»
Председатель
Поспелов И.Г.
Одобрена на заседании кафедры
математической экономики и
эконометрики
Зав. кафедрой
Канторович Г.Г.
«_____» __________________ 2010 г.
«____»_________________2010 г.
Утверждена УС факультета
экономики
Учёный секретарь
« ____» ___________________2010 г.
Москва
Пояснительная записка
Аннотация: Курс «Количественные методы» является адаптационным курсом и
рассчитан на магистров первого года обучения практико-ориентированных магистерских
программ «Финансовые рынки и инвестиции» и «Корпоративные финансы». Целью курса
является подготовка студентов магистратуры к изучению эконометрики и финансовой
математики, объяснение основных понятий и концепций, на которых основывается
количественный анализ экономических процессов.
Программа курса предусматривает наличие лекционных занятий и
самостоятельной работы студентов. Самостоятельная работа предполагает выполнение
домашних заданий, целью которых является закрепление теоретического материала и
знакомство с возможными приложениями количественных методов в экономике.
Учебная задача курса: в результате изучения курса студент должен:
- освоить основные понятия теории вероятностей и математической статистики,
понять их связь с моделями экономических и финансовых процессов,
- приобрести навыки анализа данных,
- научиться интерпретировать результаты статистических исследований.
Основные требования к студентам:
Курс «Количественные методы» рассчитан на студентов, знакомых с основами
математического анализа.
Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Лекции
1
Случайные события и случайные
величины.
Численные характеристики
случайных величин.
Законы больших чисел и
центральные предельные теоремы.
Основные задачи математической
статистики. Выборочные
исследования.
Точечные оценки, их свойства.
Выборочные характеристики.
Интервальное оценивание.
Проверка гипотез.
Основы регрессионного анализа.
Метод наименьших квадратов.
Итого
2
3
4
5
6
7
8
3
Самостоятельная
Работа
1
Всего
часов
3
2
1
3
2
1
3
1
1
3
2
2
4
2
2
4
1
1
2
3
5
6
20
10
30
Формы контроля
 Проверочные работы на лекциях,
 Письменный зачёт.
Регламент проставления оценки
Итоговая оценка складывается из оценки за проверочные работы (с весом 40%) и оценки за
зачётную работу (с весом 60%).
Содержание программы
Тема 1. Случайные события и случайные величины.
Случайный эксперимент. Пространство элементарных исходов. Случайные события и их
вероятности. Операции со случайными событиями. Понятие независимости случайных
событий. Условная вероятность, формула полной вероятности.
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Независимость
случайных величин. Закон распределения вероятностей случайной величины и способы
его описания: ряд распределения, функция распределения, функция плотности. Примеры
распределений: Бернулли, равномерное, нормальное, логарифмически нормальное.
Пример: расчёт требуемого резерва страховой компании.
Литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд. - М.: Изд.
дом ГУ ВШЭ, 2005, с. 18-28, 44-52, 79-84.
2. P. Newbold, Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4.,
1995, с. 74-207.
Тема 2. Численные характеристики случайных величин.
Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение случайных величин, их
свойства. Финансовые приложения: математическое ожидание как мера доходности,
дисперсия и стандартное отклонение как меры риска актива.
Характеристики связи случайных величин: ковариация и корреляция, их свойства.
Пример: расчёт доходности и риска портфеля ценных бумаг, диверсификация.
Литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд. - М.: Изд.
дом ГУ ВШЭ, 2005, с. 29-43.
2. P. Newbold, Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4.,
1995, с. 129-207.
Тема 3. Законы больших чисел и центральные предельные теоремы.
Законы больших чисел: связь частоты наступления события с его вероятностью, среднего
значения случайной величины с его математическим ожиданием. Центральные
предельные теоремы и особая роль нормального и логарифмически нормального
распределения в приложениях теории вероятностей. Свойства нормальных случайных
величин.
Литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд. - М.: Изд.
дом ГУ ВШЭ, 2005, с. 85-93, 116-117.
2. P. Newbold, Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4.,
1995, с. 207-209.
Тема 4. Основные задачи математической статистики. Выборочные исследования.
Предмет математической статистики и основные задачи: оценивание, проверка гипотез.
«Краеугольный камень» математической статистики: интерпретация имеющихся
наблюдений как реализаций случайных величин. Простая случайная выборка.
Виды данных: пространственная выборка, временной ряд, панельные данные.
Распределения, играющие важную роль в математической статистике: хи-квадрат,
Стьюдента, Фишера.
Литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд. - М.: Изд.
дом ГУ ВШЭ, 2005, с. 85-93, 127-129, 144-148, 159-161.
2. P. Newbold, Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4.,
1995, с. 223-227.
Тема 5. Точечные оценки, их свойства. Выборочные характеристики.
Задача оценивания неизвестного параметра распределения. Определение точечной
оценки. Свойства точечных оценок: несмещённость, состоятельность, эффективность.
Выборочные характеристики: среднее, отношение (доля), дисперсия, стандартное
отклонение, ковариация, корреляция.
Пример: оценивание корреляции между доходностью ценной бумаги и индексом РТС.
Литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд. - М.: Изд.
дом ГУ ВШЭ, 2005, с. 113-118, 85-93.
2. P. Newbold, Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4.,
1995, с. 227-270.
Тема 6. Интервальное оценивание.
Понятие доверительного интервала. Интервальное оценивание параметров нормального
распределения: математического ожидания и дисперсии. Доверительный интервал для
вероятности (доли в генеральной совокупности).
Литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд. - М.:
Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005, с. 199-126.
2. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика – 2
(промежуточный уровень) - М.: ТЕИС, 2007, с. 141-202.
3. P. Newbold, Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4.,
1995, с. 271-322.
Тема 7. Проверка гипотез.
Основная и альтернативная гипотезы. Статистический критерий. Ошибки первого и
второго рода. Уровень значимости и мощность критерия.
Примеры проверяемых гипотез: гипотезы о математическом ожидании и дисперсии, о
нормальности случайной величины.
Литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд. - М.: Изд.
дом ГУ ВШЭ, 2005, с. 94-112, 130-143, 149-158, 162-163.
2. P. Newbold, Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4.,
1995, с. 323-384.
Тема 8. Основы регрессионного анализа.
Уравнение регрессии. Классическая линейная нормальная регрессионная модель
(КЛНРМ). Оценивание параметров КЛНРМ: метод наименьших квадратов. Коэффициент
детерминации, скорректированный коэффициент детерминации.
Возможные
нарушения
предпосылок
КЛНРМ:
неверная
спецификация,
гетероскедастичность, автокорреляция, эндогенность. Линейная, логарифмическая и
полулогарифмическая спецификации уравнения регрессии.
Пример: оценивание β-коэффициента финансового актива в модели CAPM.
Литература:
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика, 2-е изд. - М.: Изд.
дом ГУ ВШЭ, 2005, с.191-220.
2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. 6-е
изд. – М.: Дело, 2004, с. 32-203.
3. P. Newbold, Statistics for Business and Economics. – London, Prentice-Hall, Ed.4.,
1995, с. 427-594.
Примеры заданий для текущего контроля
1. В лотерее разыгрываются: автомобиль стоимостью 500 тыс. руб., компьютер
стоимостью 30 тыс. руб. и пылесос стоимостью 10 тыс. руб. Найдите математическое
ожидание и дисперсию выигрыша в денежном выражении, если общее число билетов
равно 100.
2. Инвестор обладает портфелем ценных бумаг, приносящим ему годовой доход X (в
тыс. долл.), причём E(X)=200, D(X)=100. Он рассматривает три варианта дополнительных
вложений, обеспечивающих ежегодный доход Y1, Y2 и Y3. Известно, что:
E(Y1)=80, D(Y1)=100, Cov(X, Y1)=-50,
E(Y2)=120, D(Y2)=80, Cov(X, Y2)=0,
E(Y3)=100, D(Y3)=70, Cov(X, Y3)=40.
Какой из этих вариантов наиболее доходный (с точки зрения суммарного дохода
X+Yi)? Наименее рисковый? Обоснуйте свои ответы.
3. Расходы на отопление в январе на некотором предприятии описываются случайной
величиной C (долл.), связанной со среднемесячной температурой января T следующим
образом: С=440-5T. Известна функция распределения случайной величины T:
exp( x  15)
. Какова вероятность того, что расходы на отопление в январе
1  exp( x  15)
превысят 500 долл.?
FT ( x) 
4. Рассчитайте выборочное среднее и несмещённую оценку дисперсии по трём
наблюдениям: X1=2, X2=0, X3=1.
Пример зачётной работы
№1. Инвестор имеет портфель ценных бумаг, обеспечивающий месячный доход X,
причём E(X)=10, D(X)=9. Инвестор рассматривает 2 варианта вложения средств: первый
обеспечивает ему дополнительный доход Y, а второй – Z. Известно, что E(Y)=E(Z)=8,
D(Y)=4, D(Z)=5, Cov(X,Y)=4, Cov(X,Z)=-4.
Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию суммарного (т.е. с учётом уже
имеющегося портфеля ценных бумаг) дохода для обоих вариантов.
№2. Максимальная сумма выплат по некоторому договору страхования составляет 2 тыс.
долл. Предполагается, что случайная величина X (сумма, выплаченная по договору, тыс.
долл) имеет следующую функцию плотности:
0.75  0.75  ( x  1) 2 , 0  x  2
f ( x)  
0,
иначе

Какова вероятность того, что сумма выплат будет лежать в пределах от 1 до 1.5 тыс долл.?
Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы выплат.
№3. Чтобы выяснить уровень поддержки городской администрации среди жителей
некоторого города в течение двух дней проводился выборочный опрос населения.
Респондентам предлагалось ответить на следующий вопрос: «Оцените своё отношение к
действиям администрации города по 5-балльной шкале (1 - полностью поддерживаю, 5 –
совершенно не поддерживаю)». В первый день было опрошено 200 респондентов.
Средний уровень поддержки оказался равен 3.5 при выборочном стандартном отклонении
1. В течение второго дня было опрошено 300 человек, среди которых средний уровень
поддержки был равен 3, а стандартное отклонение - 0.8. Рассчитайте среднее и
стандартное отклонение для объединённой выборки из 500 респондентов.
№4. Страховая компания выплачивает агентам комиссию. План возмещения убытков
предполагает, что средние выплаты комиссий составят $32000 за год. Если средние
выплаты будут существенно отличаться от запланированных, то план потребуется
изменить. Для выборки из 26 агентов средние выплаты комиссий составили $27500, а
выборочное стандартное отклонение оказалось равно $8400. Даёт ли имеющаяся выборка
основание внести изменения в план возмещения убытков? Использовать уровень
значимости 5%. Постройте для средней выплаты 90% доверительный интервал.
№5. В таблице представлены цены на растительное масло (X) и сахарный песок (Y) в 12
городах Центрального района России на июнь 1996 г.(в процентах по отношению к ценам
на соответствующие товары в Москве).
Город
X
Y
Брянск
70.1
77.2
Владимир
71.5
72.0
Иваново
56.1
72.6
Калуга
74.7
77.0
Кострома
79.4
81.5
Москва
Орёл
Рязань
Смоленск
Тверь
Тула
Ярославль
100.0
76.7
83.2
75.5
64.3
74.9
72.5
100.0
82.3
91.3
88.5
77.3
78.9
89.1
Рассчитайте выборочный коэффициент корреляции между этими ценами. Оцените
параметры линейного уравнения регрессии Y на X.
Автор программы:
Фурманов К.К.