РГР - Sciyouth.ru

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Самарский государственный архитектурно-строительный университет
Факультет информационных систем и технологий
Кафедра прикладной математики и вычислительной техники
О. В. Прохорова
АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Специализированное учебно – методическое пособие по организации
самостоятельной работы студентов по выполнению расчетно – графических
работ по дисциплине «Моделирование систем»
Самара 2014г.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Постановка задачи проектирования ................................................................... 4
2. Расчет системы автоматического регулирования ............................................ 7
3. Анализ качества САР ......................................................................................... 10
4. Оптимизация САР ............................................................................................... 11
5. Проверка результатов проектирования ............................................................ 13
6. Назначение и условия применения пакета программ ..................................... 17
7. Организация ввода входной информации ....................................................... 19
8. Работа с файлами ................................................................................................ 21
9. Контрольные вопросы ........................................................................................ 22
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................... 23
- -
3
Современные
системы
автоматического
управления
(САУ)
отличаются высокой интенсивностью процессов управления, многообразием
режимов
работы,
взаимовлиянием
параметров,
к
их
характеристикам
предъявляются жесткие требования.
Расчетно
графическое
-
проектирование
предусматривает
самостоятельную работу студентов по индивидуальной программе расчета
прикладной
задачи
–
оптимизации
по
параметрам
двумерной
САР
турбореактивным двигателем.
1. Постановка задачи проектирования
В турбореактивном двигателе с форсажной камерой
регулируются
скорость вращения вала турбины двигателя посредством изменения подачи
топлива в основную камеру сгорания и температура газа посредством подачи
топлива в форсажную камеру сгорания.
Уравнения динамики, определяющие процессы, происходящие в системе
регулирования двигателя, имеют вид:
(1  sTd ) * 1  k11  k 2 2
2  k 31  k 4 2  k51
(1)
sTs1  (1  1)
sTc 2  (2  2 ),
1 – относительное изменение скорости вращения турбины;  2 –
относительное изменение температуры газа; 1 – относительное изменение
где
расхода топлива в основной камере сгорания;
2 – относительное изменение
расхода топлива в форсажной камере сгорания; Td , Ts , Tc – постоянные
- -
4
двигателя;
1, 2 – соответственно значения скорости вращения турбины и
температуры газа; k 1, k 2 , k 3 , k 4 , k 5 – константы. Структурная схема
двухмерной САР соответствующая приведенным уравнениям, изображена на
рис.1. Индивидуальное задание на проектирование включает использование
параметров системы стабилизации скорости вращения вала турбины
и
температуры газа, приведенных в таблице 1, в соответствии с информацией о
группе обучения студента:
Таблица 1.
Td
Ts
Tc
k1
k2
k3
k4
k5
Группа 1
0.7
Группа 2
0.9
Группа 3
0.8
Группа 4
0.6
Группа 5
0.5
0.3
0.4
0.5
0.2
0.6
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.0 * (а+1)
1.2 * а
1.3 * а
1.1 * а
1.4 * а
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.05
0.15
0.1
0.08
0.02
0.18
0.3
0.2
0.1
0.25
- -
5
1 ( s)
1
sTs
k1
1  sTd
1
k3
k5
k4
k2
1  sTd
2 ( s)
2
1
sTc
k4
Рис. 1. Структурная схема САР турбореактивным двигателем
В таблице 1 в качестве параметра а студент должен взять свой порядковый
номер в списке группы и пересчитать коэффициент k 1. Столбец таблицы 1 с
параметрами САР является персональным вариантом работы студента.
В задание на проектирование входит выполнение следующих этапов:
 расчет матрицы передаточных функций в численной и параметрической
форме с использованием программы GEN1 из пакета программ «MSO»; в
качестве оптимизируемых параметров принимаются параметры k 3 , k 4 , k 5 ;
 расчет полюсов обобщенных передаточных функций и анализ качества САР
с применением программы GEN2;
 задание эталонной САР и формирование целевой функции;
 решение задачи оптимизации;
 проверка качества управления синтезированной САР.
- -
6
Задачей на
проектирование ставится. Для двухмерной САР,
описанной системой уравнений (1), определить такие значения вектора
параметров
x  ( x1  k 3 , x 2  k 5 / k 4 , x 3  k 4 ) ,
при
которых
устойчива (степень устойчивости   1), колебательность 
САР
будет
не превысит
величины 1.5; время регулирования T рег не превысит 3 сек.
2. Расчет системы автоматического регулирования
В качестве примера выполнения задания на проектирование возьмем
параметры первого столбца таблицы 1. Для того чтобы воспользоваться
пакетом программ «MSO» (Multivarriable System Optimization) необходимо
привести структурную схему к специальному виду, правила при этом таковы:
 последовательно следующие сумматоры и разветвления необходимо
разделить дополнительными элементами с передаточной функцией равной
1.0;
 к внешним входам и выходам необходимо также подвести аналогичные
дополнительные элементы;
 в цепи отрицательной обратной связи необходимо ввести дополнительные
элементы с передаточной функцией равной -1.0;
 разветвление предполагает два выхода, в противном случае следует вводить
дополнительные звенья.
В связи с введенными требованиями схема САР примет вид, показанный
на рис.2.
- -
7
W13
1 вход
1 выход
W1
W16
W17
W11
W12
W6
W10
W14
W3
W4
W5
2 вход
2 выход
W7
W2
W8
W15
W9
Рис. 2. Расчетная схема САР
Передаточные функции всех элементов известны, они размещены в
таблице 2 с учетом замены коэффициентов на числа из соответствующего
столбца таблицы 1.
Таблица 2
W3 = k 3 = x1 =0.5
W5 = k 2 /( 1+ s T d ) = 0.4 / (1.+ 0.7 s)
W7 = 1. / (s T c )= 1.0 / ( 0.1 s)
W17 = k 1 / ( 1 + s T d )= 1.0/ (1. + 0.7 s)
W1 = W2 = W8 = W10 = W11 = 1.0
W4 = k 5 / k 4 = x 2 = 3.6
W6 = k 4 = x3 = 0.05
W16 = 1. /(s T s ) = 1. / (0.3 s)
W9 = W13 = -1.0
W12 = W14 = W15 = 1.0
Выполним декомпозицию структуры САР с целью выделения каналов
вход - выход. К каждому из таких каналов применим формулу Мезона для
вычисления передаточной функции. Ее реализация содержится в программе
gen1.exe. В ходе расчета получим:
W11( s) = ( -7.143 + 4.762 * s) / ( -7.143 + 6.505 * s + 1.928 * s2 +
- -
s 3 );
8
W12 (s) = 5.714 * s / ( -7.143 + 6.505 * s + 1.928 * s2 +
W21 (s) 
W22 (s) 
3.238 * s  1667
.
* s2
2
3
 7.143  6.505 * s  1928
.
*s  s
 7.143  1743
.
* s  0.5 * s2
2
 7.143  6.505 * s  1928
.
*s  s
3
s 3 );
;
,
где Wij (s) – передаточная функция канала i- й выход, j- й вход, (i, j = 1,2).
Анализ полученных выражений показывает, что все передаточные функции
имеют
одинаковый
знаменатель,
что
объясняется
влиянием
каналов
управления друг на друга за счет наличия в схеме перекрестных связей.
Программа gen1.exe позволяет также найти передаточные функции
каналов в параметрической форме, то есть такой форме, где коэффициенты
полиномов выражены явно через варьируемые параметры:
W11( x, s) = ( -19.05 * x1 + 47.62 * x 3 + 4.762 * s) / А;
W12 ( x, s) = 5.714 * s / А;
W21( x, s) = (4.762 * x1 + 4.762 * x 2 * x 3 + 3.333 * x1 * s) * s / A;
W22 ( x, s) = (-19.05 * x1 + 47.62 * x 3 + ( 14.29 * x 3 + 5.714 * x 2 * x 3 )
2
* s + 10 * x 3 * s ) / A,
А = -19.05 * x1 + 47.62 * x 3 + ( 4.762 + 14.29 * x 3 + 5.714 * x 2 * x 3 ) * s
2
3
+ ( 1.429 + 10 * x 3 ) * s + s .
- -
9
3. Анализ качества САР
Найдем корни полинома знаменателя обобщенных передаточных
функций. Такой полином имеет вид:
s3 + 1.928 * s 2 + 6.505 * s - 7.143
Отметим, что он одинаков для всех каналов. Для нахождения корней
полинома воспользуемся программой gen2.exe. Получим
s1,2  1368
.
 j * 2.618;
s3  082
. .
Наличие корня в правой полуплоскости области s делает САР
неустойчивой. Проектирование САР будет вестись в направлении получения
всех корней полинома знаменателя в левой полуплоскости. Для этого зададим
математическую модель эталонной САР следующим расположением полюсов:
s1  1362
. ;
s2  2.0;
s3  3.0
При задании корней знаменателя передаточной функции эталонной САР
корни
обычно
корректируются
с
наименьшими
изменениями.
В
рассматриваемом случае комплексные корни заменены на действительные.
Корень с положительным значением действительной части заменен на
корень с отрицательным значением. Расчет колебательности, степени
устойчивости и времени регулирования САР по этим корням позволяет сказать,
что эти характеристики таковы:  = 0;  = 1.362; Tр ег. = 2.19 сек. при точности
 = 0.05, что удовлетворяет заданным требованиям. По заданным корням
найдем коэффициенты полинома знаменателя эталонной модели САР. Для
этого воспользуемся программой gen3.exe. В результате получим полином вида
s3 + 6.362 * s 2 + 12.810 * s + 8.172
- -
10
4. Оптимизация САР
Для того чтобы выполнить приближение корней характеристического
уравнения исследуемой САР к корням характеристического уравнения
эталонной
САР
воспользуемся
полученным
ранее
выражением
характеристического полинома в параметрической форме исследуемой САР и
выражением характеристического полинома в численной форме эталонной
модели. Выпишем расчетные характеристические уравнения:
А( х, s) = -19.05 * x1 + 47.62 * x 3 + ( 4.762 + 14.29 * x 3 + 5.714 * x 2 *
x 3 ) * s + (1.429+ 10 * x 3 ) * s2 + s3 = 0.
~
A(s) =
s3 + 6.362 * s 2 + 12.810 * s + 8.172 = 0.
Составим
функцию
качества,
на
основе
минимизации
которой
попытаемся выполнить приближение полиномиальной функцией A(x, s)
полиномиальной функции характеристического уравнения эталонной модели
~
A(s) за счет минимизации средней квадратичной ошибки аппроксимации.
Целевая функция примет вид:
(6.362  1.429  10 * x3 ) 2  (12.81  4.762  14.29 * x3 
F ( x )  1 / 2
  min
5.714 * x 2 * x3 ) 2  (8.172  19.05 * x1  47.62 * x3 ) 2

Поиск минимального значения F(x) может вестись по упрощенной схеме,
учитывая, что в выражение F(x) входят три невязки и три варьируемых
параметра. Решение будет строиться на основе приравнивания к нулю каждой
из невязок. В итоге получим следующие значения:
x1  0804
. ,
x2  0.355,
- -
x3  0.493
11
Если бы число невязок не совпадало с числом варьируемых параметров,
то решение бы строилось на приравнивании к нулю частных производных F(x)
по каждому из параметров x i . В этом случае решение может быть получено с
помощью реализованного программно численного метода. Это потребует при
работе в среде Microsoft Visual Studio C++ отредактировать программу
input44.cpp , вводя в нее расчетную систему уравнений, удалив предыдущую,
после этого необходимо создать gen4.prj, содержащую программы input44.cpp
и gen4.cpp, откомпелировать программу, обратившись в меню к «Build all».
Проект должен запускаться из директории, где содержится файл gen4.h. После
этого можно запускать программу gen4.exe. При работе с программой следует
помнить, что ее решение чувствительно к задаваемым пользователем
начальным значениям переменных. Кроме того, их значения не должны
совпадать с 0.0 или друг с другом.
Рекомендуется проверять полученное
решение при разных начальных значениях. При формировании уравнений
также рекомендуется не включать в них неинформативные сомножители,
например такие, которые могут дать нулевые значения искомым параметрам.
Для того чтобы минимизировать функцию градиентным методом,
необходимо при работе в среде Microsoft Visual Studio C++ отредактировать
программу input7.cpp , вводя в нее расчетную целевую функцию, удалив
предыдущую, после этого необходимо произвести компеляцию программы,
cоздать предварительно
gen7.prj , содержащий программы input7.cpp и
gen7.cpp, обратившись в меню к «Build all». Проект должен запускаться из
директории, где содержится файл gen7.h. После этого можно запускать
программу gen7.exe на выполнение. При работе с программой следует помнить,
что
программа
чувствительна
к
задаваемым
пользователем
границам
изменения параметров, и решение предполагает прекращение поиска после
выполнения
заложенного
в
программе
числа
шагов
поиска,
однако
пользователь может задать выбранное им число шагов поиска экстремума и
продолжить поиск до достижения приемлемого результата.
- -
12
5. Проверка результатов проектирования
Для
необходимо
проверки
качества
полученные
оптимизированной
значения
по
параметров
параметрам
xi
САР
подставить
в
параметрическую матрицу передаточных функций или обратиться к программе
gen1.exe c отредактированным файлом tanja, куда предварительно должны
быть внесены изменения по параметрам передаточных функций, содержащих
варьируемые параметры. В итоге получим передаточные функции каналов
оптимизированной по параметрам САР в виде:
W11(s) = ( 4.762 * s + 8.172) / А;
W12 (s) = 5.714 * s / А;
W21(s) = (2.68 * s2 + 4.66 * s ) / A;
W22 (s) = (4.93 * s2 + 8.05 * s + 8.17) / A,
A(s)  s 3  6.362 * s 2  12.81* s  8.172 .
Сравнив полученное выражение с полиномом характеристического
уравнения
эталонной
Проанализируем
модели
качество
САР,
делаем
оптимизированной
вывод
об
САР. Для
их
этого
близости.
найдем
выходные функции каналов входы - выход при подаче на оба входа САР
одинаковых типовых воздействий R (t) = 1(t), их изображениями Лапласа
являются функции 1/s. Будем иметь
- -
13
Y1 ( s )  1 / s (W11 ( s )  W12 ( s ))  1 / s (8.172  10.476 * s) / A;
Y2 ( s )  1 / s (W21 ( s )  W22 ( s ))  1 / s (8.172  12.711 * s  7.613 * s 2 ) / A.
3
2
А = s + 6.362 * s + 12.810 * s + 8.172.
Выполним проверку качества САР на основе построения переходных и
частотных характеристик. Для этого воспользуемся программами gen5.exe и
gen6.exe. Результаты такого построения приведены на рис.3 - 4.
h(t)
2
1
1
t(сек)
1.0
2.0
3.0
Рис. 3. Переходные функции на выходах каналов управления
- -
14
20 lg A( )
 (w)

2
Запас устойчивости
по фазе
c
-3
-2
1
2
lg 
3
-1
A


2
L( )
Запас устойчивости
по амплитуде
B
- 85.32
Рис.4. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики W1 ( jw)
20 lg A( )
6.72
 (w)
L( )

2
Запас устойчивости
по амплитуде
 (w)
c
Запас
 устойчивости
по фазе
1
lg 
-1


2
Рис.5. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики W2 ( jw)
- -
15
Таким образом, поставленная задача решена и требуемое качество
достигнуто.
Отметим, что если бы качество не было достигнуто, то дальнейшие
действия были бы связаны либо с корректировкой исходных данных (схемы,
параметров), либо с синтезом структуры регулятора путем введения
корректирующих звеньев.
- -
16
6. Назначение и условия применения пакета программ
Автоматизация
решения
задач
оптимизации
и
синтеза
систем
автоматического управления вызвана потребностью практики в повышении
качества, сокращения сроков проектирования и внедрения более эффективных
систем управления. При этом, важное значение отдается простоте работы с
ЭВМ, наличию сервисных функций и подсказок, а также рациональному
использованию оперативной памяти и времени решения задач. Проблемно –
ориентированный пакет программ «Multivariable System Optimization (MSO)»
создан для повышения уровня проектирования сложных многомерных систем
управления.
Проектирование
с
помощью
пакета
программ
включает
использование процедур расчета, анализа, оптимизации и синтеза на основе
моделирования процессов в комплексной области. Такими процедурами
являются:
 декомпозиция;
 нахождение передаточной матрицы в численной и параметрической
форме;
 анализ качества системы управления в плоскости корней;
 задание математической модели эталонной системы управления;
 минимизацию целевой функции;
 анализ качества системы управления во временной и частотной областях.
Пакет программ характеризуется модульным принципом организации с
выборочным включением в проектирование основных функциональных блоков
и настройкой функциональных блоков на решение нескольких связанных
одним математическим аппаратом задач. Это обеспечивает гибкость процесса
проектирования.
Функционирование
пакета
программ
предусматривает
обращение к семи программным блокам, работающим автономно. Такая
организация пакета программ дает возможность подключать автономные
- -
17
программные блоки на различных этапах проектирования, а также применять
отдельные результаты их работы в других задачах исследования многомерных
систем управления.
Рассмотрим назначение программных блоков, выделенных в качестве
автономных:
- gen1.exe предназначен для решения задач декомпозиции; построения матриц
W(s), W(x,s). Декомпозиция предусматривает условное разбиение схемы
многомерной системы на схемы каналов вход- выход, учитывая пути
следования сигналов.
- gen2.exe позволяет найти корни полиномов числителя и знаменателя
передаточной функции, то есть полюсы и нули, что позволяет анализировать
качество управления на основе их расположения.
- gen3.exe определяет коэффициенты полинома по его корням в соответствии с
известными формулами, в частности позволяет определять коэффициенты
полиномов
числителя
и
знаменателя
передаточных
функций
каналов
эталонной системы управления.
- gen4.exe позволяет решать систему нелинейных алгебраических уравнений
численным методом
Ньютона – Рафсона и определяет в ходе решения
оптимальные значения параметров.
- gen5.exe строит графики реакции каналов управления на единичную
ступенчатую и единичную импульсную функции во временной области.
- gen6.exe строит графики логарифмических амплитудно - частотных и фазо частотных выходных характеристик каналов управления.
- gen7.exe решает задачу условной оптимизации градиентным методом.
- -
18
7. Организация ввода входной информации
При работе с модулями необходимо, отвечая на запросы программ,
сообщать нужные сведения о системе управления в зависимости от решаемой
задачи.
gen1.exe требует ввода следующей информации:
 числа внешних входов системы управления;
 числа внешних выходов системы управления;
 числа элементов схемы;
 записи структуры (топологии схемы);
 максимальной степени полинома передаточных функций звеньев;
 числа элементов, получающих сигнал от текущего внешнего входа схемы;
 номеров таких элементов;
 информации о передаточных функциях всех элементов схемы, включая
степени числителей и знаменателей, а также их коэффициенты, при этом
необходимо помнить, что ввод идет в следующей последовательности:
- степень полинома числителя;
- степень полинома знаменателя;
- коэффициенты числителя;
- коэффициенты знаменателя ( коэффициенты вводятся
в порядке возрастания степени переменной s);
 числа элементов схемы, содержащих варьируемые параметры;
 числа варьируемых параметров схемы;
 номера элемента, содержащего варьируемый параметр;
 номера
варьируемого
коэффициента
передаточной
функции
такого
элемента. При этом предполагается, что старшие степени числителя и
знаменателя расширены до максимальной границы, нумерация сквозная от
свободного члена числителя до
коэффициента при старшей степени s
полинома знаменателя. Нумерация учитывает и нулевые коэффициенты,
если такие имеются.
- -
19
gen2.exe запрашивает ввод:
- степени полинома;
- коэффициентов полинома в порядке возрастания степени переменной s;
- величины статической ошибки установившегося процесса.
gen3.exe запрашивает :
- число корней полинома;
- действительную и мнимую части корня (мнимая часть вводится с новой
строки) и так далее по всем корням полинома.
gen4.exe запрашивает ввод числа уравнений и начальных значений
варьируемых параметров.
gen5.exe запрашивает ввод:
- порядка полинома числителя;
- порядка полинома знаменателя;
- коэффициентов полиномов, которые вводятся в порядке возрастания
степени переменной s (каждое число вводится с новой строки);
- интервала времени, в котором строится функция.
gen6.exe
запрашивает
аналогичную
информацию,
что
и
gen5.exe,
за
исключением интервала времени.
gen7.exe запрашивает ввод числа варьируемых параметров и границ их
варьирования.
- -
20
8. Работа с файлами
gen1.exe предполагает возможность работы с файлом tanja. Этот файл служит
для упрощения многоразового ввода информации о структуре системы
управления во время работы с модулем gen1.exe. Файл формируется
пользователем с помощью персонального редактора до начала работы с
gen1.exe. Использование файла не является обязательным. В файле информация
располагается в следующем порядке:
 количество выходов с i-го элемента;
 номер элемента или внешнего выхода системы управления, на которые
поступает сигнал от i- го элемента (i = 1,..., n, где n - общее число элементов
схемы). Особенностью является то, что каждый внешний выход имеет два
номера, первый номер ‘99’ - признак внешнего выхода, далее следует номер
выхода схемы, при этом количество выходов элемента, с учетом признака
внешнего выхода увеличивается на единицу;
 степень полинома числителя;
 степень полинома знаменателя;
 коэффициенты числителя;
 коэффициенты знаменателя (все коэффициенты вводятся в порядке
возрастания степени переменной s).
Под каждое число отводится отдельная строка. Рабочие файлы igor, time,
freq предназначены для вывода расчетов и графиков. Файлы создаются во
время работы программ gen1.exe, gen5.exe, gen6.exe соответственно.
- -
21
9. Контрольные вопросы
1. Для заданной системы уравнений построить схему
(1  s) * Y1 (s)  k1G1 (s)  k 2G2 (s)  0
Y2 (s)  k 3G1 (s)  k 4 G2 (s)  k 5Y1 (s)
X 1 (s)  Y1 (s)  sG1 (s)
X 2 (s)  Y2 (s)  sG2 (s),
где X i - входы, Yi - выходы САР.
2. Каким образом собрана информация о топологии САР в файле tanja ?
3. Устойчива ли САР, характеристическое уравнение которой имеет вид
s 2  2s  5  0 ?
- если да, найдите время регулирования;
- если нет, задайте эталонные корни характеристического уравнения.
4. Каким образом формируется обобщенная передаточная функция?
Сколько таких функций в лабораторной работе для заданной схемы?
5. Если число неизвестных х меньше числа невязок в сформированной
целевой функции
F ( x)  min , на основе каких уравнений следует
x
искать решение xопт. ?
6. Как проверить, что найденные значения х = xопт. удовлетворяют
поставленной цели?
- -
22
7. По графику переходной характеристики найдите известные показатели
качества: перерегулирование, время регулирования, время срабатывания.
8. По графику частотной характеристики найдите запас устойчивости по
фазе и амплитуде. В каких единицах они выражаются?
ЛИТЕРАТУРА
1. Морозовский В.Т. Элементы теории многомерных систем
автоматического регулирования: Учеб. Пособие.- М. Наука, - 135с.
2. Прохорова О.В. Основы теории управления: Курс лекций. Тольятти,
2006,- 94с.
3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления:
Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем.- М. :
Энергия, 1980.-312с.
4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. –
М. : Наука, 1972. – 768с.
5. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные
системы. – СПб.: Питер, 2005.-336с.
- -
23